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Anualidades
   Las anualidades o rentas son utilizadas en
    operaciones financieras de endeudamiento
    y formación de capitales.
   Sirven para formar capitales o para reducir
    deudas mediante cuotas periódicas.
   Son útiles para la elaboración de tablas de
    amortización.
   Una anualidad es una serie de pagos
    periódicos iguales.
       El valor de cada pago periódico recibe el
        nombre de renta o anualidad.


                  R       R       R       R       R       R


    0         1       2       3       4       5       6
   Anualidades ordinarias o vencidas
   Anualidades anticipadas
   Anualidades diferidas
   Anualidades simple
   Anualidades generales
Son aquellas en las que el depósito, pago o renta y la
liquidación de intereses se realizan al final de cada período.
Ejemplo: pago de cuotas mensuales por deudas a plazo
Son aquellas en las que el depósito, el pago y la liquidación
de los intereses se hacen al principio de cada período.
Ejemplo: pago de cuotas por adelantado
Son aquellas cuyo plazo comienza después de transcurrido
determinado intervalo del tiempo establecido. Ejemplo:
préstamos con períodos de gracia.


      Período de gracia
Son aquellas cuyo período de pago o depósito coincide con
el período de capitalización. Ejemplo: Si la capitalización es
semestral los pagos o depósitos serán semestrales.



Son aquellas cuyos períodos de pago o depósito y de capitalización no
coinciden. Ejemplo: Cuando se hace una serie de depósitos trimestrales y
la capitalización de los intereses es semestral. Para resolver este tipo de
anualidad utilizamos la ecuación de equivalencia .


                                        m
                         1+i= (1+j/m)
Las anualidades ciertas y las eventuales pueden ser vencidas o
anticipadas y estas a su vez pueden ser diferidas, perpetuas y
perpetuas diferidas.


       ANUALIDADES CIERTAS
                                       ANUALIDADES EVENTUALES

    VENCIDAS         ANTICIPADAS      VENCIDAS         ANTICIPADAS
    DIFERIDAS        DIFERIDAS        DIFERIDAS        DIFERIDAS
    PERPETUAS        PERPETUAS        PERPETUAS        PERPETUAS
    PER. DIFERIDAS   PER. DIFERIDAS   PER. DIFERIDAS   PER. DIFERIDAS
El valor de una anualidad calculada a su terminación es el monto
de ella.
El valor de la anualidad calculado a su comienzo es su valor
actual o presente.
Para la deducción de la fórmula del monto de una anualidad, se
toma como FECHA FOCAL el término de la anualidad. Para la
deducción de la fórmula del valor actual de una anualidad, se
toma como FECHA FOCAL el tiempo cero o inicio de la
anualidad
Sea una anualidad o renta de $10000 al final de cada 6 meses
durante 3 años, al 12% anual capitalizable
semestralmente(anualidad vencida)




                                                            S
            10000   10000    10000     10000   10000    10000


    0                1                2                3 AÑOS
Para calcular el monto (S) de la anualidad, se toma como fecha
focal el final del año 3.

Entonces: i= 0.12 = 0.06
                2
Cada renta ganará intereses durante los períodos que falten hasta
el término de la anualidad, o hasta el último depósito o renta. Por
lo tanto, se pueden sumar:

                 5             4               3         2
S= 10000(1+0.06) + 10000(1.06) + 10000(1.06) +10000(1.06) +
10000(1.06)+10000
Podemos sacar factor común:
                          2        3       4       5
S= 10000[1+(1.06) + (1.06) + (1.06) +(1.06) + (1.06) ]
Al ordenar de forma ascendente, resulta una progresión
geométrica cuya razón es (1.06)

    n
S= ar – a
    r–1
a= 1; r=1.06; n=6
Entonces tenemos:
               6
S= 10000 (1.06) -1 = 10000(6.975318)
           1.06 - 1
S= $69753.18538
Anualidades
   El valor actual de la misma anualidad puede
    calcularse tomando como fecha focal el
    inicio de la anualidad. Cada renta se
    calculará con el valor actual que le
    corresponde, relacionada con el inicio de la
    anualidad y con la respectiva tasa de interés.
   Ejemplo: una serie de pagos semestrales de
    $10000 durante 3 años con una tasa de interés
    del 12% anual, capitalizable semestralmente.
    Expresión gráfica del valor actual de la
      anualidad
A= 10000(1+0,06)^-1 +10000(1,06)^-2 + 10000(1,06)^-3 +10000(1,06)^-4
+10000(1,06)^-5+ 10000(1,06)^-6
     Hallar el factor común
A= 10000((1,06)^-1+(1,06)^-2 +(1,06)^-3 +(1,06)^-4 +(1,06)^-5+ (1,06)^-6
     Resulta una progresión geométrica cuya
      razón (1,06)^-1 < 1
   Entonces,
   R= el pago periódico o renta
   i= tasa de interés por periodo de capitalización
    j=tasa nominal anual
    n= número de periodos de pago
   S= monto de una anualidad o suma de todas sus
    rentas
   A= valor actual de una anualidad o suma de los
    valores actuales de rentas
•   CÁLCULO DE LA RENTA O
    PAGO PERIÓDICO
•   ANUALIDADES CON
    CAPITALIZACIÓN CONTINUA
•   CÁLCULO DEL NÚMERO DE
    PERIODOS DE PAGO
•   CÁLCULO DE LA TASA DE
    INTERÉS
Se calcula en
CÁLCULO DE LA     base a la
RENTA O PAGO     fórmula del
  PERIÓDICO      monto y del
                 valor actual
ANUALIDADES CON
            CAPITALIZACIÓN
              CONTINUA




Las anualidades o rentas, como son series
de depósitos o pagos, pueden efectuarse
      en diferentes periodos, y en la
 capitalización de sus intereses aplicar la
 capitalización continua, cuya base es el
               numero “e”.
Anualidades
CÁLCULO
DE LA TASA
DE INTERÉS
Anualidades
Se efectúan
                            o vencen al
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  pagos o
   rentas     ANUALIDADE
                   S
              ANTICIPADAS
MONTO DE UNA
                ANUALIDAD
                ANTICIPADA
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ANTICIPADAS
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Anualidades

  • 2. Las anualidades o rentas son utilizadas en operaciones financieras de endeudamiento y formación de capitales.  Sirven para formar capitales o para reducir deudas mediante cuotas periódicas.  Son útiles para la elaboración de tablas de amortización.  Una anualidad es una serie de pagos periódicos iguales.
  • 3. El valor de cada pago periódico recibe el nombre de renta o anualidad. R R R R R R 0 1 2 3 4 5 6
  • 4. Anualidades ordinarias o vencidas  Anualidades anticipadas  Anualidades diferidas  Anualidades simple  Anualidades generales
  • 5. Son aquellas en las que el depósito, pago o renta y la liquidación de intereses se realizan al final de cada período. Ejemplo: pago de cuotas mensuales por deudas a plazo
  • 6. Son aquellas en las que el depósito, el pago y la liquidación de los intereses se hacen al principio de cada período. Ejemplo: pago de cuotas por adelantado
  • 7. Son aquellas cuyo plazo comienza después de transcurrido determinado intervalo del tiempo establecido. Ejemplo: préstamos con períodos de gracia. Período de gracia
  • 8. Son aquellas cuyo período de pago o depósito coincide con el período de capitalización. Ejemplo: Si la capitalización es semestral los pagos o depósitos serán semestrales. Son aquellas cuyos períodos de pago o depósito y de capitalización no coinciden. Ejemplo: Cuando se hace una serie de depósitos trimestrales y la capitalización de los intereses es semestral. Para resolver este tipo de anualidad utilizamos la ecuación de equivalencia . m 1+i= (1+j/m)
  • 9. Las anualidades ciertas y las eventuales pueden ser vencidas o anticipadas y estas a su vez pueden ser diferidas, perpetuas y perpetuas diferidas. ANUALIDADES CIERTAS ANUALIDADES EVENTUALES VENCIDAS ANTICIPADAS VENCIDAS ANTICIPADAS DIFERIDAS DIFERIDAS DIFERIDAS DIFERIDAS PERPETUAS PERPETUAS PERPETUAS PERPETUAS PER. DIFERIDAS PER. DIFERIDAS PER. DIFERIDAS PER. DIFERIDAS
  • 10. El valor de una anualidad calculada a su terminación es el monto de ella. El valor de la anualidad calculado a su comienzo es su valor actual o presente. Para la deducción de la fórmula del monto de una anualidad, se toma como FECHA FOCAL el término de la anualidad. Para la deducción de la fórmula del valor actual de una anualidad, se toma como FECHA FOCAL el tiempo cero o inicio de la anualidad
  • 11. Sea una anualidad o renta de $10000 al final de cada 6 meses durante 3 años, al 12% anual capitalizable semestralmente(anualidad vencida) S 10000 10000 10000 10000 10000 10000 0 1 2 3 AÑOS
  • 12. Para calcular el monto (S) de la anualidad, se toma como fecha focal el final del año 3. Entonces: i= 0.12 = 0.06 2 Cada renta ganará intereses durante los períodos que falten hasta el término de la anualidad, o hasta el último depósito o renta. Por lo tanto, se pueden sumar: 5 4 3 2 S= 10000(1+0.06) + 10000(1.06) + 10000(1.06) +10000(1.06) + 10000(1.06)+10000 Podemos sacar factor común: 2 3 4 5 S= 10000[1+(1.06) + (1.06) + (1.06) +(1.06) + (1.06) ]
  • 13. Al ordenar de forma ascendente, resulta una progresión geométrica cuya razón es (1.06) n S= ar – a r–1 a= 1; r=1.06; n=6 Entonces tenemos: 6 S= 10000 (1.06) -1 = 10000(6.975318) 1.06 - 1 S= $69753.18538
  • 15. El valor actual de la misma anualidad puede calcularse tomando como fecha focal el inicio de la anualidad. Cada renta se calculará con el valor actual que le corresponde, relacionada con el inicio de la anualidad y con la respectiva tasa de interés.  Ejemplo: una serie de pagos semestrales de $10000 durante 3 años con una tasa de interés del 12% anual, capitalizable semestralmente.
  • 16. Expresión gráfica del valor actual de la anualidad A= 10000(1+0,06)^-1 +10000(1,06)^-2 + 10000(1,06)^-3 +10000(1,06)^-4 +10000(1,06)^-5+ 10000(1,06)^-6  Hallar el factor común A= 10000((1,06)^-1+(1,06)^-2 +(1,06)^-3 +(1,06)^-4 +(1,06)^-5+ (1,06)^-6  Resulta una progresión geométrica cuya razón (1,06)^-1 < 1
  • 17. Entonces,
  • 18. R= el pago periódico o renta  i= tasa de interés por periodo de capitalización  j=tasa nominal anual  n= número de periodos de pago  S= monto de una anualidad o suma de todas sus rentas  A= valor actual de una anualidad o suma de los valores actuales de rentas
  • 19. CÁLCULO DE LA RENTA O PAGO PERIÓDICO • ANUALIDADES CON CAPITALIZACIÓN CONTINUA • CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERIODOS DE PAGO • CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS
  • 20. Se calcula en CÁLCULO DE LA base a la RENTA O PAGO fórmula del PERIÓDICO monto y del valor actual
  • 21. ANUALIDADES CON CAPITALIZACIÓN CONTINUA Las anualidades o rentas, como son series de depósitos o pagos, pueden efectuarse en diferentes periodos, y en la capitalización de sus intereses aplicar la capitalización continua, cuya base es el numero “e”.
  • 25. Se efectúan o vencen al principio del periodo de Sucesión de pago pagos o rentas ANUALIDADE S ANTICIPADAS
  • 26. MONTO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA ANUALIDADES ANTICIPADAS VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA