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1 Acá tienes un enlace a un libro de consulta: Conexos 2, editorial SANTILLANA
https://issuu.com/santillanavenezuela/docs/matematica_2_037271d0d8bb2e
PRODUCTOS NOTABLES
En esta etapa, comenzaremos a desarrollar algunos productos (multiplicaciones) de binomios
(expresiones polinómicas con sólo dos términos) que presentan unas características especiales,
realizándose de una forma más abreviada sin necesidad de realizar la multiplicación de polinomios tal
y como se estudió en el apartado anterior.
ALGUNOS ASPECTOS A CONSIDERAR COMO CONOCIMIENTOS PREVIOS:
 an
= a • a • a• … • a • a • a
 (a • b)n
= an
• bn
 ( )
 a0
= 1
 Propiedad Asociativa a.b.c = (a.b).c = (a.c).b = a.(b.c)
Llamaremos, Producto Notable a los resultados del producto entre dos
expresiones binomicas cuyas características se generalizan a través de
FÓRMULAS ESPECIALES
Esta unidad la estudiaremos por casos,
CASO 1
Cuadrado de la Suma
CASO 2
Cuadrado de la Diferencia
(x + a)2
= x2
+ 2•x•a + a2
x es la variable
a es cualquier número
entero o racional
El cuadrado de la suma de
un binomio es igual al
cuadrado del primer
término más el doble
producto del primer
término por el segundo
término más el cuadrado
del segundo término
(x – a)2
= x2
– 2•x•a + a2
x es la variable
a es cualquier número
entero o racional
El cuadrado de la diferencia
de un binomio es igual al
cuadrado del primer
término menos el doble
producto del primer término
por el segundo término más
el cuadrado del segundo
término
Ejemplos: Desarrolle los siguientes productos notables
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a)(x + 4)2 b)(x – 13)2 c)(3x + 2)2 d)( – 2x3)2
Solución a) (x + 4)2
Primero observamos las características especiales:
 Es un binomio porque sólo tiene dos términos
 La potencia es cuadrada (el exponente es dos (2))
 Los términos están separados por el símbolo de suma
Luego nos ubicamos en la fórmula que debemos emplear, en ese caso usaremos
cuadrado de la suma (x + a)2
= x2
+ 2•x•a + a2
(x + 4)2
Sustituimos en la fórmula (x + a)2
= x2
+ 2•x•a + a2
el valor de a = 4, para sustituir en la fórmula
(x + 4)2
= x2
+ 2•x•4 + 42
resolvemos las operaciones 2•x•4 agrupamos
los números (asociamos) 2.4 . x = 8.x = 8x
resolvemos la potencia 42 = 4.4 = 16
(x + 4)2
= x2
+ 8x + 16
Así, el producto notable de (x + 4)2
es x2
+ 8x + 16
Solución b) (x – 13)2
Primero observamos las características especiales:
 Es un binomio porque sólo tiene dos términos
 La potencia es cuadrada (el exponente es dos (2))
 Los términos están separados por el símbolo de resta
Luego nos ubicamos en la fórmula que debemos emplear, en ese caso usaremos
cuadrado de la diferencia (x – a)2
= x2
– 2•x•a + a2
(x – 13)2
Sustituimos en la fórmula (x – a)2
= x2
– 2•x•a + a2
el valor de a = 13, para sustituir en la fórmula
(x – 13)2
= x2
– 2•x•13 + 132
resolvemos las operaciones 2•x•13 agrupamos
los números (asociamos) 2.13. x = 26.x = 26x
resolvemos la potencia 132 = 13.13 = 169
(x – 13)2
= x2
– 26x + 169
Así, el producto notable de (x - 13)2
es x2
- 26x + 169
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Solución c) (3x + 2)2
Primero observamos las características especiales:
 Es un binomio porque sólo tiene dos términos, 3x y 2
 La potencia es cuadrada (el exponente es dos (2))
 Los términos están separados por el símbolo de suma
Luego nos ubicamos en la fórmula que debemos emplear, en ese caso usaremos
cuadrado de la suma (x + a)2
= x2
+ 2•x•a + a2
(3x + 2)2
Sustituimos en la fórmula
(x + a)2
= x2
+ 2•x•a + a2
el primer valor no es x solamente acá es 3x el primer
término y el segundo es 2, para sustituir en la fórmula
(3x + 2)2
= (3x)2
+ 2•3x•2 + 22
resolvemos las operaciones 2•3x•2 agrupamos
los números (asociamos) 2.2.3x = 12.x = 12x
resolvemos las potencias
(3x)2
= 32
x2
= 3 . 3 x2
= 9 x2
22 = 2.2 = 4
(3x + 2)2
= 9x2
+ 12x + 4
Así, el producto notable de (3x + 2)2
es 9x2
+ 12x + 4
Solución d) ( – 2x3
)2
Primero observamos las características especiales:
 Es un binomio porque sólo tiene dos términos, el primer término es una fracción
y el segundo es 2x3
 La potencia es cuadrada (el exponente es dos (2))
 Los términos están separados por el símbolo de resta
Luego nos ubicamos en la fórmula que debemos emplear, en ese caso usaremos cuadrado de la
diferencia (x – a)2
= x2
– 2•x•a + a2
( – 2x3
)2
Sustituimos en la fórmula (x – a)2
= x2
– 2•x•a + a2
el primer término es = 6/5, el segundo término es 2x3
para sustituir en la fórmula
( – 2x3
)2
= ( )2
– 2•( )• 2x3
+ (2x3
)2
resolvemos todas las operaciones:
( )2
= =
2•( )• 2x3
= x3
= x3
(2x3
)2 = 22
x3•2
= 4x6
( – 2x3
)2
= – x3
+ 4x6
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Así, el producto notable de ( – 2x3
)2
= – x3
+ 4x6
Ver https://youtu.be/480qlaja1sQ (el ejercicio del minuto 4:41 al minuto 6:22 no lo manejamos en este nivel)
https://youtu.be/PrESVDKTkeI
CASO 3
Producto de una Suma por su
Diferencia
CASO 4
Producto de binomios con un
término común
(x + a)( x – a) = x2
– a2
x es la variable
a es cualquier número entero o
racional
El producto de un binomio suma
por un binomio diferencia es
igual al cuadrado del primer
término menos el cuadrado del
segundo término
(x+a)( x+b)= x2
+ (a+b)•x + a•b
( x–a) ( x–b)= x2
– (a+b)•x + a•b
x es la variable
a es cualquier número entero o
racional
El producto de dos binomio suma
con un término común es igual al
cuadrado del primer término más la
suma de los segundos términos de
ambos binomios por el primer
término más el producto de los
segundos términos de ambos
binomios
El producto de dos binomio
diferencia con un término común es
igual al cuadrado del primer
término menos la suma de los
segundos términos de ambos
binomios por el primer término más
el producto de los segundos
términos de ambos binomios
Ejemplos: Desarrolle los siguientes productos notables
a)(x + 16) (x – 16) b)(x + 25) (x + 11) c)(2y – 8 ) (2y – 9)
Solución a) (x + 16) (x – 16)
Primero observamos las características especiales:
 Son dos binomios porque sólo tiene dos términos cada uno
 Tienen dos términos comunes, en ambas esta la variable x y en ambas
está el 16
 Los términos están separados por los símbolos de suma y de resta
 Aquí no tienen potencias
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Luego nos ubicamos en la fórmula que debemos emplear, en ese caso usaremos el producto de una
suma por una diferencia (x + a)( x – a) = x2
– a2
(x + 16) (x – 16)
Sustituimos en la fórmula (x + a)( x – a) = x2
– a2
(x + 16)( x – 16) = x2
– 162
resolvemos únicamente la potencia 162 = 16.16 = 256
(x + 16)( x – 16) = x2
– 256
Así, (x + 16)( x – 16) es x2
– 256
Solución b) (x + 25) (x + 11)
Primero observamos las características especiales:
 Son dos binomios porque sólo tiene dos términos cada uno
 Tienen dos términos comunes, en ambas esta la variable x
 Los términos independientes son distintos entre sí, uno es 25 y el otro es
11
 Los términos están separados por los símbolos de suma y de resta
 Aquí no tienen potencias
Luego nos ubicamos en la fórmula que debemos emplear, en ese caso usaremos el producto de un
binomio con un término común (x+a)( x+b)= x2
+ (a+b)•x + a•b
(x + 25) (x + 11)
Sustituimos en la fórmula (x+a)( x+b)= x2
+ (a+b)•x + a•b los valores de a= 25 y b= 11
(x + 25) (x + 11)= x2
+ (25+11)•x + 25 • 11 resolvemos las operaciones
25+11 = 36 y 25 . 11 = 275
(x + 25) (x + 11)= x2
+ (36)•x + 275 quitamos los signos de agrupación ()
(x + 25) (x + 11)= x2
+ 36x + 275
Así, (x + 25) (x + 11) es x2
+ 36x + 275
Solución c) (2y – 8) (2y – 9)
Primero observamos las características especiales:
 Son dos binomios porque sólo tiene dos términos cada uno
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 Tienen dos términos comunes, en ambas esta la variable 2y
 Los términos independientes son distintos entre sí, uno es 8 y el otro es
9
 Los términos están separados por los símbolos de suma y de resta
 Aquí no tienen potencias
Luego nos ubicamos en la fórmula que debemos emplear, en ese caso usaremos el producto de un
binomio con un término común ( x–a) ( x–b)= x2
– (a+b)•x + a•b
(2y – 8) (2y – 9)
Sustituimos en la fórmula ( x–a) ( x–b)= x2
– (a+b)•x + a•b los valores de a= 25 y b= 11 y el
término común es 2y
(2y – 8) (2y – 9) = (2y)2
– (8+9)•2y + 8•9 resolvemos las operaciones
(2y)2 = 22 y2 = 4 y2
8+9 = 17 y 8 . 9 = 72
(2y – 8) (2y – 9)= 4y2
– (17)•2y + 72 quitamos los signos de agrupación ()
(2y – 8) (2y – 9)= 4y2
– 34y + 72
Así, (2y – 8) (2y – 9)= 4y2
– 34y + 72
CASO 5
Cubo de la Suma
CASO 6
Cubo de la Diferencia
(x + a)3
= x3
+ 3•x2
•a + 3•x•a2
+ a3
x es la variable
a es cualquier número entero o
racional
El cubo de la suma de un binomio es
igual al cubo del primer término más
el triple producto del cuadrado del
primer término por el segundo
término más el triple producto del
cuadrado del primer término por el
cuadrado del segundo término más el
cubo del segundo término
(x – a)3
= x3
– 3•x2
•a + 3•x•a2
– a3
x es la variable
a es cualquier número entero o
racional
El cubo de la diferencia de un binomio
es igual al cubo del primer término
menos el triple producto del cuadrado
del primer término por el segundo
término más el triple producto del
cuadrado del primer término por el
cuadrado del segundo término menos
el cubo del segundo término
Ver los enlaces:
https://youtu.be/L3ZizkSnYBo (el ejercicio del minuto 3:10 al minuto 6:15 no lo manejamos en este nivel)
Ejemplos: Desarrolle los siguientes productos notables
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a)(x + 6)3 b)(5t – 2)3 c)( m – 4n2)3
Solución a) (x + 6)3
Primero observamos las características especiales:
 Es un binomio porque sólo tiene dos términos
 La potencia es al cubo (el exponente es tres (3))
 Los términos están separados por el símbolo de suma
Luego nos ubicamos en la fórmula que debemos emplear, en ese caso usaremos cubo
de la suma (x + a)3
= x3
+ 3•x2
•a + 3•x•a2
+ a3
(x + 6)3
Sustituimos en la fórmula (x + a)3
= x3
+ 3•x2
•a + 3•x•a2
+ a3
el valor de a es 6
(x + 6)3
= x3
+ 3•x2
•6 + 3•x•62
+ 63
resolvemos las operaciones
3•x2•6 = 3 • 6 • x2 = 18 x2
3•x•62 = 3 • x • 36 =3 • 36 • x = 108 x
63 = 6 • 6 • 6 = 216
(x + 6)3
= x3
+ 18•x2
+ 108 •x + 216
Así, (x + 6)3
es x3
+ 18x2
+ 108x + 216 Nótese que deben quedar ordenado (Forma Decreciente)
Solución b) (5t – 2)3
Primero observamos las características especiales:
 Es un binomio porque sólo tiene dos términos, 5t y 2
 La potencia es el cubo (el exponente es tres (3))
 Los términos están separados por el símbolo de resta
Luego nos ubicamos en la fórmula que debemos emplear, en ese caso usaremos cubo
de la diferencia (x – a)3
= x3
– 3•x2
•a + 3•x•a2
– a3
(5t – 2)3
Sustituimos en la fórmula (x – a)3
= x3
– 3•x2
•a + 3•x•a2
– a3
el primer término es 5t y el segundo es 2
(5t – 2)3
= (5t)3
– 3•(5t)2
•2 + 3•5t•22
– 23
resolvemos todas las operaciones
(5t)3 = 53 t3 = 125 t3
3•(5t)2•2 = 6 • 25 • t2 = 150 t2
3•5t•22 = 3 • 5t • 4 =3 • 20 • t = 60 t
23 = 2 • 2 • 2 = 8
(5t + 2)3
= 125 t3
– 150•t2
+ 60 •t – 8
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Solución c) ( m – 4n2
)3
Primero observamos las características especiales:
 Es un binomio porque sólo tiene dos términos, el primer término es una
fracción m y el segundo es 4n2
 La potencia es cuadrada (el exponente es dos (2))
 Los términos están separados por el símbolo de resta
Luego nos ubicamos en la fórmula que debemos emplear, en ese caso usaremos
cubo de la diferencia (x – a)3
= x3
– 3•x2
•a + 3•x•a2
– a3
( m – 4n2
)3
Sustituimos en la fórmula (x – a)3
= x3
– 3•x2
•a + 3•x•a2
– a3
el primer término es 5t y el segundo es 2
( m – 4n2
)3
= ( m)3
– 3•( m)2
•4n2
+ 3• m•(4n2
)2
– (4n2
)3
resolvemos todas las operaciones
( m)3 = ( )3 m3
= m3
3•( m)2•4n2
= 3•4n2
• m2 = n2
m2
3• m•(4n2
)2 = 3• m•16n4
= 32n4
m
(4n2
)3 = 4•4•4•(n2
)3 = 64 n6
( m – 4n2
)3
= m3
– n2
m2
+ 32n4
m – 64n6
Recuerda tener en cuenta:
 Las potencias de números fraccionarios
 Las potencias de una potencia
 Simplificación de fracciones
Al iniciar la unidad se describieron los contenidos previos que deben tener muy
en cuenta.
Dichos contenidos se estudiaron desde quinto grado, sexto grado y se
reforzaron en primer año de Educación Básica.
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Factor Común, su exponente se sobre
entiende que es 1
Factor (multiplicadores) Común (repetido)
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
La factorización puede considerarse como la operación matemática inversa o contraria a la
multiplicación, pues el propósito es hallar o buscar los factores de un producto dado.
Podemos decir que, Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto
es igual a la expresión propuesta.
Caso I - Factor común de un solo factor
Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor
exponente y el divisor común de sus coeficientes. Ellos también pueden ser números
Factor común monomio o Factor común por agrupación de términos
Sea la expresión ab + ac + ad = a (b + c + d)  a es el valor que se repite en todos los sumandos
Ejemplos: Factorizar las siguientes expresiones polinómicas
a)7x5
– 2x3
+ x b) 9y2
– 15x2
– 3z2
+ 21w2
c) 2m2
n + 7m6
t + 11m4
p3
– 3m3
q2
– 5m7
s5
Solución a) 7x5
– 2x3
+ x
Paso 1: Se observa cual es la variable que se repite y de los que se repiten se selecciona el que tenga menor exponente
7x5
– 2x3
+ x
Paso2) La variable que se extrae de la expresión será el factor común
7x5
– 2x3
+ x
Paso 3) Los exponentes que quedan se les resta la cantidad numérica del exponente que es el factor común
x•(7x5 - 1
– 2x3 - 1
+ x1-1
)
x•(7x4
– 2x2
+ 1) Se resuelve x1-1
= x0
= 1 Propiedad de
Factor Común
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10 Acá tienes un enlace a un libro de consulta: Conexos 2, editorial SANTILLANA
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Factor Común, es el coeficiente 3
Factor Común, es la variable m2
potencia nula
Así la factorización de 7x5
– 2x3
+ x es x • (7x4
– 2x2
+ 1)
Solución b) 9y2
– 15x2
– 3z2
+ 21w2
Paso 1: Se observa que se repite, en este caso no se repiten las variables. Pero tenemos que el menos de los coeficientes
es múltiplo de los demás
9y2
– 15x2
– 3z2
+ 21w2
Paso2) El menor coeficiente se extrae de la expresión lo cual será el factor común
9y2
– 15x2
– 3z2
+ 21w2
Paso 3) Se buscan los múltiplos del factor común las variables quedan igual
3•( y2
– x2
– z2
+ w2
) Para encontrar los múltiplos, se divide cada
coeficiente entre el valor común
3•(3y2
– 5x2
– 1z2
+ 7w2
) Cuando quede el número uno (1) lo puedes colocar.
Pero no es necesario
3•(3y2
– 5x2
– z2
+ 7w2
)
Así la factorización de 9y2
– 15x2
– 3z2
+ 21w2
es 3•(3y2
– 5x2
– z2
+ 7w2
)
Solución c) 2m2
n + 7m6
t + 11m4
p3
– 3m3
q2
– 5m7
s5
Paso 1) Se observa muy bien que elemento se repite en la expresión, en este caso es la variable m
2m2
n + 7m6
t + 11m4
p3
– 3m3
q2
– 5m7
s5
Paso 2) Se busca la variable que se repite con menor exponente para que sea el factor común
2m2
n + 7m6
t + 11m4
p3
– 3m3
q2
– 5m7
s5
Paso 3) Los exponentes que quedan se les resta la cantidad numérica del exponente que es el factor
m2
•(2m2-2
n + 7m6-2
t + 11m4-2
p3
– 3m3-2
q2
– 5m7-2
s5
)
m2
•(2•1 n + 7m4
t + 11m2
p3
– 3m1
q2
– 5m5
s5
) Cuando queda 1 se puede omitir
m2
•(2n + 7m4
t + 11m2
p3
– 3mq2
– 5m5
s5
)
Así la factorización de 2mn + 7m6
t + 11m4
p3
– 3m3
q2
– 5m2
s5
es m2
• (2n + 7m4
t + 11m2
p3
– 3mq2
– 5m5
s5
)
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Caso II - Factor común de dos factores
Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos
características las que se repiten.
Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las
características, y se le aplica el primer caso, es decir:
Sea la expresión ab+ac+bd+dc = (ab+ac)+(bd+dc)
= a(b+c)+d(b+c)
Ejemplos: Factorizar las siguientes expresiones polinómicas
a)6x4
+ 24y3
+ 3x2
+ 8y5
b) 2m6
n – 7wn8
+ 11m12
p3
– 3rn14
– 5m9
s5
– 4n5
q2
Solución a) 6x4
+ 24y3
+ 3x2
+ 8y5
Paso 1) Se asocian los términos semejante para visualizar los factores que se repiten (coeficientes o variables)
6x4
+ 24y3
+ 3x2
+ 8y5
Paso 2) Una vez agrupados (asociados) se observan las variables con menor exponente
(6x4
+ 3x2
)+ (24y3
+ 8y5
)
Paso 3) Una vez identificado el factor de las variables, observamos los coeficientes para extraer el factor
numérico
x2
•(6x4
+ 3x2
)+ y3
•(24y3
+ 8y5
)
Paso 4) Se restan los exponentes (como en los pasos anteriores) y se encuentran los múltiplos de los
coeficientes (se dividen por el factor numérico)
3x2
•( x4-2
+ x2-2
)+ 8y3
•( y3-3
+ y5-3
)
3x2
•(2x2
+ 1x1
)+ 8y3
•(3y1
+ 1y2
)
3x2
•(2x2
+x)+ 8y3
•(3y+y2
)
U. E. Colegio María Auxiliadora
¡Ruega por todos tus hijos Madre Santísima!
Prof. Rosa Virginia Párraga M. e-mail: rovipame@gmail.com Matemática 2
Prof. Dennys Becerra. e-mail: deabm3@gmail.com
12 Acá tienes un enlace a un libro de consulta: Conexos 2, editorial SANTILLANA
https://issuu.com/santillanavenezuela/docs/matematica_2_037271d0d8bb2e
Solución b) 2m6
n – 7wn8
+ 11m12
p3
– 3rn14
– 5m9
s5
– 4n5
q2
Acá resolveremos el ejercicio sin el comentario de los pasos
2m6
n – 7wn8
+ 11m12
p3
– 3rn14
– 5m9
s5
– 4n5
q2
(2m6
n + 11m12
p3
– 5m9
s5
) + (–7wn8
– 3rn14
– 4n5
q2
)
(2m6
n + 11m12
p3
– 5m9
s5
) + (–7wn8
– 3rn14
– 4n5
q2
)
m6
• (2m6
n + 11m12
p3
– 5m9
s5
) + n5
• (–7wn8
– 3rn14
– 4n5
q2
)
m6
• (2m6-6
n + 11m12-6
p3
– 5m9-6
s5
) + n5
• (–7wn8-5
– 3rn14-5
– 4n5-5
q2
)
m6
• (2•1n + 11m6
p3
– 5m3
s5
) + n5
• (–7wn3
– 3rn9
– 4•1q2
)
m6
• (2n + 11m6
p3
– 5m3
s5
) + n5
• (–7wn3
– 3rn9
– 4q2
)
Puedes checar https://youtu.be/sSfO1CsKJ4g
https://youtu.be/0ORbxp31VeU
https://youtu.be/N5xGLmx9oHE
 Cualquier duda en el documento he dejado enlaces de libros de consulta y
videos que permiten la comprensión.
 Pero como gran recomendación te dejo el L E E R muy bien todo el
documento, esto lo puedes hacer las veces que sean necesario para que
tengas la idea del proceso a seguir.
 Puedes hacer consultas al e-mail, Considera el horario escolar según tus
días de clases de matemática
2do A: Martes y Viernes
2do B: Martes y Jueves
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Actividad 3er año

  • 1. U. E. Colegio María Auxiliadora ¡Ruega por todos tus hijos Madre Santísima! Prof. Rosa Virginia Párraga M. e-mail: rovipame@gmail.com Matemática 2 Prof. Dennys Becerra. e-mail: deabm3@gmail.com 1 Acá tienes un enlace a un libro de consulta: Conexos 2, editorial SANTILLANA https://issuu.com/santillanavenezuela/docs/matematica_2_037271d0d8bb2e PRODUCTOS NOTABLES En esta etapa, comenzaremos a desarrollar algunos productos (multiplicaciones) de binomios (expresiones polinómicas con sólo dos términos) que presentan unas características especiales, realizándose de una forma más abreviada sin necesidad de realizar la multiplicación de polinomios tal y como se estudió en el apartado anterior. ALGUNOS ASPECTOS A CONSIDERAR COMO CONOCIMIENTOS PREVIOS:  an = a • a • a• … • a • a • a  (a • b)n = an • bn  ( )  a0 = 1  Propiedad Asociativa a.b.c = (a.b).c = (a.c).b = a.(b.c) Llamaremos, Producto Notable a los resultados del producto entre dos expresiones binomicas cuyas características se generalizan a través de FÓRMULAS ESPECIALES Esta unidad la estudiaremos por casos, CASO 1 Cuadrado de la Suma CASO 2 Cuadrado de la Diferencia (x + a)2 = x2 + 2•x•a + a2 x es la variable a es cualquier número entero o racional El cuadrado de la suma de un binomio es igual al cuadrado del primer término más el doble producto del primer término por el segundo término más el cuadrado del segundo término (x – a)2 = x2 – 2•x•a + a2 x es la variable a es cualquier número entero o racional El cuadrado de la diferencia de un binomio es igual al cuadrado del primer término menos el doble producto del primer término por el segundo término más el cuadrado del segundo término Ejemplos: Desarrolle los siguientes productos notables
  • 2. U. E. Colegio María Auxiliadora ¡Ruega por todos tus hijos Madre Santísima! Prof. Rosa Virginia Párraga M. e-mail: rovipame@gmail.com Matemática 2 Prof. Dennys Becerra. e-mail: deabm3@gmail.com 2 Acá tienes un enlace a un libro de consulta: Conexos 2, editorial SANTILLANA https://issuu.com/santillanavenezuela/docs/matematica_2_037271d0d8bb2e a)(x + 4)2 b)(x – 13)2 c)(3x + 2)2 d)( – 2x3)2 Solución a) (x + 4)2 Primero observamos las características especiales:  Es un binomio porque sólo tiene dos términos  La potencia es cuadrada (el exponente es dos (2))  Los términos están separados por el símbolo de suma Luego nos ubicamos en la fórmula que debemos emplear, en ese caso usaremos cuadrado de la suma (x + a)2 = x2 + 2•x•a + a2 (x + 4)2 Sustituimos en la fórmula (x + a)2 = x2 + 2•x•a + a2 el valor de a = 4, para sustituir en la fórmula (x + 4)2 = x2 + 2•x•4 + 42 resolvemos las operaciones 2•x•4 agrupamos los números (asociamos) 2.4 . x = 8.x = 8x resolvemos la potencia 42 = 4.4 = 16 (x + 4)2 = x2 + 8x + 16 Así, el producto notable de (x + 4)2 es x2 + 8x + 16 Solución b) (x – 13)2 Primero observamos las características especiales:  Es un binomio porque sólo tiene dos términos  La potencia es cuadrada (el exponente es dos (2))  Los términos están separados por el símbolo de resta Luego nos ubicamos en la fórmula que debemos emplear, en ese caso usaremos cuadrado de la diferencia (x – a)2 = x2 – 2•x•a + a2 (x – 13)2 Sustituimos en la fórmula (x – a)2 = x2 – 2•x•a + a2 el valor de a = 13, para sustituir en la fórmula (x – 13)2 = x2 – 2•x•13 + 132 resolvemos las operaciones 2•x•13 agrupamos los números (asociamos) 2.13. x = 26.x = 26x resolvemos la potencia 132 = 13.13 = 169 (x – 13)2 = x2 – 26x + 169 Así, el producto notable de (x - 13)2 es x2 - 26x + 169
  • 3. U. E. Colegio María Auxiliadora ¡Ruega por todos tus hijos Madre Santísima! Prof. Rosa Virginia Párraga M. e-mail: rovipame@gmail.com Matemática 2 Prof. Dennys Becerra. e-mail: deabm3@gmail.com 3 Acá tienes un enlace a un libro de consulta: Conexos 2, editorial SANTILLANA https://issuu.com/santillanavenezuela/docs/matematica_2_037271d0d8bb2e Solución c) (3x + 2)2 Primero observamos las características especiales:  Es un binomio porque sólo tiene dos términos, 3x y 2  La potencia es cuadrada (el exponente es dos (2))  Los términos están separados por el símbolo de suma Luego nos ubicamos en la fórmula que debemos emplear, en ese caso usaremos cuadrado de la suma (x + a)2 = x2 + 2•x•a + a2 (3x + 2)2 Sustituimos en la fórmula (x + a)2 = x2 + 2•x•a + a2 el primer valor no es x solamente acá es 3x el primer término y el segundo es 2, para sustituir en la fórmula (3x + 2)2 = (3x)2 + 2•3x•2 + 22 resolvemos las operaciones 2•3x•2 agrupamos los números (asociamos) 2.2.3x = 12.x = 12x resolvemos las potencias (3x)2 = 32 x2 = 3 . 3 x2 = 9 x2 22 = 2.2 = 4 (3x + 2)2 = 9x2 + 12x + 4 Así, el producto notable de (3x + 2)2 es 9x2 + 12x + 4 Solución d) ( – 2x3 )2 Primero observamos las características especiales:  Es un binomio porque sólo tiene dos términos, el primer término es una fracción y el segundo es 2x3  La potencia es cuadrada (el exponente es dos (2))  Los términos están separados por el símbolo de resta Luego nos ubicamos en la fórmula que debemos emplear, en ese caso usaremos cuadrado de la diferencia (x – a)2 = x2 – 2•x•a + a2 ( – 2x3 )2 Sustituimos en la fórmula (x – a)2 = x2 – 2•x•a + a2 el primer término es = 6/5, el segundo término es 2x3 para sustituir en la fórmula ( – 2x3 )2 = ( )2 – 2•( )• 2x3 + (2x3 )2 resolvemos todas las operaciones: ( )2 = = 2•( )• 2x3 = x3 = x3 (2x3 )2 = 22 x3•2 = 4x6 ( – 2x3 )2 = – x3 + 4x6
  • 4. U. E. Colegio María Auxiliadora ¡Ruega por todos tus hijos Madre Santísima! Prof. Rosa Virginia Párraga M. e-mail: rovipame@gmail.com Matemática 2 Prof. Dennys Becerra. e-mail: deabm3@gmail.com 4 Acá tienes un enlace a un libro de consulta: Conexos 2, editorial SANTILLANA https://issuu.com/santillanavenezuela/docs/matematica_2_037271d0d8bb2e Así, el producto notable de ( – 2x3 )2 = – x3 + 4x6 Ver https://youtu.be/480qlaja1sQ (el ejercicio del minuto 4:41 al minuto 6:22 no lo manejamos en este nivel) https://youtu.be/PrESVDKTkeI CASO 3 Producto de una Suma por su Diferencia CASO 4 Producto de binomios con un término común (x + a)( x – a) = x2 – a2 x es la variable a es cualquier número entero o racional El producto de un binomio suma por un binomio diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término (x+a)( x+b)= x2 + (a+b)•x + a•b ( x–a) ( x–b)= x2 – (a+b)•x + a•b x es la variable a es cualquier número entero o racional El producto de dos binomio suma con un término común es igual al cuadrado del primer término más la suma de los segundos términos de ambos binomios por el primer término más el producto de los segundos términos de ambos binomios El producto de dos binomio diferencia con un término común es igual al cuadrado del primer término menos la suma de los segundos términos de ambos binomios por el primer término más el producto de los segundos términos de ambos binomios Ejemplos: Desarrolle los siguientes productos notables a)(x + 16) (x – 16) b)(x + 25) (x + 11) c)(2y – 8 ) (2y – 9) Solución a) (x + 16) (x – 16) Primero observamos las características especiales:  Son dos binomios porque sólo tiene dos términos cada uno  Tienen dos términos comunes, en ambas esta la variable x y en ambas está el 16  Los términos están separados por los símbolos de suma y de resta  Aquí no tienen potencias
  • 5. U. E. Colegio María Auxiliadora ¡Ruega por todos tus hijos Madre Santísima! Prof. Rosa Virginia Párraga M. e-mail: rovipame@gmail.com Matemática 2 Prof. Dennys Becerra. e-mail: deabm3@gmail.com 5 Acá tienes un enlace a un libro de consulta: Conexos 2, editorial SANTILLANA https://issuu.com/santillanavenezuela/docs/matematica_2_037271d0d8bb2e Luego nos ubicamos en la fórmula que debemos emplear, en ese caso usaremos el producto de una suma por una diferencia (x + a)( x – a) = x2 – a2 (x + 16) (x – 16) Sustituimos en la fórmula (x + a)( x – a) = x2 – a2 (x + 16)( x – 16) = x2 – 162 resolvemos únicamente la potencia 162 = 16.16 = 256 (x + 16)( x – 16) = x2 – 256 Así, (x + 16)( x – 16) es x2 – 256 Solución b) (x + 25) (x + 11) Primero observamos las características especiales:  Son dos binomios porque sólo tiene dos términos cada uno  Tienen dos términos comunes, en ambas esta la variable x  Los términos independientes son distintos entre sí, uno es 25 y el otro es 11  Los términos están separados por los símbolos de suma y de resta  Aquí no tienen potencias Luego nos ubicamos en la fórmula que debemos emplear, en ese caso usaremos el producto de un binomio con un término común (x+a)( x+b)= x2 + (a+b)•x + a•b (x + 25) (x + 11) Sustituimos en la fórmula (x+a)( x+b)= x2 + (a+b)•x + a•b los valores de a= 25 y b= 11 (x + 25) (x + 11)= x2 + (25+11)•x + 25 • 11 resolvemos las operaciones 25+11 = 36 y 25 . 11 = 275 (x + 25) (x + 11)= x2 + (36)•x + 275 quitamos los signos de agrupación () (x + 25) (x + 11)= x2 + 36x + 275 Así, (x + 25) (x + 11) es x2 + 36x + 275 Solución c) (2y – 8) (2y – 9) Primero observamos las características especiales:  Son dos binomios porque sólo tiene dos términos cada uno
  • 6. U. E. Colegio María Auxiliadora ¡Ruega por todos tus hijos Madre Santísima! Prof. Rosa Virginia Párraga M. e-mail: rovipame@gmail.com Matemática 2 Prof. Dennys Becerra. e-mail: deabm3@gmail.com 6 Acá tienes un enlace a un libro de consulta: Conexos 2, editorial SANTILLANA https://issuu.com/santillanavenezuela/docs/matematica_2_037271d0d8bb2e  Tienen dos términos comunes, en ambas esta la variable 2y  Los términos independientes son distintos entre sí, uno es 8 y el otro es 9  Los términos están separados por los símbolos de suma y de resta  Aquí no tienen potencias Luego nos ubicamos en la fórmula que debemos emplear, en ese caso usaremos el producto de un binomio con un término común ( x–a) ( x–b)= x2 – (a+b)•x + a•b (2y – 8) (2y – 9) Sustituimos en la fórmula ( x–a) ( x–b)= x2 – (a+b)•x + a•b los valores de a= 25 y b= 11 y el término común es 2y (2y – 8) (2y – 9) = (2y)2 – (8+9)•2y + 8•9 resolvemos las operaciones (2y)2 = 22 y2 = 4 y2 8+9 = 17 y 8 . 9 = 72 (2y – 8) (2y – 9)= 4y2 – (17)•2y + 72 quitamos los signos de agrupación () (2y – 8) (2y – 9)= 4y2 – 34y + 72 Así, (2y – 8) (2y – 9)= 4y2 – 34y + 72 CASO 5 Cubo de la Suma CASO 6 Cubo de la Diferencia (x + a)3 = x3 + 3•x2 •a + 3•x•a2 + a3 x es la variable a es cualquier número entero o racional El cubo de la suma de un binomio es igual al cubo del primer término más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple producto del cuadrado del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término (x – a)3 = x3 – 3•x2 •a + 3•x•a2 – a3 x es la variable a es cualquier número entero o racional El cubo de la diferencia de un binomio es igual al cubo del primer término menos el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple producto del cuadrado del primer término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo término Ver los enlaces: https://youtu.be/L3ZizkSnYBo (el ejercicio del minuto 3:10 al minuto 6:15 no lo manejamos en este nivel) Ejemplos: Desarrolle los siguientes productos notables
  • 7. U. E. Colegio María Auxiliadora ¡Ruega por todos tus hijos Madre Santísima! Prof. Rosa Virginia Párraga M. e-mail: rovipame@gmail.com Matemática 2 Prof. Dennys Becerra. e-mail: deabm3@gmail.com 7 Acá tienes un enlace a un libro de consulta: Conexos 2, editorial SANTILLANA https://issuu.com/santillanavenezuela/docs/matematica_2_037271d0d8bb2e a)(x + 6)3 b)(5t – 2)3 c)( m – 4n2)3 Solución a) (x + 6)3 Primero observamos las características especiales:  Es un binomio porque sólo tiene dos términos  La potencia es al cubo (el exponente es tres (3))  Los términos están separados por el símbolo de suma Luego nos ubicamos en la fórmula que debemos emplear, en ese caso usaremos cubo de la suma (x + a)3 = x3 + 3•x2 •a + 3•x•a2 + a3 (x + 6)3 Sustituimos en la fórmula (x + a)3 = x3 + 3•x2 •a + 3•x•a2 + a3 el valor de a es 6 (x + 6)3 = x3 + 3•x2 •6 + 3•x•62 + 63 resolvemos las operaciones 3•x2•6 = 3 • 6 • x2 = 18 x2 3•x•62 = 3 • x • 36 =3 • 36 • x = 108 x 63 = 6 • 6 • 6 = 216 (x + 6)3 = x3 + 18•x2 + 108 •x + 216 Así, (x + 6)3 es x3 + 18x2 + 108x + 216 Nótese que deben quedar ordenado (Forma Decreciente) Solución b) (5t – 2)3 Primero observamos las características especiales:  Es un binomio porque sólo tiene dos términos, 5t y 2  La potencia es el cubo (el exponente es tres (3))  Los términos están separados por el símbolo de resta Luego nos ubicamos en la fórmula que debemos emplear, en ese caso usaremos cubo de la diferencia (x – a)3 = x3 – 3•x2 •a + 3•x•a2 – a3 (5t – 2)3 Sustituimos en la fórmula (x – a)3 = x3 – 3•x2 •a + 3•x•a2 – a3 el primer término es 5t y el segundo es 2 (5t – 2)3 = (5t)3 – 3•(5t)2 •2 + 3•5t•22 – 23 resolvemos todas las operaciones (5t)3 = 53 t3 = 125 t3 3•(5t)2•2 = 6 • 25 • t2 = 150 t2 3•5t•22 = 3 • 5t • 4 =3 • 20 • t = 60 t 23 = 2 • 2 • 2 = 8 (5t + 2)3 = 125 t3 – 150•t2 + 60 •t – 8
  • 8. U. E. Colegio María Auxiliadora ¡Ruega por todos tus hijos Madre Santísima! Prof. Rosa Virginia Párraga M. e-mail: rovipame@gmail.com Matemática 2 Prof. Dennys Becerra. e-mail: deabm3@gmail.com 8 Acá tienes un enlace a un libro de consulta: Conexos 2, editorial SANTILLANA https://issuu.com/santillanavenezuela/docs/matematica_2_037271d0d8bb2e Solución c) ( m – 4n2 )3 Primero observamos las características especiales:  Es un binomio porque sólo tiene dos términos, el primer término es una fracción m y el segundo es 4n2  La potencia es cuadrada (el exponente es dos (2))  Los términos están separados por el símbolo de resta Luego nos ubicamos en la fórmula que debemos emplear, en ese caso usaremos cubo de la diferencia (x – a)3 = x3 – 3•x2 •a + 3•x•a2 – a3 ( m – 4n2 )3 Sustituimos en la fórmula (x – a)3 = x3 – 3•x2 •a + 3•x•a2 – a3 el primer término es 5t y el segundo es 2 ( m – 4n2 )3 = ( m)3 – 3•( m)2 •4n2 + 3• m•(4n2 )2 – (4n2 )3 resolvemos todas las operaciones ( m)3 = ( )3 m3 = m3 3•( m)2•4n2 = 3•4n2 • m2 = n2 m2 3• m•(4n2 )2 = 3• m•16n4 = 32n4 m (4n2 )3 = 4•4•4•(n2 )3 = 64 n6 ( m – 4n2 )3 = m3 – n2 m2 + 32n4 m – 64n6 Recuerda tener en cuenta:  Las potencias de números fraccionarios  Las potencias de una potencia  Simplificación de fracciones Al iniciar la unidad se describieron los contenidos previos que deben tener muy en cuenta. Dichos contenidos se estudiaron desde quinto grado, sexto grado y se reforzaron en primer año de Educación Básica.
  • 9. U. E. Colegio María Auxiliadora ¡Ruega por todos tus hijos Madre Santísima! Prof. Rosa Virginia Párraga M. e-mail: rovipame@gmail.com Matemática 2 Prof. Dennys Becerra. e-mail: deabm3@gmail.com 9 Acá tienes un enlace a un libro de consulta: Conexos 2, editorial SANTILLANA https://issuu.com/santillanavenezuela/docs/matematica_2_037271d0d8bb2e Factor Común, su exponente se sobre entiende que es 1 Factor (multiplicadores) Común (repetido) FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS La factorización puede considerarse como la operación matemática inversa o contraria a la multiplicación, pues el propósito es hallar o buscar los factores de un producto dado. Podemos decir que, Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta. Caso I - Factor común de un solo factor Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes. Ellos también pueden ser números Factor común monomio o Factor común por agrupación de términos Sea la expresión ab + ac + ad = a (b + c + d)  a es el valor que se repite en todos los sumandos Ejemplos: Factorizar las siguientes expresiones polinómicas a)7x5 – 2x3 + x b) 9y2 – 15x2 – 3z2 + 21w2 c) 2m2 n + 7m6 t + 11m4 p3 – 3m3 q2 – 5m7 s5 Solución a) 7x5 – 2x3 + x Paso 1: Se observa cual es la variable que se repite y de los que se repiten se selecciona el que tenga menor exponente 7x5 – 2x3 + x Paso2) La variable que se extrae de la expresión será el factor común 7x5 – 2x3 + x Paso 3) Los exponentes que quedan se les resta la cantidad numérica del exponente que es el factor común x•(7x5 - 1 – 2x3 - 1 + x1-1 ) x•(7x4 – 2x2 + 1) Se resuelve x1-1 = x0 = 1 Propiedad de Factor Común
  • 10. U. E. Colegio María Auxiliadora ¡Ruega por todos tus hijos Madre Santísima! Prof. Rosa Virginia Párraga M. e-mail: rovipame@gmail.com Matemática 2 Prof. Dennys Becerra. e-mail: deabm3@gmail.com 10 Acá tienes un enlace a un libro de consulta: Conexos 2, editorial SANTILLANA https://issuu.com/santillanavenezuela/docs/matematica_2_037271d0d8bb2e Factor Común, es el coeficiente 3 Factor Común, es la variable m2 potencia nula Así la factorización de 7x5 – 2x3 + x es x • (7x4 – 2x2 + 1) Solución b) 9y2 – 15x2 – 3z2 + 21w2 Paso 1: Se observa que se repite, en este caso no se repiten las variables. Pero tenemos que el menos de los coeficientes es múltiplo de los demás 9y2 – 15x2 – 3z2 + 21w2 Paso2) El menor coeficiente se extrae de la expresión lo cual será el factor común 9y2 – 15x2 – 3z2 + 21w2 Paso 3) Se buscan los múltiplos del factor común las variables quedan igual 3•( y2 – x2 – z2 + w2 ) Para encontrar los múltiplos, se divide cada coeficiente entre el valor común 3•(3y2 – 5x2 – 1z2 + 7w2 ) Cuando quede el número uno (1) lo puedes colocar. Pero no es necesario 3•(3y2 – 5x2 – z2 + 7w2 ) Así la factorización de 9y2 – 15x2 – 3z2 + 21w2 es 3•(3y2 – 5x2 – z2 + 7w2 ) Solución c) 2m2 n + 7m6 t + 11m4 p3 – 3m3 q2 – 5m7 s5 Paso 1) Se observa muy bien que elemento se repite en la expresión, en este caso es la variable m 2m2 n + 7m6 t + 11m4 p3 – 3m3 q2 – 5m7 s5 Paso 2) Se busca la variable que se repite con menor exponente para que sea el factor común 2m2 n + 7m6 t + 11m4 p3 – 3m3 q2 – 5m7 s5 Paso 3) Los exponentes que quedan se les resta la cantidad numérica del exponente que es el factor m2 •(2m2-2 n + 7m6-2 t + 11m4-2 p3 – 3m3-2 q2 – 5m7-2 s5 ) m2 •(2•1 n + 7m4 t + 11m2 p3 – 3m1 q2 – 5m5 s5 ) Cuando queda 1 se puede omitir m2 •(2n + 7m4 t + 11m2 p3 – 3mq2 – 5m5 s5 ) Así la factorización de 2mn + 7m6 t + 11m4 p3 – 3m3 q2 – 5m2 s5 es m2 • (2n + 7m4 t + 11m2 p3 – 3mq2 – 5m5 s5 )
  • 11. U. E. Colegio María Auxiliadora ¡Ruega por todos tus hijos Madre Santísima! Prof. Rosa Virginia Párraga M. e-mail: rovipame@gmail.com Matemática 2 Prof. Dennys Becerra. e-mail: deabm3@gmail.com 11 Acá tienes un enlace a un libro de consulta: Conexos 2, editorial SANTILLANA https://issuu.com/santillanavenezuela/docs/matematica_2_037271d0d8bb2e Caso II - Factor común de dos factores Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir: Sea la expresión ab+ac+bd+dc = (ab+ac)+(bd+dc) = a(b+c)+d(b+c) Ejemplos: Factorizar las siguientes expresiones polinómicas a)6x4 + 24y3 + 3x2 + 8y5 b) 2m6 n – 7wn8 + 11m12 p3 – 3rn14 – 5m9 s5 – 4n5 q2 Solución a) 6x4 + 24y3 + 3x2 + 8y5 Paso 1) Se asocian los términos semejante para visualizar los factores que se repiten (coeficientes o variables) 6x4 + 24y3 + 3x2 + 8y5 Paso 2) Una vez agrupados (asociados) se observan las variables con menor exponente (6x4 + 3x2 )+ (24y3 + 8y5 ) Paso 3) Una vez identificado el factor de las variables, observamos los coeficientes para extraer el factor numérico x2 •(6x4 + 3x2 )+ y3 •(24y3 + 8y5 ) Paso 4) Se restan los exponentes (como en los pasos anteriores) y se encuentran los múltiplos de los coeficientes (se dividen por el factor numérico) 3x2 •( x4-2 + x2-2 )+ 8y3 •( y3-3 + y5-3 ) 3x2 •(2x2 + 1x1 )+ 8y3 •(3y1 + 1y2 ) 3x2 •(2x2 +x)+ 8y3 •(3y+y2 )
  • 12. U. E. Colegio María Auxiliadora ¡Ruega por todos tus hijos Madre Santísima! Prof. Rosa Virginia Párraga M. e-mail: rovipame@gmail.com Matemática 2 Prof. Dennys Becerra. e-mail: deabm3@gmail.com 12 Acá tienes un enlace a un libro de consulta: Conexos 2, editorial SANTILLANA https://issuu.com/santillanavenezuela/docs/matematica_2_037271d0d8bb2e Solución b) 2m6 n – 7wn8 + 11m12 p3 – 3rn14 – 5m9 s5 – 4n5 q2 Acá resolveremos el ejercicio sin el comentario de los pasos 2m6 n – 7wn8 + 11m12 p3 – 3rn14 – 5m9 s5 – 4n5 q2 (2m6 n + 11m12 p3 – 5m9 s5 ) + (–7wn8 – 3rn14 – 4n5 q2 ) (2m6 n + 11m12 p3 – 5m9 s5 ) + (–7wn8 – 3rn14 – 4n5 q2 ) m6 • (2m6 n + 11m12 p3 – 5m9 s5 ) + n5 • (–7wn8 – 3rn14 – 4n5 q2 ) m6 • (2m6-6 n + 11m12-6 p3 – 5m9-6 s5 ) + n5 • (–7wn8-5 – 3rn14-5 – 4n5-5 q2 ) m6 • (2•1n + 11m6 p3 – 5m3 s5 ) + n5 • (–7wn3 – 3rn9 – 4•1q2 ) m6 • (2n + 11m6 p3 – 5m3 s5 ) + n5 • (–7wn3 – 3rn9 – 4q2 ) Puedes checar https://youtu.be/sSfO1CsKJ4g https://youtu.be/0ORbxp31VeU https://youtu.be/N5xGLmx9oHE  Cualquier duda en el documento he dejado enlaces de libros de consulta y videos que permiten la comprensión.  Pero como gran recomendación te dejo el L E E R muy bien todo el documento, esto lo puedes hacer las veces que sean necesario para que tengas la idea del proceso a seguir.  Puedes hacer consultas al e-mail, Considera el horario escolar según tus días de clases de matemática 2do A: Martes y Viernes 2do B: Martes y Jueves
  • 13. U. E. Colegio María Auxiliadora ¡Ruega por todos tus hijos Madre Santísima! Prof. Rosa Virginia Párraga M. e-mail: rovipame@gmail.com Matemática 2 Prof. Dennys Becerra. e-mail: deabm3@gmail.com 13 Acá tienes un enlace a un libro de consulta: Conexos 2, editorial SANTILLANA https://issuu.com/santillanavenezuela/docs/matematica_2_037271d0d8bb2e Ejercicios propuestos para entregar al docente