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INTRODUCCION AL CALCULO DE PROPOSICIONES Ing. Ignacio Juárez Rúelas
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Concepto de argumento o silogismo Un argumento esta formado de una o mas premisas o enunciados simples y/o compuestos. Y termina con un enunciado simple o compuesto que recibe el nombre de CONCLUSION.
Ejemplo de argumento  P1: Si la demanda crece, entonces las compañías se expanden. P2: Si las compañías se expanden, entonces se contratan trabajadores. -------------------------------------- C : Si la demanda crece, entonces las compañías contratan trabajadores.
Ejemplo 2 P1: Este programa de computadora tiene un error, o la entrada de datos es errónea. p2: La entrada de datos no es errónea. --------------------------------- C: Este programa de computadora tiene un error.
CONEXIONES LOGICAS Y JERARQUIAS En lógica matemática las bases fundamentales para analizar proposiciones compuestas, es conocer como se comportan las conexiones lógicas, de las cuales existen las siguientes: Conjunción, Disyunción, negación, condicional y bicondicional, las que se describen como sigue
CONJUNCION Si unimos dos proposiciones simples y/o compuestas mediante el conectivo “Y” formamos la proposición compuesta llamada  Conjunción .  la que denotamos así p y q  , o en símbolos  p ^ q   En donde la siguiente tabla de verdad muestra como se comporta p q p ^ q v v V v f F f v F f f F
DISYUNCION Si unimos dos proposiciones simples y/o compuestas mediante el conectivo “O” formamos la proposición compuesta llamada  Disyunción .  la que denotamos así p o q  , o en símbolos  p  v  q   En donde la siguiente tabla de verdad muestra como se comporta p q p  v  q v v V v f V f v V f f F
NEGACION Este conectivo es el  único  que se aplica a  una sola  proposición o enunciado. Se usa la palabra “no” para negar una proposición simple. Y usaremos las palabras  “ Es falso que…” para negar un enunciado compuesto. Se denota así “ no p”,  o en símbolos  ~p. La siguiente tabla de verdad ilustra su comportamiento p ~p V F F V
CONDICIONAL Para formar la proposición Condicional usamos el conectivo “Si…entonces…”. En donde los tres puntos indican el lugar de las proposiciones simples y/o compuestas. Denotándose como “ Si p entonces q” en símbolos será p    q La siguiente tabla de verdad muestra como trabaja esta proposición p q p    q V V V V F F F V V F F V
BICONDICIONAL Para formar la proposición Bicondicional usamos el conectivo “…Si y solo si…”. En donde los tres puntos indican el lugar de las proposiciones simples y/o compuestas. Denotándose como “  P si y solo si Q” en símbolos será P <--> Q La siguiente tabla de verdad muestra como trabaja esta proposición P Q P <--> Q V V V V F F F V F F F V
JERARQUIA DE LOS OPERADORES ~ ^ v  <-->
ALGEBRA DECLARATIVA En este subtema vemos: - Uso de las tablas de verdad, para analizar expresiones lógicas y comprobar equivalencias.
ANALISIS DE EXPRESIONES LOGICAS Al analizar expresiones lógicas mediante tablas de verdad nos podemos encontrar con tres posibles resultados: R1: Si la ultima columna de la tabla muestra solo valores de verdad “V” esto es una TAUTOLOGIA. R2: Si la ultima columna de la tabla muestra solo valores de verdad “F” esto es una CONTRADICCION. R3:R2: Si la ultima columna de la tabla muestra valores de verdad “F” y “V” esto es una CONTINGENCIA.
TABLA DE REGLAS DE INFERENCIA A,B  l= A^B Ley de combinación A^B l= B Ley de simplificación A^B l= A Variante de la simplificación A  l= AvB Ley de Adición B  l= AvB Variante de Ley de Adición A, A -> B  l= B Modus Ponens ~B , A -> B  l= ~A Modus Tollens A->B,B->C  l= A->C Silogismo hipotético AvB, ~A l= B Silogismo disyuntivo AvB, ~B l= A Variante de Silogismo disyuntivo A->B,  ~A ->B  l= B Ley de casos A <-> B  l=  A->B Eliminación de la Equivalencia A <-> B  l=  B->A Variante Eliminación de Equivalencia A->B,B->A  l=A<->B Introducción de la Equivalencia A,  ~ A  l= B Ley de Inconsistencia
CALCULO DE PREDICADOS El objetivo del calculo de predicados es mostrar la validez de un argumento o silogismo sin usar el calculo proposicional, en donde para poder lograrlo necesitamos ser capaces de identificar a los  individuos  junto con sus  propiedades y predicados . En general los predicados se utilizan para describir ciertas propiedades o relaciones existentes entre los individuos u objetos. Por ejemplo “Ana y Maria son hermanas” Ana y Maria : son términos Son hermanas: es el Predicado Además de términos y predicados se usan los  cuantificadores  estos indican la frecuencia con la cual es verdadera una cierta frase. De estos se conocen: Cuantificador Universal y Existencial. Cuantificador Universal: indica que una frase siempre es verdadera. Cuantificador Existencial: indica que una frase es verdadera en algunas ocasiones. El calculo de predicados es una extensión del calculo de proposiciones por lo que además de los conceptos de términos, predicados y cuantificadores también forman parte de su lenguaje las proposiciones y las conectivas. En sus manipulaciones algebraicas se usan las  funciones . En los lenguajes de programación el calculo de predicados es su fundamento lógico y en la computadora especifica sus requisitos en las aplicaciones. En la corrección de programas el calculo de predicados nos permite especificar exactamente las condiciones en los programas que dan respuestas correctas.
Calculo de predicados El  universo del discurso o dominio  es la colección personas, ideas, símbolos, estructuras de datos y demás que afectan el argumento lógico que se esta considerando. Los elementos del universo de discurso se denominan  individuos u objetos . Frase: Maria y Pablo son hermanos Frase: Juana es la madre de Maria Frase: Tom es un gato Frase: La suma de 2 y 3 es 5 Predicado  Lista de Argumentos Son hermanos  Maria y Pablo Es un gato  Tom La suma de  2 , 3 y 5 En el  cálculo de predicados cada predicado recibe un nombre que va seguido de una lista de argumentos: Ejemplo: “Juana es la madre de Maria”  se convierte en  Madre(Juana, Maria). El numero de elementos en la lista de argumentos se llama  Aridad . Los predicados de aridad n se denominan predicados de n cifras. Los predicados de una sola cifra de denominan  propiedades .  El nombre de un predicado seguido por una lista de argumentos entre paréntesis se llama  formula atómica . Por ejemplo: Juana es la madre de Maria se puede expresar como madre(Juana, Maria).
CUANTIFICADORES Definición. Sea  A una expresión y x una variable. Si deseamos indicar que A es verdadero para todos los posibles valores de x, escribiremos  x A. Aquí  x se denomina cuantificador universal y A se llama ámbito(alcance) del cuantificador. Se dice que la variable x esta ligada por el cuantificador. El símbolo  se lee “para todo”, “para cada”, “para cualquier”. Definición. Sea  A una expresión y x una variable. Si deseamos indicar que A es verdadero para cuando menos un valor de x, escribiremos  x A.  Esta frase se lee “Existe un x tal que A”, “para algun x tal que A”, “para al menos una x tal que A”. Aquí  x se denomina cuantificador existencial y A se llama ámbito(alcance) del cuantificador. Se dice que la variable x esta ligada por el cuantificador . A A A E E
RESTRICCIONES DE LOS CUANTIFICADORES Si el cuantificador universal tiene que aplicarse solo a individuos con una propiedad dada, se emplea el  condicional (  ) para restringir el universo de discurso. Si restringimos en forma similar al cuantificador existencial se utiliza la  conjunción ( ^) .
PROBLEMAS 1. Expresar las frases siguientes en calculo de predicado. El universo del discurso son todas las personas. a). Si a Maria le gusta Kiko, y a Kiko le gusta Juli, entonces a Maria le gusta Juli. Legusta(x,y): x le gusta y; M,K,J : Maria, Kiko, Juli. Solución:  Legusta(M,K) ^ Legusta(K,J)    Legusta(M,J) o mejor todavía G(M,K) ^ G(K,J)    G(M,J) b) Juan esta muy ocupado pero Beni no Ocupado(x): x esta muy ocupado; J,B: Juan, Beni Solución : Ocupado(J) ^  ~ Ocupado(B) o O(J) ^ ~ O(B) 2. Suponga que el universo del discurso es un conjunto de personas. Traduzca la frase “ Todos los presentes hablan ingles o francés” al calculo de predicados. I(x), (F(x)) : x habla Ingles (Francés) Solución:  x(I(x) v F(x)) A
Cont… 3. En el dominio de los animales, ¿como traduciría las expresiones siguientes? todos los leones son predadores    x(Leon(x)    predador(x)) algunos leones viven en África    x(leon(x) ^ en África(x)) solo rugen los leones   x(ruge(x)    leon(x)) A A E

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Calculo De Proposiciones

  • 1. INTRODUCCION AL CALCULO DE PROPOSICIONES Ing. Ignacio Juárez Rúelas
  • 2. ¿ Que son las proposiciones ? Son afirmaciones que pueden ser VERDADERAS O FALSAS
  • 3. ¿ Cuantos tipos de proposiciones existen ? Proposición simple o atómica Proposición compuesta
  • 4. Concepto de argumento o silogismo Un argumento esta formado de una o mas premisas o enunciados simples y/o compuestos. Y termina con un enunciado simple o compuesto que recibe el nombre de CONCLUSION.
  • 5. Ejemplo de argumento P1: Si la demanda crece, entonces las compañías se expanden. P2: Si las compañías se expanden, entonces se contratan trabajadores. -------------------------------------- C : Si la demanda crece, entonces las compañías contratan trabajadores.
  • 6. Ejemplo 2 P1: Este programa de computadora tiene un error, o la entrada de datos es errónea. p2: La entrada de datos no es errónea. --------------------------------- C: Este programa de computadora tiene un error.
  • 7. CONEXIONES LOGICAS Y JERARQUIAS En lógica matemática las bases fundamentales para analizar proposiciones compuestas, es conocer como se comportan las conexiones lógicas, de las cuales existen las siguientes: Conjunción, Disyunción, negación, condicional y bicondicional, las que se describen como sigue
  • 8. CONJUNCION Si unimos dos proposiciones simples y/o compuestas mediante el conectivo “Y” formamos la proposición compuesta llamada Conjunción . la que denotamos así p y q , o en símbolos p ^ q En donde la siguiente tabla de verdad muestra como se comporta p q p ^ q v v V v f F f v F f f F
  • 9. DISYUNCION Si unimos dos proposiciones simples y/o compuestas mediante el conectivo “O” formamos la proposición compuesta llamada Disyunción . la que denotamos así p o q , o en símbolos p v q En donde la siguiente tabla de verdad muestra como se comporta p q p v q v v V v f V f v V f f F
  • 10. NEGACION Este conectivo es el único que se aplica a una sola proposición o enunciado. Se usa la palabra “no” para negar una proposición simple. Y usaremos las palabras “ Es falso que…” para negar un enunciado compuesto. Se denota así “ no p”, o en símbolos ~p. La siguiente tabla de verdad ilustra su comportamiento p ~p V F F V
  • 11. CONDICIONAL Para formar la proposición Condicional usamos el conectivo “Si…entonces…”. En donde los tres puntos indican el lugar de las proposiciones simples y/o compuestas. Denotándose como “ Si p entonces q” en símbolos será p  q La siguiente tabla de verdad muestra como trabaja esta proposición p q p  q V V V V F F F V V F F V
  • 12. BICONDICIONAL Para formar la proposición Bicondicional usamos el conectivo “…Si y solo si…”. En donde los tres puntos indican el lugar de las proposiciones simples y/o compuestas. Denotándose como “ P si y solo si Q” en símbolos será P <--> Q La siguiente tabla de verdad muestra como trabaja esta proposición P Q P <--> Q V V V V F F F V F F F V
  • 13. JERARQUIA DE LOS OPERADORES ~ ^ v  <-->
  • 14. ALGEBRA DECLARATIVA En este subtema vemos: - Uso de las tablas de verdad, para analizar expresiones lógicas y comprobar equivalencias.
  • 15. ANALISIS DE EXPRESIONES LOGICAS Al analizar expresiones lógicas mediante tablas de verdad nos podemos encontrar con tres posibles resultados: R1: Si la ultima columna de la tabla muestra solo valores de verdad “V” esto es una TAUTOLOGIA. R2: Si la ultima columna de la tabla muestra solo valores de verdad “F” esto es una CONTRADICCION. R3:R2: Si la ultima columna de la tabla muestra valores de verdad “F” y “V” esto es una CONTINGENCIA.
  • 16. TABLA DE REGLAS DE INFERENCIA A,B l= A^B Ley de combinación A^B l= B Ley de simplificación A^B l= A Variante de la simplificación A l= AvB Ley de Adición B l= AvB Variante de Ley de Adición A, A -> B l= B Modus Ponens ~B , A -> B l= ~A Modus Tollens A->B,B->C l= A->C Silogismo hipotético AvB, ~A l= B Silogismo disyuntivo AvB, ~B l= A Variante de Silogismo disyuntivo A->B, ~A ->B l= B Ley de casos A <-> B l= A->B Eliminación de la Equivalencia A <-> B l= B->A Variante Eliminación de Equivalencia A->B,B->A l=A<->B Introducción de la Equivalencia A, ~ A l= B Ley de Inconsistencia
  • 17. CALCULO DE PREDICADOS El objetivo del calculo de predicados es mostrar la validez de un argumento o silogismo sin usar el calculo proposicional, en donde para poder lograrlo necesitamos ser capaces de identificar a los individuos junto con sus propiedades y predicados . En general los predicados se utilizan para describir ciertas propiedades o relaciones existentes entre los individuos u objetos. Por ejemplo “Ana y Maria son hermanas” Ana y Maria : son términos Son hermanas: es el Predicado Además de términos y predicados se usan los cuantificadores estos indican la frecuencia con la cual es verdadera una cierta frase. De estos se conocen: Cuantificador Universal y Existencial. Cuantificador Universal: indica que una frase siempre es verdadera. Cuantificador Existencial: indica que una frase es verdadera en algunas ocasiones. El calculo de predicados es una extensión del calculo de proposiciones por lo que además de los conceptos de términos, predicados y cuantificadores también forman parte de su lenguaje las proposiciones y las conectivas. En sus manipulaciones algebraicas se usan las funciones . En los lenguajes de programación el calculo de predicados es su fundamento lógico y en la computadora especifica sus requisitos en las aplicaciones. En la corrección de programas el calculo de predicados nos permite especificar exactamente las condiciones en los programas que dan respuestas correctas.
  • 18. Calculo de predicados El universo del discurso o dominio es la colección personas, ideas, símbolos, estructuras de datos y demás que afectan el argumento lógico que se esta considerando. Los elementos del universo de discurso se denominan individuos u objetos . Frase: Maria y Pablo son hermanos Frase: Juana es la madre de Maria Frase: Tom es un gato Frase: La suma de 2 y 3 es 5 Predicado Lista de Argumentos Son hermanos Maria y Pablo Es un gato Tom La suma de 2 , 3 y 5 En el cálculo de predicados cada predicado recibe un nombre que va seguido de una lista de argumentos: Ejemplo: “Juana es la madre de Maria” se convierte en Madre(Juana, Maria). El numero de elementos en la lista de argumentos se llama Aridad . Los predicados de aridad n se denominan predicados de n cifras. Los predicados de una sola cifra de denominan propiedades . El nombre de un predicado seguido por una lista de argumentos entre paréntesis se llama formula atómica . Por ejemplo: Juana es la madre de Maria se puede expresar como madre(Juana, Maria).
  • 19. CUANTIFICADORES Definición. Sea A una expresión y x una variable. Si deseamos indicar que A es verdadero para todos los posibles valores de x, escribiremos x A. Aquí x se denomina cuantificador universal y A se llama ámbito(alcance) del cuantificador. Se dice que la variable x esta ligada por el cuantificador. El símbolo se lee “para todo”, “para cada”, “para cualquier”. Definición. Sea A una expresión y x una variable. Si deseamos indicar que A es verdadero para cuando menos un valor de x, escribiremos x A. Esta frase se lee “Existe un x tal que A”, “para algun x tal que A”, “para al menos una x tal que A”. Aquí x se denomina cuantificador existencial y A se llama ámbito(alcance) del cuantificador. Se dice que la variable x esta ligada por el cuantificador . A A A E E
  • 20. RESTRICCIONES DE LOS CUANTIFICADORES Si el cuantificador universal tiene que aplicarse solo a individuos con una propiedad dada, se emplea el condicional (  ) para restringir el universo de discurso. Si restringimos en forma similar al cuantificador existencial se utiliza la conjunción ( ^) .
  • 21. PROBLEMAS 1. Expresar las frases siguientes en calculo de predicado. El universo del discurso son todas las personas. a). Si a Maria le gusta Kiko, y a Kiko le gusta Juli, entonces a Maria le gusta Juli. Legusta(x,y): x le gusta y; M,K,J : Maria, Kiko, Juli. Solución: Legusta(M,K) ^ Legusta(K,J)  Legusta(M,J) o mejor todavía G(M,K) ^ G(K,J)  G(M,J) b) Juan esta muy ocupado pero Beni no Ocupado(x): x esta muy ocupado; J,B: Juan, Beni Solución : Ocupado(J) ^ ~ Ocupado(B) o O(J) ^ ~ O(B) 2. Suponga que el universo del discurso es un conjunto de personas. Traduzca la frase “ Todos los presentes hablan ingles o francés” al calculo de predicados. I(x), (F(x)) : x habla Ingles (Francés) Solución: x(I(x) v F(x)) A
  • 22. Cont… 3. En el dominio de los animales, ¿como traduciría las expresiones siguientes? todos los leones son predadores x(Leon(x)  predador(x)) algunos leones viven en África x(leon(x) ^ en África(x)) solo rugen los leones x(ruge(x)  leon(x)) A A E