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Moisés Villena Muñoz Desigualdades
152
7
≥
≤
>
<7.1 LEYES
7.2 DESIGUALDADES LINEALES
7.3 DESIGUALDADES CUADRÁTICAS
7.4 DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO
7.5 PROBLEMAS.
Los términos "a lo mucho" y "por lo menos" ya nos daban una idea de las desigualdades
o inecuaciones, la relación de orden de los números, también.
.
Moisés Villena Muñoz Desigualdades
153
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Resuelva desigualdades: lineales, cuadráticas, con fracciones, con valor absoluto.
 Use esquemas críticos para resolver problemas que requieren plantear desigualdades
Las desigualdades también como las ecuaciones constan de dos
miembros, pero dichos miembros están separados por los símbolos de
MAYOR QUÉ, MENOR QUÉ, MAYOR O IGUAL QUÉ, MENOR O IGUAL QUÉ.
Esquemáticamente sería:
A los términos de MAYOR QUÉ y MENOR QUÉ, se los puede mencionar en
sentido relativo, es decir se puede decir que cinco es MAYOR QUE dos ( 25 > ) o
dos MENOR QUE cinco ( 52 < )
7.1 LEYES
1. Si se suma (resta) una misma cantidad a
ambos miembros de una desigualdad, esta no
se altera. Es decir:
Si ba > entonces cbca +>+
para Rc ∈∀
Ejemplo
Si 25 > entonces 3235 +>+ y también 3235 −>−
2. Si se multiplica (divide) una misma
cantidad positiva a ambos miembros de una
desigualdad, esta no se altera. Es decir:
Si ba > entonces cbca ⋅>⋅ para
+
∈∀ Rc
Ejemplo
Si 25 > entonces )3(2)3(5 >
EXPRESION
ALGEBRAICA
≥
≤
>
<
EXPRESION
ALGEBRAICA
Moisés Villena Muñoz Desigualdades
154
3. En cambio, si se multiplica (divide) a
ambos miembros una misma cantidad negativa,
la desigualdad se invierte (cambia de sentido).
Es decir:
Si ba > entonces
cbca ⋅<⋅ para −
∈∀ Rc
Ejemplo
Si 25 > entonces 615)3(2)3(5 −<−≡−<−
Por lo tanto, cuando se cambia de signo a ambos miembros de una
desigualdad se debe cambiar el sentido de la desigualdad porque lo que se
ha hecho es multiplicar por 1− a ambos miembros.
Ejemplo
Si 25 > entonces [ ] [ ]252)1(5)1( −<−≡−<−
Bien, ahora analicemos el desarrollo de la solución de diferentes
tipos de desigualdades.
El conjunto solución de una desigualdad casi siempre es un
intervalo. Pero puede ocurrir otros casos.
7.2 DESIGUALDADES LINEALES
El asunto aquí es muy sencillo. Una vez simplificadas las
expresiones algebraicas que definen a la desigualdad, ésta presenta una
las siguientes formas: 0>+ bax , 0<+ bax , 0≥+ bax , 0≤+ bax .
Ejemplo
Dada la desigualdad: ( )
3
1
6
12
2
1
−<−−
x
xx donde IRx ∈ entonces el INTERVALO
SOLUCIÓN es:
a) [ ]C
0,1− b) )1,( −−∞ c)) )0,1(− d) ),1( +∞− e) }4{−IR
SOLUCIÓN: Un método sería, primero multiplicar cada término de ambos miembros por su 6:... mcm para
eliminar todos los denominadores y luego despejamos “ x ”.
Moisés Villena Muñoz Desigualdades
155
( )
1
23
2636
26)12(3
3
1
6
12
2
1
6
−>≡
<+−≡
−<−−≡
−<−−≡





−<−−
x
x
xxx
xxx
x
xx
Lo cual quiere decir que los números mayores que 1− satisfacen la desigualdad dada. ENTONCES la opción “d” es
la correcta
Ejercicio propuesto 7.1
1. Encuentre el conjunto solución para
3
1
2
34
4
1
3
12 3
5
−
+
≤
+
−
− xxx
, si IRx ∈
7.3 DESIGUALDADES CUADRÁTICAS
Las desigualdades cuadráticas, una vez simplificadas, tienen una
expresión de la forma:
Lo cual nos hace pensar que, de ser posible, una vez expresado el
trinomio en sus factores, tendríamos:
Suponga que 1x y 2x son diferentes. Con la ley de los signos,
concluiríamos en la solución. Sería cuestión de seleccionar el intervalo
donde el producto sea mayor que cero (positivo), menor que cero (negativo),
mayor o igual que cero, menor o igual que cero. Observe que:
( ///////////////////
-1
02
≤
≥
<
>
++ cbxax
( )( )
( )( )
+−
−+
<−−
−−
++
>−−
0
0
21
21
xxxx
xxxx
( )( ) 021
≤
≥
<
>
−− xxxx
Un producto de dos términos es positivo, cuando
los factores tienen el mismo signo.
Un producto de dos términos es negativo cuando
los factores tienen signos diferentes.
Moisés Villena Muñoz Desigualdades
156
En la recta numérica podemos representar el signo resultante del
producto. Primero ubicamos los valores críticos de x , valores para los
cuales cada factor se hace cero. Estos puntos sirven de referencia para
definir los intervalos a considerar. Es decir:
Para [ ]2xxx >∀ (a la derecha de 2x ) tenemos que ( ) ( ) 00 21 >−∧>− xxxx ; por tanto ( )( ) 021 >−− xxxx
Para [ ]21 xxxx <<∀ (entre 1x y 2x ) tenemos que ( ) ( ) 00 21 <−∧>− xxxx ; por tanto ( )( ) 021 <−− xxxx
Para [ ]1xxx <∀ (a la izquierda de 1x ) tenemos que ( ) ( ) 00 21 <−∧<− xxxx ; por tanto ( )( ) 021 >−− xxxx
21 xx
++++++++++−−−−−−−−−−−−−+++++++++++
( )( )21 xxxx −−( )( )21 xxxx −−( )( )21 xxxx −−
2xx >21 xxx <<1xx <
Moisés Villena Muñoz Desigualdades
157
Ejemplo 1
Para la desigualdad 06:)( 2
>−− xxxp
Factorizando tenemos: 0)2)(3( >+− xx .
Queremos saber ¿para qué valores de “ x “ el producto )2)(3( +− xx es positivo?
Ejemplo 2
Si tuviésemos la desigualdad en forma estricta, es decir:
0)2)(3(:)( ≥+− xxxp
Lo mismo que lo anterior, pero en el conjunto solución habrá que incluir a 2− y a 3 porque se quiere también
que la expresión sea cero; entonces:
( )C
xAp 3,2),3[]2,()( −=∞∪−−∞=
Ejemplo 3
En cambio, si tuviésemos la desigualdad en sentido negativo
0)2)(3(:)( <+− xxxp
Ahora escogemos el intervalo donde el producto )2)(3( +− xx es negativo.
Entonces su conjunto solución sería:
)3,2()( −=xAp
+





 −+
/////////////////////
-2 3
PASOS:
1. Ubique los puntos críticos 2− y 3 en
la recta numérica. Los cuales definen
los intervalos generados.
2. Reemplace a “ x ” en la expresión
)2)(3( +− xx por un número cualquiera
mayor a 3 , por un número cualquiera
entre 2− y 3 ; y por un número
cualquiera menor a 2− , para
determinar el signo resultante en
todos los intervalos.
3. Escoga los intervalos donde el
producto es positivo.
Por tanto:
[ ]CxAp 3,2),3()2,()( −=∞∪−−∞=


 ++++++++





 −−−−−−−−


++++++++
//////////////////////////////////
)2)(3( +− xx
-2 3
)2)(3( +− xx)2)(3( +− xx
3>x
>3
32 <<− x2−<x
Moisés Villena Muñoz Desigualdades
158
Ejemplo 4
Veamos ahora , qué pasa si tuviésemos la desigualdad en esta forma:
0)2)(3(:)( >+− xxxp
Para encontrar el conjunto solución disponemos de los siguientes dos métodos:
PRIMER MÉTODO
Directamente, dándole valores a “ x ”, números en los respectivos intervalos, tenemos que el signo del producto
)2)(3( +− xx es:
SEGUNDO MÉTODO
Cambiando de signo a la desigualdad 0)2)(3(0)2)(3( <+−≡<+−− xxxx Buscamos, ahora el
intervalo donde este producto sea negativo
Ejemplo 5
Sea la desigualdad: 032162 2
>+− xx
Dividiendo para 2 y factorizando tenemos:
0)4)(4(
0)4(
0168
032162
2
2
2
>−−
>−
>+−
>+−
xx
x
xx
xx
Observe que:
PREGUNTA: ¿Cómo se obtendrían los conjuntos solución de las desigualdades:
( )( )( ) 0532 >−−+ xxx y ( )( ) ( ) 0532 2
>−−+ xxx ? ¿Qué analogía hay con
lo explicado anteriormente?
Cuando tenemos desigualdades con fracciones, procedemos de igual
manera que para producto, ya que la ley de los signos también es válida
para la división. Sólo debemos tener en cuenta que la división entre cero
no se define.
4
///////////////////////////// 

 +


+ Por tanto su conjunto solución es:
{ } ( ) ( )∞∪−∞=−= ,44,4)( IRxAp
−−−−−





 ++++−−−−−
/////////////////////
-2 3
Escogemos el intervalo donde el producto
)2)(3( +− xx sea positivo. Entonces el
conjunto solución sería: )3,2()( −=xAp
)2)(3( +− xx)2)(3( +− xx)2)(3( +− xx
+





 −+
/////////////////////
-2 3
Entonces su conjunto solución sería:
)3,2()( −=xAp
)2)(3( +− xx)2)(3( +− xx)2)(3( +− xx
Moisés Villena Muñoz Desigualdades
159
Ejemplo 1
Consideremos la desigualdad 0
2
3
:)( ≥
+
−
x
x
xp
Queremos saber para que valores de “ x ”, el cociente de
2
3
+
−
x
x
es positivo o cero. Entonces sobre una recta
numérica representamos los puntos críticos 2− y 3 , y luego determinamos el signo del cociente dándole valores a
“ x ”, números mayores a 3 , números entre 2− y 3 ; y finalmente, números menores a 2− .
PREGUNTA: ¿Cómo proceder con la desigualdad 1
2
3
≥
+
−
x
x
?
Ejemplo 2
Finalmente consideremos la desigualdad 0
34
2
2
2
≥
+−
−−
xx
xx
Factorizando numerador y denominador tenemos 0
)1)(3(
)1)(2(
≥
−−
+−
xx
xx
Necesitamos determinar el intervalo en el cual tomar x , de tal forma que nos garantice que la expresión sea
positiva o cero. Para lo cual, en la recta numérica ubicamos los valores críticos. En los intervalos que se generan,
evalúe “ x ” para un número para cualquiera, y determine el signo resultante de la expresión. Lo cual le resultará:
Se ha observado que:
Si los valores críticos son diferentes entonces
el signo resultante de la expresión será
alternado en los intervalos que se generen.
+
3211
////////////////////////////////
−


 +−





 +−


+ Por lo tanto:
( ] ( ] ( )∞∪∪−−∞= ,32,11,)(xAp
32
///////////////////////////////////////////////////////
−


 +





 −


+
Por tanto:
[ )
[ )CxAp
xAp
3,2)(
,3)2,()(
−=
∞∪−−∞=
NOTE QUE no escogemos a 2−
porque se produciría división entre cero
para este valor de x .
2
3
+
−
x
x
2
3
+
−
x
x
2
3
+
−
x
x
Moisés Villena Muñoz Desigualdades
160
Ejercicios Propuestos 7.2
1. Si Re = R. Encuentre el conjunto solución de las siguientes desigualdades:
a) 0652
<−+ xx b) xx 562
<+ c) 092
>+− x
d) ( ) 01 2
>+xx e) 22
≤+ xx
2. El conjunto solución de la siguiente desigualdad: ,0
3
5
2
≥
+
−
xx
x
Re = R. Es el intervalo:
a) ( ) ( ]503 ,, ∪−∞− b) ( ) [ )∞∪− ,, 503 c) ( ] [ )∞∪− ,, 503
d) [ ) [ )∞∪− ,, 503 e) [ ] ( )∞∪− ,, 503
3. Dada la desigualdad 0
2
2
2
1 2
≥
−
−
x
xx
, donde ( )2=¬ x y IRx ∈ , entonces el CONJUNTO SOLUCIÓN
es el intervalo:
a) ( ] [ )∞∪∞− ,, 40 b) ( ] [ )∞∪∞− ,, 40 c) [ ) [ )∞∪ ,, 420
d) [ ) ( ]4220 ,, ∪ e) ( ] ( )200 ,, ∪∞−
4. Sea la desigualdad 0
3
682 2
≤
−
−+−
x
xx
, considerando Re = IR, entonces el conjunto solución es:
a) ( ] [ )∞∪−∞ ,, 31 b) ( ]1,−∞ c) [ )∞,3 d) ( ]∞,1
e) [ ) ( )∞∪ ,, 331
5. El conjunto solución de la siguiente desigualdad: 5
1
11152
>
−
++
x
xx
Re = R. Es:
a) (−8, −2) ∪ (1, +∞) b) {x/(2<x<8) ∨ (x >1)} c) (-∞, −8) ∪ (−2, 1)
d) {x/(x < −1) ∨ (2 <x <8)} e) ∅
6. El CONJUNTO SOLUCION de la siguiente desigualdad 0
2
54 23
≤
−
−−
x
xxx
es el intervalo:
a) [ ] ( ]5,20,1 ∪− b) ( ) ( )5,20,1 ∪− c)[ ] ( ]5,20,1 −−∪
d) ( ] [ ) [ )∞∪∪−∞− ,52,01, e) ( ] [ )∞∪∞− ,51,
7. El INTERVALO SOLUCIÓN de la desigualdad
x
x
x
x 2
4
2 +
>
−
− , si Re = R , es:
a) (0,4) b) (-4, 4) c) [0, 4] d) [-4, 4]c e) [0, 4]c
Moisés Villena Muñoz Desigualdades
161
7.4 DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO
Como lo que diferencia, en su estructura, a una ecuación con una
desigualdad es el símbolo que separa a sus miembros, entonces para
encontrar el conjunto solución de una desigualdad que contenga valor
absoluto procedemos de igual forma que para las ecuaciones con valor
absoluto.
Es decir, podemos destruir los valores absolutos considerando que
en los valores críticos de las expresiones con valor absoluto, a la izquierda
es negativo y a la derecha es positivo.
En orden progresivo, veamos los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1
Para la desigualdad 2<x podemos observar rápidamente que:
22
22
−>∧<
<−∧<
xx
xx
es
decir 22 <<− x
Ejemplo 2
Si tuviésemos a la desigualdad en este otro sentido 2>x
Aquí en cambio se cumple que
22
22
−<∨>
>−∨>
xx
xx
Ejemplo 3
Considere ahora la desigualdad 21 >−x
Usted puede destruir el valor absoluto rápidamente de la siguiente forma:
31
121112
212
>>−
+>+−>+−
>−>−
x
x
x
Ejemplo 4
Para esta desigualdad 513 ≤−x procedemos de manera semejante al ejemplo anterior, es
decir:
2
3
4
3
6
3
3
3
4
634
1511315
5135
≤≤−
<≤−
<≤−
+≤+−≤+−
≤−≤−
x
x
x
x
x
) (
31
////////////////////
−
( )
22
////////////
−
[ ]
2
3
4
//////////////
−
) (
22
////////////////////////
−
Es decir: 13 −<∨> xx
Moisés Villena Muñoz Desigualdades
162
Existen desigualdades triviales como las siguientes:
Ejemplo 5
Para 013:)( <−xxp
Es obvio que su conjunto solución es φ=)(xAp ¿POR QUÉ?
Ejemplo 6
En cambio para 013:)( ≤−xxp
Su conjunto solución es






=
3
1
)(xAp ¿POR QUÉ?
Ejemplo 7
Si la desigualdad es 013:)( ≥−xxp
Entonces su conjunto solución es IRxAp =)( ¿POR QUÉ?
PREGUNTA: ¿Cúal es el conjunto solución para la desigualdad 013 >−x ?
Ejemplo 8
La desigualdad 513 ≤−x fue resuelta de una manera directa, pero podemos destruir el
valor absoluto igual como lo hacíamos para las ecuaciones
En cambio existen desigualdades con valor absoluto en donde ya no
se pueden destruir los valores absolutos de la manera directa y podemos
emplear lo explicado anteriormente.
[ ]
2
3
1
3
4
/////////////////////////////
5135)13(
−
≤−≤−− xx
2
63
513
≤
≤
≤−
x
x
x
3
4
34
513
−≥
≤−
≤+−
x
x
x
3
1>x
3
1<x
Moisés Villena Muñoz Desigualdades
163
Ejercicio resuelto 1
Si Re = R , entonces el conjunto solución de la desigualdad 2
1
3
≥
−
−
x
x
es :
a) ∅ b) (−∞, −1) ∩ (1,3) c) [3, +∞)c d) (−∞, −1) ∪ (1, 3) e) (1, 5/3]
SOLUCIÓN: Destruyendo el valor absoluto sobre una recta numérica y resolviendo cada desigualdad, tenemos:
Entonces su conjunto solución sería ( ]3
5,1)( =xAp . Por tanto la opción “e” es la correcta
Ejercicio resuelto 2
El intervalo solución de la siguiente desigualdad: 1
32
6
<
−
+
x
x Re = R , es:
a) ( ) ( )∞∪+∞− ,91, b) ( ) ( )∞∪−−∞ ,91, c) ( ) ( )∞∪−∞− ,
2
31, d)( ) ( )∞−∪−∞− ,91,
e) ( ) ( )∞∪∞− ,9
2
3,
SOLUCIÓN: Por la propiedad de valor absoluto, la desigualdad dada es equivalente a:
2
3;326
1
32
6
≠−<+
<
−
+
xxx
x
x
¿Por qué?
Entonces, procediendo de la manera ya explicada, tenemos:
3
3
51
/////////
+





 −+
11
//////////
−
+





 −+
2
1
)3(
≥
−
−−
x
x
2
1
3
≥
−
−
x
x
3
0
1
53
0
1
53
0
1
53
0
1
223
0
1
)1(2)3(
2
1
)3(
≤
−
−
≥
−
−
−
≥
−
+−
≥
−
+−+−
≥
−
−−−−
≥
−
−−
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
x
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
223
0
1
)1(23
2
1
3
≤
−
+
≥
−
+
−
≥
−
−−
≥
−
+−−
≥
−
−−−
≥
−
−
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
x
3
SI son menores a 3 NO son mayores a 3
Moisés Villena Muñoz Desigualdades
164
Entonces el conjunto solución es: opción “b”
Ejercicio resuelto 3
El conjunto solución de la siguiente desigualdad: 0
1
2
2
<
−
+
x
x
, Re = R es:
a) ∅ b) R+ c) R−
d) (−1, 1) e) R − {1}
SOLUCIÓN: Destruyendo el valor absoluto sobre una recta numérica y resolviendo cada desigualdad, tenemos:
Entonces el conjunto solución es: Por tanto la opción “d” es la correcta.
),9()1,()( ∞∪−−∞=xAp
)1,1()( −=xAp
( )
112
/////////)(/////////
0
)1)(1(
2
0
)1)(1(
2
−−
<
−+
+
<
−+
+−
xx
x
xx
x
( )
( )( )
0
11
2
>
−+
+
xx
x
La expresión nunca
es positiva para
este intervalo.
La expresión
( )
( )( )11
2
−+
+
xx
x
es
negativa para 11 <<− x ¿POR QUÉ?
2
3>x
)
9
2
316
////////////////(/////////)/////////////////////////////////////////////////////////
326)32(6)32()6(
−−
−<+−−<+−−<+− xxxxxx
1
33
632
326
)32(6
−<
−<
−<+
+−<+
−−<+
x
x
xx
xx
xx
9
632
326
)32()6(
<
+<+−
+−<−−
−−<+−
x
xx
xx
xx
9
9
632
326
>
−<−
−−<−
−<+
x
x
xx
xx
2
36 <<− x6−<x
Moisés Villena Muñoz Desigualdades
165
Ejercicio resuelto 4
El CONJUNTO SOLUCIÓN de la siguiente desigualdad: 0
1
12
2
≥
+
+−
x
x es el intervalo:
a) ( )1,1− b) ( )+∞∞− , c)[ )+∞,2 d)( )+∞,0 e)( ]2,1−
SOLUCIÓN: Destruyendo el valor absoluto sobre una recta numérica y resolviendo cada desigualdad, tenemos:
Entonces su conjunto solución es: Por lo tanto la opción “b” es la
correcta.
Ejercicios propuestos 7.3
1. Si Re = R. Encuentre el conjunto solución de las siguientes desigualdades:
a) 313 ≥+x b) 412 ≤−x c) 13 −≤− x
d) 023 ≤−+ xx e) 021 ≤+− xx f) 864 <+− xx
g) 123 +<− xx h) xx 53 −≥ i) xx −<− 42
j). xx 341 −≥− k) 0
1
12
≤
−
+
x
x
l) 0
2
1
>
+
+
x
x
2. El conjunto solución de la siguiente desigualdad: 723 ≤− x Re = R.
Es el intervalo:
a) (-∞, −2] ∪ [5, +∞) b) (−5, 5) c) (−∞, −2) ∪ (5, +∞) d) [−2, 5] e) [−5, 2]
3. Sea Re = R y la desigualdad 933 >−x , entonces su conjunto solución es:
a) (-∞, −2] ∪ [4, +∞) b) ( −2, 4) c) (4, +∞)
d) (−∞, −4) ∪ (2, +∞) e) [−2, 4]c
4. Si el conjunto solución de la desigualdad: 52 <− bx es el intervalo (−1,4) entonces el valor de "b" es:
a) 3 b) 4 c) 1 d) 2 e) 5
),()( ∞−∞== IRxAp
2
///////////////////////////////////////////////////////////////
0
1
12
0
1
1)2(
22
≥
+
+−
≥
+
+−−
x
x
x
x
0
1
3
0
1
3
0
1
12
0
1
1)2(
2
2
2
2
≤
+
−
≥
+
+−
≥
+
++−
≥
+
+−−
x
x
x
x
x
x
x
x
Esta expresión
siempre es
negativa para
toda 2≤x
0
1
1
0
12
2
2
≥
+
−
≥
+
+−
x
x
x
x
Esta expresión
es siempre
positiva o cero
para toda 2≥x
Moisés Villena Muñoz Desigualdades
166
5. El CONJUNTO SOLUCIÓN de la siguiente desigualdad: 52 −≥+ xx es el intervalo:
a)





−∞−
2
3
,
b)






∞− ,
2
3 c) C






∞−
2
3
,
d) ( ]2,−∞− e) [ )∞,5
6. Si Re = R, entonces el conjunto solución de la desigualdad 2
1
<
+
x
x
es :
a) {x/x>1 ∨ x< -1/2} c) {x/x>1 ∨ x<0} e) (-1/3, 1)
b) (−∞, 0) ∪ (1/2, 2) d) (−∞, 0) ∪ (1,2)
7. Dada la desigualdad 1
3
>
+
x
x
, donde IRx ∈ y ( )0=¬ x , entonces el CONJUNTO SOLUCIÓN es
el intervalo:
a)






∞,
2
3 b) ( )∞,0 c) ( )∞∪





∞− ,0
2
3
, d)





∞−
2
3
,
e) ( )0,2
2
3
, ∪





∞−
8. Dada la desigualdad 2
3
1
<
+
−
x
x
, donde IRx∈ y ( )3−=¬ x , entonces el conjunto solución es el
intervalo:
a) ( )3,7 −− b) [ ]C
3
5,7 −− c) ( )3
5,3 −− d) [ ]C
3
5,3 −− e) [ ]C
3,3 −−
Moisés Villena Muñoz Desigualdades
167
7.5 PROBLEMAS DE PLANTEOS DE DESIGUALDADES
Para interpretar problemas que involucran plantear desigualdades,
debemos tener en cuenta las siguientes equivalencias:
Y el resto del planteamiento igual como el de las ecuaciones (¿CUÁL ES?
REVÍSELO).
Problema resuelto 1
La señora Ruiz quiere invertir $60.000. Ella puede escoger los bonos emitidos por el
gobierno que ofrecen un interés del 8% o con un mayor riesgo, los bonos hipotecarios
con un 10% de interés. Qué cantidad mínima deberá invertir en bonos hipotecarios de
modo que reciba un GANANCIA anual de al menos $5.500?
SOLUCIÓN:
 A lo menos
 Por lo menos
 Como mínimo
≡ Mayor o igual
≥
 A lo mucho
 Cuando mucho
 A lo máximo
Menor o igual
≤
≡
CONDICIÓN :
GANANCIA 5500≥
DESARROLLO:
( )
35000$
700002
5500004800002
5500
100
848000010
5500
100
8480000
100
10
550060000
100
8
100
10
%8.Re%10.Re
≥
≥
≥+
≥
−+
≥
−
+
≥−+
x
x
x
xx
x
x
xx
alntalnt
  
INCOGNITA:
x = Cantidad de dinero invertida en Bonos Hipotecarios
DATOS:
60000-x =Cant. de dinero invertida en Bonos del
gobierno.
x−60000
%8
BG
x
BH
%10
60000
RESPUESTA:
La señora Ruíz debe invertir al menos $35000 en Bonos Hipotecarios para recibir
la ganancia deseada.
Moisés Villena Muñoz Desigualdades
168
Problema resuelto 2
Si x unidades pueden venderse al precio de $p cada una en donde p + 3x = 100 que
tienen un costo de (250 + 10x) dólares producir las x unidades. Las unidades x que
deben producirse y venderse a fin de obtener una utilidad de al menos $350 es:
a) 10 ≤ x ≤ 20 b) x ≥ 20 c) 5 ≤ x ≤ 25 d) 15 ≤ x ≤ 25 e) x ≤36
SOLUCIÓN:
Problema resuelto 3
Un peluquero atiende en promedio 120 clientes a la semana, cobrándoles $4 por corte.
Por cada incremento de 50 centavos en el precio, el peluquero pierde 8 clientes. Qué
precio máximo deberá fijar para obtener ingresos semanales de al menos $520 ?
SOLUCIÓN:
RESPUESTA: Deben producirse y venderse entre 10 y 20 unidades, es decir 2010 ≤≤ x .
Po tanto la opción “a” es correcta.
INCOGNITA.
=x Cant. unidades producidas y rendidas
DATOS:
≡p precio unitario de venta
1003 =+ xp entonces xp 3100 −=
Costo: xC 10250 +=
CONDICIÓN:
UTILIDAD 350≥
DESARROLLO:
( )
( )
0)10)(20(
020030
30600903
10600903
0350250390
350102503100
350)10250()(3100
350.)(
350
2
2
2
2
2
≤−−
≤+−
÷≤+−
−≥−+−
≥−−−
≥−−−
≥+−−
≥−×
≥−
xx
xx
xx
xx
xx
xxx
xxx
CostosCantprecio
CostosIngresos
2010
///////////
+





 −+
RESPUESTA: Como se ha determinado que hay que realizar entre 2 y 5 incrementos de $0.5 ( 52 ≤≤ x )
en el precio de corte. Escogemos 5=x , el máximo incremento para obtener el precio máximo Por lo tanto:
PRECIO MÁXIMO = x5.04 + = 5.6$)5(5.04 =+
INCOGNITA:
=x Núm. de incrementos de 50 centavos
DATOS:
Núm. Total clientes = 120
Precio. de corte para el Tot. de client. =$ 4
CONDICIÓN:
INGRESOS 520$≥I
DESARROLLO:
( )
[ ]
0)2)(5(
0107
4040284
1040284
052046032480
52046032480
520)8120)(50.04(
)8120)(50.04(
clientes)(#corte)de(PrecioIngresos
2
2
2
2
2
≤−−
≤+−
÷≤+−
−≥−+−
≥−−+−
≥−+−
≥−+
−+=
×=
xx
xx
xx
xx
xxx
xxx
xx
xxI
52
////////////
+





 −+
Moisés Villena Muñoz Desigualdades
169
Problema resuelto 4
La producción y venta de cada ejemplar de un periódico tiene un costo de 25¢. El editor
recibe 20¢ por ejemplar por concepto de ventas y, si además, recibe ingresos por
publicidad equivalentes al 30% de los ingresos sobre ventas más allá de las 20.000
copias. ¿Cuántos ejemplares deberá vender el editor si al menos no desea tener
pérdidas?
a) Al menos 100.000 b) Al menos 120.000 c)Al menos 150.000
d) Al menos 300.000 e) Al menos 60.000
SOLUCIÓN:
Problema resuelto 5
El Vicerrector de asuntos estudiantiles de la ESPOL , está planeando que un grupo
musical realice un concierto en el Campus Universitario. El pago del costo del
concierto lo puede realizar con un pago único de $2440 o un pago $1000 más el 40% de
lo que se obtenga por la venta de las entradas. El calcula que asistirán 800 estudiantes.
¿Cuánto podría cobrar por boleto de modo que la segunda forma de pago no sea más
elevada que el pago único?.
a) A lo más $3 b) A lo más $3.5 c) A lo más $4 d) A lo más $4.5 e)A lo más $5
SOLUCIÓN:
INCOGNITA
=x Núm. ejemplares
DATOS:
COST. DE C/EJEMPLAR = 25 ¢ = $ 25.0
PREC. VENT. DE C/EJEMPLAR = 20¢= $ 20.0
CONDICIÓN:
UTILIDAD: 0≥U
DESARROLLO:
( )[ ] ( )
( )
120000
025120000620
2520000620
10025.02000020.020.0
0
cos
100
30
≥
≥−−+
≥−+
≥−+
≥
≥−
x
xxx
xxx
xxx
CI
CI
tos
publicidad
ventas   
RESPUESTA:
Por lo tanto el editor debe vender al menos 120000 ejemplares. Por tanto, la opción “b” es correcta.
INCOGNITA:
p = Precio de la entrada
DATOS:
PAGO ÚNICO = 2440$
SEGUNDA FORMA PAGO = [ ]p)800(
100
40
1000 +
CONDICIÓN:
SEGUNDA FORMA PAGO ≤ PAGO ÚNICO
DESARROLLO:
[ ]
[ ]
50.4$
14432
10024432
24432100
100024400032000100000
2440)800(
100
40
1000
≤
≤
−≤
≤+
÷≤+
≤+
p
p
p
p
p
p
RESPUESTA:
La entrada debe valer a lo mucho $4.50
Moisés Villena Muñoz Desigualdades
170
Ejercicios Propuestos 7.4
1. Una administradora de negocios desea determinar la diferencia entre los costos de ser propietario y de rentar un
automóvil. Puede rentar un auto por $1620 anuales. Siendo el costo de combustibles por milla recorrida de
$0,05. Si se comprara el auto, el gasto fijo anual sería de $1.000 mientras que $0,10 sería el costo por milla
recorrida. Por lo tanto el número de millas que tendrá que recorrer el auto al año para justificar el rentar en lugar
de comprar será:
a) inferior a 17.300 d) inferior a 12.400
b) superior a 17.300 e) siempre será mejor comprar que rentar.
c) superior a 12.400
2. El fabricante de cierto artículo puede vender todo lo que produce al precio de $60 cada artículo. Gasta $40
en materia prima y mano de obra al producir cada artículo y tiene costos adicionales (fijos) de $3.000 a la
semana en la operación de la planta. Encuentre el número de unidades x que debería producir y vender para
obtener una utilidad de al menos $1.000 a la semana.
3. Un fabricante puede vender todo lo que produce al precio de $15 por unidad. Los costos de materiales y mano
de obra por unidad son de $8 y, además, existen costos fijos de $4.000 por semana. ¿Cuántas unidades x
deberá producir si desea obtener utilidades semanales de al menos $3.000?
4. Si x unidades pueden venderse al precio de $p cada una, donde p=60−x, y tienen un costo de (260 + 12x)
dólares producir las x unidades. Las unidades x que deben producirse y venderse diariamente para obtener una
utilidad de al menos $300 es:
a) 20 ≤ x ≤ 28 b) 23 ≤ x ≤ 30 c) 25 ≤ x ≤ 35 d) 15 ≤ x ≤ 40 e) 22 ≤ x ≤ 34
5. Un artículo se vende a " x−300 " dólares, donde "x" es el número de artículos producidos y vendidos en un mes.
Si su costo variable es $100 por unidad; y mensualmente por alquiler y otros servicios se deben pagar $500,
entonces el número de ARTÍCULOS "x" que deben producirse y venderse para generar una utilidad de por lo
menos $7000, es:
a) 50≤x b) 15050 ≤≤ x c) 150≥x d) 150≤x e) 50≥x
6. Un distribuidor de licores compra whisky a $2 la botella y lo vende a p dólares por botella. El volumen de ventas
x (en cientos de miles de botellas a las semanas) está dado por x= 24 − 2p cuando el precio es p.
a) ¿Qué valor de p arroja un ingreso total de $7 millones por semana? .
b) ¿Qué valores de p dan una utilidad al distribuidor de licores de al menos $4.8 millones por semana?
7. El propietario de un edificio de apartamentos puede alquilar todas las 50 habitaciones si el alquiler es de $150
al mes por habitación. Por cada incremento de $5 en la mensualidad del alquiler, un apartamento quedará
vacante sin posibilidad alguna de alquilarse. Qué alquiler máximo deberá fijarse para obtener un ingreso
mensual de al menos $8.000 ?
8. Bienes Raíces Reales construyó una nueva unidad habitacional con 50 departamentos. Se sabe por
experiencia que si fija un alquiler mensual de $120 por apartamento todos ellos serán ocupados pero por cada
$5 de incremento en el alquiler un apartamento quedará vacante. El valor que deberá fijar por apartamento con
el objeto de que se obtengan ingresos mensuales por lo menos de $6.000, es:
a) $ 260 c) $ 180 e) $ 250
b) $ 265 d) $ 200
9. La producción y venta de cada ejemplar de un periódico tiene un costo de 25 centavos. El editor recibe 20
centavos por ejemplar por concepto de ventas y, si además, recibe ingresos por publicidad equivalentes al 30%
de los ingresos sobre ventas más allá de las 20.000 copias. Cuántos ejemplares deberá vender el editor si
desea por lo menos una ganancia de $1.000 por edición del periódico.
10. La producción de cada ejemplar de un periódico tiene un costo de 18¢. El editor recibe 15¢ por ejemplar por
concepto de ventas y, si además, ingresos por publicidad equivalente al 25% de los ingresos sobre ventas más
allá de las 1.000 copias. Entonces el NÚMERO DE EJEMPLARES (x) que deberá vender el editor si al menos
no desea tener pérdidas es:
a) 000.5≥x b) 000.500≥x c) 000.50≥x d) 000.375≥x e) 000.75≥x
Moisés Villena Muñoz Desigualdades
171
Misceláneos
1. El CONJUNTO SOLUCIÓN de la desigualdad 1
13
2
≥
−
+
x
x
es el intervalo:
a) ( ) [ )∞∪∞− ,, 2
3
3
1 b) [ )∞,2
3 c) ( )3
1
,∞− d) ( ]2
3
3
1
, e) [ ]2
3
3
1
,
2. Una empresa automotriz desea saber si le conviene fabricar sus propias bandas para el ventilador, que ha
estado adquiriendo de proveedores externos a 50.2$ cada unidad. La fabricación de las bandas por la
empresa incrementará sus costos fijos en 1500$ al mes, pero, sólo le costará 70.1$ fabricar cada banda.
¿CUÁNTAS BANDAS debe utilizar la empresa cada mes para justificar la fabricación de sus propias bandas?
a) Más de 1875 . b) Más de 2315 . c) Más de 1530 .
d) Más de 1231. e) Más de 1923 .
3. Sea IR=Re y los predicados 62:)( ≤+nnp y ( )( ) 044:)( 2
<−− nnnq
Entonces el CONJUNTO DE VERDAD del predicado )()( nqnp ∧ es:
a) )(nAp b) )(nAq c) [ ) ( )4,22,8 ∪−− d) ( )4,4 − e) ( )2,−−∞
4. Considerando R=Re , entonces el conjunto solución del predicado 0
1
1
:)(
2
≤
−
+
x
x
xp es:
a) { }0)( =xAp b) ( ]0,)( −∞=xAp c) φ=)(xAp d) RxAp =)( e) [ )∞= ,0)(xAp
5. El ingreso mensual obtenido por la venta de "x" relojes de pulsera será ( )xx 2.040 − dólares. El costo al
mayoreo de cada reloj es de $28. Entonces el número "x" de relojes que deben venderse cada mes para
obtener una ganancia de al menos $100, es.
a) 5010 ≤≤ x b) 50≤x c) 10≥x d) 50≥x e) 5010 ≥≥ x
6. Sea el predicado:
1
2
2
3
23
1
:)(
2
2
−
≥
−
+
+−
−+
xxxx
xx
xp ; IR=Re . Entonces su CONJUNTO SOLUCIÓN
)(xAp es el intervalo:
a) [ ] ( )2,10,2 ∪− b) [ ]C
0,2− c) [ ) ( )∞∪ ,21,0 d) ( )2,−−∞ e) ( ] [ ) ( )∞∪∪−∞− ,21,02,
7. Sea el predicado: 1
1
:)( ≤
−
x
x
xp ; IR=Re . Entonces su CONJUNTO SOLUCIÓN )(xAp es el intervalo:
a) [ )C
2
1,0 b) [ ]2
1,0 c) ( ]0,∞− d)[ )∞,2
1 e) ( )2
1,0
8. Cecilia es propietaria de una tienda de alquiler de video. Ella puede alquilar 100 cassettes de video a la semana
cobrando $5 por cada video. Por cada incremento de $1 en el precio del alquiler, deja de alquilar 10 videos.
Cecilia desea que sus ingresos semanales no sean menores de los ingresos que obtiene con la tarifa de $5,
entonces EL PRECIO MAXIMO DE ALQUILER QUE DEBERÁ FIJAR, es:
a) $5 b)$7.50 c)$15 d)$10 e)$20
9. El CONJUNTO SOLUCIÓN de la desigualdad 3
12
2
≥
+
−
x
x
es el intervalo:
a) ( ]2,2
1
− b) ( ) [ )∞∪−∞− ,2, 2
1 c) ( ] ( )∞−∪−∞− ,1, 2
1
d)) [ )2
1
,1 −− e) ( ]1,2
1
10. Sean R=Re y los predicados: 43:)( ≤−xxp y 04:)( 2
≤+ xxxq
Entonces ( ))()( xqxpA ∧ es el intervalo:
a) [ ]7,4− b) [ ]7,1− c) [ ]0,1− d) ( ) [ )∞∪−∞− ,74, e) ( )0,1−
Moisés Villena Muñoz Desigualdades
172
11. Para producir una unidad de un producto nuevo, una compañía determina que el costo del material es de $2.50
y el de mano de obra $4. Los costos fijos son de $4500. Si el precio de venta del artículo será de $7.40,
entonces el NÚMERO MÍNIMO DE UNIDADES QUE DEBEN SER VENDIDAS PARA QUE LA COMPAÑÍA NO
TENGA PÉRDIDAS es:
a) 5000 b)900 c)500 d)4500 e)9000
12. Sea IR=Re y los predicados 03:)( 2
≤− xxxp y xxxq 23:)( <− entonces el CONJUNTO DE
VERDAD ( ))()( xqxpA ∧ es el intervalo:
a) ( ] [ )∞∪∞− ,30, b) ( ]3,1 c) [ )3,1 d) [ ]3,1 e) ( )∞,1
13. El CONJUNTO SOLUCIÓN de la desigualdad 0
1
22
>
−
−
x
xx
es el intervalo:
a) [ ] [ )∞∪ ,21,0 b) ( ) ( )∞∪− ,10,2 c) ( )∞,0
d) ( ) ( )∞∪ ,21,0 e) ( ] [ )∞∪∞− ,10,
14. El CONJUNTO SOLUCIÓN de la desigualdad
( ) 0
4
2 2
≤
−
−
x
x
es el intervalo:
a) ( )4,−∞ b) { } ( )4,2 −−∞∪ c) ( ] ( )∞∪∞− ,42, d) ( )∞− ,4 e) { } ( )∞∪ ,42
15. Una Empresa produce discos. Si la ecuación de sus costos en una semana es xC 5.1300 += y su ecuación
de rendimiento o ingresos es xR 2= , donde x es el número de discos vendidos en una semana. Entonces
el NÚMERO DE DISCOS que debe vender dicha empresa para OBTENER GANANCIAS, es:
a) Al menos 100 discos.
b) Al menos 150 discos.
c) Al menos 300 discos.
d) Al menos 400 discos.
e) Al menos 600 discos.

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Cap 7 desigualdades

  • 1. Moisés Villena Muñoz Desigualdades 152 7 ≥ ≤ > <7.1 LEYES 7.2 DESIGUALDADES LINEALES 7.3 DESIGUALDADES CUADRÁTICAS 7.4 DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO 7.5 PROBLEMAS. Los términos "a lo mucho" y "por lo menos" ya nos daban una idea de las desigualdades o inecuaciones, la relación de orden de los números, también. .
  • 2. Moisés Villena Muñoz Desigualdades 153 OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:  Resuelva desigualdades: lineales, cuadráticas, con fracciones, con valor absoluto.  Use esquemas críticos para resolver problemas que requieren plantear desigualdades Las desigualdades también como las ecuaciones constan de dos miembros, pero dichos miembros están separados por los símbolos de MAYOR QUÉ, MENOR QUÉ, MAYOR O IGUAL QUÉ, MENOR O IGUAL QUÉ. Esquemáticamente sería: A los términos de MAYOR QUÉ y MENOR QUÉ, se los puede mencionar en sentido relativo, es decir se puede decir que cinco es MAYOR QUE dos ( 25 > ) o dos MENOR QUE cinco ( 52 < ) 7.1 LEYES 1. Si se suma (resta) una misma cantidad a ambos miembros de una desigualdad, esta no se altera. Es decir: Si ba > entonces cbca +>+ para Rc ∈∀ Ejemplo Si 25 > entonces 3235 +>+ y también 3235 −>− 2. Si se multiplica (divide) una misma cantidad positiva a ambos miembros de una desigualdad, esta no se altera. Es decir: Si ba > entonces cbca ⋅>⋅ para + ∈∀ Rc Ejemplo Si 25 > entonces )3(2)3(5 > EXPRESION ALGEBRAICA ≥ ≤ > < EXPRESION ALGEBRAICA
  • 3. Moisés Villena Muñoz Desigualdades 154 3. En cambio, si se multiplica (divide) a ambos miembros una misma cantidad negativa, la desigualdad se invierte (cambia de sentido). Es decir: Si ba > entonces cbca ⋅<⋅ para − ∈∀ Rc Ejemplo Si 25 > entonces 615)3(2)3(5 −<−≡−<− Por lo tanto, cuando se cambia de signo a ambos miembros de una desigualdad se debe cambiar el sentido de la desigualdad porque lo que se ha hecho es multiplicar por 1− a ambos miembros. Ejemplo Si 25 > entonces [ ] [ ]252)1(5)1( −<−≡−<− Bien, ahora analicemos el desarrollo de la solución de diferentes tipos de desigualdades. El conjunto solución de una desigualdad casi siempre es un intervalo. Pero puede ocurrir otros casos. 7.2 DESIGUALDADES LINEALES El asunto aquí es muy sencillo. Una vez simplificadas las expresiones algebraicas que definen a la desigualdad, ésta presenta una las siguientes formas: 0>+ bax , 0<+ bax , 0≥+ bax , 0≤+ bax . Ejemplo Dada la desigualdad: ( ) 3 1 6 12 2 1 −<−− x xx donde IRx ∈ entonces el INTERVALO SOLUCIÓN es: a) [ ]C 0,1− b) )1,( −−∞ c)) )0,1(− d) ),1( +∞− e) }4{−IR SOLUCIÓN: Un método sería, primero multiplicar cada término de ambos miembros por su 6:... mcm para eliminar todos los denominadores y luego despejamos “ x ”.
  • 4. Moisés Villena Muñoz Desigualdades 155 ( ) 1 23 2636 26)12(3 3 1 6 12 2 1 6 −>≡ <+−≡ −<−−≡ −<−−≡      −<−− x x xxx xxx x xx Lo cual quiere decir que los números mayores que 1− satisfacen la desigualdad dada. ENTONCES la opción “d” es la correcta Ejercicio propuesto 7.1 1. Encuentre el conjunto solución para 3 1 2 34 4 1 3 12 3 5 − + ≤ + − − xxx , si IRx ∈ 7.3 DESIGUALDADES CUADRÁTICAS Las desigualdades cuadráticas, una vez simplificadas, tienen una expresión de la forma: Lo cual nos hace pensar que, de ser posible, una vez expresado el trinomio en sus factores, tendríamos: Suponga que 1x y 2x son diferentes. Con la ley de los signos, concluiríamos en la solución. Sería cuestión de seleccionar el intervalo donde el producto sea mayor que cero (positivo), menor que cero (negativo), mayor o igual que cero, menor o igual que cero. Observe que: ( /////////////////// -1 02 ≤ ≥ < > ++ cbxax ( )( ) ( )( ) +− −+ <−− −− ++ >−− 0 0 21 21 xxxx xxxx ( )( ) 021 ≤ ≥ < > −− xxxx Un producto de dos términos es positivo, cuando los factores tienen el mismo signo. Un producto de dos términos es negativo cuando los factores tienen signos diferentes.
  • 5. Moisés Villena Muñoz Desigualdades 156 En la recta numérica podemos representar el signo resultante del producto. Primero ubicamos los valores críticos de x , valores para los cuales cada factor se hace cero. Estos puntos sirven de referencia para definir los intervalos a considerar. Es decir: Para [ ]2xxx >∀ (a la derecha de 2x ) tenemos que ( ) ( ) 00 21 >−∧>− xxxx ; por tanto ( )( ) 021 >−− xxxx Para [ ]21 xxxx <<∀ (entre 1x y 2x ) tenemos que ( ) ( ) 00 21 <−∧>− xxxx ; por tanto ( )( ) 021 <−− xxxx Para [ ]1xxx <∀ (a la izquierda de 1x ) tenemos que ( ) ( ) 00 21 <−∧<− xxxx ; por tanto ( )( ) 021 >−− xxxx 21 xx ++++++++++−−−−−−−−−−−−−+++++++++++ ( )( )21 xxxx −−( )( )21 xxxx −−( )( )21 xxxx −− 2xx >21 xxx <<1xx <
  • 6. Moisés Villena Muñoz Desigualdades 157 Ejemplo 1 Para la desigualdad 06:)( 2 >−− xxxp Factorizando tenemos: 0)2)(3( >+− xx . Queremos saber ¿para qué valores de “ x “ el producto )2)(3( +− xx es positivo? Ejemplo 2 Si tuviésemos la desigualdad en forma estricta, es decir: 0)2)(3(:)( ≥+− xxxp Lo mismo que lo anterior, pero en el conjunto solución habrá que incluir a 2− y a 3 porque se quiere también que la expresión sea cero; entonces: ( )C xAp 3,2),3[]2,()( −=∞∪−−∞= Ejemplo 3 En cambio, si tuviésemos la desigualdad en sentido negativo 0)2)(3(:)( <+− xxxp Ahora escogemos el intervalo donde el producto )2)(3( +− xx es negativo. Entonces su conjunto solución sería: )3,2()( −=xAp +       −+ ///////////////////// -2 3 PASOS: 1. Ubique los puntos críticos 2− y 3 en la recta numérica. Los cuales definen los intervalos generados. 2. Reemplace a “ x ” en la expresión )2)(3( +− xx por un número cualquiera mayor a 3 , por un número cualquiera entre 2− y 3 ; y por un número cualquiera menor a 2− , para determinar el signo resultante en todos los intervalos. 3. Escoga los intervalos donde el producto es positivo. Por tanto: [ ]CxAp 3,2),3()2,()( −=∞∪−−∞=    ++++++++       −−−−−−−−   ++++++++ ////////////////////////////////// )2)(3( +− xx -2 3 )2)(3( +− xx)2)(3( +− xx 3>x >3 32 <<− x2−<x
  • 7. Moisés Villena Muñoz Desigualdades 158 Ejemplo 4 Veamos ahora , qué pasa si tuviésemos la desigualdad en esta forma: 0)2)(3(:)( >+− xxxp Para encontrar el conjunto solución disponemos de los siguientes dos métodos: PRIMER MÉTODO Directamente, dándole valores a “ x ”, números en los respectivos intervalos, tenemos que el signo del producto )2)(3( +− xx es: SEGUNDO MÉTODO Cambiando de signo a la desigualdad 0)2)(3(0)2)(3( <+−≡<+−− xxxx Buscamos, ahora el intervalo donde este producto sea negativo Ejemplo 5 Sea la desigualdad: 032162 2 >+− xx Dividiendo para 2 y factorizando tenemos: 0)4)(4( 0)4( 0168 032162 2 2 2 >−− >− >+− >+− xx x xx xx Observe que: PREGUNTA: ¿Cómo se obtendrían los conjuntos solución de las desigualdades: ( )( )( ) 0532 >−−+ xxx y ( )( ) ( ) 0532 2 >−−+ xxx ? ¿Qué analogía hay con lo explicado anteriormente? Cuando tenemos desigualdades con fracciones, procedemos de igual manera que para producto, ya que la ley de los signos también es válida para la división. Sólo debemos tener en cuenta que la división entre cero no se define. 4 /////////////////////////////    +   + Por tanto su conjunto solución es: { } ( ) ( )∞∪−∞=−= ,44,4)( IRxAp −−−−−       ++++−−−−− ///////////////////// -2 3 Escogemos el intervalo donde el producto )2)(3( +− xx sea positivo. Entonces el conjunto solución sería: )3,2()( −=xAp )2)(3( +− xx)2)(3( +− xx)2)(3( +− xx +       −+ ///////////////////// -2 3 Entonces su conjunto solución sería: )3,2()( −=xAp )2)(3( +− xx)2)(3( +− xx)2)(3( +− xx
  • 8. Moisés Villena Muñoz Desigualdades 159 Ejemplo 1 Consideremos la desigualdad 0 2 3 :)( ≥ + − x x xp Queremos saber para que valores de “ x ”, el cociente de 2 3 + − x x es positivo o cero. Entonces sobre una recta numérica representamos los puntos críticos 2− y 3 , y luego determinamos el signo del cociente dándole valores a “ x ”, números mayores a 3 , números entre 2− y 3 ; y finalmente, números menores a 2− . PREGUNTA: ¿Cómo proceder con la desigualdad 1 2 3 ≥ + − x x ? Ejemplo 2 Finalmente consideremos la desigualdad 0 34 2 2 2 ≥ +− −− xx xx Factorizando numerador y denominador tenemos 0 )1)(3( )1)(2( ≥ −− +− xx xx Necesitamos determinar el intervalo en el cual tomar x , de tal forma que nos garantice que la expresión sea positiva o cero. Para lo cual, en la recta numérica ubicamos los valores críticos. En los intervalos que se generan, evalúe “ x ” para un número para cualquiera, y determine el signo resultante de la expresión. Lo cual le resultará: Se ha observado que: Si los valores críticos son diferentes entonces el signo resultante de la expresión será alternado en los intervalos que se generen. + 3211 //////////////////////////////// −    +−       +−   + Por lo tanto: ( ] ( ] ( )∞∪∪−−∞= ,32,11,)(xAp 32 /////////////////////////////////////////////////////// −    +       −   + Por tanto: [ ) [ )CxAp xAp 3,2)( ,3)2,()( −= ∞∪−−∞= NOTE QUE no escogemos a 2− porque se produciría división entre cero para este valor de x . 2 3 + − x x 2 3 + − x x 2 3 + − x x
  • 9. Moisés Villena Muñoz Desigualdades 160 Ejercicios Propuestos 7.2 1. Si Re = R. Encuentre el conjunto solución de las siguientes desigualdades: a) 0652 <−+ xx b) xx 562 <+ c) 092 >+− x d) ( ) 01 2 >+xx e) 22 ≤+ xx 2. El conjunto solución de la siguiente desigualdad: ,0 3 5 2 ≥ + − xx x Re = R. Es el intervalo: a) ( ) ( ]503 ,, ∪−∞− b) ( ) [ )∞∪− ,, 503 c) ( ] [ )∞∪− ,, 503 d) [ ) [ )∞∪− ,, 503 e) [ ] ( )∞∪− ,, 503 3. Dada la desigualdad 0 2 2 2 1 2 ≥ − − x xx , donde ( )2=¬ x y IRx ∈ , entonces el CONJUNTO SOLUCIÓN es el intervalo: a) ( ] [ )∞∪∞− ,, 40 b) ( ] [ )∞∪∞− ,, 40 c) [ ) [ )∞∪ ,, 420 d) [ ) ( ]4220 ,, ∪ e) ( ] ( )200 ,, ∪∞− 4. Sea la desigualdad 0 3 682 2 ≤ − −+− x xx , considerando Re = IR, entonces el conjunto solución es: a) ( ] [ )∞∪−∞ ,, 31 b) ( ]1,−∞ c) [ )∞,3 d) ( ]∞,1 e) [ ) ( )∞∪ ,, 331 5. El conjunto solución de la siguiente desigualdad: 5 1 11152 > − ++ x xx Re = R. Es: a) (−8, −2) ∪ (1, +∞) b) {x/(2<x<8) ∨ (x >1)} c) (-∞, −8) ∪ (−2, 1) d) {x/(x < −1) ∨ (2 <x <8)} e) ∅ 6. El CONJUNTO SOLUCION de la siguiente desigualdad 0 2 54 23 ≤ − −− x xxx es el intervalo: a) [ ] ( ]5,20,1 ∪− b) ( ) ( )5,20,1 ∪− c)[ ] ( ]5,20,1 −−∪ d) ( ] [ ) [ )∞∪∪−∞− ,52,01, e) ( ] [ )∞∪∞− ,51, 7. El INTERVALO SOLUCIÓN de la desigualdad x x x x 2 4 2 + > − − , si Re = R , es: a) (0,4) b) (-4, 4) c) [0, 4] d) [-4, 4]c e) [0, 4]c
  • 10. Moisés Villena Muñoz Desigualdades 161 7.4 DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO Como lo que diferencia, en su estructura, a una ecuación con una desigualdad es el símbolo que separa a sus miembros, entonces para encontrar el conjunto solución de una desigualdad que contenga valor absoluto procedemos de igual forma que para las ecuaciones con valor absoluto. Es decir, podemos destruir los valores absolutos considerando que en los valores críticos de las expresiones con valor absoluto, a la izquierda es negativo y a la derecha es positivo. En orden progresivo, veamos los siguientes ejemplos: Ejemplo 1 Para la desigualdad 2<x podemos observar rápidamente que: 22 22 −>∧< <−∧< xx xx es decir 22 <<− x Ejemplo 2 Si tuviésemos a la desigualdad en este otro sentido 2>x Aquí en cambio se cumple que 22 22 −<∨> >−∨> xx xx Ejemplo 3 Considere ahora la desigualdad 21 >−x Usted puede destruir el valor absoluto rápidamente de la siguiente forma: 31 121112 212 >>− +>+−>+− >−>− x x x Ejemplo 4 Para esta desigualdad 513 ≤−x procedemos de manera semejante al ejemplo anterior, es decir: 2 3 4 3 6 3 3 3 4 634 1511315 5135 ≤≤− <≤− <≤− +≤+−≤+− ≤−≤− x x x x x ) ( 31 //////////////////// − ( ) 22 //////////// − [ ] 2 3 4 ////////////// − ) ( 22 //////////////////////// − Es decir: 13 −<∨> xx
  • 11. Moisés Villena Muñoz Desigualdades 162 Existen desigualdades triviales como las siguientes: Ejemplo 5 Para 013:)( <−xxp Es obvio que su conjunto solución es φ=)(xAp ¿POR QUÉ? Ejemplo 6 En cambio para 013:)( ≤−xxp Su conjunto solución es       = 3 1 )(xAp ¿POR QUÉ? Ejemplo 7 Si la desigualdad es 013:)( ≥−xxp Entonces su conjunto solución es IRxAp =)( ¿POR QUÉ? PREGUNTA: ¿Cúal es el conjunto solución para la desigualdad 013 >−x ? Ejemplo 8 La desigualdad 513 ≤−x fue resuelta de una manera directa, pero podemos destruir el valor absoluto igual como lo hacíamos para las ecuaciones En cambio existen desigualdades con valor absoluto en donde ya no se pueden destruir los valores absolutos de la manera directa y podemos emplear lo explicado anteriormente. [ ] 2 3 1 3 4 ///////////////////////////// 5135)13( − ≤−≤−− xx 2 63 513 ≤ ≤ ≤− x x x 3 4 34 513 −≥ ≤− ≤+− x x x 3 1>x 3 1<x
  • 12. Moisés Villena Muñoz Desigualdades 163 Ejercicio resuelto 1 Si Re = R , entonces el conjunto solución de la desigualdad 2 1 3 ≥ − − x x es : a) ∅ b) (−∞, −1) ∩ (1,3) c) [3, +∞)c d) (−∞, −1) ∪ (1, 3) e) (1, 5/3] SOLUCIÓN: Destruyendo el valor absoluto sobre una recta numérica y resolviendo cada desigualdad, tenemos: Entonces su conjunto solución sería ( ]3 5,1)( =xAp . Por tanto la opción “e” es la correcta Ejercicio resuelto 2 El intervalo solución de la siguiente desigualdad: 1 32 6 < − + x x Re = R , es: a) ( ) ( )∞∪+∞− ,91, b) ( ) ( )∞∪−−∞ ,91, c) ( ) ( )∞∪−∞− , 2 31, d)( ) ( )∞−∪−∞− ,91, e) ( ) ( )∞∪∞− ,9 2 3, SOLUCIÓN: Por la propiedad de valor absoluto, la desigualdad dada es equivalente a: 2 3;326 1 32 6 ≠−<+ < − + xxx x x ¿Por qué? Entonces, procediendo de la manera ya explicada, tenemos: 3 3 51 ///////// +       −+ 11 ////////// − +       −+ 2 1 )3( ≥ − −− x x 2 1 3 ≥ − − x x 3 0 1 53 0 1 53 0 1 53 0 1 223 0 1 )1(2)3( 2 1 )3( ≤ − − ≥ − − − ≥ − +− ≥ − +−+− ≥ − −−−− ≥ − −− x x x x x x x xx x xx x x 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 223 0 1 )1(23 2 1 3 ≤ − + ≥ − + − ≥ − −− ≥ − +−− ≥ − −−− ≥ − − x x x x x x x xx x xx x x 3 SI son menores a 3 NO son mayores a 3
  • 13. Moisés Villena Muñoz Desigualdades 164 Entonces el conjunto solución es: opción “b” Ejercicio resuelto 3 El conjunto solución de la siguiente desigualdad: 0 1 2 2 < − + x x , Re = R es: a) ∅ b) R+ c) R− d) (−1, 1) e) R − {1} SOLUCIÓN: Destruyendo el valor absoluto sobre una recta numérica y resolviendo cada desigualdad, tenemos: Entonces el conjunto solución es: Por tanto la opción “d” es la correcta. ),9()1,()( ∞∪−−∞=xAp )1,1()( −=xAp ( ) 112 /////////)(///////// 0 )1)(1( 2 0 )1)(1( 2 −− < −+ + < −+ +− xx x xx x ( ) ( )( ) 0 11 2 > −+ + xx x La expresión nunca es positiva para este intervalo. La expresión ( ) ( )( )11 2 −+ + xx x es negativa para 11 <<− x ¿POR QUÉ? 2 3>x ) 9 2 316 ////////////////(/////////)///////////////////////////////////////////////////////// 326)32(6)32()6( −− −<+−−<+−−<+− xxxxxx 1 33 632 326 )32(6 −< −< −<+ +−<+ −−<+ x x xx xx xx 9 632 326 )32()6( < +<+− +−<−− −−<+− x xx xx xx 9 9 632 326 > −<− −−<− −<+ x x xx xx 2 36 <<− x6−<x
  • 14. Moisés Villena Muñoz Desigualdades 165 Ejercicio resuelto 4 El CONJUNTO SOLUCIÓN de la siguiente desigualdad: 0 1 12 2 ≥ + +− x x es el intervalo: a) ( )1,1− b) ( )+∞∞− , c)[ )+∞,2 d)( )+∞,0 e)( ]2,1− SOLUCIÓN: Destruyendo el valor absoluto sobre una recta numérica y resolviendo cada desigualdad, tenemos: Entonces su conjunto solución es: Por lo tanto la opción “b” es la correcta. Ejercicios propuestos 7.3 1. Si Re = R. Encuentre el conjunto solución de las siguientes desigualdades: a) 313 ≥+x b) 412 ≤−x c) 13 −≤− x d) 023 ≤−+ xx e) 021 ≤+− xx f) 864 <+− xx g) 123 +<− xx h) xx 53 −≥ i) xx −<− 42 j). xx 341 −≥− k) 0 1 12 ≤ − + x x l) 0 2 1 > + + x x 2. El conjunto solución de la siguiente desigualdad: 723 ≤− x Re = R. Es el intervalo: a) (-∞, −2] ∪ [5, +∞) b) (−5, 5) c) (−∞, −2) ∪ (5, +∞) d) [−2, 5] e) [−5, 2] 3. Sea Re = R y la desigualdad 933 >−x , entonces su conjunto solución es: a) (-∞, −2] ∪ [4, +∞) b) ( −2, 4) c) (4, +∞) d) (−∞, −4) ∪ (2, +∞) e) [−2, 4]c 4. Si el conjunto solución de la desigualdad: 52 <− bx es el intervalo (−1,4) entonces el valor de "b" es: a) 3 b) 4 c) 1 d) 2 e) 5 ),()( ∞−∞== IRxAp 2 /////////////////////////////////////////////////////////////// 0 1 12 0 1 1)2( 22 ≥ + +− ≥ + +−− x x x x 0 1 3 0 1 3 0 1 12 0 1 1)2( 2 2 2 2 ≤ + − ≥ + +− ≥ + ++− ≥ + +−− x x x x x x x x Esta expresión siempre es negativa para toda 2≤x 0 1 1 0 12 2 2 ≥ + − ≥ + +− x x x x Esta expresión es siempre positiva o cero para toda 2≥x
  • 15. Moisés Villena Muñoz Desigualdades 166 5. El CONJUNTO SOLUCIÓN de la siguiente desigualdad: 52 −≥+ xx es el intervalo: a)      −∞− 2 3 , b)       ∞− , 2 3 c) C       ∞− 2 3 , d) ( ]2,−∞− e) [ )∞,5 6. Si Re = R, entonces el conjunto solución de la desigualdad 2 1 < + x x es : a) {x/x>1 ∨ x< -1/2} c) {x/x>1 ∨ x<0} e) (-1/3, 1) b) (−∞, 0) ∪ (1/2, 2) d) (−∞, 0) ∪ (1,2) 7. Dada la desigualdad 1 3 > + x x , donde IRx ∈ y ( )0=¬ x , entonces el CONJUNTO SOLUCIÓN es el intervalo: a)       ∞, 2 3 b) ( )∞,0 c) ( )∞∪      ∞− ,0 2 3 , d)      ∞− 2 3 , e) ( )0,2 2 3 , ∪      ∞− 8. Dada la desigualdad 2 3 1 < + − x x , donde IRx∈ y ( )3−=¬ x , entonces el conjunto solución es el intervalo: a) ( )3,7 −− b) [ ]C 3 5,7 −− c) ( )3 5,3 −− d) [ ]C 3 5,3 −− e) [ ]C 3,3 −−
  • 16. Moisés Villena Muñoz Desigualdades 167 7.5 PROBLEMAS DE PLANTEOS DE DESIGUALDADES Para interpretar problemas que involucran plantear desigualdades, debemos tener en cuenta las siguientes equivalencias: Y el resto del planteamiento igual como el de las ecuaciones (¿CUÁL ES? REVÍSELO). Problema resuelto 1 La señora Ruiz quiere invertir $60.000. Ella puede escoger los bonos emitidos por el gobierno que ofrecen un interés del 8% o con un mayor riesgo, los bonos hipotecarios con un 10% de interés. Qué cantidad mínima deberá invertir en bonos hipotecarios de modo que reciba un GANANCIA anual de al menos $5.500? SOLUCIÓN:  A lo menos  Por lo menos  Como mínimo ≡ Mayor o igual ≥  A lo mucho  Cuando mucho  A lo máximo Menor o igual ≤ ≡ CONDICIÓN : GANANCIA 5500≥ DESARROLLO: ( ) 35000$ 700002 5500004800002 5500 100 848000010 5500 100 8480000 100 10 550060000 100 8 100 10 %8.Re%10.Re ≥ ≥ ≥+ ≥ −+ ≥ − + ≥−+ x x x xx x x xx alntalnt    INCOGNITA: x = Cantidad de dinero invertida en Bonos Hipotecarios DATOS: 60000-x =Cant. de dinero invertida en Bonos del gobierno. x−60000 %8 BG x BH %10 60000 RESPUESTA: La señora Ruíz debe invertir al menos $35000 en Bonos Hipotecarios para recibir la ganancia deseada.
  • 17. Moisés Villena Muñoz Desigualdades 168 Problema resuelto 2 Si x unidades pueden venderse al precio de $p cada una en donde p + 3x = 100 que tienen un costo de (250 + 10x) dólares producir las x unidades. Las unidades x que deben producirse y venderse a fin de obtener una utilidad de al menos $350 es: a) 10 ≤ x ≤ 20 b) x ≥ 20 c) 5 ≤ x ≤ 25 d) 15 ≤ x ≤ 25 e) x ≤36 SOLUCIÓN: Problema resuelto 3 Un peluquero atiende en promedio 120 clientes a la semana, cobrándoles $4 por corte. Por cada incremento de 50 centavos en el precio, el peluquero pierde 8 clientes. Qué precio máximo deberá fijar para obtener ingresos semanales de al menos $520 ? SOLUCIÓN: RESPUESTA: Deben producirse y venderse entre 10 y 20 unidades, es decir 2010 ≤≤ x . Po tanto la opción “a” es correcta. INCOGNITA. =x Cant. unidades producidas y rendidas DATOS: ≡p precio unitario de venta 1003 =+ xp entonces xp 3100 −= Costo: xC 10250 += CONDICIÓN: UTILIDAD 350≥ DESARROLLO: ( ) ( ) 0)10)(20( 020030 30600903 10600903 0350250390 350102503100 350)10250()(3100 350.)( 350 2 2 2 2 2 ≤−− ≤+− ÷≤+− −≥−+− ≥−−− ≥−−− ≥+−− ≥−× ≥− xx xx xx xx xx xxx xxx CostosCantprecio CostosIngresos 2010 /////////// +       −+ RESPUESTA: Como se ha determinado que hay que realizar entre 2 y 5 incrementos de $0.5 ( 52 ≤≤ x ) en el precio de corte. Escogemos 5=x , el máximo incremento para obtener el precio máximo Por lo tanto: PRECIO MÁXIMO = x5.04 + = 5.6$)5(5.04 =+ INCOGNITA: =x Núm. de incrementos de 50 centavos DATOS: Núm. Total clientes = 120 Precio. de corte para el Tot. de client. =$ 4 CONDICIÓN: INGRESOS 520$≥I DESARROLLO: ( ) [ ] 0)2)(5( 0107 4040284 1040284 052046032480 52046032480 520)8120)(50.04( )8120)(50.04( clientes)(#corte)de(PrecioIngresos 2 2 2 2 2 ≤−− ≤+− ÷≤+− −≥−+− ≥−−+− ≥−+− ≥−+ −+= ×= xx xx xx xx xxx xxx xx xxI 52 //////////// +       −+
  • 18. Moisés Villena Muñoz Desigualdades 169 Problema resuelto 4 La producción y venta de cada ejemplar de un periódico tiene un costo de 25¢. El editor recibe 20¢ por ejemplar por concepto de ventas y, si además, recibe ingresos por publicidad equivalentes al 30% de los ingresos sobre ventas más allá de las 20.000 copias. ¿Cuántos ejemplares deberá vender el editor si al menos no desea tener pérdidas? a) Al menos 100.000 b) Al menos 120.000 c)Al menos 150.000 d) Al menos 300.000 e) Al menos 60.000 SOLUCIÓN: Problema resuelto 5 El Vicerrector de asuntos estudiantiles de la ESPOL , está planeando que un grupo musical realice un concierto en el Campus Universitario. El pago del costo del concierto lo puede realizar con un pago único de $2440 o un pago $1000 más el 40% de lo que se obtenga por la venta de las entradas. El calcula que asistirán 800 estudiantes. ¿Cuánto podría cobrar por boleto de modo que la segunda forma de pago no sea más elevada que el pago único?. a) A lo más $3 b) A lo más $3.5 c) A lo más $4 d) A lo más $4.5 e)A lo más $5 SOLUCIÓN: INCOGNITA =x Núm. ejemplares DATOS: COST. DE C/EJEMPLAR = 25 ¢ = $ 25.0 PREC. VENT. DE C/EJEMPLAR = 20¢= $ 20.0 CONDICIÓN: UTILIDAD: 0≥U DESARROLLO: ( )[ ] ( ) ( ) 120000 025120000620 2520000620 10025.02000020.020.0 0 cos 100 30 ≥ ≥−−+ ≥−+ ≥−+ ≥ ≥− x xxx xxx xxx CI CI tos publicidad ventas    RESPUESTA: Por lo tanto el editor debe vender al menos 120000 ejemplares. Por tanto, la opción “b” es correcta. INCOGNITA: p = Precio de la entrada DATOS: PAGO ÚNICO = 2440$ SEGUNDA FORMA PAGO = [ ]p)800( 100 40 1000 + CONDICIÓN: SEGUNDA FORMA PAGO ≤ PAGO ÚNICO DESARROLLO: [ ] [ ] 50.4$ 14432 10024432 24432100 100024400032000100000 2440)800( 100 40 1000 ≤ ≤ −≤ ≤+ ÷≤+ ≤+ p p p p p p RESPUESTA: La entrada debe valer a lo mucho $4.50
  • 19. Moisés Villena Muñoz Desigualdades 170 Ejercicios Propuestos 7.4 1. Una administradora de negocios desea determinar la diferencia entre los costos de ser propietario y de rentar un automóvil. Puede rentar un auto por $1620 anuales. Siendo el costo de combustibles por milla recorrida de $0,05. Si se comprara el auto, el gasto fijo anual sería de $1.000 mientras que $0,10 sería el costo por milla recorrida. Por lo tanto el número de millas que tendrá que recorrer el auto al año para justificar el rentar en lugar de comprar será: a) inferior a 17.300 d) inferior a 12.400 b) superior a 17.300 e) siempre será mejor comprar que rentar. c) superior a 12.400 2. El fabricante de cierto artículo puede vender todo lo que produce al precio de $60 cada artículo. Gasta $40 en materia prima y mano de obra al producir cada artículo y tiene costos adicionales (fijos) de $3.000 a la semana en la operación de la planta. Encuentre el número de unidades x que debería producir y vender para obtener una utilidad de al menos $1.000 a la semana. 3. Un fabricante puede vender todo lo que produce al precio de $15 por unidad. Los costos de materiales y mano de obra por unidad son de $8 y, además, existen costos fijos de $4.000 por semana. ¿Cuántas unidades x deberá producir si desea obtener utilidades semanales de al menos $3.000? 4. Si x unidades pueden venderse al precio de $p cada una, donde p=60−x, y tienen un costo de (260 + 12x) dólares producir las x unidades. Las unidades x que deben producirse y venderse diariamente para obtener una utilidad de al menos $300 es: a) 20 ≤ x ≤ 28 b) 23 ≤ x ≤ 30 c) 25 ≤ x ≤ 35 d) 15 ≤ x ≤ 40 e) 22 ≤ x ≤ 34 5. Un artículo se vende a " x−300 " dólares, donde "x" es el número de artículos producidos y vendidos en un mes. Si su costo variable es $100 por unidad; y mensualmente por alquiler y otros servicios se deben pagar $500, entonces el número de ARTÍCULOS "x" que deben producirse y venderse para generar una utilidad de por lo menos $7000, es: a) 50≤x b) 15050 ≤≤ x c) 150≥x d) 150≤x e) 50≥x 6. Un distribuidor de licores compra whisky a $2 la botella y lo vende a p dólares por botella. El volumen de ventas x (en cientos de miles de botellas a las semanas) está dado por x= 24 − 2p cuando el precio es p. a) ¿Qué valor de p arroja un ingreso total de $7 millones por semana? . b) ¿Qué valores de p dan una utilidad al distribuidor de licores de al menos $4.8 millones por semana? 7. El propietario de un edificio de apartamentos puede alquilar todas las 50 habitaciones si el alquiler es de $150 al mes por habitación. Por cada incremento de $5 en la mensualidad del alquiler, un apartamento quedará vacante sin posibilidad alguna de alquilarse. Qué alquiler máximo deberá fijarse para obtener un ingreso mensual de al menos $8.000 ? 8. Bienes Raíces Reales construyó una nueva unidad habitacional con 50 departamentos. Se sabe por experiencia que si fija un alquiler mensual de $120 por apartamento todos ellos serán ocupados pero por cada $5 de incremento en el alquiler un apartamento quedará vacante. El valor que deberá fijar por apartamento con el objeto de que se obtengan ingresos mensuales por lo menos de $6.000, es: a) $ 260 c) $ 180 e) $ 250 b) $ 265 d) $ 200 9. La producción y venta de cada ejemplar de un periódico tiene un costo de 25 centavos. El editor recibe 20 centavos por ejemplar por concepto de ventas y, si además, recibe ingresos por publicidad equivalentes al 30% de los ingresos sobre ventas más allá de las 20.000 copias. Cuántos ejemplares deberá vender el editor si desea por lo menos una ganancia de $1.000 por edición del periódico. 10. La producción de cada ejemplar de un periódico tiene un costo de 18¢. El editor recibe 15¢ por ejemplar por concepto de ventas y, si además, ingresos por publicidad equivalente al 25% de los ingresos sobre ventas más allá de las 1.000 copias. Entonces el NÚMERO DE EJEMPLARES (x) que deberá vender el editor si al menos no desea tener pérdidas es: a) 000.5≥x b) 000.500≥x c) 000.50≥x d) 000.375≥x e) 000.75≥x
  • 20. Moisés Villena Muñoz Desigualdades 171 Misceláneos 1. El CONJUNTO SOLUCIÓN de la desigualdad 1 13 2 ≥ − + x x es el intervalo: a) ( ) [ )∞∪∞− ,, 2 3 3 1 b) [ )∞,2 3 c) ( )3 1 ,∞− d) ( ]2 3 3 1 , e) [ ]2 3 3 1 , 2. Una empresa automotriz desea saber si le conviene fabricar sus propias bandas para el ventilador, que ha estado adquiriendo de proveedores externos a 50.2$ cada unidad. La fabricación de las bandas por la empresa incrementará sus costos fijos en 1500$ al mes, pero, sólo le costará 70.1$ fabricar cada banda. ¿CUÁNTAS BANDAS debe utilizar la empresa cada mes para justificar la fabricación de sus propias bandas? a) Más de 1875 . b) Más de 2315 . c) Más de 1530 . d) Más de 1231. e) Más de 1923 . 3. Sea IR=Re y los predicados 62:)( ≤+nnp y ( )( ) 044:)( 2 <−− nnnq Entonces el CONJUNTO DE VERDAD del predicado )()( nqnp ∧ es: a) )(nAp b) )(nAq c) [ ) ( )4,22,8 ∪−− d) ( )4,4 − e) ( )2,−−∞ 4. Considerando R=Re , entonces el conjunto solución del predicado 0 1 1 :)( 2 ≤ − + x x xp es: a) { }0)( =xAp b) ( ]0,)( −∞=xAp c) φ=)(xAp d) RxAp =)( e) [ )∞= ,0)(xAp 5. El ingreso mensual obtenido por la venta de "x" relojes de pulsera será ( )xx 2.040 − dólares. El costo al mayoreo de cada reloj es de $28. Entonces el número "x" de relojes que deben venderse cada mes para obtener una ganancia de al menos $100, es. a) 5010 ≤≤ x b) 50≤x c) 10≥x d) 50≥x e) 5010 ≥≥ x 6. Sea el predicado: 1 2 2 3 23 1 :)( 2 2 − ≥ − + +− −+ xxxx xx xp ; IR=Re . Entonces su CONJUNTO SOLUCIÓN )(xAp es el intervalo: a) [ ] ( )2,10,2 ∪− b) [ ]C 0,2− c) [ ) ( )∞∪ ,21,0 d) ( )2,−−∞ e) ( ] [ ) ( )∞∪∪−∞− ,21,02, 7. Sea el predicado: 1 1 :)( ≤ − x x xp ; IR=Re . Entonces su CONJUNTO SOLUCIÓN )(xAp es el intervalo: a) [ )C 2 1,0 b) [ ]2 1,0 c) ( ]0,∞− d)[ )∞,2 1 e) ( )2 1,0 8. Cecilia es propietaria de una tienda de alquiler de video. Ella puede alquilar 100 cassettes de video a la semana cobrando $5 por cada video. Por cada incremento de $1 en el precio del alquiler, deja de alquilar 10 videos. Cecilia desea que sus ingresos semanales no sean menores de los ingresos que obtiene con la tarifa de $5, entonces EL PRECIO MAXIMO DE ALQUILER QUE DEBERÁ FIJAR, es: a) $5 b)$7.50 c)$15 d)$10 e)$20 9. El CONJUNTO SOLUCIÓN de la desigualdad 3 12 2 ≥ + − x x es el intervalo: a) ( ]2,2 1 − b) ( ) [ )∞∪−∞− ,2, 2 1 c) ( ] ( )∞−∪−∞− ,1, 2 1 d)) [ )2 1 ,1 −− e) ( ]1,2 1 10. Sean R=Re y los predicados: 43:)( ≤−xxp y 04:)( 2 ≤+ xxxq Entonces ( ))()( xqxpA ∧ es el intervalo: a) [ ]7,4− b) [ ]7,1− c) [ ]0,1− d) ( ) [ )∞∪−∞− ,74, e) ( )0,1−
  • 21. Moisés Villena Muñoz Desigualdades 172 11. Para producir una unidad de un producto nuevo, una compañía determina que el costo del material es de $2.50 y el de mano de obra $4. Los costos fijos son de $4500. Si el precio de venta del artículo será de $7.40, entonces el NÚMERO MÍNIMO DE UNIDADES QUE DEBEN SER VENDIDAS PARA QUE LA COMPAÑÍA NO TENGA PÉRDIDAS es: a) 5000 b)900 c)500 d)4500 e)9000 12. Sea IR=Re y los predicados 03:)( 2 ≤− xxxp y xxxq 23:)( <− entonces el CONJUNTO DE VERDAD ( ))()( xqxpA ∧ es el intervalo: a) ( ] [ )∞∪∞− ,30, b) ( ]3,1 c) [ )3,1 d) [ ]3,1 e) ( )∞,1 13. El CONJUNTO SOLUCIÓN de la desigualdad 0 1 22 > − − x xx es el intervalo: a) [ ] [ )∞∪ ,21,0 b) ( ) ( )∞∪− ,10,2 c) ( )∞,0 d) ( ) ( )∞∪ ,21,0 e) ( ] [ )∞∪∞− ,10, 14. El CONJUNTO SOLUCIÓN de la desigualdad ( ) 0 4 2 2 ≤ − − x x es el intervalo: a) ( )4,−∞ b) { } ( )4,2 −−∞∪ c) ( ] ( )∞∪∞− ,42, d) ( )∞− ,4 e) { } ( )∞∪ ,42 15. Una Empresa produce discos. Si la ecuación de sus costos en una semana es xC 5.1300 += y su ecuación de rendimiento o ingresos es xR 2= , donde x es el número de discos vendidos en una semana. Entonces el NÚMERO DE DISCOS que debe vender dicha empresa para OBTENER GANANCIAS, es: a) Al menos 100 discos. b) Al menos 150 discos. c) Al menos 300 discos. d) Al menos 400 discos. e) Al menos 600 discos.