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ANGULOS Srta. Yanira Castro Lizana
ANGULO .-Es la abertura formado por dos rayos divergentes que tienen un extremo común que se denomina vértice. ELEMENTOS DE UN ANGULO:  LADO LADO VÉRTICE  Medida del Angulo convexo Medida del Angulo cóncavo O A B
 0º <    < 180º 0º  <     <  90º CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA a)  ÁNGULO CONVEXO a.1)  ÁNGULO AGUDO 
   = 90º 90º  <     <  180º a.2)  ÁNGULO RECTO a.3)  ÁNGULO OBTUSO  
         = 90º    +    = 180º CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA a)  ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS b)  ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS    
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓN a)  ÁNGULOS ADYACENTES b)  ÁNGULOS CONSECUTIVOS ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE Son congruentes Puede formar más ángulos Un lado común       
01.   Ángulos alternos internos: m   3 = m   5;  m   4 = m   6 02.   Ángulos alternos externos: m   1 = m   7;  m   2 = m   8 03.   Ángulos conjugados internos: m   3+m   6=m   4+m   5=180° 04.   Ángulos conjugados externos: m   1+m   8=m   2+m   7=180° 05.   Ángulos correspondientes: m   1 = m   5;  m   4 = m   8 m   2 = m   6;  m   3 = m   7 ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS  Y UNA RECTA SECANTE 1 2 3 4 5 6 7 8
   +     +     =  x  +  y 01.- Ángulos que se forman por una línea poligonal entre  dos rectas paralelas. PROPIEDADES  DE  LOS  ANGULOS    x y
   +     +     +     +     =  180° 02.-  ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS     
   +     = 180° 03 .- ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES  
PROBLEMAS  RESUELTOS
El complemento de la diferencia entre el suplemento y  el  complemento  de  un  ángulo  “X”  es  igual  al  duplo del complemento  del  ángulo  “X”.  Calcule la  medida del ángulo “X”. 90  -  {  (  ) - (  )  }  =  (  ) 180° - X 90° - X 90° - X 2 90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X 90° - 90° = 180° - 2X 2X = 180° X = 90° RESOLUCIÓN Problema Nº 01 La estructura según el enunciado: Desarrollando se obtiene: Luego se reduce a:
La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y el complemento del primer ángulo es el doble de la medida del segundo ángulo. Calcule la diferencia de las medidas de dichos ángulos. Sean los ángulos:     y      +    = 80°  Dato:    = 80° -     ( 90° -    ) = 2  Reemplazando (1) en (2): ( 90° -    ) = 2 ( 80° -    )  90° -    = 160° -2     = 10°    -    = 70°-10° = 60° Problema Nº 02 RESOLUCIÓN Dato: Diferencia de las medidas Resolviendo ( 1 ) ( 2 )    = 70°
La suma de sus complementos de dos ángulos es 130° y la diferencia de sus suplementos de los mismos ángulos es 10°.Calcule la medida dichos ángulos. Sean los ángulos:     y   ( 90° -    ) ( 90° -    ) = 130° + ( 180° -    ) ( 180° -    ) = 10° - Resolviendo: (1) y (2)    +    = 50°     -    = 10°  2   =  60°    =  30°    =  20° Problema Nº 03 RESOLUCIÓN Del enunciado: Del enunciado:    +    = 50°  ( 1 )    -    = 10°  ( 2 ) (+)
Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC (AOB<BOC), se traza la bisectriz OM del ángulo AOC; si los ángulos BOC y BOM miden 60° y 20°  respectivamente. Calcule la medida del ángulo AOB. De la figura:    = 60° - 20° Luego: X = 40° - 20°    = 40° X = 20° Problema Nº 04 RESOLUCIÓN A B O C M   60° 20° X
La diferencia de las medidas de dos ángulos adyacentes AOB y BOC es 30°. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC con el lado OB. (    + X) (   - X) = 30º 2X=30º X = 15° Problema Nº 05 RESOLUCIÓN Construcción de la gráfica según el enunciado Del enunciado: AOB  -  OBC = 30° -   Luego se reemplaza por lo que Se observa en la gráfica A O B C   X (  - X) M
Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que  la m  AOC = m  BOD = 90°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD. De la figura: 2   +    = 90°    + 2   = 90° 2   + 2   + 2   = 180°    +    +    = 90° X =    +    +   X = 90° Problema Nº 06 RESOLUCIÓN Construcción de la gráfica según el enunciado A C B D M N      X ( + )
Si m // n . Calcule la medida del ángulo “X” Problema Nº 07 80° 30°     X m n
2   + 2   = 80° + 30° Por la propiedad Propiedad del cuadrilátero  cóncavo Reemplazando (1) en (2) 80° = 55° + X X = 25° RESOLUCIÓN    +    = 55° (1) 80° =    +    + X (2) 80° 30°     X m n
Si m // n . Calcular la medida del ángulo “X” Problema Nº 08 5  4  65° X m n
Por la propiedad: 4   + 5   = 90°    = 10° Ángulo exterior del triángulo 40° 65° X = 40° + 65° X = 105° RESOLUCIÓN 5  4  65° X m n
Problema Nº 09 Si m // n . Calcule la medida del ángulo ”X”  2  x m n  2 
3   + 3   = 180°    +    = 60° Ángulos entre líneas poligonales X =    +     X = 60°   RESOLUCIÓN x Ángulos conjugados internos  2  x m n  2 
PROBLEMAS PROPUESTOS DE ANGULOS ENTRE PARALELAS
PROBLEMA 01.-  Si  L 1  // L 2   . Calcule  la m    x A) 10°  B) 20°  C) 30°  D) 40°  E) 50° x     4x 3x L 1 L 2
PROBLEMA 02.-   Si  m // n . Calcule  la m    x A) 18°  B) 20°  C) 30°  D) 36°  E) 48° m n 30° X
PROBLEMA 03.-   Si  m // n . Calcule  la m      A) 15°  B) 22°  C) 27°  D) 38°  E) 45° 3  3  3   m n
PROBLEMA 04.-   Si  m // n . Calcule  el valor de “x” A) 10°  B) 15°  C) 20°  D) 25°  E) 30° 40° 95°   2x m n
PROBLEMA 05.-   Calcule  la m    x A) 99°  B) 100°  C) 105°  D) 110°  E) 120° 3  6  x
PROBLEMA 06.-   Si  m // n . Calcule  la m    x A) 22°  B) 28°  C) 30°  D) 36°  E) 60°  4  4   X m n
A) 24°  B) 25°  C) 32°  D) 35°  E) 45° PROBLEMA 07.-   Si. Calcule  la m    x 88° 24° x     m n
PROBLEMA 08.-   Si  m // n . Calcule  la m    x A) 50°  B) 60°  C) 70°  D) 80°  E) 30° 20° 30° X m n
PROBLEMA 09.- Si  m//n  y   -    = 80°. Calcule la m  x  A) 60°  B) 65°  C) 70°  D) 75°  E) 80°   x   m n
PROBLEMA  10.-   Si  m // n . Calcule la m    x A) 20°  B) 30°  C) 40°  D) 50°  E) 60° x x x m n
PROBLEMA 11.-   Si  m // n . Calcule  la m      A) 46°  B) 48°  C) 50°  D) 55°  E) 60° 180°-2   2  m n
PROBLEMA 12.-   Si  m // n . Calcule  la m    x A) 30°  B) 36°  C) 40°  D) 45°  E) 50°     x 80° m n
PROBLEMA 13.-   Si  m // n . Calcule  la m    x A) 30°  B) 40°  C) 50°  D) 60°  E) 70° 80°     m n x
REPUESTAS DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

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  • 1. ANGULOS Srta. Yanira Castro Lizana
  • 2. ANGULO .-Es la abertura formado por dos rayos divergentes que tienen un extremo común que se denomina vértice. ELEMENTOS DE UN ANGULO:  LADO LADO VÉRTICE  Medida del Angulo convexo Medida del Angulo cóncavo O A B
  • 3.  0º <  < 180º 0º <  < 90º CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA a) ÁNGULO CONVEXO a.1) ÁNGULO AGUDO 
  • 4. = 90º 90º <  < 180º a.2) ÁNGULO RECTO a.3) ÁNGULO OBTUSO  
  • 5.   = 90º  +  = 180º CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS b) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS    
  • 6. CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓN a) ÁNGULOS ADYACENTES b) ÁNGULOS CONSECUTIVOS ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE Son congruentes Puede formar más ángulos Un lado común       
  • 7. 01. Ángulos alternos internos: m  3 = m  5; m  4 = m  6 02. Ángulos alternos externos: m  1 = m  7; m  2 = m  8 03. Ángulos conjugados internos: m  3+m  6=m  4+m  5=180° 04. Ángulos conjugados externos: m  1+m  8=m  2+m  7=180° 05. Ángulos correspondientes: m  1 = m  5; m  4 = m  8 m  2 = m  6; m  3 = m  7 ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE 1 2 3 4 5 6 7 8
  • 8. +  +  = x + y 01.- Ángulos que se forman por una línea poligonal entre dos rectas paralelas. PROPIEDADES DE LOS ANGULOS    x y
  • 9. +  +  +  +  = 180° 02.- ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS     
  • 10. +  = 180° 03 .- ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES  
  • 12. El complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo “X” es igual al duplo del complemento del ángulo “X”. Calcule la medida del ángulo “X”. 90 - { ( ) - ( ) } = ( ) 180° - X 90° - X 90° - X 2 90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X 90° - 90° = 180° - 2X 2X = 180° X = 90° RESOLUCIÓN Problema Nº 01 La estructura según el enunciado: Desarrollando se obtiene: Luego se reduce a:
  • 13. La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y el complemento del primer ángulo es el doble de la medida del segundo ángulo. Calcule la diferencia de las medidas de dichos ángulos. Sean los ángulos:  y   +  = 80° Dato:  = 80° -  ( 90° -  ) = 2  Reemplazando (1) en (2): ( 90° -  ) = 2 ( 80° -  ) 90° -  = 160° -2   = 10°  -  = 70°-10° = 60° Problema Nº 02 RESOLUCIÓN Dato: Diferencia de las medidas Resolviendo ( 1 ) ( 2 )  = 70°
  • 14. La suma de sus complementos de dos ángulos es 130° y la diferencia de sus suplementos de los mismos ángulos es 10°.Calcule la medida dichos ángulos. Sean los ángulos:  y  ( 90° -  ) ( 90° -  ) = 130° + ( 180° -  ) ( 180° -  ) = 10° - Resolviendo: (1) y (2)  +  = 50°  -  = 10° 2  = 60°  = 30°  = 20° Problema Nº 03 RESOLUCIÓN Del enunciado: Del enunciado:  +  = 50° ( 1 )  -  = 10° ( 2 ) (+)
  • 15. Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC (AOB<BOC), se traza la bisectriz OM del ángulo AOC; si los ángulos BOC y BOM miden 60° y 20° respectivamente. Calcule la medida del ángulo AOB. De la figura:  = 60° - 20° Luego: X = 40° - 20°  = 40° X = 20° Problema Nº 04 RESOLUCIÓN A B O C M   60° 20° X
  • 16. La diferencia de las medidas de dos ángulos adyacentes AOB y BOC es 30°. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC con el lado OB. (  + X) (  - X) = 30º 2X=30º X = 15° Problema Nº 05 RESOLUCIÓN Construcción de la gráfica según el enunciado Del enunciado: AOB - OBC = 30° - Luego se reemplaza por lo que Se observa en la gráfica A O B C   X (  - X) M
  • 17. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que la m  AOC = m  BOD = 90°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD. De la figura: 2  +  = 90°  + 2  = 90° 2  + 2  + 2  = 180°  +  +  = 90° X =  +  +  X = 90° Problema Nº 06 RESOLUCIÓN Construcción de la gráfica según el enunciado A C B D M N      X ( + )
  • 18. Si m // n . Calcule la medida del ángulo “X” Problema Nº 07 80° 30°     X m n
  • 19. 2  + 2  = 80° + 30° Por la propiedad Propiedad del cuadrilátero cóncavo Reemplazando (1) en (2) 80° = 55° + X X = 25° RESOLUCIÓN  +  = 55° (1) 80° =  +  + X (2) 80° 30°     X m n
  • 20. Si m // n . Calcular la medida del ángulo “X” Problema Nº 08 5  4  65° X m n
  • 21. Por la propiedad: 4  + 5  = 90°  = 10° Ángulo exterior del triángulo 40° 65° X = 40° + 65° X = 105° RESOLUCIÓN 5  4  65° X m n
  • 22. Problema Nº 09 Si m // n . Calcule la medida del ángulo ”X”  2  x m n  2 
  • 23. 3  + 3  = 180°  +  = 60° Ángulos entre líneas poligonales X =  +  X = 60° RESOLUCIÓN x Ángulos conjugados internos  2  x m n  2 
  • 24. PROBLEMAS PROPUESTOS DE ANGULOS ENTRE PARALELAS
  • 25. PROBLEMA 01.- Si L 1 // L 2 . Calcule la m  x A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50° x     4x 3x L 1 L 2
  • 26. PROBLEMA 02.- Si m // n . Calcule la m  x A) 18° B) 20° C) 30° D) 36° E) 48° m n 30° X
  • 27. PROBLEMA 03.- Si m // n . Calcule la m   A) 15° B) 22° C) 27° D) 38° E) 45° 3  3  3   m n
  • 28. PROBLEMA 04.- Si m // n . Calcule el valor de “x” A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30° 40° 95°   2x m n
  • 29. PROBLEMA 05.- Calcule la m  x A) 99° B) 100° C) 105° D) 110° E) 120° 3  6  x
  • 30. PROBLEMA 06.- Si m // n . Calcule la m  x A) 22° B) 28° C) 30° D) 36° E) 60°  4  4   X m n
  • 31. A) 24° B) 25° C) 32° D) 35° E) 45° PROBLEMA 07.- Si. Calcule la m  x 88° 24° x     m n
  • 32. PROBLEMA 08.- Si m // n . Calcule la m  x A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 30° 20° 30° X m n
  • 33. PROBLEMA 09.- Si m//n y  -  = 80°. Calcule la m  x A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80°   x   m n
  • 34. PROBLEMA 10.- Si m // n . Calcule la m  x A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60° x x x m n
  • 35. PROBLEMA 11.- Si m // n . Calcule la m   A) 46° B) 48° C) 50° D) 55° E) 60° 180°-2   2  m n
  • 36. PROBLEMA 12.- Si m // n . Calcule la m  x A) 30° B) 36° C) 40° D) 45° E) 50°     x 80° m n
  • 37. PROBLEMA 13.- Si m // n . Calcule la m  x A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70° 80°     m n x
  • 38.