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Artículo solicitado por Suma en noviembre de 2014 y aceptado en enero de 2015
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Ell@s tienen
la palabra
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al como comentamos en las entregas previas de
esta sección dedicada a las Matemáticas en Pri-
maria, nuestra intención es la de analizar dinámicas
de clase centradas en la conversación y la comuni-
cación: ¿qué actividades podemos proponer para
generar este ambiente de clase?, ¿qué preguntas po-
demos formular para fomentar las discusiones?,
¿qué modelos podemos presentar a los alumnos
para ayudarlos a pensar y a comunicar sus razona-
mientos?
en esta novena entrega, continuamos haciendo pro-
puestas en este sentido. analizamos el papel de los
algoritmos estándar, los efectos negativos de su pre-
sentación prematura y el problema que representa
su poca transparencia, cosa que no permite que
ell@s tomen la palabra para explicar por qué fun-
cionan ni los puedan adaptar según las necesidades
de un cálculo concreto. se propone que, para con-
seguir un desarrollo efectivo de las competencias
en Matemáticas, es necesario un cambio radical que
implica tomar dos decisiones importantes: retrasar
la presentación de los algoritmos y substituir los al-
goritmos estándar, que se basan en calcular con dí-
gitos, por algoritmos alternativos basados en nú-
meros y que puedan ser construidos por los propios
alumnos. esto implica, dicho en pocas palabras,
Calcular con números
y no con dígitos
DaviD BarBa Uriach
cecilia calvo Pesce
SeccioneS
Marzo 2015
T
pp. 73-81
S78-Ellaos tienen la palabra_Maquetación 1 22/3/15 9:54 Página 73
DAviD BArBA UriAch y ceciLiA cALvo PeSce
desarrollar el currículum de aritmé-
tica al margen de los algoritmos es-
tándar, trabajar y discutir realizando
operaciones con números no dema-
siado grandes, dar elementos para po-
der decidir qué cálculos, por el ta-
maño de los números involucrados,
son propios de la calculadora y definir
qué habilidades, estrategias y propie-
dades es necesario dominar, para po-
der ser eficaces en este tipo de cálculo.
David, el otro día un alumno me presentó una hoja con
sumas. en todas ellas anotaba las que llevaba menos en
una: 45+39. Pregunté por qué no había anotado las que lle-
vaba y me contestó: «es que he sumado 45 más 40 y le he
restado una». Le dije que estaba muy bien, ¿qué te parece?
Josep Maria Batet, maestro de la escuela orlandai, 1985
La ruptura en la propuesta
de enseñanza del cálculo
en niveles iniciales de Primaria los alumnos se en-
frentan de manera habitual a situaciones que re-
quieren un cálculo. Generan estrategias personales
que les permiten encontrar la solución. Utilizan es-
trategias que pueden ir desde contar con los dedos
hasta utilizar hechos conocidos para deducir otros
de los que no están seguros (por ejemplo, para cal-
cular 4+3, recuerdan que el doble de cuatro es 8 y
«borran» 1)1
. calculan inmersos en un ambiente de
resolución de problemas, partiendo de contextos,
llegan a la solución y pueden explicar cómo han
conseguido el resultado.
sin embargo, cuando aparecen los números de dos
cifras, renunciamos a este modelo y procedemos a
la presentación, a todas luces prematura, del algo-
ritmo estándar. ¿Por qué, después de promover que
los alumnos resuelvan sumas y restas de dígitos con
estrategias emergentes, en el momento de atacar
sumas tipo 32+45, o incluso 17+8, prescindimos
de lo que tienen para decir los alumnos y pasamos
los maestros a explicarles cómo se hace? sin duda
alguna, por el peso de la tradición, los textos esco-
lares, los cuadernos de cálculo o las demandas de
los padres. invertimos el
orden utilizado hasta el
momento convirtiendo las
Matemáticas en la asigna-
tura del silencio: ¿qué sen-
tido tiene preguntar cómo
lo ha hecho cuando el reto
consiste en reproducir un
algoritmo?
Desde hace unos 20 años existen pro-
puestas muy interesantes que abogan por
eliminar este cambio abrupto en la manera
de trabajar en la clase de Matemáticas con
la única excusa de que los números invo-
lucrados son un poco más grandes. estas
propuestas se basan en una característica
fundamental que pueden poseer los algo-
ritmos: la transparencia.
los algoritmos estándar no son transpa-
rentes: responden a una serie de instruc-
ciones que hay que seguir, que se aprenden
y se reproducen paso a paso para obtener
un resultado. estos procedimientos se
pueden ejecutar sin comprender por qué
funcionan y prueba de ello son los errores
típicos que cometen los alumnos en el
momento que se cambia alguna de las va-
riables.
Un ejemplo de ello podría ser el «me llevo
una» de la suma. la imagen 1 recrea una
situación que hemos visto en el aula: un
alumno que controlaba perfectamente el
algoritmo para sumar números de dos ci-
fras cometió el error que vemos en la
suma de la derecha la primera vez que
tuvo que realizar una suma de números
de tres cifras.
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imagen 1
«Invertimos el orden utilizado
hasta el momento convirtiendo
las Matemáticas en la
asignatura del silencio:
¿qué sentido tiene preguntar
cómo lo ha hecho cuando el
reto consiste en reproducir un
algoritmo?»
4 5
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1 2 3
+
1
3 6 8
4 1 7
8 7 5
+
1
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cALcULAr con núMeroS y no con DígiToS
aprender un algoritmo no transparente
no aporta elementos para solucionar si-
tuaciones ligeramente diferentes o para
generalizar su aplicación. en este caso, la
interpretación del alumno del algoritmo
fue que «las que se llevan» se apuntan so-
bre la cifra que está más a la izquierda. Y
así lo hizo, demostrando que no tenía ni
idea de qué representaba ese 1 que escribía
en la parte superior.
Pero también podríamos poner ejemplos
de errores en restas, multiplicaciones y di-
visiones como los que se ven en la imagen
2 y que seguramente todos los maestros
hemos visto en las producciones escritas
de nuestros alumnos.
si en lugar de empezar por explicar el algoritmo es-
tándar, proponemos un problema en contexto que
implique la operación que queremos introducir, po-
drá emerger alguno de los algoritmos alternativos
de los que estamos hablando.
Para poner un ejemplo retomaremos una situación
como las que desarrollamos en una entrega anterior
de esta sección titulada «calcular usando el contexto
del dinero» (Suma, nº. 72). si preguntamos cuántos
euros hay entre dos monederos, uno con 35€ y otro
con 28€ y les damos a los alumnos billetes de 10€ y
monedas de 1€ para que representen la situación,
habrá una parte importante de la clase que solucio-
nará el problema juntando billetes por un lado, mo-
nedas por otro y darán la respuesta correcta: 63€.
la explicación que hacen los alumnos de la manera
en que resuelven el problema se puede representar
por escrito de maneras diversas. Por ejemplo, la si-
guiente:
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imagen 2. Muestra de errores de ejecución
en los pasos de los algoritmos estándar
Los algoritmos en columnas
la cuestión central es que cuando apare-
cen los números de dos o tres cifras po-
demos continuar construyendo el cálculo
tal como lo hacíamos cuando ell@s tenían
la palabra. existen algoritmos que permi-
ten seguir esta filosofía de construcción
del conocimiento junto con los alumnos,
pero esos algoritmos no son los estándar.
estamos hablando de algoritmos alterna-
tivos que, tal como explicaremos más ade-
lante, calculan utilizado números y no dí-
gitos, lo cual les da trasparencia y permite
a los alumnos tomar decisiones sobre la
manera en que lo ejecutan, flexibilizar su
uso y discutir sobre la manera en que lo
han llevado a cabo.
+ =
+ =
+ =
"
$
''
*''
-
@
''
A''
= + =35 28
30 20 50
8 5 13
50 13 63
Para que este tipo de explicaciones emerjan hay
ciertas habilidades básicas que los alumnos deben
dominar: descomponer números, sumar con fluidez
unidades y decenas por separado y luego calcular
mentalmente sumas del tipo: 30+17, 40+9,
90+11…
registros como los que aparecen en la imagen 3
pueden ser reorganizados colocando los números
en vertical (imagen 4), lo que nos lleva al algoritmo
en columnas2
que ya presentamos en «calcular
imagen 4
imagen 3
7 0 4
1 3 7
6 6 7
+
9
2 5 8
1 4
1 1 3 2
x
2 5 8
3 1 7 3
0 1 7
2
1 5
3 5
2 8
5 0
+
1 3
6 3
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DAviD BArBA UriAch y ceciLiA cALvo PeSce
cuestan 8 entradas de 35 €
para un concierto): se des-
compone 35 = 30 + 5, des-
pués se multiplica 30 ¥ 8 =
240 y 5 ¥ 8 = 40. Por úl-
timo, se suman 240 + 40 =
280.
en la imagen 6 vemos a Tà-
nia, una alumna de la escuela «la sínia» de
vic (Barcelona) reparte 326 galletas en gru-
pos de 24. Primero, completa 10 grupos, y
le quedan 86 galletas por repartir (86 =
326 – 240). Después, completa 2 grupos
más, y le quedan 38 galletas por repartir
(38 = 86 – 48). cuando se hizo la fotografía
estaba calculando cuántas galletas le que-
darían después de completar un último
grupo y poder concluir que 326 : 24 tiene
un cociente de 13 (10 + 2 + 1) y un residuo
de 14 (38 – 24).
Para poder llevar a cabo este tipo de tra-
bajo, es necesario reflexionar sobre las ha-
bilidades, conceptos y propiedades que se
movilizan y que, por tanto, deben traba-
jarse explícitamente con los alumnos.
Un ejemplo de estas habilidades básicas
es lo que conocemos como regla del cero,
que permite extender el conocimiento de
las tablas de multiplicar a operaciones en
las que hay una unidad seguida de ceros.
si mucho antes de trabajar con cualquier
algoritmo los alumnos investigan cuántos
euros son 4 billetes de 50 € o 6 billetes de
20 €, detectarán patrones que les permiti-
rán deducir 6 ¥ 20 del resultado que ya
conocen de 6 ¥ 2.
otra habilidad básica es la propiedad dis-
tributiva, que surge espontáneamente ante
situaciones multiplicativas como la si-
guiente: ¿cuántos caramelos hay en 13 bol-
sas que contienen 6 caramelos cada una?
al plantear esta situación al grupo segu-
ramente aparezca algún alumno que pro-
ponga calcular por un lado cuántos cara-
76
MArzo
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imagen 5
usando el contexto del dinero», tanto
para el caso de la suma como para el
de la resta.
la presentación de este algoritmo3
no implica ningún tipo de aprendizaje
nuevo, ya que solamente es una va-
riante de la representación análoga
que aparece en la imagen 3. De esta
manera, el algoritmo aparece delante de los alumnos
simplemente como el punto final de un proceso
que pueden aplicar ante cualquier situación de suma
o resta, entendiendo perfectamente cómo y por qué
funciona. creemos que una característica funda-
mental de este algoritmo y que le da la transparencia
antes mencionada es que trabaja con números y no
con cifras: no se suma 3 + 2, sino 30 + 20, y no
aparece ningún «me llevo 1».
al trabajar con algoritmos basados en números es-
tablecemos conexiones continuas con el aprendizaje
del sistema de numeración posicional. ¿Qué sentido
tiene, introducir en un momento en el que se está
consolidando el sistema de numeración, un instru-
mento de cálculo como el algoritmo estándar, que
trabaja con cifras? ¿con qué elementos de decisión
contarán nuestros alumnos, cuando trabajando el
sistema de numeración les exigimos que entiendan
que el 3 del 37 vale por 30 y en los algoritmos es-
tándar vale por 3?
en el caso de multiplicaciones y divisiones el pro-
ceso sigue un camino paralelo partiendo siempre
de situaciones en contexto. veamos unos ejemplos.
en la imagen 5 vemos cómo se puede multiplicar en
columnas 35 ¥ 8 (una multiplicación que puede pro-
venir de un problema como, por ejemplo, cuánto
…tenemos que tomar una
decisión importante y previa
sobre si los algoritmos
estándar deben continuar
siendo el eje principal de la
Aritmética.
3 5
8
2 4 0
x
4 0
2 8 0
30+5
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cALcULAr con núMeroS y no con DígiToS
melos hay en 10 bolsas, cuántos hay en 3
bolsas y sumar el total de caramelos.
a partir del ejemplo de la división po-
demos resaltar la flexibilidad de este tipo
de algoritmos y que consideramos una
característica muy valiosa desde el punto
de vista didáctico. Tània decide comen-
zar haciendo 10 grupos, pero podría ha-
ber comenzado haciendo solamente 2 y
acercarse al resultado final más lenta-
mente, aunque con igual corrección.
También podría haber conseguido el re-
sultado en una etapa menos si cuando
le quedaban 86 galletas hubiera formado
ya 3 paquetes.
De esta manera, respetando el ritmo de
los alumnos, se transforma el objetivo de
ejecutar con precisión un procedimiento
oscuro como es el de la división, en ir
paulatinamente haciendo más eficiente el
registro de un procedimiento de reparto.
aprenden comparando y valorando es-
trategias de compañeros. en el fondo, la
ejecución de algoritmos se convierte en
la resolución de un problema: ¿cómo
puedo calcular esto?
Presentación prematura
de algoritmos
se habla mucho actualmente de cambios en la en-
señanza de las matemáticas, de trabajar en un am-
biente de resolución de problemas, de adquisición
de procesos o competencias como, por ejemplo,
conexiones, comunicación, búsqueda de patrones,
etc. en este sentido, creemos que, para cambiar a
fondo la enseñanza de la aritmética, tenemos que
tomar una decisión importante y previa sobre si los
algoritmos estándar deben continuar siendo el eje
principal de la aritmética.
las corrientes actuales (o no tan actuales, ya que
hace casi 20 años que están funcionando en otros
países) apuestan por la utilización de algoritmos al-
ternativos basados en números. Nuestra opinión
coincide con esta idea porque en el mundo de los
algoritmos estándar, ell@s no tienen la palabra.
construir el cálculo implica partir de hechos cono-
cidos para encontrar el resultado de una operación
cuyo resultado no se conocía. si los alumnos co-
munican sus soluciones para que sean comprensibles
para los demás, estructuran su pensamiento de ma-
nera más profunda que la mera realización del
cálculo propuesto.
MArzo
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imagen 6
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DAviD BArBA UriAch y ceciLiA cALvo PeSce
Presentamos dos ejemplos recogidos
de Bernat, un alumno de primero de
primaria, en dos momentos distintos
del curso.
en el ejemplo que aparece en la ima-
gen 7 la estrategia que utilizó para su-
mar 25 + 15 pasa por la representa-
ción gráfica: «escribe» el 25 (dos palos y cinco puntos
que representan decenas y unidades) y el 15 (un
palo y cinco puntos), agrupa las decenas, agrupa las
unidades y obtiene el resultado final que anota a la
derecha del signo « = ».
registros similares pode-
mos observar en alumnos
de segundo ciclo cuando
buscan el resultado de una
multiplicación (imagen 9).
el único secreto para que
estas estrategias aparezcan
en las discusiones de clase es la propuesta
de situaciones en contexto que inviten a
la comunicación y que involucren el tra-
bajo con números de tamaño «razonable»,
pero nuevamente y, sobre todo, que no
conozcan previamente el algoritmo co-
rrespondiente.
Dinámicas asociadas
con la práctica de los algoritmos
Tal como comentábamos en otro artículo
de esta sección (Suma, nº. 76) con relación
al algoritmo tradicional para calcular el
máximo común divisor de dos números,
la primera dinámica negativa que viene
asociada a la práctica de los algoritmos
tiene relación a la enorme cantidad tiempo
que se dedica a este aspecto.
los algoritmos estándar, al no estar apo-
yados en la comprensión sino en la ejecu-
ción mecánica de unos pasos desprovistos
de justificación precisan de una ejercita-
ción periódica para ser automatizados y
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MArzo
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imagen 7
el segundo ejemplo (imagen 8) corresponde a dos
sumas en las que la transcripción simbólica del pro-
ceso refleja la riqueza de las estrategias utilizadas.
en la primera, suma las decenas y anota el resultado
(60), después quiere sumar 8 + 3, pero como no lo
sabe de memoria lo soluciona partiendo de un hecho
conocido (8 + 2) y añadiendo 1.
en la segunda, después de sumar de las decenas,
para sumar las unidades calcula 5 + 5 y le añade 2.
imagen 8
cuando alguien pregunta cómo la maestra ha con-
seguido estos resultados la respuesta es: trabajando
a fondo las descomposiciones de dígitos, el sistema
de numeración, discutiendo las estrategias de suma
de números de una cifra con números de dos cifras,
pero sobretodo: no explicando el algoritmo estándar
de la suma hasta segundo curso.
imagen 9. ¿cuántos cuadritos ocupa
un rectángulo de 37x7?
…tenemos que tomar una
decisión importante y previa
sobre si los algoritmos
estándar deben continuar
siendo el eje principal de la
Aritmética.
S78-Ellaos tienen la palabra_Maquetación 1 22/3/15 9:54 Página 78
cALcULAr con núMeroS y no con DígiToS
recordados. los algoritmos
basados en números, tam-
bién requieren de una cierta
práctica, especialmente al
inicio, pero el proceso de
construcción deja anclajes
sólidos que hacen innece-
saria la cantidad de repeti-
ciones sistemáticas que requieren los al-
goritmos estándar.
si substituimos los algoritmos estándar
por aquellos basados en números, aunque
también necesiten práctica debemos evitar
las viejas dinámicas: no podemos mantener
las listas interminables de práctica repeti-
tiva, ni mantener en estos listados opera-
ciones con números tan grandes que nunca
haríamos sin usar calculadora, ni mantener
la propuesta de las mismas tareas de ejer-
citación para todos los alumnos indepen-
dientemente de su grado de dominio del
algoritmo, etc.
Deberíamos modificar la propuesta de ac-
tividades de práctica y también la manera
de corregirlas. No se trata simplemente de
valorar si los alumnos han llegado al re-
sultado correcto y mucho menos, si han
hecho determinados pasos ya que el ca-
rácter flexible de los nuevos algoritmos
implica que pueden haber llegado al resul-
tado correcto siguiendo diferentes cami-
nos. las nuevas actividades de práctica de-
berían concluirse con una discusión grupal
sobre las estrategias utilizadas, valorando
la eficiencia de las distintas propuestas y
avanzando hacia la optimización de un re-
gistro escrito que permita comunicar el
procedimiento seguido.
los algoritmos estándar respondían a una
necesidad de cálculo de una época en la
que no había calculadoras, por lo tanto la
ejecución veloz de operaciones con nú-
meros de muchas cifras era una habilidad
necesaria para algunos trabajadores. si
optamos por un cambio a fondo en arit-
mética, también debemos redefinir
qué rango de números es el ade-
cuado para trabajar en el aula. cree-
mos que con sumas y restas de hasta
tres cifras, multiplicaciones de nú-
meros de hasta cuatro cifras por nú-
meros de hasta dos cifras y divisiones
en que el divisor tiene una cifra, po-
demos desarrollar completamente el currículum de
aritmética. en relación a las divisiones por dos ci-
fras, plantear alguna división entre 15 o 24 puede
tener sentido para enfrentar a los alumnos al reto
de resolverlas aprovechando su experiencia en la
realización de las divisiones por una cifra, pero
plantear una división del tipo 7429 : 53, no aporta
nada interesante y ocupa un tiempo precioso del
que carecemos.
El momento de los algoritmos basados
en dígitos
en nuestra opinión, antes del final de la etapa de
Primaria, cuando los alumnos ya dominan los algo-
ritmos basados en números que han construido
junto con sus compañeros para resolver las dife-
rentes operaciones aritméticas, deberían tener la
oportunidad de conocer los algoritmos basados en
dígitos que forman parte de nuestra cultura.
esta presentación no necesariamente ha de restrin-
girse a los algoritmos estándar sino que pueden in-
cluirse otros algoritmos aritméticos históricos. De
todas maneras, creemos que tiene sentido, desde un
punto de vista cultural, resaltar entre ellos al algo-
ritmo que seguramente aprendieron y quizás aun
utilizan sus padres.
cuando destacamos la importancia de dar oportu-
nidad a los alumnos para que decidan qué procedi-
miento utilizar para resolver un cálculo incluimos a
los algoritmos estándar como parte de sus alterna-
tivas. No tenemos ningún inconveniente en admi-
tirlos en clase, ya que desde el punto de vista arit-
mético son óptimos. simplemente nos resistimos a
exigir a todos los alumnos que los utilicen como
opción primera y única.
MArzo
2015
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…no podemos mantener las
listas interminables de práctica
repetitiva, ni mantener en estos
listados operaciones con
números tan grandes que
nunca haríamos sin usar
calculadora.
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DAviD BArBA UriAch y ceciLiA cALvo PeSce
Otros algoritmos basados en números
en la redacción de este artículo hemos ejemplificado
los algoritmos basados en números en el modelo
de los algoritmos en columna propuesto por el ins-
tituto Freudenthal. sin embargo, en nuestro país
conviven otros tipos de propuestas que presentan
otros algoritmos basados en números con similares
ideas de fondo. Mencionaremos dos ejemplos:
la propuesta de antonio Martín adrián4
: «los al-
goritmos tradicionales están muertos sólo hace falta
enterrarlos».
la propuesta de Jaime Martínez Montero5
: «algo-
ritmos aBN: por unas matemáticas sencillas, natu-
rales y divertidas».
Los algoritmos como estructuradores
del currículum
Podríamos afirmar que, a pesar de los cambios im-
portantes que se han producido en las escuelas de
Primaria en aspectos metodológicos, los algoritmos
estándar continúan siendo los contenidos estructu-
radores del programa. Prueba de ello está en que la
pregunta más formulada en los asesoramientos que
piden las escuelas es: «¿cómo planteamos la resta
con llevadas?», seguida por «¿cómo explicamos la
división por dos cifras?». en ambos casos la pre-
gunta se orienta a la demanda de estrategias para
ayudar a los alumnos a que entiendan un algoritmo
concreto en lugar de hacia modelos que permitan a
los alumnos interiorizar los conceptos de resta o de
división.
Ya en la séptima entrega de «ell@s tienen la palabra»
comentábamos el protagonismo excesivo de la ejer-
citación de rutinas en nuestras clases y los riesgos
de anteponer el dominio de un algoritmo al estudio
del problema que ese algoritmo pretende resolver.
sin embargo, la cosa va más lejos, puesto que los
algoritmos extienden su sombra metodológica a
otros aspectos de la Matemática escolar. Pese a todo
el tiempo dedicado a ellos, la Matemática, lejos de
ser vista como una manera de pensar, se convierte
en un conjunto de recetas y trucos que
relegan a un segundo (o tercer) plano los
conceptos involucrados: «multiplicar por
100 es agregar dos ceros», «convertir me-
tros en quilómetros es correr la coma 3
lugares», «calcular el máximo común di-
visor de dos números es multiplicar sus
factores comunes elevados al mínimo ex-
ponente», «dividir fracciones es multiplicar
en cruz los numeradores y los denomina-
dores», «calcular el área de un rombo es
multiplicar las diagonales y dividir entre
2», «calcular el 25% de un número es mul-
tiplicar por 25 y dividir entre 100» …
Ya sea por la inconveniencia de anteponer
el mecanismo a la operación o por dar
una visión distorsionada de la actividad
matemática creemos que los algoritmos
estándar y los algoritmos en general no
deberían dictar la planificación de nuestros
cursos de Matemáticas en Primaria.
Reflexión final
hemos intentado defender nuestra posi-
ción respecto a la necesidad de replante-
arnos a fondo el papel de los algoritmos
estándar.
Porque cuando limitamos el trabajo con
las operaciones aritméticas al trabajo con
estos algoritmos nuestr@s alumn@s no
tienen la palabra.
Porque dan una idea equivocada de la na-
turaleza de la Matemática.
Porque para que los alumnos los ejecuten
con acierto perdemos demasiado tiempo
en practicar (y no en comprender) unas
habilidades que la sociedad actual resuelve
utilizando su smartphone.
Por otro lado, creemos inconveniente li-
mitar el trabajo aritmético al uso de algo-
ritmos, ya sean estándar o alternativos.
los alumnos han de ser conscientes que
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MArzo
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cALcULAr con núMeroS y no con DígiToS
los algoritmos son una de las formas de
calcular, pero que existen otras (para su-
mar 45 + 39, por ejemplo, pueden operar
saltando sobre la recta numérica6
reali-
zando 45 + 30 + 5 + 4 o, como hacía el
alumno de la escuela orlandai del que se
hablaba al inicio del este artículo: sumar
45 + 40 y restar 1).
lo importante es dotarlos de diferentes
estrategias para que puedan decidir, según
la operación, qué estrategia es la más eficiente o, in-
cluso, que puedan decidir si es una operación para
realizar con calculadora.
Para profundizar
— (2010), «la división: mucho más que un algoritmo»,
Uno: Revista de didáctica de las matemáticas, n.º 54, 41-
54.
BarBa, D., y c. calvo (2012), «algoritmos antiguos de
cálculo», Cuadernos de Pedagogía, n.º 421, 62-65.
MArzo
2015
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78
DAviD BArBA UriAch
Universitat Autònoma de Barcelona
ceciLiA cALvo PeSce
Escola Sadako (Barcelona)
<tienenlapalabra@revistasuma.es>
1 en el vídeo <http://youtu.be/BQKLnrUrFhs> varios
alumnos de 5 y 6 años explican cómo calculan 4+3.
2 este es el nombre que se les da en van den heuvel-
Panhuizen, M. (ed.) (2001): Children Learn Mathematics,
Freudenthal institute, Utrecht University.
3 este procedimiento claramente puede recibir el nom-
bre de algoritmo, pues se tata de una serie de instrucciones
precisas que se siguen de manera inequívoca para que a
partir de dos números se consiga un tercer número que será el resultado
de la operación.
4 nos podemos acercar a la propuesta de Martín a partir de su con-
ferencia TeDx La Laguna disponible en <http://youtu.be/r4Jwz-z-4qw>.
5 nos podemos acercar a la propuesta de Martínez a través de su
blog <http://algoritmosabn.blogspot.com.es/>.
6 Más información sobre la estrategia de saltos en la primera entrega
de «ell@s tienen la palabra» (Suma, nº. 70).
S78-Ellaos tienen la palabra_Maquetación 1 22/3/15 9:54 Página 81

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  • 1. 73 Artículo solicitado por Suma en noviembre de 2014 y aceptado en enero de 2015 78 Ell@s tienen la palabra 78 al como comentamos en las entregas previas de esta sección dedicada a las Matemáticas en Pri- maria, nuestra intención es la de analizar dinámicas de clase centradas en la conversación y la comuni- cación: ¿qué actividades podemos proponer para generar este ambiente de clase?, ¿qué preguntas po- demos formular para fomentar las discusiones?, ¿qué modelos podemos presentar a los alumnos para ayudarlos a pensar y a comunicar sus razona- mientos? en esta novena entrega, continuamos haciendo pro- puestas en este sentido. analizamos el papel de los algoritmos estándar, los efectos negativos de su pre- sentación prematura y el problema que representa su poca transparencia, cosa que no permite que ell@s tomen la palabra para explicar por qué fun- cionan ni los puedan adaptar según las necesidades de un cálculo concreto. se propone que, para con- seguir un desarrollo efectivo de las competencias en Matemáticas, es necesario un cambio radical que implica tomar dos decisiones importantes: retrasar la presentación de los algoritmos y substituir los al- goritmos estándar, que se basan en calcular con dí- gitos, por algoritmos alternativos basados en nú- meros y que puedan ser construidos por los propios alumnos. esto implica, dicho en pocas palabras, Calcular con números y no con dígitos DaviD BarBa Uriach cecilia calvo Pesce SeccioneS Marzo 2015 T pp. 73-81 S78-Ellaos tienen la palabra_Maquetación 1 22/3/15 9:54 Página 73
  • 2. DAviD BArBA UriAch y ceciLiA cALvo PeSce desarrollar el currículum de aritmé- tica al margen de los algoritmos es- tándar, trabajar y discutir realizando operaciones con números no dema- siado grandes, dar elementos para po- der decidir qué cálculos, por el ta- maño de los números involucrados, son propios de la calculadora y definir qué habilidades, estrategias y propie- dades es necesario dominar, para po- der ser eficaces en este tipo de cálculo. David, el otro día un alumno me presentó una hoja con sumas. en todas ellas anotaba las que llevaba menos en una: 45+39. Pregunté por qué no había anotado las que lle- vaba y me contestó: «es que he sumado 45 más 40 y le he restado una». Le dije que estaba muy bien, ¿qué te parece? Josep Maria Batet, maestro de la escuela orlandai, 1985 La ruptura en la propuesta de enseñanza del cálculo en niveles iniciales de Primaria los alumnos se en- frentan de manera habitual a situaciones que re- quieren un cálculo. Generan estrategias personales que les permiten encontrar la solución. Utilizan es- trategias que pueden ir desde contar con los dedos hasta utilizar hechos conocidos para deducir otros de los que no están seguros (por ejemplo, para cal- cular 4+3, recuerdan que el doble de cuatro es 8 y «borran» 1)1 . calculan inmersos en un ambiente de resolución de problemas, partiendo de contextos, llegan a la solución y pueden explicar cómo han conseguido el resultado. sin embargo, cuando aparecen los números de dos cifras, renunciamos a este modelo y procedemos a la presentación, a todas luces prematura, del algo- ritmo estándar. ¿Por qué, después de promover que los alumnos resuelvan sumas y restas de dígitos con estrategias emergentes, en el momento de atacar sumas tipo 32+45, o incluso 17+8, prescindimos de lo que tienen para decir los alumnos y pasamos los maestros a explicarles cómo se hace? sin duda alguna, por el peso de la tradición, los textos esco- lares, los cuadernos de cálculo o las demandas de los padres. invertimos el orden utilizado hasta el momento convirtiendo las Matemáticas en la asigna- tura del silencio: ¿qué sen- tido tiene preguntar cómo lo ha hecho cuando el reto consiste en reproducir un algoritmo? Desde hace unos 20 años existen pro- puestas muy interesantes que abogan por eliminar este cambio abrupto en la manera de trabajar en la clase de Matemáticas con la única excusa de que los números invo- lucrados son un poco más grandes. estas propuestas se basan en una característica fundamental que pueden poseer los algo- ritmos: la transparencia. los algoritmos estándar no son transpa- rentes: responden a una serie de instruc- ciones que hay que seguir, que se aprenden y se reproducen paso a paso para obtener un resultado. estos procedimientos se pueden ejecutar sin comprender por qué funcionan y prueba de ello son los errores típicos que cometen los alumnos en el momento que se cambia alguna de las va- riables. Un ejemplo de ello podría ser el «me llevo una» de la suma. la imagen 1 recrea una situación que hemos visto en el aula: un alumno que controlaba perfectamente el algoritmo para sumar números de dos ci- fras cometió el error que vemos en la suma de la derecha la primera vez que tuvo que realizar una suma de números de tres cifras. 74 MArzo 2015 78 imagen 1 «Invertimos el orden utilizado hasta el momento convirtiendo las Matemáticas en la asignatura del silencio: ¿qué sentido tiene preguntar cómo lo ha hecho cuando el reto consiste en reproducir un algoritmo?» 4 5 7 8 1 2 3 + 1 3 6 8 4 1 7 8 7 5 + 1 S78-Ellaos tienen la palabra_Maquetación 1 22/3/15 9:54 Página 74
  • 3. cALcULAr con núMeroS y no con DígiToS aprender un algoritmo no transparente no aporta elementos para solucionar si- tuaciones ligeramente diferentes o para generalizar su aplicación. en este caso, la interpretación del alumno del algoritmo fue que «las que se llevan» se apuntan so- bre la cifra que está más a la izquierda. Y así lo hizo, demostrando que no tenía ni idea de qué representaba ese 1 que escribía en la parte superior. Pero también podríamos poner ejemplos de errores en restas, multiplicaciones y di- visiones como los que se ven en la imagen 2 y que seguramente todos los maestros hemos visto en las producciones escritas de nuestros alumnos. si en lugar de empezar por explicar el algoritmo es- tándar, proponemos un problema en contexto que implique la operación que queremos introducir, po- drá emerger alguno de los algoritmos alternativos de los que estamos hablando. Para poner un ejemplo retomaremos una situación como las que desarrollamos en una entrega anterior de esta sección titulada «calcular usando el contexto del dinero» (Suma, nº. 72). si preguntamos cuántos euros hay entre dos monederos, uno con 35€ y otro con 28€ y les damos a los alumnos billetes de 10€ y monedas de 1€ para que representen la situación, habrá una parte importante de la clase que solucio- nará el problema juntando billetes por un lado, mo- nedas por otro y darán la respuesta correcta: 63€. la explicación que hacen los alumnos de la manera en que resuelven el problema se puede representar por escrito de maneras diversas. Por ejemplo, la si- guiente: MArzo 2015 75 78 imagen 2. Muestra de errores de ejecución en los pasos de los algoritmos estándar Los algoritmos en columnas la cuestión central es que cuando apare- cen los números de dos o tres cifras po- demos continuar construyendo el cálculo tal como lo hacíamos cuando ell@s tenían la palabra. existen algoritmos que permi- ten seguir esta filosofía de construcción del conocimiento junto con los alumnos, pero esos algoritmos no son los estándar. estamos hablando de algoritmos alterna- tivos que, tal como explicaremos más ade- lante, calculan utilizado números y no dí- gitos, lo cual les da trasparencia y permite a los alumnos tomar decisiones sobre la manera en que lo ejecutan, flexibilizar su uso y discutir sobre la manera en que lo han llevado a cabo. + = + = + = " $ '' *'' - @ '' A'' = + =35 28 30 20 50 8 5 13 50 13 63 Para que este tipo de explicaciones emerjan hay ciertas habilidades básicas que los alumnos deben dominar: descomponer números, sumar con fluidez unidades y decenas por separado y luego calcular mentalmente sumas del tipo: 30+17, 40+9, 90+11… registros como los que aparecen en la imagen 3 pueden ser reorganizados colocando los números en vertical (imagen 4), lo que nos lleva al algoritmo en columnas2 que ya presentamos en «calcular imagen 4 imagen 3 7 0 4 1 3 7 6 6 7 + 9 2 5 8 1 4 1 1 3 2 x 2 5 8 3 1 7 3 0 1 7 2 1 5 3 5 2 8 5 0 + 1 3 6 3 S78-Ellaos tienen la palabra_Maquetación 1 22/3/15 9:54 Página 75
  • 4. DAviD BArBA UriAch y ceciLiA cALvo PeSce cuestan 8 entradas de 35 € para un concierto): se des- compone 35 = 30 + 5, des- pués se multiplica 30 ¥ 8 = 240 y 5 ¥ 8 = 40. Por úl- timo, se suman 240 + 40 = 280. en la imagen 6 vemos a Tà- nia, una alumna de la escuela «la sínia» de vic (Barcelona) reparte 326 galletas en gru- pos de 24. Primero, completa 10 grupos, y le quedan 86 galletas por repartir (86 = 326 – 240). Después, completa 2 grupos más, y le quedan 38 galletas por repartir (38 = 86 – 48). cuando se hizo la fotografía estaba calculando cuántas galletas le que- darían después de completar un último grupo y poder concluir que 326 : 24 tiene un cociente de 13 (10 + 2 + 1) y un residuo de 14 (38 – 24). Para poder llevar a cabo este tipo de tra- bajo, es necesario reflexionar sobre las ha- bilidades, conceptos y propiedades que se movilizan y que, por tanto, deben traba- jarse explícitamente con los alumnos. Un ejemplo de estas habilidades básicas es lo que conocemos como regla del cero, que permite extender el conocimiento de las tablas de multiplicar a operaciones en las que hay una unidad seguida de ceros. si mucho antes de trabajar con cualquier algoritmo los alumnos investigan cuántos euros son 4 billetes de 50 € o 6 billetes de 20 €, detectarán patrones que les permiti- rán deducir 6 ¥ 20 del resultado que ya conocen de 6 ¥ 2. otra habilidad básica es la propiedad dis- tributiva, que surge espontáneamente ante situaciones multiplicativas como la si- guiente: ¿cuántos caramelos hay en 13 bol- sas que contienen 6 caramelos cada una? al plantear esta situación al grupo segu- ramente aparezca algún alumno que pro- ponga calcular por un lado cuántos cara- 76 MArzo 2015 78 imagen 5 usando el contexto del dinero», tanto para el caso de la suma como para el de la resta. la presentación de este algoritmo3 no implica ningún tipo de aprendizaje nuevo, ya que solamente es una va- riante de la representación análoga que aparece en la imagen 3. De esta manera, el algoritmo aparece delante de los alumnos simplemente como el punto final de un proceso que pueden aplicar ante cualquier situación de suma o resta, entendiendo perfectamente cómo y por qué funciona. creemos que una característica funda- mental de este algoritmo y que le da la transparencia antes mencionada es que trabaja con números y no con cifras: no se suma 3 + 2, sino 30 + 20, y no aparece ningún «me llevo 1». al trabajar con algoritmos basados en números es- tablecemos conexiones continuas con el aprendizaje del sistema de numeración posicional. ¿Qué sentido tiene, introducir en un momento en el que se está consolidando el sistema de numeración, un instru- mento de cálculo como el algoritmo estándar, que trabaja con cifras? ¿con qué elementos de decisión contarán nuestros alumnos, cuando trabajando el sistema de numeración les exigimos que entiendan que el 3 del 37 vale por 30 y en los algoritmos es- tándar vale por 3? en el caso de multiplicaciones y divisiones el pro- ceso sigue un camino paralelo partiendo siempre de situaciones en contexto. veamos unos ejemplos. en la imagen 5 vemos cómo se puede multiplicar en columnas 35 ¥ 8 (una multiplicación que puede pro- venir de un problema como, por ejemplo, cuánto …tenemos que tomar una decisión importante y previa sobre si los algoritmos estándar deben continuar siendo el eje principal de la Aritmética. 3 5 8 2 4 0 x 4 0 2 8 0 30+5 S78-Ellaos tienen la palabra_Maquetación 1 22/3/15 9:54 Página 76
  • 5. cALcULAr con núMeroS y no con DígiToS melos hay en 10 bolsas, cuántos hay en 3 bolsas y sumar el total de caramelos. a partir del ejemplo de la división po- demos resaltar la flexibilidad de este tipo de algoritmos y que consideramos una característica muy valiosa desde el punto de vista didáctico. Tània decide comen- zar haciendo 10 grupos, pero podría ha- ber comenzado haciendo solamente 2 y acercarse al resultado final más lenta- mente, aunque con igual corrección. También podría haber conseguido el re- sultado en una etapa menos si cuando le quedaban 86 galletas hubiera formado ya 3 paquetes. De esta manera, respetando el ritmo de los alumnos, se transforma el objetivo de ejecutar con precisión un procedimiento oscuro como es el de la división, en ir paulatinamente haciendo más eficiente el registro de un procedimiento de reparto. aprenden comparando y valorando es- trategias de compañeros. en el fondo, la ejecución de algoritmos se convierte en la resolución de un problema: ¿cómo puedo calcular esto? Presentación prematura de algoritmos se habla mucho actualmente de cambios en la en- señanza de las matemáticas, de trabajar en un am- biente de resolución de problemas, de adquisición de procesos o competencias como, por ejemplo, conexiones, comunicación, búsqueda de patrones, etc. en este sentido, creemos que, para cambiar a fondo la enseñanza de la aritmética, tenemos que tomar una decisión importante y previa sobre si los algoritmos estándar deben continuar siendo el eje principal de la aritmética. las corrientes actuales (o no tan actuales, ya que hace casi 20 años que están funcionando en otros países) apuestan por la utilización de algoritmos al- ternativos basados en números. Nuestra opinión coincide con esta idea porque en el mundo de los algoritmos estándar, ell@s no tienen la palabra. construir el cálculo implica partir de hechos cono- cidos para encontrar el resultado de una operación cuyo resultado no se conocía. si los alumnos co- munican sus soluciones para que sean comprensibles para los demás, estructuran su pensamiento de ma- nera más profunda que la mera realización del cálculo propuesto. MArzo 2015 77 78 imagen 6 S78-Ellaos tienen la palabra_Maquetación 1 22/3/15 9:54 Página 77
  • 6. DAviD BArBA UriAch y ceciLiA cALvo PeSce Presentamos dos ejemplos recogidos de Bernat, un alumno de primero de primaria, en dos momentos distintos del curso. en el ejemplo que aparece en la ima- gen 7 la estrategia que utilizó para su- mar 25 + 15 pasa por la representa- ción gráfica: «escribe» el 25 (dos palos y cinco puntos que representan decenas y unidades) y el 15 (un palo y cinco puntos), agrupa las decenas, agrupa las unidades y obtiene el resultado final que anota a la derecha del signo « = ». registros similares pode- mos observar en alumnos de segundo ciclo cuando buscan el resultado de una multiplicación (imagen 9). el único secreto para que estas estrategias aparezcan en las discusiones de clase es la propuesta de situaciones en contexto que inviten a la comunicación y que involucren el tra- bajo con números de tamaño «razonable», pero nuevamente y, sobre todo, que no conozcan previamente el algoritmo co- rrespondiente. Dinámicas asociadas con la práctica de los algoritmos Tal como comentábamos en otro artículo de esta sección (Suma, nº. 76) con relación al algoritmo tradicional para calcular el máximo común divisor de dos números, la primera dinámica negativa que viene asociada a la práctica de los algoritmos tiene relación a la enorme cantidad tiempo que se dedica a este aspecto. los algoritmos estándar, al no estar apo- yados en la comprensión sino en la ejecu- ción mecánica de unos pasos desprovistos de justificación precisan de una ejercita- ción periódica para ser automatizados y 78 MArzo 2015 78 imagen 7 el segundo ejemplo (imagen 8) corresponde a dos sumas en las que la transcripción simbólica del pro- ceso refleja la riqueza de las estrategias utilizadas. en la primera, suma las decenas y anota el resultado (60), después quiere sumar 8 + 3, pero como no lo sabe de memoria lo soluciona partiendo de un hecho conocido (8 + 2) y añadiendo 1. en la segunda, después de sumar de las decenas, para sumar las unidades calcula 5 + 5 y le añade 2. imagen 8 cuando alguien pregunta cómo la maestra ha con- seguido estos resultados la respuesta es: trabajando a fondo las descomposiciones de dígitos, el sistema de numeración, discutiendo las estrategias de suma de números de una cifra con números de dos cifras, pero sobretodo: no explicando el algoritmo estándar de la suma hasta segundo curso. imagen 9. ¿cuántos cuadritos ocupa un rectángulo de 37x7? …tenemos que tomar una decisión importante y previa sobre si los algoritmos estándar deben continuar siendo el eje principal de la Aritmética. S78-Ellaos tienen la palabra_Maquetación 1 22/3/15 9:54 Página 78
  • 7. cALcULAr con núMeroS y no con DígiToS recordados. los algoritmos basados en números, tam- bién requieren de una cierta práctica, especialmente al inicio, pero el proceso de construcción deja anclajes sólidos que hacen innece- saria la cantidad de repeti- ciones sistemáticas que requieren los al- goritmos estándar. si substituimos los algoritmos estándar por aquellos basados en números, aunque también necesiten práctica debemos evitar las viejas dinámicas: no podemos mantener las listas interminables de práctica repeti- tiva, ni mantener en estos listados opera- ciones con números tan grandes que nunca haríamos sin usar calculadora, ni mantener la propuesta de las mismas tareas de ejer- citación para todos los alumnos indepen- dientemente de su grado de dominio del algoritmo, etc. Deberíamos modificar la propuesta de ac- tividades de práctica y también la manera de corregirlas. No se trata simplemente de valorar si los alumnos han llegado al re- sultado correcto y mucho menos, si han hecho determinados pasos ya que el ca- rácter flexible de los nuevos algoritmos implica que pueden haber llegado al resul- tado correcto siguiendo diferentes cami- nos. las nuevas actividades de práctica de- berían concluirse con una discusión grupal sobre las estrategias utilizadas, valorando la eficiencia de las distintas propuestas y avanzando hacia la optimización de un re- gistro escrito que permita comunicar el procedimiento seguido. los algoritmos estándar respondían a una necesidad de cálculo de una época en la que no había calculadoras, por lo tanto la ejecución veloz de operaciones con nú- meros de muchas cifras era una habilidad necesaria para algunos trabajadores. si optamos por un cambio a fondo en arit- mética, también debemos redefinir qué rango de números es el ade- cuado para trabajar en el aula. cree- mos que con sumas y restas de hasta tres cifras, multiplicaciones de nú- meros de hasta cuatro cifras por nú- meros de hasta dos cifras y divisiones en que el divisor tiene una cifra, po- demos desarrollar completamente el currículum de aritmética. en relación a las divisiones por dos ci- fras, plantear alguna división entre 15 o 24 puede tener sentido para enfrentar a los alumnos al reto de resolverlas aprovechando su experiencia en la realización de las divisiones por una cifra, pero plantear una división del tipo 7429 : 53, no aporta nada interesante y ocupa un tiempo precioso del que carecemos. El momento de los algoritmos basados en dígitos en nuestra opinión, antes del final de la etapa de Primaria, cuando los alumnos ya dominan los algo- ritmos basados en números que han construido junto con sus compañeros para resolver las dife- rentes operaciones aritméticas, deberían tener la oportunidad de conocer los algoritmos basados en dígitos que forman parte de nuestra cultura. esta presentación no necesariamente ha de restrin- girse a los algoritmos estándar sino que pueden in- cluirse otros algoritmos aritméticos históricos. De todas maneras, creemos que tiene sentido, desde un punto de vista cultural, resaltar entre ellos al algo- ritmo que seguramente aprendieron y quizás aun utilizan sus padres. cuando destacamos la importancia de dar oportu- nidad a los alumnos para que decidan qué procedi- miento utilizar para resolver un cálculo incluimos a los algoritmos estándar como parte de sus alterna- tivas. No tenemos ningún inconveniente en admi- tirlos en clase, ya que desde el punto de vista arit- mético son óptimos. simplemente nos resistimos a exigir a todos los alumnos que los utilicen como opción primera y única. MArzo 2015 79 78 …no podemos mantener las listas interminables de práctica repetitiva, ni mantener en estos listados operaciones con números tan grandes que nunca haríamos sin usar calculadora. S78-Ellaos tienen la palabra_Maquetación 1 22/3/15 9:54 Página 79
  • 8. DAviD BArBA UriAch y ceciLiA cALvo PeSce Otros algoritmos basados en números en la redacción de este artículo hemos ejemplificado los algoritmos basados en números en el modelo de los algoritmos en columna propuesto por el ins- tituto Freudenthal. sin embargo, en nuestro país conviven otros tipos de propuestas que presentan otros algoritmos basados en números con similares ideas de fondo. Mencionaremos dos ejemplos: la propuesta de antonio Martín adrián4 : «los al- goritmos tradicionales están muertos sólo hace falta enterrarlos». la propuesta de Jaime Martínez Montero5 : «algo- ritmos aBN: por unas matemáticas sencillas, natu- rales y divertidas». Los algoritmos como estructuradores del currículum Podríamos afirmar que, a pesar de los cambios im- portantes que se han producido en las escuelas de Primaria en aspectos metodológicos, los algoritmos estándar continúan siendo los contenidos estructu- radores del programa. Prueba de ello está en que la pregunta más formulada en los asesoramientos que piden las escuelas es: «¿cómo planteamos la resta con llevadas?», seguida por «¿cómo explicamos la división por dos cifras?». en ambos casos la pre- gunta se orienta a la demanda de estrategias para ayudar a los alumnos a que entiendan un algoritmo concreto en lugar de hacia modelos que permitan a los alumnos interiorizar los conceptos de resta o de división. Ya en la séptima entrega de «ell@s tienen la palabra» comentábamos el protagonismo excesivo de la ejer- citación de rutinas en nuestras clases y los riesgos de anteponer el dominio de un algoritmo al estudio del problema que ese algoritmo pretende resolver. sin embargo, la cosa va más lejos, puesto que los algoritmos extienden su sombra metodológica a otros aspectos de la Matemática escolar. Pese a todo el tiempo dedicado a ellos, la Matemática, lejos de ser vista como una manera de pensar, se convierte en un conjunto de recetas y trucos que relegan a un segundo (o tercer) plano los conceptos involucrados: «multiplicar por 100 es agregar dos ceros», «convertir me- tros en quilómetros es correr la coma 3 lugares», «calcular el máximo común di- visor de dos números es multiplicar sus factores comunes elevados al mínimo ex- ponente», «dividir fracciones es multiplicar en cruz los numeradores y los denomina- dores», «calcular el área de un rombo es multiplicar las diagonales y dividir entre 2», «calcular el 25% de un número es mul- tiplicar por 25 y dividir entre 100» … Ya sea por la inconveniencia de anteponer el mecanismo a la operación o por dar una visión distorsionada de la actividad matemática creemos que los algoritmos estándar y los algoritmos en general no deberían dictar la planificación de nuestros cursos de Matemáticas en Primaria. Reflexión final hemos intentado defender nuestra posi- ción respecto a la necesidad de replante- arnos a fondo el papel de los algoritmos estándar. Porque cuando limitamos el trabajo con las operaciones aritméticas al trabajo con estos algoritmos nuestr@s alumn@s no tienen la palabra. Porque dan una idea equivocada de la na- turaleza de la Matemática. Porque para que los alumnos los ejecuten con acierto perdemos demasiado tiempo en practicar (y no en comprender) unas habilidades que la sociedad actual resuelve utilizando su smartphone. Por otro lado, creemos inconveniente li- mitar el trabajo aritmético al uso de algo- ritmos, ya sean estándar o alternativos. los alumnos han de ser conscientes que 80 MArzo 2015 78 S78-Ellaos tienen la palabra_Maquetación 1 22/3/15 9:54 Página 80
  • 9. cALcULAr con núMeroS y no con DígiToS los algoritmos son una de las formas de calcular, pero que existen otras (para su- mar 45 + 39, por ejemplo, pueden operar saltando sobre la recta numérica6 reali- zando 45 + 30 + 5 + 4 o, como hacía el alumno de la escuela orlandai del que se hablaba al inicio del este artículo: sumar 45 + 40 y restar 1). lo importante es dotarlos de diferentes estrategias para que puedan decidir, según la operación, qué estrategia es la más eficiente o, in- cluso, que puedan decidir si es una operación para realizar con calculadora. Para profundizar — (2010), «la división: mucho más que un algoritmo», Uno: Revista de didáctica de las matemáticas, n.º 54, 41- 54. BarBa, D., y c. calvo (2012), «algoritmos antiguos de cálculo», Cuadernos de Pedagogía, n.º 421, 62-65. MArzo 2015 81 78 DAviD BArBA UriAch Universitat Autònoma de Barcelona ceciLiA cALvo PeSce Escola Sadako (Barcelona) <tienenlapalabra@revistasuma.es> 1 en el vídeo <http://youtu.be/BQKLnrUrFhs> varios alumnos de 5 y 6 años explican cómo calculan 4+3. 2 este es el nombre que se les da en van den heuvel- Panhuizen, M. (ed.) (2001): Children Learn Mathematics, Freudenthal institute, Utrecht University. 3 este procedimiento claramente puede recibir el nom- bre de algoritmo, pues se tata de una serie de instrucciones precisas que se siguen de manera inequívoca para que a partir de dos números se consiga un tercer número que será el resultado de la operación. 4 nos podemos acercar a la propuesta de Martín a partir de su con- ferencia TeDx La Laguna disponible en <http://youtu.be/r4Jwz-z-4qw>. 5 nos podemos acercar a la propuesta de Martínez a través de su blog <http://algoritmosabn.blogspot.com.es/>. 6 Más información sobre la estrategia de saltos en la primera entrega de «ell@s tienen la palabra» (Suma, nº. 70). S78-Ellaos tienen la palabra_Maquetación 1 22/3/15 9:54 Página 81