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A
A B B A
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B B B
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DIFERENCIACIÓN VECTORIAL
•Derivada de un vector.
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que une el origen de coordenadas
con un punto (x,y,z) cualquiera
del espacio, la derivada de dicho
vector corresponderá a la función
tangente a la curva que describa
el vector posición en su dominio.u 0
dR(u) R(u u) R(u)
lim
du u
r(u) x(u)i y(u) j z(u)k
dr(u) dx(u) dy(u) dz(u)
i j k
du du du du
DERIVADAS PARCIALES
y 0
A A(x,y y,z) A(x,y,z)
lim
y y
z 0
A A(x,y,z z) A(x,y,z)
lim
z z
x 0
A A(x x,y,z) A(x,y,z)
lim
x x
DIFERENCIAL DE UN VECTOR
• Es la variación infinitesimal de las componentes del vector.
x y zdA dA i dA j dA k
d(A B) dA B A dB
x y zA A i A j A k
d(A B) dA B A dB
A A A
dA(x,y,z) dx dy dz
x y z
GEOMETRÍA DIFERENCIAL
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superficies en el espacio.
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definida por
• Su derivada es tangente a
la curva
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está dada por la derivada
de la tangente respecto a la
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de curvatura.
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dr(u)
T
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N
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B T N
dT
N
ds
dB
N
ds
dN
B T
ds
CONCLUSIONES
1. El estudio de los campos escalares y vectoriales son
fundamentales para el diseño y la toma de decisiones
constructivas.
2. El álgebra vectorial puede extenderse al estudio de los campos
escalares y vectoriales con ayuda de los conocimientos de
cálculo.
3. Finalmente, hemos aplicado las operaciones de diferenciación de
vectores, derivadas de vectores y elementos de geometría
diferencial en la resolución de problemas geométricos y físicos
sencillos.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. J. Marsden, A. Tromba. Cálculo Vectorial. Ed. Pearson. 5°
edición. Pág. 1-22; 121-134.

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Campos Escalares y Vectoriales

  • 1. CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES Campos escalares y vectoriales que dependen de una sola variable. Diferenciación total y parcial de un vector. Geometría diferencial
  • 2. EL MAYOR PROBLEMA DEL DISEÑO DEL INVERNADERO PARRAL MULTICAPILLA … http://www.magrama.gob.es/ministerio/pags/Biblioteca/Revistas/pdf_SH%2FSH_2007_15_1079_1086.pdf Falta de una adecuada ventilación natural… ¿Cuál es la magnitud cuyo conocimiento es crítico para resolver el problema? ¿Cómo influye en el diseño óptimo del invernadero?
  • 3. EL MAYOR PROBLEMA DEL DISEÑO DEL INVERNADERO PARRAL MULTICAPILLA …
  • 5. SISTEMAS DE COORDENADAS • Coordenadas cartesianas i j k A  xA yA zA x y zA A i A j A k 2 2 2 x y zA A A A r x i y j zk
  • 6. CAMPOS ESCALARES • Si en cada punto (x,y,z) de una región R del espacio se le puede asociar una función Φ(x,y,z), entonces se ha definido una función escalar Φ en R. • Ejemplo. Temperaturas al interior y exterior de la Tierra: 3 2 (x,y,z) x y z Distribución de temperaturas en una incubadora
  • 7. CAMPOS VECTORIALES • Si en cada punto (x,y,z) de una región R del espacio se le puede asociar un vector V(x,y,z), hemos definido un campo vectorial. • Como V depende del punto, también se llama “función vectorial de posición”. Distribuciones de velocidades en una tubería. • Las velocidades en cada punto (x,y,z) de un fluido determinan un campo vectorial.
  • 8. PRODUCTO ESCALAR • Dados dos vectores, • el producto escalar se define como • Propiedades B A y B A B A B cos A A B B A A (B C) A B A C i j 0 i i 1 k i 0 j k 0 j j 1 k k 1
  • 9. PRODUCTO VECTORIAL A y B C A B A B sen • Propiedades• Dados dos vectores, • el producto vectorial se define como A B C A B B A A (B C) A B A C i j k i i 0 i k j j k i j j 0 k k 0
  • 10. PRODUCTO VECTORIAL • Otra expresión del producto vectorial • ¿A qué es igual el producto vectorial de los vectores A y B? x y z x y z i j k A B A A A B B B A 3 i 2 j 4k B 2 i 2 j k
  • 11. DIFERENCIACIÓN VECTORIAL •Derivada de un vector. Sea R(u) una función de la variable escalar u. •Curvas en el espacio. Si R(u) es un vector posición r(u) que une el origen de coordenadas con un punto (x,y,z) cualquiera del espacio, la derivada de dicho vector corresponderá a la función tangente a la curva que describa el vector posición en su dominio.u 0 dR(u) R(u u) R(u) lim du u r(u) x(u)i y(u) j z(u)k dr(u) dx(u) dy(u) dz(u) i j k du du du du
  • 12. DERIVADAS PARCIALES y 0 A A(x,y y,z) A(x,y,z) lim y y z 0 A A(x,y,z z) A(x,y,z) lim z z x 0 A A(x x,y,z) A(x,y,z) lim x x
  • 13. DIFERENCIAL DE UN VECTOR • Es la variación infinitesimal de las componentes del vector. x y zdA dA i dA j dA k d(A B) dA B A dB x y zA A i A j A k d(A B) dA B A dB A A A dA(x,y,z) dx dy dz x y z
  • 14. GEOMETRÍA DIFERENCIAL • Estudia las curvas y superficies en el espacio. • Si se tiene una curva definida por • Su derivada es tangente a la curva • La medida de la curvatura está dada por la derivada de la tangente respecto a la trayectoria. • Donde κ es la curvatura y su recíproca se llama radio de curvatura. r(u), dr(u) T du dT N ds 1
  • 15. GEOMETRÍA DIFERENCIAL • El vector unitario perpendicular a los vectores T y N se llama binormal. • Fórmulas de frenet-Serret • τ – se llama torsión; y su recíproca (σ), radio de torsión. B T N dT N ds dB N ds dN B T ds
  • 16. CONCLUSIONES 1. El estudio de los campos escalares y vectoriales son fundamentales para el diseño y la toma de decisiones constructivas. 2. El álgebra vectorial puede extenderse al estudio de los campos escalares y vectoriales con ayuda de los conocimientos de cálculo. 3. Finalmente, hemos aplicado las operaciones de diferenciación de vectores, derivadas de vectores y elementos de geometría diferencial en la resolución de problemas geométricos y físicos sencillos.
  • 17. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. J. Marsden, A. Tromba. Cálculo Vectorial. Ed. Pearson. 5° edición. Pág. 1-22; 121-134.