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TEMA 2.3. MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
1. INTRODUCCION.
2. LA MEDIA ARITMETICA.
2.1. CALCULO EN UNA
DISTRIBUCION DE
FRECUENCIAS.
2.2. PROPIEDADES DE LA
MEDIA ARITMETICA.
3. LA MEDIANA.
4. LA MODA.
5. COMPARACION ENTRE
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Botella, J.; León, O.; San Martín, R. y Barriopedro,
M.I. (2001). Análisis de Datos en Psicología I. Teoría
y Ejercicios. Madrid: Pirámide. Cap 4
1. INTRODUCCION
FUNCIONES:
- RESUMIR INFORMACION.
- AYUDAR A COMPARAR
GRUPOS
2. LA MEDIA ARITMETICA
X =
X
i
i = 1
n
∑
n
2.1. CALCULO EN UNA
DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
DATOS NO AGRUPADOS EN
INTERVALOS:
X =
n
i
⋅X
i
∑
n
Xi ni
4 1
3 3
2 7
1 6
0 3
Xi ni Xi*ni
4 1 4
3 3 9
2 7 14
1 6 6
0 3 0
33
mitjana= 33/5= 6,6
DATOS AGRUPADOS EN
INTERVALOS:
SUPUESTO DE CONCENTRACION
EN EL PUNTO MEDIO (Xi):
X =
n
i
⋅X
i
∑
n
Xi ni
18-20 20
15-17 30
12-14 60
9-11 40
6-8 30
3-5 20
Xi ni P. M. PM*ni
18 20 20 19 380
15 17 30 16 480
12 14 60 13 780
9 11 40 10 400
6 8 30 7 210
3 5 20 4 80
2330
mitjanna= 2330/200= 11,65
2.2. PROPIEDADES DE LA MEDIA
ARITMETICA
PUNTUACIONES DIFERENCIALES
(xi):
x
i
=X
i
−X
1ª PROPIEDAD:
LA SUMA DE n PUNTUACIONES
DIFERENCIALES ES IGUAL A CERO:
x
i∑ = 0
2ª PROPIEDAD:
LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE
LAS DESVIACIONES DE UNAS
PUNTUACIONES CON RESPECTO A
SU MEDIA ES MENOR QUE CON
RESPECTO A CUALQUIER OTRO
VALOR:
Xi − X( )∑
2
< Xi − c( )∑
2
c ≠ X
3ª PROPIEDAD:
SI
ENTONCES
Yi = Xi + k
Y = X +k
4ª PROPIEDAD:
SI
ENTONCES
Yi = Xi ⋅k
Y = X ⋅k
5ª PROPIEDAD (MEDIA
PONDERADA):
XT =
n1 ⋅X1 + n2 ⋅X2 + ....+ nk ⋅Xk
n1 + n2 + ....+ nk
6ª PROPIEDAD:
Ti = a⋅Vi + b⋅Xi + ....+ k⋅ZiSI
ENTONCES
T = a⋅V + b⋅X+ ....+ k⋅Z
3. LA MEDIANA (Mdn)
CORRESPONDE AL C50.
SE TRATA DE LA PUNTUACION QUE
DEJA POR DEBAJO AL 50% DE LAS
OBSERVACIONES, Y AL 50% POR
ARRIBA.
EJEMPLOS DE CALCULO CON
DATOS NO AGRUPADOS:
CASO 1. NUMERO IMPAR DE
VALORES.
TOMAMOS COMO Mdn EL
VALOR CENTRAL (OCUPA EL
ORDEN (n+1)/2).
VALORES: 7,11,6,5,7,12,9,8,10,6,9
ORDENADOS: 5,6,6,7,7,8,9,9,10,11,12

Mdn
Mdn OCUPA EL ORDEN (n+1)/2=12/2=6
CASO 2. NUMERO PAR DE
VALORES.
VALORES: 23,35,43,29,34,41,33,38,38,32
ORDENADOS: 23,29,32,33,34,35,38,38,41,43
Mdn: MEDIA DE LOS DOS VALORES
CENTRALES: Mdn = (34+35)/2=34,5
CASO 3. DATOS AGRUPADOS.
CALCULAR LA PUNTUACION QUE
CORRESPONDE AL C50.
4. LA MODA (Mo).
VALOR DE LA VARIABLE CON MAYOR
FRECUENCIA ABSOLUTA (ni).
PARA FACILITAR SU CALCULO:
ORDENAR LOS VALORES DE MENOR A
MAYOR.
CASOS:
A. 8,8,11,11,11,15,15,15,15,15,17,17,17,19,19
Mo=15 DISTRIBUCION UNIMODAL
B. 8,8,8,11,11,11,15,15,15,17,17,17,19,19,19
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DISTRIBUCION AMODAL.
C. 8,9,9,10,10,10,10,11,11,13,13,13,13,15,15
DISTRIBUCION BIMODAL
(VALORES NO ADYACENTES)
Mo1=10 Mo2=13
D. 8,8,9,9,9,11,11,11,11,12,12,12,12,14,15,15
11 Y 12 PRESENTAN LA MAYOR ni
SON VALORES ADYACENTES
Mo=(11+12)/2=11,5
E. VALORES AGRUPADOS EN
INTERVALOS.
MO: PUNTO MEDIO DEL INTERVALO
CON MAYOR ni
SI SE DAN LOS CASOS ANTERIORES,
APLICAR LAS MISMAS REGLAS
5. COMPARACION ENTRE MEDIDAS
DE TENDENCIA CENTRAL
¿CUANDO ELEGIR MEDIA, MEDIANA
O MODA?
NORMA GENERAL:
1º MEDIA.
2º MEDIANA.
3º MODA.
RAZONES PARA PREFERIR LA
MEDIA:
1. EN ELLA SE BASAN OTROS
ESTADISTICOS.
2. LAS MEDIAS MUESTRALES SON
MEJORES ESTIMADORES DE LOS
PARAMETROS POBLACIONALES.
¿CUANDO ELEGIR LA MEDIANA EN
LUGAR DE LA MEDIA?:
1. CUANDO LA VARIABLE ESTE
MEDIDA EN UNA ESCALA ORDINAL.
2. CUANDO HAYA VALORES EXTREMOS,
PUES ESTOS DISTORSIONAN LA
INTERPRETACION DE LA MEDIA.
EJEMPLO: 3,4,8,5,6,124 Media=25
LA MEDIA ES MUY SENSIBLE A LAS
PUNTUACIONES EXTREMAS
3. CUANDO HAYA INTERVALOS
ABIERTOS, YA QUE ESTOS CARECEN
DE PUNTO MEDIO.
¿CUANDO ELEGIR LA MODA EN
LUGAR DE LA MEDIANA ?:
1. CUANDO LA VARIABLE ESTE
MEDIDA EN UNA ESCALA NOMINAL.
2. CUANDO HAYA INTERVALOS
ABIERTOS Y LA MEDIANA
PERTENEZCA A UNO DE ELLOS.
EL CALCULO DE LA MEDIANA (C50)
SUPONE UNA DISTRIBUCION
HOMOGENEA DE LOS VALORES
DENTRO DEL INTERVALO.
ESTE SUPUESTO SOLO SE PUEDE
MANTENER SI EL INTERVALO ESTA
CERRADO.
LAS TRES MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL COINCIDEN CUANDO LA
DISTRIBUCION ES UNIMODAL Y
SIMETRICA (EJEMPLO: DISTRIBUCION
NORMAL).
CUANTO MAS ASIMETRIA, MAS
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Apdp tema 2.3

  • 1. TEMA 2.3. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 1. INTRODUCCION. 2. LA MEDIA ARITMETICA. 2.1. CALCULO EN UNA DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS. 2.2. PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMETICA. 3. LA MEDIANA. 4. LA MODA. 5. COMPARACION ENTRE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Botella, J.; León, O.; San Martín, R. y Barriopedro, M.I. (2001). Análisis de Datos en Psicología I. Teoría y Ejercicios. Madrid: Pirámide. Cap 4
  • 2. 1. INTRODUCCION FUNCIONES: - RESUMIR INFORMACION. - AYUDAR A COMPARAR GRUPOS 2. LA MEDIA ARITMETICA X = X i i = 1 n ∑ n
  • 3. 2.1. CALCULO EN UNA DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS DATOS NO AGRUPADOS EN INTERVALOS: X = n i ⋅X i ∑ n Xi ni 4 1 3 3 2 7 1 6 0 3 Xi ni Xi*ni 4 1 4 3 3 9 2 7 14 1 6 6 0 3 0 33 mitjana= 33/5= 6,6
  • 4. DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS: SUPUESTO DE CONCENTRACION EN EL PUNTO MEDIO (Xi): X = n i ⋅X i ∑ n Xi ni 18-20 20 15-17 30 12-14 60 9-11 40 6-8 30 3-5 20 Xi ni P. M. PM*ni 18 20 20 19 380 15 17 30 16 480 12 14 60 13 780 9 11 40 10 400 6 8 30 7 210 3 5 20 4 80 2330 mitjanna= 2330/200= 11,65
  • 5. 2.2. PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMETICA PUNTUACIONES DIFERENCIALES (xi): x i =X i −X 1ª PROPIEDAD: LA SUMA DE n PUNTUACIONES DIFERENCIALES ES IGUAL A CERO: x i∑ = 0 2ª PROPIEDAD: LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LAS DESVIACIONES DE UNAS PUNTUACIONES CON RESPECTO A SU MEDIA ES MENOR QUE CON RESPECTO A CUALQUIER OTRO VALOR: Xi − X( )∑ 2 < Xi − c( )∑ 2 c ≠ X
  • 6. 3ª PROPIEDAD: SI ENTONCES Yi = Xi + k Y = X +k 4ª PROPIEDAD: SI ENTONCES Yi = Xi ⋅k Y = X ⋅k 5ª PROPIEDAD (MEDIA PONDERADA): XT = n1 ⋅X1 + n2 ⋅X2 + ....+ nk ⋅Xk n1 + n2 + ....+ nk
  • 7. 6ª PROPIEDAD: Ti = a⋅Vi + b⋅Xi + ....+ k⋅ZiSI ENTONCES T = a⋅V + b⋅X+ ....+ k⋅Z 3. LA MEDIANA (Mdn) CORRESPONDE AL C50. SE TRATA DE LA PUNTUACION QUE DEJA POR DEBAJO AL 50% DE LAS OBSERVACIONES, Y AL 50% POR ARRIBA.
  • 8. EJEMPLOS DE CALCULO CON DATOS NO AGRUPADOS: CASO 1. NUMERO IMPAR DE VALORES. TOMAMOS COMO Mdn EL VALOR CENTRAL (OCUPA EL ORDEN (n+1)/2). VALORES: 7,11,6,5,7,12,9,8,10,6,9 ORDENADOS: 5,6,6,7,7,8,9,9,10,11,12  Mdn Mdn OCUPA EL ORDEN (n+1)/2=12/2=6
  • 9. CASO 2. NUMERO PAR DE VALORES. VALORES: 23,35,43,29,34,41,33,38,38,32 ORDENADOS: 23,29,32,33,34,35,38,38,41,43 Mdn: MEDIA DE LOS DOS VALORES CENTRALES: Mdn = (34+35)/2=34,5 CASO 3. DATOS AGRUPADOS. CALCULAR LA PUNTUACION QUE CORRESPONDE AL C50.
  • 10. 4. LA MODA (Mo). VALOR DE LA VARIABLE CON MAYOR FRECUENCIA ABSOLUTA (ni). PARA FACILITAR SU CALCULO: ORDENAR LOS VALORES DE MENOR A MAYOR. CASOS: A. 8,8,11,11,11,15,15,15,15,15,17,17,17,19,19 Mo=15 DISTRIBUCION UNIMODAL B. 8,8,8,11,11,11,15,15,15,17,17,17,19,19,19 NO SE PUEDE CALCULAR. DISTRIBUCION AMODAL.
  • 11. C. 8,9,9,10,10,10,10,11,11,13,13,13,13,15,15 DISTRIBUCION BIMODAL (VALORES NO ADYACENTES) Mo1=10 Mo2=13 D. 8,8,9,9,9,11,11,11,11,12,12,12,12,14,15,15 11 Y 12 PRESENTAN LA MAYOR ni SON VALORES ADYACENTES Mo=(11+12)/2=11,5 E. VALORES AGRUPADOS EN INTERVALOS. MO: PUNTO MEDIO DEL INTERVALO CON MAYOR ni SI SE DAN LOS CASOS ANTERIORES, APLICAR LAS MISMAS REGLAS
  • 12. 5. COMPARACION ENTRE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL ¿CUANDO ELEGIR MEDIA, MEDIANA O MODA? NORMA GENERAL: 1º MEDIA. 2º MEDIANA. 3º MODA. RAZONES PARA PREFERIR LA MEDIA: 1. EN ELLA SE BASAN OTROS ESTADISTICOS. 2. LAS MEDIAS MUESTRALES SON MEJORES ESTIMADORES DE LOS PARAMETROS POBLACIONALES.
  • 13. ¿CUANDO ELEGIR LA MEDIANA EN LUGAR DE LA MEDIA?: 1. CUANDO LA VARIABLE ESTE MEDIDA EN UNA ESCALA ORDINAL. 2. CUANDO HAYA VALORES EXTREMOS, PUES ESTOS DISTORSIONAN LA INTERPRETACION DE LA MEDIA. EJEMPLO: 3,4,8,5,6,124 Media=25 LA MEDIA ES MUY SENSIBLE A LAS PUNTUACIONES EXTREMAS 3. CUANDO HAYA INTERVALOS ABIERTOS, YA QUE ESTOS CARECEN DE PUNTO MEDIO.
  • 14. ¿CUANDO ELEGIR LA MODA EN LUGAR DE LA MEDIANA ?: 1. CUANDO LA VARIABLE ESTE MEDIDA EN UNA ESCALA NOMINAL. 2. CUANDO HAYA INTERVALOS ABIERTOS Y LA MEDIANA PERTENEZCA A UNO DE ELLOS. EL CALCULO DE LA MEDIANA (C50) SUPONE UNA DISTRIBUCION HOMOGENEA DE LOS VALORES DENTRO DEL INTERVALO. ESTE SUPUESTO SOLO SE PUEDE MANTENER SI EL INTERVALO ESTA CERRADO.
  • 15. LAS TRES MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL COINCIDEN CUANDO LA DISTRIBUCION ES UNIMODAL Y SIMETRICA (EJEMPLO: DISTRIBUCION NORMAL). CUANTO MAS ASIMETRIA, MAS DIFERENCIAS ENTRE ELLAS.