1. PROBABILIDADES

2. APRENDIZAJES ESPERADOS
• Definir el concepto de probabilidad
• Resolver problemas que involucren probabilidad
“clásica” , total o condicionada.
• Aplicar las propiedades de las probabilidades en la
resolución de problemas.

3. Contenidos
1. Probabilidades
1.1 Definición
1.2 Espacio muestral
1.3 Evento o suceso
2. Probabilidad clásica
3. Propiedades
3.1 Tipos de sucesos
• Sucesos contrarios
• Suceso seguro
• Suceso imposible

4. 4. Probabilidad total
5. Probabilidad compuesta

5. 1. Probabilidades
1.1 Definición
El concepto de probabilidad se encuentra con frecuencia en
la comunicación entre las personas. Por ejemplo:
1) El paciente tiene un 50% de probabilidad de
sobrevivir a una operación determinada.
2) Los alumnos del colegio Leonardo Da Vinci School tienen
un 95% de probabilidades de ingresar a la universidad.
En los ejemplos, se da la “medida” de la ocurrencia de un
evento que es incierto (sobrevivir a la operación, o
ingresar a la universidad), y ésta se expresa mediante un
número entre 0 y 1, o en porcentaje.

6. Intuitivamente podemos observar que cuanto más probable
es que ocurra el evento, su medida de ocurrencia estará más
próximo a “1” o al 100%, y cuando menos probable, más se
aproximará a “0”.
De aquí se deduce que un hecho o evento que NO puede
ocurrir tendrá probabilidad cero y uno cuya probabilidad es
segura tendrá probabilidad uno.
Luego, si A representa un evento o suceso, se cumple que:
0 ≤ P(A) ≤ 1

7. 1.2 Espacio muestral (E) o (Ω ):
Es el conjunto formado por todos los resultados
posibles de un experimento.
Si un conjunto “A” tiene “m” elementos y un conjunto “B”
tiene “n” elementos, entonces existen
m·n elementos.
Ejemplo:
En el lanzamiento de monedas, la cantidad de resultados
posibles se determina por el principio multiplicativo:
1 moneda 2 posibilidades
2 monedas 2·2 = 4 posibilidades
3 monedas 2·2·2 = 8 posibilidades
n monedas 2·2·2·2···2= 2n posibilidades

8. 1.3 Evento o Suceso
Corresponde a un subconjunto de un espacio muestral,
asociado a un experimento aleatorio.
Ejemplo:
Al lanzar 2 monedas, ¿cuál es la probabilidad de que las dos
sean caras?
Solución:
El espacio muestral (E) corresponde a:
CC – CS – SC – SS (2 • 2 = 4 elementos)
El suceso o evento pedido es que sean dos caras, entonces:
CC (1 elemento)

9. 2. Probabilidad clásica
La probabilidad de un evento A: P(A), es un NÚMERO, que mide el grado de certeza
en el que un evento A ocurre, y se obtiene con la formula conocida como REGLA DE
LAPLACE:
Casos favorables
P(A) =
Casos posibles
Ejemplo1:
¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado común salga un número primo?
Solución:
El espacio muestral E, está dado por:
E={1, 2, 3, 4, 5, 6}, por lo tanto posee 6 elementos, es decir,
6 casos posibles.
Sea A, el evento o suceso:
A: que salga un número primo, entonces se tiene que:
A={2, 3, 5}, por lo tanto posee 3 elementos, es decir, 3 casos favorables.

10. Por lo tanto:
Casos posibles: 6 (1, 2, 3, 4, 5 y 6)
Casos favorables (números primos): 3 (2, 3, y 5)
Entonces:
3 1
P(A) = =
6 2
Ejemplo2:
Al lanzar 2 monedas, ¿cuál es la probabilidad de que las dos
sean caras?
Casos posibles: 4
Casos favorables (2 caras): 1
Entonces:
P(2 caras) = 1
4

11. Ejemplo 1 : En la gran final del concurso por TV, la concursante elige un sobre.
Solución:
EA = La concursante
elige un sobre
Ω = {sobre A, sobre B}
A = elegir el sobre A
(para ganar el auto)
P(A)=1/2
B = elegir el sobre B
(para ganar la casa)
P(B)=1/2

12. 3. Propiedades
3.1 Tipos de sucesos
Probabilidad de un suceso contrario (A):
La probabilidad de que un suceso NO ocurra, o “probabilidad
de un suceso contrario”, se obtiene a través de:
P(A) = 1 - P(A)
E
A A

13. Ejemplo:
Si La probabilidad de que llueva es 2 , ¿cuál es la probabilidad
de que NO llueva? 5
Solución:
P(no llueva) = 1 - P(llueva)
P(no llueva) = 1 - 2
5
P(no llueva) = 3
5

14. Probabilidad de un suceso seguro:
Si se tiene certeza absoluta de que un evento A ocurrirá:
P(A) = 1
Ejemplo:
La probabilidad de obtener un número natural al lanzar
un dado común es 1 (6 de 6).
Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6)
Casos favorables: 6 (1,2,3,4,5,6)
P(natural) = 6 =1
6

15. Probabilidad de un suceso imposible:
Si se tiene certeza absoluta de que un evento A NO ocurrirá:
P(A) = 0
Ejemplo:
La probabilidad de obtener un número mayor que 6 al lanzar
un dado común es 0 (0 de 6).
Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6)
Casos favorables: 0
P(mayor que 6) = 0 =0
6

16. 4. Probabilidad total
Eventos excluyentes
Corresponde a la probabilidad de que ocurra el suceso A ó el suceso B,
siendo éstos mutuamente excluyentes (NO PUEDEN OCURRIR JUNTOS ):
P(A B) = P(A) + P(B)
Ejemplo:
Al lanzar una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que salga
cara o sello?
Solución: P(cara) = 1 y P(sello) = 1
2 2
P(cara) ó P(sello) = P(cara) U P(sello)
= P(cara) + P(sello)
= 1 + 1
2 2
=1

17. EVENTOS NO EXCLUYENTES:
Dos eventos A y B no son excluyentes si pueden ocurrir juntos.
Es decir la ocurrencia de uno no excluye la ocurrencia del otro.
En símbolos (A ∩ B) ≠ Ø
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
U
Ejemplo:
Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menor
que 5 ó un número par?
Solución:
Casos posibles 6 (1,2,3,4,5,6)
Casos favorables (menor que 5): 4 (1,2,3,4)
⇒ P (menor que 5) = 4
6
Casos favorables (número par): 3 (2,4,6)
⇒ P (número par) = 3
6

18. Como 2 y 4 son menores que 5, y al mismo tiempo son
pares, se estarían considerando como casos favorables
dos veces.
Por lo tanto:
La probabilidad de que salga un número menor que 5 ó un
número par, al lanzar un dado se expresa como:
P (< 5) ó P(par) = P(<5) U P(par) – P(<5 par)
U
= P(< 5) + P(par) – P(<5 y par)
= 4 + 3 - 2
6 6 6
5
=
6

19. 5. Probabilidad compuesta
Corresponde a la probabilidad de que ocurra el suceso A y el
suceso B, siendo éstos dependientes o independientes.
En este caso, ambos sucesos ocurren simultáneamente, A y B.
Caso 1: Cuando A y B son eventos independientes, se cumple que:
U
A B
P( A B ) = P(A) · P(B)
U

20. Ejemplo:
¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos veces un dado se
obtengan dos números pares?
Solución:
Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6)
Casos favorables: 3 (2,4,6)
Entonces:
P(dos pares) = P(par) y P(par)
= P(par) · P(par)
= 3 3
·
6 6
1
=
4

21. Caso 2: Cuando A y B son eventos dependientes corresponde
a la Probabilidad Condicionada.
Corresponde a la probabilidad de B tomando como espacio
muestral a A, es decir, la probabilidad de que ocurra B
dado que ha sucedido A.
P(A B)
U
P (B/A) =
P(A)
Ejemplo1:
Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un 4
sabiendo que ha salido par?
Solución:
B: Sacar 4 P (B/A) = 1
A: Número par = { 2,4,6 } 3

22. Los resultados de una encuesta sobre la actitud política de 334
personas es el siguiente:
HOMBRES MUJERES TOTAL
DERECHA 145 42 187
IZQUIERDA 51 96 147
TOTAL 196 138 334
Sea A:’ser hombre’ y B:’ser de derechas’
Se elige una persona al azar, ¿Cual es la probabilidad de que sea de derechas
sabiendo que es hombre?. Evidentemente la probabilidad pedida es:
145
196
pues hay 196 varones de los cuales 145 son de derechas.

23. .
Esta probabilidad es la que llamamos Probabilidad condicionada del suceso B
respecto al suceso A.
Dicho de otro modo, la probabilidad condicionada de un suceso B respecto de otro A
es la probabilidad del suceso B sabiendo que previamente ha ocurrido el suceso A.
Definición: Se llama probabilidad condicionada del suceso B respecto del suceso A, y lo denotamos por
P ( B / A) , al cociente:
P ( A / B)
Análogamente se define
De lo anterior se deducen claramente las relaciones siguientes:
P ( A ∩ B ) = P ( A ) ×P ( B / A )
P ( A ∩ B ) = P ( B ) ×P ( A / B )

24. Ejemplo: De una urna que contiene 9 bolas rojas y 5 negras,
se extraen sucesivamente 2 bolas. Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos:
Que las dos sean negras
Que las dos sean rojas
Que la segunda sea roja sabiendo que la primera fue negra.

25. Concepto de sucesos independientes.
Definición: Dos sucesos A y B se dicen independientes si
Ejemplo: Consideremos el experimento de extraer cartas de una baraja.
¿Cuál es la probabilidad de extraer dos reyes?
a) sin devolver la 1ª carta.
b) Con devolución
Sol. a) :”conseguir rey en la 1ª extracción”
:”conseguir rey en la 2ª extracción”
b)

26. En un colegio hay 60 alumnos de Bachillerato.
De ellos 40 estudian inglés, 24 estudian francés y 12 los dos idiomas.
Se elige al azar un alumno. Determinar las probabilidades de los siguientes sucesos:
a) Estudia al menos un idioma.
b) No estudia inglés o estudia francés.
c) Estudia francés sabiendo que también estudia inglés.
d) Estudia francés sabiendo que estudia algún idioma.
e) Estudia inglés sabiendo que no estudia francés.

27. Ejemplo 2:
Se tiene una bolsa con 30 pelotitas entre blancas y rojas, de
las cuales 12 son blancas, todas de igual peso y tamaño. Si se
extraen 2 pelotitas al azar, sin reposición, ¿cuál es la
probabilidad de que ambas sean blancas?
Solución:
Primera extracción Segunda extracción (Sin reposición)
Casos posibles: 30 Casos posibles: 29
Casos favorables: 12 Casos favorables: 11
Entonces:
P(dos blancas) = P(blanca) y P(blanca)
= P(blanca) · P(blanca)
= 12 11
·
30 29

28. Los contenidos revisados anteriormente los puedes
encontrar en tu libro, desde la página 159 a la 165.