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Departamento de Ciencias de la Computación y
Electrónica
Electrónica y Telecomunicaciones
2017.2
Análisis Estadístico y Probabilístico
Instructor del curso: Francisco Sandoval, e-mail: fasandoval@utpl.edu.ec
Examen - Bimestre I
Instrucciones:
• Lea detenidamente cada una de las preguntas.
• El tiempo máximo para resolución de la prueba es de 150 minutos.
• Especifique con lapicero su respuesta para cada literal o pregunta.
• No se permite el uso de calculadora, formulario o cualquier material adicional.
• Al finalizar debe entregar esta hoja y su resolución.
1. (21/2 Puntos) Sea A y B eventos tales que P(A) = 1/4, P(B|A) = 1/2 y P(A|B) = 1/4. Diga
si las afirmaciones siguientes son falsas o verdaderas y justifique su respuesta.
(a) (1/2 Punto) Los eventos A y B son mutuamente exclusivos.
(b) (1/2 Punto) El evento A está contenido en B, o sea, A ⊂ B;
(c) (1/2 Punto) Los eventos A y B son estadísticamente independientes;
(d) (1/2 Punto) P(B) = 3/4;
(e) (1/2 Punto) P( ¯A| ¯B) = 3/4.
2. (2 Puntos) La Fig. 1 presenta un diagrama que representa un canal de comunicaciones en
que el valor de entrada x puede ser “0” o “1” y que transporta este valor produciendo en la
salida el valor y que puede ser “0”, “E” o “1”. Los valores indicados en la figura corresponden
a las probabilidades condicionales. Los valores de la entrada son equiprobables, esto es,
P(x = 0) = P(x = 1). Considere la experiencia que consiste en observar un par de valores
de entrada y salida del canal, por ejemplo el par (x, y), y encuentre:
(a) (1/2 Punto) La probabilidad de observar en la salida del canal el valor y = 0;
(b) (1/2 Punto) La probabilidad de observar en la salida del canal el valor y = E;
(c) (1/2 Punto) La probabilidad de que el valor observado en la salida sea igual al valor
observado en la entrada y.
(d) (1/2 Punto) La probabilidad de que el valor observado en la salida sea diferente del
valor de la entrada.
3. (11/2 Puntos) Considere una variable aleatoria continua con función densidad de probabili-
dad dada por
px(X) =
kX 0 < X < 1
0 de otra forma
, (1)
donde k es una constante.
(a) (1/2 Punto) Determine el valor de la constante k y esboce px(X);
Figure 1: Diagrama de un canal de comunicaciones
(b) (1/2 Punto) Determine y esboce la función distribución de probabilidad Fx(X);
(c) (1/2 Punto) Calcule P(1/4 < X < 2).
4. (2 Puntos) La función de densidad conjunta de dos variables aleatorias x e y es descrita por
pxy(X, Y ) =
cXY 0 < X < 1, 0 < Y < 1
0 de otra forma
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donde c es una constante.
(a) (1/2 Punto) Determine el valor de c.
(b) (1 Punto) ¿Las variables aleatorias x e y son estadísticamente independientes? Ex-
plique.
(c) (1/2 Punto) Calcule P(x + y < 1) y esboce la región del plano correspondiente al evento.
Formulario:
1 Probabilidad
• Ley de Morgan: ¯A ∩ ¯B = A ∪ B
• Probabilidad de la unión: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
• Probabilidad condicional: P(B|A) = P(A∩B)
P(A)
• Teorema de Probabilidad total: P(A) = m
j=1 P(A|Bj)P(Bj)
• Regla de Bayes: P(Bj|A) =
P(Bj)P(A|Bj)
m
k=1 P(Bk)P(A|Bk)
2 Variables aleatorias
• Función distribución de probabilidad: Fx(X) = P(x ≤ X)
• Función densidad de probabilidad marginal:
px(X) =
∞
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pxy(X, v)dv
py(Y ) =
∞
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AEP17. Examen primer bimestre

  • 1. Departamento de Ciencias de la Computación y Electrónica Electrónica y Telecomunicaciones 2017.2 Análisis Estadístico y Probabilístico Instructor del curso: Francisco Sandoval, e-mail: fasandoval@utpl.edu.ec Examen - Bimestre I Instrucciones: • Lea detenidamente cada una de las preguntas. • El tiempo máximo para resolución de la prueba es de 150 minutos. • Especifique con lapicero su respuesta para cada literal o pregunta. • No se permite el uso de calculadora, formulario o cualquier material adicional. • Al finalizar debe entregar esta hoja y su resolución. 1. (21/2 Puntos) Sea A y B eventos tales que P(A) = 1/4, P(B|A) = 1/2 y P(A|B) = 1/4. Diga si las afirmaciones siguientes son falsas o verdaderas y justifique su respuesta. (a) (1/2 Punto) Los eventos A y B son mutuamente exclusivos. (b) (1/2 Punto) El evento A está contenido en B, o sea, A ⊂ B; (c) (1/2 Punto) Los eventos A y B son estadísticamente independientes; (d) (1/2 Punto) P(B) = 3/4; (e) (1/2 Punto) P( ¯A| ¯B) = 3/4. 2. (2 Puntos) La Fig. 1 presenta un diagrama que representa un canal de comunicaciones en que el valor de entrada x puede ser “0” o “1” y que transporta este valor produciendo en la salida el valor y que puede ser “0”, “E” o “1”. Los valores indicados en la figura corresponden a las probabilidades condicionales. Los valores de la entrada son equiprobables, esto es, P(x = 0) = P(x = 1). Considere la experiencia que consiste en observar un par de valores de entrada y salida del canal, por ejemplo el par (x, y), y encuentre: (a) (1/2 Punto) La probabilidad de observar en la salida del canal el valor y = 0; (b) (1/2 Punto) La probabilidad de observar en la salida del canal el valor y = E; (c) (1/2 Punto) La probabilidad de que el valor observado en la salida sea igual al valor observado en la entrada y. (d) (1/2 Punto) La probabilidad de que el valor observado en la salida sea diferente del valor de la entrada. 3. (11/2 Puntos) Considere una variable aleatoria continua con función densidad de probabili- dad dada por px(X) = kX 0 < X < 1 0 de otra forma , (1) donde k es una constante. (a) (1/2 Punto) Determine el valor de la constante k y esboce px(X);
  • 2. Figure 1: Diagrama de un canal de comunicaciones (b) (1/2 Punto) Determine y esboce la función distribución de probabilidad Fx(X); (c) (1/2 Punto) Calcule P(1/4 < X < 2). 4. (2 Puntos) La función de densidad conjunta de dos variables aleatorias x e y es descrita por pxy(X, Y ) = cXY 0 < X < 1, 0 < Y < 1 0 de otra forma , (2) donde c es una constante. (a) (1/2 Punto) Determine el valor de c. (b) (1 Punto) ¿Las variables aleatorias x e y son estadísticamente independientes? Ex- plique. (c) (1/2 Punto) Calcule P(x + y < 1) y esboce la región del plano correspondiente al evento. Formulario: 1 Probabilidad • Ley de Morgan: ¯A ∩ ¯B = A ∪ B • Probabilidad de la unión: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) • Probabilidad condicional: P(B|A) = P(A∩B) P(A) • Teorema de Probabilidad total: P(A) = m j=1 P(A|Bj)P(Bj) • Regla de Bayes: P(Bj|A) = P(Bj)P(A|Bj) m k=1 P(Bk)P(A|Bk) 2 Variables aleatorias • Función distribución de probabilidad: Fx(X) = P(x ≤ X) • Función densidad de probabilidad marginal: px(X) = ∞ −∞ pxy(X, v)dv py(Y ) = ∞ −∞ pxy(v, Y )dv Page 2