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Bloque III, Límites infinitos
• Concepto del símbolo ∞
• Límites laterales cuando tienden al ∞
• Límite cuando 𝑥 → 𝑎 y tienden al ∞
• Teoremas del Límite cuando 𝑥 → 𝑎, tienden a ±∞
• Teoremas del Límite cuando 𝑥 → ±∞, tienden a
“cero”
• Límite cuando 𝑥 → ±∞, tiende a “CERO”
• Límite cuando 𝑥 → ±∞, tiende a “ C ”
Apertura, Límites
Esta evaluación te servirá a ti y a tu profesor para identificar los
aprendizajes adquiridos hasta el momento, así como los
necesarios para el estudio de los contenidos de este bloque
temático.
Tienes 90 segundos para contestar 6 preguntas, la diapositiva se
cambiará automáticamente cuando se finalice el tiempo.
Apertura, Límites
Determine:
1) lim
𝑥→1+
𝑔(𝑥)
2) lim
𝑥→1−
𝑔(𝑥)
3) lim
𝑥→−1+
𝑔(𝑥)
4) lim
𝑥→−1−
𝑔(𝑥)
5) lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥)
6) lim
𝑥→−∞
𝑔(𝑥)
Símbolo infinito
El símbolo ∞ se lee infinito, es de carácter posicional, no
representa ningún número real.
Sí una variable independiente x está creciendo
indefinidamente y toma valores positivos cada vez
mayores, se escribe 𝑓 𝑥 → +∞, (que se lee: x tiende a
más infinito), y si decrece a través de valores negativos,
se denota como x → −∞ (que se lee: x tiende a menos
infinito)
Límites laterales al Infinito
Consideramos la función f definida 𝑓 𝑥 =
1
𝑥−2
para 𝑥 ∈ ℝ − 2 .
Vamos a determinar el comportamiento de la función cuando 𝑥 →
2 cuando 𝑥 → +∞ y cuando 𝑥 → −∞. Para ello nos ayudamos de
las tablas siguientes:
lim
𝑥→2+
𝑓 𝑥 = +∞
lim
𝑥→2−
𝑓 𝑥 = −∞
Ahora observe que es x la que tiende a tomar valores positivos
cada vez mayores, obteniendo como resultado que:
lim
𝑥→+∞
𝑓 𝑥 = 0
En forma similar a la tabla anterior se tiene que: f(x) → 0 cuando
𝑥 → −∞
lim
𝑥→−∞
𝑓 𝑥 = 0
Límite cuando 𝑥 → ±∞, tiende a “CERO”
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Podemos representar gráficamente el comportamiento de la
función f en la forma siguiente:
𝑓 𝑥 =
1
𝑥 − 2
Límite cuando 𝑥 → ±∞, tiende a “CERO”
Consideramos la función f definida 𝑓 𝑥 = −
1
𝑥
para 𝑥 ∈ ℝ − 0 ,
Cuya representación gráfica es la siguiente:
lim
𝑥→0+
𝑓 𝑥 = −∞
lim
𝑥→0−
𝑓 𝑥 = +∞
lim
𝑥→+∞
𝑓 𝑥 = 0
lim
𝑥→−∞
𝑓 𝑥 = 0
Límite cuando 𝑥 → ±∞, tiende a “CERO”
Consideraremos ahora la función f definida por 𝑓 𝑥 =
2𝑥
𝑥+1
. En las
siguientes tablas vamos a evidenciar su comportamiento:
En forma similar a la tabla anterior se tiene que: f x → −2
cuando 𝑥 → −∞
X 5 10 15 20 25 100 1000
2𝑥
𝑥 + 1
1.666 1.818 1.875 1.904 1.923 1.980 1.998
X -5 -10 -15 -20 -25 -100 -1000
2𝑥
𝑥 + 1
2.50 2.222 2.142 2.105 2.083 2.020 2.002
Límite cuando 𝑥 → ±∞, tiende a “ C ”
En ambas tablas puede observarse que cuando 𝑥 toma valores
positivos o valores negativos cada vez mayores (mayores en valor
absoluto), se tiene que la función 𝑓 tiende a acercarse a 2.
𝑓 𝑥 =
2𝑥
𝑥 + 1
,
𝑥 ≠ −1
lim
𝑥→+∞
𝑓 𝑥 = 2
lim
𝑥→−∞
𝑓 𝑥 = 2
Límite cuando 𝑥 → ±∞, tiende a “ C ”
Teoremas de Límites
Si n es cualquier entero positivo, entonces se cumple que:
lim
𝑥→0+
1
𝑥 𝑛
= +∞
lim
𝑥→0−
1
𝑥 𝑛
= +∞ 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
lim
𝑥→0−
1
𝑥 𝑛
= −∞ 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
Teorema 1
Teorema 2
Teorema 3
Si C es cualquier número real, y
con 𝑐 ≠ 0, entonces:
Teorema 4
lim
𝑥 →𝑎
𝑓 𝑥 = 0 lim
𝑥 →𝑎
𝑔 𝑥 = 𝑐
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)
= +∞ si se tiene que 𝑐 > 0 y 𝑓 𝑥 → 0+
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)
= −∞ si se tiene que 𝑐 > 0 y 𝑓 𝑥 → 0−
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)
= −∞ si se tiene que 𝑐 < 0 y 𝑓 𝑥 → 0+
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)
= +∞ si se tiene que 𝑐 < 0 y 𝑓 𝑥 → 0−
4.1
4.2
4.3
4.4
Límites al Infinito
¿Existe ?
lim
𝑥→2+
2𝑥
𝑥 − 2
= +∞
lim
𝑥→2−
2𝑥
𝑥 − 2
= −∞
lim
𝑥→2
2𝑥
𝑥 − 2
Observe que si se hiciera la sustitución directa se obtiene la
forma indeterminada
4
0
.
a) Como 𝑥 → 2+
, entonces 𝑥 > 2 por lo que 𝑥 − 2 > 0 y se dice que 𝑥 → 0+
. Así,
el numerador tiende a una constante positiva y el denominador tiende a 0+
b) Como 𝑥 → 2−
, entonces 𝑥 < 2 por lo que 𝑥 − 2 < 0 y se tiene que 𝑥 − 2 →
0−
. Como el numerador tiende a una constante positiva y el denominador
tiende a 0−
aplicando el teorema 4
Como los límites laterales son diferentes:
lim
𝑥→2
2𝑥
𝑥 − 2
= No existe
Teorema 5
Sean f y 𝑔 funciones con dominios 𝐷1 y 𝐷2 respectivamente y sea “a” un
número tal que todo intervalo abierto que contenga a “a” contine números
diferentes de “a” en 𝐷1 ∩ 𝐷2:
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = +∞
lim
𝑥→𝑎
[𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ] = +∞ 𝑠𝑖 𝑐 > 0
lim
𝑥→𝑎
[𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ] = −∞ 𝑠𝑖 𝑐 < 0
5.1
5.2
5.3
5.4 lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
𝑔(𝑥)
= 0
Si y entonces:lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑐 lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = +∞
Límites al Infinito
Calcule
lim
𝑥→2
5𝑥 = 5 2 = 10
lim
𝑥→2
6
2𝑥 − 4 2
= +∞
lim
𝑥→2
5𝑥 +
6
2𝑥 − 4 2
Solución:
a) En el caso del primer término, se calcula:
b)En el segundo término se analiza los límites laterales:
Límite lateral derecho:
Como 𝑥 → 2+
, entonces 𝑥 > 2 por lo que 2𝑥 − 4 2
> 0 y se dice que:
Límite lateral izquierdo
Como 𝑥 → 2−
, encontes 𝑥 < 2 por lo que 2𝑥 − 4 2
> 0 y se tiene:
c) Al aplicar el Teorema 5 se tiene
lim
𝑥→2
5𝑥 +
6
2𝑥 − 4 2
= 𝑐 + ∞ = +∞
Si f y 𝑔 son funciones que y
entonces se cumple que:
Teorema 6
lim
𝑥 →𝑎
𝑓 𝑥 = +∞ lim
𝑥 →𝑎
𝑔 𝑥 = +∞
lim
𝑥→𝑎
[𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥)] = +∞
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) = +∞
6.1
6.2
Límites al Infinito
Calcular: lim
𝑥→2+
2
𝑥 − 2 2
+
𝑥 + 1
𝑥 − 2
Solución:
a) Evaluando el límite lateral derecho: Como 𝑥 → 2+
, entonces 𝑥 > 2 por lo que:
b)En el segundo término se analiza de la misma manera con el teorema 4
Como 𝑥 → 2+
, entonces 𝑥 > 2 por lo que 𝑥 − 2 > 0 y se dice que:
c) Al aplicar el Teorema 5 se tiene:
lim
𝑥→2
2
𝑥 − 2 2
+
𝑥 + 1
𝑥 − 2
= ∞ + ∞ = +∞
lim
𝑥→2+
2
𝑥 − 2 2
=
𝑐
𝑥 → 0+
= +∞
lim
𝑥→2+
𝑥 + 1
𝑥 − 2
=
𝑐
𝑥 → 0+
= +∞
Teorema 7
Si f y 𝑔 son funciones que y
entonces se cumple que:
lim
𝑥 →𝑎
𝑓 𝑥 = −∞ lim
𝑥 →𝑎
𝑔 𝑥 = −∞
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = −∞
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) = +∞
7.1
7.2
Límites al Infinito
Calcular: lim
𝑥→−3−
2𝑥
𝑥 + 3 2
2 − 𝑥
𝑥 + 3
Solución:
a) Evaluando el límite lateral izquierda: Como 𝑥 → −3−
, entonces 𝑥 < −3
b)En el segundo término se analiza de la misma manera con el teorema 4
Como 𝑥 → −3−, entonces 𝑥 < −3 por lo que:
c) Al aplicar el Teorema 5 se tiene:
lim
𝑥→2
2𝑥
𝑥 + 3 2
2 − 𝑥
𝑥 + 3
= −∞ −∞ = +∞
lim
𝑥→−3−
2𝑥
𝑥 + 3 2
=
−𝑐
𝑥 → 0+
= −∞
lim
𝑥→−3−
2 − 𝑥
𝑥 + 3
=
𝑐
𝑥 → 0−
= −∞
Si p > 0 es un número real, entonces:
Teorema 8
lim
𝑥→+∞
1
𝑝 𝑛
= 0
Límites al Infinito
Calcular: lim
𝑥→+∞
𝑥 + 2
𝑥3
Solución:
a) Separando el cociente:
b)Realizando la división y aplicando las propiedades de los límites:
c) Al aplicar el Teorema 8 se tiene:
= 0 + 2 0 = 0
lim
𝑥→+∞
𝑥
𝑥3
+
2
𝑥3
lim
𝑥→+∞
1
𝑥2
+ 2 ∙ lim
𝑥→+∞
1
𝑥3
Límites al Infinito
Calcular: lim
𝑥→+∞
3
𝑥 + 1
Solución:
a) Factorizando el denominador, para poder realizar la separación de cociente:
b) Aplicando las propiedades de los límites:
c) Aplicando el Teorema 8 se tiene:
= 0
1
1 + 0
= 0
lim
𝑥→+∞
3
𝑥 1 +
1
𝑥
lim
𝑥→+∞
3
𝑥
+ lim
𝑥→+∞
1
1 +
1
𝑥
Si p es un número positivo tal que 𝑥 𝑝
es un número real para 𝑥 <
0, entonces:
Teorema 9
lim
𝑥→−∞
1
𝑥 𝑝
= 0
Límites al Infinito
Calcular:
lim
𝑥→−∞
5 + 𝑥
1
3
𝑥
2
3Solución:
a) Separación de cociente:
b) Aplicando la división y las propiedades de los límites:
c) Aplicando el Teorema 8 se tiene:
= 5 0 + 0 = 0
lim
𝑥→−∞
5
𝑥
2
3
+
𝑥
1
3
𝑥
2
3
5 ⋅ lim
𝑥→−∞
1
𝑥
2
3
+ lim
𝑥→+∞
1
𝑥
1
3
Límites al Infinito
Calcular: lim
𝑥→+∞
3𝑥 + 1
2𝑥 − 3
Solución:
a) Factorizando la variable x en el denominador y denominador:
b) Aplicando la división y las propiedades de los límites:
c) Note que
1
𝑥
→ 0 y
3
𝑥
→ 0 cuando 𝑥 → +∞
=
3
2
lim
𝑥→+∞
𝑥 3 +
1
𝑥
𝑥 2 −
3
𝑥
lim
𝑥→+∞
3 +
1
𝑥
2 −
3
𝑥
Límites al Infinito
Calcular: lim
𝑥→−∞
4
3𝑥4 + 2𝑥2 + 1 − 1
2𝑥 − 1
a) Factorizando la variable x mayor del numerador:
b) Recuerde
𝑛
𝑥 𝑛 = 𝑥 si 𝑛 es par:
c) Como x crece a través de valores negativos se tiene que 𝑥 = −𝑥
lim
𝑥→−∞
−𝑥
4
3 +
2
𝑥2 +
1
𝑥4 − 1
2𝑥 − 1
lim
𝑥→−∞
4
𝑥4 3 +
2
𝑥2 +
1
𝑥4 − 1
2𝑥 − 1
lim
𝑥→−∞
𝑥
4
3 +
2
𝑥2 +
1
𝑥4 − 1
2𝑥 − 1
Límites al Infinito
Calcular: lim
𝑥→−∞
4
3𝑥4 + 2𝑥2 + 1 − 1
2𝑥 − 1
d) Factorizando la variable x mayor del denominador y denominador:
b) Realizando la división de la variable x:
lim
𝑥→−∞
−𝑥
4
3 +
2
𝑥2 +
1
𝑥4 − 1
𝑥 2 −
1
𝑥
lim
𝑥→−∞
𝑥 − 3 +
2
𝑥2 +
1
𝑥4 −
1
𝑥
𝑥 2 −
1
𝑥
Límites al Infinito
Calcular: lim
𝑥→−∞
4
3𝑥4 + 2𝑥2 + 1 − 1
2𝑥 − 1
d) Diviendo la variable x.
b) Como
1
𝑥 𝑛 → 0 cuando 𝑥 → −∞
lim
𝑥→−∞
−
4
3 +
2
𝑥2 +
1
𝑥4 −
1
𝑥
2 −
1
𝑥
lim
𝑥→−∞
−
4
3 +
2
𝑥2 +
1
𝑥4 −
1
𝑥
2 −
1
𝑥
= −
4
3
2
0 0 0
0

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Bloque temático I,límite infinito

  • 1. Photo by aldoaldoz - Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License http://www.flickr.com/photos/9049083@N04 Created with Haiku Deck
  • 2. Bloque III, Límites infinitos • Concepto del símbolo ∞ • Límites laterales cuando tienden al ∞ • Límite cuando 𝑥 → 𝑎 y tienden al ∞ • Teoremas del Límite cuando 𝑥 → 𝑎, tienden a ±∞ • Teoremas del Límite cuando 𝑥 → ±∞, tienden a “cero” • Límite cuando 𝑥 → ±∞, tiende a “CERO” • Límite cuando 𝑥 → ±∞, tiende a “ C ”
  • 3. Apertura, Límites Esta evaluación te servirá a ti y a tu profesor para identificar los aprendizajes adquiridos hasta el momento, así como los necesarios para el estudio de los contenidos de este bloque temático. Tienes 90 segundos para contestar 6 preguntas, la diapositiva se cambiará automáticamente cuando se finalice el tiempo.
  • 4. Apertura, Límites Determine: 1) lim 𝑥→1+ 𝑔(𝑥) 2) lim 𝑥→1− 𝑔(𝑥) 3) lim 𝑥→−1+ 𝑔(𝑥) 4) lim 𝑥→−1− 𝑔(𝑥) 5) lim 𝑥→+∞ 𝑔(𝑥) 6) lim 𝑥→−∞ 𝑔(𝑥)
  • 5. Símbolo infinito El símbolo ∞ se lee infinito, es de carácter posicional, no representa ningún número real. Sí una variable independiente x está creciendo indefinidamente y toma valores positivos cada vez mayores, se escribe 𝑓 𝑥 → +∞, (que se lee: x tiende a más infinito), y si decrece a través de valores negativos, se denota como x → −∞ (que se lee: x tiende a menos infinito)
  • 6. Límites laterales al Infinito Consideramos la función f definida 𝑓 𝑥 = 1 𝑥−2 para 𝑥 ∈ ℝ − 2 . Vamos a determinar el comportamiento de la función cuando 𝑥 → 2 cuando 𝑥 → +∞ y cuando 𝑥 → −∞. Para ello nos ayudamos de las tablas siguientes: lim 𝑥→2+ 𝑓 𝑥 = +∞ lim 𝑥→2− 𝑓 𝑥 = −∞
  • 7. Ahora observe que es x la que tiende a tomar valores positivos cada vez mayores, obteniendo como resultado que: lim 𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 = 0 En forma similar a la tabla anterior se tiene que: f(x) → 0 cuando 𝑥 → −∞ lim 𝑥→−∞ 𝑓 𝑥 = 0 Límite cuando 𝑥 → ±∞, tiende a “CERO”
  • 8. Photo by solofotones - Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License http://www.flickr.com/photos/14754973@N08 Created with Haiku Deck Podemos representar gráficamente el comportamiento de la función f en la forma siguiente: 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 − 2 Límite cuando 𝑥 → ±∞, tiende a “CERO”
  • 9. Consideramos la función f definida 𝑓 𝑥 = − 1 𝑥 para 𝑥 ∈ ℝ − 0 , Cuya representación gráfica es la siguiente: lim 𝑥→0+ 𝑓 𝑥 = −∞ lim 𝑥→0− 𝑓 𝑥 = +∞ lim 𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 = 0 lim 𝑥→−∞ 𝑓 𝑥 = 0 Límite cuando 𝑥 → ±∞, tiende a “CERO”
  • 10. Consideraremos ahora la función f definida por 𝑓 𝑥 = 2𝑥 𝑥+1 . En las siguientes tablas vamos a evidenciar su comportamiento: En forma similar a la tabla anterior se tiene que: f x → −2 cuando 𝑥 → −∞ X 5 10 15 20 25 100 1000 2𝑥 𝑥 + 1 1.666 1.818 1.875 1.904 1.923 1.980 1.998 X -5 -10 -15 -20 -25 -100 -1000 2𝑥 𝑥 + 1 2.50 2.222 2.142 2.105 2.083 2.020 2.002 Límite cuando 𝑥 → ±∞, tiende a “ C ”
  • 11. En ambas tablas puede observarse que cuando 𝑥 toma valores positivos o valores negativos cada vez mayores (mayores en valor absoluto), se tiene que la función 𝑓 tiende a acercarse a 2. 𝑓 𝑥 = 2𝑥 𝑥 + 1 , 𝑥 ≠ −1 lim 𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 = 2 lim 𝑥→−∞ 𝑓 𝑥 = 2 Límite cuando 𝑥 → ±∞, tiende a “ C ”
  • 12. Teoremas de Límites Si n es cualquier entero positivo, entonces se cumple que: lim 𝑥→0+ 1 𝑥 𝑛 = +∞ lim 𝑥→0− 1 𝑥 𝑛 = +∞ 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 lim 𝑥→0− 1 𝑥 𝑛 = −∞ 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 Teorema 1 Teorema 2 Teorema 3
  • 13. Si C es cualquier número real, y con 𝑐 ≠ 0, entonces: Teorema 4 lim 𝑥 →𝑎 𝑓 𝑥 = 0 lim 𝑥 →𝑎 𝑔 𝑥 = 𝑐 lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) = +∞ si se tiene que 𝑐 > 0 y 𝑓 𝑥 → 0+ lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) = −∞ si se tiene que 𝑐 > 0 y 𝑓 𝑥 → 0− lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) = −∞ si se tiene que 𝑐 < 0 y 𝑓 𝑥 → 0+ lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) = +∞ si se tiene que 𝑐 < 0 y 𝑓 𝑥 → 0− 4.1 4.2 4.3 4.4
  • 14. Límites al Infinito ¿Existe ? lim 𝑥→2+ 2𝑥 𝑥 − 2 = +∞ lim 𝑥→2− 2𝑥 𝑥 − 2 = −∞ lim 𝑥→2 2𝑥 𝑥 − 2 Observe que si se hiciera la sustitución directa se obtiene la forma indeterminada 4 0 . a) Como 𝑥 → 2+ , entonces 𝑥 > 2 por lo que 𝑥 − 2 > 0 y se dice que 𝑥 → 0+ . Así, el numerador tiende a una constante positiva y el denominador tiende a 0+ b) Como 𝑥 → 2− , entonces 𝑥 < 2 por lo que 𝑥 − 2 < 0 y se tiene que 𝑥 − 2 → 0− . Como el numerador tiende a una constante positiva y el denominador tiende a 0− aplicando el teorema 4 Como los límites laterales son diferentes: lim 𝑥→2 2𝑥 𝑥 − 2 = No existe
  • 15. Teorema 5 Sean f y 𝑔 funciones con dominios 𝐷1 y 𝐷2 respectivamente y sea “a” un número tal que todo intervalo abierto que contenga a “a” contine números diferentes de “a” en 𝐷1 ∩ 𝐷2: lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = +∞ lim 𝑥→𝑎 [𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ] = +∞ 𝑠𝑖 𝑐 > 0 lim 𝑥→𝑎 [𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ] = −∞ 𝑠𝑖 𝑐 < 0 5.1 5.2 5.3 5.4 lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) = 0 Si y entonces:lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑐 lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 = +∞
  • 16. Límites al Infinito Calcule lim 𝑥→2 5𝑥 = 5 2 = 10 lim 𝑥→2 6 2𝑥 − 4 2 = +∞ lim 𝑥→2 5𝑥 + 6 2𝑥 − 4 2 Solución: a) En el caso del primer término, se calcula: b)En el segundo término se analiza los límites laterales: Límite lateral derecho: Como 𝑥 → 2+ , entonces 𝑥 > 2 por lo que 2𝑥 − 4 2 > 0 y se dice que: Límite lateral izquierdo Como 𝑥 → 2− , encontes 𝑥 < 2 por lo que 2𝑥 − 4 2 > 0 y se tiene: c) Al aplicar el Teorema 5 se tiene lim 𝑥→2 5𝑥 + 6 2𝑥 − 4 2 = 𝑐 + ∞ = +∞
  • 17. Si f y 𝑔 son funciones que y entonces se cumple que: Teorema 6 lim 𝑥 →𝑎 𝑓 𝑥 = +∞ lim 𝑥 →𝑎 𝑔 𝑥 = +∞ lim 𝑥→𝑎 [𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥)] = +∞ lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) = +∞ 6.1 6.2
  • 18. Límites al Infinito Calcular: lim 𝑥→2+ 2 𝑥 − 2 2 + 𝑥 + 1 𝑥 − 2 Solución: a) Evaluando el límite lateral derecho: Como 𝑥 → 2+ , entonces 𝑥 > 2 por lo que: b)En el segundo término se analiza de la misma manera con el teorema 4 Como 𝑥 → 2+ , entonces 𝑥 > 2 por lo que 𝑥 − 2 > 0 y se dice que: c) Al aplicar el Teorema 5 se tiene: lim 𝑥→2 2 𝑥 − 2 2 + 𝑥 + 1 𝑥 − 2 = ∞ + ∞ = +∞ lim 𝑥→2+ 2 𝑥 − 2 2 = 𝑐 𝑥 → 0+ = +∞ lim 𝑥→2+ 𝑥 + 1 𝑥 − 2 = 𝑐 𝑥 → 0+ = +∞
  • 19. Teorema 7 Si f y 𝑔 son funciones que y entonces se cumple que: lim 𝑥 →𝑎 𝑓 𝑥 = −∞ lim 𝑥 →𝑎 𝑔 𝑥 = −∞ lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = −∞ lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) = +∞ 7.1 7.2
  • 20. Límites al Infinito Calcular: lim 𝑥→−3− 2𝑥 𝑥 + 3 2 2 − 𝑥 𝑥 + 3 Solución: a) Evaluando el límite lateral izquierda: Como 𝑥 → −3− , entonces 𝑥 < −3 b)En el segundo término se analiza de la misma manera con el teorema 4 Como 𝑥 → −3−, entonces 𝑥 < −3 por lo que: c) Al aplicar el Teorema 5 se tiene: lim 𝑥→2 2𝑥 𝑥 + 3 2 2 − 𝑥 𝑥 + 3 = −∞ −∞ = +∞ lim 𝑥→−3− 2𝑥 𝑥 + 3 2 = −𝑐 𝑥 → 0+ = −∞ lim 𝑥→−3− 2 − 𝑥 𝑥 + 3 = 𝑐 𝑥 → 0− = −∞
  • 21. Si p > 0 es un número real, entonces: Teorema 8 lim 𝑥→+∞ 1 𝑝 𝑛 = 0
  • 22. Límites al Infinito Calcular: lim 𝑥→+∞ 𝑥 + 2 𝑥3 Solución: a) Separando el cociente: b)Realizando la división y aplicando las propiedades de los límites: c) Al aplicar el Teorema 8 se tiene: = 0 + 2 0 = 0 lim 𝑥→+∞ 𝑥 𝑥3 + 2 𝑥3 lim 𝑥→+∞ 1 𝑥2 + 2 ∙ lim 𝑥→+∞ 1 𝑥3
  • 23. Límites al Infinito Calcular: lim 𝑥→+∞ 3 𝑥 + 1 Solución: a) Factorizando el denominador, para poder realizar la separación de cociente: b) Aplicando las propiedades de los límites: c) Aplicando el Teorema 8 se tiene: = 0 1 1 + 0 = 0 lim 𝑥→+∞ 3 𝑥 1 + 1 𝑥 lim 𝑥→+∞ 3 𝑥 + lim 𝑥→+∞ 1 1 + 1 𝑥
  • 24. Si p es un número positivo tal que 𝑥 𝑝 es un número real para 𝑥 < 0, entonces: Teorema 9 lim 𝑥→−∞ 1 𝑥 𝑝 = 0
  • 25. Límites al Infinito Calcular: lim 𝑥→−∞ 5 + 𝑥 1 3 𝑥 2 3Solución: a) Separación de cociente: b) Aplicando la división y las propiedades de los límites: c) Aplicando el Teorema 8 se tiene: = 5 0 + 0 = 0 lim 𝑥→−∞ 5 𝑥 2 3 + 𝑥 1 3 𝑥 2 3 5 ⋅ lim 𝑥→−∞ 1 𝑥 2 3 + lim 𝑥→+∞ 1 𝑥 1 3
  • 26. Límites al Infinito Calcular: lim 𝑥→+∞ 3𝑥 + 1 2𝑥 − 3 Solución: a) Factorizando la variable x en el denominador y denominador: b) Aplicando la división y las propiedades de los límites: c) Note que 1 𝑥 → 0 y 3 𝑥 → 0 cuando 𝑥 → +∞ = 3 2 lim 𝑥→+∞ 𝑥 3 + 1 𝑥 𝑥 2 − 3 𝑥 lim 𝑥→+∞ 3 + 1 𝑥 2 − 3 𝑥
  • 27. Límites al Infinito Calcular: lim 𝑥→−∞ 4 3𝑥4 + 2𝑥2 + 1 − 1 2𝑥 − 1 a) Factorizando la variable x mayor del numerador: b) Recuerde 𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑥 si 𝑛 es par: c) Como x crece a través de valores negativos se tiene que 𝑥 = −𝑥 lim 𝑥→−∞ −𝑥 4 3 + 2 𝑥2 + 1 𝑥4 − 1 2𝑥 − 1 lim 𝑥→−∞ 4 𝑥4 3 + 2 𝑥2 + 1 𝑥4 − 1 2𝑥 − 1 lim 𝑥→−∞ 𝑥 4 3 + 2 𝑥2 + 1 𝑥4 − 1 2𝑥 − 1
  • 28. Límites al Infinito Calcular: lim 𝑥→−∞ 4 3𝑥4 + 2𝑥2 + 1 − 1 2𝑥 − 1 d) Factorizando la variable x mayor del denominador y denominador: b) Realizando la división de la variable x: lim 𝑥→−∞ −𝑥 4 3 + 2 𝑥2 + 1 𝑥4 − 1 𝑥 2 − 1 𝑥 lim 𝑥→−∞ 𝑥 − 3 + 2 𝑥2 + 1 𝑥4 − 1 𝑥 𝑥 2 − 1 𝑥
  • 29. Límites al Infinito Calcular: lim 𝑥→−∞ 4 3𝑥4 + 2𝑥2 + 1 − 1 2𝑥 − 1 d) Diviendo la variable x. b) Como 1 𝑥 𝑛 → 0 cuando 𝑥 → −∞ lim 𝑥→−∞ − 4 3 + 2 𝑥2 + 1 𝑥4 − 1 𝑥 2 − 1 𝑥 lim 𝑥→−∞ − 4 3 + 2 𝑥2 + 1 𝑥4 − 1 𝑥 2 − 1 𝑥 = − 4 3 2 0 0 0 0