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Plan de Clases
´ Asistencia del estudiante.
´ Resultado de aprendizaje.
´ Unidades, cantidades físicas y errores
´ Fin de la clase.
Resultado de aprendizaje
´ Usar la física como forma de entender la naturaleza.
Obtener órdenes de magnitud, de magnitudes físicas,
por medio de hipótesis razonables y cálculos
sencillos.
´ Definir y aplicar conceptos vectoriales y de física
como herramienta básica de resolución de
problemas haciendo un uso adecuado de los
sistemas de referencia y de las cifras significativas.
´ Aprender a representar y distinguir los distintos tipos de
vectores.
´ Uso de cosenos directores y vectores unitarios en la
resolución de problemas.
Introducción a la Física
´ Introducción
´ Medición y unidades
´ Notación científica
´ Análisis dimensional
´ Conversión de unidades
´ Orden de magnitud
´ Errores en las medidas
´ Medidas directas
´ Cifras significativas:
Redondeo
´ Error absoluto y relativo:
Análisis del error
´ Medidas indirectas
´ Leyes físicas: Análisis de
la dependencia entre
variables
´ Gráficas
BIBLIOGRAFÍA:
Cap. 1 del Sears y Zemansky vol 1, 13ª ed.
Cap. 1 del Serway–Jewett, vol. 1, 7ª ed.
Cap. 1 del Tipler–Mosca, vol. 1, 5ª ed.
Introducción
Física para bachillerato - unicoos
https://www.youtube.com/user/d
avidcpv
Javier Garcia – Física
https://www.youtube.com/user/ja
mesjamesbondbond
Instituto de Física Teórica
https://www.youtube.com/user/IF
TMadrid
Date un Voltio
https://www.youtube.com/chann
el/UCns-8DssCBba7M4nu7wk7Aw
C de Ciencias -
https://www.youtube.com/chann
el/UC52hytXteCKmuOzMViTK8_w
El robot de Platón
https://www.youtube.com/user/El
RobotdePlaton
WikiSeba - Biología
https://www.youtube.com/user/i
mrdu3000
Derivando - Matemáticas
https://www.youtube.com/chann
el/UCH-Z8ya93m7_RD02WsCSZYA
DotCSV – Inteligencia Artificial
https://www.youtube.com/chann
el/UCy5znSnfMsDwaLlROnZ7Qbg
Introducción
La física (del latín physica, y este del griego antiguo
φυσικός, «natural, relativo a la naturaleza») es la ciencia
natural que estudia las componentes fundamentales del
Universo, la energía, la materia, el espacio-tiempo y las
interacciones fundamentales. La física es una ciencia
básica, estrechamente vinculada con las matemáticas y
la lógica en la formulación y cuantificación de sus
principios. Wikipedia
El método científico consiste en construir, probar y
relacionar modelos con el objetivo de describir, explicar
y predecir la realidad. Tipler-Mosca
Introducción
La filosofía [natural] está escrita en ese grandioso libro que
tenemos abierto ante los ojos, (quiero decir, el universo),
pero no se puede entender si antes no se aprende a entender
la lengua, a conocer los caracteres en los que está escrito.
Está escrito en lengua matemática y sus caracteres son
triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las
cuales es imposible entender ni una palabra; sin ellos es
como girar vanamente en un oscuro laberinto.
https://dl.wdl.org/4184/service/4184.pdf
Medición y unidades
Análisis dimensional
Magnitud - Todo aquello que puede ser expresado mediante un número y una
unidad de medida, denominada magnitud
Medir, es determinar el valor de una magnitud física comparándola con un patrón
que se denomina unidad de medida.
Cualquier valor numérico resultante de una medida debe ir acompañado de sus unidades. El sistema de unidades más utilizado
es el Sistema Internacional (SI) de unidades, pero hay otros.
Magnitud
Longitud
Masa
Tiempo
Temperatura
Corriente eléctrica
Intensidad luminosa
Cantidad de sustancia
Unidad
metro (m)
kilogramo (kg)
segundo (s)
kelvin (K)
amperio (A)
candela (cd)
mol (mol)
Sistema Internacional (SI o MKS)
Dimensión
L
M
T
q
I
J
N
El SI está constituido por 7 unidades
básicas o fundamentales
Cualquier otra unidad diferente de
las anteriores será derivada de éstas.
Otro sistema es el cegesimal (CGS),
cuyas unidades son el centímetro
(longitud), el gramo (masa) y el
segundo (tiempo)
•Para la masa se usa el kilogramo (kg). [M]
•Para la longitud se usa el metro (m). [L]
•Para el tiempo se usa el segundo (s). [T]
•Para la temperatura el kelvin (K).
•Para la intensidad luminosa se usa la candela (cd).
•Para la cantidad de sustancia se usa el mol.
•Para la intensidad de corriente se usa el amperio (A).
Magnitudes básicas
Sistema Internacional
MEDICIÓN Y UNIDADES: SI
Unidad de longitud: metro (m)
El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la
luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo.
Unidad de masa
El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional
del kilogramo, que se guarda en la Oficina Internacional de
Pesas y Medidas (Francia). El kilogramo se definirá en términos
de la constante de Planck, para garantizar su estabilidad a largo
plazo. [balanza de Watt (a veces balanza de Kibble o balanza de
potencia)]
Unidad de tiempo
El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 periodos de la
radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles
hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.
La velocidad de la luz queda convencionalmente fijada y
exactamente igual a (midiendo frecuencia y la longitud de
onda) c=299 792 458.0 m/s con un error de ±1.2 m/s
MEDICIÓN Y UNIDADES
Magnitud
Velocidad
Aceleración
Fuerza
Trabajo
Trabajo, energía, calor
Potencia
Área
Volumen
Densidad
Presión
Carga eléctrica
Unidad
Magnitudes derivadas.
Las leyes de la física establecen relaciones entre cantidades, de acuerdo al sistema
utilizado unas pocas son básicas (fundamentales), y las demás son derivadas, es
decir definidas a partir de las operaciones entre magnitudes físicas.
Dimensión Forma correcta de escribir las
unidades.
Las unidades se escriben en minúscula,
no se abrevian y el caso de nombres
propios se simbolizan con mayúsculas
pascal (Pa), kilogramo (kg), segundo (s),
ampere (A), culombio (C)
En la multiplicación de unidades se hace
uso del punto o un espacio entre
unidades y se lee de corrido.
En la división de unidades hacemos uso
de la palabra por
m/s LT-1
N o kg m/s2 MLT-2
LT-2
Potencia
10-24
10-21
10-18
10-15
10-12
10-9
10-6
10-3
10-2
10-1
Prefijo Abreviatura
yocto y
zepto z
atto a
femto f
pico s
nano n
micro μ
mili m
centi c
deci d
Potencia
101
102
103
106
109
1012
1015
1018
1021
1024
Prefijo Abreviatura
deca da
hecto h
kilo k
mega M
giga G
tera T
peta P
exa E
zetta Z
yotta Y
Prefijos para las potencias de 10 y sus abreviaturas.
MEDICIÓN Y UNIDADES
Ejemplo (números muy grandes)
La distancia entre la Tierra y el Sol en unidades SI (m) es de unos 150 000 000 000
m (150 mil millones de metros). Utilizando la notación científica, esta distancia se
escribe 1.5 × 1011 m, que simplifica notablemente la notación.
Ejemplo (números muy pequeños)
El tamaño de un átomo de hidrógeno es de aproximadamente 0.0000000001 m.
Utilizando la notación científica, este tamaño se escribe 1×10-10 m = 0.1 nm = 1
Ångström (Å).
Simplifica el manejo de números muy grandes o muy pequeños.
Según esta notación, los números se escriben como el producto de un número
comprendido entre 0 y 10 por una potencia en base 10.
Notación científica
El análisis dimensional hace uso de las ecuaciones dimensionales, en el cual
las dimensiones pueden ser tratadas como cantidades algebraicas.
[A], se lee ecuación dimensional de A
Ejemplo determine las dimensiones
de A:
A =
!"#$%& á$#&
(#)*+(&(
Expresiones adimensionales.- son expresiones numéricas sin dimensión, por
que al expresarlas dimensionalmente se igualan a *, para fines prácticos se
igualan a la unidad.
ANÁLISIS DIMENSIONAL
La dimensión física denota la naturaleza física de una cantidad. Ejemplos de
dimensión física son longitud, masa o tiempo.
Magnitud
Área
Volumen
Velocidad
Aceleración
Fuerza
Presión
Densidad
Energía
Potencia
a
F
p
ρ
E
P
Símbolo Dimensión
A L2
V L3
v LT-1
LT-2
MLT-2
ML-1T-2
ML-3
ML2T-2
ML2T-3
Las magnitudes A, B y C deben
tener las mismas dimensiones.
La coherencia dimensional es una
condición necesaria (aunque no
suficiente) para que una ecuación
sea correcta.
En una ecuación, las dimensiones
de cada miembro tienen que ser las
mismas:
A = B +C
ANÁLISIS DIMENSIONAL
Problema
A la unidad de fuerza en el SI kg·m/s2 se le denomina Newton (N). ¿Cuáles
son las dimensiones y las unidades SI de la constante G en la Ley de
1 2
Newton de la gravitación, F = Gm m / r2
?
Problema
En las ecuaciones siguientes, la distancia x está en metros m, el tiempo t en
segundos s y la velocidad v en metros por segundo m/s. ¿Cuáles son las
dimensiones y unidades SI de las constantes C1 y C2 en los siguientes casos?
a)
b)
c)
x =C1 +C2t
2
1
2
1
x = C t
1
v2
= 2C x
ANÁLISIS DIMENSIONAL
Problema
Se sabe que la aceleración (centrípeta) de un cuerpo que se mueve con
velocidad constante en una trayectoria circular es función del radio r de la
trayectoria y de la velocidad lineal v. Determinar, mediante análisis
dimensional, una combinación sencilla de radio y velocidad que nos dé
una ecuación para la aceleración.
ANÁLISIS DIMENSIONAL
CONVERSIÓN DE UNIDADES
Cualquier magnitud física contiene un número y una unidad:
Por ejemplo, si quisiéramos hallar la distancia recorrida (x) en un tiempo (t) de 5
horas por un tren que viaja a una velocidad (v) constante de 80 km/h, tenemos:
¿Cuál es la distancia recorrida en millas? (1 mi = 1.609 km)
h
x = vt = 80
km
x5 h = 400 km
=1
1.609 km
1mi Factor de
conversión 1.609 km
1mi
= 248.6mi
x = 400 km = 400 km
Los factores de conversión siempre tienen el valor de 1 y se utilizan
para pasar de una magnitud expresada en una unidad de medida a
su equivalente en otra unidad de medida.
Problema
Una piscina tiene las siguientes dimensiones: 5000 cm de longitud, 0.25 hm
de anchura y 5000 mm de profundidad. ¿Cuál es su volumen en el SI? ¿Y en
el CGS?
CONVERSIÓN DE UNIDADES
CONVERSIÓN DE UNIDADES
Problema
Una habitación tiene las siguientes dimensiones: 4.5 m de longitud, 3.5 m de
anchura y 2.5 m de altura. ¿Se podría empapelar las paredes de la habitación
empleando un paquete de 500 hojas tamaño dinA4?
¿Si no se puede cuantas hojas más harían falta?
Tamaño de hoja A4: 210×297 mm2.
ORDEN DE MAGNITUD
Ejemplo 1
La estatura típica de una persona oscila
entre 1.5 y 2 m aproximadamente. El
orden de magnitud de la estatura típica
de una persona es de
Ejemplo 2
La masa de la Tierra es de 6×1024 kg
aproximadamente. El orden de magnitud
de la masa de la Tierra es de
El orden de magnitud de un número es la potencia de 10 más próxima a su valor.
El orden de magnitud de una cantidad se determina de la siguiente manera:
1. Se expresa el número en notación científica (con el multiplicador de la
potencia de 10 un número menor que 10 y mayor igual que uno).
2. Si el multiplicador es menor que la raíz cuadrada de 10 (3.16), el orden de
magnitud del número es la potencia de 10 en la notación científica. Si el
multiplicador es mayor que 3.16, el orden de magnitud será una unidad
más grande que la potencia de 10 en la notación científica.
100 m = 1 m.
1025 kg.
O.M. 0.0081 8.1x10-3. OM=10-2
ERRORES EN LAS MEDIDAS
Tipos de
errores
Todo proceso de medida lleva implícito una incertidumbre, puesto que es imposible
conocer con precisión absoluta, cualquier magnitud. La diferencia entre el valor
medido y el valor verdadero es el error de medida. Como es imposible conocer el
valor exacto del error (de otra manera, dejaría de ser un error!), nos tenemos que
conformar con estimar su valor, y esa estimación será la incertidumbre de la medida.
- Errores de precisión: Debido a la resolución del aparato de medida (εp)
- Errores sistemáticos: Debidos a un mal funcionamiento o a una mala
calibración del aparato de medida. Desvían el valor de la medida siempre
en la misma cantidad. Una vez conocido su origen, deben ser eliminados.
- Errores accidentales o estadísticos: Son inevitables y están presentes
en todo experimento (εa).
Modo de expresar los resultados: " = "m ± ∆" [unidades]
MEDIDAS DIRECTAS
Son las que se obtienen directamente de un aparato de medida.
Error cometido al realizar una sola medida de una magnitud: El único error que cabe en
este caso es el error de precisión del aparato utilizado ∆" = &/. Para determinar &/ se
distinguen dos casos, según el aparato de medida sea analógico o digital:
- Analógico: εp = división más pequeña ×
1
2
- Digital: εp = mínima magnitud medible
Error cometido al realizar ) medidas de una magnitud: En general, es
poco fiable realizar una única medida. Se deben realizar ) medidas
y tomar como mejor aproximación al valor real el valor medio de
todas ellas: ̅
" = ∑+31
) 4!
)
. El error cometido al aproximar el valor verdadero
por la media ̅
" es el error accidental:
&& =
5"
)
=
∑!#$
"
(4!8 ̅
4)%
)()81)
, siendo ,) =
∑!#$
"
(4!8 ̅
4)%
()81)
std-desviación estándar de la
serie de medidas. [-./. = ,2]
El error final ∆" de la medida, será el máximo entre εp y εa: ∆" = max(&/, &&)
El error absoluto de una medida (&!) es la diferencia entre el valor real de la medida (7)
y el valor que se ha obtenido en la medición (78).
MEDIDAS DIRECTAS
Ejercicio
Se ha realizado, con un calibre, 5 medidas de la longitud L de una barra. La
precisión del calibre es &p = 0.02 mm. Los resultados son los siguientes:
"1 = 12.3N mm
"2 = 12.37 mm
"3 = 12.36 mm
"4 = 12.38 mm
"S = 12.3N mm
Hallar la mejor aproximación posible al valor verdadero de L y estimar el error
cometido.
CIFRAS SIGNIFICATIVAS: REDONDEO
• Cualquier cifra distinta de cero se considera significativa.
365.23 m tiene 5 c.s. o 2321 tiene 4 c.s.
• Se consideran cifras significativas los ceros situados entre dos dígitos
distintos de cero y los situados después de la coma decimal.
2018.20 tiene 6 c.s. o 34.000 tiene 5 c.s. 34 tiene 2 c.s.
• Sin embargo no se consideran cifras significativas los ceros situados al
comienzo de un número, incluidos aquellos situados a la derecha de la
coma decimal hasta llegar a un dígito distinto de cero.
0,0005600 tiene 4 c.s. (5600). 5.600*10-4
• Tampoco se consideran significativos los ceros situados al final de un
número sin coma decimal, excepto si se indican con un punto.
450 tiene 2 c.s. (45), sin embargo 450. tiene 3 c.s.
Se denominan cifras significativas (c.s.) al conjunto de los dígitos que
se conocen con seguridad en una medida.
De todas las cifras significativas siempre hay una, la última, que estará
afectada por un error. Por esta razón al resto de cifras se le
denominan cifras exactas.
CIFRAS SIGNIFICATIVAS: REDONDEO
Las cifras significativas de una cantidad son todos los dígitos cuyo valor se conoce con
seguridad, más uno o dos dígitos sujetos a incertidumbre (exceptuando los ceros al
ser utilizados para especificar la parte decimal). Por tanto, informan acerca de la
incertidumbre de una cantidad.
A veces surgen ambigüedades con los ceros, por lo
que es aconsejable utilizar la notación científica.
En multiplicaciones o divisiones, el
número de cifras significativas del
resultado no debe ser mayor que el
menor número de cifras significativas
de cualesquiera de los factores.
En sumas o restas, el número de
lugares decimales en el resultado
debe ser igual al número más
pequeño de lugares decimales de
cualquier término de la suma.
Ej: ¿Cuánto vale el perímetro del
rectángulo?
Ej: ¿Cuánto vale el área del círculo de
radio r = 5.0 ± 0.1 m?
R
A=79 ±3m
b = 4.3± 0.1m
a =1.235± 0.001m
A=11.1 ±0.2m
A la hora de expresar el valor de una medida con su error se debe tener en cuenta las siguientes reglas:
1) El valor de la medida y del error deben expresarse en las mismas unidades.
2) En el error sólo debe emplearse una cifra distinta de cero. Se hará una excepción cuando la cifra más
significativa distinta de cero sea 1 y la segunda cifra menor o igual que 5, en cuyo caso se mantendrá
la cifra que sigue al 1 para expresar el error.
Para llegar a estos resultados se redondeará siguiendo las siguientes reglas:
a) Si la primera cifra que se suprime es mayor igual que 5, la última cifra conservada debe
aumentarse en una unidad.
b) Si la primera cifra que se suprime es menor que 5, la última cifra conservada no varía.
c) Si la primera cifra que se suprime es igual a 5, pueden darse dos casos:
• entre las siguientes cifras suprimidas, hay otras distintas de cero: en este caso, la última cifra
conservada se aumenta en 1.
• todas las cifras suprimidas, salvo el 5, son cero: en este caso, la última cifra conservada no
varía.
Estas reglas de redondeo se aplican tanto al valor del error como al de la medida.
3) El valor de la medida debe tener la misma precisión que el error.
CIFRAS SIGNIFICATIVAS: REDONDEO
Ejemplo
Redondear y escribir de acuerdo con los criterios anteriores las siguientes
medidas y errores:
Error (m) Error redondeado (m) Medida (m) Resultado final (m)
0.018 0.987
0.068 25.8251
0.072 25.825
0.66 0.88
0.52 12
0.942 1.867
0.987 26.97
11.897 356.257
26 364
340 588.2
370.86 25.62
CIFRAS SIGNIFICATIVAS: REDONDEO
Ejercicio
Con una regla se ha medido la altura de una persona. El resultado obtenido
es de 1.85 m, con una incertidumbre de 1 centímetro. ¿Cómo debería
expresarse el resultado de la medición correctamente? (m)
CIFRAS SIGNIFICATIVAS: REDONDEO
Hasta ahora hemos estudiado únicamente el denominado error absoluto Δ".
Para determinar si el error de la medida es grande o no en comparación con
ésta, recurrimos al denominado error relativo:
& =
Δ"
"̅
o expresado en %:
"̅
& % =
Δ"
× 100
ERROR ABSOLUTO Y ERROR
RELATIVO: ANÁLISIS DEL ERROR
Ejemplo
Supongamos que hemos medido la distancia de la Tierra al Sol, CTS, y de
Marte al Sol, CMS, y que los resultados obtenidos son:
CTS = 1.5 ± 0.4 × 1011 F
CMS = 22.8 ± 0.4 × 1011 F
En ambos casos el error absoluto es el mismo: 0.4 × 1011 F. ¿Cuánto vale el
error relativo en cada caso?
A menudo nos encontramos con magnitudes cuyo valor no puede ser medido en el
laboratorio directamente con un aparato de medida, sino que deben determinarse
indirectamente a partr de otras magnitudes medidas en el laboratorio. Se dice en
estos casos que las medidas son indirectas. Un ejemplo de medida indirecta es la
determinación del área de un rectángulo a partr de la medida en el laboratorio de
las longitudes de sus lados. El error en este caso será función de los errores de las
medidas directas que utlizamos para su cálculo. El método para calcular este error
se conoce como propagación de errores.
Propagación de errores:
Supongamos que queremos calcular el valor de una magnitud G que es función de
una serie de magnitudes "1, "2, … , "n, cuyos valores se pueden obtener de manera
directa en el laboratorio: G = I("1, "2, … … …, "))
En primer lugar se calcularán los correspondientes "i̅ ± Δ"i tal y como se describió
anteriormente. La mejor estmación de G será G = I( ̅
"1, ̅
"2, … … …, ̅
"))
. Para estmar el error de G-podemos usar:
La regla de las derivadas parciales o la regla del neperiano.
MEDIDAS INDIRECTAS
- Regla de las derivadas parciales:
Si suponemos que el error Δ"i de las variables "i es suficientemente pequeño,
puede demostrarse que el error ΔG-viene dado aproximadamente por:
ΔG- =
K"1
1
X̅l X̅z
2
Δ" + Δ" + ⋯
+
KI KI KI
K"2 K"n
X̅n
Δ"n
MEDIDAS INDIRECTAS
Ejemplo
Se ha medido el diámetro de una esfera con una precisión de 0.1 FF: N = 2.3 ± 0.1 FF.
1) Calcular el área de la esfera con su respectivo error (O ± ΔO).
2) Calcular el volumen de la esfera con su respectivo error (P ± ΔP).
Q
+31
)
KI
K"+ 4!
∆"+
=
MEDIDAS INDIRECTAS
- Regla del neperiano:
La regla de las derivadas parciales es válida siempre. Sin embargo, cuando la función
I solo tene productos, divisiones o potencias (o una combinación de todas ellas),
una forma alternatva de calcular el error de G es realizar los siguientes pasos:
1. Se determina el logaritmo neperiano de los dos miembros de la ecuación G =
I "1, "2, … , "n :
ln G = ln I "1, "2, … , "n
2. Se toman diferenciales de ambos miembros de la ecuación anterior.
3. Se identfican los elementos diferenciales con los errores de las variables (TG ⟶
ΔG, T"i ⟶ Δ"i) y se susttuyen los valores correspondientes de G y "i (ó G-y "i̅ )
en la expresión final.
Ejemplo
Se han medido los lados de un rectángulo obteniéndose los siguientes valores: V1
= 5.7 ± 0.3 FF, V2 = 8.2 ± 0.1 FF. Calcular el área del rectángulo con su error
(O ± ΔO), utlizando la regla del neperiano.
Las leyes físicas establecen la dependencia de unas variables con otras. Por ejemplo, la ley física
! " = !! + %", establece la dependencia entre la velocidad, ! " , y el tiempo, ", para un objeto con
velocidad inicial !! que cae bajo la aceleración de la gravedad %. Para verificar la validez de esta ley
física, deberíamos medir la velocidad del móvil !("") en diferentes instantes temporales "i y
comprobar la citada validez. Si se cumple la ley física, podemos determinar el valor de los parámetros
!O y % a partir de los valores experimentales. Esto se puede realizar con dos métodos diferentes:
- Método gráfico:
LEYES FÍSICAS: Análisis de la dependencias entre variables
tiempo (s) Velocidad (m/s)
0.94 13.21
1.58 17.23
1.96 23.99
2.66 26.74
2.91 35.57
3.76 38.43
0 1
0
10
20
30
40
Velocidad
(m/s)
2 3 4
Tiempo (s)
m=∆y/ ∆x=14.2/1.5=9.5 m/s
2
∆y=14.2 m/s
∆x=1.5 s
b=3 m/s
G = F" + W
G
F =
"
W = G
- X = -O+ YX
F = Y = 9.5 F/2
W = -O = 3 F/
- Método de Mínimos Cuadrados:
El método gráfico es sencillo pero poco riguroso. Un método de fácil utilización es el llamado método
de mínimos cuadrados.
Sea la ecuación de la recta ( = *+ + ,. El método de mínimos cuadrados da como mejor estimación
de los parámetros * (pendiente de la recta) y , (ordenada en el origen) aquéllos que minimizan la
suma de los cuadrados de las distancias de los puntos experimentales a la recta. Así, si los puntos
experimentales son +1, (1 , … , +n, (n , el mejor ajuste será para los valores de * y , quecumplan:
*+i + , − (i
2 = mínimo
( = *+ + ,
(i
5i = *+i + , − (i
(
+i +
Se demuestra que el par de valores de * y , que cumplen
esta condición son:
* =
∑ (i ∑ +i − 7 ∑ +i(i
∑ +i
2 − 7 ∑ +i
2 , =
i
∑ +i ∑ +i(i − ∑ (i ∑ +2
i
∑ +i
2 − 7 ∑ +2
Δ* =
792
2 Δ, = i
92 ∑ +2
2 2
7 ∑ +i − ∑ +i 7 ∑ +i − ∑ +i
2
Donde se supone que Δ+i = 0, ∀ +i, y Δ(i = 9, ∀ (i. Si los errores 9yi
no son iguales ∀ (i uZlizaremos la aproximación: ! = !)
* =
1
$
%
+,-
.
|∆(+|
LEYES FÍSICAS: Análisis de la dependencias entre variables
Ejemplo
Aplicar el método de Mínimos Cuadrados al ejemplo del apartado anterior para obtener la
velocidad inicial -O y la aceleración de la gravedad Y, sabiendo que - X = -O+ YX.
tempo (s) Velocidad (m/s)
0.94 13.21
1.58 17.23
1.96 23.99
2.66 26.74
2.91 35.57
3.76 38.43
LEYES FÍSICAS: Análisis de la dependencias entre variables

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  • 1. Plan de Clases ´ Asistencia del estudiante. ´ Resultado de aprendizaje. ´ Unidades, cantidades físicas y errores ´ Fin de la clase.
  • 2. Resultado de aprendizaje ´ Usar la física como forma de entender la naturaleza. Obtener órdenes de magnitud, de magnitudes físicas, por medio de hipótesis razonables y cálculos sencillos. ´ Definir y aplicar conceptos vectoriales y de física como herramienta básica de resolución de problemas haciendo un uso adecuado de los sistemas de referencia y de las cifras significativas. ´ Aprender a representar y distinguir los distintos tipos de vectores. ´ Uso de cosenos directores y vectores unitarios en la resolución de problemas.
  • 3. Introducción a la Física ´ Introducción ´ Medición y unidades ´ Notación científica ´ Análisis dimensional ´ Conversión de unidades ´ Orden de magnitud ´ Errores en las medidas ´ Medidas directas ´ Cifras significativas: Redondeo ´ Error absoluto y relativo: Análisis del error ´ Medidas indirectas ´ Leyes físicas: Análisis de la dependencia entre variables ´ Gráficas BIBLIOGRAFÍA: Cap. 1 del Sears y Zemansky vol 1, 13ª ed. Cap. 1 del Serway–Jewett, vol. 1, 7ª ed. Cap. 1 del Tipler–Mosca, vol. 1, 5ª ed.
  • 4. Introducción Física para bachillerato - unicoos https://www.youtube.com/user/d avidcpv Javier Garcia – Física https://www.youtube.com/user/ja mesjamesbondbond Instituto de Física Teórica https://www.youtube.com/user/IF TMadrid Date un Voltio https://www.youtube.com/chann el/UCns-8DssCBba7M4nu7wk7Aw C de Ciencias - https://www.youtube.com/chann el/UC52hytXteCKmuOzMViTK8_w El robot de Platón https://www.youtube.com/user/El RobotdePlaton WikiSeba - Biología https://www.youtube.com/user/i mrdu3000 Derivando - Matemáticas https://www.youtube.com/chann el/UCH-Z8ya93m7_RD02WsCSZYA DotCSV – Inteligencia Artificial https://www.youtube.com/chann el/UCy5znSnfMsDwaLlROnZ7Qbg
  • 5. Introducción La física (del latín physica, y este del griego antiguo φυσικός, «natural, relativo a la naturaleza») es la ciencia natural que estudia las componentes fundamentales del Universo, la energía, la materia, el espacio-tiempo y las interacciones fundamentales. La física es una ciencia básica, estrechamente vinculada con las matemáticas y la lógica en la formulación y cuantificación de sus principios. Wikipedia El método científico consiste en construir, probar y relacionar modelos con el objetivo de describir, explicar y predecir la realidad. Tipler-Mosca
  • 6. Introducción La filosofía [natural] está escrita en ese grandioso libro que tenemos abierto ante los ojos, (quiero decir, el universo), pero no se puede entender si antes no se aprende a entender la lengua, a conocer los caracteres en los que está escrito. Está escrito en lengua matemática y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es imposible entender ni una palabra; sin ellos es como girar vanamente en un oscuro laberinto. https://dl.wdl.org/4184/service/4184.pdf
  • 7. Medición y unidades Análisis dimensional Magnitud - Todo aquello que puede ser expresado mediante un número y una unidad de medida, denominada magnitud Medir, es determinar el valor de una magnitud física comparándola con un patrón que se denomina unidad de medida. Cualquier valor numérico resultante de una medida debe ir acompañado de sus unidades. El sistema de unidades más utilizado es el Sistema Internacional (SI) de unidades, pero hay otros. Magnitud Longitud Masa Tiempo Temperatura Corriente eléctrica Intensidad luminosa Cantidad de sustancia Unidad metro (m) kilogramo (kg) segundo (s) kelvin (K) amperio (A) candela (cd) mol (mol) Sistema Internacional (SI o MKS) Dimensión L M T q I J N El SI está constituido por 7 unidades básicas o fundamentales Cualquier otra unidad diferente de las anteriores será derivada de éstas. Otro sistema es el cegesimal (CGS), cuyas unidades son el centímetro (longitud), el gramo (masa) y el segundo (tiempo)
  • 8. •Para la masa se usa el kilogramo (kg). [M] •Para la longitud se usa el metro (m). [L] •Para el tiempo se usa el segundo (s). [T] •Para la temperatura el kelvin (K). •Para la intensidad luminosa se usa la candela (cd). •Para la cantidad de sustancia se usa el mol. •Para la intensidad de corriente se usa el amperio (A). Magnitudes básicas Sistema Internacional
  • 9. MEDICIÓN Y UNIDADES: SI Unidad de longitud: metro (m) El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo. Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo, que se guarda en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas (Francia). El kilogramo se definirá en términos de la constante de Planck, para garantizar su estabilidad a largo plazo. [balanza de Watt (a veces balanza de Kibble o balanza de potencia)] Unidad de tiempo El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133. La velocidad de la luz queda convencionalmente fijada y exactamente igual a (midiendo frecuencia y la longitud de onda) c=299 792 458.0 m/s con un error de ±1.2 m/s
  • 10. MEDICIÓN Y UNIDADES Magnitud Velocidad Aceleración Fuerza Trabajo Trabajo, energía, calor Potencia Área Volumen Densidad Presión Carga eléctrica Unidad Magnitudes derivadas. Las leyes de la física establecen relaciones entre cantidades, de acuerdo al sistema utilizado unas pocas son básicas (fundamentales), y las demás son derivadas, es decir definidas a partir de las operaciones entre magnitudes físicas. Dimensión Forma correcta de escribir las unidades. Las unidades se escriben en minúscula, no se abrevian y el caso de nombres propios se simbolizan con mayúsculas pascal (Pa), kilogramo (kg), segundo (s), ampere (A), culombio (C) En la multiplicación de unidades se hace uso del punto o un espacio entre unidades y se lee de corrido. En la división de unidades hacemos uso de la palabra por m/s LT-1 N o kg m/s2 MLT-2 LT-2
  • 11. Potencia 10-24 10-21 10-18 10-15 10-12 10-9 10-6 10-3 10-2 10-1 Prefijo Abreviatura yocto y zepto z atto a femto f pico s nano n micro μ mili m centi c deci d Potencia 101 102 103 106 109 1012 1015 1018 1021 1024 Prefijo Abreviatura deca da hecto h kilo k mega M giga G tera T peta P exa E zetta Z yotta Y Prefijos para las potencias de 10 y sus abreviaturas. MEDICIÓN Y UNIDADES
  • 12. Ejemplo (números muy grandes) La distancia entre la Tierra y el Sol en unidades SI (m) es de unos 150 000 000 000 m (150 mil millones de metros). Utilizando la notación científica, esta distancia se escribe 1.5 × 1011 m, que simplifica notablemente la notación. Ejemplo (números muy pequeños) El tamaño de un átomo de hidrógeno es de aproximadamente 0.0000000001 m. Utilizando la notación científica, este tamaño se escribe 1×10-10 m = 0.1 nm = 1 Ångström (Å). Simplifica el manejo de números muy grandes o muy pequeños. Según esta notación, los números se escriben como el producto de un número comprendido entre 0 y 10 por una potencia en base 10. Notación científica
  • 13. El análisis dimensional hace uso de las ecuaciones dimensionales, en el cual las dimensiones pueden ser tratadas como cantidades algebraicas. [A], se lee ecuación dimensional de A Ejemplo determine las dimensiones de A: A = !"#$%& á$#& (#)*+(&( Expresiones adimensionales.- son expresiones numéricas sin dimensión, por que al expresarlas dimensionalmente se igualan a *, para fines prácticos se igualan a la unidad. ANÁLISIS DIMENSIONAL
  • 14. La dimensión física denota la naturaleza física de una cantidad. Ejemplos de dimensión física son longitud, masa o tiempo. Magnitud Área Volumen Velocidad Aceleración Fuerza Presión Densidad Energía Potencia a F p ρ E P Símbolo Dimensión A L2 V L3 v LT-1 LT-2 MLT-2 ML-1T-2 ML-3 ML2T-2 ML2T-3 Las magnitudes A, B y C deben tener las mismas dimensiones. La coherencia dimensional es una condición necesaria (aunque no suficiente) para que una ecuación sea correcta. En una ecuación, las dimensiones de cada miembro tienen que ser las mismas: A = B +C ANÁLISIS DIMENSIONAL
  • 15. Problema A la unidad de fuerza en el SI kg·m/s2 se le denomina Newton (N). ¿Cuáles son las dimensiones y las unidades SI de la constante G en la Ley de 1 2 Newton de la gravitación, F = Gm m / r2 ? Problema En las ecuaciones siguientes, la distancia x está en metros m, el tiempo t en segundos s y la velocidad v en metros por segundo m/s. ¿Cuáles son las dimensiones y unidades SI de las constantes C1 y C2 en los siguientes casos? a) b) c) x =C1 +C2t 2 1 2 1 x = C t 1 v2 = 2C x ANÁLISIS DIMENSIONAL
  • 16. Problema Se sabe que la aceleración (centrípeta) de un cuerpo que se mueve con velocidad constante en una trayectoria circular es función del radio r de la trayectoria y de la velocidad lineal v. Determinar, mediante análisis dimensional, una combinación sencilla de radio y velocidad que nos dé una ecuación para la aceleración. ANÁLISIS DIMENSIONAL
  • 17. CONVERSIÓN DE UNIDADES Cualquier magnitud física contiene un número y una unidad: Por ejemplo, si quisiéramos hallar la distancia recorrida (x) en un tiempo (t) de 5 horas por un tren que viaja a una velocidad (v) constante de 80 km/h, tenemos: ¿Cuál es la distancia recorrida en millas? (1 mi = 1.609 km) h x = vt = 80 km x5 h = 400 km =1 1.609 km 1mi Factor de conversión 1.609 km 1mi = 248.6mi x = 400 km = 400 km Los factores de conversión siempre tienen el valor de 1 y se utilizan para pasar de una magnitud expresada en una unidad de medida a su equivalente en otra unidad de medida.
  • 18. Problema Una piscina tiene las siguientes dimensiones: 5000 cm de longitud, 0.25 hm de anchura y 5000 mm de profundidad. ¿Cuál es su volumen en el SI? ¿Y en el CGS? CONVERSIÓN DE UNIDADES
  • 19. CONVERSIÓN DE UNIDADES Problema Una habitación tiene las siguientes dimensiones: 4.5 m de longitud, 3.5 m de anchura y 2.5 m de altura. ¿Se podría empapelar las paredes de la habitación empleando un paquete de 500 hojas tamaño dinA4? ¿Si no se puede cuantas hojas más harían falta? Tamaño de hoja A4: 210×297 mm2.
  • 20. ORDEN DE MAGNITUD Ejemplo 1 La estatura típica de una persona oscila entre 1.5 y 2 m aproximadamente. El orden de magnitud de la estatura típica de una persona es de Ejemplo 2 La masa de la Tierra es de 6×1024 kg aproximadamente. El orden de magnitud de la masa de la Tierra es de El orden de magnitud de un número es la potencia de 10 más próxima a su valor. El orden de magnitud de una cantidad se determina de la siguiente manera: 1. Se expresa el número en notación científica (con el multiplicador de la potencia de 10 un número menor que 10 y mayor igual que uno). 2. Si el multiplicador es menor que la raíz cuadrada de 10 (3.16), el orden de magnitud del número es la potencia de 10 en la notación científica. Si el multiplicador es mayor que 3.16, el orden de magnitud será una unidad más grande que la potencia de 10 en la notación científica. 100 m = 1 m. 1025 kg. O.M. 0.0081 8.1x10-3. OM=10-2
  • 21. ERRORES EN LAS MEDIDAS Tipos de errores Todo proceso de medida lleva implícito una incertidumbre, puesto que es imposible conocer con precisión absoluta, cualquier magnitud. La diferencia entre el valor medido y el valor verdadero es el error de medida. Como es imposible conocer el valor exacto del error (de otra manera, dejaría de ser un error!), nos tenemos que conformar con estimar su valor, y esa estimación será la incertidumbre de la medida. - Errores de precisión: Debido a la resolución del aparato de medida (εp) - Errores sistemáticos: Debidos a un mal funcionamiento o a una mala calibración del aparato de medida. Desvían el valor de la medida siempre en la misma cantidad. Una vez conocido su origen, deben ser eliminados. - Errores accidentales o estadísticos: Son inevitables y están presentes en todo experimento (εa). Modo de expresar los resultados: " = "m ± ∆" [unidades]
  • 22. MEDIDAS DIRECTAS Son las que se obtienen directamente de un aparato de medida. Error cometido al realizar una sola medida de una magnitud: El único error que cabe en este caso es el error de precisión del aparato utilizado ∆" = &/. Para determinar &/ se distinguen dos casos, según el aparato de medida sea analógico o digital: - Analógico: εp = división más pequeña × 1 2 - Digital: εp = mínima magnitud medible Error cometido al realizar ) medidas de una magnitud: En general, es poco fiable realizar una única medida. Se deben realizar ) medidas y tomar como mejor aproximación al valor real el valor medio de todas ellas: ̅ " = ∑+31 ) 4! ) . El error cometido al aproximar el valor verdadero por la media ̅ " es el error accidental: && = 5" ) = ∑!#$ " (4!8 ̅ 4)% )()81) , siendo ,) = ∑!#$ " (4!8 ̅ 4)% ()81) std-desviación estándar de la serie de medidas. [-./. = ,2] El error final ∆" de la medida, será el máximo entre εp y εa: ∆" = max(&/, &&) El error absoluto de una medida (&!) es la diferencia entre el valor real de la medida (7) y el valor que se ha obtenido en la medición (78).
  • 23. MEDIDAS DIRECTAS Ejercicio Se ha realizado, con un calibre, 5 medidas de la longitud L de una barra. La precisión del calibre es &p = 0.02 mm. Los resultados son los siguientes: "1 = 12.3N mm "2 = 12.37 mm "3 = 12.36 mm "4 = 12.38 mm "S = 12.3N mm Hallar la mejor aproximación posible al valor verdadero de L y estimar el error cometido.
  • 24. CIFRAS SIGNIFICATIVAS: REDONDEO • Cualquier cifra distinta de cero se considera significativa. 365.23 m tiene 5 c.s. o 2321 tiene 4 c.s. • Se consideran cifras significativas los ceros situados entre dos dígitos distintos de cero y los situados después de la coma decimal. 2018.20 tiene 6 c.s. o 34.000 tiene 5 c.s. 34 tiene 2 c.s. • Sin embargo no se consideran cifras significativas los ceros situados al comienzo de un número, incluidos aquellos situados a la derecha de la coma decimal hasta llegar a un dígito distinto de cero. 0,0005600 tiene 4 c.s. (5600). 5.600*10-4 • Tampoco se consideran significativos los ceros situados al final de un número sin coma decimal, excepto si se indican con un punto. 450 tiene 2 c.s. (45), sin embargo 450. tiene 3 c.s. Se denominan cifras significativas (c.s.) al conjunto de los dígitos que se conocen con seguridad en una medida. De todas las cifras significativas siempre hay una, la última, que estará afectada por un error. Por esta razón al resto de cifras se le denominan cifras exactas.
  • 25. CIFRAS SIGNIFICATIVAS: REDONDEO Las cifras significativas de una cantidad son todos los dígitos cuyo valor se conoce con seguridad, más uno o dos dígitos sujetos a incertidumbre (exceptuando los ceros al ser utilizados para especificar la parte decimal). Por tanto, informan acerca de la incertidumbre de una cantidad. A veces surgen ambigüedades con los ceros, por lo que es aconsejable utilizar la notación científica. En multiplicaciones o divisiones, el número de cifras significativas del resultado no debe ser mayor que el menor número de cifras significativas de cualesquiera de los factores. En sumas o restas, el número de lugares decimales en el resultado debe ser igual al número más pequeño de lugares decimales de cualquier término de la suma. Ej: ¿Cuánto vale el perímetro del rectángulo? Ej: ¿Cuánto vale el área del círculo de radio r = 5.0 ± 0.1 m? R A=79 ±3m b = 4.3± 0.1m a =1.235± 0.001m A=11.1 ±0.2m
  • 26. A la hora de expresar el valor de una medida con su error se debe tener en cuenta las siguientes reglas: 1) El valor de la medida y del error deben expresarse en las mismas unidades. 2) En el error sólo debe emplearse una cifra distinta de cero. Se hará una excepción cuando la cifra más significativa distinta de cero sea 1 y la segunda cifra menor o igual que 5, en cuyo caso se mantendrá la cifra que sigue al 1 para expresar el error. Para llegar a estos resultados se redondeará siguiendo las siguientes reglas: a) Si la primera cifra que se suprime es mayor igual que 5, la última cifra conservada debe aumentarse en una unidad. b) Si la primera cifra que se suprime es menor que 5, la última cifra conservada no varía. c) Si la primera cifra que se suprime es igual a 5, pueden darse dos casos: • entre las siguientes cifras suprimidas, hay otras distintas de cero: en este caso, la última cifra conservada se aumenta en 1. • todas las cifras suprimidas, salvo el 5, son cero: en este caso, la última cifra conservada no varía. Estas reglas de redondeo se aplican tanto al valor del error como al de la medida. 3) El valor de la medida debe tener la misma precisión que el error. CIFRAS SIGNIFICATIVAS: REDONDEO
  • 27. Ejemplo Redondear y escribir de acuerdo con los criterios anteriores las siguientes medidas y errores: Error (m) Error redondeado (m) Medida (m) Resultado final (m) 0.018 0.987 0.068 25.8251 0.072 25.825 0.66 0.88 0.52 12 0.942 1.867 0.987 26.97 11.897 356.257 26 364 340 588.2 370.86 25.62 CIFRAS SIGNIFICATIVAS: REDONDEO
  • 28. Ejercicio Con una regla se ha medido la altura de una persona. El resultado obtenido es de 1.85 m, con una incertidumbre de 1 centímetro. ¿Cómo debería expresarse el resultado de la medición correctamente? (m) CIFRAS SIGNIFICATIVAS: REDONDEO
  • 29. Hasta ahora hemos estudiado únicamente el denominado error absoluto Δ". Para determinar si el error de la medida es grande o no en comparación con ésta, recurrimos al denominado error relativo: & = Δ" "̅ o expresado en %: "̅ & % = Δ" × 100 ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO: ANÁLISIS DEL ERROR Ejemplo Supongamos que hemos medido la distancia de la Tierra al Sol, CTS, y de Marte al Sol, CMS, y que los resultados obtenidos son: CTS = 1.5 ± 0.4 × 1011 F CMS = 22.8 ± 0.4 × 1011 F En ambos casos el error absoluto es el mismo: 0.4 × 1011 F. ¿Cuánto vale el error relativo en cada caso?
  • 30. A menudo nos encontramos con magnitudes cuyo valor no puede ser medido en el laboratorio directamente con un aparato de medida, sino que deben determinarse indirectamente a partr de otras magnitudes medidas en el laboratorio. Se dice en estos casos que las medidas son indirectas. Un ejemplo de medida indirecta es la determinación del área de un rectángulo a partr de la medida en el laboratorio de las longitudes de sus lados. El error en este caso será función de los errores de las medidas directas que utlizamos para su cálculo. El método para calcular este error se conoce como propagación de errores. Propagación de errores: Supongamos que queremos calcular el valor de una magnitud G que es función de una serie de magnitudes "1, "2, … , "n, cuyos valores se pueden obtener de manera directa en el laboratorio: G = I("1, "2, … … …, ")) En primer lugar se calcularán los correspondientes "i̅ ± Δ"i tal y como se describió anteriormente. La mejor estmación de G será G = I( ̅ "1, ̅ "2, … … …, ̅ ")) . Para estmar el error de G-podemos usar: La regla de las derivadas parciales o la regla del neperiano. MEDIDAS INDIRECTAS
  • 31. - Regla de las derivadas parciales: Si suponemos que el error Δ"i de las variables "i es suficientemente pequeño, puede demostrarse que el error ΔG-viene dado aproximadamente por: ΔG- = K"1 1 X̅l X̅z 2 Δ" + Δ" + ⋯ + KI KI KI K"2 K"n X̅n Δ"n MEDIDAS INDIRECTAS Ejemplo Se ha medido el diámetro de una esfera con una precisión de 0.1 FF: N = 2.3 ± 0.1 FF. 1) Calcular el área de la esfera con su respectivo error (O ± ΔO). 2) Calcular el volumen de la esfera con su respectivo error (P ± ΔP). Q +31 ) KI K"+ 4! ∆"+ =
  • 32. MEDIDAS INDIRECTAS - Regla del neperiano: La regla de las derivadas parciales es válida siempre. Sin embargo, cuando la función I solo tene productos, divisiones o potencias (o una combinación de todas ellas), una forma alternatva de calcular el error de G es realizar los siguientes pasos: 1. Se determina el logaritmo neperiano de los dos miembros de la ecuación G = I "1, "2, … , "n : ln G = ln I "1, "2, … , "n 2. Se toman diferenciales de ambos miembros de la ecuación anterior. 3. Se identfican los elementos diferenciales con los errores de las variables (TG ⟶ ΔG, T"i ⟶ Δ"i) y se susttuyen los valores correspondientes de G y "i (ó G-y "i̅ ) en la expresión final. Ejemplo Se han medido los lados de un rectángulo obteniéndose los siguientes valores: V1 = 5.7 ± 0.3 FF, V2 = 8.2 ± 0.1 FF. Calcular el área del rectángulo con su error (O ± ΔO), utlizando la regla del neperiano.
  • 33. Las leyes físicas establecen la dependencia de unas variables con otras. Por ejemplo, la ley física ! " = !! + %", establece la dependencia entre la velocidad, ! " , y el tiempo, ", para un objeto con velocidad inicial !! que cae bajo la aceleración de la gravedad %. Para verificar la validez de esta ley física, deberíamos medir la velocidad del móvil !("") en diferentes instantes temporales "i y comprobar la citada validez. Si se cumple la ley física, podemos determinar el valor de los parámetros !O y % a partir de los valores experimentales. Esto se puede realizar con dos métodos diferentes: - Método gráfico: LEYES FÍSICAS: Análisis de la dependencias entre variables tiempo (s) Velocidad (m/s) 0.94 13.21 1.58 17.23 1.96 23.99 2.66 26.74 2.91 35.57 3.76 38.43 0 1 0 10 20 30 40 Velocidad (m/s) 2 3 4 Tiempo (s) m=∆y/ ∆x=14.2/1.5=9.5 m/s 2 ∆y=14.2 m/s ∆x=1.5 s b=3 m/s G = F" + W G F = " W = G - X = -O+ YX F = Y = 9.5 F/2 W = -O = 3 F/
  • 34. - Método de Mínimos Cuadrados: El método gráfico es sencillo pero poco riguroso. Un método de fácil utilización es el llamado método de mínimos cuadrados. Sea la ecuación de la recta ( = *+ + ,. El método de mínimos cuadrados da como mejor estimación de los parámetros * (pendiente de la recta) y , (ordenada en el origen) aquéllos que minimizan la suma de los cuadrados de las distancias de los puntos experimentales a la recta. Así, si los puntos experimentales son +1, (1 , … , +n, (n , el mejor ajuste será para los valores de * y , quecumplan: *+i + , − (i 2 = mínimo ( = *+ + , (i 5i = *+i + , − (i ( +i + Se demuestra que el par de valores de * y , que cumplen esta condición son: * = ∑ (i ∑ +i − 7 ∑ +i(i ∑ +i 2 − 7 ∑ +i 2 , = i ∑ +i ∑ +i(i − ∑ (i ∑ +2 i ∑ +i 2 − 7 ∑ +2 Δ* = 792 2 Δ, = i 92 ∑ +2 2 2 7 ∑ +i − ∑ +i 7 ∑ +i − ∑ +i 2 Donde se supone que Δ+i = 0, ∀ +i, y Δ(i = 9, ∀ (i. Si los errores 9yi no son iguales ∀ (i uZlizaremos la aproximación: ! = !) * = 1 $ % +,- . |∆(+| LEYES FÍSICAS: Análisis de la dependencias entre variables
  • 35. Ejemplo Aplicar el método de Mínimos Cuadrados al ejemplo del apartado anterior para obtener la velocidad inicial -O y la aceleración de la gravedad Y, sabiendo que - X = -O+ YX. tempo (s) Velocidad (m/s) 0.94 13.21 1.58 17.23 1.96 23.99 2.66 26.74 2.91 35.57 3.76 38.43 LEYES FÍSICAS: Análisis de la dependencias entre variables