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1
Opción A
Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 2013
[2’5 puntos] Sabiendo que 30
x·cos(x) + b·sen(x)
lim
xx
es finito, calcula b y el valor del límite.
Solución
30
x·cos(x) + b·sen(x) 0
lim ;L'H
0xx
 
  
 
, Le aplicamos la regla de L’Hôpital (L’H. Si f(x) y g(x) son
continuas en [a – r, a + r], derivables en (a – r, a + r), con f(a) = g(a) = 0, entonces si existe
f '(x)
lim
g '(x)x a
, se verifica que
f (x) f '(x)
lim lim
g (x) g '(x)x a x a 
 . La regla se puede reiterar y también es
cierta cuando salga /, y cuando x  )
3 20 0
x·cos(x) + b·sen(x) cos(x) - x·sen(x) + b·cos(x) 1 + b
lim = lim =
0x 3xx x 
Como dicen que existe el límite tendríamos que tener 0/0, para poder seguir aplicándole la
regla L’H, de donde 1 + b = 0, por tanto b = -1, y tenemos:
20
cos(x) - x·sen(x) - cos(x)
lim
3xx
= {simplifico} = 20
- x·sen(x)
lim
3xx
= {Infinitésimos} = 20
- x·(x)
lim
3xx
=
= {simplifico} =
0
lim
x
(-1/3) = -1/3.
Ejercicio 2 opción A, modelo Junio 2013
Sean f : R  R y g : R  R las funciones definidas por f(x) = |x(x – 2)| y g(x) = x + 4.
a) [1’25 puntos] Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes. Calcula el punto de corte
entre ambas gráficas.
a) [1’25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.
Solución
Sean f : R  R y g : R  R las funciones definidas por f(x) = |x(x – 2)| y g(x) = x + 4.
a)
Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes. Calcula el punto de corte entre ambas
gráficas.
f(x) = |x(x – 2)| = |x
2
– 2x| = |h(x)|
Dibujamos primero la grafica de h(x) = x
2
-2x, que es una parábola con las ramas hacia arriba
 (el nº que multiplica a x
2
es positivo), con abscisa del vértice en el nº que anula la 1ª
derivada, es decir h’(x) = 2x – 2 = 0, de donde x = 1 y el vértice es V(1, h(1)) = V(1,(1)
2
-2(1)) =
= V(1,-1), que es el mínimo de la parábola y un máximo relativo del valor absoluto; puntos de
corte en (0,0) y (2,0), pues los valores de “x” que anulan x2
-2x = x(x – 2) son x = 0 y x = 2.
Recordamos que la gráfica del valor absoluto |h(x)| es la misma que la de h(x), si h(x)  0 (la
gráfica está por encima del eje de abscisas OX), y simétrica respecto al eje OX, es decir
gráfica de – h(x), si h(x) < 0 (la gráfica está por debajo del eje de abscisas OX).
La gráfica de g(x) = x + 4 es la de una recta que pasa por los puntos (0,4) y (-4,0)
Temiendo en cuenta lo anterior un esbozo de sus gráficas es
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2
Si observamos la grafica vemos que la recta corta sólo a la parte de la parábola que está por
encima del eje de abscisas, por tanto para calcular los puntos de corte igualaremos x + 4 a
x2
– 2x.
Antes de hacerlo abrimos el valor absoluto, pues nos hará falta para calcular el área. (los
puntos de división eran las soluciones de x
2
– 2x = 0, que nos salió x = 0 y x = 2.
f(x) = |x
2
– 2x | =
2
2
2
x - 2x si x < 0
-(x - 2x) si 0 x < 2
x - 2x si x 2



 
=
2
2
2
x - 2x si x < 0
-x + 2x si 0 x < 2
x - 2x si x 2



 
Resolvemos ya x + 4 = x
2
– 2x, es decir 0 = x
2
- 3x - 4.
3 ± 9 + 16 3 ± 5
x =
2 2
 , de donde las abscisas de los cortes son x = -1 y x = 4, y los puntos
de corte (-1,3) y (4,4).
a)
Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.
Para calcular el área observando la figura la tenemos que obtener como suma de tres
regiones, una es desde -1 a 0 otra desde o a 2 y la tercera desde 2 a 4
Área = -1
0
(x+4 – (x
2
- 2x))dx + 0
2
(x+4 – (-x
2
+ 2x))dx + 2
4
(x+4 – (x
2
- 2x))dx =
= -1
0
(-x
2
+ 3x + 4)dx + 0
2
(x
2
- x + 4)dx + 2
4
(-x
2
+ 3x + 4)dx =
= [ -x3
/3 + 3x2
/2 + 4x ]-1
0
+ [ x3
/3 - x2
/2 + 4x ]0
2
+ [ -x3
/3 + 3x2
/2 + 4x ]2
4
=
= [(0) – ( 1/3 + 3/2 – 4) ] + [ (8/3 - 4/2 + 8) – (0) ] + [ (-64/3 + 48/2 + 16) – (-8/3 + 12/2 + 8)] =
= 13/6 + 26/3 + 22/3 = 109/6 u.a.  18’1667 u2
.
Ejercicio 3 opción A, modelo Junio 2013
Sea M =
1 0 -1
0 m+1 0
1 1 m-1
 
 
 
 
 
(a) [0’75 puntos] Determina los valores de m para que los vectores fila de M sean linealmente
independientes.
(b) [1 punto] Estudia el rango de M según los valores de m.
(c) [0’75 puntos] Para m = 1, calcula la inversa de M.
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3
Solución
Sea M =
1 0 -1
0 m+1 0
1 1 m-1
 
 
 
 
 
(a)
Determina los valores de m para que los vectores fila de M sean linealmente independientes.
La matriz M es de orden 3x3, y sabemos que los vectores fila son linealmente independientes
si sólo si (sii) el determinante (det ó | |) de la matriz M es distinto de cero.
Calculamos el determinante desarrollando por el adjunto de la primera fila.
| M | =
1 0 -1
0 m+1 0
1 1 m-1
= 1.[(m+1)(m-1) – 0] – 0 + (-1)[(0) – (m+1)] = m
2
– 1 + m + 1 = m
2
+ m.
Igualando a cero tenemos 0 = m
2
+ m = m(m + 1), de donde m = 0 y m = -1.
Por tanto si m  0 y m  -1, | M |  0 y los vectores fila son linealmente independientes.
(b)
Estudia el rango de M según los valores de m.
Como ya hemos calculado | M | = m
2
+ m, esto nos sirve para calcular el rango de M.
Si m  0 y m  -1, | M |  0 y rango (M) = 3.
Si m = 0 tenemos M =
1 0 -1
0 1 0
1 1 -1
 
 
 
 
 
.
En M como
1 0
0 1
= 1 - 0 = 1  0 (he tomado F1, F2, C1 y C2 para formar el menor), entonces
rango(M) = 2.
Si m = -1 tenemos M =
1 0 -1
0 0 0
1 1 -2
 
 
 
 
 
.
En M como
1 0
1 1
= 1 - 0 = 1  0 (he tomado F1, F3, C1 y C2 para formar el menor), entonces
rango(M) = 2.
(c)
Para m = 1, calcula la inversa de M.
Para m = 1, M =
1 0 -1
0 2 0
1 1 0
 
 
 
 
 
. Sabemos que la inversa de M es M
-1
= (1/|M|)·Adj(M
t
)
De | M | = m2
+ m, tenemos para m = 1, | M | = (1)2
+ (1) = 2
De M =
1 0 -1
0 2 0
1 1 0
 
 
 
 
 
, M
t
=
1 0 1
0 2 1
-1 0 0
 
 
 
 
 
, Adj(M
t
) =
0 -1 2
0 1 0
-2 -1 2
 
 
 
 
 
, luego; M
-1
= (1/2).
0 -1 2
0 1 0
-2 -1 2
 
 
 
 
 
=
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4
=
0 -1/2 1
0 1/2 0
-1 -1/2 1
 
 
 
 
 
.
Ejercicio 4 opción A, modelo Junio 2013
Sea r la recta que pasa por el punto (1,0,0) y tiene como vector dirección (a,2a,1) y sea s
la recta dada por
-2x + y = -2
-ax + z = 0



(a) [1 punto] Calcula los valores de a para los que r y s son paralelas.
(b) [1’5 puntos] Calcula para a = 1, la distancia entre r y s.
Solución
Sea r la recta que pasa por el punto (1,0,0) y tiene como vector dirección (a,2a,1) y sea s
la recta dada por
-2x + y = -2
-ax + z = 0



(a)
Calcula los valores de a para los que r y s son paralelas.
De la recta r tomamos un punto, el A(1,0,0) y un vector, el u = (a,2a,1).
Ponemos la recta s en paramétricas, tomando x =   R, de donde y = -2 + 2 y z = a,
para obtener un punto y un vector.
s 
x =
y = -2 + 2
z = a








, con   R. Un punto de s es B(0,-2,0) y un vector es v = (1,2,a)
Como nos dicen que las rectas son paralelas, sus vectores son dependientes, es decir sus
coordenadas son proporcionales.
De u = (a,2a,1) y v = (1,2,a), tenemos a/1 = 2a/2 = 1/a, que nos da lugar a dos ecuaciones:
a/1 = 2a/2, de donde a = a
a/1 = 1/a de donde a
2
= 1 es decir a =  1.
Las rectas r y s son paralelas para los valores de “a =  1”.
(b)
Calcula para a = 1, la distancia entre r y s.
Como ya sabemos para a = 1 las rectas son paralelas, vamos a calcular la distancia entre
ellas como el área de un paralelogramo.
Por área de un paralelogramo. Es la altura del paralelogramo
Dada la recta “r” conocemos el punto A y el vector u. De la recta “s” sólo tomamos el punto B
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El área del paralelogramo determinado por los vectores u y AB es ||ABxu|| = basealtura =
||u||h, pero la altura “h” es d(s,r) = d(B;r), luego d(B;r) = (||ABxu||) / (||u||)
De “r”, punto el A(1,0,0) y vector, el u = (1,2,1).
De “s”, punto el B(0,-2,0).
AB = (-1, -2,0)
ABxu =
i j k
-1 -2 0
1 2 1
  
= i(-2) – j(-1) + k(0) = (-2,1,0)
||ABxu|| = ( 2
2
+1
2
+0
2
) = ( 5 )
||u|| = ( 1
2
+2
2
+1
2
) = ( 6 )
d(P;r) = (||APxu||) / (||u||) = (( 5 ) ) / ( ( 6 ) ) = ( 5/6 ) u.l.
Opción B
Ejercicio 1 opción B, modelo Junio 2013
Sea f : (- ,1)  R la función definida por
-x
x + 2e si x 0
f(x) =
a b - x si 0 < x < 1
 


.
(a) [1’5 puntos] Determina a y b sabiendo que f es derivable en todo su dominio.
(b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el
punto de abscisa x = 0.
Solución
(a)
-x
x + 2e si x 0
f(x) =
a b - x si 0 < x < 1
 


es derivable en su dominio, por tanto también es continua en su
dominio; en particular es continua y derivable en x = 0.
Como es continua en x = 0 , + -
x 0 x 0
f(0) = lim f(x) = lim f(x)
 
- -
x 0 x 0
f(0) = lim f(x) = lim
 
(x + 2e-x
) = 0 + 2e-0
= 2e0
= 2 ;  + +
x 0 x 0
lim f(x) = lim a b - x = a b
 
Igualando tenemos 2 = a b .
-x
1 - 2e si x 0
f '(x) = -1
a· si 0 < x < 1
2 b - x
 




=
-x
1 - 2e si x 0
- a
si 0 < x < 1
2 b - x
 




Como es derivable en x = 0, tenemos f ‘(0
+
) = f’(0
-
). Vamos a ver la continuidad de la derivada.
- -
-
x 0 x 0
f '(0 ) = lim f '(x) = lim
 
( 1 - 2e-x
) = 1 - 2e-0
= 1 - 2 = -1;
+ +
+
x 0 x 0
- a - a
f '(0 ) = lim f '(x) = lim =
2 b - x 2 b 
 
 
 
;
Igualando tenemos -1 =
- a
2 b
.
De 2 = a b , tenemos a =
2
b
. Entrando en -1 =
- a
2 b
, sale 1 =
2 1
=
b2 b· b
. Por tanto
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6
tenemos b = 1 y a =
2
1
= 2.
(b)
Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de
abscisa x = 0.
Para x = 0, la función es f(x) = x + 2e-x
y f ‘(x) = 1 - 2e-x
La ecuación de la recta tangente en x = 0 es y – f(0) = f ‘(0)(x – 0)
La ecuación de la recta normal en x = 0 es y – f(0) = (-1/f ‘(0))·(x – 0)
f(0) = 0 + 2e
-0
= 2e
0
= 2
f ‘(0) = 1 - 2e-0
= 1 - 2 = -1
Luego la recta tangente en x = 0 es y - 2 = -1(x – 0) es decir y = -x + 2.
Luego la recta normal en x = 0 es y - 2 = (-1/-1)·(x – 0) es decir y = x + 2.
Ejercicio 2 opción B, modelo Junio 2013
[2’5 puntos] Sea g : R  R definida por g(x) = ln(x2
+ 1) (donde ln denota el logaritmo
neperiano). Calcula la primitiva de g cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas..
Solución
Es el ejercicio nº 2 de la Opción B de Junio de 2007
Una primitiva de g(x) es G(x) = ( )g x dx K
I = 2
1( ) ( )g x dx ln x dx   que es una integral por partes ( udv uv vdu   )
u = ln(x2
+ 1), de donde du = (2x)/(x2
+ 1)
dv = dx, de donde v = dx x
I = 2
1( )ln x dx = x·ln(x
2
+ 1) -
12
2x
x· dx
x  = x·ln(x
2
+ 1) -
2
2
x
2 dx
x +1 = x·ln(1 + x
2
) – 2I1.
I1 =
2
2
1
x
dx
x , aunque sencilla es una integral racional (hay que dividir) o poner el numerador
en la forma x
2
= x
2
+ 1 – 1.
I1 =
2 2
2 2 22
diviendo porsumo un 0 ( +1-1)x x +1 -1 -1
dx 1+
en el numeradorx +1 x +1 x +1x + 1
dx dx
    
        
    
   =
= x – artag(x).
I = x·ln(x
2
+ 1 ) – 2I1 = x·ln(x
2
+ 1 ) – 2(x – artag(x))
Una primitiva es G(x) =  g(x)dx + K = x·ln(x
2
+ 1 ) – 2(x – artag(x)) + K.
Como nos dicen que la primitiva G(x) pasa por el origen (0,0) tenemos G(0) = 0.
De G(0) = 0, tenemos 0 = 0·Ln(0 + 1) – 2(0 – artag(0)) + K = 0 + K, de donde K = 0 y la
primitiva pedida es G(x) = x·ln(x2
+ 1 ) – 2(x – artag(x))
Ejercicio 3 opción B, modelo Junio 2013
Sea A =
1 1
1 -1
 
 
 
.
(a) [1’75 puntos] Comprueba que A
2
= 2·I y calcula A
-1
.
(b) [1 punto] Calcula A
2013
y su inversa.
Solución
Sea A =
1 1
1 -1
 
 
 
.
(a)
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7
Comprueba que A2
= 2·I y calcula A-1
.
A2
= A·A =
1 1
1 -1
 
 
 
·
1 1
1 -1
 
 
 
=
2 0
0 2
 
 
 
= 2·
1 0
0 1
 
 
 
= 2·I.
La matriz inversa A-1
de A verifica A·A-1
= I.
De A2
= 2·I, tenemos A·A = 2·I, luego A·(1/2)A = I, por tanto tenemos que la matriz inversa de
A es: A-1
= (1/2)·A = (1/2)·
1 1
1 -1
 
 
 
=
1/2 1/2
1/2 -1/2
 
 
 
.
(b)
Calcula A2013
y su inversa.
Tenemos que A
2013
= A
2012
·A = (A
2
)
1006
·A = (2·I)
1006
·A = (2
1006
)·(I)
1006
·A =
= (21006
)·I·A = (21006
)·A = (21006
)·
1 1
1 -1
 
 
 
=
1006 1006
1006 1006
2 2
2 -2
 
 
 
.
Sabemos que (A.B)
-1
= B
-1
·A
-1
y (A.A)
-1
= A
-1
·A
-1
si A y B son cuadradas.
A
n
= A·A·A········{n veces}····A·A·A, con A matriz cuadrada.
(A
n
)
-1
= (A·A·A········{n veces}····A·A·A)
-1
= A
-1
·A
-1
·········{n veces}···· A
-1
·A
-1
.
Luego la matriz inversa pedida es (A2013
)-1
= A-1
·A-1
·········{2013 veces}···· A-1
·A-1
=
= (1/2)· A·(1/2)·A ·········{2013 veces}···· (1/2)·A·(1/2)·A = 2013
1
2
.A2013
=
= 2013
1
2
·(2
1006
)·A = 1007
1
2
·A = 1007
1
2
·
1 1
1 -1
 
 
 
=
1007 1007
1007 1007
1 1
2 2
1 1
2 2
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 4 opción B, modelo Junio 2013
Considera los puntos P(2,3,1) y Q(0,1,1)
(a) [1’75 puntos] Halla la ecuación del plano  respecto del cual P y Q son simétricos.
(b) [0’75 puntos] Calcula la distancias de P a .
Solución
Considera los puntos P(2,3,1) y Q(0,1,1)
(a)
Halla la ecuación del plano  respecto del cual P y Q son simétricos.
El plano  respecto del cual son simétricos los puntos P y Q, es el plano mediador del
segmento PQ, es decir el plano perpendicular al segmento PQ en su punto medio M.
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8
El plano pedido pasa por el punto medio M( (2 + 0)/2, (3 + 1)/2, (1 + 1)/2 ) = M(1,2,1); y tiene
como vector normal el n = PQ = (2 – 0, 3 – 1, 1 – 1) = (2,2,0).
El plano es el conjunto de puntos X tales que MXn = 0, donde “” es el producto escalar, es
decir:
  MXn = 0 = (x – 1, y – 2, z – 1) (2,2,0) = 2x – 2 + 2y – 4 = 2x + 2y – 6 = 0. Simplificando
tenemos   x + y – 3 = 0
(b)
Calcula la distancias de P a .
Teniendo en cuenta la figura, la distancia de P a , es la distancia de P al punto medio M, es
decir el módulo (|| ||) del vector PM, por tanto:
d(P,) = d(P,M) = ||PM|| = ||MP|| = 2 2 2
1 +1 +0 2 u.l.
P(2,3,1), M(1,2,1), MP = (2-1, 3-2, 1-1) = (1,1,0)

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13 soljun (2)

  • 1. IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna german.jss@gmail.com 1 Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 2013 [2’5 puntos] Sabiendo que 30 x·cos(x) + b·sen(x) lim xx es finito, calcula b y el valor del límite. Solución 30 x·cos(x) + b·sen(x) 0 lim ;L'H 0xx        , Le aplicamos la regla de L’Hôpital (L’H. Si f(x) y g(x) son continuas en [a – r, a + r], derivables en (a – r, a + r), con f(a) = g(a) = 0, entonces si existe f '(x) lim g '(x)x a , se verifica que f (x) f '(x) lim lim g (x) g '(x)x a x a   . La regla se puede reiterar y también es cierta cuando salga /, y cuando x  ) 3 20 0 x·cos(x) + b·sen(x) cos(x) - x·sen(x) + b·cos(x) 1 + b lim = lim = 0x 3xx x  Como dicen que existe el límite tendríamos que tener 0/0, para poder seguir aplicándole la regla L’H, de donde 1 + b = 0, por tanto b = -1, y tenemos: 20 cos(x) - x·sen(x) - cos(x) lim 3xx = {simplifico} = 20 - x·sen(x) lim 3xx = {Infinitésimos} = 20 - x·(x) lim 3xx = = {simplifico} = 0 lim x (-1/3) = -1/3. Ejercicio 2 opción A, modelo Junio 2013 Sean f : R  R y g : R  R las funciones definidas por f(x) = |x(x – 2)| y g(x) = x + 4. a) [1’25 puntos] Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes. Calcula el punto de corte entre ambas gráficas. a) [1’25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g. Solución Sean f : R  R y g : R  R las funciones definidas por f(x) = |x(x – 2)| y g(x) = x + 4. a) Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes. Calcula el punto de corte entre ambas gráficas. f(x) = |x(x – 2)| = |x 2 – 2x| = |h(x)| Dibujamos primero la grafica de h(x) = x 2 -2x, que es una parábola con las ramas hacia arriba  (el nº que multiplica a x 2 es positivo), con abscisa del vértice en el nº que anula la 1ª derivada, es decir h’(x) = 2x – 2 = 0, de donde x = 1 y el vértice es V(1, h(1)) = V(1,(1) 2 -2(1)) = = V(1,-1), que es el mínimo de la parábola y un máximo relativo del valor absoluto; puntos de corte en (0,0) y (2,0), pues los valores de “x” que anulan x2 -2x = x(x – 2) son x = 0 y x = 2. Recordamos que la gráfica del valor absoluto |h(x)| es la misma que la de h(x), si h(x)  0 (la gráfica está por encima del eje de abscisas OX), y simétrica respecto al eje OX, es decir gráfica de – h(x), si h(x) < 0 (la gráfica está por debajo del eje de abscisas OX). La gráfica de g(x) = x + 4 es la de una recta que pasa por los puntos (0,4) y (-4,0) Temiendo en cuenta lo anterior un esbozo de sus gráficas es
  • 2. IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna german.jss@gmail.com 2 Si observamos la grafica vemos que la recta corta sólo a la parte de la parábola que está por encima del eje de abscisas, por tanto para calcular los puntos de corte igualaremos x + 4 a x2 – 2x. Antes de hacerlo abrimos el valor absoluto, pues nos hará falta para calcular el área. (los puntos de división eran las soluciones de x 2 – 2x = 0, que nos salió x = 0 y x = 2. f(x) = |x 2 – 2x | = 2 2 2 x - 2x si x < 0 -(x - 2x) si 0 x < 2 x - 2x si x 2      = 2 2 2 x - 2x si x < 0 -x + 2x si 0 x < 2 x - 2x si x 2      Resolvemos ya x + 4 = x 2 – 2x, es decir 0 = x 2 - 3x - 4. 3 ± 9 + 16 3 ± 5 x = 2 2  , de donde las abscisas de los cortes son x = -1 y x = 4, y los puntos de corte (-1,3) y (4,4). a) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g. Para calcular el área observando la figura la tenemos que obtener como suma de tres regiones, una es desde -1 a 0 otra desde o a 2 y la tercera desde 2 a 4 Área = -1 0 (x+4 – (x 2 - 2x))dx + 0 2 (x+4 – (-x 2 + 2x))dx + 2 4 (x+4 – (x 2 - 2x))dx = = -1 0 (-x 2 + 3x + 4)dx + 0 2 (x 2 - x + 4)dx + 2 4 (-x 2 + 3x + 4)dx = = [ -x3 /3 + 3x2 /2 + 4x ]-1 0 + [ x3 /3 - x2 /2 + 4x ]0 2 + [ -x3 /3 + 3x2 /2 + 4x ]2 4 = = [(0) – ( 1/3 + 3/2 – 4) ] + [ (8/3 - 4/2 + 8) – (0) ] + [ (-64/3 + 48/2 + 16) – (-8/3 + 12/2 + 8)] = = 13/6 + 26/3 + 22/3 = 109/6 u.a.  18’1667 u2 . Ejercicio 3 opción A, modelo Junio 2013 Sea M = 1 0 -1 0 m+1 0 1 1 m-1           (a) [0’75 puntos] Determina los valores de m para que los vectores fila de M sean linealmente independientes. (b) [1 punto] Estudia el rango de M según los valores de m. (c) [0’75 puntos] Para m = 1, calcula la inversa de M.
  • 3. IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna german.jss@gmail.com 3 Solución Sea M = 1 0 -1 0 m+1 0 1 1 m-1           (a) Determina los valores de m para que los vectores fila de M sean linealmente independientes. La matriz M es de orden 3x3, y sabemos que los vectores fila son linealmente independientes si sólo si (sii) el determinante (det ó | |) de la matriz M es distinto de cero. Calculamos el determinante desarrollando por el adjunto de la primera fila. | M | = 1 0 -1 0 m+1 0 1 1 m-1 = 1.[(m+1)(m-1) – 0] – 0 + (-1)[(0) – (m+1)] = m 2 – 1 + m + 1 = m 2 + m. Igualando a cero tenemos 0 = m 2 + m = m(m + 1), de donde m = 0 y m = -1. Por tanto si m  0 y m  -1, | M |  0 y los vectores fila son linealmente independientes. (b) Estudia el rango de M según los valores de m. Como ya hemos calculado | M | = m 2 + m, esto nos sirve para calcular el rango de M. Si m  0 y m  -1, | M |  0 y rango (M) = 3. Si m = 0 tenemos M = 1 0 -1 0 1 0 1 1 -1           . En M como 1 0 0 1 = 1 - 0 = 1  0 (he tomado F1, F2, C1 y C2 para formar el menor), entonces rango(M) = 2. Si m = -1 tenemos M = 1 0 -1 0 0 0 1 1 -2           . En M como 1 0 1 1 = 1 - 0 = 1  0 (he tomado F1, F3, C1 y C2 para formar el menor), entonces rango(M) = 2. (c) Para m = 1, calcula la inversa de M. Para m = 1, M = 1 0 -1 0 2 0 1 1 0           . Sabemos que la inversa de M es M -1 = (1/|M|)·Adj(M t ) De | M | = m2 + m, tenemos para m = 1, | M | = (1)2 + (1) = 2 De M = 1 0 -1 0 2 0 1 1 0           , M t = 1 0 1 0 2 1 -1 0 0           , Adj(M t ) = 0 -1 2 0 1 0 -2 -1 2           , luego; M -1 = (1/2). 0 -1 2 0 1 0 -2 -1 2           =
  • 4. IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna german.jss@gmail.com 4 = 0 -1/2 1 0 1/2 0 -1 -1/2 1           . Ejercicio 4 opción A, modelo Junio 2013 Sea r la recta que pasa por el punto (1,0,0) y tiene como vector dirección (a,2a,1) y sea s la recta dada por -2x + y = -2 -ax + z = 0    (a) [1 punto] Calcula los valores de a para los que r y s son paralelas. (b) [1’5 puntos] Calcula para a = 1, la distancia entre r y s. Solución Sea r la recta que pasa por el punto (1,0,0) y tiene como vector dirección (a,2a,1) y sea s la recta dada por -2x + y = -2 -ax + z = 0    (a) Calcula los valores de a para los que r y s son paralelas. De la recta r tomamos un punto, el A(1,0,0) y un vector, el u = (a,2a,1). Ponemos la recta s en paramétricas, tomando x =   R, de donde y = -2 + 2 y z = a, para obtener un punto y un vector. s  x = y = -2 + 2 z = a         , con   R. Un punto de s es B(0,-2,0) y un vector es v = (1,2,a) Como nos dicen que las rectas son paralelas, sus vectores son dependientes, es decir sus coordenadas son proporcionales. De u = (a,2a,1) y v = (1,2,a), tenemos a/1 = 2a/2 = 1/a, que nos da lugar a dos ecuaciones: a/1 = 2a/2, de donde a = a a/1 = 1/a de donde a 2 = 1 es decir a =  1. Las rectas r y s son paralelas para los valores de “a =  1”. (b) Calcula para a = 1, la distancia entre r y s. Como ya sabemos para a = 1 las rectas son paralelas, vamos a calcular la distancia entre ellas como el área de un paralelogramo. Por área de un paralelogramo. Es la altura del paralelogramo Dada la recta “r” conocemos el punto A y el vector u. De la recta “s” sólo tomamos el punto B
  • 5. IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna german.jss@gmail.com 5 El área del paralelogramo determinado por los vectores u y AB es ||ABxu|| = basealtura = ||u||h, pero la altura “h” es d(s,r) = d(B;r), luego d(B;r) = (||ABxu||) / (||u||) De “r”, punto el A(1,0,0) y vector, el u = (1,2,1). De “s”, punto el B(0,-2,0). AB = (-1, -2,0) ABxu = i j k -1 -2 0 1 2 1    = i(-2) – j(-1) + k(0) = (-2,1,0) ||ABxu|| = ( 2 2 +1 2 +0 2 ) = ( 5 ) ||u|| = ( 1 2 +2 2 +1 2 ) = ( 6 ) d(P;r) = (||APxu||) / (||u||) = (( 5 ) ) / ( ( 6 ) ) = ( 5/6 ) u.l. Opción B Ejercicio 1 opción B, modelo Junio 2013 Sea f : (- ,1)  R la función definida por -x x + 2e si x 0 f(x) = a b - x si 0 < x < 1     . (a) [1’5 puntos] Determina a y b sabiendo que f es derivable en todo su dominio. (b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0. Solución (a) -x x + 2e si x 0 f(x) = a b - x si 0 < x < 1     es derivable en su dominio, por tanto también es continua en su dominio; en particular es continua y derivable en x = 0. Como es continua en x = 0 , + - x 0 x 0 f(0) = lim f(x) = lim f(x)   - - x 0 x 0 f(0) = lim f(x) = lim   (x + 2e-x ) = 0 + 2e-0 = 2e0 = 2 ;  + + x 0 x 0 lim f(x) = lim a b - x = a b   Igualando tenemos 2 = a b . -x 1 - 2e si x 0 f '(x) = -1 a· si 0 < x < 1 2 b - x       = -x 1 - 2e si x 0 - a si 0 < x < 1 2 b - x       Como es derivable en x = 0, tenemos f ‘(0 + ) = f’(0 - ). Vamos a ver la continuidad de la derivada. - - - x 0 x 0 f '(0 ) = lim f '(x) = lim   ( 1 - 2e-x ) = 1 - 2e-0 = 1 - 2 = -1; + + + x 0 x 0 - a - a f '(0 ) = lim f '(x) = lim = 2 b - x 2 b        ; Igualando tenemos -1 = - a 2 b . De 2 = a b , tenemos a = 2 b . Entrando en -1 = - a 2 b , sale 1 = 2 1 = b2 b· b . Por tanto
  • 6. IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna german.jss@gmail.com 6 tenemos b = 1 y a = 2 1 = 2. (b) Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0. Para x = 0, la función es f(x) = x + 2e-x y f ‘(x) = 1 - 2e-x La ecuación de la recta tangente en x = 0 es y – f(0) = f ‘(0)(x – 0) La ecuación de la recta normal en x = 0 es y – f(0) = (-1/f ‘(0))·(x – 0) f(0) = 0 + 2e -0 = 2e 0 = 2 f ‘(0) = 1 - 2e-0 = 1 - 2 = -1 Luego la recta tangente en x = 0 es y - 2 = -1(x – 0) es decir y = -x + 2. Luego la recta normal en x = 0 es y - 2 = (-1/-1)·(x – 0) es decir y = x + 2. Ejercicio 2 opción B, modelo Junio 2013 [2’5 puntos] Sea g : R  R definida por g(x) = ln(x2 + 1) (donde ln denota el logaritmo neperiano). Calcula la primitiva de g cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas.. Solución Es el ejercicio nº 2 de la Opción B de Junio de 2007 Una primitiva de g(x) es G(x) = ( )g x dx K I = 2 1( ) ( )g x dx ln x dx   que es una integral por partes ( udv uv vdu   ) u = ln(x2 + 1), de donde du = (2x)/(x2 + 1) dv = dx, de donde v = dx x I = 2 1( )ln x dx = x·ln(x 2 + 1) - 12 2x x· dx x  = x·ln(x 2 + 1) - 2 2 x 2 dx x +1 = x·ln(1 + x 2 ) – 2I1. I1 = 2 2 1 x dx x , aunque sencilla es una integral racional (hay que dividir) o poner el numerador en la forma x 2 = x 2 + 1 – 1. I1 = 2 2 2 2 22 diviendo porsumo un 0 ( +1-1)x x +1 -1 -1 dx 1+ en el numeradorx +1 x +1 x +1x + 1 dx dx                       = = x – artag(x). I = x·ln(x 2 + 1 ) – 2I1 = x·ln(x 2 + 1 ) – 2(x – artag(x)) Una primitiva es G(x) =  g(x)dx + K = x·ln(x 2 + 1 ) – 2(x – artag(x)) + K. Como nos dicen que la primitiva G(x) pasa por el origen (0,0) tenemos G(0) = 0. De G(0) = 0, tenemos 0 = 0·Ln(0 + 1) – 2(0 – artag(0)) + K = 0 + K, de donde K = 0 y la primitiva pedida es G(x) = x·ln(x2 + 1 ) – 2(x – artag(x)) Ejercicio 3 opción B, modelo Junio 2013 Sea A = 1 1 1 -1       . (a) [1’75 puntos] Comprueba que A 2 = 2·I y calcula A -1 . (b) [1 punto] Calcula A 2013 y su inversa. Solución Sea A = 1 1 1 -1       . (a)
  • 7. IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna german.jss@gmail.com 7 Comprueba que A2 = 2·I y calcula A-1 . A2 = A·A = 1 1 1 -1       · 1 1 1 -1       = 2 0 0 2       = 2· 1 0 0 1       = 2·I. La matriz inversa A-1 de A verifica A·A-1 = I. De A2 = 2·I, tenemos A·A = 2·I, luego A·(1/2)A = I, por tanto tenemos que la matriz inversa de A es: A-1 = (1/2)·A = (1/2)· 1 1 1 -1       = 1/2 1/2 1/2 -1/2       . (b) Calcula A2013 y su inversa. Tenemos que A 2013 = A 2012 ·A = (A 2 ) 1006 ·A = (2·I) 1006 ·A = (2 1006 )·(I) 1006 ·A = = (21006 )·I·A = (21006 )·A = (21006 )· 1 1 1 -1       = 1006 1006 1006 1006 2 2 2 -2       . Sabemos que (A.B) -1 = B -1 ·A -1 y (A.A) -1 = A -1 ·A -1 si A y B son cuadradas. A n = A·A·A········{n veces}····A·A·A, con A matriz cuadrada. (A n ) -1 = (A·A·A········{n veces}····A·A·A) -1 = A -1 ·A -1 ·········{n veces}···· A -1 ·A -1 . Luego la matriz inversa pedida es (A2013 )-1 = A-1 ·A-1 ·········{2013 veces}···· A-1 ·A-1 = = (1/2)· A·(1/2)·A ·········{2013 veces}···· (1/2)·A·(1/2)·A = 2013 1 2 .A2013 = = 2013 1 2 ·(2 1006 )·A = 1007 1 2 ·A = 1007 1 2 · 1 1 1 -1       = 1007 1007 1007 1007 1 1 2 2 1 1 2 2             Ejercicio 4 opción B, modelo Junio 2013 Considera los puntos P(2,3,1) y Q(0,1,1) (a) [1’75 puntos] Halla la ecuación del plano  respecto del cual P y Q son simétricos. (b) [0’75 puntos] Calcula la distancias de P a . Solución Considera los puntos P(2,3,1) y Q(0,1,1) (a) Halla la ecuación del plano  respecto del cual P y Q son simétricos. El plano  respecto del cual son simétricos los puntos P y Q, es el plano mediador del segmento PQ, es decir el plano perpendicular al segmento PQ en su punto medio M.
  • 8. IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna german.jss@gmail.com 8 El plano pedido pasa por el punto medio M( (2 + 0)/2, (3 + 1)/2, (1 + 1)/2 ) = M(1,2,1); y tiene como vector normal el n = PQ = (2 – 0, 3 – 1, 1 – 1) = (2,2,0). El plano es el conjunto de puntos X tales que MXn = 0, donde “” es el producto escalar, es decir:   MXn = 0 = (x – 1, y – 2, z – 1) (2,2,0) = 2x – 2 + 2y – 4 = 2x + 2y – 6 = 0. Simplificando tenemos   x + y – 3 = 0 (b) Calcula la distancias de P a . Teniendo en cuenta la figura, la distancia de P a , es la distancia de P al punto medio M, es decir el módulo (|| ||) del vector PM, por tanto: d(P,) = d(P,M) = ||PM|| = ||MP|| = 2 2 2 1 +1 +0 2 u.l. P(2,3,1), M(1,2,1), MP = (2-1, 3-2, 1-1) = (1,1,0)