SlideShare una empresa de Scribd logo
Francisco Sandoval
fasandoval@utpl.edu.ec
https://sites.google.com/view/fasandovaln
2019
Análisis Estadístico y
Probabilístico
AGENDA
CAP. 5: Valor Esperado
2
fasandoval@utpl.edu.ec
Agenda
CAP. 5: Valor Esperado
• Valor esperado de una función de v.a.r.
• Valor esperado de una función de vec. a.
• Valor esperado de vectores y matrices.
• Valor esperado condicional
• Funciones características
3
fasandoval@utpl.edu.ec
Objetivos
• Caracterización del valor esperado para v.a.r.,
vec.a. y condicional.
• Definir la función característica.
4
VALOR ESPERADO DE FUNCIÓN DE
VARIABLE ALEATORIA REAL
5
fasandoval@utpl.edu.ec
Valor esperado de función de v.a.r.
Demostración:
𝐸 𝑦 = න
−∞
∞
𝑌 𝑝 𝑦 𝑌 𝑑𝑌
= න
−∞
∞
𝑌 න
−∞
∞
𝑝 𝑥𝑦 𝑋, 𝑌 𝑑𝑋𝑑𝑌
= න
−∞
∞
𝑌 න
−∞
∞
𝑝 𝑦|𝑥=𝑋 𝑌 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋𝑑𝑌
Definición 1: Teorema Fundamental del Valor Esperado
Si 𝑦 = 𝑔(𝑥), entonces
න
−∞
∞
𝑌 𝑝 𝑦 𝑌 𝑑𝑌 = න
−∞
∞
𝑔 𝑋 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋
6
fasandoval@utpl.edu.ec
Valor esperado de función de v.a.r.
• Dado 𝑥 = 𝑋, 𝑦 pasa a ser una variable
aleatoria discreta que puede asumir un único
valor 𝑔(𝑥).
𝐸 𝑦 = ‫׬‬−∞
∞
𝑝 𝑥 𝑋 ‫׬‬−∞
∞
𝑌 𝛿 𝑌 − 𝑔 𝑋 𝑑𝑌 𝑑𝑋
• Considerando la propiedad de la función
impulso
𝐸 𝑦 = 𝐸 𝑔 𝑥 = න
−∞
∞
𝑔 𝑋 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋
7
fasandoval@utpl.edu.ec
Valor esperado de función de v.a.r.
• A partir de la definición 1, es posible llegar a
la definición de cantidades específicas bastante
importantes en la teoría de v.a.
• Conceptos como media, varianza y valor
medio cuadrático son fácilmente definidos a
través de una elección adecuada de la función
𝑔.
8
fasandoval@utpl.edu.ec
Introducción a media, varianza y desviación estándar
(determinístico)
http://www.disfrutalasmatematicas.com/datos/desviacion-estandar.html
• Desviación estándar (𝜎): mide cuánto se separan los datos, es la raíz cuadrada de
la varianza.
• Varianza (𝜎2
): Es la media de las diferencias con la media elevadas al cuadrado.
Pasos para cálculo de varianza:
1. Calcula la media (el promedio de los números)
2. Por cada número restar la media y elevar el resultado al cuadrado.
3. Calcular la media de esas diferencias al cuadrado.
9
fasandoval@utpl.edu.ec
Media
Definición 2: Media
La media 𝑚 𝑥 de una v.a. 𝑥 es definida a través de la definición 1,
tomando 𝑔 𝑥 = 𝑥. Es decir:
𝑚 𝑥 = 𝐸[𝑥] = න
−∞
∞
𝑋 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋
Ejemplos: Calcular la media de v.a. específicas muy prácticas:
• media de una v.a. uniforme
• medía de una v.a. gaussiana
• media de una v.a. discreta
10
fasandoval@utpl.edu.ec
Ejemplo: Media de v.a. uniforme
𝑚 𝑥 = න
𝑎
𝑏
𝑋
1
𝑏 − 𝑎
𝑑𝑋 =
𝑎 + 𝑏
2
donde 𝑎 y 𝑏 son parámetros de la función densidad de probabilidad uniforme.
fdp
11
fasandoval@utpl.edu.ec
Ejemplo: Media de v.a. gaussiana
𝑚 𝑥 = න
−∞
∞
𝑋
1
2𝜋𝜎
𝑒
−
𝑋−𝑚 2
2𝜎2
𝑑𝑋
efectuando un cambio de variable 𝑋 − 𝑚 = 𝛼 en la integral, se obtiene
𝑚 𝑥 = 𝑚 න
−∞
∞
1
2𝜋𝜎
𝑒
−
𝛼2
2𝜎2
𝑑𝛼 + න
−∞
∞
𝛼
1
2𝜋𝜎
𝑒
−
𝛼2
2𝜎2
𝑑𝛼
La primera integral es una integral de una función densidad de probabilidad gaussiana a
lo largo de ℝ, siendo por tanto igual a 1.
La segunda integral es nula porque se trata de la integral de una función impar
(producto de una función impar por una función par) a lo largo de un intervalo simétrico
en relación al origen.
Por tanto:
𝑚 𝑥 = 𝑚
donde 𝑚 es uno de los parámetros de la función densidad e probabilidad gaussiana.
12
fasandoval@utpl.edu.ec
Ejemplo: Media de v.a. gaussiana
Aclaraciones:
• Una función 𝑓(𝑥) es par en el intervalo [𝑎, −𝑎] si 𝑓 𝑥 = 𝑓 −𝑥
• una función 𝑓(𝑥) será impar en el intervalo 𝑎, 𝑏 si 𝑓 𝑥 = −𝑓(−𝑥).
13
fasandoval@utpl.edu.ec
Varianza (𝜎𝑥
2) y desviación estándar (𝜎)
• La raíz cuadrada 𝜎𝑥
2
de la varianza de una v.a. 𝑥 se
denomina desviación estándar de la v.a.
• La varianza (o desviación estándar) es un
parámetro asociado a la dispersión de la v.a. en
torno de su media.
Definición 3: Varianza
La varianza 𝜎2
de una v.a. 𝑥, es definida a través de la definición 1,
tomando 𝑔 𝑥 = 𝑋 − 𝑚 𝑥
2
. Es decir:
𝜎𝑥
2 = 𝐸[ 𝑥 − 𝑚 𝑥
2] = න
−∞
∞
𝑋 − 𝑚 𝑥
2 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋
14
fasandoval@utpl.edu.ec
Varianza (𝜎𝑥
2) y desviación estándar (𝜎)
Ejemplos: Calcular la varianza de v.a. específicas:
• varianza de una v.a. uniforme
• varianza de una v.a. gaussiana
• varianza de una v.a. discreta
15
fasandoval@utpl.edu.ec
Valor cuadrático medio
• El concepto de valor cuadrático medio es importante y
bastante utilizado en:
– problemas de optimización y estimación de parámetros.
– cuantizadores (optimizar los niveles de cuantización a
través del criterio del mínimo error cuadrático)
Definición 4: Valor cuadrático medio
El valor cuadrático medio 𝐸 𝑥2
de una v.a. 𝑥, es definida a través
de la definición 1, tomando 𝑔 𝑥 = 𝑥2
. Es decir:
𝐸[𝑥2] = න
−∞
∞
𝑥2 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋
16
fasandoval@utpl.edu.ec
Valor cuadrático medio
Ejemplos: Calcular el valor cuadrático medio de v.a. específicas:
• valor cuadrático medio de una v.a. uniforme
• valor cuadrático medio de una v.a. gaussiana
17
VALOR ESPERADO DE FUNCIÓN DE
VECTOR ALEATORIO
18
fasandoval@utpl.edu.ec
Valor esperado de función de vector aleatorio
• El concepto de valor esperado de una variable
aleatoria 𝑦, es examinado en una situación más
general en que 𝑦 es función de varias variables
aleatorias, o sea
𝑦 = 𝑔(𝒙)
Definición 5: Teorema Fundamental del Valor Esperado (Caso
General )
Si 𝑦 = 𝑔(𝒙), entonces
𝐸 𝑦 = 𝐸 𝑔 𝒙 = න
−∞
∞
න
−∞
∞
… න
−∞
∞
𝑔 𝒙 𝑝 𝑥 𝑿 𝑑𝑿
19
fasandoval@utpl.edu.ec
Valor esperado de función de vector aleatorio
Propiedad 1:
El valor esperado de una constante 𝑎 (que equivale a una v.a. que asume un
único valor 𝑎 es igual a la propia constante, o sea,
𝐸 𝑎 = 𝑎
Propiedad 2:
El valor esperado es un operador lineal, o sea,
𝐸 ෍
𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖 𝑥𝑖 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖 𝐸[𝑥𝑖]
donde {𝑥𝑖} son v.a. y {𝑎𝑖} son constantes reales.
Propiedad 3:
El módulo del valor esperado de una variable aleatoria es menor o igual al
valor esperado del módulo de la v.a., o sea,
𝐸[𝑥] ≤ 𝐸 ][ 𝑥
20
fasandoval@utpl.edu.ec
Valor esperado de función de vector aleatorio
Propiedad 4:
El operador valor esperado preserva el orden, en el sentido de que si dos v.a. 𝑥
y 𝑦 son tales que
𝑥 𝜔 ≥ 𝑦 𝜔 , ∀ 𝜔 ∈ Ω
entonces
𝐸 𝑥 ≥ 𝐸[𝑦]
Propiedad 5:
En el caso de 𝑛 v.a. estadísticamente independientes 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛, se tiene
para cualquier conjunto de funciones {𝑔1, 𝑔2, … , 𝑔 𝑛},
𝐸 ෑ
𝑖=1
𝑛
𝑔𝑖(𝑥𝑖) = ෑ
𝑖=1
𝑛
𝐸[𝑔𝑖(𝑥𝑖)]
21
fasandoval@utpl.edu.ec
Valor esperado de función de vector aleatorio
• A partir del resultado general del Teorema
Fundamental delValor Esperado, es posible
llegar a la definición de algunas cantidades
específicas ampliamente utilizadas en la teoría
de v.a.
22
fasandoval@utpl.edu.ec
Correlación
Definición 6: Correlación 𝑟𝑥𝑦
La correlación 𝑟𝑥𝑦 entre dos variables aleatorias 𝑥 y 𝑦,
considerando 𝒙 = 𝑥, 𝑦 𝑇 es definida tomando 𝑔 𝒙 = 𝑔 𝑥, 𝑦 =
𝑥𝑦 en la ecuación de la definición 5, o sea
𝑟𝑥𝑦 = 𝐸 𝑥𝑦 = න
−∞
∞
න
−∞
∞
𝑋𝑌 𝑝 𝑥𝑦 𝑋, 𝑌 𝑑𝑋 𝑑𝑌
23
fasandoval@utpl.edu.ec
Covarianza
Definición 7: Covarianza 𝑘 𝑥𝑦
La covarianza 𝑘 𝑥𝑦 entre dos variables aleatorias 𝑥 y 𝑦,
considerando 𝒙 = 𝑥, 𝑦 𝑇 es definida tomando 𝑔 𝒙 = 𝑔 𝑥, 𝑦 =
(𝑥 − 𝑚 𝑥)(𝑦 − 𝑚 𝑦) en la ecuación de la definición 5, donde 𝑚 𝑥 y
𝑚 𝑦 representan, respectivamente, las medias de las v.a. 𝑥 y 𝑦. Si
tiene en este caso,
𝑘 𝑥𝑦 = 𝐸 (𝑥 − 𝑚 𝑥)(𝑦 − 𝑚 𝑦)
= න
−∞
∞
න
−∞
∞
(𝑋 − 𝑚 𝑥)(𝑌 − 𝑚 𝑥) 𝑝 𝑥𝑦 𝑋, 𝑌 𝑑𝑋 𝑑𝑌
24
fasandoval@utpl.edu.ec
Correlación – covarianza
Demostración:
𝑘 𝑥𝑦 = 𝐸 𝑥 − 𝑚 𝑥 𝑦 − 𝑚 𝑦
= 𝐸 𝑥𝑦 − 𝑦𝑚 𝑥 − 𝑥𝑚 𝑦 + 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦
= 𝐸 𝑥𝑦 − 𝑚 𝑥 𝐸 𝑦 − 𝑚 𝑦 𝐸 𝑥 + 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦
= 𝐸 𝑥𝑦 − 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦
La covarianza y la correlación se encuentran relacionadas por la
ecuación:
𝑘 𝑥𝑦 = 𝑟𝑥𝑦 − 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦
25
fasandoval@utpl.edu.ec
Correlación – covarianza
• En el caso particular de 𝑥 = 𝑦, para el cuadro
del slide anterior, establece una relación entre
la varianza y el valor medio cuadrático de una
v.a. Se tiene,
𝜎𝑥
2
= 𝐸 𝑥2
− 𝑚 𝑥
2
26
fasandoval@utpl.edu.ec
Covarianza
• La covarianza entre dos v.a. es un parámetro real
que indica, de cierta forma, la relación estadística
entre dos v.a.
• Cuanto mayor es el valor del módulo de 𝑘 𝑥𝑦 más
fuerte es la relación estadística entre 𝑥 y 𝑦.
• Para examinar cuantitativamente el
relacionamiento estadístico entre dos variables,
es más adecuado la utilización de una cantidad
normalizada, puesto que permite caracterizar la
relación estadística máxima entre dos v.a.
27
fasandoval@utpl.edu.ec
Coeficiente de Correlación
Definición 8: Coeficiente de Correlación 𝜌 𝑥𝑦
El coeficiente de correlación 𝜌 𝑥𝑦 entre dos v.a. 𝑥 y 𝑦 es definido por
𝜌 𝑥𝑦 =
𝑘 𝑥𝑦
𝜎𝑥 𝜎 𝑦
donde 𝜎𝑥 y 𝜎 𝑦 representan respectivamente las desviaciones
estándar de las variables 𝑥 y 𝑦, y 𝑘 𝑥𝑦 la covarianza entre ellas.
Se puede demostrar que
−1 ≤ 𝜌 𝑥𝑦 ≤ 1
Por ser limitado, el coeficiente de correlación es más adecuado
para indicar la relación estadística entre dos variables que la
covarianza.
28
fasandoval@utpl.edu.ec
Coeficiente de Correlación
29
fasandoval@utpl.edu.ec
v.a. descorrelacionadas
Definición 9: v.a. descorrelacionadas
Dos v.a. 𝑥 y 𝑦 son descorrelacionadas cuando
𝜌 𝑥𝑦 = 0
o equivalentemente
𝑘 𝑥𝑦 = 0
Lo que es equivalente individualmente a
𝑟𝑥𝑦 = 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦
Si dos v.a. son estadísticamente independientes, también son
descorrelacionadas, puesto que
𝑟𝑥𝑦 = 𝐸 𝑥𝑦 = 𝐸 𝑥 𝐸 𝑦 = 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦
El recíproco de este hecho, sin embargo, no es verdad.
30
fasandoval@utpl.edu.ec
v.a. ortogonales
Los conceptos de media, varianza, valor medio cuadrático,
covarianza y correlación, definidos hasta el momento,
constituyen casos particulares de los conceptos más
generales de momento conjunto y momento conjunto central.
Definición 10: v.a. ortogonales
Dos v.a. son ortogonales cuando
𝑟𝑥𝑦 = 0
Dos v.a. descorrelacionadas son ortogonales si y solamente si por lo
menos una de ellas tiene media nula.
31
fasandoval@utpl.edu.ec
Momento conjuntos
Definición 11: Momentos Conjuntos
Los momentos conjuntos de 𝑛 v.a.’s 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛 son definidos
considerando
𝑔 𝒙 = 𝑥1
𝑘1
𝑥2
𝑘2
… 𝑥 𝑛
𝑘 𝑛
donde las potencias 𝑘1, 𝑘2. … 𝑘 𝑛 son números enteros, cada uno
de ellos positivos o igual a cero, los momentos conjuntos son
entonces dados por
𝐸 𝑥1
𝑘1
𝑥2
𝑘2
… 𝑥 𝑛
𝑘 𝑛
= න
−∞
∞
න
−∞
∞
… න
−∞
∞
𝑋1
𝑘1
𝑋2
𝑘2
… 𝑋 𝑛
𝑘 𝑛
𝑝 𝒙 𝑿 𝑑𝑿
La suma 𝑘1 + 𝑘2 + ⋯ + 𝑘 𝑛 se denomina orden del momento
conjunto.
32
fasandoval@utpl.edu.ec
Momentos conjuntos
Observe que:
• Las cantidades 𝐸[𝑥1 𝑥2 𝑥 𝑛], 𝐸[𝑥1 𝑥2
2
], 𝐸[𝑥3
3
]
constituyen todos los momentos conjuntos de
tercer orden.
• La media constituye momentos de primer
orden.
• el valor medio cuadrático y la correlación
constituyen momentos de segundo orden.
33
fasandoval@utpl.edu.ec
Momentos conjuntos centrales
Definición 12: Momentos conjuntos centrales
Los momentos conjuntos centrales de 𝑛 v.a.’s 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛 son
definidos considerando
𝑔 𝒙 = 𝑥1 − 𝑚 𝑥1
𝑘1
𝑥2 − 𝑚 𝑥2
𝑘2
… 𝑥 𝑛 − 𝑚 𝑥 𝑛
𝑘 𝑛
donde las potencias 𝑘1, 𝑘2. … 𝑘 𝑛 son números enteros, cada uno
de ellos positivos o igual a cero, los momentos conjuntos centrales
son entonces dados por
𝐸 𝑥1 − 𝑚 𝑥1
𝑘1
𝑥2 − 𝑚 𝑥2
𝑘2
… 𝑥 𝑛 − 𝑚 𝑥 𝑛
𝑘 𝑛
= න
−∞
∞
න
−∞
∞
… න
−∞
∞
𝑋1 − 𝑚 𝑥1
𝑘1
𝑋2 − 𝑚 𝑥2
𝑘2
… ൫
൯
𝑋 𝑛
− 𝑚 𝑥 𝑛
𝑘 𝑛
𝑝 𝒙 𝑿 𝑑𝑿
34
fasandoval@utpl.edu.ec
Momentos conjuntos centrales
Observe que
• La varianza y la covarianza constituyen ambos
momentos centrales de segundo orden.
35
Semana 10
VALOR ESPERADO DE VECTORES Y
MATRICES
37
fasandoval@utpl.edu.ec
Valor esperado de vectores y matrices
• El valor esperado de un vector 𝒚 es definido
como un vector de la misma dimensión, cuyas
componentes son los valores esperados de las
componentes de 𝒚.
• El valor esperado de una matriz 𝑨 es definido
como una matriz de la misma dimensión,
cuyos elementos son los valores esperados de
los elementos de 𝑨.
38
fasandoval@utpl.edu.ec
Vector media
El vector media 𝒎 𝒙 de un vector aleatorio 𝒙 =
𝑥1 𝑥2 … 𝑥 𝑛
𝑇
es definido por
𝒎 𝒙 = 𝐸[𝒙]
esto significa que
𝒎 𝒙 =
𝐸 𝑥1
𝐸 𝑥2
⋮
𝐸[𝑥 𝑛]
=
𝑚 𝑥1
𝑚 𝑥2
⋮
𝑚 𝑥 𝑛
o sea, el vector media de un vector aleatorio 𝒙 es el
vector cuyas componentes son las medias de las
componentes de 𝒙.
39
fasandoval@utpl.edu.ec
Matriz covarianza
La matriz covarianza 𝐾𝑥 de un vector aleatorio 𝒙 =
𝑥1 𝑥2 … 𝑥 𝑛
𝑇
es definida por
𝐾𝑥 = 𝐸 𝒙 − 𝒎 𝒙 𝒙 − 𝒎 𝒙
𝑇
𝑲 𝒙 =
𝜎𝑥1
2
𝑘 𝑥1 𝑥2
… 𝑘 𝑥1 𝑥 𝑛
𝑘 𝑥2 𝑥1
𝜎𝑥2
2 … 𝑘 𝑥2 𝑥 𝑛
⋮
𝑘 𝑥 𝑛 𝑥1
⋮
𝑘 𝑥 𝑛 𝑥2
⋱ ⋮
… 𝜎𝑥 𝑛
2
40
fasandoval@utpl.edu.ec
Media y Covarianza de Vectores aleatorios
Determinar la expresión del vector media y de la matriz covarianza
de un vector aleatorio 𝒚 definido como una función lineal de otro
vector aleatorio 𝒙, en función del vector media y de la matriz
covarianza del vector 𝒙. En este caso considere
𝒚 = 𝑨𝒙 + 𝒃
𝐸 𝒚 = 𝐸 𝑨𝒙 + 𝒃 = 𝑨𝐸 𝒙 + 𝒃
O sea,
𝒎 𝒚 = 𝑨𝒎 𝒙 + 𝒃
Por otro lado, se tiene
𝑲 𝒚 = 𝐸 𝒚 − 𝒎 𝒚 𝒚 − 𝒎 𝒚
𝑇
= 𝐸 𝑨𝒙 − 𝑨𝒎 𝒙 𝑨𝒙 − 𝑨𝒎 𝒙
𝑇
o aún,
𝑲 𝒚 = 𝐸 𝑨 𝒙 − 𝒎 𝒙 𝒙 − 𝒎 𝒙
𝑇 𝑨 𝑇
finalmente,
𝑲 𝒚 = 𝑨𝑲 𝒙 𝑨 𝑇
41
fasandoval@utpl.edu.ec
Matriz covarianza
Demostración:
Propiedad 6:
Dado un vector aleatorio 𝒙, con matriz covarianza 𝑲 𝒙, es posible hacer que sus
componentes estén descorrelacionadas dos a dos, a través de una
transformación lineal.
42
fasandoval@utpl.edu.ec
Ejemplo
Considere un vector aleatorio 𝒙 con matriz convarianza
𝑲 𝒙 =
2 1
1 2
Encuentre la matriz 𝑷, que transforma el vector aleatorio 𝒙, en un
vector aleatorio 𝒚 con componentes descorrelatadas dos a dos.
43
VALOR ESPERADO CONDICIONAL
44
fasandoval@utpl.edu.ec
Valor esperado condicional
Definición 11: Valor esperado condicional
El valor esperado de 𝑦, condicionado al evento 𝑀, es definido por
𝐸 𝑦 𝑀 = න
−∞
∞
𝑌 𝑝 𝑦|𝑀 𝑌 𝑑𝑌
Definición 12: Valor esperado condicional
Para el caso particular 𝑦 = 𝑔(𝑥) el valor esperado de 𝑦,
condicionado al evento 𝑀, es definido por
𝐸 𝑔(𝑥) 𝑀 = න
−∞
∞
𝑔(𝑋) 𝑝 𝑥|𝑀 𝑋 𝑑𝑋
Y en el caso de función de vector aleatorio
𝐸 𝑔(𝒙) 𝑀 = න
−∞
∞
𝑔(𝑿) 𝑝 𝒙|𝑀 𝑿 𝑑𝑿
45
FUNCIONES CARACTERÍSTICAS
46
fasandoval@utpl.edu.ec
Funciones Características de una variable
aleatoria real
Definición 13: Función Carácterística de v.a.r.
La función característica de una v.a. 𝑥 es definida como
𝑀 𝑥 𝑣 = 𝐸 𝑒 𝑗𝑣𝑥
o sea
𝑀 𝑥 𝑣 = න
−∞
∞
𝑒 𝑗𝑣𝑋
𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋
donde 𝑀 𝑥 es una función de la v.a.r. 𝑣 y toma valores en el conjunto
de los números complejos.
47
fasandoval@utpl.edu.ec
Ejemplo: Cálculo de función característica
Calcular la función característica de:
• una v.a. uniforme
• una v.a. exponencial
• una v.a. de Poisson
• una v.a. gaussiana
48
fasandoval@utpl.edu.ec
Funciones Características de una variable
aleatoria real
• En la determinación de funciones
características de v.a., las manipulaciones
algebraicas trabajosas pueden ser evitadas.
• Para esto, basta observar que, de no ser por
una sustitución de variables bastante simple,
𝑀 𝑥 𝑣 coincide con laTransformada de
Fourier de 𝑝 𝑥(𝑋).
49
fasandoval@utpl.edu.ec
Funciones Características de una variable
aleatoria real
• La Transformada de Fourier de 𝑝 𝑥(𝑋) es
definida por
ℱ 𝑝 𝑥 𝑋 = න
−∞
∞
𝑝 𝑥 𝑋 𝑒−2𝜋𝑓𝑋
𝑑𝑋
se llega fácilmente a la relación
𝑀 𝑥 𝑣 = ℱ 𝑝 𝑥 𝑋 ቚ
𝑓=−
𝑣
2𝜋
50
fasandoval@utpl.edu.ec
Funciones Características de una variable
aleatoria real
• Análogamente, conocida la función característica de
una v.a. es posible obtener la fdp utilizando la
transformada inversa de Fourier, dada por
𝑝 𝑥 𝑋 = න
−∞
∞
ℱ 𝑝 𝑥 𝑋 𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑋
𝑑𝑓
se obtiene así
𝑝 𝑥 𝑋 = ℱ−1 𝑀 𝑥 𝑣 | 𝑣=−2𝜋𝑓 =
1
2𝜋
‫׬‬−∞
∞
𝑀 𝑥 𝑣 𝑒−𝑗𝑣𝑋 𝑑𝑣
donde ℱ−1 caracteriza la Transformada Inversa de
Fourier.
51
fasandoval@utpl.edu.ec
Funciones Características de una variable
aleatoria real
Propiedad 7:
𝑀 𝑥 0 = 1
Propiedad 8:
𝑀 𝑥(𝑣) ≤ 1
Propiedad 9:
Si 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, entonces
𝑀 𝑦 𝑣 = 𝑒 𝑗𝑣𝑏 𝑀 𝑥 𝑎𝑣
52
fasandoval@utpl.edu.ec
Funciones Características de una variable
aleatoria real
Propiedad 10:
Si {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛} son v.a. estadísticamente independientes y
𝑦 = σ𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
entonces
𝑀 𝑦 𝑣 = ෑ
𝑖=1
𝑛
𝑀 𝑥 𝑖
(𝑣)
Propiedad 11:
𝐸 𝑥 𝑘 = อ−𝑗 𝑘
𝑑 𝑘
𝑑𝑣 𝑘
𝑀 𝑥 𝑣
𝑣=0
53
fasandoval@utpl.edu.ec
Ejemplo: Funciones Características
Sean 𝑥 y 𝑦 dos v.a. estadísticamente independientes, ambas con fdp uniforme en el
intervalo (−1,1] . Determinar la fdp de la v.a. 𝑧 definida como la suma de 𝑥 y 𝑦.
54
fasandoval@utpl.edu.ec
Ejemplo: Funciones Características
Sean 𝑥 y 𝑦 dos v.a. estadísticamente independientes, ambas con fdp de Poisson de
parámetro 𝑎. Determinar la fdp de la v.a. 𝑧 definida como la suma de 𝑥 y 𝑦.
55
fasandoval@utpl.edu.ec
Teorema del Límite Central
Definición 14: Teorema del Límite Central
Sea 𝑦𝑛 una v.a. definida por
𝑦𝑛 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
donde {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛} son v.a. estadísticamente independientes,
identicamente distribuidas, todas con media 𝑚 y varianza 𝜎2
.
Entonces, la v.a. 𝑧 𝑛 que caracteriza la suma normalizada
𝑧 𝑛 =
𝑦𝑛 − 𝑚 𝑦 𝑛
𝜎 𝑦 𝑛
y tal que
lim
𝑛→∞
𝑝 𝑧 𝑛
𝑍 =
1
2𝜋
𝑒−
𝑍2
2
56
FUNCIÓN CARACTERÍSTICA DE
VECTOR ALEATORIO
57
fasandoval@utpl.edu.ec
Función Característica de Vector Aleatorio
Definición 15: Función Característica de Vector Aleatorio
La función característica de un vector aleatorio 𝒙, de dimensión 𝒏
es definida por
𝑀 𝑥 𝒗 = 𝐸 𝑒 𝑗𝒗 𝑇 𝒙
o sea
𝑀𝒙 𝒗 = න
−∞
∞
න
∞
∞
… න
−∞
∞
𝑒 𝑗𝒗 𝑇 𝒙 𝑝 𝑥 𝑿 𝑑𝑿
donde 𝑀 𝑥 es una función de las 𝑛 variables {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛} que
caracterizan el vector 𝒗, y toma valores en el conjunto de números
complejos.
58
fasandoval@utpl.edu.ec
Función Característica de Vector Aleatorio
Propiedad 12:
𝑀 𝒙 𝟎 = 1
Propiedad 13:
𝑀 𝒙(𝒗) ≤ 1
Propiedad 14:
Si 𝒚 = 𝑨𝒙 + 𝒃, entonces
𝑀 𝒚 𝒗 = 𝑒 𝑗𝒗 𝑇 𝒃 𝑀 𝒙(𝑨 𝑇 𝒗)
Demostración
𝑀 𝒚 𝒗 = 𝐸 𝑒 𝑗𝒗 𝑇 𝒚
= 𝐸 𝑒 𝑗𝒗 𝑇 𝑨𝒙+𝒃
= 𝑒 𝑗𝒗𝒃
𝐸 𝑒 𝑗𝒗 𝑇 𝑨𝒙
como 𝒗 𝑇
𝑨 = 𝑨 𝑇
𝒗 𝑇
59
fasandoval@utpl.edu.ec
Funciones Características de una variable
aleatoria real
Propiedad 15:
Si las componentes {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛} del vector aleatorio 𝒙 son estadísticamente
independientes, entonces
𝑀 𝒙 𝒗 = ෑ
𝑖=1
𝑛
𝑀 𝑥 𝑖
(𝑣𝑖)
Propiedad 16:
𝐸 𝑥1
𝑘1
𝑥2
𝑘2
… 𝑥 𝑛
𝑘 𝑛
= ቮ−𝑗 𝑘1+𝑘2+⋯+𝑘 𝑛
𝑑 𝑘1+𝑘2+⋯+𝑘 𝑛
𝛿𝑣1
𝑘1
𝛿𝑣2
𝑘2
… 𝛿𝑣 𝑛
𝑘 𝑛
𝑀 𝒙 𝒗
𝒗=𝟎
60
fasandoval@utpl.edu.ec
Ejemplo: Función Característica de vectores
aleatorios
Sea 𝒙 un aleatorio bidimensional con función característica dada por
𝑀 𝒙 𝒗 = 𝑒− 2𝑣1
2+2𝑣2
2+𝑣1 𝑣2
Se desea determinar el vector media 𝒎 𝒙 y la matriz covarianza 𝑲 𝒙 del aleatorio 𝒙.
61
REFERENCIAS
62
fasandoval@utpl.edu.ec
Referencias
• ALBUQUERQUE, J. P.A.; FORTES, J. M.; FINAMORE,W.A.
(1993) Modelos Probabilísticos em Engenharia Elétrica;
Rio de Janeiro: Publicação CETUC.
• Marco Grivet, Procesos Estocásticos I, Centro de Estudios
em Telecomunicaciones – CETUC, 2006. [Slide]
• Universidad de Cantabria, Teoría de la Probabilidad,Teoría
de la Comunicación, Curso 2007-2008. [Slide]
• ALBERTO LEON-GARCIA, Probability, Statistics, and
Random Processes For Electrical
Engineering, Third Edition, Pearson – Prentice Hall,
University of Toronto, 2008.
63
Esta obra esta bajo licencia Creative Commons
de Reconocimiento, No Comercial y Sin Obras
Derivadas, Ecuador 3.0
www.creativecommons.org
fasandoval@utpl.edu.ec
64

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Derivadas direccionales
Derivadas direccionalesDerivadas direccionales
Derivadas direccionales
jesush291179
 
Demostraciones probabilidad
Demostraciones probabilidadDemostraciones probabilidad
Demostraciones probabilidad
Raul Aguirre
 
La derivada como razon de cambio
La derivada como razon de cambioLa derivada como razon de cambio
La derivada como razon de cambio
ITCN
 
5 valor esperado
5 valor esperado5 valor esperado
5 valor esperado
Francisco Sandoval
 
Clasificacion y Graficas de las Funciones en Calculo Diferencial
Clasificacion y Graficas de las Funciones en Calculo DiferencialClasificacion y Graficas de las Funciones en Calculo Diferencial
Clasificacion y Graficas de las Funciones en Calculo Diferencial
CarlosAamon Corpsezatan
 
Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad
Variables Aleatorias y Distribuciones de ProbabilidadVariables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad
Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad
Juliho Castillo
 
Procesos y Cadenas de Markov
Procesos y Cadenas de MarkovProcesos y Cadenas de Markov
Procesos y Cadenas de Markov
Luis Coba
 
DERIVADA INTRODUCCION (1).pptx
DERIVADA INTRODUCCION (1).pptxDERIVADA INTRODUCCION (1).pptx
DERIVADA INTRODUCCION (1).pptx
RaulCastiblancoCasti
 
Variable aleatoria
Variable aleatoriaVariable aleatoria
Variable aleatoria
Joan Fernando Chipia Lobo
 
Generalidades del algebra vectorial.
Generalidades del algebra vectorial.Generalidades del algebra vectorial.
Generalidades del algebra vectorial.
diegoalejandroalgara
 
2 incrementos
2 incrementos2 incrementos
2 incrementos
Roberto Soto
 
Transformada de-laplace
Transformada de-laplaceTransformada de-laplace
Transformada de-laplace
Sabena29
 
Límites y límites laterales
Límites y límites lateralesLímites y límites laterales
Límites y límites laterales
Jayson Anthony Serrano Yalico
 
Reduccion de orden
Reduccion de ordenReduccion de orden
Reduccion de orden
jackytas7
 
Guía sobre integración por partes
Guía sobre integración por partesGuía sobre integración por partes
Guía sobre integración por partes
angiegutierrez11
 
Capítulo 4. Derivada y aplicaciones
Capítulo 4. Derivada y aplicacionesCapítulo 4. Derivada y aplicaciones
Capítulo 4. Derivada y aplicaciones
Pablo García y Colomé
 
Concepto de derivada
Concepto de derivadaConcepto de derivada
Concepto de derivada
ITCN
 
Trinomio Cuadrado Perfecto
Trinomio Cuadrado PerfectoTrinomio Cuadrado Perfecto
Trinomio Cuadrado Perfecto
guest7c007f
 
Subir tarea estadistica chi cuadrado
Subir tarea estadistica chi cuadradoSubir tarea estadistica chi cuadrado
Subir tarea estadistica chi cuadrado
Andy Shalom
 
prueba matematica
prueba matematicaprueba matematica
prueba matematica
marcelalopez2801
 

La actualidad más candente (20)

Derivadas direccionales
Derivadas direccionalesDerivadas direccionales
Derivadas direccionales
 
Demostraciones probabilidad
Demostraciones probabilidadDemostraciones probabilidad
Demostraciones probabilidad
 
La derivada como razon de cambio
La derivada como razon de cambioLa derivada como razon de cambio
La derivada como razon de cambio
 
5 valor esperado
5 valor esperado5 valor esperado
5 valor esperado
 
Clasificacion y Graficas de las Funciones en Calculo Diferencial
Clasificacion y Graficas de las Funciones en Calculo DiferencialClasificacion y Graficas de las Funciones en Calculo Diferencial
Clasificacion y Graficas de las Funciones en Calculo Diferencial
 
Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad
Variables Aleatorias y Distribuciones de ProbabilidadVariables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad
Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad
 
Procesos y Cadenas de Markov
Procesos y Cadenas de MarkovProcesos y Cadenas de Markov
Procesos y Cadenas de Markov
 
DERIVADA INTRODUCCION (1).pptx
DERIVADA INTRODUCCION (1).pptxDERIVADA INTRODUCCION (1).pptx
DERIVADA INTRODUCCION (1).pptx
 
Variable aleatoria
Variable aleatoriaVariable aleatoria
Variable aleatoria
 
Generalidades del algebra vectorial.
Generalidades del algebra vectorial.Generalidades del algebra vectorial.
Generalidades del algebra vectorial.
 
2 incrementos
2 incrementos2 incrementos
2 incrementos
 
Transformada de-laplace
Transformada de-laplaceTransformada de-laplace
Transformada de-laplace
 
Límites y límites laterales
Límites y límites lateralesLímites y límites laterales
Límites y límites laterales
 
Reduccion de orden
Reduccion de ordenReduccion de orden
Reduccion de orden
 
Guía sobre integración por partes
Guía sobre integración por partesGuía sobre integración por partes
Guía sobre integración por partes
 
Capítulo 4. Derivada y aplicaciones
Capítulo 4. Derivada y aplicacionesCapítulo 4. Derivada y aplicaciones
Capítulo 4. Derivada y aplicaciones
 
Concepto de derivada
Concepto de derivadaConcepto de derivada
Concepto de derivada
 
Trinomio Cuadrado Perfecto
Trinomio Cuadrado PerfectoTrinomio Cuadrado Perfecto
Trinomio Cuadrado Perfecto
 
Subir tarea estadistica chi cuadrado
Subir tarea estadistica chi cuadradoSubir tarea estadistica chi cuadrado
Subir tarea estadistica chi cuadrado
 
prueba matematica
prueba matematicaprueba matematica
prueba matematica
 

Similar a AEP19. Presentaciones: Cap. 5. Valor esperado

5 valor esperado
5 valor esperado5 valor esperado
5 valor esperado
George Espinoza
 
5 valor esperado
5 valor esperado5 valor esperado
5 valor esperado
Francisco Sandoval
 
6 vectores gaussianos
6 vectores gaussianos6 vectores gaussianos
6 vectores gaussianos
Francisco Sandoval
 
AEP19. Presentaciones: Cap. 6 Vectores gaussianos
AEP19. Presentaciones: Cap. 6 Vectores gaussianosAEP19. Presentaciones: Cap. 6 Vectores gaussianos
AEP19. Presentaciones: Cap. 6 Vectores gaussianos
Francisco Sandoval
 
AEP19. Presentación 3: Variables aleatorias
AEP19. Presentación 3:  Variables aleatoriasAEP19. Presentación 3:  Variables aleatorias
AEP19. Presentación 3: Variables aleatorias
Francisco Sandoval
 
3 variables aleatorias
3 variables aleatorias3 variables aleatorias
3 variables aleatorias
Francisco Sandoval
 
Regresión lineal (1).pdf
Regresión lineal (1).pdfRegresión lineal (1).pdf
Regresión lineal (1).pdf
AlexWatson190566
 
6 vectores gaussianos
6 vectores gaussianos6 vectores gaussianos
6 vectores gaussianos
Francisco Sandoval
 
Derivadas
DerivadasDerivadas
Derivadas
Thaily Vanessa
 
Tareas ade
Tareas adeTareas ade
Tareas ade
00201292
 
Semana 7- Clases de Estadistica y Covarianza.pptx
Semana 7- Clases de Estadistica y Covarianza.pptxSemana 7- Clases de Estadistica y Covarianza.pptx
Semana 7- Clases de Estadistica y Covarianza.pptx
falsaerroneaequivoca
 
AEP19. Presentación 4: Funciones de variables aleatorias
AEP19. Presentación 4: Funciones de variables aleatoriasAEP19. Presentación 4: Funciones de variables aleatorias
AEP19. Presentación 4: Funciones de variables aleatorias
Francisco Sandoval
 
Selecccion de-variable-y-construccion-del-modelo
Selecccion de-variable-y-construccion-del-modeloSelecccion de-variable-y-construccion-del-modelo
Selecccion de-variable-y-construccion-del-modelo
Clinton Davila Medina
 
4 funciones variables_aleatorias
4 funciones variables_aleatorias4 funciones variables_aleatorias
4 funciones variables_aleatorias
Francisco Sandoval
 
3 analisis multivariable
3 analisis multivariable3 analisis multivariable
3 analisis multivariable
Carmen Mejia
 
05 Bioest. Análisis Correlación y Regres. Lineal.pptx
05 Bioest. Análisis Correlación y Regres. Lineal.pptx05 Bioest. Análisis Correlación y Regres. Lineal.pptx
05 Bioest. Análisis Correlación y Regres. Lineal.pptx
PEALOZACASTILLOCINTI
 
10 regresion y correlacion lineal multiple
10 regresion y correlacion lineal multiple10 regresion y correlacion lineal multiple
10 regresion y correlacion lineal multiple
AnniFenty
 
Tema IV Tecnicas de Pronostico Grupo 6.pptx
Tema IV Tecnicas de Pronostico Grupo 6.pptxTema IV Tecnicas de Pronostico Grupo 6.pptx
Tema IV Tecnicas de Pronostico Grupo 6.pptx
osdalysmar
 
Ecuaciones empírica simprimir
Ecuaciones empírica simprimirEcuaciones empírica simprimir
Ecuaciones empírica simprimir
Vladimir Granados
 
Derivadas Parciales Regla de la Cadena (1).pdf
Derivadas Parciales Regla de la Cadena (1).pdfDerivadas Parciales Regla de la Cadena (1).pdf
Derivadas Parciales Regla de la Cadena (1).pdf
tatayvam
 

Similar a AEP19. Presentaciones: Cap. 5. Valor esperado (20)

5 valor esperado
5 valor esperado5 valor esperado
5 valor esperado
 
5 valor esperado
5 valor esperado5 valor esperado
5 valor esperado
 
6 vectores gaussianos
6 vectores gaussianos6 vectores gaussianos
6 vectores gaussianos
 
AEP19. Presentaciones: Cap. 6 Vectores gaussianos
AEP19. Presentaciones: Cap. 6 Vectores gaussianosAEP19. Presentaciones: Cap. 6 Vectores gaussianos
AEP19. Presentaciones: Cap. 6 Vectores gaussianos
 
AEP19. Presentación 3: Variables aleatorias
AEP19. Presentación 3:  Variables aleatoriasAEP19. Presentación 3:  Variables aleatorias
AEP19. Presentación 3: Variables aleatorias
 
3 variables aleatorias
3 variables aleatorias3 variables aleatorias
3 variables aleatorias
 
Regresión lineal (1).pdf
Regresión lineal (1).pdfRegresión lineal (1).pdf
Regresión lineal (1).pdf
 
6 vectores gaussianos
6 vectores gaussianos6 vectores gaussianos
6 vectores gaussianos
 
Derivadas
DerivadasDerivadas
Derivadas
 
Tareas ade
Tareas adeTareas ade
Tareas ade
 
Semana 7- Clases de Estadistica y Covarianza.pptx
Semana 7- Clases de Estadistica y Covarianza.pptxSemana 7- Clases de Estadistica y Covarianza.pptx
Semana 7- Clases de Estadistica y Covarianza.pptx
 
AEP19. Presentación 4: Funciones de variables aleatorias
AEP19. Presentación 4: Funciones de variables aleatoriasAEP19. Presentación 4: Funciones de variables aleatorias
AEP19. Presentación 4: Funciones de variables aleatorias
 
Selecccion de-variable-y-construccion-del-modelo
Selecccion de-variable-y-construccion-del-modeloSelecccion de-variable-y-construccion-del-modelo
Selecccion de-variable-y-construccion-del-modelo
 
4 funciones variables_aleatorias
4 funciones variables_aleatorias4 funciones variables_aleatorias
4 funciones variables_aleatorias
 
3 analisis multivariable
3 analisis multivariable3 analisis multivariable
3 analisis multivariable
 
05 Bioest. Análisis Correlación y Regres. Lineal.pptx
05 Bioest. Análisis Correlación y Regres. Lineal.pptx05 Bioest. Análisis Correlación y Regres. Lineal.pptx
05 Bioest. Análisis Correlación y Regres. Lineal.pptx
 
10 regresion y correlacion lineal multiple
10 regresion y correlacion lineal multiple10 regresion y correlacion lineal multiple
10 regresion y correlacion lineal multiple
 
Tema IV Tecnicas de Pronostico Grupo 6.pptx
Tema IV Tecnicas de Pronostico Grupo 6.pptxTema IV Tecnicas de Pronostico Grupo 6.pptx
Tema IV Tecnicas de Pronostico Grupo 6.pptx
 
Ecuaciones empírica simprimir
Ecuaciones empírica simprimirEcuaciones empírica simprimir
Ecuaciones empírica simprimir
 
Derivadas Parciales Regla de la Cadena (1).pdf
Derivadas Parciales Regla de la Cadena (1).pdfDerivadas Parciales Regla de la Cadena (1).pdf
Derivadas Parciales Regla de la Cadena (1).pdf
 

Más de Francisco Sandoval

CI19.2. Presentaciones: Small scale path loss
CI19.2. Presentaciones: Small scale path lossCI19.2. Presentaciones: Small scale path loss
CI19.2. Presentaciones: Small scale path loss
Francisco Sandoval
 
CI19.2. Presentaciones: Large scale path loss
CI19.2. Presentaciones: Large scale path lossCI19.2. Presentaciones: Large scale path loss
CI19.2. Presentaciones: Large scale path loss
Francisco Sandoval
 
CI19.2 Presentaciones: Introduccion a los sistemas de comunicación
CI19.2 Presentaciones: Introduccion a los sistemas de comunicaciónCI19.2 Presentaciones: Introduccion a los sistemas de comunicación
CI19.2 Presentaciones: Introduccion a los sistemas de comunicación
Francisco Sandoval
 
CI19.2 Presentaciones: Canales inalámbricos, Introducción
CI19.2 Presentaciones: Canales inalámbricos, IntroducciónCI19.2 Presentaciones: Canales inalámbricos, Introducción
CI19.2 Presentaciones: Canales inalámbricos, Introducción
Francisco Sandoval
 
Media, varianza y valor cuadrático medio de una variable aleatoria uniforme
Media, varianza y valor cuadrático medio de una variable aleatoria uniformeMedia, varianza y valor cuadrático medio de una variable aleatoria uniforme
Media, varianza y valor cuadrático medio de una variable aleatoria uniforme
Francisco Sandoval
 
Media y varianza de una variable aleatoria discreta
Media y varianza de una variable aleatoria discretaMedia y varianza de una variable aleatoria discreta
Media y varianza de una variable aleatoria discreta
Francisco Sandoval
 
Media, varianza y valor cuadrático medio de una variable aleatoria gaussiana
Media, varianza y valor cuadrático medio de una variable aleatoria gaussianaMedia, varianza y valor cuadrático medio de una variable aleatoria gaussiana
Media, varianza y valor cuadrático medio de una variable aleatoria gaussiana
Francisco Sandoval
 
AEP19. Tarea 3
AEP19. Tarea 3AEP19. Tarea 3
AEP19. Tarea 3
Francisco Sandoval
 
AEP19. Trabajo grupal 4 [tutoría]
AEP19. Trabajo grupal 4 [tutoría]AEP19. Trabajo grupal 4 [tutoría]
AEP19. Trabajo grupal 4 [tutoría]
Francisco Sandoval
 
AEP19. Trabajo grupal 3 [tutoría]
AEP19. Trabajo grupal 3 [tutoría]AEP19. Trabajo grupal 3 [tutoría]
AEP19. Trabajo grupal 3 [tutoría]
Francisco Sandoval
 
AEP19. Presentación 2: Teoría de las Probabilidades
AEP19. Presentación 2: Teoría de las ProbabilidadesAEP19. Presentación 2: Teoría de las Probabilidades
AEP19. Presentación 2: Teoría de las Probabilidades
Francisco Sandoval
 
AEP19: Trabajo grupal 2 (Tutoría)
AEP19: Trabajo grupal 2 (Tutoría)AEP19: Trabajo grupal 2 (Tutoría)
AEP19: Trabajo grupal 2 (Tutoría)
Francisco Sandoval
 
AEP17. Examen segundo bimestre
AEP17. Examen segundo bimestreAEP17. Examen segundo bimestre
AEP17. Examen segundo bimestre
Francisco Sandoval
 
AEP17. Examen primer bimestre
AEP17. Examen primer bimestreAEP17. Examen primer bimestre
AEP17. Examen primer bimestre
Francisco Sandoval
 
AEP19. Tarea 5
AEP19. Tarea 5 AEP19. Tarea 5
AEP19. Tarea 5
Francisco Sandoval
 
AEP19. Tarea 4
AEP19. Tarea 4 AEP19. Tarea 4
AEP19. Tarea 4
Francisco Sandoval
 
AEP19. Tarea 2
AEP19. Tarea 2AEP19. Tarea 2
AEP19. Tarea 2
Francisco Sandoval
 
AEP19. Trabajo grupal 1
AEP19. Trabajo grupal 1AEP19. Trabajo grupal 1
AEP19. Trabajo grupal 1
Francisco Sandoval
 
AEP19. Plan docente
AEP19. Plan docenteAEP19. Plan docente
AEP19. Plan docente
Francisco Sandoval
 
AEP19: Tarea 1: Teoría de probabilidades (Parte 1)
AEP19: Tarea 1: Teoría de probabilidades (Parte 1)AEP19: Tarea 1: Teoría de probabilidades (Parte 1)
AEP19: Tarea 1: Teoría de probabilidades (Parte 1)
Francisco Sandoval
 

Más de Francisco Sandoval (20)

CI19.2. Presentaciones: Small scale path loss
CI19.2. Presentaciones: Small scale path lossCI19.2. Presentaciones: Small scale path loss
CI19.2. Presentaciones: Small scale path loss
 
CI19.2. Presentaciones: Large scale path loss
CI19.2. Presentaciones: Large scale path lossCI19.2. Presentaciones: Large scale path loss
CI19.2. Presentaciones: Large scale path loss
 
CI19.2 Presentaciones: Introduccion a los sistemas de comunicación
CI19.2 Presentaciones: Introduccion a los sistemas de comunicaciónCI19.2 Presentaciones: Introduccion a los sistemas de comunicación
CI19.2 Presentaciones: Introduccion a los sistemas de comunicación
 
CI19.2 Presentaciones: Canales inalámbricos, Introducción
CI19.2 Presentaciones: Canales inalámbricos, IntroducciónCI19.2 Presentaciones: Canales inalámbricos, Introducción
CI19.2 Presentaciones: Canales inalámbricos, Introducción
 
Media, varianza y valor cuadrático medio de una variable aleatoria uniforme
Media, varianza y valor cuadrático medio de una variable aleatoria uniformeMedia, varianza y valor cuadrático medio de una variable aleatoria uniforme
Media, varianza y valor cuadrático medio de una variable aleatoria uniforme
 
Media y varianza de una variable aleatoria discreta
Media y varianza de una variable aleatoria discretaMedia y varianza de una variable aleatoria discreta
Media y varianza de una variable aleatoria discreta
 
Media, varianza y valor cuadrático medio de una variable aleatoria gaussiana
Media, varianza y valor cuadrático medio de una variable aleatoria gaussianaMedia, varianza y valor cuadrático medio de una variable aleatoria gaussiana
Media, varianza y valor cuadrático medio de una variable aleatoria gaussiana
 
AEP19. Tarea 3
AEP19. Tarea 3AEP19. Tarea 3
AEP19. Tarea 3
 
AEP19. Trabajo grupal 4 [tutoría]
AEP19. Trabajo grupal 4 [tutoría]AEP19. Trabajo grupal 4 [tutoría]
AEP19. Trabajo grupal 4 [tutoría]
 
AEP19. Trabajo grupal 3 [tutoría]
AEP19. Trabajo grupal 3 [tutoría]AEP19. Trabajo grupal 3 [tutoría]
AEP19. Trabajo grupal 3 [tutoría]
 
AEP19. Presentación 2: Teoría de las Probabilidades
AEP19. Presentación 2: Teoría de las ProbabilidadesAEP19. Presentación 2: Teoría de las Probabilidades
AEP19. Presentación 2: Teoría de las Probabilidades
 
AEP19: Trabajo grupal 2 (Tutoría)
AEP19: Trabajo grupal 2 (Tutoría)AEP19: Trabajo grupal 2 (Tutoría)
AEP19: Trabajo grupal 2 (Tutoría)
 
AEP17. Examen segundo bimestre
AEP17. Examen segundo bimestreAEP17. Examen segundo bimestre
AEP17. Examen segundo bimestre
 
AEP17. Examen primer bimestre
AEP17. Examen primer bimestreAEP17. Examen primer bimestre
AEP17. Examen primer bimestre
 
AEP19. Tarea 5
AEP19. Tarea 5 AEP19. Tarea 5
AEP19. Tarea 5
 
AEP19. Tarea 4
AEP19. Tarea 4 AEP19. Tarea 4
AEP19. Tarea 4
 
AEP19. Tarea 2
AEP19. Tarea 2AEP19. Tarea 2
AEP19. Tarea 2
 
AEP19. Trabajo grupal 1
AEP19. Trabajo grupal 1AEP19. Trabajo grupal 1
AEP19. Trabajo grupal 1
 
AEP19. Plan docente
AEP19. Plan docenteAEP19. Plan docente
AEP19. Plan docente
 
AEP19: Tarea 1: Teoría de probabilidades (Parte 1)
AEP19: Tarea 1: Teoría de probabilidades (Parte 1)AEP19: Tarea 1: Teoría de probabilidades (Parte 1)
AEP19: Tarea 1: Teoría de probabilidades (Parte 1)
 

Último

Presentación 01 Curso de Introducción a Python.pdf
Presentación 01 Curso de Introducción a Python.pdfPresentación 01 Curso de Introducción a Python.pdf
Presentación 01 Curso de Introducción a Python.pdf
jorgecuasapaz182
 
diagrama de flujo. en el área de ingeniería
diagrama de flujo. en el área de ingenieríadiagrama de flujo. en el área de ingeniería
diagrama de flujo. en el área de ingeniería
karenperalta62
 
MATERIALES PELIGROSOS NIVEL DE ADVERTENCIA
MATERIALES PELIGROSOS NIVEL DE ADVERTENCIAMATERIALES PELIGROSOS NIVEL DE ADVERTENCIA
MATERIALES PELIGROSOS NIVEL DE ADVERTENCIA
ROXYLOPEZ10
 
SESION1-clase01 inici de primera unidad.PPT
SESION1-clase01 inici de primera unidad.PPTSESION1-clase01 inici de primera unidad.PPT
SESION1-clase01 inici de primera unidad.PPT
JuniorCochachin2
 
NRF-032-PEMEX-2012 DISEÑO DE TUBERIA.pdf
NRF-032-PEMEX-2012 DISEÑO DE TUBERIA.pdfNRF-032-PEMEX-2012 DISEÑO DE TUBERIA.pdf
NRF-032-PEMEX-2012 DISEÑO DE TUBERIA.pdf
LambertoAugurioMarti1
 
VIRUS DE LA MANCHA ANILLADA DE LA PAPAYA(PRSV).ppt
VIRUS DE LA MANCHA ANILLADA DE LA PAPAYA(PRSV).pptVIRUS DE LA MANCHA ANILLADA DE LA PAPAYA(PRSV).ppt
VIRUS DE LA MANCHA ANILLADA DE LA PAPAYA(PRSV).ppt
HectorEnriqueCespede1
 
CURSO COMPLETO FIBRA OPTICA MULTIMODO.pdf
CURSO COMPLETO FIBRA OPTICA MULTIMODO.pdfCURSO COMPLETO FIBRA OPTICA MULTIMODO.pdf
CURSO COMPLETO FIBRA OPTICA MULTIMODO.pdf
DanielCisternasCorte
 
ACTORES VIALES PLAN ESTRATEGICO DE SEGURIDAD VIAL
ACTORES VIALES PLAN ESTRATEGICO DE SEGURIDAD VIALACTORES VIALES PLAN ESTRATEGICO DE SEGURIDAD VIAL
ACTORES VIALES PLAN ESTRATEGICO DE SEGURIDAD VIAL
sstalejandragarcia
 
SESIÓN 3 ÓXIDOS-HIDRÓXIDOS trabajo virtual
SESIÓN 3 ÓXIDOS-HIDRÓXIDOS trabajo virtualSESIÓN 3 ÓXIDOS-HIDRÓXIDOS trabajo virtual
SESIÓN 3 ÓXIDOS-HIDRÓXIDOS trabajo virtual
JuanGavidia2
 
Enjoy Pasto Bot - "Tu guía virtual para disfrutar del Carnaval de Negros y Bl...
Enjoy Pasto Bot - "Tu guía virtual para disfrutar del Carnaval de Negros y Bl...Enjoy Pasto Bot - "Tu guía virtual para disfrutar del Carnaval de Negros y Bl...
Enjoy Pasto Bot - "Tu guía virtual para disfrutar del Carnaval de Negros y Bl...
Eliana Gomajoa
 
Carlos Augusto da Silva Lins todosIngressantes2024-1.pdf
Carlos Augusto da Silva Lins todosIngressantes2024-1.pdfCarlos Augusto da Silva Lins todosIngressantes2024-1.pdf
Carlos Augusto da Silva Lins todosIngressantes2024-1.pdf
juntosvenceremosbras
 
SLIDEHARE.docx..........................
SLIDEHARE.docx..........................SLIDEHARE.docx..........................
SLIDEHARE.docx..........................
azulsarase
 
561425171-5-1-Modelos-de-Pronosticos.pptx
561425171-5-1-Modelos-de-Pronosticos.pptx561425171-5-1-Modelos-de-Pronosticos.pptx
561425171-5-1-Modelos-de-Pronosticos.pptx
Angel Tello
 
26.-MARZO-SECTOR-MINERO-IDENTIFICACIÓN-DE-PELIGROS-Y-RIESGOS-CON-ENFOQUE-A-P...
26.-MARZO-SECTOR-MINERO-IDENTIFICACIÓN-DE-PELIGROS-Y-RIESGOS-CON-ENFOQUE-A-P...26.-MARZO-SECTOR-MINERO-IDENTIFICACIÓN-DE-PELIGROS-Y-RIESGOS-CON-ENFOQUE-A-P...
26.-MARZO-SECTOR-MINERO-IDENTIFICACIÓN-DE-PELIGROS-Y-RIESGOS-CON-ENFOQUE-A-P...
FlavioMedina10
 
Presentación transferencia de calor Jesus Morales.pdf
Presentación transferencia de calor Jesus Morales.pdfPresentación transferencia de calor Jesus Morales.pdf
Presentación transferencia de calor Jesus Morales.pdf
jdcumarem02
 
SESION 12 - RESOLUCION SUPREMA N021-83.pdf
SESION 12 - RESOLUCION SUPREMA N021-83.pdfSESION 12 - RESOLUCION SUPREMA N021-83.pdf
SESION 12 - RESOLUCION SUPREMA N021-83.pdf
JosephLipaFlores1
 
Juzgamiento-de-Ganado-Lechero-CATEGORIA-B-SWISS.pptx
Juzgamiento-de-Ganado-Lechero-CATEGORIA-B-SWISS.pptxJuzgamiento-de-Ganado-Lechero-CATEGORIA-B-SWISS.pptx
Juzgamiento-de-Ganado-Lechero-CATEGORIA-B-SWISS.pptx
Folke Claudio Tantahuillca Landeo
 
Control Industrial control de procesos .pptx
Control Industrial control de procesos .pptxControl Industrial control de procesos .pptx
Control Industrial control de procesos .pptx
Efrain Yungan
 
ANALISIS ESTRUCTURAL SAP2000 EN SISTEMA ESTRUCTURALES
ANALISIS ESTRUCTURAL SAP2000 EN SISTEMA ESTRUCTURALESANALISIS ESTRUCTURAL SAP2000 EN SISTEMA ESTRUCTURALES
ANALISIS ESTRUCTURAL SAP2000 EN SISTEMA ESTRUCTURALES
John Paul Collazos Campos
 
Gravimetria-Amalgamacion-y-Flotacion-del-Oro-pptx.pptx
Gravimetria-Amalgamacion-y-Flotacion-del-Oro-pptx.pptxGravimetria-Amalgamacion-y-Flotacion-del-Oro-pptx.pptx
Gravimetria-Amalgamacion-y-Flotacion-del-Oro-pptx.pptx
RobertoChvez25
 

Último (20)

Presentación 01 Curso de Introducción a Python.pdf
Presentación 01 Curso de Introducción a Python.pdfPresentación 01 Curso de Introducción a Python.pdf
Presentación 01 Curso de Introducción a Python.pdf
 
diagrama de flujo. en el área de ingeniería
diagrama de flujo. en el área de ingenieríadiagrama de flujo. en el área de ingeniería
diagrama de flujo. en el área de ingeniería
 
MATERIALES PELIGROSOS NIVEL DE ADVERTENCIA
MATERIALES PELIGROSOS NIVEL DE ADVERTENCIAMATERIALES PELIGROSOS NIVEL DE ADVERTENCIA
MATERIALES PELIGROSOS NIVEL DE ADVERTENCIA
 
SESION1-clase01 inici de primera unidad.PPT
SESION1-clase01 inici de primera unidad.PPTSESION1-clase01 inici de primera unidad.PPT
SESION1-clase01 inici de primera unidad.PPT
 
NRF-032-PEMEX-2012 DISEÑO DE TUBERIA.pdf
NRF-032-PEMEX-2012 DISEÑO DE TUBERIA.pdfNRF-032-PEMEX-2012 DISEÑO DE TUBERIA.pdf
NRF-032-PEMEX-2012 DISEÑO DE TUBERIA.pdf
 
VIRUS DE LA MANCHA ANILLADA DE LA PAPAYA(PRSV).ppt
VIRUS DE LA MANCHA ANILLADA DE LA PAPAYA(PRSV).pptVIRUS DE LA MANCHA ANILLADA DE LA PAPAYA(PRSV).ppt
VIRUS DE LA MANCHA ANILLADA DE LA PAPAYA(PRSV).ppt
 
CURSO COMPLETO FIBRA OPTICA MULTIMODO.pdf
CURSO COMPLETO FIBRA OPTICA MULTIMODO.pdfCURSO COMPLETO FIBRA OPTICA MULTIMODO.pdf
CURSO COMPLETO FIBRA OPTICA MULTIMODO.pdf
 
ACTORES VIALES PLAN ESTRATEGICO DE SEGURIDAD VIAL
ACTORES VIALES PLAN ESTRATEGICO DE SEGURIDAD VIALACTORES VIALES PLAN ESTRATEGICO DE SEGURIDAD VIAL
ACTORES VIALES PLAN ESTRATEGICO DE SEGURIDAD VIAL
 
SESIÓN 3 ÓXIDOS-HIDRÓXIDOS trabajo virtual
SESIÓN 3 ÓXIDOS-HIDRÓXIDOS trabajo virtualSESIÓN 3 ÓXIDOS-HIDRÓXIDOS trabajo virtual
SESIÓN 3 ÓXIDOS-HIDRÓXIDOS trabajo virtual
 
Enjoy Pasto Bot - "Tu guía virtual para disfrutar del Carnaval de Negros y Bl...
Enjoy Pasto Bot - "Tu guía virtual para disfrutar del Carnaval de Negros y Bl...Enjoy Pasto Bot - "Tu guía virtual para disfrutar del Carnaval de Negros y Bl...
Enjoy Pasto Bot - "Tu guía virtual para disfrutar del Carnaval de Negros y Bl...
 
Carlos Augusto da Silva Lins todosIngressantes2024-1.pdf
Carlos Augusto da Silva Lins todosIngressantes2024-1.pdfCarlos Augusto da Silva Lins todosIngressantes2024-1.pdf
Carlos Augusto da Silva Lins todosIngressantes2024-1.pdf
 
SLIDEHARE.docx..........................
SLIDEHARE.docx..........................SLIDEHARE.docx..........................
SLIDEHARE.docx..........................
 
561425171-5-1-Modelos-de-Pronosticos.pptx
561425171-5-1-Modelos-de-Pronosticos.pptx561425171-5-1-Modelos-de-Pronosticos.pptx
561425171-5-1-Modelos-de-Pronosticos.pptx
 
26.-MARZO-SECTOR-MINERO-IDENTIFICACIÓN-DE-PELIGROS-Y-RIESGOS-CON-ENFOQUE-A-P...
26.-MARZO-SECTOR-MINERO-IDENTIFICACIÓN-DE-PELIGROS-Y-RIESGOS-CON-ENFOQUE-A-P...26.-MARZO-SECTOR-MINERO-IDENTIFICACIÓN-DE-PELIGROS-Y-RIESGOS-CON-ENFOQUE-A-P...
26.-MARZO-SECTOR-MINERO-IDENTIFICACIÓN-DE-PELIGROS-Y-RIESGOS-CON-ENFOQUE-A-P...
 
Presentación transferencia de calor Jesus Morales.pdf
Presentación transferencia de calor Jesus Morales.pdfPresentación transferencia de calor Jesus Morales.pdf
Presentación transferencia de calor Jesus Morales.pdf
 
SESION 12 - RESOLUCION SUPREMA N021-83.pdf
SESION 12 - RESOLUCION SUPREMA N021-83.pdfSESION 12 - RESOLUCION SUPREMA N021-83.pdf
SESION 12 - RESOLUCION SUPREMA N021-83.pdf
 
Juzgamiento-de-Ganado-Lechero-CATEGORIA-B-SWISS.pptx
Juzgamiento-de-Ganado-Lechero-CATEGORIA-B-SWISS.pptxJuzgamiento-de-Ganado-Lechero-CATEGORIA-B-SWISS.pptx
Juzgamiento-de-Ganado-Lechero-CATEGORIA-B-SWISS.pptx
 
Control Industrial control de procesos .pptx
Control Industrial control de procesos .pptxControl Industrial control de procesos .pptx
Control Industrial control de procesos .pptx
 
ANALISIS ESTRUCTURAL SAP2000 EN SISTEMA ESTRUCTURALES
ANALISIS ESTRUCTURAL SAP2000 EN SISTEMA ESTRUCTURALESANALISIS ESTRUCTURAL SAP2000 EN SISTEMA ESTRUCTURALES
ANALISIS ESTRUCTURAL SAP2000 EN SISTEMA ESTRUCTURALES
 
Gravimetria-Amalgamacion-y-Flotacion-del-Oro-pptx.pptx
Gravimetria-Amalgamacion-y-Flotacion-del-Oro-pptx.pptxGravimetria-Amalgamacion-y-Flotacion-del-Oro-pptx.pptx
Gravimetria-Amalgamacion-y-Flotacion-del-Oro-pptx.pptx
 

AEP19. Presentaciones: Cap. 5. Valor esperado

  • 2. AGENDA CAP. 5: Valor Esperado 2
  • 3. fasandoval@utpl.edu.ec Agenda CAP. 5: Valor Esperado • Valor esperado de una función de v.a.r. • Valor esperado de una función de vec. a. • Valor esperado de vectores y matrices. • Valor esperado condicional • Funciones características 3
  • 4. fasandoval@utpl.edu.ec Objetivos • Caracterización del valor esperado para v.a.r., vec.a. y condicional. • Definir la función característica. 4
  • 5. VALOR ESPERADO DE FUNCIÓN DE VARIABLE ALEATORIA REAL 5
  • 6. fasandoval@utpl.edu.ec Valor esperado de función de v.a.r. Demostración: 𝐸 𝑦 = න −∞ ∞ 𝑌 𝑝 𝑦 𝑌 𝑑𝑌 = න −∞ ∞ 𝑌 න −∞ ∞ 𝑝 𝑥𝑦 𝑋, 𝑌 𝑑𝑋𝑑𝑌 = න −∞ ∞ 𝑌 න −∞ ∞ 𝑝 𝑦|𝑥=𝑋 𝑌 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋𝑑𝑌 Definición 1: Teorema Fundamental del Valor Esperado Si 𝑦 = 𝑔(𝑥), entonces න −∞ ∞ 𝑌 𝑝 𝑦 𝑌 𝑑𝑌 = න −∞ ∞ 𝑔 𝑋 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋 6
  • 7. fasandoval@utpl.edu.ec Valor esperado de función de v.a.r. • Dado 𝑥 = 𝑋, 𝑦 pasa a ser una variable aleatoria discreta que puede asumir un único valor 𝑔(𝑥). 𝐸 𝑦 = ‫׬‬−∞ ∞ 𝑝 𝑥 𝑋 ‫׬‬−∞ ∞ 𝑌 𝛿 𝑌 − 𝑔 𝑋 𝑑𝑌 𝑑𝑋 • Considerando la propiedad de la función impulso 𝐸 𝑦 = 𝐸 𝑔 𝑥 = න −∞ ∞ 𝑔 𝑋 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋 7
  • 8. fasandoval@utpl.edu.ec Valor esperado de función de v.a.r. • A partir de la definición 1, es posible llegar a la definición de cantidades específicas bastante importantes en la teoría de v.a. • Conceptos como media, varianza y valor medio cuadrático son fácilmente definidos a través de una elección adecuada de la función 𝑔. 8
  • 9. fasandoval@utpl.edu.ec Introducción a media, varianza y desviación estándar (determinístico) http://www.disfrutalasmatematicas.com/datos/desviacion-estandar.html • Desviación estándar (𝜎): mide cuánto se separan los datos, es la raíz cuadrada de la varianza. • Varianza (𝜎2 ): Es la media de las diferencias con la media elevadas al cuadrado. Pasos para cálculo de varianza: 1. Calcula la media (el promedio de los números) 2. Por cada número restar la media y elevar el resultado al cuadrado. 3. Calcular la media de esas diferencias al cuadrado. 9
  • 10. fasandoval@utpl.edu.ec Media Definición 2: Media La media 𝑚 𝑥 de una v.a. 𝑥 es definida a través de la definición 1, tomando 𝑔 𝑥 = 𝑥. Es decir: 𝑚 𝑥 = 𝐸[𝑥] = න −∞ ∞ 𝑋 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋 Ejemplos: Calcular la media de v.a. específicas muy prácticas: • media de una v.a. uniforme • medía de una v.a. gaussiana • media de una v.a. discreta 10
  • 11. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo: Media de v.a. uniforme 𝑚 𝑥 = න 𝑎 𝑏 𝑋 1 𝑏 − 𝑎 𝑑𝑋 = 𝑎 + 𝑏 2 donde 𝑎 y 𝑏 son parámetros de la función densidad de probabilidad uniforme. fdp 11
  • 12. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo: Media de v.a. gaussiana 𝑚 𝑥 = න −∞ ∞ 𝑋 1 2𝜋𝜎 𝑒 − 𝑋−𝑚 2 2𝜎2 𝑑𝑋 efectuando un cambio de variable 𝑋 − 𝑚 = 𝛼 en la integral, se obtiene 𝑚 𝑥 = 𝑚 න −∞ ∞ 1 2𝜋𝜎 𝑒 − 𝛼2 2𝜎2 𝑑𝛼 + න −∞ ∞ 𝛼 1 2𝜋𝜎 𝑒 − 𝛼2 2𝜎2 𝑑𝛼 La primera integral es una integral de una función densidad de probabilidad gaussiana a lo largo de ℝ, siendo por tanto igual a 1. La segunda integral es nula porque se trata de la integral de una función impar (producto de una función impar por una función par) a lo largo de un intervalo simétrico en relación al origen. Por tanto: 𝑚 𝑥 = 𝑚 donde 𝑚 es uno de los parámetros de la función densidad e probabilidad gaussiana. 12
  • 13. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo: Media de v.a. gaussiana Aclaraciones: • Una función 𝑓(𝑥) es par en el intervalo [𝑎, −𝑎] si 𝑓 𝑥 = 𝑓 −𝑥 • una función 𝑓(𝑥) será impar en el intervalo 𝑎, 𝑏 si 𝑓 𝑥 = −𝑓(−𝑥). 13
  • 14. fasandoval@utpl.edu.ec Varianza (𝜎𝑥 2) y desviación estándar (𝜎) • La raíz cuadrada 𝜎𝑥 2 de la varianza de una v.a. 𝑥 se denomina desviación estándar de la v.a. • La varianza (o desviación estándar) es un parámetro asociado a la dispersión de la v.a. en torno de su media. Definición 3: Varianza La varianza 𝜎2 de una v.a. 𝑥, es definida a través de la definición 1, tomando 𝑔 𝑥 = 𝑋 − 𝑚 𝑥 2 . Es decir: 𝜎𝑥 2 = 𝐸[ 𝑥 − 𝑚 𝑥 2] = න −∞ ∞ 𝑋 − 𝑚 𝑥 2 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋 14
  • 15. fasandoval@utpl.edu.ec Varianza (𝜎𝑥 2) y desviación estándar (𝜎) Ejemplos: Calcular la varianza de v.a. específicas: • varianza de una v.a. uniforme • varianza de una v.a. gaussiana • varianza de una v.a. discreta 15
  • 16. fasandoval@utpl.edu.ec Valor cuadrático medio • El concepto de valor cuadrático medio es importante y bastante utilizado en: – problemas de optimización y estimación de parámetros. – cuantizadores (optimizar los niveles de cuantización a través del criterio del mínimo error cuadrático) Definición 4: Valor cuadrático medio El valor cuadrático medio 𝐸 𝑥2 de una v.a. 𝑥, es definida a través de la definición 1, tomando 𝑔 𝑥 = 𝑥2 . Es decir: 𝐸[𝑥2] = න −∞ ∞ 𝑥2 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋 16
  • 17. fasandoval@utpl.edu.ec Valor cuadrático medio Ejemplos: Calcular el valor cuadrático medio de v.a. específicas: • valor cuadrático medio de una v.a. uniforme • valor cuadrático medio de una v.a. gaussiana 17
  • 18. VALOR ESPERADO DE FUNCIÓN DE VECTOR ALEATORIO 18
  • 19. fasandoval@utpl.edu.ec Valor esperado de función de vector aleatorio • El concepto de valor esperado de una variable aleatoria 𝑦, es examinado en una situación más general en que 𝑦 es función de varias variables aleatorias, o sea 𝑦 = 𝑔(𝒙) Definición 5: Teorema Fundamental del Valor Esperado (Caso General ) Si 𝑦 = 𝑔(𝒙), entonces 𝐸 𝑦 = 𝐸 𝑔 𝒙 = න −∞ ∞ න −∞ ∞ … න −∞ ∞ 𝑔 𝒙 𝑝 𝑥 𝑿 𝑑𝑿 19
  • 20. fasandoval@utpl.edu.ec Valor esperado de función de vector aleatorio Propiedad 1: El valor esperado de una constante 𝑎 (que equivale a una v.a. que asume un único valor 𝑎 es igual a la propia constante, o sea, 𝐸 𝑎 = 𝑎 Propiedad 2: El valor esperado es un operador lineal, o sea, 𝐸 ෍ 𝑖=1 𝑛 𝑎𝑖 𝑥𝑖 = ෍ 𝑖=1 𝑛 𝑎𝑖 𝐸[𝑥𝑖] donde {𝑥𝑖} son v.a. y {𝑎𝑖} son constantes reales. Propiedad 3: El módulo del valor esperado de una variable aleatoria es menor o igual al valor esperado del módulo de la v.a., o sea, 𝐸[𝑥] ≤ 𝐸 ][ 𝑥 20
  • 21. fasandoval@utpl.edu.ec Valor esperado de función de vector aleatorio Propiedad 4: El operador valor esperado preserva el orden, en el sentido de que si dos v.a. 𝑥 y 𝑦 son tales que 𝑥 𝜔 ≥ 𝑦 𝜔 , ∀ 𝜔 ∈ Ω entonces 𝐸 𝑥 ≥ 𝐸[𝑦] Propiedad 5: En el caso de 𝑛 v.a. estadísticamente independientes 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛, se tiene para cualquier conjunto de funciones {𝑔1, 𝑔2, … , 𝑔 𝑛}, 𝐸 ෑ 𝑖=1 𝑛 𝑔𝑖(𝑥𝑖) = ෑ 𝑖=1 𝑛 𝐸[𝑔𝑖(𝑥𝑖)] 21
  • 22. fasandoval@utpl.edu.ec Valor esperado de función de vector aleatorio • A partir del resultado general del Teorema Fundamental delValor Esperado, es posible llegar a la definición de algunas cantidades específicas ampliamente utilizadas en la teoría de v.a. 22
  • 23. fasandoval@utpl.edu.ec Correlación Definición 6: Correlación 𝑟𝑥𝑦 La correlación 𝑟𝑥𝑦 entre dos variables aleatorias 𝑥 y 𝑦, considerando 𝒙 = 𝑥, 𝑦 𝑇 es definida tomando 𝑔 𝒙 = 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 en la ecuación de la definición 5, o sea 𝑟𝑥𝑦 = 𝐸 𝑥𝑦 = න −∞ ∞ න −∞ ∞ 𝑋𝑌 𝑝 𝑥𝑦 𝑋, 𝑌 𝑑𝑋 𝑑𝑌 23
  • 24. fasandoval@utpl.edu.ec Covarianza Definición 7: Covarianza 𝑘 𝑥𝑦 La covarianza 𝑘 𝑥𝑦 entre dos variables aleatorias 𝑥 y 𝑦, considerando 𝒙 = 𝑥, 𝑦 𝑇 es definida tomando 𝑔 𝒙 = 𝑔 𝑥, 𝑦 = (𝑥 − 𝑚 𝑥)(𝑦 − 𝑚 𝑦) en la ecuación de la definición 5, donde 𝑚 𝑥 y 𝑚 𝑦 representan, respectivamente, las medias de las v.a. 𝑥 y 𝑦. Si tiene en este caso, 𝑘 𝑥𝑦 = 𝐸 (𝑥 − 𝑚 𝑥)(𝑦 − 𝑚 𝑦) = න −∞ ∞ න −∞ ∞ (𝑋 − 𝑚 𝑥)(𝑌 − 𝑚 𝑥) 𝑝 𝑥𝑦 𝑋, 𝑌 𝑑𝑋 𝑑𝑌 24
  • 25. fasandoval@utpl.edu.ec Correlación – covarianza Demostración: 𝑘 𝑥𝑦 = 𝐸 𝑥 − 𝑚 𝑥 𝑦 − 𝑚 𝑦 = 𝐸 𝑥𝑦 − 𝑦𝑚 𝑥 − 𝑥𝑚 𝑦 + 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦 = 𝐸 𝑥𝑦 − 𝑚 𝑥 𝐸 𝑦 − 𝑚 𝑦 𝐸 𝑥 + 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦 = 𝐸 𝑥𝑦 − 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦 La covarianza y la correlación se encuentran relacionadas por la ecuación: 𝑘 𝑥𝑦 = 𝑟𝑥𝑦 − 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦 25
  • 26. fasandoval@utpl.edu.ec Correlación – covarianza • En el caso particular de 𝑥 = 𝑦, para el cuadro del slide anterior, establece una relación entre la varianza y el valor medio cuadrático de una v.a. Se tiene, 𝜎𝑥 2 = 𝐸 𝑥2 − 𝑚 𝑥 2 26
  • 27. fasandoval@utpl.edu.ec Covarianza • La covarianza entre dos v.a. es un parámetro real que indica, de cierta forma, la relación estadística entre dos v.a. • Cuanto mayor es el valor del módulo de 𝑘 𝑥𝑦 más fuerte es la relación estadística entre 𝑥 y 𝑦. • Para examinar cuantitativamente el relacionamiento estadístico entre dos variables, es más adecuado la utilización de una cantidad normalizada, puesto que permite caracterizar la relación estadística máxima entre dos v.a. 27
  • 28. fasandoval@utpl.edu.ec Coeficiente de Correlación Definición 8: Coeficiente de Correlación 𝜌 𝑥𝑦 El coeficiente de correlación 𝜌 𝑥𝑦 entre dos v.a. 𝑥 y 𝑦 es definido por 𝜌 𝑥𝑦 = 𝑘 𝑥𝑦 𝜎𝑥 𝜎 𝑦 donde 𝜎𝑥 y 𝜎 𝑦 representan respectivamente las desviaciones estándar de las variables 𝑥 y 𝑦, y 𝑘 𝑥𝑦 la covarianza entre ellas. Se puede demostrar que −1 ≤ 𝜌 𝑥𝑦 ≤ 1 Por ser limitado, el coeficiente de correlación es más adecuado para indicar la relación estadística entre dos variables que la covarianza. 28
  • 30. fasandoval@utpl.edu.ec v.a. descorrelacionadas Definición 9: v.a. descorrelacionadas Dos v.a. 𝑥 y 𝑦 son descorrelacionadas cuando 𝜌 𝑥𝑦 = 0 o equivalentemente 𝑘 𝑥𝑦 = 0 Lo que es equivalente individualmente a 𝑟𝑥𝑦 = 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦 Si dos v.a. son estadísticamente independientes, también son descorrelacionadas, puesto que 𝑟𝑥𝑦 = 𝐸 𝑥𝑦 = 𝐸 𝑥 𝐸 𝑦 = 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦 El recíproco de este hecho, sin embargo, no es verdad. 30
  • 31. fasandoval@utpl.edu.ec v.a. ortogonales Los conceptos de media, varianza, valor medio cuadrático, covarianza y correlación, definidos hasta el momento, constituyen casos particulares de los conceptos más generales de momento conjunto y momento conjunto central. Definición 10: v.a. ortogonales Dos v.a. son ortogonales cuando 𝑟𝑥𝑦 = 0 Dos v.a. descorrelacionadas son ortogonales si y solamente si por lo menos una de ellas tiene media nula. 31
  • 32. fasandoval@utpl.edu.ec Momento conjuntos Definición 11: Momentos Conjuntos Los momentos conjuntos de 𝑛 v.a.’s 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛 son definidos considerando 𝑔 𝒙 = 𝑥1 𝑘1 𝑥2 𝑘2 … 𝑥 𝑛 𝑘 𝑛 donde las potencias 𝑘1, 𝑘2. … 𝑘 𝑛 son números enteros, cada uno de ellos positivos o igual a cero, los momentos conjuntos son entonces dados por 𝐸 𝑥1 𝑘1 𝑥2 𝑘2 … 𝑥 𝑛 𝑘 𝑛 = න −∞ ∞ න −∞ ∞ … න −∞ ∞ 𝑋1 𝑘1 𝑋2 𝑘2 … 𝑋 𝑛 𝑘 𝑛 𝑝 𝒙 𝑿 𝑑𝑿 La suma 𝑘1 + 𝑘2 + ⋯ + 𝑘 𝑛 se denomina orden del momento conjunto. 32
  • 33. fasandoval@utpl.edu.ec Momentos conjuntos Observe que: • Las cantidades 𝐸[𝑥1 𝑥2 𝑥 𝑛], 𝐸[𝑥1 𝑥2 2 ], 𝐸[𝑥3 3 ] constituyen todos los momentos conjuntos de tercer orden. • La media constituye momentos de primer orden. • el valor medio cuadrático y la correlación constituyen momentos de segundo orden. 33
  • 34. fasandoval@utpl.edu.ec Momentos conjuntos centrales Definición 12: Momentos conjuntos centrales Los momentos conjuntos centrales de 𝑛 v.a.’s 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛 son definidos considerando 𝑔 𝒙 = 𝑥1 − 𝑚 𝑥1 𝑘1 𝑥2 − 𝑚 𝑥2 𝑘2 … 𝑥 𝑛 − 𝑚 𝑥 𝑛 𝑘 𝑛 donde las potencias 𝑘1, 𝑘2. … 𝑘 𝑛 son números enteros, cada uno de ellos positivos o igual a cero, los momentos conjuntos centrales son entonces dados por 𝐸 𝑥1 − 𝑚 𝑥1 𝑘1 𝑥2 − 𝑚 𝑥2 𝑘2 … 𝑥 𝑛 − 𝑚 𝑥 𝑛 𝑘 𝑛 = න −∞ ∞ න −∞ ∞ … න −∞ ∞ 𝑋1 − 𝑚 𝑥1 𝑘1 𝑋2 − 𝑚 𝑥2 𝑘2 … ൫ ൯ 𝑋 𝑛 − 𝑚 𝑥 𝑛 𝑘 𝑛 𝑝 𝒙 𝑿 𝑑𝑿 34
  • 35. fasandoval@utpl.edu.ec Momentos conjuntos centrales Observe que • La varianza y la covarianza constituyen ambos momentos centrales de segundo orden. 35
  • 37. VALOR ESPERADO DE VECTORES Y MATRICES 37
  • 38. fasandoval@utpl.edu.ec Valor esperado de vectores y matrices • El valor esperado de un vector 𝒚 es definido como un vector de la misma dimensión, cuyas componentes son los valores esperados de las componentes de 𝒚. • El valor esperado de una matriz 𝑨 es definido como una matriz de la misma dimensión, cuyos elementos son los valores esperados de los elementos de 𝑨. 38
  • 39. fasandoval@utpl.edu.ec Vector media El vector media 𝒎 𝒙 de un vector aleatorio 𝒙 = 𝑥1 𝑥2 … 𝑥 𝑛 𝑇 es definido por 𝒎 𝒙 = 𝐸[𝒙] esto significa que 𝒎 𝒙 = 𝐸 𝑥1 𝐸 𝑥2 ⋮ 𝐸[𝑥 𝑛] = 𝑚 𝑥1 𝑚 𝑥2 ⋮ 𝑚 𝑥 𝑛 o sea, el vector media de un vector aleatorio 𝒙 es el vector cuyas componentes son las medias de las componentes de 𝒙. 39
  • 40. fasandoval@utpl.edu.ec Matriz covarianza La matriz covarianza 𝐾𝑥 de un vector aleatorio 𝒙 = 𝑥1 𝑥2 … 𝑥 𝑛 𝑇 es definida por 𝐾𝑥 = 𝐸 𝒙 − 𝒎 𝒙 𝒙 − 𝒎 𝒙 𝑇 𝑲 𝒙 = 𝜎𝑥1 2 𝑘 𝑥1 𝑥2 … 𝑘 𝑥1 𝑥 𝑛 𝑘 𝑥2 𝑥1 𝜎𝑥2 2 … 𝑘 𝑥2 𝑥 𝑛 ⋮ 𝑘 𝑥 𝑛 𝑥1 ⋮ 𝑘 𝑥 𝑛 𝑥2 ⋱ ⋮ … 𝜎𝑥 𝑛 2 40
  • 41. fasandoval@utpl.edu.ec Media y Covarianza de Vectores aleatorios Determinar la expresión del vector media y de la matriz covarianza de un vector aleatorio 𝒚 definido como una función lineal de otro vector aleatorio 𝒙, en función del vector media y de la matriz covarianza del vector 𝒙. En este caso considere 𝒚 = 𝑨𝒙 + 𝒃 𝐸 𝒚 = 𝐸 𝑨𝒙 + 𝒃 = 𝑨𝐸 𝒙 + 𝒃 O sea, 𝒎 𝒚 = 𝑨𝒎 𝒙 + 𝒃 Por otro lado, se tiene 𝑲 𝒚 = 𝐸 𝒚 − 𝒎 𝒚 𝒚 − 𝒎 𝒚 𝑇 = 𝐸 𝑨𝒙 − 𝑨𝒎 𝒙 𝑨𝒙 − 𝑨𝒎 𝒙 𝑇 o aún, 𝑲 𝒚 = 𝐸 𝑨 𝒙 − 𝒎 𝒙 𝒙 − 𝒎 𝒙 𝑇 𝑨 𝑇 finalmente, 𝑲 𝒚 = 𝑨𝑲 𝒙 𝑨 𝑇 41
  • 42. fasandoval@utpl.edu.ec Matriz covarianza Demostración: Propiedad 6: Dado un vector aleatorio 𝒙, con matriz covarianza 𝑲 𝒙, es posible hacer que sus componentes estén descorrelacionadas dos a dos, a través de una transformación lineal. 42
  • 43. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo Considere un vector aleatorio 𝒙 con matriz convarianza 𝑲 𝒙 = 2 1 1 2 Encuentre la matriz 𝑷, que transforma el vector aleatorio 𝒙, en un vector aleatorio 𝒚 con componentes descorrelatadas dos a dos. 43
  • 45. fasandoval@utpl.edu.ec Valor esperado condicional Definición 11: Valor esperado condicional El valor esperado de 𝑦, condicionado al evento 𝑀, es definido por 𝐸 𝑦 𝑀 = න −∞ ∞ 𝑌 𝑝 𝑦|𝑀 𝑌 𝑑𝑌 Definición 12: Valor esperado condicional Para el caso particular 𝑦 = 𝑔(𝑥) el valor esperado de 𝑦, condicionado al evento 𝑀, es definido por 𝐸 𝑔(𝑥) 𝑀 = න −∞ ∞ 𝑔(𝑋) 𝑝 𝑥|𝑀 𝑋 𝑑𝑋 Y en el caso de función de vector aleatorio 𝐸 𝑔(𝒙) 𝑀 = න −∞ ∞ 𝑔(𝑿) 𝑝 𝒙|𝑀 𝑿 𝑑𝑿 45
  • 47. fasandoval@utpl.edu.ec Funciones Características de una variable aleatoria real Definición 13: Función Carácterística de v.a.r. La función característica de una v.a. 𝑥 es definida como 𝑀 𝑥 𝑣 = 𝐸 𝑒 𝑗𝑣𝑥 o sea 𝑀 𝑥 𝑣 = න −∞ ∞ 𝑒 𝑗𝑣𝑋 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋 donde 𝑀 𝑥 es una función de la v.a.r. 𝑣 y toma valores en el conjunto de los números complejos. 47
  • 48. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo: Cálculo de función característica Calcular la función característica de: • una v.a. uniforme • una v.a. exponencial • una v.a. de Poisson • una v.a. gaussiana 48
  • 49. fasandoval@utpl.edu.ec Funciones Características de una variable aleatoria real • En la determinación de funciones características de v.a., las manipulaciones algebraicas trabajosas pueden ser evitadas. • Para esto, basta observar que, de no ser por una sustitución de variables bastante simple, 𝑀 𝑥 𝑣 coincide con laTransformada de Fourier de 𝑝 𝑥(𝑋). 49
  • 50. fasandoval@utpl.edu.ec Funciones Características de una variable aleatoria real • La Transformada de Fourier de 𝑝 𝑥(𝑋) es definida por ℱ 𝑝 𝑥 𝑋 = න −∞ ∞ 𝑝 𝑥 𝑋 𝑒−2𝜋𝑓𝑋 𝑑𝑋 se llega fácilmente a la relación 𝑀 𝑥 𝑣 = ℱ 𝑝 𝑥 𝑋 ቚ 𝑓=− 𝑣 2𝜋 50
  • 51. fasandoval@utpl.edu.ec Funciones Características de una variable aleatoria real • Análogamente, conocida la función característica de una v.a. es posible obtener la fdp utilizando la transformada inversa de Fourier, dada por 𝑝 𝑥 𝑋 = න −∞ ∞ ℱ 𝑝 𝑥 𝑋 𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑋 𝑑𝑓 se obtiene así 𝑝 𝑥 𝑋 = ℱ−1 𝑀 𝑥 𝑣 | 𝑣=−2𝜋𝑓 = 1 2𝜋 ‫׬‬−∞ ∞ 𝑀 𝑥 𝑣 𝑒−𝑗𝑣𝑋 𝑑𝑣 donde ℱ−1 caracteriza la Transformada Inversa de Fourier. 51
  • 52. fasandoval@utpl.edu.ec Funciones Características de una variable aleatoria real Propiedad 7: 𝑀 𝑥 0 = 1 Propiedad 8: 𝑀 𝑥(𝑣) ≤ 1 Propiedad 9: Si 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, entonces 𝑀 𝑦 𝑣 = 𝑒 𝑗𝑣𝑏 𝑀 𝑥 𝑎𝑣 52
  • 53. fasandoval@utpl.edu.ec Funciones Características de una variable aleatoria real Propiedad 10: Si {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛} son v.a. estadísticamente independientes y 𝑦 = σ𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖 entonces 𝑀 𝑦 𝑣 = ෑ 𝑖=1 𝑛 𝑀 𝑥 𝑖 (𝑣) Propiedad 11: 𝐸 𝑥 𝑘 = อ−𝑗 𝑘 𝑑 𝑘 𝑑𝑣 𝑘 𝑀 𝑥 𝑣 𝑣=0 53
  • 54. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo: Funciones Características Sean 𝑥 y 𝑦 dos v.a. estadísticamente independientes, ambas con fdp uniforme en el intervalo (−1,1] . Determinar la fdp de la v.a. 𝑧 definida como la suma de 𝑥 y 𝑦. 54
  • 55. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo: Funciones Características Sean 𝑥 y 𝑦 dos v.a. estadísticamente independientes, ambas con fdp de Poisson de parámetro 𝑎. Determinar la fdp de la v.a. 𝑧 definida como la suma de 𝑥 y 𝑦. 55
  • 56. fasandoval@utpl.edu.ec Teorema del Límite Central Definición 14: Teorema del Límite Central Sea 𝑦𝑛 una v.a. definida por 𝑦𝑛 = ෍ 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖 donde {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛} son v.a. estadísticamente independientes, identicamente distribuidas, todas con media 𝑚 y varianza 𝜎2 . Entonces, la v.a. 𝑧 𝑛 que caracteriza la suma normalizada 𝑧 𝑛 = 𝑦𝑛 − 𝑚 𝑦 𝑛 𝜎 𝑦 𝑛 y tal que lim 𝑛→∞ 𝑝 𝑧 𝑛 𝑍 = 1 2𝜋 𝑒− 𝑍2 2 56
  • 58. fasandoval@utpl.edu.ec Función Característica de Vector Aleatorio Definición 15: Función Característica de Vector Aleatorio La función característica de un vector aleatorio 𝒙, de dimensión 𝒏 es definida por 𝑀 𝑥 𝒗 = 𝐸 𝑒 𝑗𝒗 𝑇 𝒙 o sea 𝑀𝒙 𝒗 = න −∞ ∞ න ∞ ∞ … න −∞ ∞ 𝑒 𝑗𝒗 𝑇 𝒙 𝑝 𝑥 𝑿 𝑑𝑿 donde 𝑀 𝑥 es una función de las 𝑛 variables {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛} que caracterizan el vector 𝒗, y toma valores en el conjunto de números complejos. 58
  • 59. fasandoval@utpl.edu.ec Función Característica de Vector Aleatorio Propiedad 12: 𝑀 𝒙 𝟎 = 1 Propiedad 13: 𝑀 𝒙(𝒗) ≤ 1 Propiedad 14: Si 𝒚 = 𝑨𝒙 + 𝒃, entonces 𝑀 𝒚 𝒗 = 𝑒 𝑗𝒗 𝑇 𝒃 𝑀 𝒙(𝑨 𝑇 𝒗) Demostración 𝑀 𝒚 𝒗 = 𝐸 𝑒 𝑗𝒗 𝑇 𝒚 = 𝐸 𝑒 𝑗𝒗 𝑇 𝑨𝒙+𝒃 = 𝑒 𝑗𝒗𝒃 𝐸 𝑒 𝑗𝒗 𝑇 𝑨𝒙 como 𝒗 𝑇 𝑨 = 𝑨 𝑇 𝒗 𝑇 59
  • 60. fasandoval@utpl.edu.ec Funciones Características de una variable aleatoria real Propiedad 15: Si las componentes {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛} del vector aleatorio 𝒙 son estadísticamente independientes, entonces 𝑀 𝒙 𝒗 = ෑ 𝑖=1 𝑛 𝑀 𝑥 𝑖 (𝑣𝑖) Propiedad 16: 𝐸 𝑥1 𝑘1 𝑥2 𝑘2 … 𝑥 𝑛 𝑘 𝑛 = ቮ−𝑗 𝑘1+𝑘2+⋯+𝑘 𝑛 𝑑 𝑘1+𝑘2+⋯+𝑘 𝑛 𝛿𝑣1 𝑘1 𝛿𝑣2 𝑘2 … 𝛿𝑣 𝑛 𝑘 𝑛 𝑀 𝒙 𝒗 𝒗=𝟎 60
  • 61. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo: Función Característica de vectores aleatorios Sea 𝒙 un aleatorio bidimensional con función característica dada por 𝑀 𝒙 𝒗 = 𝑒− 2𝑣1 2+2𝑣2 2+𝑣1 𝑣2 Se desea determinar el vector media 𝒎 𝒙 y la matriz covarianza 𝑲 𝒙 del aleatorio 𝒙. 61
  • 63. fasandoval@utpl.edu.ec Referencias • ALBUQUERQUE, J. P.A.; FORTES, J. M.; FINAMORE,W.A. (1993) Modelos Probabilísticos em Engenharia Elétrica; Rio de Janeiro: Publicação CETUC. • Marco Grivet, Procesos Estocásticos I, Centro de Estudios em Telecomunicaciones – CETUC, 2006. [Slide] • Universidad de Cantabria, Teoría de la Probabilidad,Teoría de la Comunicación, Curso 2007-2008. [Slide] • ALBERTO LEON-GARCIA, Probability, Statistics, and Random Processes For Electrical Engineering, Third Edition, Pearson – Prentice Hall, University of Toronto, 2008. 63
  • 64. Esta obra esta bajo licencia Creative Commons de Reconocimiento, No Comercial y Sin Obras Derivadas, Ecuador 3.0 www.creativecommons.org fasandoval@utpl.edu.ec 64