SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 28
PROBABILIDADES
APRENDIZAJES ESPERADOS

 • Definir el concepto de probabilidad


 • Resolver problemas que involucren probabilidad
   “clásica” , total o condicionada.

 • Aplicar las propiedades de las probabilidades en la
   resolución de problemas.
Contenidos
1. Probabilidades
  1.1 Definición

  1.2 Espacio muestral

  1.3 Evento o suceso


2. Probabilidad clásica
3. Propiedades
 3.1 Tipos de sucesos

     • Sucesos contrarios
     • Suceso seguro
     • Suceso imposible
4. Probabilidad total

5. Probabilidad compuesta
1. Probabilidades
1.1 Definición
    El concepto de probabilidad se encuentra con frecuencia en
    la comunicación entre las personas. Por ejemplo:

    1) El paciente tiene un 50% de probabilidad de
    sobrevivir a una operación determinada.


    2) Los alumnos del colegio Leonardo Da Vinci School tienen
    un 95% de probabilidades de ingresar a la universidad.



    En los ejemplos, se da la “medida” de la ocurrencia de un
    evento que es incierto (sobrevivir a la operación, o
    ingresar a la universidad), y ésta se expresa mediante un
    número entre 0 y 1, o en porcentaje.
Intuitivamente podemos observar que cuanto más probable
es que ocurra el evento, su medida de ocurrencia estará más
próximo a “1” o al 100%, y cuando menos probable, más se
aproximará a “0”.

De aquí se deduce que un hecho o evento que NO puede
ocurrir tendrá probabilidad cero y uno cuya probabilidad es
segura tendrá probabilidad uno.


Luego, si A representa un evento o suceso, se cumple que:




                      0 ≤ P(A) ≤ 1
1.2 Espacio muestral (E) o (Ω ):
    Es el conjunto formado por todos los resultados
    posibles de un experimento.
    Si un conjunto “A” tiene “m” elementos y un conjunto “B”
    tiene “n” elementos, entonces existen
    m·n elementos.

    Ejemplo:
    En el lanzamiento de monedas, la cantidad de resultados
    posibles se determina por el principio multiplicativo:

        1 moneda              2 posibilidades


        2 monedas             2·2 = 4 posibilidades

        3 monedas             2·2·2 = 8 posibilidades

        n monedas             2·2·2·2···2= 2n posibilidades
1.3 Evento o Suceso
   Corresponde a un subconjunto de un espacio muestral,
   asociado a un experimento aleatorio.


   Ejemplo:
   Al lanzar 2 monedas, ¿cuál es la probabilidad de que las dos
   sean caras?


    Solución:
   El espacio muestral (E) corresponde a:
   CC – CS – SC – SS (2 • 2 = 4 elementos)

   El suceso o evento pedido es que sean dos caras, entonces:
   CC (1 elemento)
2. Probabilidad clásica
  La probabilidad de un evento A: P(A), es un NÚMERO, que mide el grado de certeza
  en el que un evento A ocurre, y se obtiene con la formula conocida como REGLA DE
  LAPLACE:


                                         Casos favorables
                               P(A) =
                                           Casos posibles
  Ejemplo1:

¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado común salga un número primo?


   Solución:
El espacio muestral E, está dado por:
E={1, 2, 3, 4, 5, 6}, por lo tanto posee 6 elementos, es decir,
6 casos posibles.

 Sea A, el evento o suceso:
 A: que salga un número primo, entonces se tiene que:
 A={2, 3, 5}, por lo tanto posee 3 elementos, es decir, 3 casos favorables.
Por lo tanto:

   Casos posibles: 6 (1, 2, 3, 4, 5 y 6)

   Casos favorables (números primos): 3 (2, 3, y 5)

   Entonces:
             3          1
   P(A) =           =
               6        2
Ejemplo2:
 Al lanzar 2 monedas, ¿cuál es la probabilidad de que las dos
 sean caras?

Casos posibles: 4

Casos favorables (2 caras): 1
Entonces:

P(2 caras) = 1
             4
Ejemplo 1 : En la gran final del concurso por TV, la concursante elige un sobre.



        Solución:

  EA = La concursante
  elige un sobre
  Ω = {sobre A, sobre B}
  A = elegir el sobre A
  (para ganar el auto)
  P(A)=1/2
  B = elegir el sobre B
  (para ganar la casa)
  P(B)=1/2
3. Propiedades
 3.1 Tipos de sucesos

Probabilidad de un suceso contrario (A):
La probabilidad de que un suceso NO ocurra, o “probabilidad
de un suceso contrario”, se obtiene a través de:



                   P(A) = 1 - P(A)


               E

                    A         A
Ejemplo:
Si La probabilidad de que llueva es 2   , ¿cuál es la probabilidad
de que NO llueva?                   5

Solución:
             P(no llueva) = 1 - P(llueva)

            P(no llueva) = 1 -    2
                                  5
            P(no llueva) =    3
                              5
Probabilidad de un suceso seguro:

 Si se tiene certeza absoluta de que un evento A ocurrirá:

                 P(A) = 1
   Ejemplo:
   La probabilidad de obtener un número natural al lanzar
   un dado común es 1 (6 de 6).

   Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6)
   Casos favorables: 6 (1,2,3,4,5,6)


                 P(natural) =     6    =1
                                 6
Probabilidad de un suceso imposible:
 Si se tiene certeza absoluta de que un evento A NO ocurrirá:

                         P(A) = 0
   Ejemplo:
   La probabilidad de obtener un número mayor que 6 al lanzar
   un dado común es 0 (0 de 6).


   Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6)
   Casos favorables: 0



              P(mayor que 6) = 0      =0
                               6
4. Probabilidad total
 Eventos excluyentes
Corresponde a la probabilidad de que ocurra el suceso A ó el suceso B,
siendo éstos mutuamente excluyentes (NO PUEDEN OCURRIR JUNTOS ):


                       P(A B) = P(A) + P(B)
          Ejemplo:
          Al lanzar una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que salga
          cara o sello?
          Solución:     P(cara) = 1         y       P(sello) = 1
                                  2                            2

                        P(cara) ó P(sello) = P(cara) U P(sello)

                                         = P(cara) + P(sello)

                                         =    1 + 1
                                              2   2
                                         =1
EVENTOS NO EXCLUYENTES:
     Dos eventos A y B no son excluyentes si pueden ocurrir juntos.
     Es decir la ocurrencia de uno no excluye la ocurrencia del otro.
                         En símbolos (A ∩ B) ≠ Ø

                        P(A B) = P(A) + P(B) – P(A          B)
                                                          U
 Ejemplo:
Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menor
que 5 ó un número par?

Solución:
             Casos posibles 6 (1,2,3,4,5,6)

            Casos favorables (menor que 5): 4 (1,2,3,4)

                    ⇒    P (menor que 5) = 4
                                           6

            Casos favorables (número par): 3 (2,4,6)

                ⇒       P (número par) = 3
                                         6
Como 2 y 4 son menores que 5, y al mismo tiempo son
pares, se estarían considerando como casos favorables
dos veces.

Por lo tanto:
La probabilidad de que salga un número menor que 5 ó un
número par, al lanzar un dado se expresa como:


P (< 5) ó P(par) = P(<5) U P(par) – P(<5          par)
                                              U


                  = P(< 5) + P(par) – P(<5 y par)
                  =   4   +   3 - 2
                      6       6   6
                      5
                  =
                      6
5. Probabilidad compuesta

  Corresponde a la probabilidad de que ocurra el suceso A y el
  suceso B, siendo éstos dependientes o independientes.

 En este caso, ambos sucesos ocurren simultáneamente, A y B.




 Caso 1: Cuando A y B son eventos independientes, se cumple que:
                                U
                            A       B
             P( A       B ) = P(A) · P(B)
                    U
Ejemplo:
¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos veces un dado se
obtengan dos números pares?

Solución:
Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6)
Casos favorables: 3 (2,4,6)

Entonces:

              P(dos pares) = P(par) y P(par)

                              = P(par) · P(par)

                              =       3       3
                                          ·
                                  6           6

                                  1
                              =
                                  4
Caso 2: Cuando A y B son eventos dependientes corresponde
       a la Probabilidad Condicionada.

 Corresponde a la probabilidad de B tomando como espacio
 muestral a A, es decir, la probabilidad de que ocurra B
 dado que ha sucedido A.

                                 P(A       B)
                                       U
                   P (B/A) =
                                   P(A)
    Ejemplo1:
    Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un 4
    sabiendo que ha salido par?

    Solución:
    B: Sacar 4                             P (B/A) = 1
    A: Número par = { 2,4,6 }                        3
Los resultados de una encuesta sobre la actitud política de 334
      personas es el siguiente:



                      HOMBRES           MUJERES             TOTAL
    DERECHA                 145               42               187
    IZQUIERDA               51                96               147
    TOTAL                   196               138              334
Sea A:’ser hombre’ y B:’ser de derechas’
Se elige una persona al azar, ¿Cual es la probabilidad de que sea de derechas
sabiendo que es hombre?. Evidentemente la probabilidad pedida es:
                                                                        145
                                                                        196
  pues hay 196 varones de los cuales 145 son de derechas.
.
Esta probabilidad es la que llamamos Probabilidad condicionada del suceso B
respecto al suceso A.
Dicho de otro modo, la probabilidad condicionada de un suceso B respecto de otro A
es la probabilidad del suceso B sabiendo que previamente ha ocurrido el suceso A.



 Definición: Se llama probabilidad condicionada del suceso B respecto del suceso A, y lo denotamos por

             P ( B / A)    , al cociente:




                             P ( A / B)
  Análogamente se define




    De lo anterior se deducen claramente las relaciones siguientes:


                                                P ( A ∩ B ) = P ( A ) ×P ( B / A )
                                                P ( A ∩ B ) = P ( B ) ×P ( A / B )
Ejemplo: De una urna que contiene 9 bolas rojas y 5 negras,
se extraen sucesivamente 2 bolas. Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos:

Que las dos sean negras
Que las dos sean rojas
Que la segunda sea roja sabiendo que la primera fue negra.
Concepto de sucesos independientes.

Definición: Dos sucesos A y B se dicen independientes si

Ejemplo: Consideremos el experimento de extraer cartas de una baraja.
¿Cuál es la probabilidad de extraer dos reyes?

a) sin devolver la 1ª carta.
b) Con devolución


  Sol. a) :”conseguir rey en la 1ª extracción”
           :”conseguir rey en la 2ª extracción”




             b)
En un colegio hay 60 alumnos de Bachillerato.
De ellos 40 estudian inglés, 24 estudian francés y 12 los dos idiomas.
Se elige al azar un alumno. Determinar las probabilidades de los siguientes sucesos:

  a) Estudia al menos un idioma.
  b) No estudia inglés o estudia francés.
  c) Estudia francés sabiendo que también estudia inglés.
  d) Estudia francés sabiendo que estudia algún idioma.
  e) Estudia inglés sabiendo que no estudia francés.
Ejemplo 2:

 Se tiene una bolsa con 30 pelotitas entre blancas y rojas, de
 las cuales 12 son blancas, todas de igual peso y tamaño. Si se
 extraen 2 pelotitas al azar, sin reposición, ¿cuál es la
 probabilidad de que ambas sean blancas?


 Solución:
Primera extracción              Segunda extracción (Sin reposición)

Casos posibles: 30              Casos posibles: 29
Casos favorables: 12            Casos favorables: 11
 Entonces:
               P(dos blancas) = P(blanca) y P(blanca)

                               = P(blanca) · P(blanca)

                               =   12       11
                                        ·
                                   30       29
Los contenidos revisados anteriormente los puedes
encontrar en tu libro, desde la página 159 a la 165.

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Clase # 6 probabilidad compuesta
Clase # 6 probabilidad compuestaClase # 6 probabilidad compuesta
Clase # 6 probabilidad compuestaJaime Mejia
 
Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)
Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)
Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)ratix
 
118942272 fisica-ejercicios-resueltos-soluciones-optica-geometrica-selectivid...
118942272 fisica-ejercicios-resueltos-soluciones-optica-geometrica-selectivid...118942272 fisica-ejercicios-resueltos-soluciones-optica-geometrica-selectivid...
118942272 fisica-ejercicios-resueltos-soluciones-optica-geometrica-selectivid...Heleen L. Herrera
 
Teoria de Conjunto y Técnicas de Conteo aplicado a Probabilidad
Teoria de Conjunto y Técnicas de Conteo aplicado a ProbabilidadTeoria de Conjunto y Técnicas de Conteo aplicado a Probabilidad
Teoria de Conjunto y Técnicas de Conteo aplicado a ProbabilidadEnely Freitez
 
Matrices conmutable, idempotente, nilpotente, involutiva, elemental y equival...
Matrices conmutable, idempotente, nilpotente, involutiva, elemental y equival...Matrices conmutable, idempotente, nilpotente, involutiva, elemental y equival...
Matrices conmutable, idempotente, nilpotente, involutiva, elemental y equival...algebra
 
Distribuciones de probabilidad
Distribuciones de probabilidadDistribuciones de probabilidad
Distribuciones de probabilidadcoso16
 
Volumen de solidos_de_revolucion
Volumen de solidos_de_revolucionVolumen de solidos_de_revolucion
Volumen de solidos_de_revolucionEdixon Urquiola
 
Matematicas Longitud de arco
Matematicas Longitud de arcoMatematicas Longitud de arco
Matematicas Longitud de arcoNerii Martinez
 
propiedades de matrices y determinantes
propiedades de  matrices y determinantespropiedades de  matrices y determinantes
propiedades de matrices y determinantesplincoqueoc
 
Trabajo final de estadistica
Trabajo final de estadisticaTrabajo final de estadistica
Trabajo final de estadisticaCYALE19
 
electricidad y magnetismo ejercicios resueltos Capitulo 2
electricidad y magnetismo  ejercicios resueltos  Capitulo 2electricidad y magnetismo  ejercicios resueltos  Capitulo 2
electricidad y magnetismo ejercicios resueltos Capitulo 2J Alexander A Cabrera
 
Semana1 sucesiones y criterio de convergencia
Semana1 sucesiones y criterio de convergenciaSemana1 sucesiones y criterio de convergencia
Semana1 sucesiones y criterio de convergenciaMoises De La Cruz
 
Tarea 15 de PROBABILIDAD Y ESTADISTICA CON RESPUESTAS
Tarea 15 de PROBABILIDAD Y ESTADISTICA CON RESPUESTASTarea 15 de PROBABILIDAD Y ESTADISTICA CON RESPUESTAS
Tarea 15 de PROBABILIDAD Y ESTADISTICA CON RESPUESTASIPN
 
Curvas y superficies de nivel, trazado de funciones de 2 variables
Curvas y superficies de nivel, trazado de funciones de 2 variablesCurvas y superficies de nivel, trazado de funciones de 2 variables
Curvas y superficies de nivel, trazado de funciones de 2 variablesDaniel Orozco
 
Ejercicios propuestos Electrostática
Ejercicios propuestos ElectrostáticaEjercicios propuestos Electrostática
Ejercicios propuestos ElectrostáticaKike Prieto
 
2 probabilidad elemental
2 probabilidad elemental2 probabilidad elemental
2 probabilidad elementalClaudia Basurto
 
Cap3 movimiento armonico simple 2
Cap3 movimiento armonico simple 2Cap3 movimiento armonico simple 2
Cap3 movimiento armonico simple 2Abel JaguaR Acua
 

La actualidad más candente (20)

Clase # 6 probabilidad compuesta
Clase # 6 probabilidad compuestaClase # 6 probabilidad compuesta
Clase # 6 probabilidad compuesta
 
Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)
Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)
Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)
 
118942272 fisica-ejercicios-resueltos-soluciones-optica-geometrica-selectivid...
118942272 fisica-ejercicios-resueltos-soluciones-optica-geometrica-selectivid...118942272 fisica-ejercicios-resueltos-soluciones-optica-geometrica-selectivid...
118942272 fisica-ejercicios-resueltos-soluciones-optica-geometrica-selectivid...
 
Teorema de bayes
Teorema de bayesTeorema de bayes
Teorema de bayes
 
Teoria de Conjunto y Técnicas de Conteo aplicado a Probabilidad
Teoria de Conjunto y Técnicas de Conteo aplicado a ProbabilidadTeoria de Conjunto y Técnicas de Conteo aplicado a Probabilidad
Teoria de Conjunto y Técnicas de Conteo aplicado a Probabilidad
 
Matrices conmutable, idempotente, nilpotente, involutiva, elemental y equival...
Matrices conmutable, idempotente, nilpotente, involutiva, elemental y equival...Matrices conmutable, idempotente, nilpotente, involutiva, elemental y equival...
Matrices conmutable, idempotente, nilpotente, involutiva, elemental y equival...
 
Distribuciones de probabilidad
Distribuciones de probabilidadDistribuciones de probabilidad
Distribuciones de probabilidad
 
Volumen de solidos_de_revolucion
Volumen de solidos_de_revolucionVolumen de solidos_de_revolucion
Volumen de solidos_de_revolucion
 
Matematicas Longitud de arco
Matematicas Longitud de arcoMatematicas Longitud de arco
Matematicas Longitud de arco
 
propiedades de matrices y determinantes
propiedades de  matrices y determinantespropiedades de  matrices y determinantes
propiedades de matrices y determinantes
 
Distribucion Normal
Distribucion NormalDistribucion Normal
Distribucion Normal
 
Trabajo final de estadistica
Trabajo final de estadisticaTrabajo final de estadistica
Trabajo final de estadistica
 
electricidad y magnetismo ejercicios resueltos Capitulo 2
electricidad y magnetismo  ejercicios resueltos  Capitulo 2electricidad y magnetismo  ejercicios resueltos  Capitulo 2
electricidad y magnetismo ejercicios resueltos Capitulo 2
 
Semana1 sucesiones y criterio de convergencia
Semana1 sucesiones y criterio de convergenciaSemana1 sucesiones y criterio de convergencia
Semana1 sucesiones y criterio de convergencia
 
Tarea 15 de PROBABILIDAD Y ESTADISTICA CON RESPUESTAS
Tarea 15 de PROBABILIDAD Y ESTADISTICA CON RESPUESTASTarea 15 de PROBABILIDAD Y ESTADISTICA CON RESPUESTAS
Tarea 15 de PROBABILIDAD Y ESTADISTICA CON RESPUESTAS
 
Curvas y superficies de nivel, trazado de funciones de 2 variables
Curvas y superficies de nivel, trazado de funciones de 2 variablesCurvas y superficies de nivel, trazado de funciones de 2 variables
Curvas y superficies de nivel, trazado de funciones de 2 variables
 
Ejercicios propuestos Electrostática
Ejercicios propuestos ElectrostáticaEjercicios propuestos Electrostática
Ejercicios propuestos Electrostática
 
5 conceptos de probabilidad (ii)
5 conceptos de probabilidad (ii)5 conceptos de probabilidad (ii)
5 conceptos de probabilidad (ii)
 
2 probabilidad elemental
2 probabilidad elemental2 probabilidad elemental
2 probabilidad elemental
 
Cap3 movimiento armonico simple 2
Cap3 movimiento armonico simple 2Cap3 movimiento armonico simple 2
Cap3 movimiento armonico simple 2
 

Similar a Probabilidad

Similar a Probabilidad (20)

Probabilidades
ProbabilidadesProbabilidades
Probabilidades
 
Probabilidades
ProbabilidadesProbabilidades
Probabilidades
 
Probabilidades
ProbabilidadesProbabilidades
Probabilidades
 
Probabilidades
ProbabilidadesProbabilidades
Probabilidades
 
Probabilidades
ProbabilidadesProbabilidades
Probabilidades
 
Probabilidades
ProbabilidadesProbabilidades
Probabilidades
 
Arbol de decisiones
Arbol de decisionesArbol de decisiones
Arbol de decisiones
 
4 elementos de la probabilidad
4 elementos de la probabilidad4 elementos de la probabilidad
4 elementos de la probabilidad
 
Probabilidad 1
Probabilidad 1Probabilidad 1
Probabilidad 1
 
ACT_04_Tema_06_Resumen.ppt
ACT_04_Tema_06_Resumen.pptACT_04_Tema_06_Resumen.ppt
ACT_04_Tema_06_Resumen.ppt
 
Probabilidad
ProbabilidadProbabilidad
Probabilidad
 
Probabilidad Saltos Lissette
Probabilidad Saltos LissetteProbabilidad Saltos Lissette
Probabilidad Saltos Lissette
 
Tipos de probabilidades
Tipos de probabilidadesTipos de probabilidades
Tipos de probabilidades
 
Tipos de probabilidades
Tipos de probabilidadesTipos de probabilidades
Tipos de probabilidades
 
Elementos de la probabilidad y axiomas de probabilidad
 Elementos de la probabilidad y axiomas de probabilidad  Elementos de la probabilidad y axiomas de probabilidad
Elementos de la probabilidad y axiomas de probabilidad
 
Probabilidad 1 (1)
Probabilidad 1 (1)Probabilidad 1 (1)
Probabilidad 1 (1)
 
Leyes de probabilidad
Leyes de probabilidadLeyes de probabilidad
Leyes de probabilidad
 
13_Propiedades Probabilidad_2022.pdf
13_Propiedades Probabilidad_2022.pdf13_Propiedades Probabilidad_2022.pdf
13_Propiedades Probabilidad_2022.pdf
 
Definición de probabiidad
Definición de probabiidadDefinición de probabiidad
Definición de probabiidad
 
Unidad1 probabilidad
Unidad1 probabilidadUnidad1 probabilidad
Unidad1 probabilidad
 

Más de Sita Yani's

área de un círculo
área de un círculo área de un círculo
área de un círculo Sita Yani's
 
Guia de relaciones y funciones psu
Guia de relaciones y funciones psuGuia de relaciones y funciones psu
Guia de relaciones y funciones psuSita Yani's
 
Clasificacion de funciones
Clasificacion de funcionesClasificacion de funciones
Clasificacion de funcionesSita Yani's
 
Ejercicios clase 1 congruencias
Ejercicios clase 1 congruenciasEjercicios clase 1 congruencias
Ejercicios clase 1 congruenciasSita Yani's
 
Area y volumen cuarto medio
Area y volumen cuarto medioArea y volumen cuarto medio
Area y volumen cuarto medioSita Yani's
 
Repaso transformaciones isometricas
Repaso transformaciones isometricasRepaso transformaciones isometricas
Repaso transformaciones isometricasSita Yani's
 
El teorema de pitágoras con papel y tijeras
El teorema de pitágoras con papel y tijerasEl teorema de pitágoras con papel y tijeras
El teorema de pitágoras con papel y tijerasSita Yani's
 
ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones lineales para estudiar
ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones lineales para estudiarejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones lineales para estudiar
ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones lineales para estudiarSita Yani's
 
Estadistica nuevo
Estadistica nuevoEstadistica nuevo
Estadistica nuevoSita Yani's
 
Area y volumen cuarto medio
Area y volumen cuarto medioArea y volumen cuarto medio
Area y volumen cuarto medioSita Yani's
 
Sistema segundo medio
Sistema segundo medioSistema segundo medio
Sistema segundo medioSita Yani's
 
Teorema de thales
Teorema de thalesTeorema de thales
Teorema de thalesSita Yani's
 
Repaso transformaciones isometricas
Repaso transformaciones isometricasRepaso transformaciones isometricas
Repaso transformaciones isometricasSita Yani's
 
Funcinpotenciaexponencialylogaritmica 110418104920-phpapp02
Funcinpotenciaexponencialylogaritmica 110418104920-phpapp02Funcinpotenciaexponencialylogaritmica 110418104920-phpapp02
Funcinpotenciaexponencialylogaritmica 110418104920-phpapp02Sita Yani's
 
Relaciones metricas en la circunferencia
Relaciones metricas en la circunferenciaRelaciones metricas en la circunferencia
Relaciones metricas en la circunferenciaSita Yani's
 

Más de Sita Yani's (20)

área de un círculo
área de un círculo área de un círculo
área de un círculo
 
Estadistica
Estadistica Estadistica
Estadistica
 
Guia de relaciones y funciones psu
Guia de relaciones y funciones psuGuia de relaciones y funciones psu
Guia de relaciones y funciones psu
 
Clasificacion de funciones
Clasificacion de funcionesClasificacion de funciones
Clasificacion de funciones
 
Semejanza12
Semejanza12Semejanza12
Semejanza12
 
Ejercicios clase 1 congruencias
Ejercicios clase 1 congruenciasEjercicios clase 1 congruencias
Ejercicios clase 1 congruencias
 
Area y volumen cuarto medio
Area y volumen cuarto medioArea y volumen cuarto medio
Area y volumen cuarto medio
 
Repaso transformaciones isometricas
Repaso transformaciones isometricasRepaso transformaciones isometricas
Repaso transformaciones isometricas
 
El teorema de pitágoras con papel y tijeras
El teorema de pitágoras con papel y tijerasEl teorema de pitágoras con papel y tijeras
El teorema de pitágoras con papel y tijeras
 
ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones lineales para estudiar
ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones lineales para estudiarejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones lineales para estudiar
ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones lineales para estudiar
 
Estadistica nuevo
Estadistica nuevoEstadistica nuevo
Estadistica nuevo
 
Completo areas
Completo areasCompleto areas
Completo areas
 
Area y volumen cuarto medio
Area y volumen cuarto medioArea y volumen cuarto medio
Area y volumen cuarto medio
 
Sistema segundo medio
Sistema segundo medioSistema segundo medio
Sistema segundo medio
 
Guia dos thales
Guia dos thalesGuia dos thales
Guia dos thales
 
Teorema de thales
Teorema de thalesTeorema de thales
Teorema de thales
 
Repaso transformaciones isometricas
Repaso transformaciones isometricasRepaso transformaciones isometricas
Repaso transformaciones isometricas
 
Logaritmos
LogaritmosLogaritmos
Logaritmos
 
Funcinpotenciaexponencialylogaritmica 110418104920-phpapp02
Funcinpotenciaexponencialylogaritmica 110418104920-phpapp02Funcinpotenciaexponencialylogaritmica 110418104920-phpapp02
Funcinpotenciaexponencialylogaritmica 110418104920-phpapp02
 
Relaciones metricas en la circunferencia
Relaciones metricas en la circunferenciaRelaciones metricas en la circunferencia
Relaciones metricas en la circunferencia
 

Probabilidad

  • 2. APRENDIZAJES ESPERADOS • Definir el concepto de probabilidad • Resolver problemas que involucren probabilidad “clásica” , total o condicionada. • Aplicar las propiedades de las probabilidades en la resolución de problemas.
  • 3. Contenidos 1. Probabilidades 1.1 Definición 1.2 Espacio muestral 1.3 Evento o suceso 2. Probabilidad clásica 3. Propiedades 3.1 Tipos de sucesos • Sucesos contrarios • Suceso seguro • Suceso imposible
  • 4. 4. Probabilidad total 5. Probabilidad compuesta
  • 5. 1. Probabilidades 1.1 Definición El concepto de probabilidad se encuentra con frecuencia en la comunicación entre las personas. Por ejemplo: 1) El paciente tiene un 50% de probabilidad de sobrevivir a una operación determinada. 2) Los alumnos del colegio Leonardo Da Vinci School tienen un 95% de probabilidades de ingresar a la universidad. En los ejemplos, se da la “medida” de la ocurrencia de un evento que es incierto (sobrevivir a la operación, o ingresar a la universidad), y ésta se expresa mediante un número entre 0 y 1, o en porcentaje.
  • 6. Intuitivamente podemos observar que cuanto más probable es que ocurra el evento, su medida de ocurrencia estará más próximo a “1” o al 100%, y cuando menos probable, más se aproximará a “0”. De aquí se deduce que un hecho o evento que NO puede ocurrir tendrá probabilidad cero y uno cuya probabilidad es segura tendrá probabilidad uno. Luego, si A representa un evento o suceso, se cumple que: 0 ≤ P(A) ≤ 1
  • 7. 1.2 Espacio muestral (E) o (Ω ): Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento. Si un conjunto “A” tiene “m” elementos y un conjunto “B” tiene “n” elementos, entonces existen m·n elementos. Ejemplo: En el lanzamiento de monedas, la cantidad de resultados posibles se determina por el principio multiplicativo: 1 moneda 2 posibilidades 2 monedas 2·2 = 4 posibilidades 3 monedas 2·2·2 = 8 posibilidades n monedas 2·2·2·2···2= 2n posibilidades
  • 8. 1.3 Evento o Suceso Corresponde a un subconjunto de un espacio muestral, asociado a un experimento aleatorio. Ejemplo: Al lanzar 2 monedas, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean caras? Solución: El espacio muestral (E) corresponde a: CC – CS – SC – SS (2 • 2 = 4 elementos) El suceso o evento pedido es que sean dos caras, entonces: CC (1 elemento)
  • 9. 2. Probabilidad clásica La probabilidad de un evento A: P(A), es un NÚMERO, que mide el grado de certeza en el que un evento A ocurre, y se obtiene con la formula conocida como REGLA DE LAPLACE: Casos favorables P(A) = Casos posibles Ejemplo1: ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado común salga un número primo? Solución: El espacio muestral E, está dado por: E={1, 2, 3, 4, 5, 6}, por lo tanto posee 6 elementos, es decir, 6 casos posibles. Sea A, el evento o suceso: A: que salga un número primo, entonces se tiene que: A={2, 3, 5}, por lo tanto posee 3 elementos, es decir, 3 casos favorables.
  • 10. Por lo tanto: Casos posibles: 6 (1, 2, 3, 4, 5 y 6) Casos favorables (números primos): 3 (2, 3, y 5) Entonces: 3 1 P(A) = = 6 2 Ejemplo2: Al lanzar 2 monedas, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean caras? Casos posibles: 4 Casos favorables (2 caras): 1 Entonces: P(2 caras) = 1 4
  • 11. Ejemplo 1 : En la gran final del concurso por TV, la concursante elige un sobre. Solución: EA = La concursante elige un sobre Ω = {sobre A, sobre B} A = elegir el sobre A (para ganar el auto) P(A)=1/2 B = elegir el sobre B (para ganar la casa) P(B)=1/2
  • 12. 3. Propiedades 3.1 Tipos de sucesos Probabilidad de un suceso contrario (A): La probabilidad de que un suceso NO ocurra, o “probabilidad de un suceso contrario”, se obtiene a través de: P(A) = 1 - P(A) E A A
  • 13. Ejemplo: Si La probabilidad de que llueva es 2 , ¿cuál es la probabilidad de que NO llueva? 5 Solución: P(no llueva) = 1 - P(llueva) P(no llueva) = 1 - 2 5 P(no llueva) = 3 5
  • 14. Probabilidad de un suceso seguro: Si se tiene certeza absoluta de que un evento A ocurrirá: P(A) = 1 Ejemplo: La probabilidad de obtener un número natural al lanzar un dado común es 1 (6 de 6). Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6) Casos favorables: 6 (1,2,3,4,5,6) P(natural) = 6 =1 6
  • 15. Probabilidad de un suceso imposible: Si se tiene certeza absoluta de que un evento A NO ocurrirá: P(A) = 0 Ejemplo: La probabilidad de obtener un número mayor que 6 al lanzar un dado común es 0 (0 de 6). Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6) Casos favorables: 0 P(mayor que 6) = 0 =0 6
  • 16. 4. Probabilidad total Eventos excluyentes Corresponde a la probabilidad de que ocurra el suceso A ó el suceso B, siendo éstos mutuamente excluyentes (NO PUEDEN OCURRIR JUNTOS ): P(A B) = P(A) + P(B) Ejemplo: Al lanzar una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que salga cara o sello? Solución: P(cara) = 1 y P(sello) = 1 2 2 P(cara) ó P(sello) = P(cara) U P(sello) = P(cara) + P(sello) = 1 + 1 2 2 =1
  • 17. EVENTOS NO EXCLUYENTES: Dos eventos A y B no son excluyentes si pueden ocurrir juntos. Es decir la ocurrencia de uno no excluye la ocurrencia del otro. En símbolos (A ∩ B) ≠ Ø P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) U Ejemplo: Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menor que 5 ó un número par? Solución: Casos posibles 6 (1,2,3,4,5,6) Casos favorables (menor que 5): 4 (1,2,3,4) ⇒ P (menor que 5) = 4 6 Casos favorables (número par): 3 (2,4,6) ⇒ P (número par) = 3 6
  • 18. Como 2 y 4 son menores que 5, y al mismo tiempo son pares, se estarían considerando como casos favorables dos veces. Por lo tanto: La probabilidad de que salga un número menor que 5 ó un número par, al lanzar un dado se expresa como: P (< 5) ó P(par) = P(<5) U P(par) – P(<5 par) U = P(< 5) + P(par) – P(<5 y par) = 4 + 3 - 2 6 6 6 5 = 6
  • 19. 5. Probabilidad compuesta Corresponde a la probabilidad de que ocurra el suceso A y el suceso B, siendo éstos dependientes o independientes. En este caso, ambos sucesos ocurren simultáneamente, A y B. Caso 1: Cuando A y B son eventos independientes, se cumple que: U A B P( A B ) = P(A) · P(B) U
  • 20. Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos veces un dado se obtengan dos números pares? Solución: Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6) Casos favorables: 3 (2,4,6) Entonces: P(dos pares) = P(par) y P(par) = P(par) · P(par) = 3 3 · 6 6 1 = 4
  • 21. Caso 2: Cuando A y B son eventos dependientes corresponde a la Probabilidad Condicionada. Corresponde a la probabilidad de B tomando como espacio muestral a A, es decir, la probabilidad de que ocurra B dado que ha sucedido A. P(A B) U P (B/A) = P(A) Ejemplo1: Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un 4 sabiendo que ha salido par? Solución: B: Sacar 4 P (B/A) = 1 A: Número par = { 2,4,6 } 3
  • 22. Los resultados de una encuesta sobre la actitud política de 334 personas es el siguiente: HOMBRES MUJERES TOTAL DERECHA 145 42 187 IZQUIERDA 51 96 147 TOTAL 196 138 334 Sea A:’ser hombre’ y B:’ser de derechas’ Se elige una persona al azar, ¿Cual es la probabilidad de que sea de derechas sabiendo que es hombre?. Evidentemente la probabilidad pedida es: 145 196 pues hay 196 varones de los cuales 145 son de derechas.
  • 23. . Esta probabilidad es la que llamamos Probabilidad condicionada del suceso B respecto al suceso A. Dicho de otro modo, la probabilidad condicionada de un suceso B respecto de otro A es la probabilidad del suceso B sabiendo que previamente ha ocurrido el suceso A. Definición: Se llama probabilidad condicionada del suceso B respecto del suceso A, y lo denotamos por P ( B / A) , al cociente: P ( A / B) Análogamente se define De lo anterior se deducen claramente las relaciones siguientes: P ( A ∩ B ) = P ( A ) ×P ( B / A ) P ( A ∩ B ) = P ( B ) ×P ( A / B )
  • 24. Ejemplo: De una urna que contiene 9 bolas rojas y 5 negras, se extraen sucesivamente 2 bolas. Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos: Que las dos sean negras Que las dos sean rojas Que la segunda sea roja sabiendo que la primera fue negra.
  • 25. Concepto de sucesos independientes. Definición: Dos sucesos A y B se dicen independientes si Ejemplo: Consideremos el experimento de extraer cartas de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos reyes? a) sin devolver la 1ª carta. b) Con devolución Sol. a) :”conseguir rey en la 1ª extracción” :”conseguir rey en la 2ª extracción” b)
  • 26. En un colegio hay 60 alumnos de Bachillerato. De ellos 40 estudian inglés, 24 estudian francés y 12 los dos idiomas. Se elige al azar un alumno. Determinar las probabilidades de los siguientes sucesos: a) Estudia al menos un idioma. b) No estudia inglés o estudia francés. c) Estudia francés sabiendo que también estudia inglés. d) Estudia francés sabiendo que estudia algún idioma. e) Estudia inglés sabiendo que no estudia francés.
  • 27. Ejemplo 2: Se tiene una bolsa con 30 pelotitas entre blancas y rojas, de las cuales 12 son blancas, todas de igual peso y tamaño. Si se extraen 2 pelotitas al azar, sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas? Solución: Primera extracción Segunda extracción (Sin reposición) Casos posibles: 30 Casos posibles: 29 Casos favorables: 12 Casos favorables: 11 Entonces: P(dos blancas) = P(blanca) y P(blanca) = P(blanca) · P(blanca) = 12 11 · 30 29
  • 28. Los contenidos revisados anteriormente los puedes encontrar en tu libro, desde la página 159 a la 165.