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CONCEPTO DE FUNCIÓN PRIMITIVA<br />Dada una función cualquiera f(x) definida en un intervalo cerrado [a, b] se llama función primitiva de f(x) a otra función F(x) cuya derivada sea f(x) en dicho intervalo. Es decir: F´(x) = f(x) para todo x de [a, b]<br />Ejemplo 1: F(x)= sen x es una primitiva de f(x)= cos x ya que (sen x)’ =cos x<br />Ejemplo 2: Fx=x22   es una primitiva de fx=x   ya que x22'=2x2=x<br />PROPIEDAD ELEMENTAL DE LAS FUNCIONES PRIMITIVAS<br />Si F(x) es una primitiva de f(x) y C una constante cualquiera (un número) la función F(x) + C es otra primitiva de f(x)<br />Esto pasa porque la derivada de una constante C cualquiera es cero y porque la suma de las derivadas es la derivada de la suma<br />De esta propiedad se deduce que una función f(x) que tiene una primitiva f(x), tiene infinitas primitivas dadas por F(x) + C (para cualquier “C” perteneciente al conjunto de los números reales)<br />Habíamos dicho que si f(x)= cos x  entonces f(x)=sen x es primitiva de f(x)<br />Ahora con esta propiedad podemos decir que F(x) = sen x + 1 también es primitiva de f(x)<br />O bien que F(x)= sen x– 2 también es primitiva de f(x)<br />INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNCIÓN<br />Se llama INTEGRAL INDEFINIDA de una función f(x) al conjunto de todas las primitivas de la función f(x) y se simboliza<br />fxdx<br />Por tanto si F(x) es primitiva de f(x) entonces fxdx=Fx+C<br />Ejemplo 3: Calculemos la integral de fx=1x<br />Para encontrar las funciones primitivas más comunes existe una TABLA DE INTEGRALES DIRECTAS. La misma se anexa al final <br />PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES<br />La integral de una suma o resta de funciones es respectivamente la suma o resta de las integrales de las funciones<br />fx±g(x)dx=fxdx±gxdx<br />La integral de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función<br />k.fxdx=k.fxdx<br />La integral directa más sencilla de todas: k  dx=k.x+C<br />Ejemplo 5: Calculemos la siguiente integral 5x+3-exdx<br />INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCIÓN<br />REGLA DE BARROW<br />Si y = f(x) es una función continua en el intervalo [a, b] y F(x) una función definida en [a, b] derivable y primitiva de f(x), es decir F´(x)= f(x) para cualquier x  (a, b) entonces<br />abfxdx=Fb-F(a)<br />CONCEPTO DE LA INTEGRAL DEFINIDA<br />La integral definida entre “a” y “b” de una función, representa al área debajo de la curva de la función integrada entre los valores “a” y “b”<br />Ejemplo 6: Calcula el área debajo de la curva fx=x-12 entre x=1 y x=3.Garficar<br />ÁREA ENTRE CURVAS<br />Para calcular el área entre dos curvas, restamos el área de las curvas. Y como límites de integración, usamos las intersecciones entre las curvas<br />Ejemplo 7: Calcula el área entre las curvas fx=x2     y      gx=x+2<br />Si restamos al revés las funciones, o si calculamos un área que está por debajo del eje x, nos da un valor negativo, pero correcto, ya que lo que nos interesa es el valor absoluto del área<br />Si queremos calcular el área de una curva entre “a” y “b” y la curva corta al eje x entre esos valores, tenemos que partir la integral en dos partes, desde “a” hasta la raíz y desde la raíz hasta “b” ya que la parte que está debajo del eje x va a dar negativa y la tenemos que sumar, si no partimos la integral, cuando calculamos el área total queda restada la parte que está debajo del eje x en vez de sumada y el valor final del área sería incorrecto<br />MÉTODOS DE INTEGRACIÓN <br />MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN DE VARIABLE<br />Veamos por medio de ejemplos cómo se resuelve<br />Ejemplo 8: 1x+6dx<br />Ejemplo 9: sen3x-1dx<br />MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES<br />Este método se usa cuando tenemos la integral de una función racional y además, el grado del numerador es menor al grado del denominador. Se descompone una fracción en fracciones simples con denominador de raíces reales únicas o raíces reales múltiples<br />Ejemplo 12: 5x+7x2+3x+2dx<br />Ejemplo 13:x+4x2+2x+1dx<br />APLICACIONES A LA ECONOMÍA<br />EXCEDENTES DE CONSUMIDORES Y FABRICANTES<br />La determinación de áreas de regiones tiene aplicaciones en Economía. En el gráfico se muestran las curvas de oferta y demanda para un producto. Indica el precio p por unidad al cual el fabricante vende (u ofrece) q unidades. También se muestra la curva de demanda para el producto. Indica el precio p por unidad al cual los consumidores adquieren (o demandan) q unidades. El punto q0;p0 en donde estas curvas se cortan se denomina PUNTO DE EQUILIBRIO. Aquí, p0 es el precio por unidad al cual los consumidores adquirirán la misma cantidad q0 de un producto que los fabricantes desean vender a ese precio. En términos breves p0 es el precio al cual ocurre la estabilidad en la relación entre fabricante y consumidor<br />Suponiendo que el mercado se encuentra en equilibrio y que el precio por unidad del producto es p0 de acuerdo con la curva de demanda existen consumidores que estarían dispuestos a pagar MÁS que p0. Por ejemplo, al precio de p1 por unidad los consumidores comprarían q1unidades. Estos consumidores se estarían BENEFICIANDO del menor precio de equilibrio p0<br />La franja vertical tiene un área de p.Δq.Esta expresión puede pensarse también como la cantidad total de dinero que los consumidores gastarían comprando Δq unidades del producto si el precio por unidad fuera p. Debido a que el precio en realidad es p0dichos consumidores gastan sólo p0.Δq en estas Δq unidades y por ello se benefician en la cantidad p.Δq-p0.Δq. Esto puede escribirse como p-p0.Δq que es el área de un rectángulo con anchura Δq y longitud p-p0. Sumando las áreas de todos esos rectángulos de q=0 a q= q0 mediante integración definida, se tiene  <br />0q0p-p0dq<br />Esta integral, en ciertas condiciones, representa la GANANCIA TOTAL para los consumidores que están dispuestos a pagar un precio superior al de equilibrio. A esta ganancia total se le denomina excedente de los consumidores que se anota EC. Si la función de demanda está dada por p = f(q) entonces:<br />EC=0q0f(q)-p0dq<br />En términos geométricos el excedente de los consumidores está representado por el área que se encuentra entre la recta p=p0 y la curva de demanda p=fq    de    q=0 a q=q0<br />Algunos de los fabricantes también obtiene beneficios por el precio de equilibrio ya que están dispuestos a ofrecer el producto a precios INFERIORES  a p0. En ciertas condiciones la GANANCIA total para los fabricantes está representada en términos geométricos por el área que está entre la recta p=p0 y la curva de oferta p=gq  de q=0   a q=q0<br />Esta ganancia se denomina excedente de los fabricantes y se abrevia EF, está dada por:<br />EF=0q0p0-g(q)dq<br />Ejemplo 14: La función de demanda para un producto es p=fq=100-0,05q en donde p es el precio por unidad (en dólares) de q unidades. La función de oferta es p=gq=10+0,1q. Determina el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes cuando el mercado está en equilibrio<br />Ejemplo 15: la ecuación de demanda para un producto es q=fp=90p-2 y la ecuación de oferta es<br /> q=gp=p-1. Calcular el excedente de los fabricantes y de los consumidores cuando se ha establecido el equilibrio del mercado<br />       <br />
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Bloque VI Integrales

  • 1. CONCEPTO DE FUNCIÓN PRIMITIVA<br />Dada una función cualquiera f(x) definida en un intervalo cerrado [a, b] se llama función primitiva de f(x) a otra función F(x) cuya derivada sea f(x) en dicho intervalo. Es decir: F´(x) = f(x) para todo x de [a, b]<br />Ejemplo 1: F(x)= sen x es una primitiva de f(x)= cos x ya que (sen x)’ =cos x<br />Ejemplo 2: Fx=x22 es una primitiva de fx=x ya que x22'=2x2=x<br />PROPIEDAD ELEMENTAL DE LAS FUNCIONES PRIMITIVAS<br />Si F(x) es una primitiva de f(x) y C una constante cualquiera (un número) la función F(x) + C es otra primitiva de f(x)<br />Esto pasa porque la derivada de una constante C cualquiera es cero y porque la suma de las derivadas es la derivada de la suma<br />De esta propiedad se deduce que una función f(x) que tiene una primitiva f(x), tiene infinitas primitivas dadas por F(x) + C (para cualquier “C” perteneciente al conjunto de los números reales)<br />Habíamos dicho que si f(x)= cos x entonces f(x)=sen x es primitiva de f(x)<br />Ahora con esta propiedad podemos decir que F(x) = sen x + 1 también es primitiva de f(x)<br />O bien que F(x)= sen x– 2 también es primitiva de f(x)<br />INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNCIÓN<br />Se llama INTEGRAL INDEFINIDA de una función f(x) al conjunto de todas las primitivas de la función f(x) y se simboliza<br />fxdx<br />Por tanto si F(x) es primitiva de f(x) entonces fxdx=Fx+C<br />Ejemplo 3: Calculemos la integral de fx=1x<br />Para encontrar las funciones primitivas más comunes existe una TABLA DE INTEGRALES DIRECTAS. La misma se anexa al final <br />PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES<br />La integral de una suma o resta de funciones es respectivamente la suma o resta de las integrales de las funciones<br />fx±g(x)dx=fxdx±gxdx<br />La integral de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función<br />k.fxdx=k.fxdx<br />La integral directa más sencilla de todas: k dx=k.x+C<br />Ejemplo 5: Calculemos la siguiente integral 5x+3-exdx<br />INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCIÓN<br />REGLA DE BARROW<br />Si y = f(x) es una función continua en el intervalo [a, b] y F(x) una función definida en [a, b] derivable y primitiva de f(x), es decir F´(x)= f(x) para cualquier x (a, b) entonces<br />abfxdx=Fb-F(a)<br />CONCEPTO DE LA INTEGRAL DEFINIDA<br />La integral definida entre “a” y “b” de una función, representa al área debajo de la curva de la función integrada entre los valores “a” y “b”<br />Ejemplo 6: Calcula el área debajo de la curva fx=x-12 entre x=1 y x=3.Garficar<br />ÁREA ENTRE CURVAS<br />Para calcular el área entre dos curvas, restamos el área de las curvas. Y como límites de integración, usamos las intersecciones entre las curvas<br />Ejemplo 7: Calcula el área entre las curvas fx=x2 y gx=x+2<br />Si restamos al revés las funciones, o si calculamos un área que está por debajo del eje x, nos da un valor negativo, pero correcto, ya que lo que nos interesa es el valor absoluto del área<br />Si queremos calcular el área de una curva entre “a” y “b” y la curva corta al eje x entre esos valores, tenemos que partir la integral en dos partes, desde “a” hasta la raíz y desde la raíz hasta “b” ya que la parte que está debajo del eje x va a dar negativa y la tenemos que sumar, si no partimos la integral, cuando calculamos el área total queda restada la parte que está debajo del eje x en vez de sumada y el valor final del área sería incorrecto<br />MÉTODOS DE INTEGRACIÓN <br />MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN DE VARIABLE<br />Veamos por medio de ejemplos cómo se resuelve<br />Ejemplo 8: 1x+6dx<br />Ejemplo 9: sen3x-1dx<br />MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES<br />Este método se usa cuando tenemos la integral de una función racional y además, el grado del numerador es menor al grado del denominador. Se descompone una fracción en fracciones simples con denominador de raíces reales únicas o raíces reales múltiples<br />Ejemplo 12: 5x+7x2+3x+2dx<br />Ejemplo 13:x+4x2+2x+1dx<br />APLICACIONES A LA ECONOMÍA<br />EXCEDENTES DE CONSUMIDORES Y FABRICANTES<br />La determinación de áreas de regiones tiene aplicaciones en Economía. En el gráfico se muestran las curvas de oferta y demanda para un producto. Indica el precio p por unidad al cual el fabricante vende (u ofrece) q unidades. También se muestra la curva de demanda para el producto. Indica el precio p por unidad al cual los consumidores adquieren (o demandan) q unidades. El punto q0;p0 en donde estas curvas se cortan se denomina PUNTO DE EQUILIBRIO. Aquí, p0 es el precio por unidad al cual los consumidores adquirirán la misma cantidad q0 de un producto que los fabricantes desean vender a ese precio. En términos breves p0 es el precio al cual ocurre la estabilidad en la relación entre fabricante y consumidor<br />Suponiendo que el mercado se encuentra en equilibrio y que el precio por unidad del producto es p0 de acuerdo con la curva de demanda existen consumidores que estarían dispuestos a pagar MÁS que p0. Por ejemplo, al precio de p1 por unidad los consumidores comprarían q1unidades. Estos consumidores se estarían BENEFICIANDO del menor precio de equilibrio p0<br />La franja vertical tiene un área de p.Δq.Esta expresión puede pensarse también como la cantidad total de dinero que los consumidores gastarían comprando Δq unidades del producto si el precio por unidad fuera p. Debido a que el precio en realidad es p0dichos consumidores gastan sólo p0.Δq en estas Δq unidades y por ello se benefician en la cantidad p.Δq-p0.Δq. Esto puede escribirse como p-p0.Δq que es el área de un rectángulo con anchura Δq y longitud p-p0. Sumando las áreas de todos esos rectángulos de q=0 a q= q0 mediante integración definida, se tiene <br />0q0p-p0dq<br />Esta integral, en ciertas condiciones, representa la GANANCIA TOTAL para los consumidores que están dispuestos a pagar un precio superior al de equilibrio. A esta ganancia total se le denomina excedente de los consumidores que se anota EC. Si la función de demanda está dada por p = f(q) entonces:<br />EC=0q0f(q)-p0dq<br />En términos geométricos el excedente de los consumidores está representado por el área que se encuentra entre la recta p=p0 y la curva de demanda p=fq de q=0 a q=q0<br />Algunos de los fabricantes también obtiene beneficios por el precio de equilibrio ya que están dispuestos a ofrecer el producto a precios INFERIORES a p0. En ciertas condiciones la GANANCIA total para los fabricantes está representada en términos geométricos por el área que está entre la recta p=p0 y la curva de oferta p=gq de q=0 a q=q0<br />Esta ganancia se denomina excedente de los fabricantes y se abrevia EF, está dada por:<br />EF=0q0p0-g(q)dq<br />Ejemplo 14: La función de demanda para un producto es p=fq=100-0,05q en donde p es el precio por unidad (en dólares) de q unidades. La función de oferta es p=gq=10+0,1q. Determina el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes cuando el mercado está en equilibrio<br />Ejemplo 15: la ecuación de demanda para un producto es q=fp=90p-2 y la ecuación de oferta es<br /> q=gp=p-1. Calcular el excedente de los fabricantes y de los consumidores cuando se ha establecido el equilibrio del mercado<br /> <br />