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INECUACIONES  Srta. Yanira Castro Lizana
IGUALDADES Y DESIGUALDADES Una igualdad es una oración matemática que contiene signo de igual. Por ejemplo:  6 + 4  = 10x + 6 = 10 Una igualdad que tiene variable ( valor desconocido o incógnita)  se llama ecuación.  Por ejemplo:   x + 6 = 10  
Una desigualdad es una oración matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:     ≠  no es igual    <  menor que    > mayor que  ≤   menor o igual que ≥  mayor o igual que
Una desigualdad que tiene variable se llama inecuación.  Por ejemplo:  x + 3 < 7 (La punta del signo < siempre señala el menor) Ej.  3 <  4,       4  > 3
Intervalos e inecuaciones lineales 1. Intervalos e inecuaciones lineales Los intervalos son subconjuntos de los números reales que se pueden representar gráficamente en la recta numérica por un trazo o una semirrecta. Existen intervalos abiertos, en los que no se incluyen los extremos; cerrados en los que se incluyen los extremos, y por último aquellos en que se combinan ambos. 
Para representarlos se utiliza un circulo vacío  “◦” en el extremo, si este no se incluye, o relleno “•” si se incluye. La simbología que se utiliza en los casos abiertos (que no incluyen al extremo) son el signo <  o  >; y para los casos cerrados (que incluyen al extremo) son el signo≥ y ≤  (mayor o igual, o menor o igual).
Por otra parte, los intervalos se pueden representar en forma de conjunto o con corchetes:Ejemplo:  1) Todos los reales comprendidos entre a y b,sin  incluir a, ni b.2)  Todos los reales mayores que a, sin incluir a. 3) Todos los reales entre m y n, incluyendo a m y no incluyendo a n.
Observa el esquema:
1.1 Propiedades de las desigualdades 1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:                 a < b            / ± c          a ± c < b ± c ejemplo                2 + x  >  16          / – 2                      x  >  14 2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo:            a < b            / • c (c > 0)        a • c < b • c                                                    a > b             / • c (c > 0)                                             a • c > b • c Ejemplo                  3  5 • x   / :5                3/5  x    esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5 3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo:         a < b              / • c (c < 0)     a • c > b • c a > b / • c (c < 0) a • c < b • c Ejemplo   15 – 3• x  39      / -15                    - 3• x  39 – 15           /: -3                         x  24: (-3)                         x  - 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que -8.
2. Inecuaciones de primer grado  Las inecuaciones de primer grado con una incógnita se resuelven aplicando inversos aditivos (opuestos) o  inversos multiplicativos (recíprocos) para despejar la incógnita. Conviene dejar positivo el coeficiente de la incógnita. A continuación veremos cómo se aplican las propiedades anteriores en la resolución de inecuaciones lineales de primer grado con una incógnita. Ejemplo: Resolver la inecuación: x – 2 < 3x – 6
Método 1: Primero sumemos –3x a ambos lados                 x – 3x – 2 < – 6               sumemos 2 en ambos lados               x – 3x < 2 – 6 multipliquemos por -1/2 a ambos lados. La desigualdad cambia en virtud de la propiedad 3                    -2x < -4                                     x > 2     Observa que el signo cambió pues se multiplicó por un número negativo. Método 2:                 x – 2 < 3x – 6               Conviene dejar la incógnita positiva, por tanto restaremos x a ambos lados                      -2 < 3x – x – 6  Sumamos  6 en ambos lados                    -2 <  2x – 6           
ejercicios 01) 3x < 15    02) 3x + 6 > 2x + 12    03) 4x - 8 > 3x - 14    04) 10x + 24 < 16x + 12 05) - 2x + 3 > - 3x - 1    06) 5(x + 6) - 5 > - 10 07) 6 + 3(x + 1) > 7 + 4(x - 1)    08) 5 - [ 2x + (x + 2) ] < 4   

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Inecuaciones

  • 1. INECUACIONES Srta. Yanira Castro Lizana
  • 2. IGUALDADES Y DESIGUALDADES Una igualdad es una oración matemática que contiene signo de igual. Por ejemplo:  6 + 4  = 10x + 6 = 10 Una igualdad que tiene variable ( valor desconocido o incógnita)  se llama ecuación. Por ejemplo:   x + 6 = 10  
  • 3. Una desigualdad es una oración matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:     ≠  no es igual <  menor que > mayor que  ≤   menor o igual que ≥  mayor o igual que
  • 4. Una desigualdad que tiene variable se llama inecuación. Por ejemplo:  x + 3 < 7 (La punta del signo < siempre señala el menor) Ej.  3 <  4,       4  > 3
  • 5. Intervalos e inecuaciones lineales 1. Intervalos e inecuaciones lineales Los intervalos son subconjuntos de los números reales que se pueden representar gráficamente en la recta numérica por un trazo o una semirrecta. Existen intervalos abiertos, en los que no se incluyen los extremos; cerrados en los que se incluyen los extremos, y por último aquellos en que se combinan ambos. 
  • 6. Para representarlos se utiliza un circulo vacío “◦” en el extremo, si este no se incluye, o relleno “•” si se incluye. La simbología que se utiliza en los casos abiertos (que no incluyen al extremo) son el signo <  o  >; y para los casos cerrados (que incluyen al extremo) son el signo≥ y ≤  (mayor o igual, o menor o igual).
  • 7. Por otra parte, los intervalos se pueden representar en forma de conjunto o con corchetes:Ejemplo:  1) Todos los reales comprendidos entre a y b,sin  incluir a, ni b.2)  Todos los reales mayores que a, sin incluir a. 3) Todos los reales entre m y n, incluyendo a m y no incluyendo a n.
  • 9. 1.1 Propiedades de las desigualdades 1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:                 a < b            / ± c          a ± c < b ± c ejemplo                2 + x  >  16          / – 2                      x  >  14 2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo:            a < b            / • c (c > 0)        a • c < b • c                                                    a > b             / • c (c > 0)                                             a • c > b • c Ejemplo                  3  5 • x   / :5                3/5  x    esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5 3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo:         a < b              / • c (c < 0)     a • c > b • c a > b / • c (c < 0) a • c < b • c Ejemplo   15 – 3• x  39      / -15                    - 3• x  39 – 15           /: -3                         x  24: (-3)                         x  - 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que -8.
  • 10. 2. Inecuaciones de primer grado  Las inecuaciones de primer grado con una incógnita se resuelven aplicando inversos aditivos (opuestos) o  inversos multiplicativos (recíprocos) para despejar la incógnita. Conviene dejar positivo el coeficiente de la incógnita. A continuación veremos cómo se aplican las propiedades anteriores en la resolución de inecuaciones lineales de primer grado con una incógnita. Ejemplo: Resolver la inecuación: x – 2 < 3x – 6
  • 11. Método 1: Primero sumemos –3x a ambos lados                 x – 3x – 2 < – 6               sumemos 2 en ambos lados               x – 3x < 2 – 6 multipliquemos por -1/2 a ambos lados. La desigualdad cambia en virtud de la propiedad 3                    -2x < -4                                     x > 2     Observa que el signo cambió pues se multiplicó por un número negativo. Método 2:                 x – 2 < 3x – 6               Conviene dejar la incógnita positiva, por tanto restaremos x a ambos lados                      -2 < 3x – x – 6  Sumamos  6 en ambos lados                    -2 <  2x – 6           
  • 12. ejercicios 01) 3x < 15    02) 3x + 6 > 2x + 12    03) 4x - 8 > 3x - 14    04) 10x + 24 < 16x + 12 05) - 2x + 3 > - 3x - 1    06) 5(x + 6) - 5 > - 10 07) 6 + 3(x + 1) > 7 + 4(x - 1)    08) 5 - [ 2x + (x + 2) ] < 4