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C u r s o : Matemática 
Material N° 31-E 
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 31 
GEOMETRÍA PROPORCIONAL I 
1. En el ABC de la figura 1, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? 
I) AHD  CHE 
II) ADC  BDC 
III) AEB  CDB 
A) Sólo I 
B) Sólo I y II 
C) Sólo I y III 
D) Sólo II y III 
E) I, II y III 
C 
E 
H 
50º 
fig. 1 
2. En la figura 2, el trazo DE es paralelo al lado AC del triángulo ABC. Si AB = 14 cm, 
AC = 21 cm y AE = 8 cm, entonces DE mide 
A) 6 cm 
B) 7 cm 
C) 8 cm 
D) 9 cm 
E) 12 cm 
3. Las rectas L1 y L2 de la figura 3, son paralelas y los trazos BD y AE se intersectan 
en C. Si AC = 6 cm, AB= 10 cm y CE = 9 cm, entonces ED mide 
A) 12 cm 
B) 13 cm 
C) 14 cm 
D) 15 cm 
E) 18 cm 
A E B 
C 
D 
fig. 2 
A D B 
L1 
L2 
D E 
C 
A B 
fig. 3
4. En el ABC rectángulo en C de la figura 4, DE  BC . Si ED = 8, BD = 10 y DA = 20, 
¿cuánto mide el perímetro del trapecio CADE? 
D C 
2 
A) 56 
B) 62 
C) 64 
D) 70 
E) 192 
E D 
fig. 4 
5. Los rectángulos de la figura 5, son semejantes. Si FG = 20 cm, GH = 30 cm y el 
perímetro del rectángulo ABCD es de 360 cm, entonces su lado menor mide 
A) 72 cm 
B) 108 cm 
C) 144 cm 
D) 216 cm 
E) ninguna de las anteriores 
H G 
 
 
6. En la figura 6, L1 // L2. Si EC = 36 cm y CB = 81 cm, entonces Área ( CDE) 
Área ( ABC) 
= 
A) 4 
9 
cm2 
B) 2 
3 
cm2 
C) 16 
81 
cm2 
D) 9 
4 
cm2 
E) 3 
2 
cm2 
fig. 5 
L E D 1 
7. En la figura 7, las rectas L4 y L5 intersectan a las rectas paralelas L1, L2 y L3. ¿Cuál es el 
valor de x? 
A) 0,4 
B) 1 
C) 3,5 
D) 5 
E) 8 
3x 
x + 13 
8 7 
L1 
L2 
L3 
L4 L5 
fig. 7 
A B 
E F 
A B 
L2 
fig. 6 
C 
B 
C A
8. La razón entre las áreas de dos cuadrados es 9:1 y la diferencia de las medidas de sus 
lados es 4 cm. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado menor? 
3 
A) 1 cm 
B) 2 cm 
C) 3 cm 
D) 5 cm 
E) 6 cm 
9. Un par de lados homólogos de dos polígonos semejantes miden 12 cm y 18 cm. Si el 
perímetro del polígono mayor mide 54 cm, ¿cuál es el perímetro del polígono menor? 
A) 24 cm 
B) 27 cm 
C) 30 cm 
D) 36 cm 
E) 48 cm 
10 En el ABC de la figura 8, si AC = 30 cm y AB = 20 cm, entonces el área del cuadrado 
AEFD es 
A) 12 cm2 
B) 48 cm2 
C) 60 cm2 
D) 64 cm2 
E) 144 cm2 
11. En el cuadrilátero ABCD de la figura 9, la medida de BC es 
A) 2 
B) 4 
C) 7 
D) 10 
E) 14 
C 
D F 
fig. 8 
D C 
3x – 1 3x + 4 
x x + 2 
12. En el trapecio MNOP de bases MN y OP de la figura 10, QR // MN y QS // MO . Si 
NR = 8, OR = 6 y OS = 4, entonces OP mide 
A) 3 
B) 4 
C) 6 
D) 7 
E) 10 
A E B 
A B 
fig. 9 
P S 
O 
M N 
fig. 10 
Q R
13. En el rectángulo PQRS de la figura 11, si PS = 12 cm, PT = 15 cm y TR = 5 cm, 
4 
entonces el área del trapecio PQUT es 
A) 44 cm2 
B) 48 cm2 
C) 84 cm2 
D) 90 cm2 
E) 96 cm2 
S R 
T U 
14. En la figura 12, ABC  A’B’C’. Si AB = 2 cm y A’B’ = 6 cm, ¿cuál(es) de las afirmaciones 
es (son) FALSA(S)? 
I) Si CD = 4 cm, entonces C’D’ = 12 cm. 
II) Si Per (ABC) = 7 cm, entonces Per (A’B’C’) = 21 cm. 
III) Si Ár (ABC) = 6 cm2, entonces Ár (A’B’C) = 36 cm2. 
A) Sólo I 
B) Sólo II 
C) Sólo III 
D) Sólo II y III 
E) Ninguna de ellas 
fig. 12 
C 
C’ 
15. A la misma hora, un edificio y un semáforo de 3 m de altura, proyectan una sombra de 
60 m y 150 cm, respectivamente. ¿Cuánto es la altura del edificio? 
A) 30 m 
B) 90 m 
C) 120 m 
D) 150 m 
E) 180 m 
16. Juan observa dos postes cilíndricos de igual diámetro, situados frente a él, tal como se 
muestra en la figura 13. La distancia entre Juan y el centro del poste A es (x + 6) 
metros y la distancia entre los centros de ambos postes es (3x – 7) metros. ¿A cuántos 
metros se encuentra Juan del centro del poste B? 
A) 4 metros 
B) 5 metros 
C) 10 metros 
D) 15 metros 
E) 29 metros 
fig. 11 
P Q 
20 m 
30 m 
A B 
fig. 13 
A D B 
A’ D’ B’
17. En el ABC de la figura 14, DF // BC . Si AF = 4FB , AD = 20 cm, entonces la medida del 
5 
segmento DC es 
A) 4 cm 
B) 5 cm 
C) 8 cm 
D) 10 cm 
E) 15 cm 
D 
C 
18. En el PQR de la figura 15, PR // TU y PT // SU . Si SR = 12 cm, SU = 15 cm y 
TQ = 5 cm, entonces la medida de QU es 
A) 1 cm 
B) 2 cm 
C) 3 cm 
D) 5 cm 
E) 6 cm 
fig. 15 
R 
12 
15 
S U 
5 
19. En la figura 16, los triángulos ABC y DBC son isósceles. Si AC = BC = 4 2 y 
DC = DB = 8, entonces AB mide 
A) 2 3 
B) 4 2 
C) 4 
D) 5 
E) 6 
C 
20. En la figura 17, ABCD es un cuadrado y EFCG es un rectángulo. Si BF : FC = 1 : 4 y 
EF = 2 cm, entonces el perímetro del cuadrado es 
A) 10 cm 
B) 16 cm 
C) 20 cm 
D) 32 cm 
E) 40 cm 
A F B 
fig. 14 
D A B 
fig. 16 
D G 
C 
E 
A B 
F 
fig. 17 
E 
P T Q
21. En el trapecio ABCD de la figura 18, sus bases son AB y CD . Si EF // AB , 
ED : AE = 1 : 4 y BC = 30 cm, entonces BF mide 
6 
A) 5 cm 
B) 6 cm 
C) 10 cm 
D) 20 cm 
E) 24 cm 
fig. 6 
D C 
E F 
22. Un avión de combate vuela a 3.000 m de altura (fig. 19). En el momento preciso en 
que vuela sobre el punto P ubicado en tierra, se le lanza un cohete desde este punto, 
impactando al avión en el punto Q. Si BC = 1.500 m, ¿cuál(es) de las siguientes 
afirmaciones es (son) verdadera(s)? 
I) El avión recorrió de A a B, lo mismo que de B a Q. 
II) El cohete viajó de P a Q el doble de lo que viajó el avión de A a Q. 
III) El impacto se produjo porque el cohete viajó con la misma rapidez que el 
avión. 
A) Sólo I 
B) Sólo II 
C) Sólo I y II 
D) Sólo I y III 
E) Ninguna de ellas 
A B Q 
23. En el PQR de la figura 20. Si ST  PQ , QS  PR y RQ  PQ , entonces, ¿cuál(es) de las 
siguientes relaciones es (son) verdadera(s)? 
I) PQR  QSR 
II) PTS  STQ 
III) QRS  PST 
A) Sólo I 
B) Sólo I y II 
C) Sólo I y III 
D) Sólo II y III 
E) I, II y III 
S 
R 
24. En el triángulo ABC de la figura 21, PQ es tal que el CPQ es congruente con el 
CBA. Si AB = 15 cm, AC = 18 cm y PQ = 5 cm, entonces el segmento CQ mide 
A) 6 cm 
B) 5 cm 
C) 4 cm 
D) 3 cm 
E) 2 cm 
C 
P 
Q 
A B 
fig. 21 
P T Q 
fig. 20 
A B 
fig. 19 
P 
C
25. En la figura 22, PQ y ST representan a 2 pinos. Una lechuza que estaba posada en P, 
voló 40 metros en forma rectilínea hasta el punto R donde atrapó un ratón, y luego alzó 
vuelo, también en forma rectilínea y recorriendo 30 metros, se posó con su presa en S. 
Si el pino PQ mide 28 metros, ¿cuánto mide la altura del pino ST ? 
7 
A) 10,5 metros 
B) 14 metros 
C) 21 metros 
D) 22,5 metros 
E) 28 
3 
metros 
P 
S 
  
26. En el triángulo ABC de la figura 23, se ha trazado CE tal que ECB = BAC. Si 
AB = 5 cm y BC = 4 cm, entonces AE mide 
A) 1,25 cm 
B) 1,8 cm 
C) 2,5 cm 
D) 3,2 cm 
E) ninguna de las anteriores 
fig. 23 
27. Se puede determinar en que razón se encuentran las áreas de dos triángulos 
semejantes, si: 
(1) Sus perímetros están en la razón 2 : 3. 
(2) El perímetro del triángulo más pequeño es 40 cm. 
A) (1) por sí sola 
B) (2) por sí sola 
C) Ambas juntas, (1) y (2) 
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) 
E) Se requiere información adicional 
28. En la figura 24, L1 // L2. Se puede determinar el valor de x, si: 
(1) AB = 3 
(2) BD = 4 
A) (1) por sí sola 
B) (2) por sí sola 
C) Ambas juntas, (1) y (2) 
D) Cada uno por sí sola, (1) ó (2) 
E) Se requiere información adicional 
C 
A E B 
fig. 24 
A 
D B 
E C 
L1 
L2 
2x – 1 
2x + 6 
fig. 22 
Q R T
29. En la figura 25, el ABC es isósceles de base AB . Se puede determinar que CEB  BED, 
1. C 11. E 21. E 
2. D 12. D 22. A 
3. D 13. D 23. E 
4. C 14. C 24. A 
5. A 15. C 25. C 
6. C 16. D 26. B 
7. E 17. B 27. A 
8. B 18. C 28. C 
9. D 19. C 29. D 
10. E 20. E 30. C 
8 
si: 
(1) CE  AB 
(2) AD = BD 
A) (1) por sí sola 
B) (2) por sí sola 
C) Ambas juntas, (1) y (2) 
D) Cada uno por sí sola, (1) ó (2) 
E) Se requiere información adicional 
fig. 25 
C 
D 
30. El triángulo ABC de la figura 26 es isósceles de base AB . Los triángulos AED y BFE son 
semejantes, si: 
(1) DE  AC 
(2) EF  BC 
A) (1) por sí sola 
B) (2) por sí sola 
C) Ambas juntas, (1) y (2) 
D) Cada uno por sí sola, (1) ó (2) 
E) Se requiere información adicional 
CLAVES 
F 
DMTRMA31-E 
A B 
E 
A 
D 
C 
E B 
fig. 26 
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  • 1. C u r s o : Matemática Material N° 31-E GUÍA DE EJERCICIOS Nº 31 GEOMETRÍA PROPORCIONAL I 1. En el ABC de la figura 1, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) AHD  CHE II) ADC  BDC III) AEB  CDB A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III C E H 50º fig. 1 2. En la figura 2, el trazo DE es paralelo al lado AC del triángulo ABC. Si AB = 14 cm, AC = 21 cm y AE = 8 cm, entonces DE mide A) 6 cm B) 7 cm C) 8 cm D) 9 cm E) 12 cm 3. Las rectas L1 y L2 de la figura 3, son paralelas y los trazos BD y AE se intersectan en C. Si AC = 6 cm, AB= 10 cm y CE = 9 cm, entonces ED mide A) 12 cm B) 13 cm C) 14 cm D) 15 cm E) 18 cm A E B C D fig. 2 A D B L1 L2 D E C A B fig. 3
  • 2. 4. En el ABC rectángulo en C de la figura 4, DE  BC . Si ED = 8, BD = 10 y DA = 20, ¿cuánto mide el perímetro del trapecio CADE? D C 2 A) 56 B) 62 C) 64 D) 70 E) 192 E D fig. 4 5. Los rectángulos de la figura 5, son semejantes. Si FG = 20 cm, GH = 30 cm y el perímetro del rectángulo ABCD es de 360 cm, entonces su lado menor mide A) 72 cm B) 108 cm C) 144 cm D) 216 cm E) ninguna de las anteriores H G   6. En la figura 6, L1 // L2. Si EC = 36 cm y CB = 81 cm, entonces Área ( CDE) Área ( ABC) = A) 4 9 cm2 B) 2 3 cm2 C) 16 81 cm2 D) 9 4 cm2 E) 3 2 cm2 fig. 5 L E D 1 7. En la figura 7, las rectas L4 y L5 intersectan a las rectas paralelas L1, L2 y L3. ¿Cuál es el valor de x? A) 0,4 B) 1 C) 3,5 D) 5 E) 8 3x x + 13 8 7 L1 L2 L3 L4 L5 fig. 7 A B E F A B L2 fig. 6 C B C A
  • 3. 8. La razón entre las áreas de dos cuadrados es 9:1 y la diferencia de las medidas de sus lados es 4 cm. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado menor? 3 A) 1 cm B) 2 cm C) 3 cm D) 5 cm E) 6 cm 9. Un par de lados homólogos de dos polígonos semejantes miden 12 cm y 18 cm. Si el perímetro del polígono mayor mide 54 cm, ¿cuál es el perímetro del polígono menor? A) 24 cm B) 27 cm C) 30 cm D) 36 cm E) 48 cm 10 En el ABC de la figura 8, si AC = 30 cm y AB = 20 cm, entonces el área del cuadrado AEFD es A) 12 cm2 B) 48 cm2 C) 60 cm2 D) 64 cm2 E) 144 cm2 11. En el cuadrilátero ABCD de la figura 9, la medida de BC es A) 2 B) 4 C) 7 D) 10 E) 14 C D F fig. 8 D C 3x – 1 3x + 4 x x + 2 12. En el trapecio MNOP de bases MN y OP de la figura 10, QR // MN y QS // MO . Si NR = 8, OR = 6 y OS = 4, entonces OP mide A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) 10 A E B A B fig. 9 P S O M N fig. 10 Q R
  • 4. 13. En el rectángulo PQRS de la figura 11, si PS = 12 cm, PT = 15 cm y TR = 5 cm, 4 entonces el área del trapecio PQUT es A) 44 cm2 B) 48 cm2 C) 84 cm2 D) 90 cm2 E) 96 cm2 S R T U 14. En la figura 12, ABC  A’B’C’. Si AB = 2 cm y A’B’ = 6 cm, ¿cuál(es) de las afirmaciones es (son) FALSA(S)? I) Si CD = 4 cm, entonces C’D’ = 12 cm. II) Si Per (ABC) = 7 cm, entonces Per (A’B’C’) = 21 cm. III) Si Ár (ABC) = 6 cm2, entonces Ár (A’B’C) = 36 cm2. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) Ninguna de ellas fig. 12 C C’ 15. A la misma hora, un edificio y un semáforo de 3 m de altura, proyectan una sombra de 60 m y 150 cm, respectivamente. ¿Cuánto es la altura del edificio? A) 30 m B) 90 m C) 120 m D) 150 m E) 180 m 16. Juan observa dos postes cilíndricos de igual diámetro, situados frente a él, tal como se muestra en la figura 13. La distancia entre Juan y el centro del poste A es (x + 6) metros y la distancia entre los centros de ambos postes es (3x – 7) metros. ¿A cuántos metros se encuentra Juan del centro del poste B? A) 4 metros B) 5 metros C) 10 metros D) 15 metros E) 29 metros fig. 11 P Q 20 m 30 m A B fig. 13 A D B A’ D’ B’
  • 5. 17. En el ABC de la figura 14, DF // BC . Si AF = 4FB , AD = 20 cm, entonces la medida del 5 segmento DC es A) 4 cm B) 5 cm C) 8 cm D) 10 cm E) 15 cm D C 18. En el PQR de la figura 15, PR // TU y PT // SU . Si SR = 12 cm, SU = 15 cm y TQ = 5 cm, entonces la medida de QU es A) 1 cm B) 2 cm C) 3 cm D) 5 cm E) 6 cm fig. 15 R 12 15 S U 5 19. En la figura 16, los triángulos ABC y DBC son isósceles. Si AC = BC = 4 2 y DC = DB = 8, entonces AB mide A) 2 3 B) 4 2 C) 4 D) 5 E) 6 C 20. En la figura 17, ABCD es un cuadrado y EFCG es un rectángulo. Si BF : FC = 1 : 4 y EF = 2 cm, entonces el perímetro del cuadrado es A) 10 cm B) 16 cm C) 20 cm D) 32 cm E) 40 cm A F B fig. 14 D A B fig. 16 D G C E A B F fig. 17 E P T Q
  • 6. 21. En el trapecio ABCD de la figura 18, sus bases son AB y CD . Si EF // AB , ED : AE = 1 : 4 y BC = 30 cm, entonces BF mide 6 A) 5 cm B) 6 cm C) 10 cm D) 20 cm E) 24 cm fig. 6 D C E F 22. Un avión de combate vuela a 3.000 m de altura (fig. 19). En el momento preciso en que vuela sobre el punto P ubicado en tierra, se le lanza un cohete desde este punto, impactando al avión en el punto Q. Si BC = 1.500 m, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El avión recorrió de A a B, lo mismo que de B a Q. II) El cohete viajó de P a Q el doble de lo que viajó el avión de A a Q. III) El impacto se produjo porque el cohete viajó con la misma rapidez que el avión. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Ninguna de ellas A B Q 23. En el PQR de la figura 20. Si ST  PQ , QS  PR y RQ  PQ , entonces, ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es (son) verdadera(s)? I) PQR  QSR II) PTS  STQ III) QRS  PST A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III S R 24. En el triángulo ABC de la figura 21, PQ es tal que el CPQ es congruente con el CBA. Si AB = 15 cm, AC = 18 cm y PQ = 5 cm, entonces el segmento CQ mide A) 6 cm B) 5 cm C) 4 cm D) 3 cm E) 2 cm C P Q A B fig. 21 P T Q fig. 20 A B fig. 19 P C
  • 7. 25. En la figura 22, PQ y ST representan a 2 pinos. Una lechuza que estaba posada en P, voló 40 metros en forma rectilínea hasta el punto R donde atrapó un ratón, y luego alzó vuelo, también en forma rectilínea y recorriendo 30 metros, se posó con su presa en S. Si el pino PQ mide 28 metros, ¿cuánto mide la altura del pino ST ? 7 A) 10,5 metros B) 14 metros C) 21 metros D) 22,5 metros E) 28 3 metros P S   26. En el triángulo ABC de la figura 23, se ha trazado CE tal que ECB = BAC. Si AB = 5 cm y BC = 4 cm, entonces AE mide A) 1,25 cm B) 1,8 cm C) 2,5 cm D) 3,2 cm E) ninguna de las anteriores fig. 23 27. Se puede determinar en que razón se encuentran las áreas de dos triángulos semejantes, si: (1) Sus perímetros están en la razón 2 : 3. (2) El perímetro del triángulo más pequeño es 40 cm. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 28. En la figura 24, L1 // L2. Se puede determinar el valor de x, si: (1) AB = 3 (2) BD = 4 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada uno por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional C A E B fig. 24 A D B E C L1 L2 2x – 1 2x + 6 fig. 22 Q R T
  • 8. 29. En la figura 25, el ABC es isósceles de base AB . Se puede determinar que CEB  BED, 1. C 11. E 21. E 2. D 12. D 22. A 3. D 13. D 23. E 4. C 14. C 24. A 5. A 15. C 25. C 6. C 16. D 26. B 7. E 17. B 27. A 8. B 18. C 28. C 9. D 19. C 29. D 10. E 20. E 30. C 8 si: (1) CE  AB (2) AD = BD A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada uno por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional fig. 25 C D 30. El triángulo ABC de la figura 26 es isósceles de base AB . Los triángulos AED y BFE son semejantes, si: (1) DE  AC (2) EF  BC A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada uno por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional CLAVES F DMTRMA31-E A B E A D C E B fig. 26 Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http://www.pedrodevaldivia.cl/