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Tema 9 
LA PROPORCIÓN Y ESTRUCTURAS 
MODULARES 
3º de ESO 
CURSO 2011-2012 
Por Rafael Q.
• Este icono significa que se trata de un 
ejercicio para realizar en una lámina
LLAA P PRROOPPOORRCCIÓIÓNN 
Para empezar… El tamaño de los objetos 
LA PROPORCIÓN VIENE DADA 
POR LA RELACIÓN ENTRE LAS 
DIMENSIONES DE LOS 
OBJETOS.
LLAA P PRROOPPOORRCCIÓIÓNN 
La razón entre dos cantidades 
• Para poder comparar dos cantidades se halla la razón o cociente entre 
ellas. La razón se puede expresar de distintas maneras. Por ejemplo, la 
razón entre dos segmentos de 5 y 10 centímetros se puede expresar así: 
- Mediante dos puntos: 5 : 10 
- Mediante la preposición a: 5 a 10 
- Mediante una fracción: 5/10 
- Mediante una fracción equivalente: 1/2 
- Con el resultado del cociente: 0,5 
- En forma de porcentaje: 50% 
Todas estas formas explican que en el segmento de mayor tamaño 
[10 cm] está contenido dos veces el segmento pequeño [5 cm].
LLAA P PRROOPPOORRCCIÓIÓNN 
• En el caso de que dos figuras tengan la misma forma se dice que la 
razón entre sus medidas es siempre la misma: es constante 
a b 
c 
e d 
f 
a' 
b' 
• Así, en el ejemplo, la razón entre los lados a y a' es la misma que 
entrelos lados b y b'. e y e', etc. Podemos establecer, pues la 
siguiente expresión: a/a' = b/b’ = c/c'= d/d' = e/e' = f/f’ = constante. 
• La igualdad de dos razones recibe el nombre de proporción. 
c' 
d' 
e' 
f’
s 
s 
TEOREMA DE TALES 
s 
d 
O r 
c 
Proporcionalidad entre segmentos 
b 
a 
f 
e 
t 
v 
u 
a/b = c/d = e/f 
O 
N 
a/b = c/x 
Q 
r 
b 
X 
a M c P 
CUARTA PROPORCIONAL 
a/b = b/x 
a b 
O 
r 
a 
O M 
b 
O N 
X 
M P 
b 
N 
Q 
TERCERA PROPORCIONAL 
a 
A P 
P B 
C b 
O 
A 
a 
P 
b 
B 
X 
a/x = b/x 
MEDIA PROPORCIONAL 
O M 
O b 
N 
M c P 
a 
DIVISIÓN EN PARTES IGUALES 
A B 
A 
B 
1 
2 
3 
4 
1´ 2´ 3´ 4´ 
LLAA P PRROOPPOORRCCIÓIÓNN
Teorema de Tales 
• El teorema de Tales afirma que los 
segmentos (a, b, c, d, e, f) determinados 
por un haz de rectas paralelas 
equidistantes entre sí (t, u, v), sobre otras 
dos rectas que se cortan (s, r). Son 
proporcionales. 
TEOREMA DE TALES 
s 
d 
b 
f 
t 
v 
u 
O r 
c 
a 
e 
a/b = c/d = e/f 
• SE EXPRESA GRÁFICAMENTE ASÍ 
LLAA P PRROOPPOORRCCIÓIÓNN
Teorema de Tales: división de un 
segmento en partes iguales 
• Una de las principales aplicaciones del teorema de Tales es la división de un 
segmento en partes iguales. 
1. Por uno de los extremos A se traza una 
recta cualquiera s 
2. Sobre la recta s se llevan tantos 
segmentos iguales, de longitud arbitraria, 
como número de partes se quiera dividir el 
segmento 
3. Se traza la recta t uniendo el último 
punto con el extremo B del segmento dado 
4. Se trazan paralelas a t por los puntos 1, 
2, 3, ... de la recta s. 
LLAA P PRROOPPOORRCCIÓIÓNN
Teorema de la altura 
• El teorema de la altura de Euclides afirma 
que en un triángulo rectángulo se verifica la 
siguiente relación de proporcionalidad: 
• a/x = x/b, o bien a * b = x2 
• Se dice, que la altura (x) es la media 
proporcional de los dos segmentos [a, b) en 
que se divide de la hipotenusa. 
• Empleando este teorema, por tanto, 
podemos determinar gráficamente la media 
proporcional de dos segmentos. 
• Dados dos segmentos de longitudes a y b, la 
media proporcional de ambos (x), es el 
segmento que cumple la relación 
a/x = x/b, o a * b = x2 
C 
O 
A 
a 
P 
b 
B 
X 
MEDIA PROPORCIONAL 
LLAA P PRROOPPOORRCCIÓIÓNN
Teorema de la altura: determinación 
de la media proporcional 
Teorema de la altura: TRAZADO 
En todo triángulo rectángulo la altura sobre 
la hipotenusa es media proporcional entre 
los segmentos en que queda dividida la 
hipotenusa 
a x 
= 
x b 
1. Sobre la recta r se trasladan los 
segmentos a=AB y b=CD, trazando una 
semicircunferencia de diámetro la suma de 
ambos AD 
2. Por el punto B =C se traza recta 
perpendicular a r hasta cortar a la 
semicircunferencia en el punto F. 
El segmento x = AF es la media media 
proporcional buscada 
A 
A a B 
x 
a 
E B-C 
b 
D r 
F 
C b D 
LLAA P PRROOPPOORRCCIÓIÓNN
A E 
B 
D C 
CONSTRUCCIÓN DEL RECTÁNGULO ÁUREO 
Educación Plástica y 
Visual 
Sección áurea en la expresión plástica. 3º ESO 
Proporción áurea 
A B 
O 
C 
D 
( a + b ) / a = a / 
b 
A M 
B E 
LLAA P PRROOPPOORRCCIÓIÓNN
Sección Áurea 
Definición: 
Se denomina Sección Aurea de dicho 
segmento a la división que le produce un 
punto B de forma que: 
a x 
= 
x b 
La proporción entre la parte más pequeña a 
y la más grande x es igual a la existente 
entre la parte más grande x y el todo b 
Dados un segmento b = AC 
A C 
b 
x a 
A B C 
LLAA P PRROOPPOORRCCIÓIÓNN
Sección Áurea: Trazado 
Dado un segmento, hallar su división áurea 
1. Por B se traza la perpendicular a r 
2. Se halla el punto medio C de AB y con 
centro en B y radio BC se traza un arco 
3. Se unen A y D, y con centro en D y radio 
DB se traza un arco 
4. Con centro en A y radio AE se traza otro 
arco. AF es la división áurea
RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS 
Relaciones de proporcionalidad entre 
figuras: Igualdad 
• Entre dos figuras se puede establecer una serie de relaciones proporcionales 
B 
F 
C 
D 
E 
A 
B’ 
D’ 
F’ 
E’ 
A’ 
C’ 
• La igualdad es una de estas relaciones, cuya proporción es 1 :1. Decimos que dos 
figuras son iguales cuando al superponerlas coinciden todos sus lados y ángulos. 
• Para construir una figura igual a otra se pueden seguir diferentes procedimientos: 
traslación, giro, triangulación, transporte de ángulos y reproducción de coordenadas.
Educación Plástica y 
E’ 
D’ 
F’ 
Visual 
RREELLAACCIOIONNEESS D DEE P PRROOPPOORRCCIOIONNAALLIDIDAADD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS 
Ahora veremos las siguientes construcciones… 3º ESO 
B 
C 
D 
E 
F 
A 
B’ 
D’ 
F’ 
E’ 
A’ 
A’ D’ 
B’ C’ 
O’ 
A 
B 
D 
C 
A’ 
B’ 
D’ 
C’ 
TRASLACIÓN 
GIRO 
COORDENADAS TRIANGULACIÓN 
C’ 
D 
C 
B 
A 
O 
Centro de giro 
C 
D 
B 
E 
A 
C’ 
B’ 
A’ 
D’ 
E’ 
B 
C 
E 
D 
A 
F 
B’ 
A’ 
C’ 
COPIA DE ÁNGULOS
Igualdad por Traslación 
• Trasladar una figura consiste en desplazar todos sus vértices en 
sentido recto a una misma distancia. 
Dada la figura ABCDEF se traza una paralela por cada 
uno de sus vértices. Sobre la recta que contiene al vértice 
A, se fija a una distancia el punto A’. 
Se transporta esa misma distancia sobre cada una de las 
paralelas, de modo que queden fijados los vértices de la 
nueva figura igual, A’B'C’D’E'F'. 
Los lados correspondientes permanecen paralelos e 
iguales a los de la figura inicial, 
B 
C 
D 
E 
F 
A 
B’ 
D’ 
F’ 
E’ 
A’ 
C’ 
RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS
RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS 
Igualdad por Giro 
• Girar una figura consiste en desplazar todos sus vértices en sentido circular y 
con la misma amplitud. Como centro de giro se elige un punto cualquiera, O. 
• A partir de O, se traza un arco por cada uno de 
los vértices. 
• Sobre el arco que contiene al punto A, se fija 
una cierta amplitud de ángulo y se determina el 
vértice A’. 
• Con esa misma amplitud se transportan el resto 
de los vértices. 
• Con este procedimiento, la figura rota alrededor 
del centro de giro, permaneciendo constante la 
distancia de cada uno de sus vértices al mismo. 
En este caso, OA= OA’. OB= OB', y el ángulo 
AOA' = ángulo BOB' = ángulo COC’
RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS 
Igualdad por Triangulación 
• Triangular una figura consiste en descomponer su superficie en triángulos y trazar 
copias de los mismos. Esto es posible porque el triángulo es el polígono más simple 
y se puede copiar de manera sencilla. 
• Dada una figura ABCDE, se trazan diagonales 
desde un vértice, por ejemplo el A, de modo que 
esta quede dividida en triángulos con un vértice 
común. 
• Para construir la figura igual a la primera, se 
traza el lado AB', paralelo a AB. 
• A continuación, se trasladan con el compás las 
medidas del lado BC y AC, en cuya intersección 
estará el punto C'. De esta manera se obtiene el 
triángulo A’B'C', igual al ABC. 
• Se trasladan las medidas del lado CD y AD, 
reproduciendo sucesivamente todos los 
triángulos de la figura inicial y completando la 
figura AB'C‘D'E'.
RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS 
Igualdad por Transporte de ángulos 
• Este procedimiento consiste en transportar 
cada ángulo de la figura dada para construir 
una figura igual. 
Dado el polígono ABCDE 
1. Sobre una recta r se dibuja A’B’ = AB 
2. Con centro en B’ se traza un ángulo 
igual al B. (con el compás) 
3. Se transporta el segmento B’C’ = BC. 
(con el compás) 
4. Se repite la operación con todos los 
vértices
RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS 
Igualdad por coordenadas 
• Los ejes de coordenadas son dos rectas perpendiculares A que 
permiten asignar a cada punto del plano dos coordenadas. Este 
procedimiento consiste en reproducir las coordenadas de la 
figura inicial sobre otros ejes 
• Dada una figura ABCD, se dibujan dos ejes 
de coordenadas y se trazan perpendiculares 
a los mismos desde todos los vértices de la 
figura. 
• De este modo, se averiguan las 
coordenadas de cada uno de ellos. 
• Para dibujar la figura igual a la dada, se 
trasladan los ejes y se reproducen las 
mismas coordenadas, estos puntos serán 
los nuevos vértices de la figura AB'C‘D'
RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS 
Manifestaciones artísticas de la 
igualdad 
• Algunas composiciones artísticas están basadas en la repetición de figuras iguales, 
siendo también un recurso muy utilizado en la ornamentación, el diseño gráfico y la 
arquitectura. 
• Observa la sucesión de figuras 
iguales en esta composición 
pictórica, La finalidad de este 
recurso estructural es producir 
un efecto de homogeneidad 
visual.
Educación Plástica y 
Visual 
RREELLAACCIOIONNEESS D DEE P PRROOPPOORRCCIOIONNAALLIDIDAADD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS 
La igualdad en la expresión plástica. 3º ESO 
Figuras iguales 
Friso de la portada de la iglesia de 
San Pedro, Ojeda (Palencia), siglo XII. 
ANDY WARHOL 
Papel de empapelar con vacas, 1965.
RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS 
Relaciones de proporcionalidad entre 
figuras: Simetría y Semejanza 
• Para que exista una relación de proporcionalidad entre dos figuras, estas deben 
tener la misma forma; Si estas figuras tienen una orientación en el espacio 
contrapuesta, son simétricas y, si tienen distinto tamaño, son semejantes.
RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS 
Simetría 
• La simetría es una relación entre 
dos figuras, en la que cada punto 
de la primera se corresponde con 
otro de la segunda, de modo que 
ambos equidistan de un eje, de un 
centro o de un plano de simetría.
RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS 
Simetría axial 
• La simetría axial o respecto a un eje establece que dos puntos simétricos A y A' 
están situados en una misma recta perpendicular a otra, llamada eje de simetría, y 
son contrapuestos y equidistantes a este. 
• Dada la figura ABCDE, se trazan desde los 
vértices líneas perpendiculares al eje de 
simetría. 
• Sobre las perpendiculares trazadas se 
transportan medidas, de modo que las 
distancias de los vértices A. B, C, D y E al 
eje sean iguales a las distancias del eje a 
los vértices A', B', C', D' y E', 
respectivamente. 
• Uniendo los vértices obtenidos se 
construye la figura.
Simetría Central 
• La simetría central o respecto a un punto dispone que, dos puntos simétricos A y A' 
que están situados sobre una línea recta que pasa por un punto, llamado centro de 
simetría, equidistan de él y están contrapuestos. 
• Dada la figura ABCDE, se trazan 
rectas desde cada vértice al centro 
de simetría O y se prolongan. 
• Sobre estas rectas se transportan 
medidas, de modo que las 
distancias de los vértices A, B, C, D y 
E al punto O sean iguales a las 
distancias del punto O a los vértices 
A', B', C', D' y E', respectivamente. 
• Uniendo los vértices obtenidos se 
construye la figura 
RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS
RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS 
Semejanza 
La semejanza es una relación entre figuras en la que los ángulos correspondientes de 
las mismas son iguales, y sus lados correspondientes, proporcionales. 
Se pueden obtener figuras semejantes utilizando los siguientes procedimientos.
RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS 
Semejanza por Radiación 
• Se elige un punto O exterior a la 
figura y desde él se trazan rectas que 
pasen por los vértices de esta. 
• Sobre la prolongación de una recta, la 
que pasa por el punto A. se marca el 
punto A. Por A se traza un segmento 
AB' paralelo al lado AB. 
• Repitiendo la misma operación con 
todos los lados se obtendrá la figura 
semejante. 
• Observa que se establece la 
proporción: 
AB/AB' = BC/B'C‘ = CD/C‘D‘= …
RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS 
Semejanza por radiación: (Desde un 
vértice) 
• Dada una figura ABCDE, se elige el vértice A. y 
desde él se trazan rectas que pasen por los 
demás vértices 
• Se sitúa un punto B' en la prolongación del lado 
AB, Por el punto B' se traza una paralela al lado 
BC, hasta cortar a la prolongación de AC en C’ 
• A partir de él, se repite la misma operación 
hasta completar la figura semejante. 
• Comprueba que se establece la proporción 
entre los lados: 
AB/A’B‘= BC/B’C‘=CD/C’D’=DE/D’E’=…
RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS 
Aplicaciones en la expresión plástica 
• Como ocurre con la igualdad, la simetría y la semejanza se pueden 
utilizar como recursos para realizar obras artísticas y estructuras 
arquitectónicas, ornamentales y de diseño 
Esta fotografía se basa en un 
juego de formas circulares 
semejantes que producen una 
ligera sensación de 
movimiento. 
Este anuncio publicitario de papel 
presenta una estructura simétrica que 
simplifica el recorrido visual del 
observador.
Educación Plástica y 
Visual 
RREELLAACCIOIONNEESS D DEE P PRROOPPOORRCCIOIONNAALLIDIDAADD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS 
Simetría y semejanza en la expresión plástica. 3º ESO 
Simetría y semejanza 
F. ESQUINAS 
Laberinto, 1997. 
F. ESQUINAS 
Sin título, 1998.
Escalas 
• Una escala es la relación que existe entre dos figuras, 
una de ellas es la del dibujo y la otra, la figura real. 
• Se expresa mediante un cociente o razón entre las 
medidas del dibujo y las de la realidad: 
Escala = 
PAÍS 
VASCO/ 
EUSKADI 
CASTILLA-LA MANCHA 
Medida del DIBUJO 
Medida de la REALIDAD A N D A L U C Í A 
REGIÓN 
DE 
MURCIA 
F R A N C I A 
CATALUÑA/ 
CATALUNYA 
ISLAS BALEARES/ 
ILLES BALEARS 
COMUNIDAD VALENCIANA/ 
COMUNITAT VALENCIA 
PRINCIPADO 
DE ASTURIAS 
COMUNIDAD FORAL 
DE NAVARRA 
LA RIOJA 
CASTILLA 
Y 
LEÓN 
ANDORRA 
C A N A R I A S CEUTA Y MELILLA 
M A R R U E C O S 
G A L I C I A 
A R A G Ó N 
COMUNIDAD 
DE MADRID 
Escala 1: 15.500.000 
0 100 200 km 
EESSCCAALLAASS
Educación Plástica y 
Visual 
3º ESO 
ESCALA DE 
AMPLIACIÓN 
11 mm 
24 mm 
Escala 1:1 
ESCALA 
NATURAL 
ESCALA DE 
REDUCCIÓN 
22 mm 
48 mm 
Escala 2:1 
12 mm 
5,5 mm 
Escala 1:2 
Cuando el dibujo mide lo mismo que el objeto 
real, se dice que está representado a escala 
natural; si es más pequeño que el objeto real, 
se dice que está a escala de reducción, y si es 
mayor, a escala de ampliación. 
ESCALA NATURAL 
ESCALA DE REDUCCIÓN 
ESCALA DE AMPLIACIÓN 
EESSCCAALLAASS
EESSCCAALLAASS 
Escalas Gráficas 
• La escala gráfica es una especie de regla graduada que se construye 
para poder trabajar fácilmente en una escala determinada sin tener 
que realizar ninguna operación matemática previa. Se denominan 
también escalas volantes. 
Observa cómo se emplea una escala gráfica para poder medir la planta trazada a escala 1/75
Escalas Gráficas y Escalas Volantes 
5 0 1 2 10 
Escala gráfica 3:1 
Contraescala 
ESCALÍMETRO 
Escala de ampliación 7:4 
7 cm 
4 cm 
Escala de reducción 5:8 
5 cm 
8 cm 
ESCALA VOLANTE 
Y CONTRAESCALA 
1 cm 
2,6 cm 
0,5 cm 
1,4 cm 
EESSCCAALLAASS
9 La proporción 
10 
Educación Plástica y 
Visual 
Actividades de consolidación. 3º ESO 
Actividades 
REALIZA EL GIRO 
DE UNA FIGURA. 
DIBUJA UN OBJETO 
SIMÉTRICO. 
CONSTRUYE LA FIGURA 
SIMÉTRICA. 
REALIZA UNA 
AMPLIACIÓN A 
ESCALA 3:1.
9 La proporción 
11 
Educación Plástica y 
Visual 
En el Arte. 3º ESO 
Estética y proporción en la figura humana 
LISIPO 
Apoxiomeno, 300 
a.C. 
LE CORBUSIER 
Posiciones del cuerpo 
humano en el 
espacio, 1945. 
Figuras de la Isla de 
Pascua. 
LEONARDO DA VINCI 
Las proporciones del 
hombre, hacia 1490.
Tema 9: parte 2/2 
LA PROPORCIÓN Y ESTRUCTURAS 
MODULARES 
3º de ESO 
CURSO 2011-2012 
Por Rafael Q.
RReeddeess m moodduulalareress 
• Las redes modulares son estructuras, generalmente geométricas, 
que permiten relacionar figuras iguales o semejantes, llamadas 
módulos, en una misma superficie. 
La red modular debe compactar el 
plano, es decir, cubrirlo por 
completo sin dejar superficies 
vacías 
EJEMPLOS: 
Las formadas por Triángulos y 
Cuadrados o derivados de estos. 
sí NO
RReeddeess m moodduulalareress 
Redes modulares simples 
• Las redes modulares simples están formadas 
por la repetición de una sola figura. 
• Además de las redes triangulares y cuadradas 
básicas, existen otras con distintas 
peculiaridades: rectangulares, quebradas, 
romboides, etc.
RReeddeess m moodduulalareress 
Redes modulares simples 
Red triangular (a=b= 60º) Red cuadrada (a=b=90º) Red rectangular (a>b=90º) 
Quebrada Romboide Deformada Irregular Enladrillada Escalonada
RReeddeess m moodduulalareress 
Redes modulares compuestas 
Las redes modulares compuestas se forman por la yuxtaposición de varias figuras 
geométricas regulares o por la superposición de dos o más redes simples. 
REDES MODULARES COMPLEJAS POR: Yuxtaposición de polígonos regulares 
REDES MODULARES COMPLEJAS POR: Superposición de redes simples
RReeddeess m moodduulalareress 
El módulo 
El módulo es la figura básica que se repite en las 
estructuras modulares. 
La combinación proporcionada de varios módulos sobre una 
red o trama da lugar a la composición modular. 
Cuando se combinan varios módulos básicos para formar 
una figura más compleja aparece un supermódulo 
supermódulo módulo
RReeddeess m moodduulalareress 
Movimientos del módulo 
Un módulo se puede colocar y combinar en distintas 
posiciones. Entre los movimientos más usuales destacan 
el giro y el desplazamiento, y aplicando el giro se puede 
llegar a situar los módulos en contraposición, es decir 
formando una simetría 
GIRO GIRO CON SIMETRÍA
RReeddeess m moodduulalareress 
Movimientos del módulo 
DESPLAZAMIENTO DE LAS 
CASILLAS 
DESPLAZAMIENTO VARIANDO 
EL ESPACIO ENTRE CASILLAS
RReeddeess m moodduulalareress 
La circunferencia en la 
composición modular 
La circunferencia es una figura que no puede compactar el espacio, al igual 
que el pentágono, por lo que no hay redes modulares circulares. Sin 
embargo, inscribiéndola en cuadrados, se utiliza como estructura para 
diseñar módulos, dejando los espacios libres como formas de apoyo
RReeddeess m moodduulalareress 
Efectos tridimensionales 
Como en cualquier expresión visual, en la composición modular se pueden 
crear sensaciones de espacio tridimensional utilizando diferentes recursos 
gráficos:
ACTIVIDAD 1 
• VISITA EL SIGUIENTE ENLACE ; Con la 
herramienta que encontrarás, puedes 
fácilmente crear una composición 
modular creando un supermódulo a 
partir de una red modular triangular. 
• Realiza varias pruebas y envíame tu mejor 
diseño a la dirección de siempre 
AACCTTIVIVIDIDAADDEESS 
ejemplos
AACCTTIVIVIDIDAADDEESS 
ACTIVIDAD 2 
• VISITA EL SIGUIENTE ENLACE ; Con la herramienta que encontrarás, puedes fácilmente crear 
una composición modular creando un supermódulo a partir de una red modular cuadrada. 
• Realiza varias pruebas y envíame tu mejor diseño a la dirección de siempre
AACCTTIVIVIDIDAADDEESS 
ACTIVIDAD 3 
• Realiza la Actividad Nº 18 del libro de texto (unidad 9, página 168)
Bibliografía: 
•Educación Plástica y Visual II. Editorial SM 
ISBN: 9788467540017 
•http://www.educacionplastica.net 
•Banco de imágenes google

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2 tema 9 la proporción y estructuras modulares parte 1 y 2

  • 1. Tema 9 LA PROPORCIÓN Y ESTRUCTURAS MODULARES 3º de ESO CURSO 2011-2012 Por Rafael Q.
  • 2. • Este icono significa que se trata de un ejercicio para realizar en una lámina
  • 3. LLAA P PRROOPPOORRCCIÓIÓNN Para empezar… El tamaño de los objetos LA PROPORCIÓN VIENE DADA POR LA RELACIÓN ENTRE LAS DIMENSIONES DE LOS OBJETOS.
  • 4. LLAA P PRROOPPOORRCCIÓIÓNN La razón entre dos cantidades • Para poder comparar dos cantidades se halla la razón o cociente entre ellas. La razón se puede expresar de distintas maneras. Por ejemplo, la razón entre dos segmentos de 5 y 10 centímetros se puede expresar así: - Mediante dos puntos: 5 : 10 - Mediante la preposición a: 5 a 10 - Mediante una fracción: 5/10 - Mediante una fracción equivalente: 1/2 - Con el resultado del cociente: 0,5 - En forma de porcentaje: 50% Todas estas formas explican que en el segmento de mayor tamaño [10 cm] está contenido dos veces el segmento pequeño [5 cm].
  • 5. LLAA P PRROOPPOORRCCIÓIÓNN • En el caso de que dos figuras tengan la misma forma se dice que la razón entre sus medidas es siempre la misma: es constante a b c e d f a' b' • Así, en el ejemplo, la razón entre los lados a y a' es la misma que entrelos lados b y b'. e y e', etc. Podemos establecer, pues la siguiente expresión: a/a' = b/b’ = c/c'= d/d' = e/e' = f/f’ = constante. • La igualdad de dos razones recibe el nombre de proporción. c' d' e' f’
  • 6. s s TEOREMA DE TALES s d O r c Proporcionalidad entre segmentos b a f e t v u a/b = c/d = e/f O N a/b = c/x Q r b X a M c P CUARTA PROPORCIONAL a/b = b/x a b O r a O M b O N X M P b N Q TERCERA PROPORCIONAL a A P P B C b O A a P b B X a/x = b/x MEDIA PROPORCIONAL O M O b N M c P a DIVISIÓN EN PARTES IGUALES A B A B 1 2 3 4 1´ 2´ 3´ 4´ LLAA P PRROOPPOORRCCIÓIÓNN
  • 7. Teorema de Tales • El teorema de Tales afirma que los segmentos (a, b, c, d, e, f) determinados por un haz de rectas paralelas equidistantes entre sí (t, u, v), sobre otras dos rectas que se cortan (s, r). Son proporcionales. TEOREMA DE TALES s d b f t v u O r c a e a/b = c/d = e/f • SE EXPRESA GRÁFICAMENTE ASÍ LLAA P PRROOPPOORRCCIÓIÓNN
  • 8. Teorema de Tales: división de un segmento en partes iguales • Una de las principales aplicaciones del teorema de Tales es la división de un segmento en partes iguales. 1. Por uno de los extremos A se traza una recta cualquiera s 2. Sobre la recta s se llevan tantos segmentos iguales, de longitud arbitraria, como número de partes se quiera dividir el segmento 3. Se traza la recta t uniendo el último punto con el extremo B del segmento dado 4. Se trazan paralelas a t por los puntos 1, 2, 3, ... de la recta s. LLAA P PRROOPPOORRCCIÓIÓNN
  • 9. Teorema de la altura • El teorema de la altura de Euclides afirma que en un triángulo rectángulo se verifica la siguiente relación de proporcionalidad: • a/x = x/b, o bien a * b = x2 • Se dice, que la altura (x) es la media proporcional de los dos segmentos [a, b) en que se divide de la hipotenusa. • Empleando este teorema, por tanto, podemos determinar gráficamente la media proporcional de dos segmentos. • Dados dos segmentos de longitudes a y b, la media proporcional de ambos (x), es el segmento que cumple la relación a/x = x/b, o a * b = x2 C O A a P b B X MEDIA PROPORCIONAL LLAA P PRROOPPOORRCCIÓIÓNN
  • 10. Teorema de la altura: determinación de la media proporcional Teorema de la altura: TRAZADO En todo triángulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos en que queda dividida la hipotenusa a x = x b 1. Sobre la recta r se trasladan los segmentos a=AB y b=CD, trazando una semicircunferencia de diámetro la suma de ambos AD 2. Por el punto B =C se traza recta perpendicular a r hasta cortar a la semicircunferencia en el punto F. El segmento x = AF es la media media proporcional buscada A A a B x a E B-C b D r F C b D LLAA P PRROOPPOORRCCIÓIÓNN
  • 11. A E B D C CONSTRUCCIÓN DEL RECTÁNGULO ÁUREO Educación Plástica y Visual Sección áurea en la expresión plástica. 3º ESO Proporción áurea A B O C D ( a + b ) / a = a / b A M B E LLAA P PRROOPPOORRCCIÓIÓNN
  • 12. Sección Áurea Definición: Se denomina Sección Aurea de dicho segmento a la división que le produce un punto B de forma que: a x = x b La proporción entre la parte más pequeña a y la más grande x es igual a la existente entre la parte más grande x y el todo b Dados un segmento b = AC A C b x a A B C LLAA P PRROOPPOORRCCIÓIÓNN
  • 13. Sección Áurea: Trazado Dado un segmento, hallar su división áurea 1. Por B se traza la perpendicular a r 2. Se halla el punto medio C de AB y con centro en B y radio BC se traza un arco 3. Se unen A y D, y con centro en D y radio DB se traza un arco 4. Con centro en A y radio AE se traza otro arco. AF es la división áurea
  • 14. RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Igualdad • Entre dos figuras se puede establecer una serie de relaciones proporcionales B F C D E A B’ D’ F’ E’ A’ C’ • La igualdad es una de estas relaciones, cuya proporción es 1 :1. Decimos que dos figuras son iguales cuando al superponerlas coinciden todos sus lados y ángulos. • Para construir una figura igual a otra se pueden seguir diferentes procedimientos: traslación, giro, triangulación, transporte de ángulos y reproducción de coordenadas.
  • 15. Educación Plástica y E’ D’ F’ Visual RREELLAACCIOIONNEESS D DEE P PRROOPPOORRCCIOIONNAALLIDIDAADD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS Ahora veremos las siguientes construcciones… 3º ESO B C D E F A B’ D’ F’ E’ A’ A’ D’ B’ C’ O’ A B D C A’ B’ D’ C’ TRASLACIÓN GIRO COORDENADAS TRIANGULACIÓN C’ D C B A O Centro de giro C D B E A C’ B’ A’ D’ E’ B C E D A F B’ A’ C’ COPIA DE ÁNGULOS
  • 16. Igualdad por Traslación • Trasladar una figura consiste en desplazar todos sus vértices en sentido recto a una misma distancia. Dada la figura ABCDEF se traza una paralela por cada uno de sus vértices. Sobre la recta que contiene al vértice A, se fija a una distancia el punto A’. Se transporta esa misma distancia sobre cada una de las paralelas, de modo que queden fijados los vértices de la nueva figura igual, A’B'C’D’E'F'. Los lados correspondientes permanecen paralelos e iguales a los de la figura inicial, B C D E F A B’ D’ F’ E’ A’ C’ RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS
  • 17. RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS Igualdad por Giro • Girar una figura consiste en desplazar todos sus vértices en sentido circular y con la misma amplitud. Como centro de giro se elige un punto cualquiera, O. • A partir de O, se traza un arco por cada uno de los vértices. • Sobre el arco que contiene al punto A, se fija una cierta amplitud de ángulo y se determina el vértice A’. • Con esa misma amplitud se transportan el resto de los vértices. • Con este procedimiento, la figura rota alrededor del centro de giro, permaneciendo constante la distancia de cada uno de sus vértices al mismo. En este caso, OA= OA’. OB= OB', y el ángulo AOA' = ángulo BOB' = ángulo COC’
  • 18. RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS Igualdad por Triangulación • Triangular una figura consiste en descomponer su superficie en triángulos y trazar copias de los mismos. Esto es posible porque el triángulo es el polígono más simple y se puede copiar de manera sencilla. • Dada una figura ABCDE, se trazan diagonales desde un vértice, por ejemplo el A, de modo que esta quede dividida en triángulos con un vértice común. • Para construir la figura igual a la primera, se traza el lado AB', paralelo a AB. • A continuación, se trasladan con el compás las medidas del lado BC y AC, en cuya intersección estará el punto C'. De esta manera se obtiene el triángulo A’B'C', igual al ABC. • Se trasladan las medidas del lado CD y AD, reproduciendo sucesivamente todos los triángulos de la figura inicial y completando la figura AB'C‘D'E'.
  • 19. RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS Igualdad por Transporte de ángulos • Este procedimiento consiste en transportar cada ángulo de la figura dada para construir una figura igual. Dado el polígono ABCDE 1. Sobre una recta r se dibuja A’B’ = AB 2. Con centro en B’ se traza un ángulo igual al B. (con el compás) 3. Se transporta el segmento B’C’ = BC. (con el compás) 4. Se repite la operación con todos los vértices
  • 20. RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS Igualdad por coordenadas • Los ejes de coordenadas son dos rectas perpendiculares A que permiten asignar a cada punto del plano dos coordenadas. Este procedimiento consiste en reproducir las coordenadas de la figura inicial sobre otros ejes • Dada una figura ABCD, se dibujan dos ejes de coordenadas y se trazan perpendiculares a los mismos desde todos los vértices de la figura. • De este modo, se averiguan las coordenadas de cada uno de ellos. • Para dibujar la figura igual a la dada, se trasladan los ejes y se reproducen las mismas coordenadas, estos puntos serán los nuevos vértices de la figura AB'C‘D'
  • 21. RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS Manifestaciones artísticas de la igualdad • Algunas composiciones artísticas están basadas en la repetición de figuras iguales, siendo también un recurso muy utilizado en la ornamentación, el diseño gráfico y la arquitectura. • Observa la sucesión de figuras iguales en esta composición pictórica, La finalidad de este recurso estructural es producir un efecto de homogeneidad visual.
  • 22. Educación Plástica y Visual RREELLAACCIOIONNEESS D DEE P PRROOPPOORRCCIOIONNAALLIDIDAADD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS La igualdad en la expresión plástica. 3º ESO Figuras iguales Friso de la portada de la iglesia de San Pedro, Ojeda (Palencia), siglo XII. ANDY WARHOL Papel de empapelar con vacas, 1965.
  • 23. RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Simetría y Semejanza • Para que exista una relación de proporcionalidad entre dos figuras, estas deben tener la misma forma; Si estas figuras tienen una orientación en el espacio contrapuesta, son simétricas y, si tienen distinto tamaño, son semejantes.
  • 24. RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS Simetría • La simetría es una relación entre dos figuras, en la que cada punto de la primera se corresponde con otro de la segunda, de modo que ambos equidistan de un eje, de un centro o de un plano de simetría.
  • 25. RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS Simetría axial • La simetría axial o respecto a un eje establece que dos puntos simétricos A y A' están situados en una misma recta perpendicular a otra, llamada eje de simetría, y son contrapuestos y equidistantes a este. • Dada la figura ABCDE, se trazan desde los vértices líneas perpendiculares al eje de simetría. • Sobre las perpendiculares trazadas se transportan medidas, de modo que las distancias de los vértices A. B, C, D y E al eje sean iguales a las distancias del eje a los vértices A', B', C', D' y E', respectivamente. • Uniendo los vértices obtenidos se construye la figura.
  • 26. Simetría Central • La simetría central o respecto a un punto dispone que, dos puntos simétricos A y A' que están situados sobre una línea recta que pasa por un punto, llamado centro de simetría, equidistan de él y están contrapuestos. • Dada la figura ABCDE, se trazan rectas desde cada vértice al centro de simetría O y se prolongan. • Sobre estas rectas se transportan medidas, de modo que las distancias de los vértices A, B, C, D y E al punto O sean iguales a las distancias del punto O a los vértices A', B', C', D' y E', respectivamente. • Uniendo los vértices obtenidos se construye la figura RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS
  • 27. RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS Semejanza La semejanza es una relación entre figuras en la que los ángulos correspondientes de las mismas son iguales, y sus lados correspondientes, proporcionales. Se pueden obtener figuras semejantes utilizando los siguientes procedimientos.
  • 28. RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS Semejanza por Radiación • Se elige un punto O exterior a la figura y desde él se trazan rectas que pasen por los vértices de esta. • Sobre la prolongación de una recta, la que pasa por el punto A. se marca el punto A. Por A se traza un segmento AB' paralelo al lado AB. • Repitiendo la misma operación con todos los lados se obtendrá la figura semejante. • Observa que se establece la proporción: AB/AB' = BC/B'C‘ = CD/C‘D‘= …
  • 29. RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS Semejanza por radiación: (Desde un vértice) • Dada una figura ABCDE, se elige el vértice A. y desde él se trazan rectas que pasen por los demás vértices • Se sitúa un punto B' en la prolongación del lado AB, Por el punto B' se traza una paralela al lado BC, hasta cortar a la prolongación de AC en C’ • A partir de él, se repite la misma operación hasta completar la figura semejante. • Comprueba que se establece la proporción entre los lados: AB/A’B‘= BC/B’C‘=CD/C’D’=DE/D’E’=…
  • 30. RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS Aplicaciones en la expresión plástica • Como ocurre con la igualdad, la simetría y la semejanza se pueden utilizar como recursos para realizar obras artísticas y estructuras arquitectónicas, ornamentales y de diseño Esta fotografía se basa en un juego de formas circulares semejantes que producen una ligera sensación de movimiento. Este anuncio publicitario de papel presenta una estructura simétrica que simplifica el recorrido visual del observador.
  • 31. Educación Plástica y Visual RREELLAACCIOIONNEESS D DEE P PRROOPPOORRCCIOIONNAALLIDIDAADD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS Simetría y semejanza en la expresión plástica. 3º ESO Simetría y semejanza F. ESQUINAS Laberinto, 1997. F. ESQUINAS Sin título, 1998.
  • 32. Escalas • Una escala es la relación que existe entre dos figuras, una de ellas es la del dibujo y la otra, la figura real. • Se expresa mediante un cociente o razón entre las medidas del dibujo y las de la realidad: Escala = PAÍS VASCO/ EUSKADI CASTILLA-LA MANCHA Medida del DIBUJO Medida de la REALIDAD A N D A L U C Í A REGIÓN DE MURCIA F R A N C I A CATALUÑA/ CATALUNYA ISLAS BALEARES/ ILLES BALEARS COMUNIDAD VALENCIANA/ COMUNITAT VALENCIA PRINCIPADO DE ASTURIAS COMUNIDAD FORAL DE NAVARRA LA RIOJA CASTILLA Y LEÓN ANDORRA C A N A R I A S CEUTA Y MELILLA M A R R U E C O S G A L I C I A A R A G Ó N COMUNIDAD DE MADRID Escala 1: 15.500.000 0 100 200 km EESSCCAALLAASS
  • 33. Educación Plástica y Visual 3º ESO ESCALA DE AMPLIACIÓN 11 mm 24 mm Escala 1:1 ESCALA NATURAL ESCALA DE REDUCCIÓN 22 mm 48 mm Escala 2:1 12 mm 5,5 mm Escala 1:2 Cuando el dibujo mide lo mismo que el objeto real, se dice que está representado a escala natural; si es más pequeño que el objeto real, se dice que está a escala de reducción, y si es mayor, a escala de ampliación. ESCALA NATURAL ESCALA DE REDUCCIÓN ESCALA DE AMPLIACIÓN EESSCCAALLAASS
  • 34. EESSCCAALLAASS Escalas Gráficas • La escala gráfica es una especie de regla graduada que se construye para poder trabajar fácilmente en una escala determinada sin tener que realizar ninguna operación matemática previa. Se denominan también escalas volantes. Observa cómo se emplea una escala gráfica para poder medir la planta trazada a escala 1/75
  • 35. Escalas Gráficas y Escalas Volantes 5 0 1 2 10 Escala gráfica 3:1 Contraescala ESCALÍMETRO Escala de ampliación 7:4 7 cm 4 cm Escala de reducción 5:8 5 cm 8 cm ESCALA VOLANTE Y CONTRAESCALA 1 cm 2,6 cm 0,5 cm 1,4 cm EESSCCAALLAASS
  • 36. 9 La proporción 10 Educación Plástica y Visual Actividades de consolidación. 3º ESO Actividades REALIZA EL GIRO DE UNA FIGURA. DIBUJA UN OBJETO SIMÉTRICO. CONSTRUYE LA FIGURA SIMÉTRICA. REALIZA UNA AMPLIACIÓN A ESCALA 3:1.
  • 37. 9 La proporción 11 Educación Plástica y Visual En el Arte. 3º ESO Estética y proporción en la figura humana LISIPO Apoxiomeno, 300 a.C. LE CORBUSIER Posiciones del cuerpo humano en el espacio, 1945. Figuras de la Isla de Pascua. LEONARDO DA VINCI Las proporciones del hombre, hacia 1490.
  • 38. Tema 9: parte 2/2 LA PROPORCIÓN Y ESTRUCTURAS MODULARES 3º de ESO CURSO 2011-2012 Por Rafael Q.
  • 39. RReeddeess m moodduulalareress • Las redes modulares son estructuras, generalmente geométricas, que permiten relacionar figuras iguales o semejantes, llamadas módulos, en una misma superficie. La red modular debe compactar el plano, es decir, cubrirlo por completo sin dejar superficies vacías EJEMPLOS: Las formadas por Triángulos y Cuadrados o derivados de estos. sí NO
  • 40. RReeddeess m moodduulalareress Redes modulares simples • Las redes modulares simples están formadas por la repetición de una sola figura. • Además de las redes triangulares y cuadradas básicas, existen otras con distintas peculiaridades: rectangulares, quebradas, romboides, etc.
  • 41. RReeddeess m moodduulalareress Redes modulares simples Red triangular (a=b= 60º) Red cuadrada (a=b=90º) Red rectangular (a>b=90º) Quebrada Romboide Deformada Irregular Enladrillada Escalonada
  • 42. RReeddeess m moodduulalareress Redes modulares compuestas Las redes modulares compuestas se forman por la yuxtaposición de varias figuras geométricas regulares o por la superposición de dos o más redes simples. REDES MODULARES COMPLEJAS POR: Yuxtaposición de polígonos regulares REDES MODULARES COMPLEJAS POR: Superposición de redes simples
  • 43. RReeddeess m moodduulalareress El módulo El módulo es la figura básica que se repite en las estructuras modulares. La combinación proporcionada de varios módulos sobre una red o trama da lugar a la composición modular. Cuando se combinan varios módulos básicos para formar una figura más compleja aparece un supermódulo supermódulo módulo
  • 44. RReeddeess m moodduulalareress Movimientos del módulo Un módulo se puede colocar y combinar en distintas posiciones. Entre los movimientos más usuales destacan el giro y el desplazamiento, y aplicando el giro se puede llegar a situar los módulos en contraposición, es decir formando una simetría GIRO GIRO CON SIMETRÍA
  • 45. RReeddeess m moodduulalareress Movimientos del módulo DESPLAZAMIENTO DE LAS CASILLAS DESPLAZAMIENTO VARIANDO EL ESPACIO ENTRE CASILLAS
  • 46. RReeddeess m moodduulalareress La circunferencia en la composición modular La circunferencia es una figura que no puede compactar el espacio, al igual que el pentágono, por lo que no hay redes modulares circulares. Sin embargo, inscribiéndola en cuadrados, se utiliza como estructura para diseñar módulos, dejando los espacios libres como formas de apoyo
  • 47. RReeddeess m moodduulalareress Efectos tridimensionales Como en cualquier expresión visual, en la composición modular se pueden crear sensaciones de espacio tridimensional utilizando diferentes recursos gráficos:
  • 48. ACTIVIDAD 1 • VISITA EL SIGUIENTE ENLACE ; Con la herramienta que encontrarás, puedes fácilmente crear una composición modular creando un supermódulo a partir de una red modular triangular. • Realiza varias pruebas y envíame tu mejor diseño a la dirección de siempre AACCTTIVIVIDIDAADDEESS ejemplos
  • 49. AACCTTIVIVIDIDAADDEESS ACTIVIDAD 2 • VISITA EL SIGUIENTE ENLACE ; Con la herramienta que encontrarás, puedes fácilmente crear una composición modular creando un supermódulo a partir de una red modular cuadrada. • Realiza varias pruebas y envíame tu mejor diseño a la dirección de siempre
  • 50. AACCTTIVIVIDIDAADDEESS ACTIVIDAD 3 • Realiza la Actividad Nº 18 del libro de texto (unidad 9, página 168)
  • 51. Bibliografía: •Educación Plástica y Visual II. Editorial SM ISBN: 9788467540017 •http://www.educacionplastica.net •Banco de imágenes google