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Procesos Industriales Área de Manufactura
   Trabajo final para la tercera unidad
         Intervalos de Confianza
                  Por:
       Sujey Yulim Méndez Espino
        Lic. Edgar Gerardo Mata


           18 de abril de 2012
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ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA
Conceptos
En este tema vamos a estudiar como estimar, es decir pronosticar, un parámetro de
La población, generalmente la media, la varianza (en consecuencia la desviación típica)
Y la proporción, a partir de una muestra de tamaño n. Pero a diferencia de la estimación
Puntual donde tal estimación la efectuábamos dando un valor concreto, en esta ocasión
El planteamiento es otro. Lo que haremos es dar un intervalo donde afirmaremos o
Pronosticaremos que en su interior se encontrará el parámetro a estimar, con una
Probabilidad de acertar previamente fijada y que trataremos que sea la mayor posible, es
Decir próxima a 1.
Para ello vamos a establecer la notación a utilizar:
Parámetro En la muestra En la población
Media X μ
Varianza 2
NS σ
2
Desviación típica
nS σ
Cuasivarianza 2
n 1 S σn-1
Es importante el uso de la calculadora para hallar estos valores en la muestra.
Hemos dicho que vamos a proponer un intervalo donde se encontrará el parámetro
a estimar, con una probabilidad de acierto alta. Al valor de esta probabilidad la
representaremos por 1-α, y la llamaremos nivel de confianza. A mayor valor de 1- α,
más probabilidad de acierto en nuestra estimación, por tanto eso implica que α tendrá
que ser pequeño, próximo a 0.
Recordemos que 1- α representa siempre una probabilidad por lo que será un valor
entre 0 y 1, si bien en la mayoría de los enunciados de los problemas suele ser
enunciado en términos de tanto por ciento. Así cuando, por ejemplo, se dice que el nivel
de confianza es del 90%, significa que 1- α vale 0,9 y por tanto α vale 0,1.
Para interpretar bien estos conceptos veamos un ejemplo:
Supongamos que deseamos estimar la media de la estatura de una población
mediante un intervalo de confianza al 95% de nivel de confianza, con una muestra de
tamaño 50. Supongamos que tras los cálculos necesarios, el intervalo en cuestión es
(a,b). Pues bien, esto quiere decir que si elegimos 100 muestras de tamaño 50 y cada
vez calculamos el intervalo de confianza resultante, acertaremos en nuestro pronóstico
en 95 de las 100 veces que realizaríamos la estimación con cada muestra.
Un dato importante como es de esperar, es el tamaño de la muestra, que
representaremos por n.
Es evidente que, a igual nivel de confianza, cuanto mayor tamaño tenga la
muestra, el intervalo de confianza se reducirá puesto que el valor obtenido en la muestra
se acercará más al valor real de la población y por tanto el margen de error cometido
(radio del intervalo) se hará más pequeño.
Si el tamaño de la muestra permanece constante y variamos 1- α. el tamaño del
intervalo se hará más grande cuanto más aumente 1- α, es decir que el margen de error
se hará más grande cuanto más precisión exijamos.
Por ejemplo, si para dar un intervalo de confianza de la media de la estatura de una
población de adultos de un país, es seguro que acertaría al cien por cien si el intervalo
   que diese fuese (150 cm, 190 cm), pero sería una estimación absurda ya que no sabría

apreciar realmente la media. Por tanto se trata de dar un intervalo lo más reducido
posible.
Cálculo de intervalos de confianza. Método del pivote
El cálculo de intervalos de confianza no es un proceso fácil cuando la variable en
estudio no sigue unas pautas de normalidad, por lo que nosotros vamos a suponer
siempre que la variable con la que vamos a trabajar sigue una distribución normal.
Dicho esto, el proceso para obtener el intervalo es dar una variable aleatoria donde
intervenga el parámetro a estimar y el correspondiente de la muestra. A esta variable se
le llama estadístico pivote y debe seguir una distribución de probabilidad conocida. Por
ejemplo para el cálculo de un intervalo de confianza de la media se utiliza el siguiente
estadístico pivote:
n
S
X
n 1


Pues bien, esa expresión donde interviene la media muestral, la media poblacional,
la cuasi desviación típica y el tamaño muestral, sigue una distribución de probabilidad
conocida que se encuentra tabulada, llamada t-Student con n-1 grados de libertad.
Se trata pues de dar un intervalo (a, b) de modo que
P(a g b) 1 , siendo g el estadístico pivote correspondiente.
Una vez establecida esa desigualdad, despejamos el parámetro poblacional que es
el que queremos centrar en el intervalo
Cálculo del intervalo de confianza para la media, conocida la desviación
típica de la población en una variable aleatoria normal
Se utiliza es estadístico pivote:
n
X

    que sigue una N(0,1)
Recordemos que
n
XXX
Xn
  ... 1 2 que es la media muestral, sigue una
distribución normal de media μ y desviación típica
n
  como probaremos a
continuación:
Calculemos la esperanza y la varianza de X :
n
n
n
EXEXEX
E X n [ ] [ ] ... [ ]
[ ] 12
nn
n
n
Var X Var X Var X
Var X n
2
2
2
2
12[ ] [ ] ... [ ]
[]

     por tanto la desv. tip. es
n

                              Estamos pues ante la siguiente situación:
Pz
Hemos obtenido el intervalo que contiene a la media poblacional:z
n
se le denomina margen de error y en ocasiones se expresa
en tanto por ciento. Obsérvese que se trata del radio del intervalo.
Veamos un ejemplo práctico:
Se desea estimar la media del tiempo empleado por un nadador en una prueba
olímpica, para lo cual se cronometran 10 pruebas, obteniéndose una media de 41,5
minutos. Sabiendo por otras pruebas que la desviación típica de esta variable para este
nadador es de 0,3 minutos, obtener un intervalo de confianza con un 95% de confianza.
¿Cuantas pruebas habría que cronometrar para que el margen de error en la
estimación de la media fuese inferior a tres segundos. (Suponemos siempre que la
variable que mide el tiempo del nadador sigue una distribución normal.)
Estamos en el caso de un intervalo de confianza para la media conociendo la
desviación típica de la población.
Del enunciado del problema se desprenden directamente los siguientes datos:
X 41,5 seg.       0,3 seg. n 10 1        0,95
Tenemos que buscar un valor zα/2, de modo que en la distribución N(0,1) deje una
área de probabilidad a la derecha igual a α/2, es decir 0,025. Como la función de
distribución de probabilidad de la tabla N (0,1) me da el área de probabilidad
acumulada, es decir a la izquierda, tengo que ver que valor de z me deja a la izquierda
0,975, que se corresponde para un valor de z=1,96.
Así pues el intervalo buscado es:
1,96) (
10
0,3
1,96 , 41,5
10
0,3
(41,5       41,5-0,1859 , 41,5+0,1859) = (41,314 , 41,686)
z-z α/2 α/2
( , ) /2 /2

z
n
zX
n
X
Estimación por intervalos de confianza. I.E.S. A Xunqueira I pag. 4
Métodos Estadísticos y numéricos Prof: José M. Ramos Glez.
También se puede expresar así: Se estima que la media es 41,5 más menos un
margen de error del 18,59%. (Recordemos que el margen de error cometido en la
estima es el radio del intervalo, es decir 0,1859)
En cuanto a la segunda parte del problema, nos piden el tamaño de la muestra para
que en las mismas condiciones el margen de error sea inferior a 3 seg, es decir 0,05
minutos (Debemos pasar todo a las mismas unidades). Que el error sea inferior al 5% es
acotar el radio del intervalo de confianza con ese valor:
0,05 / 2

z
n
, en nuestro caso 1,96 0,05
0,3
n
, de donde resulta n>138,29.
En consecuencia, para obtener un error inferior a 0,05 minutos, deberemos tomar
una muestra de al menos 139 pruebas cronometradas.
Cálculo del intervalo de confianza para la media, desconociendo la desviación
típica de la población en una variable aleatoria normal
Se utiliza el estadístico pivote:
n
S
X
n 1

    que sigue una distribución llamada
t-Student con n-1 grados de libertad, que presenta una forma en la curva muy similar a
la de la distribución normal.
                          Estamos pues ante la siguiente situación:




( ) 1 ( ) 1 /2
1
/2
1
/2
1
/2t
n
S
tX
n
S
tPX
n
S
X
P t nn
n
Hemos obtenido el intervalo que contiene a la media poblacional:
A la expresión / 2
1
t
n
Sn se le denomina margen de error y en ocasiones se expresa en
              tanto por ciento. Obsérvese que se trata del radio del intervalo.

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  • 1. Universidad Tecnológica de torreón Procesos Industriales Área de Manufactura Trabajo final para la tercera unidad Intervalos de Confianza Por: Sujey Yulim Méndez Espino Lic. Edgar Gerardo Mata 18 de abril de 2012 2B
  • 2. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA Conceptos En este tema vamos a estudiar como estimar, es decir pronosticar, un parámetro de La población, generalmente la media, la varianza (en consecuencia la desviación típica) Y la proporción, a partir de una muestra de tamaño n. Pero a diferencia de la estimación Puntual donde tal estimación la efectuábamos dando un valor concreto, en esta ocasión El planteamiento es otro. Lo que haremos es dar un intervalo donde afirmaremos o Pronosticaremos que en su interior se encontrará el parámetro a estimar, con una Probabilidad de acertar previamente fijada y que trataremos que sea la mayor posible, es Decir próxima a 1. Para ello vamos a establecer la notación a utilizar: Parámetro En la muestra En la población Media X μ Varianza 2 NS σ 2 Desviación típica nS σ Cuasivarianza 2 n 1 S σn-1 Es importante el uso de la calculadora para hallar estos valores en la muestra. Hemos dicho que vamos a proponer un intervalo donde se encontrará el parámetro a estimar, con una probabilidad de acierto alta. Al valor de esta probabilidad la representaremos por 1-α, y la llamaremos nivel de confianza. A mayor valor de 1- α, más probabilidad de acierto en nuestra estimación, por tanto eso implica que α tendrá que ser pequeño, próximo a 0. Recordemos que 1- α representa siempre una probabilidad por lo que será un valor entre 0 y 1, si bien en la mayoría de los enunciados de los problemas suele ser enunciado en términos de tanto por ciento. Así cuando, por ejemplo, se dice que el nivel de confianza es del 90%, significa que 1- α vale 0,9 y por tanto α vale 0,1. Para interpretar bien estos conceptos veamos un ejemplo: Supongamos que deseamos estimar la media de la estatura de una población mediante un intervalo de confianza al 95% de nivel de confianza, con una muestra de tamaño 50. Supongamos que tras los cálculos necesarios, el intervalo en cuestión es (a,b). Pues bien, esto quiere decir que si elegimos 100 muestras de tamaño 50 y cada vez calculamos el intervalo de confianza resultante, acertaremos en nuestro pronóstico en 95 de las 100 veces que realizaríamos la estimación con cada muestra. Un dato importante como es de esperar, es el tamaño de la muestra, que representaremos por n. Es evidente que, a igual nivel de confianza, cuanto mayor tamaño tenga la muestra, el intervalo de confianza se reducirá puesto que el valor obtenido en la muestra se acercará más al valor real de la población y por tanto el margen de error cometido (radio del intervalo) se hará más pequeño. Si el tamaño de la muestra permanece constante y variamos 1- α. el tamaño del
  • 3. intervalo se hará más grande cuanto más aumente 1- α, es decir que el margen de error se hará más grande cuanto más precisión exijamos. Por ejemplo, si para dar un intervalo de confianza de la media de la estatura de una población de adultos de un país, es seguro que acertaría al cien por cien si el intervalo que diese fuese (150 cm, 190 cm), pero sería una estimación absurda ya que no sabría apreciar realmente la media. Por tanto se trata de dar un intervalo lo más reducido posible. Cálculo de intervalos de confianza. Método del pivote El cálculo de intervalos de confianza no es un proceso fácil cuando la variable en estudio no sigue unas pautas de normalidad, por lo que nosotros vamos a suponer siempre que la variable con la que vamos a trabajar sigue una distribución normal. Dicho esto, el proceso para obtener el intervalo es dar una variable aleatoria donde intervenga el parámetro a estimar y el correspondiente de la muestra. A esta variable se le llama estadístico pivote y debe seguir una distribución de probabilidad conocida. Por ejemplo para el cálculo de un intervalo de confianza de la media se utiliza el siguiente estadístico pivote: n S X n 1 Pues bien, esa expresión donde interviene la media muestral, la media poblacional, la cuasi desviación típica y el tamaño muestral, sigue una distribución de probabilidad conocida que se encuentra tabulada, llamada t-Student con n-1 grados de libertad. Se trata pues de dar un intervalo (a, b) de modo que P(a g b) 1 , siendo g el estadístico pivote correspondiente. Una vez establecida esa desigualdad, despejamos el parámetro poblacional que es el que queremos centrar en el intervalo Cálculo del intervalo de confianza para la media, conocida la desviación típica de la población en una variable aleatoria normal Se utiliza es estadístico pivote: n X que sigue una N(0,1) Recordemos que n XXX Xn ... 1 2 que es la media muestral, sigue una distribución normal de media μ y desviación típica n como probaremos a continuación: Calculemos la esperanza y la varianza de X :
  • 4. n n n EXEXEX E X n [ ] [ ] ... [ ] [ ] 12 nn n n Var X Var X Var X Var X n 2 2 2 2 12[ ] [ ] ... [ ] [] por tanto la desv. tip. es n Estamos pues ante la siguiente situación:
  • 5. Pz Hemos obtenido el intervalo que contiene a la media poblacional:z n se le denomina margen de error y en ocasiones se expresa en tanto por ciento. Obsérvese que se trata del radio del intervalo. Veamos un ejemplo práctico: Se desea estimar la media del tiempo empleado por un nadador en una prueba olímpica, para lo cual se cronometran 10 pruebas, obteniéndose una media de 41,5 minutos. Sabiendo por otras pruebas que la desviación típica de esta variable para este nadador es de 0,3 minutos, obtener un intervalo de confianza con un 95% de confianza. ¿Cuantas pruebas habría que cronometrar para que el margen de error en la estimación de la media fuese inferior a tres segundos. (Suponemos siempre que la variable que mide el tiempo del nadador sigue una distribución normal.) Estamos en el caso de un intervalo de confianza para la media conociendo la desviación típica de la población. Del enunciado del problema se desprenden directamente los siguientes datos: X 41,5 seg. 0,3 seg. n 10 1 0,95 Tenemos que buscar un valor zα/2, de modo que en la distribución N(0,1) deje una área de probabilidad a la derecha igual a α/2, es decir 0,025. Como la función de distribución de probabilidad de la tabla N (0,1) me da el área de probabilidad acumulada, es decir a la izquierda, tengo que ver que valor de z me deja a la izquierda 0,975, que se corresponde para un valor de z=1,96. Así pues el intervalo buscado es: 1,96) ( 10 0,3 1,96 , 41,5 10 0,3 (41,5 41,5-0,1859 , 41,5+0,1859) = (41,314 , 41,686) z-z α/2 α/2 ( , ) /2 /2 z n zX n X Estimación por intervalos de confianza. I.E.S. A Xunqueira I pag. 4 Métodos Estadísticos y numéricos Prof: José M. Ramos Glez. También se puede expresar así: Se estima que la media es 41,5 más menos un margen de error del 18,59%. (Recordemos que el margen de error cometido en la estima es el radio del intervalo, es decir 0,1859) En cuanto a la segunda parte del problema, nos piden el tamaño de la muestra para que en las mismas condiciones el margen de error sea inferior a 3 seg, es decir 0,05 minutos (Debemos pasar todo a las mismas unidades). Que el error sea inferior al 5% es
  • 6. acotar el radio del intervalo de confianza con ese valor: 0,05 / 2 z n , en nuestro caso 1,96 0,05 0,3 n , de donde resulta n>138,29. En consecuencia, para obtener un error inferior a 0,05 minutos, deberemos tomar una muestra de al menos 139 pruebas cronometradas. Cálculo del intervalo de confianza para la media, desconociendo la desviación típica de la población en una variable aleatoria normal Se utiliza el estadístico pivote: n S X n 1 que sigue una distribución llamada t-Student con n-1 grados de libertad, que presenta una forma en la curva muy similar a la de la distribución normal. Estamos pues ante la siguiente situación: ( ) 1 ( ) 1 /2 1 /2 1
  • 7. /2 1 /2t n S tX n S tPX n S X P t nn n Hemos obtenido el intervalo que contiene a la media poblacional: A la expresión / 2 1 t n Sn se le denomina margen de error y en ocasiones se expresa en tanto por ciento. Obsérvese que se trata del radio del intervalo.