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ALGEBRA ELEMENTAL MODERNA

                            Clase Nº 1: DIEZ CASOS DE FACTOREO

                                   Prof. Christian Farinango
                                      www.eduvirtual.tk
                                          27/09/2010




A breves rasgos, con ejemplos sencillos y ejercicios de afianzamiento, se pretende introducir al
estudiante en el mundo de la descomposición en factores, muy necesarios como base en el
estudio del algebra. Este documento está bajo la Licencia Creative Commons; esto quiere
decir que puede hacer uso del mismo y modificarlo siempre y cuando se reconozca su autoría.
1. Factor común: Un polinomio tiene un término común.

Ejemplo:

                                   +      −       =       ( + − )

Ejercicios:

    i)            (    + ) −(   + )
    ii)           4       +8      + 12
    iii)          7      + 14    − 21



    2. Factor común por agrupamiento: Agrupar las expresiones para determinar un factor
       común.

    Ejemplo:                               +          +    +

Agrupar:                                 =(       +       )+(   +   )

Sacar factor común de cada grupo:        = ( + )+ ( + )

Tenemos otro factor común                = ( + )( + )

Ejercicios:

    i)                + −    −
    ii)                +  + − − −
    iii)                +  −   −

    3. Trinomio cuadrado perfecto: Es igual al cuadrado de un binomio.
       Ejemplo:                +        +      =( + )

                                    −         +       =( − )

Ejercicios:

    i)            ,  − ,   +
    ii)           ( + ) + ( + )( + ) + ( + )
    iii)            − ( − )+( − )

    4. Diferencia de cuadrados: Producto de la suma por la diferencia de las bases de los
       cuadrados.
       Ejemplo:     −    = ( + )( − )

Ejercicios:

           i)         1−
           ii)        *( − + ) − ( + − )
           iii)       *( − + 1) − ( + + 1)
5. Combinación de cuadrado perfecto y diferencia de cuadrado: Se deben agrupar para
       formar cuadrados perfectos y luego se descompone la diferencia de cuadrados.
       Ejemplo:          +      +     −
       Agrupamos                                   =( +           + )−
       Resolvemos el cuadrado perfecto             =( + ) −
       Resolvemos la diferencia de cuadrados       =( + +           )( + −        )

Ejercicios:

           i)                  −         +       −
           ii)                 −     −       +       +    +
           iii)                 −    −           −

    6. Cuadrado perfecto incompleto: Son los polinomios que se pueden convertir en
       trinomios cuadrados perfectos sumando un término y restándolo para que no se
       altere.
       Ejemplo:         +     +
       Añadimos y restamos 	 =            +    + +       −
       Formamos el trinomio cuadrado perfecto      =( +          + )−
       Resolvemos                                  =( + ) −
                                                         = (     + ) +   ( + ) −
                                                               = ( + + )( + − )

Ejercicios:

    i)            *    +       −         −       −
    ii)               +
    iii)                   +         +

    7. Trinomio de la forma +         + : Se debe encontrar dos números cuya suma
       algebraica b y cuyo producto sea c.
       Ejemplo: +         +
                                                            = ( 										)( 										)

Suma sea +5 y multiplicación +6; los números son 2 y 3:              = ( 	 + 	)( + 		)

+2+3=+5               y        (+2)(+3)=6

Ejercicios:

    i)                 +         +
    ii)               −        +
    iii)              +         −
8. Trinomio de la forma       +     + : Existen 3 métodos a continuación el más sencillo:
       Ejemplo: 4 + 8 + 3
       El 4 multiplicamos a los otros términos.        = 4 + 8(4) + 3(4)
                                                               4 2 +8(4) +3(4)
           Para que no se altere dividimos para 4.           =
                                                                      4
                                                               4 2 +8(4 )+12
           Resolvemos.                                       =
                                                                     4
                                                               (4 +6)(4 +2)
                                                             =
                                                                     4
                                                                  2(2 +3)2(2 +1)
Factoramos y simplificamos.                                  =
                                                                        4

Respuesta.                                          (2 + 3)(2 + 1)

Ejercicios:
    i)               −        −
    ii)             +        −
    iii)            −        +

    9. Suma y Resta de potencias de exponente impar.
           Suma:        +    = ( + )(      −        +         −          +   )
           Resta:       −    = ( − )(      +        +         +          +   )

Ejercicios:

    i)              +
    ii)                  +
    iii)            −
    iv)                 −



    10. Suma y Resta de potencias de exponente par: Convertir a potencias impares.
           Suma:        +    =        +

                                  =    +                −                +

                                      =(   +   )(       −     +      )

           Resta:       −    = ( + )( −         )
                             =( + )  −              +       ( − )(       +       +   )
           Ejercicios:
           i)            −( + )
           ii)      (    + ) +
           iii)           −
           iv)            +
Referencias:

MANCILL J.D. GONZÁLEZ M.O. Algebra elemental moderna. Ed. Kapelusz, Buenos Aires –
Argentina, Volumen I, 1991.

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13. factoreo

  • 1. EDUCACIÓN VIRTUAL EN LINEA ALGEBRA ELEMENTAL MODERNA Clase Nº 1: DIEZ CASOS DE FACTOREO Prof. Christian Farinango www.eduvirtual.tk 27/09/2010 A breves rasgos, con ejemplos sencillos y ejercicios de afianzamiento, se pretende introducir al estudiante en el mundo de la descomposición en factores, muy necesarios como base en el estudio del algebra. Este documento está bajo la Licencia Creative Commons; esto quiere decir que puede hacer uso del mismo y modificarlo siempre y cuando se reconozca su autoría.
  • 2. 1. Factor común: Un polinomio tiene un término común. Ejemplo: + − = ( + − ) Ejercicios: i) ( + ) −( + ) ii) 4 +8 + 12 iii) 7 + 14 − 21 2. Factor común por agrupamiento: Agrupar las expresiones para determinar un factor común. Ejemplo: + + + Agrupar: =( + )+( + ) Sacar factor común de cada grupo: = ( + )+ ( + ) Tenemos otro factor común = ( + )( + ) Ejercicios: i) + − − ii) + + − − − iii) + − − 3. Trinomio cuadrado perfecto: Es igual al cuadrado de un binomio. Ejemplo: + + =( + ) − + =( − ) Ejercicios: i) , − , + ii) ( + ) + ( + )( + ) + ( + ) iii) − ( − )+( − ) 4. Diferencia de cuadrados: Producto de la suma por la diferencia de las bases de los cuadrados. Ejemplo: − = ( + )( − ) Ejercicios: i) 1− ii) *( − + ) − ( + − ) iii) *( − + 1) − ( + + 1)
  • 3. 5. Combinación de cuadrado perfecto y diferencia de cuadrado: Se deben agrupar para formar cuadrados perfectos y luego se descompone la diferencia de cuadrados. Ejemplo: + + − Agrupamos =( + + )− Resolvemos el cuadrado perfecto =( + ) − Resolvemos la diferencia de cuadrados =( + + )( + − ) Ejercicios: i) − + − ii) − − + + + iii) − − − 6. Cuadrado perfecto incompleto: Son los polinomios que se pueden convertir en trinomios cuadrados perfectos sumando un término y restándolo para que no se altere. Ejemplo: + + Añadimos y restamos = + + + − Formamos el trinomio cuadrado perfecto =( + + )− Resolvemos =( + ) − = ( + ) + ( + ) − = ( + + )( + − ) Ejercicios: i) * + − − − ii) + iii) + + 7. Trinomio de la forma + + : Se debe encontrar dos números cuya suma algebraica b y cuyo producto sea c. Ejemplo: + + = ( )( ) Suma sea +5 y multiplicación +6; los números son 2 y 3: = ( + )( + ) +2+3=+5 y (+2)(+3)=6 Ejercicios: i) + + ii) − + iii) + −
  • 4. 8. Trinomio de la forma + + : Existen 3 métodos a continuación el más sencillo: Ejemplo: 4 + 8 + 3 El 4 multiplicamos a los otros términos. = 4 + 8(4) + 3(4) 4 2 +8(4) +3(4) Para que no se altere dividimos para 4. = 4 4 2 +8(4 )+12 Resolvemos. = 4 (4 +6)(4 +2) = 4 2(2 +3)2(2 +1) Factoramos y simplificamos. = 4 Respuesta. (2 + 3)(2 + 1) Ejercicios: i) − − ii) + − iii) − + 9. Suma y Resta de potencias de exponente impar. Suma: + = ( + )( − + − + ) Resta: − = ( − )( + + + + ) Ejercicios: i) + ii) + iii) − iv) − 10. Suma y Resta de potencias de exponente par: Convertir a potencias impares. Suma: + = + = + − + =( + )( − + ) Resta: − = ( + )( − ) =( + ) − + ( − )( + + ) Ejercicios: i) −( + ) ii) ( + ) + iii) − iv) +
  • 5. Referencias: MANCILL J.D. GONZÁLEZ M.O. Algebra elemental moderna. Ed. Kapelusz, Buenos Aires – Argentina, Volumen I, 1991. www.eduvirtual.tk