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SISTEMAS DE ECUACIONES
Método gráfico
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Método de igualación
Similar al ejercicio 3 propuesto
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Problemas para resolver con sistemas de ecuaciones lineales
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SISTEMAS DE ECUACIONES
6–2·3 = 6 – 6 = 0
6–2·7
11
–2
x =
y =
2
–2
8 – 6
–2
8
–2
8 – 0
–2
12
–2
8 + 4
–2
8 – (–3)
–2
Resuelve gráficamente:
Hay que representar cada ecuación. Despejamos la letra y en la primera ecuación.
Hay que hacer una tabla de valores para obtener tres puntos de la recta.
Se eligen tres números (mejor que no sean consecutivos).
y =
Con la regla se traza la recta que ha de pasar perfectamente por los tres puntos.
6
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Se sustituyen estos tres números en la fórmula de y.
Se hace lo mismo con la otra ecuación.
Se representan los puntos obtenidos.
Se eligen los tres valores de x que no provoquen decimales al calcular y.
– 2y =
La solución del sistema se obtiene de las coordenadas del punto de intersección de las dos rectas.
y =
–2
8 – x
2x + y = 6
x – 2y = 8
– 2x
8 – x ––––
x y
–2
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= 6 – 14 = –8
4
–2
–3
–4
0
=
8 +3
–2
=
salen
decimales
8 – (–4)
–2
= = = –6
= = –4
6 = = –1
x y
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SISTEMAS DE ECUACIONES
4 – 3x
–––––
y = –––––
4
2
+ 6
10
y = ––––––––
4 – 3( )
2
x = –––
– 2·25
–––––––––––––– = ––––––
2
2
1
––
1
–– 3
1
y =
2
4 – 3x
–––––– 3x
Resuelve por el método de sustitución:
3x + 2y = 4
5x – 3y = –25
Hay que despejar una incógnita de una de las ecuaciones que no tenga coeficiente negativo, por ejemplo
Ahora se sustituye la fórmula obtenida en la otra ecuación.
Hay que quitar el paréntesis multiplicando el 3 (sin el signo) por la fracción.
Falta calcular el valor de y. Se cambia el valor de x en la fórmula de y.
El signo menos se copia y se multiplican las dos fracciones.
Se escribe todo en forma de fracción y se saca m.c.m. de los denominadores.
2y = 4
5x = – 25
2
5x – ––––––
12 – 9x
2
= – 25
la y de la primera ecuación.
––
m.c.m. = 2
2·5x – 1(12 – 9x)
10x – 12 + 9x = – 50
10x + 9x = – 50 + 12
19x = – 38
–38
19
x = –2
–2
2
y = ––
y = 5
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SISTEMAS DE ECUACIONES
14 + 8( )–1
–3
–––––––
Resuelve por el método de igualación:
–14 – 4y
5x = x =
5
– 4y5x + 4y = –14
–3x – 8y = 14
Hay que despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones, por ejemplo la x.
Para quitar los denominadores se multiplica en cruz (dos fracciones son equivalentes si al multiplicar
en cruz se obtiene el mismo resultado).
El valor de la otra incógnita se obtiene con cualquiera de las dos fórmulas que tenemos.
–14
Se igualan las dos fórmulas obtenidas.
––––––
14 + 8y
–3x = x =
–3
+ 8y14
–––––––
–14 – 4y
5
––––––
14 + 8y
=
–3
–3(–14 – 4y) = 5(14 + 8y)
+ 42 + 12y = 70 + 40y
12y – 40y = 70 – 42
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y = –––
28
–28
y = –1
x = –––––
14
–3
– 8
6
x = –––––––––
–3
x = ––
x = –2
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SISTEMAS DE ECUACIONES
–135
––––
3
–– =
:5
Resuelve por el método de reducción:
+6
11x + 6y = 10
–6x + 9y = 15
Hay que eliminar una de las incógnitas sumando las ecuaciones pero antes hay que prepararlas.
Vamos
Se cambian de orden y uno de ellos de signo.
Ahora se multiplica la primera ecuación por +6 y la segunda por 11.
Sumamos las ecuaciones para eliminar las x.
a eliminar la letra x . Hay que observar los coeficientes de esta letra.
66x
11
+ 36y = 60
–66x + 99y = 165
+ 135y = 225
y =
225
–––
135
––– =
:5
45
––
27
:9
:9
5
–
Se calcula el valor de x sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones de partida.
11x + 6 · –– = 105
3
11x + –– = 1030
3
11x + 10 = 10
11x = 10 – 10
11x = 0
x = ––0
10
= 0
También se puede calcular x eliminando las y.
= 0
–9
11x + 6y = 10
–6x + 9y = 15
–99x
+6
– 54y = –90
–36x + 54y = 90
–135x = 0
x =
0
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SISTEMAS DE ECUACIONES
– 2·3
–– – –
x
2
Si la mitad del número verde es igual al triple del amarillo menos 3, el amarillo es más rápido que el
verde, los dos suman 29, y el verde es más espabilado que el amarillo, ¿sabrías decir cuáles son
estos dos números?
x e y son los números que se piden.
Se resuelve el sistema por cualquier método. En este caso interesa por sustitución ya que tenemos
Se van leyendo las condiciones y se van traduciendo al lenguaje algebraico.
x = número verde
y = número amarillo
–––––––––––––––––––––––
x
2
–
–––––––
=
–––––––––––––––––
3y
––––––––
– 3
––––––––––––––––
x + y = 29
– =
3y
1
3
1
– = –––––––––
2 2
x 2·3y
x = 6y – 6
x = 6y – 6
x + y = 29
despejada la letra x.
+ y = 296y – 6
6y – 6 + y = 29
6y + y = 29 + 6
7y = 35
y = ––
35
7
y = 5
x = 6·5 – 6
x = 30 – 6
x = 24
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SISTEMAS DE ECUACIONES
En el bolsillo derecho de mi chaqueta gris tengo diez monedas, que todas juntas suman 3´20€.
¿Sabrías decirme cuántas son de medio euro y cuántas de veinte céntimos de euro?
Llamamos x e y a lo que se pide calcular.
Con el valor de las monedas se escribe otra ecuación.
Con el dato de las diez monedas se escribe una ecuación.
x = número de monedas de 0’50€
y = número de monedas de 0´20€
x + y = 10
0´50x + 0´20y = 3´20
x = 10 – y
0´50x = 3´20 – 0´20y x = ––––––––––
x monedas de 0´50€ valen 0´50·x
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y monedas de 0´20€ valen 0´20·y
Se resuelve el sistema por cualquier método. Por ejemplo por igualación.
3´20 – 0´20y
0´50
10 – y = –––––––––––
3´20 – 0´20y
0´50
0´50(10 – y) = 3´20 – 0´20y
5 – 0´50y = 3´20 – 0´20y
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– 0´3y = 1´8
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1´8
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y = 6 monedas de 0´20€
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x = 4 monedas de 0´50€
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SISTEMAS DE ECUACIONES
––––
0´25x – 0´05y = 7 –1
Si en un examen tipo test de 40 preguntas has sacado un 7, ¿cuántas preguntas has acertado y
cuántas has fallado si cada respuesta correcta vale 0´25 puntos y por cada respuesta errónea se
resta 0´05 puntos?
Llamamos x e y a lo que se pide calcular.
Con las puntuaciones se escribe otra ecuación.
Con el dato de las 40 preguntas se escribe una ecuación.
x = número de preguntas que has acertado
y = número de preguntas que has fallado
x + y = 40
Todas las respuestas correctas valen 0´25·x
y todas las incorrectas restan 0´05·y
Se resuelve el sistema por cualquier método. Por ejemplo por reducción.
y = 10
0´25
0´25x + 0´25y = 10
–0´25x + 0´05y = –7
0´30y = 3
y =
3
0´30
x + 10 = 40
x = 40 – 10
x = 30
falladas
acertadas
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ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones lineales para estudiar

  • 1. Anterior Siguiente SISTEMAS DE ECUACIONES Método gráfico Similar al ejercicio 1 propuesto Método de sustitución Similar al ejercicio 2 propuesto Método de igualación Similar al ejercicio 3 propuesto Método de reducción Similar al ejercicio 4 propuesto Problemas para resolver con sistemas de ecuaciones lineales Similar a los problemas 6 y 7 propuestos Similar a los problemas 8 y 9 propuestos Similar a los problemas 10 y 11 propuestos Fin
  • 2. Anterior Siguiente SISTEMAS DE ECUACIONES 6–2·3 = 6 – 6 = 0 6–2·7 11 –2 x = y = 2 –2 8 – 6 –2 8 –2 8 – 0 –2 12 –2 8 + 4 –2 8 – (–3) –2 Resuelve gráficamente: Hay que representar cada ecuación. Despejamos la letra y en la primera ecuación. Hay que hacer una tabla de valores para obtener tres puntos de la recta. Se eligen tres números (mejor que no sean consecutivos). y = Con la regla se traza la recta que ha de pasar perfectamente por los tres puntos. 6 Volver al menú Se sustituyen estos tres números en la fórmula de y. Se hace lo mismo con la otra ecuación. Se representan los puntos obtenidos. Se eligen los tres valores de x que no provoquen decimales al calcular y. – 2y = La solución del sistema se obtiene de las coordenadas del punto de intersección de las dos rectas. y = –2 8 – x 2x + y = 6 x – 2y = 8 – 2x 8 – x –––– x y –2 3 7 6–2·(–2)= 6 + 4 = 10 = 6 – 14 = –8 4 –2 –3 –4 0 = 8 +3 –2 = salen decimales 8 – (–4) –2 = = = –6 = = –4 6 = = –1 x y
  • 3. Anterior Siguiente SISTEMAS DE ECUACIONES 4 – 3x ––––– y = ––––– 4 2 + 6 10 y = –––––––– 4 – 3( ) 2 x = ––– – 2·25 –––––––––––––– = –––––– 2 2 1 –– 1 –– 3 1 y = 2 4 – 3x –––––– 3x Resuelve por el método de sustitución: 3x + 2y = 4 5x – 3y = –25 Hay que despejar una incógnita de una de las ecuaciones que no tenga coeficiente negativo, por ejemplo Ahora se sustituye la fórmula obtenida en la otra ecuación. Hay que quitar el paréntesis multiplicando el 3 (sin el signo) por la fracción. Falta calcular el valor de y. Se cambia el valor de x en la fórmula de y. El signo menos se copia y se multiplican las dos fracciones. Se escribe todo en forma de fracción y se saca m.c.m. de los denominadores. 2y = 4 5x = – 25 2 5x – –––––– 12 – 9x 2 = – 25 la y de la primera ecuación. –– m.c.m. = 2 2·5x – 1(12 – 9x) 10x – 12 + 9x = – 50 10x + 9x = – 50 + 12 19x = – 38 –38 19 x = –2 –2 2 y = –– y = 5 Volver al menú
  • 4. Anterior Siguiente SISTEMAS DE ECUACIONES 14 + 8( )–1 –3 ––––––– Resuelve por el método de igualación: –14 – 4y 5x = x = 5 – 4y5x + 4y = –14 –3x – 8y = 14 Hay que despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones, por ejemplo la x. Para quitar los denominadores se multiplica en cruz (dos fracciones son equivalentes si al multiplicar en cruz se obtiene el mismo resultado). El valor de la otra incógnita se obtiene con cualquiera de las dos fórmulas que tenemos. –14 Se igualan las dos fórmulas obtenidas. –––––– 14 + 8y –3x = x = –3 + 8y14 ––––––– –14 – 4y 5 –––––– 14 + 8y = –3 –3(–14 – 4y) = 5(14 + 8y) + 42 + 12y = 70 + 40y 12y – 40y = 70 – 42 – 28y = 28 y = ––– 28 –28 y = –1 x = ––––– 14 –3 – 8 6 x = ––––––––– –3 x = –– x = –2 Volver al menú
  • 5. Anterior Siguiente SISTEMAS DE ECUACIONES –135 –––– 3 –– = :5 Resuelve por el método de reducción: +6 11x + 6y = 10 –6x + 9y = 15 Hay que eliminar una de las incógnitas sumando las ecuaciones pero antes hay que prepararlas. Vamos Se cambian de orden y uno de ellos de signo. Ahora se multiplica la primera ecuación por +6 y la segunda por 11. Sumamos las ecuaciones para eliminar las x. a eliminar la letra x . Hay que observar los coeficientes de esta letra. 66x 11 + 36y = 60 –66x + 99y = 165 + 135y = 225 y = 225 ––– 135 ––– = :5 45 –– 27 :9 :9 5 – Se calcula el valor de x sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones de partida. 11x + 6 · –– = 105 3 11x + –– = 1030 3 11x + 10 = 10 11x = 10 – 10 11x = 0 x = ––0 10 = 0 También se puede calcular x eliminando las y. = 0 –9 11x + 6y = 10 –6x + 9y = 15 –99x +6 – 54y = –90 –36x + 54y = 90 –135x = 0 x = 0 Volver al menú
  • 6. Anterior Siguiente SISTEMAS DE ECUACIONES – 2·3 –– – – x 2 Si la mitad del número verde es igual al triple del amarillo menos 3, el amarillo es más rápido que el verde, los dos suman 29, y el verde es más espabilado que el amarillo, ¿sabrías decir cuáles son estos dos números? x e y son los números que se piden. Se resuelve el sistema por cualquier método. En este caso interesa por sustitución ya que tenemos Se van leyendo las condiciones y se van traduciendo al lenguaje algebraico. x = número verde y = número amarillo ––––––––––––––––––––––– x 2 – ––––––– = ––––––––––––––––– 3y –––––––– – 3 –––––––––––––––– x + y = 29 – = 3y 1 3 1 – = ––––––––– 2 2 x 2·3y x = 6y – 6 x = 6y – 6 x + y = 29 despejada la letra x. + y = 296y – 6 6y – 6 + y = 29 6y + y = 29 + 6 7y = 35 y = –– 35 7 y = 5 x = 6·5 – 6 x = 30 – 6 x = 24 Volver al menú
  • 7. Anterior Siguiente SISTEMAS DE ECUACIONES En el bolsillo derecho de mi chaqueta gris tengo diez monedas, que todas juntas suman 3´20€. ¿Sabrías decirme cuántas son de medio euro y cuántas de veinte céntimos de euro? Llamamos x e y a lo que se pide calcular. Con el valor de las monedas se escribe otra ecuación. Con el dato de las diez monedas se escribe una ecuación. x = número de monedas de 0’50€ y = número de monedas de 0´20€ x + y = 10 0´50x + 0´20y = 3´20 x = 10 – y 0´50x = 3´20 – 0´20y x = –––––––––– x monedas de 0´50€ valen 0´50·x Volver al menú y monedas de 0´20€ valen 0´20·y Se resuelve el sistema por cualquier método. Por ejemplo por igualación. 3´20 – 0´20y 0´50 10 – y = ––––––––––– 3´20 – 0´20y 0´50 0´50(10 – y) = 3´20 – 0´20y 5 – 0´50y = 3´20 – 0´20y – 0´50y + 0´20y = 3´20 – 5 – 0´3y = 1´8 y = ––– 1´8 0´3 y = 6 monedas de 0´20€ x = 10 – 6 x = 4 monedas de 0´50€
  • 8. Anterior Siguiente SISTEMAS DE ECUACIONES –––– 0´25x – 0´05y = 7 –1 Si en un examen tipo test de 40 preguntas has sacado un 7, ¿cuántas preguntas has acertado y cuántas has fallado si cada respuesta correcta vale 0´25 puntos y por cada respuesta errónea se resta 0´05 puntos? Llamamos x e y a lo que se pide calcular. Con las puntuaciones se escribe otra ecuación. Con el dato de las 40 preguntas se escribe una ecuación. x = número de preguntas que has acertado y = número de preguntas que has fallado x + y = 40 Todas las respuestas correctas valen 0´25·x y todas las incorrectas restan 0´05·y Se resuelve el sistema por cualquier método. Por ejemplo por reducción. y = 10 0´25 0´25x + 0´25y = 10 –0´25x + 0´05y = –7 0´30y = 3 y = 3 0´30 x + 10 = 40 x = 40 – 10 x = 30 falladas acertadas Volver al menú