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Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
266
10
10.1 FUNCIÓN EXPONENCIAL
10.2 FUNCIÓN LOGARÍTMICA
10.3 PROPIEDADES DE LOS LOGARÍTMOS
10.4 ECUACIONES EXPONENCIALES
10.5 ECUACIONES LOGARÍTMICAS.
10.6 PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Otras funciones de variable real importantes que merecen un
capítulo aparte son las Exponenciales y las Logarítmicas. Así como también
las propiedades de los logaritmos permitirán resolver otras situaciones, no
sólo aquí sino también en otros cursos.
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
267
83
42
21
10
1
2
3
2
1
4
1
8
1
−
−
−
yx
TABLA DE VALORES
x
y 2=
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Defina y caracterice la función exponencial y la función logarítmica.
 Represente en el plano cartesiano el gráfico de funciones exponenciales y logarítmicas dadas sus reglas de
correspondencia.
 Aplique las propiedades de los exponentes y los logaritmos para simplificar expresiones y resolver ecuaciones
exponenciales y logarítmicas..
 Use esquemas críticos para resolver problemas de aplicación de los logaritmos.
10.1 FUNCIÓN EXPONENCIAL
Una función f , de variable real, se la
denomina FUNCIÓN EXPONENCIAL si y sólo
si su regla de correspondencia es de la forma:
Ejemplo 1
Sea
x
xf 2)( = . Tracemos su gráfica, con la ayuda de una tabla de valores
Conclusiones:
En la función exponencial
x
ay = donde 1>a , se cumple que:
 Es una función CRECIENTE
 Su gráfica tiene como asíntota al eje “ x ” (¿QUÉ ES UNA ASÍNTOTA?)
 IRfDom =)(
 ( )∞= ,0)( fRg
BASE
EXPONENTE
x
axf =)( donde 10 ≠∧> aa
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
268
Estas conclusiones pueden variar si la función exponencial ya no es
de la forma básica.
Observe que: ∞=∞
2 donde ≡∞ cantidad muy grande; y por lo tanto
0
2
1
2 ≈=
∞
∞−
Ejemplo 2
Tracemos ahora la gráfica de
x
x
y −
=





= 2
2
1
. Con la ayuda de una tabla de valores
Conclusiones:
En la función exponencial
x
ay = donde 10 << a , se cumple que:
 Es una función DECRECIENTE
 Su gráfica tiene como asíntota al eje “ x ”
 IRfDom =)(
 ( )∞= ,0)( fRg
Existe una base utilizada frecuentemente, esta es la base ea = .
Algunas gráficas, empleando esta base son:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 75.03
25.02
5.01
10
21
42
83
3
2
1
2
2
1
1
2
1
0
2
1
1
2
1
2
2
1
3
2
1
=
=
=
=
=−
=−
=−
−
−
−
yx
TABLA DE VALORES
x
x
y −
=





= 2
2
1
x
ey =
x
ey −
=
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
269
Considerando definiciones anteriores para estas gráficas, tenemos:
1−
= x
ey
11
−= −x
ey
11
−= −x
ey
x
ey =
x
ey −
=




<
≥
== −
0;
0;
xe
xe
ey x
x
x
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
270
Ejemplo
Graficar: 3
2
1
)(
1
−





=
+x
xf
Considere la gráfica de ( )x
y 2
1
=
Trasládela una unidad a la izquierda, luego tres unidades hacia abajo y de allí obtenga su valor
absoluto. Es decir:
x
ey
−
=
1−−
=
x
ey
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
271
Ejercicio Propuesto 10.1
Graficar:
1. 1
2 −−
= x
y
2. ( ) 11 −−
=
x
e
y
3.
1
2
−−
=
x
y
4. x
y −
= 1
2
5.
x
y
−
=
1
2
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
272
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
273
10.2 FUNCIÓN LOGARÍTMICA
A la función inversa de la función exponencial,
definida biyectiva ( +
RRax
: ), se la llama
FUNCION LOGARITMICA.. Y su regla de
correspondencia en su expresión básica es de la
forma:
xxf alog)( = donde
10 ≠∧> aa
Con respecto a su gráfica tenemos:
Conclusiones:
La función logarítmica xxf alog)( = donde 1>a
 Es una función CRECIENTE
 ( ) ( )∞= ,0log xDom a . Aquí surge una nueva restricción: 0>x (logarítmo de números negativos no se define)
 ( ) IRxrg a =log
 Su gráfica tiene como asíntota al eje “ y ”
En cambio,
10;log <<= axy a
10; <<= aay x
1; >= aay x
1);(log >= axy a
0)1(log =a
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
274
Esta es una función DECRECIENTE.
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
275
Si ea = tenemos la función LOGARITMO NATURAL
Si 10=a , tenemos:
Pero la gráfica para
e
a 1= sería:
xy e
1log=
xxy loglog10 ==
xxy e lnlog ==
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
276
Aplicando definiciones anteriores, por ejemplo desplazamiento
horizontal, tenemos:
Observemos una grafica interesante:
Entonces la gráfica de xy ln= sería:
)1ln( += xy
)ln( xy −=



<−
>
==
0;)ln(
0;ln
ln
xx
xx
xy
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
277
Ejercicio Propuesto 10.2
Graficar:
1. ( )xy −= 2log
2
1
2. ( )xy −= 2log
3. ( )xy −= 2log
2
1
4. 2log −= xy
5. 2log
2
1 −= xy
Analicemos ahora el siguiente ejercicio:
Ejercicio Resuelto
Sea
)3log(
)(
2
1
x
x
xf
−
= . Hallar su máximo dominio posible.
SOLUCIÓN:
La regla de correspondencia
)3log(
)(
x
x
xf
−
= presenta las restricciones:
0)3(0)3log(0 >−∧≠−∧≥ xxx
Entonces:
Por lo tanto el máximo dominio posible es el intervalo [ ) ( )3,22,0 ∪
Ejercicios Propuestos 10.3
1. Graficar :
a) ( ) 12-x3log)( +=xf ; x>2
b) ( )12log2)( +−= xxf ; x>-1
c) ( ) 1x-2ln)( +−=xf
2. El rango de la función: Rx;24)( ∈−−= xxf es el intervalo:
a) ( )0,−∞ b) ( )+∞,4 c) ( )+∞,0 d) ( )4,−∞ e) ( )4,1−
3. Si f es una función tal que 3
1
2)( −
+−
=
x
xf , con x∈R, entonces el rango de f es:
a) ( ]2,3 −− b) R+ c) ( )+∞− ,3 d) ( )3,−−∞ e) ( )0,3−
4. Dada la función de variable real ( ) xxf −= 10log , entonces el MAXIMO DOMINIO POSIBLE de la función es:
a) ( )∞,10 b) ( )10,−∞ c) ( )∞− ,10 d) [ )∞,10 e) ( ]10,−∞
[ ) ///////////////////////////// ×××××××××××××
0 1 2 3
O
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
278
5. Sea la función RRf →: con regla de correspondencia : ( )
( )
( )




>+−
≤<−−
−≤−
=
01
0112
1log
xx
xx
xx
xf
entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) f es sobreyectiva. b) f es biyectiva. c) f es una función decreciente.
d) ( ) 43 −=f . e) f es una función impar.
6. Sea ( )




<−
≥−
=
1;1
1;12
xx
xx
xf y ( ) xxg 3= , IRx∈ entonces es FALSO que:
a) ( )( ) 11 =fg b) ( )( ) 81 =gf c) ( )( )( ) 81 =gfg
d) ( )( )( ) 01 =fgf e) ( )( ) 00 =gf
10.3 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
Existen expresiones algebraicas que contienen logaritmos. Para
simplificarlas debemos considerar sus propiedades.
1. 01log =a
2. xa xa =log
donde 0>x
Ejemplos:
 ( ) 132 213log 2
2 ++=++
xxxx
para 0132
>++ xx
 ( ) 1212ln
+=+
xe x
para 012 >+x
3. xax
a =)(log
4. 1log =aa
5. ( ) [ ]MM aa loglog αα
=
Ejemplo : Para calcular 8log2 ; a 8 lo expresamos en término de 2 , para
poder aplicar las propiedades. Es decir: 32log32log8log 2
3
22 ===
6. ( ) NMMN aaa logloglog +=
Ejemplo: 5log2log)52(log10log aaaa +=×=
7. NM
N
M
aaa logloglog −=





Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
279
8. Cambio de base
a
M
M
b
b
a
log
log
log =
No olvide de justificar todas estas propiedades.
Ejercicio resuelto 1
Despejar “ x ” si )(log
2
1 xy −=
Solución:
Poniendo cada miembro como exponente de la base 2
1
y aplicando propiedades,
tenemos
x
xy
y
xy
−=











=





−=
−
2
1
2
1
2
1
)(log
)(log
2
1
2
1
Entonces: ( )y
x 2
1−=
Ejercicio resuelto 2
Despejar “ x ” si
x
y 3=
SOLUCIÓN:
Aplicando logaritmo en base 3 a ambos miembros y luego aplicando propiedades,
tenemos ( )
3loglog
3loglog
3
33
33
xy
y
y
x
x
=
=
=
Entonces yx 3log=
Ejercicio resuelto 3
Calcular: 





−





+





125
16
log2
27
6
log
25
36
log3
3
Solución: Descomponiendo los números en sus factores primos y aplicando propiedades tenemos:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2log
5log62log83log62log35log63log62log6
5log62log83log62log35log6)32log(6
5log62log83log62log35log66log6
5log32log423log2log35log26log23
5log2log29log2log35log6log3
125log16log2
9
2
log325log36log3
125
16
log2
27
6
log
25
36
log3
2
3422
3
=
+−−+−+=
+−−+−×=
+−−+−=
−−−+−=
−−−+−=
−−





+−=





−





+





Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
280
Ejercicio resuelto 4
Si 2log =xa , entonces al SIMPLIFICAR la expresión:
( ) ( ) a
y
x
xy
yx aa log
log
3
1
log2log
3
64
2






−








+ se obtiene:
a) -1 b) -2 c)-3 d) -4 e) -5
Solución: Aplicando propiedades, tenemos:
( ) ( )
( ) ( )[ ]
( ) [ ]
4
)2(2
log2
log3log3loglog6log3log2
log3log3loglog6
2
log6log4
loglog3loglog2
log2
loglog
10log
log
10log
log
3log1log2
log
log
log
log
3
1
log2log
2
1
2
3
64
3
2
64
10
10
3
64
−=
−=
−=
+−−−+=
+−−−
+
=
−−



 +−
+
=




























−−+=








−








+
x
yxxyyx
yxxy
yx
yxxy
a
yx
a
y
x
xy
a
yx
a
y
x
xy
yx
a
aaaaaa
aaaa
aa
aaaa
a
aa
a
a
a
a
aa
a
a
aa
Por lo tanto la opción “d” es correcta.
Ejercicio resuelto 5
Despejar ""t en la ecuación










−= w
zt
e
z
x
y
2
1
SOLUCIÓN: Una opción sería despejar la exponencial e , para de ahí aplicar logaritmo





 −
=
−
=
−=
−=−










−=
x
zyx
e
w
zt
x
zyx
e
x
zy
e
e
x
yz
e
z
x
y
w
zt
w
zt
w
zt
w
zt
lnln
lnln
1
1
1
2
2
2
2
2
entonces:
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]xzyx
z
w
t
xzyx
z
w
t
w
z
xzyx
t
xzyx
w
zt
lnln
lnln
lnln
lnln
2
2
2
−−=
−−=
−−
=
−−=
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
281
Ejercicios Propuestos 10.4
1. Al simplificar la expresión algebraica: 0a;1
4 33 2
≠=− yx
aa
se obtiene la ecuación de una recta de la cual podemos afirmar que:
a) su pendiente es 4 d) el punto (2,1) pertenece a la recta
b) su pendiente es 4/9 e) su pendiente es -4/9
c) la intersección con el eje de las “Y” es 8
2. El resultado de la operación: 





+





+





80
81
log3
24
25
log5
15
16
log7 es:
a) log 3 b) log 5 c) 1 d) log 2 e) 0
3. Si 48log3alogy4log ayxa +== , entonces el valor de:
( )( ) 







423
54
log
yx
yx
a es:
a) 6 + 2 loga 48 b) 2 loga 48 c) 6 − loga 48 d) 0 e) 6
4. Si ,2/37blog;4/2log aab == siendo b ∈ R−{1}, a∈R+, entonces
el valor de ,2128log 




 − abb es: a) a b) 2 a c) 4 a d) 1 e) 1−2 a
5. Si ln 2= 0,693 y ln 3 = 1,099 calcule:
a) ln (1,5) b) ln (48) c) log9 (24)
6. Para la expresión: ( ) ,12loglog22log +−− yxyx con x,y∈R−{0} una expresión equivalente
es: a) )4/log( yx b) 4log1 y− c) 10 d) 




 −410log y e) 14log −




 y
7. Hallar el 65log si α=3100log y β=2100log
8. Al despejar el valor de "k" en la expresión: k
c
ba
3
2
10 = se obtiene:
a)












=
ba
c
k
2
310
c) 3loglog2alog cbk −−=
b) c3logblog+alog2 −=k d) c3logb2log+alog2 −=k e) c3log+b2logalog −=k
9. Al despejar "n" de la ecuación:
nk
k
R
CM 





+=
100
1 se obtiene si R>0, k>0, C>0, M>0
a)
( ) ]log100[log
loglog
kRkk
CM
n
−+
−
= d)
]Rlogk[log
loglog
+
−
=
k
CM
n
b)
( ) ]loglog100[log
loglog
kRkk
CM
n
−+
−
= e)
( ) ]2log100[log
loglog
+−+
−
=
kRkk
CM
n
c)
( ) ]2log100[log
loglog
−−+
−
=
kRkk
CM
n
10. Sea x, y ∈ R. Al despejar y en la siguiente ecuación:
ye
xe
xe
=
+− )12(
2
se obtiene:
a) y = x + 1 b) y = (x + 2)2 c) y = (x + 1)2 d) y = x2 + 3x +2
e) Elija esta opción si ninguna corresponde a y.
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
282
Ahora analicemos lo siguiente:
Ejercicio Resuelto
Sea





≥
<<−+
−≤−
=
0;3
01;1
1;)(log
)(
2
1
x
xx
xx
xf
x
. Hallar la regla de correspondencia de su inversa
y graficar.
SOLUCIÓN:
A cada regla de correspondencia de f , le encontramos su inversa, estableciendo sus
respectivos intervalos de existencia:
1: Para 1);(log
2
1 −≤−= xxy Tenemos:
0;
2
11
1);(log
2
1
≥














−=−
−≤−=
x
x
f
yyx
2: Para 01;1 <<−+= xxy Tenemos:
10;11
01;1
<<−=−
<<−+=
xxf
yyx
3: Para 0;3 ≥= xxy Tenemos:
1;3log1
0;3
≥=−
≥=
xxf
yyx
Por lo tanto:
Graficando en un mismo plano tanto a f como a su inversa 1−
f









≥
<<−
≤





−
=−
1;3log
10;1
0;
2
1
)(1
xx
xx
x
x
xf
xy 3log=
1−= xy
x
y 




−=
2
1
)(log
2
1 xy −=
1+= xy
x
y 3=
)0,1(
)0,1(−
)1,0(
)1,0( −
)(xfy =
)(1
xfy −
=
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
283
Ejercicios propuestos 10.5
1. Sea la función de variable real f definida por la regla de correspondencia:
0x;1+x
0>x;3
)(




≤
=
x
xf
Entonces, la función inversa de f tiene como regla de correspondencia a:
a)



≤
=−
0x;1+x-
0>x;x
xf 31 log
)( d)



≤
=−
1x;1-x
1>x;x
xf 31 log
)(
b)



≤
=−
0x;1-x
0>x;x
xf 31 log
)( e)



≤
=−
1x;1-x-
1>x;x
xf 31 log
)(
c)



≤
=−
1x;1+x-
1>x;x
xf 31 log
)(
2. Sea f una función de variable real, con regla de correspondencia: ( ) ( )xexxf 2logln
2log3 −= ,
entonces la regla de correspondencia de su FUNCIÓN INVERSA es:
a) 22)(1
x
xf =− b) 2log)(1 xexf =− c) xxf log)(1 =−
d) 2)(1
x
exf =− e) La función f no tiene inversa
3. Sea f: R → R+ una función exponencial y ( ) ,381 =−f entonces la regla de correspondencia de f es:
a) xxf 8)( = b) xxf 3)( = c) xxf 5)( = d) xxf 2)( = e) xexf =)(
4. Dada la función
xxf −= 32)( donde x∈R. Entonces la regla de correspondencia de )(1 xf − es:
a) )(1 xf − =2 ln (3-x) b) )(1 xf − = log2 (x) − 3 c) )(1 xf − =− log2 (x) + 3 d) )(1 xf − =log2 (x) + 3
e) )(1 xf − =3 log2 (x)
5. Dada la función ( ) ( )+∞→+∞ ,0,0:)(xf tal que ( ) xxxf log2log)( −+= , entonces la regla de
correspondencia de la función inversa de f es:
a) )(1 xf − =2(10x−1) b) )(1 xf − =
( )110
1
−x
c) )(1 xf − =
( )110
2
−−x
d) )(1 xf − =
x
10
2
e) )(1 xf − =
( )110
2
−x
6. Si se define Rx,
2>x;12-x2
2x;242
)( ∈




+
≤−+−
=
xx
xf ; entonces, la regla de correspondencia de )(1 xf − es:
a) ( )




≤
−+
=−
2
1log2
)(
21
x;x-2-2
2>x;x
xf
c) ( )




≤
−+
=−
2x;x+2-2
2>x;x
xf
1log2
)(
21
b) ( )




≤
++
=−
2x;x-2+2
2>x;x
xf
1log2
)(
21 d) ( )




≤
+−
=−
2x;x-2-2
2>x;x
xf
1log2
)(
21
e) ( )




≤
++
=−
2x;2-x+2
2>x;x
xf
1log2
)(
21
7. Sea f una función de variable, tal que:
( )



−≥−
=
11
log
)(
x;2
-1<x;x
xf
1+x-
. De ser posible, encontrar la regla de
correspondencia de su función inversa
8. Sea f una función de variable real tal que 2
1
2
2
1)(
x
xf
−
−= ; Rx∈ ,entonces la regla de correspondencia
de su función inversa es:
a)
2
1;2
2
1
2log2)(1 >−



 −=− xxxf b)
2
1;
2
1
2log22)(1 >



 −−=− xxxf
c)
2
1
;
2
1
2log22)(1 <



 −−=− xxxf d)
2
1;
2
1
2log
2
1)(1 <



 −−=− xxxf
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
284
e)
2
1;
2
1
2log22)(1 <



 −−=− xxxf
9. Sea f una función de variable real , tal que ( ) ( ),1log xbxf +−= , entonces la regla de correspondencia
de su inversa ( )xf 1−
es:
a) ( )xf 1− =
xb
xb 1+
b) ( )xf 1− =
2
1
+
−+
xb
xb
c) ( )xf 1− =
xb
xb−1
d) ( )xf 1− =
xb
xb
−
+1
e) ( )xf 1− =
xb
xb+
−
1
10. Sea f una función de variable real, cuya función inversa tiene regla de correspondencia
( )
( )






≤−
−






>−
=−
2;1
2
2
1
2;1log
1 2
1
x
x
xx
xf entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA de f es:
a) ( ) ( )




≥++
<+
=
0;1log2
0;12
2
1 xx
xx
xf b) ( )
( )






≥−+
<+





=
0;21log
0;1
2
1
2
1 xx
x
x
xf
c) ( )
( )






≥+−
<+





=
0;1log2
0;1
2
1
2
1 xx
x
x
xf d) ( ) ( )




≥++
<−
=
0;1log2
0;12
2
1 xx
xx
xf
e) ( )
( )






≥++
<+





=
0;1log2
0;1
2
1
2
1 xx
x
x
xf
10.4 ECUACIONES EXPONENCIALES
Las ecuaciones que trataremos a continuación, presentan en su
expresión funciones exponenciales.
Encontrar el conjunto solución, quizás signifique la determinación
de los ceros de una función, por ejemplo:
Ejercicio resuelto 1
Los valores para los cuales: Rx;222)( ∈−= xxxxf , se intercepta con el eje X son:
a) 2 y -2 b) 3 y -3 c) 0 d) 1 y -1 e) 4 y -4
SOLUCIÓN:
Igualando a cero, tenemos:
11
0)1)(1(2
0)1(2
)1(20
220
2
2
2
−==
=−+
=−
−=
−=
xx
xx
x
x
x
x
x
x
xx
Por tanto la opción “d” es correcta.
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
285
Otras situaciones, serían:
Ejercicio resuelto 2
Si x∈R, entonces el conjunto solución de la ecuación ( )424 1/2-x2
x
= es:
a) {1/2} b) {0} c) {1} d) {-1} e) {-3, 1}
Solución:
Poniendo 4 en término de 2, tenemos:
( )
13
0)1)(3(
032
212
22
222
222
2
2
122
122
22
2
2
2
12
=−=
=−+
=−+
=−+
=
=
=
−+
−
−
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
Por tanto la opción “e” es correcta.
Ejercicio resuelto 3
Sea x∈R. El conjunto solución de: 315)25(2 =+− xx
es:
a) {0, 1} b) {log5 (1/2)} c) {log5 3} d) {log3 5} e) {log5 2}
Solución:
Primero pongamos a 25 en términos de 5:
0355
2
52
0315252
=−−





=−+−





xx
x
x
Luego hagamos el siguiente cambio de variable: ux
=5 y resolvemos para “ u ”:
( ) ( )
( )
0
2
1262
06252
0352
1
31
2
2
=
/
+








/−/
=−−
=−−
uu
uu
uu
Entonces:
( )( )
2
1
3
0123
−=∨=
=+−
uu
uu
Ahora regresamos a “ x ” , para lo cual
2
1
535 −=∨= xx
Aplicando logaritmo tenemos:
3log
3log5log
3log5log
5
55
55
=
=
=
x
x
x
, en cambio
Por tanto la opción “c” es correcta.






−=
2
1
log5log 55
x
NO es POSIBLE
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
286
Ejercicios Propuestos 10.6
1. Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones si el Re=R
a)
( ) 39 5,442
=−+ xx
b) 8)4(616 −=− xx
c) ( ) ( ) xx −−
=
22
162
d) 1=− −xx
ee
e) 232
54 ++
= xx
f) 7503333 4321
=+−+ −−−+ xxxx
g) ( ) xxx −
= 1
42
h)
x
xx
e
ee
12
=− −
2. La suma de las soluciones de la ecuación: Rx,24 1)1( 2
∈= −−x
; es :
a) 1/2 b) 1 c) 0 d) -1/2 e) 1/9
3. La SUMA de los valores de IRx ∈ , que satisfacen la ecuación: ( ) 0222 01
=+− −xx
es:
a) -1 b) 1 c) -2 d) 0 e) 2
4. La suma de las soluciones de la ecuación: 0652
=+− xx
ee , siendo x∈R, es igual a:
a) ln 6 b) ln 20 c) ln 16 d) ln 14 e) ln 8
5. Sea Re=R, entonces la suma de las soluciones de la ecuación: 012 =−− −xx
ee es igual a:
a) ln 1 b) ln 2 c) 1 d) ln 2 e) ln 2 − ln 2
6. La SUMA de las soluciones de la ecuación 032310143 =+




−+ xx , es:
a)
2
1 b) 0 c)
2
1− d) 1 e) 2
7. La SUMA de las soluciones de la siguiente ecuación 4
116
452
1
=
+
+
x
x x
es:
a)1 b)0 c)2 d)–1 e)–2
10.5 ECUACIONES LOGARÍTMICAS
Analicemos los siguientes ejercicios.
Ejercicio resuelto 1
Al resolver la ecuación: 3)3log()15log( =−−− xx , se obtiene:
a)1 b) 2999/995 c) 299/95 d) 2/95 e) 95/299
SOLUCIÓN:
Como todos los logaritmos están en base 10, aplicando propiedades tenemos:
995
2999
3
33
15
log
2999995
3000100015
10
3
15
1010
3
3
15
log
=
=
−=−
=
−
−
=
=
−
−
−
−
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
Opción “b”.
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
287
Ejercicio resuelto 2
El conjunto solución de la ecuación: 





=+
x
x
2
log2log3log 222 es:
a) {2, -2} b) {2} c) {1/2, -1/2} d) {-2, ½} e) {1/2}
SOLUCIÓN:
Aplicando propiedades, tenemos:
( )
4
1
2
8
22
2
log8log
2
log8loglog
2
2
log
)8(log
22
222
2
2
=






=
/=/






=






=+






/
/
x
x
x
x
x
x
x
xx
La opción correcta es la “e”
Las ecuaciones con logaritmos, al igual que las ecuaciones con
radicales, introducen soluciones extrañas. Por tanto asegúrese que los
valores de “ x ” satisfagan el predicado dado.
Ejercicio resuelto 3
Dada la ecuación: ( ) 132log =−xx el valor de “ x “ es:
a) log 3 b) log (2/3) c) 2 d) 3 e) No hay valor posible de x
SOLUCIÓN:
Poniendo cada miembro como exponente de la base “ x ”, tenemos:
( )
3
32
132log
=
=−
=/
−/
x
xx
xx
xx
Opción “d”.
Ejercicio resuelto 4
La solución de la ecuación: ( ) 9loglog 10
−= xxx es un valor que se encuentra
entre:
a)1 y 4 b) 5 y 7 c) 8 y 11 d) 12 y 14 e) 15 y 18
SOLUCIÓN:
Aplicando propiedades tenemos:
( )
10
91
910log
9log10log
=
−=
−=
−=
x
x
x
xxx
Por tanto la opción “c” es correcta.
2
1
2
1
4
12
=
±=
=
x
x
x
2
1
−=x
NO satisface
la ecuación
original
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
288
Ejercicio resuelto 5
La solución de la ecuación: ( ) 045log42
5log =+− xx es:
a) x no existe b) x=10 c) x=1/25 d) x=25 e) x=0
Solución:
Haciendo cambio de variable xu 5log= , tenemos:
2
0)2(
044
2
2
=
=−
=+−
u
u
uu
Pero, como 25log == xu entonces:
25
25
25log5 5
=
=
=/ /
x
x
x
Por tanto la opción “d” es correcta.
Ejercicio resuelto 6
Sea Re= R, la suma de las soluciones de la ecuación: 22
)(log)log( xx = es igual
a:
a) 2 b) 1 c) 100 d) 101 e) −1
SOLUCIÓN:
Aplicando propiedades, tenemos: ( )2
loglog2 xx = . Haciendo cambio de variable: xy log=
Tenemos:
20
0)2(
02
2
2
2
==
=−
=−
=
yy
yy
yy
yy
entonces
1
1010
0log
0log
=
=
=
x
x
x
y
100
1010
2log
2log
=
=
=
x
x
x
Los 2 valores son soluciones por tanto su suma es 101. Opción “d”
Ejercicio resuelto 7
La suma de los valores de "x" , tal que: 019log2
1log
25 45 =+−
+x
es:
a) -2 b) 3 c) -4 d) 5 e) -6
SOLUCIÓN:
Expresando 25 y 2 en términos de las bases de los logaritmos, tenemos:
( )
( )
122
01321
019log4
2
1
019log4
1log
5
01
9log
4
1log
25
2
1
4
42
12
5
45
++
=+−+
=+/−+
=+−
+
/
=+−
+






/
/
xx
x
x
x
x
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
289
Las soluciones de la última ecuación son:
212
211
212,1
2
222
2,1
2
)1)(4(42
2,1
0122
−−=
+−=
±−=
±−
=
−−±−
=
=−+
x
x
x
x
x
xx
que al sumarlas se obtiene:
2212121 −=−−+−=+ xx . Por tanto la opción “a” es correcta.
Ejercicio resuelto 8
Sea ( ) ( ) 02log2log2log:
162
=+








xxxxp , IRx ∈ , entonces es VERDAD que:
a) ( ) φ=xAp b) ( ) [ ]10,0⊆xAp c) ( ) ( )∞⊆ ,10xAp
d) ( ) ( )xAp⊆10,9 e) ( ) [ ]C
xAp 10,0⊆
SOLUCIÓN:
Expresando todos los logaritmos presentes, en base “ x ”, tenemos:
( ) 0
16
log
2log
2
log
2log
2log =












+












xx
x
x
x
x
x
Resolviendo, tenemos:
( )
( )
2
1
2
1
0
0)21)(21(
0)41(
04
04
0
)41)(1(
)1()41(
0
411
:2log
0
2log41
2log
2log1
2log
0
2loglog
2log
2loglog
2log
2
3
232
2
2
2
4
11
2
=∨−=∨=
=−+
=−
=−
=/−+−/
=
−−
−+−
=
−
+
−
=
=
−
+
−
=
−
+
−
vvv
vvv
vv
vv
vvvv
vv
vvvv
v
v
v
v
entoncesvSi
xx
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
Las soluciones son 4 y 4
1 , por tanto la opción “b” es correcta.
NO
xx x
x
⇒≠
=
=
12
02log
02log
4
2
2
1
2log
2
1
2log
=
=
=
=
x
x
xx x
x
4
1
1
2
2
1
2log
2
1
2log
=
=
=
−=
−
x
x
xx x
x
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
290
Ejercicio resuelto 9
Dado el predicado
12
25
3
4
4
3
:)(
loglog
=





+





xx
xp y Re=R, entonces es verdad que:
a) Ap(x)= φ b) Ap(x) ⊆ [1, 10] c) Ap(x) ⊆ [-10,10-1] d) ∀xp(x) e) Ap(x) ⊆ [10-
1,10]
SOLUCIÖN:
Expresando en una misma base, tenemos:
12
25
4
3
4
3
1
loglog
=














+





−
xx
luego hacemos cambio
de variable:
x
y
log
4
3






= y reemplazando nos queda:
( )( )
4
3
3
4
03443
0
34
9121612
0144)12(25)12(
0122512
251212
12
251
12
25
11
3443
2
2
2
1
==
=−−
=
/×/








/−







−
=+−
=+−
=+
=+
=+ −
yy
yy
yy
yy
yy
yy
y
y
yy
Entonces:
10
1
1010
4
3
4
3
3
4
4
3
1log
1log
log
=
=






=





=





−
−
x
x
x
x
y
10
1010
4
3
4
3
4
3
4
3
1log
log
log
=
=






=





=





x
x
x
x
Opción “e”.
Ejercicios Propuestos 10.6
1. En la ecuación: 34 2loglog 44 =+x
el valor de “ x ” que la satisface es:
a) 64 b) log (2/3) c) 2 d) 3/2 e) No hay valor posible de x
2. El número de elementos del conjunto solución de la ecuación:
( ) ( ) xxxxx log62log/1log632log ++=−




 −+ es:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
3. Sea Re= R y sea el predicado ( ) ( ) ( ) 02log2log12log:)( =+−−−− xxxxp
Entonces el conjunto solución de p(x) es:
a){−1, 3} b) {−1} c) {3} d) {1} e) {−3}
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
291
4. El conjunto solución de la ecuación ( )[ ] 01log11log 52
1
=−++ xxe
x
es:
a) R+ b) R− {0} c) (−∞,0] d) { 0 } e) φ
5. El conjunto solución de: log (2x−1) − log (x) = 2; x∈ R es:
a) R b) R+ c) { −1/98} d) φ e) {1/98}
6. La solución de la ecuaciòn: 3)72(3log)2(3log =+++ xx es:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
7. La suma de las soluciones de la ecuación: 06log105log3log25 35 =+− xx
es:
a) 2 b) 33 c) 5 d) 6 e) 10
8. La SUMA de las soluciones de la ecuación: ( ) ( ) ( ) 130log2log2log −=++− xxx es:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
9. Hallar el conjunto solución de la siguiente ecuación: 222
2
1log22
2log +




 −=




 + xx
10. La SUMA de las soluciones de la ecuación: 3log210 xxx = es:
a)10 b)110 c) 10010 + d) 10100 + e) 1010 +
10.6 PROBLEMAS DE APLICACIÓN.
Analicemos los siguientes problemas.
Problema resuelto 1
Una compañía está ampliando sus instalaciones, y tiene opción para escoger entre dos
modelos, cuyas funciones de costo son, respectivamente:
( )5,402log3)(1 ++= xxC y ( )560log2)(2 ++= xxC
donde x es la tasa de producción. Entonces, la tasa x para la cual los dos modelos
tienen el mismo costo es:
a)15 b) 10 c) 20 d) -15 e) -20
SOLUCIÓN:
Igualando costos, determinamos el valor de “ x ” buscado:
( )
10
40040
54052060
)5.402(10560
10
5.402
560
1
5.402
560
log
23)5.402log()560log(
)560log(25.402log3
)()( 21
=
=
−=−
+=+
=
+
+
=
+
+
−=+−+
++=++
=
x
x
xx
xx
x
x
x
x
xx
xx
xCxC
Opción “b”
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
292
Los siguientes problemas son modelos de crecimiento y de
decrecimiento exponencial.
Problema resuelto 2 (calculadora)
La población del planeta en 1976 era de 4 mil millones y estaba creciendo a un 2%
anual. Si esta tasa de crecimiento sigue vigente, ¿ cuándo alcanzará la población los 10
mil millones.
SOLUCIÓN:
En la siguiente tabla anotemos la población que tendrá el planeta, año a año, a partir de 1976.
Año POBLACIÓN ( P )
1976 0 40 =P mil millones
1977 1 )02.01(02.0 000 +=+ PPP
1978 2 [ ] 2
0000 )02.01()02.01)(02.01()02.01(02.0)02.01( +=++=+++ PPPP
1979 3 ( )3
0 02.01+P
... ... ...
t t
PtP )02.01()( 0 +=
Entonces la función
t
tP )02.1(4)( = nos permite calcular la población del planeta, en miles de
millones de habitantes, en cualquier año a partir de 1976.
Para hallar “ t ” cuando la población sea de 10 mil millones de habitantes, hacemos lo
siguiente:
añost
t
t
t
t
t
3.46
)02.1log(
)5.2log(
)02.1log()5.2log(
)02.1log()5.2log(
)02.1(5.2
)02.1(410
=
=
=
=
=
=
Un modelo de CRECIMIENTO EXPONENCIAL está dado por la siguiente
función:
t
rYty )1()( 0 += donde ≡0Y valor inicial y ≡r tasa de crecimiento.
0y
( )t
ryty += 1)( 0
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
293
Si tuviésemos un modelo de DECRECIMIENTO EXPONENCIAL, su
ecuación sería
t
rYty )1()( 0 −= (¿POR QUÉ?) (¿CUÁL SERÍA SU GRÁFICA?)
Problema resuelto 3 (calculadora)
Dos periódicos que compiten tienen circulaciones de 1 millón y 2 millones,
respectivamente. Si el primero aumenta su circulación en un 2% al mes, mientras que
la circulación del segundo decrece en un 1% al mes, calcule cuánto deberá transcurrir
antes de que las circulaciones sean iguales.
SOLUCIÓN:
Llamemos )(ty a la circulación mensual, en millones de ejemplares, de los periódicos.
La información del primer periódico es: 10 =Y y su tasa de crecimiento es 02.0=r . Entonces su
función circulación, es: tt
ty )02.1(1)02.01(1)( =+=
La información del segundo periódico es: 20 =Y y su tasa de decrecimiento es 01.0=r . Entonces
su función circulación, es: tt
ty )99.0(2)01.01(2)( =−= .
Igualando las circulaciones, tenemos:
( ) ( )
( )
( )
2.23
99.0
02.1
log
2log
2log
99.0
02.1
log
2
99.0
02.1
2
99.0
02.1
99.0202.1
=






=
=





=





=
=
t
t
t
t
t
tt
RESPUESTA: Al cabo de 23,2 meses
Problemas Propuestos 10.7
1. (Calculadora) El volumen de ventas de una marca de detergente disminuye después de una campaña
publicitaria de acuerdo a la fórmula ( ) ( ) t3,1750 −=tV , donde t es el tiempo en meses. La siguiente campaña
está planeada para cuando el volumen de ventas haya caído a dos tercios de su valor inicial. ¿Cuánto tiempo
debe pasar entre dos campañas sucesivas?
2. Un científico ha determinado que el crecimiento de cierta bacteria está dado por la función ( ) 3
. −
= t
eAxf ,
donde A es el número inicial de bacterias que hay al tiempo t = 3. Entonces esta cantidad inicial de bacterias se
duplicará para:
a) 6=t b)
3
2ln
=t c) 32ln −=t d) 2=t e) 32ln +=t
( ) ( )tt
yy 02.102.01 =→+=
( ) ( )tt
yy 99.0201.012 =→−= t
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
294
Misceláneos
1. El CONJUNTO SOLUCIÓN de la ecuación
( )
1
12
2313log
3
−=
−−
−+−
xx
xx
, es:
a) { }0 b) {}1 c)






2
3
d)






3
2
e) Φ
2. Sea f una función de variable real, tal que 12)( −=
− x
xf , entonces es VERDAD que:
a) rg ( )∞−∞= ,f b) rg ( )∞= ,0f c) rg ( ]0,1−=f d) rg ( )1,0=f e) rg ( )0,1−=f
3. Sea f una función de variable real, tal que






−≤−−−−
≤<−
>
=
−
4;44
44;
4;2
)(
2
xx
xx
x
xf
x
, entonces la regla de
correspondencia de )(xfy = es:
a)







−≤+−−
<<−−
≤≤
>
=
−
4;44
04;
40;
4;2
)(
2
xx
xx
xx
x
xf
x
b)







−≤++
<<−−
≤≤
>
=
−
4;44
04;
40;
4;2
)(
2
xx
xx
xx
x
xf
x
c)






−≤−−−−
≤<−
>
=
−
4;44
44;
4;2
)(
2
xx
xx
x
xf
x
d)






−≤+−−
≤<−−
>−
=
−
4;44
44;
4;2
)(
2
xx
xx
x
xf
x
e)







−≤−−−−
<<−
≤≤−
>−
=
−
4;44
04;
40;
4;2
)(
2
xx
xx
xx
x
xf
x
4. La regla de correspondencia de la función f
es:
a) xxf 2log)( = b) xxf 2log)( = c) xxf
2
1log)( −= d) xxf
2
1log)( = e) xxf 2log)( =
5. Sea f una función de variable real tal que 12)( 3
−= −x
xf , entonces es VERDAD que:
a) [ )∞= ,1frg b) ( )∞−= ,1fDom c) ( ) )3(31
ff =−
d) ( ) )0(631
ff +=− e) 5)3(1
=−
f
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
295
6. La regla de correspondencia de la función f
es:
a) )3(log)(
2
1 −= xxf b) )3(log)(
2
1 += xxf c) )3(log)( 2 += xxf
d) )3(log)(
2
1 += xxf e) 3log)(
2
1 += xxf
7. Una de las siguientes reglas de correspondencia corresponde al gráfico adjunto, identifíquela:
a) ( ) 1log2 += xxf
b) 12)( 1
+= −x
xf
c) ( )1log)( 2 −= xxf
d) 12)( −= −x
xf
e) ( ) 12 += −x
xf
8. Sea el predicado
1
3
1
16
4
2
:)( −
+
+
=
x
x
xp , entonces su CONJUNTO SOLUCIÓN )(xAp es:
a) {}1 b) { }1− c) { }5− d) { }2− e) { }2
9. Si
2
52log =a y
3
13log =a ; 10 ≠∧> aa . Entonces el VALOR de ( )108log 2
a es:
a)
8
5 b) 6 c)3 d)
4
3 e)
2
3
10. La SUMA de las soluciones de la ecuación:
( ) xx =2log
2 1; >x
Es:
a) 4 b) 6 c)
2
5 d)
4
3 e) 3
11. La SUMA de las soluciones de la ecuación ( ) 2
3
2
3 loglog xx = , es:
a)2 b)10 c)8 d)5 e)9
12. El VALOR de “ x ” que satisface la ecuación: ( ) 12logln −=x , es:
a)2 b)e c)2e d)22 e)2-e
13. Sean f y g funciones de variable real tal que, 3)( 2
+= x
exf y xxg 3ln)( = . Entonces la REGLA DE
CORRESPONDENCIA de )( gf  es:
a) 3))(( 2
+= xxgf  ; 0>x b) 3))(( += xxgf  ; 0>x
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
296
c) 39))(( 2
+= xxgf  ; 0>x d) xxgf 8))(( = ; 0>x
e) 33ln))(( += xxgf  ; 0>x
14. Sí m=3log4 y n=7log2 ; entonces 21log2 es igual a:
a) ( )12 +nm b) 12 +mn c)2n ( )1+m d) nm +2 e) m+2
15. Sea las funciones de variable real x
xf 2)( = y ( ) 2log 2
2 += xxg y, entonces la regla de
correspondencia de ( ) )(xgf  es:
a) ( ) 22
2)( +
= x
xgf  b) ( ) 22log)( 2
2 += x
xgf 
c) ( ) 2)( 2
+= xxgf  d) ( ) 12log)( 2
2 −+= xxgf 
e) No es posible encontrar ( ) )(xgf 
16. El MAYOR POSIBLE DOMINIO de la función de variable real
( )
2
32log
)(
2
+
−−
=
x
xx
xf
es el intervalo:
a)[ )∞,3 b) ( ) ( )∞∪−− ,31,2 c) ( ) [ ]3,12, ∪∞− d)[ )∞− ,1 e) ( ) ( )3,01,2 ∪−−
17. Sea el predicado 0639:)( =−− xx
xp . Entonces su conjunto solución )(xAp es:
a) {}1 b) { }2,3 − c) { }2,1 − d) { }2+ e) { }1,1−
18. Una expresión equivalente para )1log(
2
1
3loglog2 +−+ xxx es:
a)
1log
)3log( 2
+x
x x
b)
1log
3log 2
+x
xx
c)
1
3
log
2
+x
xx
d)
1
)3(
log
2
+x
x x
e)
1log
log3log 2
+x
xx
19. Sea f una función de variable real, con regla de correspondencia 22)( 1
+= −x
xf ; entonces la regla de
correspondencia de la función inversa 1−
f es:
a) 1;2)1(log)( 2
1
>−−=−
xxxf
b) 1;2)1(log)( 2
1
−>−+=−
xxxf
c) 1;)1(log)( 2
2
1
>−=−
xxxf
d) 2;1)2(log)( 2
1
>+−=−
xxxf
e) 2;1)2(log)( 2
1
>−−=−
xxxf
20. Sean f y g funciones tales que : 2
2
1
)( −





=
x
xf y 2)( += xxg , entonces es FALSO que:
a)
4
3
)1()2( −=−+ gf b)
2
3
)1)(( −=−gf  c) 0)2)(( =−⋅ gf
d) 1)2( =−





g
f
e) 3)0)(( =fg 
21. Dada la función de variable real ( ) xxf −= 10log , entonces el MAXIMO DOMINIO POSIBLE de la función es:
a) ( )∞,10 b) ( )10,∞− c) ( )∞− ,10 d)[ )∞,10 e) ( ]10,∞−
22. Sea la función RRf →: con regla de correspondencia : ( )
( )
( )




>+−
≤<−−
−≤−
=
01
011
1log
2
xx
xx
xx
xf
entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) ( )xf es sobreyectiva. b) ( )xf es biyectiva. c) ( )xf es una función decreciente.
d) ( ) 43 −=f . e) ( )xf es una función impar.
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
297
23. Sea f una función de variable real con regla de correspondencia ( ) xxf −= 2log
2
1 , entonces su
GRÁFICO es:
a) b)
c) d)
e)
24. Sea f una función de variable real, cuya función inversa tiene regla de correspondencia
( )
( )






≤−





>−
= −−
2;1
2
1
2;1log
21
2
1
x
xx
xf x , entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA de f es:
a) ( ) ( )



≥++
<+
=
0;1log2
0;12
2
1 xx
x
xf
x
b) ( )
( )





≥−+
<+





=
0;21log
0;1
2
1
2
1 xx
x
xf
x
c) ( )
( )





≥+−
<+





=
0;1log2
0;1
2
1
2
1 xx
x
xf
x
d) ( ) ( )



≥++
<−
=
0;1log2
0;12
2
1 xx
x
xf
x
e) ( )
( )





≥++
<+





=
0;1log2
0;1
2
1
2
1 xx
x
xf
x
25. La SUMA DE LAS SOLUCIONES de la ecuación
4
3
log192loglog2 +=x es:
a)–12 b)12 c)0 d)24 e)144
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
298
26. Si xma =log y yna =log . Entonces la expresión: ( )3
2log mnm es EQUIVALENTE a:
a)
x
yx
3
−
b)
3
22
yx
c)
2
32
yx −
d)
x
yx
2
3+
e)
y
yx 32 −
27. Sea f una función de variable real, tal que 12)( 3
−= −x
xf , entonces es VERDAD que:
a) ( )∞−= ,1fDom b)f es decreciente. c)f no es inyectiva.
d) f es par. e) ( )∞−= ,1frg
28. Una población de bacterias crece según la fórmula 18
0 )8(
t
PP = , donde 0P es la población inicial y t el
tiempo en días. Entonces es VERDAD que, la población se duplicó al:
a) Cuarto día. b) Tercer día. c) Segundo día
c) Quinto día e) Sexto día.
29. El volumen de ventas de cierto producto está creciendo exponencialmente a una tasa del 12 % anual. Si el
actual volumen es de 500 unidades diarias, entonces el tiempo que se demora en alcanzar 100 unidades es:
a)
5
1
ln
3
25
=t años b)
5
1
ln
3
1
=t años c) 2ln
3
2
=t años
d) 2ln
4
3
=t años e) 2=t años
30. La SUMA de las solucio nes de la ecuación ( ) 1log3log =++ xx es:
a) 5− b) 3− c) 0 d) 2 e) 3

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  • 1. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 266 10 10.1 FUNCIÓN EXPONENCIAL 10.2 FUNCIÓN LOGARÍTMICA 10.3 PROPIEDADES DE LOS LOGARÍTMOS 10.4 ECUACIONES EXPONENCIALES 10.5 ECUACIONES LOGARÍTMICAS. 10.6 PROBLEMAS DE APLICACIÓN Otras funciones de variable real importantes que merecen un capítulo aparte son las Exponenciales y las Logarítmicas. Así como también las propiedades de los logaritmos permitirán resolver otras situaciones, no sólo aquí sino también en otros cursos.
  • 2. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 267 83 42 21 10 1 2 3 2 1 4 1 8 1 − − − yx TABLA DE VALORES x y 2= OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:  Defina y caracterice la función exponencial y la función logarítmica.  Represente en el plano cartesiano el gráfico de funciones exponenciales y logarítmicas dadas sus reglas de correspondencia.  Aplique las propiedades de los exponentes y los logaritmos para simplificar expresiones y resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas..  Use esquemas críticos para resolver problemas de aplicación de los logaritmos. 10.1 FUNCIÓN EXPONENCIAL Una función f , de variable real, se la denomina FUNCIÓN EXPONENCIAL si y sólo si su regla de correspondencia es de la forma: Ejemplo 1 Sea x xf 2)( = . Tracemos su gráfica, con la ayuda de una tabla de valores Conclusiones: En la función exponencial x ay = donde 1>a , se cumple que:  Es una función CRECIENTE  Su gráfica tiene como asíntota al eje “ x ” (¿QUÉ ES UNA ASÍNTOTA?)  IRfDom =)(  ( )∞= ,0)( fRg BASE EXPONENTE x axf =)( donde 10 ≠∧> aa
  • 3. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 268 Estas conclusiones pueden variar si la función exponencial ya no es de la forma básica. Observe que: ∞=∞ 2 donde ≡∞ cantidad muy grande; y por lo tanto 0 2 1 2 ≈= ∞ ∞− Ejemplo 2 Tracemos ahora la gráfica de x x y − =      = 2 2 1 . Con la ayuda de una tabla de valores Conclusiones: En la función exponencial x ay = donde 10 << a , se cumple que:  Es una función DECRECIENTE  Su gráfica tiene como asíntota al eje “ x ”  IRfDom =)(  ( )∞= ,0)( fRg Existe una base utilizada frecuentemente, esta es la base ea = . Algunas gráficas, empleando esta base son: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 75.03 25.02 5.01 10 21 42 83 3 2 1 2 2 1 1 2 1 0 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 = = = = =− =− =− − − − yx TABLA DE VALORES x x y − =      = 2 2 1 x ey = x ey − =
  • 4. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 269 Considerando definiciones anteriores para estas gráficas, tenemos: 1− = x ey 11 −= −x ey 11 −= −x ey x ey = x ey − =     < ≥ == − 0; 0; xe xe ey x x x
  • 5. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 270 Ejemplo Graficar: 3 2 1 )( 1 −      = +x xf Considere la gráfica de ( )x y 2 1 = Trasládela una unidad a la izquierda, luego tres unidades hacia abajo y de allí obtenga su valor absoluto. Es decir: x ey − = 1−− = x ey
  • 6. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 271 Ejercicio Propuesto 10.1 Graficar: 1. 1 2 −− = x y 2. ( ) 11 −− = x e y 3. 1 2 −− = x y 4. x y − = 1 2 5. x y − = 1 2
  • 7. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 272
  • 8. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 273 10.2 FUNCIÓN LOGARÍTMICA A la función inversa de la función exponencial, definida biyectiva ( + RRax : ), se la llama FUNCION LOGARITMICA.. Y su regla de correspondencia en su expresión básica es de la forma: xxf alog)( = donde 10 ≠∧> aa Con respecto a su gráfica tenemos: Conclusiones: La función logarítmica xxf alog)( = donde 1>a  Es una función CRECIENTE  ( ) ( )∞= ,0log xDom a . Aquí surge una nueva restricción: 0>x (logarítmo de números negativos no se define)  ( ) IRxrg a =log  Su gráfica tiene como asíntota al eje “ y ” En cambio, 10;log <<= axy a 10; <<= aay x 1; >= aay x 1);(log >= axy a 0)1(log =a
  • 9. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 274 Esta es una función DECRECIENTE.
  • 10. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 275 Si ea = tenemos la función LOGARITMO NATURAL Si 10=a , tenemos: Pero la gráfica para e a 1= sería: xy e 1log= xxy loglog10 == xxy e lnlog ==
  • 11. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 276 Aplicando definiciones anteriores, por ejemplo desplazamiento horizontal, tenemos: Observemos una grafica interesante: Entonces la gráfica de xy ln= sería: )1ln( += xy )ln( xy −=    <− > == 0;)ln( 0;ln ln xx xx xy
  • 12. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 277 Ejercicio Propuesto 10.2 Graficar: 1. ( )xy −= 2log 2 1 2. ( )xy −= 2log 3. ( )xy −= 2log 2 1 4. 2log −= xy 5. 2log 2 1 −= xy Analicemos ahora el siguiente ejercicio: Ejercicio Resuelto Sea )3log( )( 2 1 x x xf − = . Hallar su máximo dominio posible. SOLUCIÓN: La regla de correspondencia )3log( )( x x xf − = presenta las restricciones: 0)3(0)3log(0 >−∧≠−∧≥ xxx Entonces: Por lo tanto el máximo dominio posible es el intervalo [ ) ( )3,22,0 ∪ Ejercicios Propuestos 10.3 1. Graficar : a) ( ) 12-x3log)( +=xf ; x>2 b) ( )12log2)( +−= xxf ; x>-1 c) ( ) 1x-2ln)( +−=xf 2. El rango de la función: Rx;24)( ∈−−= xxf es el intervalo: a) ( )0,−∞ b) ( )+∞,4 c) ( )+∞,0 d) ( )4,−∞ e) ( )4,1− 3. Si f es una función tal que 3 1 2)( − +− = x xf , con x∈R, entonces el rango de f es: a) ( ]2,3 −− b) R+ c) ( )+∞− ,3 d) ( )3,−−∞ e) ( )0,3− 4. Dada la función de variable real ( ) xxf −= 10log , entonces el MAXIMO DOMINIO POSIBLE de la función es: a) ( )∞,10 b) ( )10,−∞ c) ( )∞− ,10 d) [ )∞,10 e) ( ]10,−∞ [ ) ///////////////////////////// ××××××××××××× 0 1 2 3 O
  • 13. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 278 5. Sea la función RRf →: con regla de correspondencia : ( ) ( ) ( )     >+− ≤<−− −≤− = 01 0112 1log xx xx xx xf entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela: a) f es sobreyectiva. b) f es biyectiva. c) f es una función decreciente. d) ( ) 43 −=f . e) f es una función impar. 6. Sea ( )     <− ≥− = 1;1 1;12 xx xx xf y ( ) xxg 3= , IRx∈ entonces es FALSO que: a) ( )( ) 11 =fg b) ( )( ) 81 =gf c) ( )( )( ) 81 =gfg d) ( )( )( ) 01 =fgf e) ( )( ) 00 =gf 10.3 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Existen expresiones algebraicas que contienen logaritmos. Para simplificarlas debemos considerar sus propiedades. 1. 01log =a 2. xa xa =log donde 0>x Ejemplos:  ( ) 132 213log 2 2 ++=++ xxxx para 0132 >++ xx  ( ) 1212ln +=+ xe x para 012 >+x 3. xax a =)(log 4. 1log =aa 5. ( ) [ ]MM aa loglog αα = Ejemplo : Para calcular 8log2 ; a 8 lo expresamos en término de 2 , para poder aplicar las propiedades. Es decir: 32log32log8log 2 3 22 === 6. ( ) NMMN aaa logloglog += Ejemplo: 5log2log)52(log10log aaaa +=×= 7. NM N M aaa logloglog −=     
  • 14. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 279 8. Cambio de base a M M b b a log log log = No olvide de justificar todas estas propiedades. Ejercicio resuelto 1 Despejar “ x ” si )(log 2 1 xy −= Solución: Poniendo cada miembro como exponente de la base 2 1 y aplicando propiedades, tenemos x xy y xy −=            =      −= − 2 1 2 1 2 1 )(log )(log 2 1 2 1 Entonces: ( )y x 2 1−= Ejercicio resuelto 2 Despejar “ x ” si x y 3= SOLUCIÓN: Aplicando logaritmo en base 3 a ambos miembros y luego aplicando propiedades, tenemos ( ) 3loglog 3loglog 3 33 33 xy y y x x = = = Entonces yx 3log= Ejercicio resuelto 3 Calcular:       −      +      125 16 log2 27 6 log 25 36 log3 3 Solución: Descomponiendo los números en sus factores primos y aplicando propiedades tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2log 5log62log83log62log35log63log62log6 5log62log83log62log35log6)32log(6 5log62log83log62log35log66log6 5log32log423log2log35log26log23 5log2log29log2log35log6log3 125log16log2 9 2 log325log36log3 125 16 log2 27 6 log 25 36 log3 2 3422 3 = +−−+−+= +−−+−×= +−−+−= −−−+−= −−−+−= −−      +−=      −      +     
  • 15. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 280 Ejercicio resuelto 4 Si 2log =xa , entonces al SIMPLIFICAR la expresión: ( ) ( ) a y x xy yx aa log log 3 1 log2log 3 64 2       −         + se obtiene: a) -1 b) -2 c)-3 d) -4 e) -5 Solución: Aplicando propiedades, tenemos: ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) [ ] 4 )2(2 log2 log3log3loglog6log3log2 log3log3loglog6 2 log6log4 loglog3loglog2 log2 loglog 10log log 10log log 3log1log2 log log log log 3 1 log2log 2 1 2 3 64 3 2 64 10 10 3 64 −= −= −= +−−−+= +−−− + = −−     +− + =                             −−+=         −         + x yxxyyx yxxy yx yxxy a yx a y x xy a yx a y x xy yx a aaaaaa aaaa aa aaaa a aa a a a a aa a a aa Por lo tanto la opción “d” es correcta. Ejercicio resuelto 5 Despejar ""t en la ecuación           −= w zt e z x y 2 1 SOLUCIÓN: Una opción sería despejar la exponencial e , para de ahí aplicar logaritmo       − = − = −= −=−           −= x zyx e w zt x zyx e x zy e e x yz e z x y w zt w zt w zt w zt lnln lnln 1 1 1 2 2 2 2 2 entonces: ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]xzyx z w t xzyx z w t w z xzyx t xzyx w zt lnln lnln lnln lnln 2 2 2 −−= −−= −− = −−=
  • 16. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 281 Ejercicios Propuestos 10.4 1. Al simplificar la expresión algebraica: 0a;1 4 33 2 ≠=− yx aa se obtiene la ecuación de una recta de la cual podemos afirmar que: a) su pendiente es 4 d) el punto (2,1) pertenece a la recta b) su pendiente es 4/9 e) su pendiente es -4/9 c) la intersección con el eje de las “Y” es 8 2. El resultado de la operación:       +      +      80 81 log3 24 25 log5 15 16 log7 es: a) log 3 b) log 5 c) 1 d) log 2 e) 0 3. Si 48log3alogy4log ayxa +== , entonces el valor de: ( )( )         423 54 log yx yx a es: a) 6 + 2 loga 48 b) 2 loga 48 c) 6 − loga 48 d) 0 e) 6 4. Si ,2/37blog;4/2log aab == siendo b ∈ R−{1}, a∈R+, entonces el valor de ,2128log       − abb es: a) a b) 2 a c) 4 a d) 1 e) 1−2 a 5. Si ln 2= 0,693 y ln 3 = 1,099 calcule: a) ln (1,5) b) ln (48) c) log9 (24) 6. Para la expresión: ( ) ,12loglog22log +−− yxyx con x,y∈R−{0} una expresión equivalente es: a) )4/log( yx b) 4log1 y− c) 10 d)       −410log y e) 14log −      y 7. Hallar el 65log si α=3100log y β=2100log 8. Al despejar el valor de "k" en la expresión: k c ba 3 2 10 = se obtiene: a)             = ba c k 2 310 c) 3loglog2alog cbk −−= b) c3logblog+alog2 −=k d) c3logb2log+alog2 −=k e) c3log+b2logalog −=k 9. Al despejar "n" de la ecuación: nk k R CM       += 100 1 se obtiene si R>0, k>0, C>0, M>0 a) ( ) ]log100[log loglog kRkk CM n −+ − = d) ]Rlogk[log loglog + − = k CM n b) ( ) ]loglog100[log loglog kRkk CM n −+ − = e) ( ) ]2log100[log loglog +−+ − = kRkk CM n c) ( ) ]2log100[log loglog −−+ − = kRkk CM n 10. Sea x, y ∈ R. Al despejar y en la siguiente ecuación: ye xe xe = +− )12( 2 se obtiene: a) y = x + 1 b) y = (x + 2)2 c) y = (x + 1)2 d) y = x2 + 3x +2 e) Elija esta opción si ninguna corresponde a y.
  • 17. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 282 Ahora analicemos lo siguiente: Ejercicio Resuelto Sea      ≥ <<−+ −≤− = 0;3 01;1 1;)(log )( 2 1 x xx xx xf x . Hallar la regla de correspondencia de su inversa y graficar. SOLUCIÓN: A cada regla de correspondencia de f , le encontramos su inversa, estableciendo sus respectivos intervalos de existencia: 1: Para 1);(log 2 1 −≤−= xxy Tenemos: 0; 2 11 1);(log 2 1 ≥               −=− −≤−= x x f yyx 2: Para 01;1 <<−+= xxy Tenemos: 10;11 01;1 <<−=− <<−+= xxf yyx 3: Para 0;3 ≥= xxy Tenemos: 1;3log1 0;3 ≥=− ≥= xxf yyx Por lo tanto: Graficando en un mismo plano tanto a f como a su inversa 1− f          ≥ <<− ≤      − =− 1;3log 10;1 0; 2 1 )(1 xx xx x x xf xy 3log= 1−= xy x y      −= 2 1 )(log 2 1 xy −= 1+= xy x y 3= )0,1( )0,1(− )1,0( )1,0( − )(xfy = )(1 xfy − =
  • 18. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 283 Ejercicios propuestos 10.5 1. Sea la función de variable real f definida por la regla de correspondencia: 0x;1+x 0>x;3 )(     ≤ = x xf Entonces, la función inversa de f tiene como regla de correspondencia a: a)    ≤ =− 0x;1+x- 0>x;x xf 31 log )( d)    ≤ =− 1x;1-x 1>x;x xf 31 log )( b)    ≤ =− 0x;1-x 0>x;x xf 31 log )( e)    ≤ =− 1x;1-x- 1>x;x xf 31 log )( c)    ≤ =− 1x;1+x- 1>x;x xf 31 log )( 2. Sea f una función de variable real, con regla de correspondencia: ( ) ( )xexxf 2logln 2log3 −= , entonces la regla de correspondencia de su FUNCIÓN INVERSA es: a) 22)(1 x xf =− b) 2log)(1 xexf =− c) xxf log)(1 =− d) 2)(1 x exf =− e) La función f no tiene inversa 3. Sea f: R → R+ una función exponencial y ( ) ,381 =−f entonces la regla de correspondencia de f es: a) xxf 8)( = b) xxf 3)( = c) xxf 5)( = d) xxf 2)( = e) xexf =)( 4. Dada la función xxf −= 32)( donde x∈R. Entonces la regla de correspondencia de )(1 xf − es: a) )(1 xf − =2 ln (3-x) b) )(1 xf − = log2 (x) − 3 c) )(1 xf − =− log2 (x) + 3 d) )(1 xf − =log2 (x) + 3 e) )(1 xf − =3 log2 (x) 5. Dada la función ( ) ( )+∞→+∞ ,0,0:)(xf tal que ( ) xxxf log2log)( −+= , entonces la regla de correspondencia de la función inversa de f es: a) )(1 xf − =2(10x−1) b) )(1 xf − = ( )110 1 −x c) )(1 xf − = ( )110 2 −−x d) )(1 xf − = x 10 2 e) )(1 xf − = ( )110 2 −x 6. Si se define Rx, 2>x;12-x2 2x;242 )( ∈     + ≤−+− = xx xf ; entonces, la regla de correspondencia de )(1 xf − es: a) ( )     ≤ −+ =− 2 1log2 )( 21 x;x-2-2 2>x;x xf c) ( )     ≤ −+ =− 2x;x+2-2 2>x;x xf 1log2 )( 21 b) ( )     ≤ ++ =− 2x;x-2+2 2>x;x xf 1log2 )( 21 d) ( )     ≤ +− =− 2x;x-2-2 2>x;x xf 1log2 )( 21 e) ( )     ≤ ++ =− 2x;2-x+2 2>x;x xf 1log2 )( 21 7. Sea f una función de variable, tal que: ( )    −≥− = 11 log )( x;2 -1<x;x xf 1+x- . De ser posible, encontrar la regla de correspondencia de su función inversa 8. Sea f una función de variable real tal que 2 1 2 2 1)( x xf − −= ; Rx∈ ,entonces la regla de correspondencia de su función inversa es: a) 2 1;2 2 1 2log2)(1 >−     −=− xxxf b) 2 1; 2 1 2log22)(1 >     −−=− xxxf c) 2 1 ; 2 1 2log22)(1 <     −−=− xxxf d) 2 1; 2 1 2log 2 1)(1 <     −−=− xxxf
  • 19. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 284 e) 2 1; 2 1 2log22)(1 <     −−=− xxxf 9. Sea f una función de variable real , tal que ( ) ( ),1log xbxf +−= , entonces la regla de correspondencia de su inversa ( )xf 1− es: a) ( )xf 1− = xb xb 1+ b) ( )xf 1− = 2 1 + −+ xb xb c) ( )xf 1− = xb xb−1 d) ( )xf 1− = xb xb − +1 e) ( )xf 1− = xb xb+ − 1 10. Sea f una función de variable real, cuya función inversa tiene regla de correspondencia ( ) ( )       ≤− −       >− =− 2;1 2 2 1 2;1log 1 2 1 x x xx xf entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA de f es: a) ( ) ( )     ≥++ <+ = 0;1log2 0;12 2 1 xx xx xf b) ( ) ( )       ≥−+ <+      = 0;21log 0;1 2 1 2 1 xx x x xf c) ( ) ( )       ≥+− <+      = 0;1log2 0;1 2 1 2 1 xx x x xf d) ( ) ( )     ≥++ <− = 0;1log2 0;12 2 1 xx xx xf e) ( ) ( )       ≥++ <+      = 0;1log2 0;1 2 1 2 1 xx x x xf 10.4 ECUACIONES EXPONENCIALES Las ecuaciones que trataremos a continuación, presentan en su expresión funciones exponenciales. Encontrar el conjunto solución, quizás signifique la determinación de los ceros de una función, por ejemplo: Ejercicio resuelto 1 Los valores para los cuales: Rx;222)( ∈−= xxxxf , se intercepta con el eje X son: a) 2 y -2 b) 3 y -3 c) 0 d) 1 y -1 e) 4 y -4 SOLUCIÓN: Igualando a cero, tenemos: 11 0)1)(1(2 0)1(2 )1(20 220 2 2 2 −== =−+ =− −= −= xx xx x x x x x x xx Por tanto la opción “d” es correcta.
  • 20. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 285 Otras situaciones, serían: Ejercicio resuelto 2 Si x∈R, entonces el conjunto solución de la ecuación ( )424 1/2-x2 x = es: a) {1/2} b) {0} c) {1} d) {-1} e) {-3, 1} Solución: Poniendo 4 en término de 2, tenemos: ( ) 13 0)1)(3( 032 212 22 222 222 2 2 122 122 22 2 2 2 12 =−= =−+ =−+ =−+ = = = −+ − − xx xx xx xx xx xx xx Por tanto la opción “e” es correcta. Ejercicio resuelto 3 Sea x∈R. El conjunto solución de: 315)25(2 =+− xx es: a) {0, 1} b) {log5 (1/2)} c) {log5 3} d) {log3 5} e) {log5 2} Solución: Primero pongamos a 25 en términos de 5: 0355 2 52 0315252 =−−      =−+−      xx x x Luego hagamos el siguiente cambio de variable: ux =5 y resolvemos para “ u ”: ( ) ( ) ( ) 0 2 1262 06252 0352 1 31 2 2 = / +         /−/ =−− =−− uu uu uu Entonces: ( )( ) 2 1 3 0123 −=∨= =+− uu uu Ahora regresamos a “ x ” , para lo cual 2 1 535 −=∨= xx Aplicando logaritmo tenemos: 3log 3log5log 3log5log 5 55 55 = = = x x x , en cambio Por tanto la opción “c” es correcta.       −= 2 1 log5log 55 x NO es POSIBLE
  • 21. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 286 Ejercicios Propuestos 10.6 1. Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones si el Re=R a) ( ) 39 5,442 =−+ xx b) 8)4(616 −=− xx c) ( ) ( ) xx −− = 22 162 d) 1=− −xx ee e) 232 54 ++ = xx f) 7503333 4321 =+−+ −−−+ xxxx g) ( ) xxx − = 1 42 h) x xx e ee 12 =− − 2. La suma de las soluciones de la ecuación: Rx,24 1)1( 2 ∈= −−x ; es : a) 1/2 b) 1 c) 0 d) -1/2 e) 1/9 3. La SUMA de los valores de IRx ∈ , que satisfacen la ecuación: ( ) 0222 01 =+− −xx es: a) -1 b) 1 c) -2 d) 0 e) 2 4. La suma de las soluciones de la ecuación: 0652 =+− xx ee , siendo x∈R, es igual a: a) ln 6 b) ln 20 c) ln 16 d) ln 14 e) ln 8 5. Sea Re=R, entonces la suma de las soluciones de la ecuación: 012 =−− −xx ee es igual a: a) ln 1 b) ln 2 c) 1 d) ln 2 e) ln 2 − ln 2 6. La SUMA de las soluciones de la ecuación 032310143 =+     −+ xx , es: a) 2 1 b) 0 c) 2 1− d) 1 e) 2 7. La SUMA de las soluciones de la siguiente ecuación 4 116 452 1 = + + x x x es: a)1 b)0 c)2 d)–1 e)–2 10.5 ECUACIONES LOGARÍTMICAS Analicemos los siguientes ejercicios. Ejercicio resuelto 1 Al resolver la ecuación: 3)3log()15log( =−−− xx , se obtiene: a)1 b) 2999/995 c) 299/95 d) 2/95 e) 95/299 SOLUCIÓN: Como todos los logaritmos están en base 10, aplicando propiedades tenemos: 995 2999 3 33 15 log 2999995 3000100015 10 3 15 1010 3 3 15 log = = −=− = − − = = − − − − x x xx x x x x x x Opción “b”.
  • 22. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 287 Ejercicio resuelto 2 El conjunto solución de la ecuación:       =+ x x 2 log2log3log 222 es: a) {2, -2} b) {2} c) {1/2, -1/2} d) {-2, ½} e) {1/2} SOLUCIÓN: Aplicando propiedades, tenemos: ( ) 4 1 2 8 22 2 log8log 2 log8loglog 2 2 log )8(log 22 222 2 2 =       = /=/       =       =+       / / x x x x x x x xx La opción correcta es la “e” Las ecuaciones con logaritmos, al igual que las ecuaciones con radicales, introducen soluciones extrañas. Por tanto asegúrese que los valores de “ x ” satisfagan el predicado dado. Ejercicio resuelto 3 Dada la ecuación: ( ) 132log =−xx el valor de “ x “ es: a) log 3 b) log (2/3) c) 2 d) 3 e) No hay valor posible de x SOLUCIÓN: Poniendo cada miembro como exponente de la base “ x ”, tenemos: ( ) 3 32 132log = =− =/ −/ x xx xx xx Opción “d”. Ejercicio resuelto 4 La solución de la ecuación: ( ) 9loglog 10 −= xxx es un valor que se encuentra entre: a)1 y 4 b) 5 y 7 c) 8 y 11 d) 12 y 14 e) 15 y 18 SOLUCIÓN: Aplicando propiedades tenemos: ( ) 10 91 910log 9log10log = −= −= −= x x x xxx Por tanto la opción “c” es correcta. 2 1 2 1 4 12 = ±= = x x x 2 1 −=x NO satisface la ecuación original
  • 23. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 288 Ejercicio resuelto 5 La solución de la ecuación: ( ) 045log42 5log =+− xx es: a) x no existe b) x=10 c) x=1/25 d) x=25 e) x=0 Solución: Haciendo cambio de variable xu 5log= , tenemos: 2 0)2( 044 2 2 = =− =+− u u uu Pero, como 25log == xu entonces: 25 25 25log5 5 = = =/ / x x x Por tanto la opción “d” es correcta. Ejercicio resuelto 6 Sea Re= R, la suma de las soluciones de la ecuación: 22 )(log)log( xx = es igual a: a) 2 b) 1 c) 100 d) 101 e) −1 SOLUCIÓN: Aplicando propiedades, tenemos: ( )2 loglog2 xx = . Haciendo cambio de variable: xy log= Tenemos: 20 0)2( 02 2 2 2 == =− =− = yy yy yy yy entonces 1 1010 0log 0log = = = x x x y 100 1010 2log 2log = = = x x x Los 2 valores son soluciones por tanto su suma es 101. Opción “d” Ejercicio resuelto 7 La suma de los valores de "x" , tal que: 019log2 1log 25 45 =+− +x es: a) -2 b) 3 c) -4 d) 5 e) -6 SOLUCIÓN: Expresando 25 y 2 en términos de las bases de los logaritmos, tenemos: ( ) ( ) 122 01321 019log4 2 1 019log4 1log 5 01 9log 4 1log 25 2 1 4 42 12 5 45 ++ =+−+ =+/−+ =+− + / =+− +       / / xx x x x x
  • 24. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 289 Las soluciones de la última ecuación son: 212 211 212,1 2 222 2,1 2 )1)(4(42 2,1 0122 −−= +−= ±−= ±− = −−±− = =−+ x x x x x xx que al sumarlas se obtiene: 2212121 −=−−+−=+ xx . Por tanto la opción “a” es correcta. Ejercicio resuelto 8 Sea ( ) ( ) 02log2log2log: 162 =+         xxxxp , IRx ∈ , entonces es VERDAD que: a) ( ) φ=xAp b) ( ) [ ]10,0⊆xAp c) ( ) ( )∞⊆ ,10xAp d) ( ) ( )xAp⊆10,9 e) ( ) [ ]C xAp 10,0⊆ SOLUCIÓN: Expresando todos los logaritmos presentes, en base “ x ”, tenemos: ( ) 0 16 log 2log 2 log 2log 2log =             +             xx x x x x x Resolviendo, tenemos: ( ) ( ) 2 1 2 1 0 0)21)(21( 0)41( 04 04 0 )41)(1( )1()41( 0 411 :2log 0 2log41 2log 2log1 2log 0 2loglog 2log 2loglog 2log 2 3 232 2 2 2 4 11 2 =∨−=∨= =−+ =− =− =/−+−/ = −− −+− = − + − = = − + − = − + − vvv vvv vv vv vvvv vv vvvv v v v v entoncesvSi xx x x x x x xx x xx x Las soluciones son 4 y 4 1 , por tanto la opción “b” es correcta. NO xx x x ⇒≠ = = 12 02log 02log 4 2 2 1 2log 2 1 2log = = = = x x xx x x 4 1 1 2 2 1 2log 2 1 2log = = = −= − x x xx x x
  • 25. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 290 Ejercicio resuelto 9 Dado el predicado 12 25 3 4 4 3 :)( loglog =      +      xx xp y Re=R, entonces es verdad que: a) Ap(x)= φ b) Ap(x) ⊆ [1, 10] c) Ap(x) ⊆ [-10,10-1] d) ∀xp(x) e) Ap(x) ⊆ [10- 1,10] SOLUCIÖN: Expresando en una misma base, tenemos: 12 25 4 3 4 3 1 loglog =               +      − xx luego hacemos cambio de variable: x y log 4 3       = y reemplazando nos queda: ( )( ) 4 3 3 4 03443 0 34 9121612 0144)12(25)12( 0122512 251212 12 251 12 25 11 3443 2 2 2 1 == =−− = /×/         /−        − =+− =+− =+ =+ =+ − yy yy yy yy yy yy y y yy Entonces: 10 1 1010 4 3 4 3 3 4 4 3 1log 1log log = =       =      =      − − x x x x y 10 1010 4 3 4 3 4 3 4 3 1log log log = =       =      =      x x x x Opción “e”. Ejercicios Propuestos 10.6 1. En la ecuación: 34 2loglog 44 =+x el valor de “ x ” que la satisface es: a) 64 b) log (2/3) c) 2 d) 3/2 e) No hay valor posible de x 2. El número de elementos del conjunto solución de la ecuación: ( ) ( ) xxxxx log62log/1log632log ++=−      −+ es: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 3. Sea Re= R y sea el predicado ( ) ( ) ( ) 02log2log12log:)( =+−−−− xxxxp Entonces el conjunto solución de p(x) es: a){−1, 3} b) {−1} c) {3} d) {1} e) {−3}
  • 26. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 291 4. El conjunto solución de la ecuación ( )[ ] 01log11log 52 1 =−++ xxe x es: a) R+ b) R− {0} c) (−∞,0] d) { 0 } e) φ 5. El conjunto solución de: log (2x−1) − log (x) = 2; x∈ R es: a) R b) R+ c) { −1/98} d) φ e) {1/98} 6. La solución de la ecuaciòn: 3)72(3log)2(3log =+++ xx es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 7. La suma de las soluciones de la ecuación: 06log105log3log25 35 =+− xx es: a) 2 b) 33 c) 5 d) 6 e) 10 8. La SUMA de las soluciones de la ecuación: ( ) ( ) ( ) 130log2log2log −=++− xxx es: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 9. Hallar el conjunto solución de la siguiente ecuación: 222 2 1log22 2log +      −=      + xx 10. La SUMA de las soluciones de la ecuación: 3log210 xxx = es: a)10 b)110 c) 10010 + d) 10100 + e) 1010 + 10.6 PROBLEMAS DE APLICACIÓN. Analicemos los siguientes problemas. Problema resuelto 1 Una compañía está ampliando sus instalaciones, y tiene opción para escoger entre dos modelos, cuyas funciones de costo son, respectivamente: ( )5,402log3)(1 ++= xxC y ( )560log2)(2 ++= xxC donde x es la tasa de producción. Entonces, la tasa x para la cual los dos modelos tienen el mismo costo es: a)15 b) 10 c) 20 d) -15 e) -20 SOLUCIÓN: Igualando costos, determinamos el valor de “ x ” buscado: ( ) 10 40040 54052060 )5.402(10560 10 5.402 560 1 5.402 560 log 23)5.402log()560log( )560log(25.402log3 )()( 21 = = −=− +=+ = + + = + + −=+−+ ++=++ = x x xx xx x x x x xx xx xCxC Opción “b”
  • 27. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 292 Los siguientes problemas son modelos de crecimiento y de decrecimiento exponencial. Problema resuelto 2 (calculadora) La población del planeta en 1976 era de 4 mil millones y estaba creciendo a un 2% anual. Si esta tasa de crecimiento sigue vigente, ¿ cuándo alcanzará la población los 10 mil millones. SOLUCIÓN: En la siguiente tabla anotemos la población que tendrá el planeta, año a año, a partir de 1976. Año POBLACIÓN ( P ) 1976 0 40 =P mil millones 1977 1 )02.01(02.0 000 +=+ PPP 1978 2 [ ] 2 0000 )02.01()02.01)(02.01()02.01(02.0)02.01( +=++=+++ PPPP 1979 3 ( )3 0 02.01+P ... ... ... t t PtP )02.01()( 0 += Entonces la función t tP )02.1(4)( = nos permite calcular la población del planeta, en miles de millones de habitantes, en cualquier año a partir de 1976. Para hallar “ t ” cuando la población sea de 10 mil millones de habitantes, hacemos lo siguiente: añost t t t t t 3.46 )02.1log( )5.2log( )02.1log()5.2log( )02.1log()5.2log( )02.1(5.2 )02.1(410 = = = = = = Un modelo de CRECIMIENTO EXPONENCIAL está dado por la siguiente función: t rYty )1()( 0 += donde ≡0Y valor inicial y ≡r tasa de crecimiento. 0y ( )t ryty += 1)( 0
  • 28. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 293 Si tuviésemos un modelo de DECRECIMIENTO EXPONENCIAL, su ecuación sería t rYty )1()( 0 −= (¿POR QUÉ?) (¿CUÁL SERÍA SU GRÁFICA?) Problema resuelto 3 (calculadora) Dos periódicos que compiten tienen circulaciones de 1 millón y 2 millones, respectivamente. Si el primero aumenta su circulación en un 2% al mes, mientras que la circulación del segundo decrece en un 1% al mes, calcule cuánto deberá transcurrir antes de que las circulaciones sean iguales. SOLUCIÓN: Llamemos )(ty a la circulación mensual, en millones de ejemplares, de los periódicos. La información del primer periódico es: 10 =Y y su tasa de crecimiento es 02.0=r . Entonces su función circulación, es: tt ty )02.1(1)02.01(1)( =+= La información del segundo periódico es: 20 =Y y su tasa de decrecimiento es 01.0=r . Entonces su función circulación, es: tt ty )99.0(2)01.01(2)( =−= . Igualando las circulaciones, tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) 2.23 99.0 02.1 log 2log 2log 99.0 02.1 log 2 99.0 02.1 2 99.0 02.1 99.0202.1 =       = =      =      = = t t t t t tt RESPUESTA: Al cabo de 23,2 meses Problemas Propuestos 10.7 1. (Calculadora) El volumen de ventas de una marca de detergente disminuye después de una campaña publicitaria de acuerdo a la fórmula ( ) ( ) t3,1750 −=tV , donde t es el tiempo en meses. La siguiente campaña está planeada para cuando el volumen de ventas haya caído a dos tercios de su valor inicial. ¿Cuánto tiempo debe pasar entre dos campañas sucesivas? 2. Un científico ha determinado que el crecimiento de cierta bacteria está dado por la función ( ) 3 . − = t eAxf , donde A es el número inicial de bacterias que hay al tiempo t = 3. Entonces esta cantidad inicial de bacterias se duplicará para: a) 6=t b) 3 2ln =t c) 32ln −=t d) 2=t e) 32ln +=t ( ) ( )tt yy 02.102.01 =→+= ( ) ( )tt yy 99.0201.012 =→−= t
  • 29. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 294 Misceláneos 1. El CONJUNTO SOLUCIÓN de la ecuación ( ) 1 12 2313log 3 −= −− −+− xx xx , es: a) { }0 b) {}1 c)       2 3 d)       3 2 e) Φ 2. Sea f una función de variable real, tal que 12)( −= − x xf , entonces es VERDAD que: a) rg ( )∞−∞= ,f b) rg ( )∞= ,0f c) rg ( ]0,1−=f d) rg ( )1,0=f e) rg ( )0,1−=f 3. Sea f una función de variable real, tal que       −≤−−−− ≤<− > = − 4;44 44; 4;2 )( 2 xx xx x xf x , entonces la regla de correspondencia de )(xfy = es: a)        −≤+−− <<−− ≤≤ > = − 4;44 04; 40; 4;2 )( 2 xx xx xx x xf x b)        −≤++ <<−− ≤≤ > = − 4;44 04; 40; 4;2 )( 2 xx xx xx x xf x c)       −≤−−−− ≤<− > = − 4;44 44; 4;2 )( 2 xx xx x xf x d)       −≤+−− ≤<−− >− = − 4;44 44; 4;2 )( 2 xx xx x xf x e)        −≤−−−− <<− ≤≤− >− = − 4;44 04; 40; 4;2 )( 2 xx xx xx x xf x 4. La regla de correspondencia de la función f es: a) xxf 2log)( = b) xxf 2log)( = c) xxf 2 1log)( −= d) xxf 2 1log)( = e) xxf 2log)( = 5. Sea f una función de variable real tal que 12)( 3 −= −x xf , entonces es VERDAD que: a) [ )∞= ,1frg b) ( )∞−= ,1fDom c) ( ) )3(31 ff =− d) ( ) )0(631 ff +=− e) 5)3(1 =− f
  • 30. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 295 6. La regla de correspondencia de la función f es: a) )3(log)( 2 1 −= xxf b) )3(log)( 2 1 += xxf c) )3(log)( 2 += xxf d) )3(log)( 2 1 += xxf e) 3log)( 2 1 += xxf 7. Una de las siguientes reglas de correspondencia corresponde al gráfico adjunto, identifíquela: a) ( ) 1log2 += xxf b) 12)( 1 += −x xf c) ( )1log)( 2 −= xxf d) 12)( −= −x xf e) ( ) 12 += −x xf 8. Sea el predicado 1 3 1 16 4 2 :)( − + + = x x xp , entonces su CONJUNTO SOLUCIÓN )(xAp es: a) {}1 b) { }1− c) { }5− d) { }2− e) { }2 9. Si 2 52log =a y 3 13log =a ; 10 ≠∧> aa . Entonces el VALOR de ( )108log 2 a es: a) 8 5 b) 6 c)3 d) 4 3 e) 2 3 10. La SUMA de las soluciones de la ecuación: ( ) xx =2log 2 1; >x Es: a) 4 b) 6 c) 2 5 d) 4 3 e) 3 11. La SUMA de las soluciones de la ecuación ( ) 2 3 2 3 loglog xx = , es: a)2 b)10 c)8 d)5 e)9 12. El VALOR de “ x ” que satisface la ecuación: ( ) 12logln −=x , es: a)2 b)e c)2e d)22 e)2-e 13. Sean f y g funciones de variable real tal que, 3)( 2 += x exf y xxg 3ln)( = . Entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA de )( gf  es: a) 3))(( 2 += xxgf  ; 0>x b) 3))(( += xxgf  ; 0>x
  • 31. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 296 c) 39))(( 2 += xxgf  ; 0>x d) xxgf 8))(( = ; 0>x e) 33ln))(( += xxgf  ; 0>x 14. Sí m=3log4 y n=7log2 ; entonces 21log2 es igual a: a) ( )12 +nm b) 12 +mn c)2n ( )1+m d) nm +2 e) m+2 15. Sea las funciones de variable real x xf 2)( = y ( ) 2log 2 2 += xxg y, entonces la regla de correspondencia de ( ) )(xgf  es: a) ( ) 22 2)( + = x xgf  b) ( ) 22log)( 2 2 += x xgf  c) ( ) 2)( 2 += xxgf  d) ( ) 12log)( 2 2 −+= xxgf  e) No es posible encontrar ( ) )(xgf  16. El MAYOR POSIBLE DOMINIO de la función de variable real ( ) 2 32log )( 2 + −− = x xx xf es el intervalo: a)[ )∞,3 b) ( ) ( )∞∪−− ,31,2 c) ( ) [ ]3,12, ∪∞− d)[ )∞− ,1 e) ( ) ( )3,01,2 ∪−− 17. Sea el predicado 0639:)( =−− xx xp . Entonces su conjunto solución )(xAp es: a) {}1 b) { }2,3 − c) { }2,1 − d) { }2+ e) { }1,1− 18. Una expresión equivalente para )1log( 2 1 3loglog2 +−+ xxx es: a) 1log )3log( 2 +x x x b) 1log 3log 2 +x xx c) 1 3 log 2 +x xx d) 1 )3( log 2 +x x x e) 1log log3log 2 +x xx 19. Sea f una función de variable real, con regla de correspondencia 22)( 1 += −x xf ; entonces la regla de correspondencia de la función inversa 1− f es: a) 1;2)1(log)( 2 1 >−−=− xxxf b) 1;2)1(log)( 2 1 −>−+=− xxxf c) 1;)1(log)( 2 2 1 >−=− xxxf d) 2;1)2(log)( 2 1 >+−=− xxxf e) 2;1)2(log)( 2 1 >−−=− xxxf 20. Sean f y g funciones tales que : 2 2 1 )( −      = x xf y 2)( += xxg , entonces es FALSO que: a) 4 3 )1()2( −=−+ gf b) 2 3 )1)(( −=−gf  c) 0)2)(( =−⋅ gf d) 1)2( =−      g f e) 3)0)(( =fg  21. Dada la función de variable real ( ) xxf −= 10log , entonces el MAXIMO DOMINIO POSIBLE de la función es: a) ( )∞,10 b) ( )10,∞− c) ( )∞− ,10 d)[ )∞,10 e) ( ]10,∞− 22. Sea la función RRf →: con regla de correspondencia : ( ) ( ) ( )     >+− ≤<−− −≤− = 01 011 1log 2 xx xx xx xf entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela: a) ( )xf es sobreyectiva. b) ( )xf es biyectiva. c) ( )xf es una función decreciente. d) ( ) 43 −=f . e) ( )xf es una función impar.
  • 32. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 297 23. Sea f una función de variable real con regla de correspondencia ( ) xxf −= 2log 2 1 , entonces su GRÁFICO es: a) b) c) d) e) 24. Sea f una función de variable real, cuya función inversa tiene regla de correspondencia ( ) ( )       ≤−      >− = −− 2;1 2 1 2;1log 21 2 1 x xx xf x , entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA de f es: a) ( ) ( )    ≥++ <+ = 0;1log2 0;12 2 1 xx x xf x b) ( ) ( )      ≥−+ <+      = 0;21log 0;1 2 1 2 1 xx x xf x c) ( ) ( )      ≥+− <+      = 0;1log2 0;1 2 1 2 1 xx x xf x d) ( ) ( )    ≥++ <− = 0;1log2 0;12 2 1 xx x xf x e) ( ) ( )      ≥++ <+      = 0;1log2 0;1 2 1 2 1 xx x xf x 25. La SUMA DE LAS SOLUCIONES de la ecuación 4 3 log192loglog2 +=x es: a)–12 b)12 c)0 d)24 e)144
  • 33. Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica 298 26. Si xma =log y yna =log . Entonces la expresión: ( )3 2log mnm es EQUIVALENTE a: a) x yx 3 − b) 3 22 yx c) 2 32 yx − d) x yx 2 3+ e) y yx 32 − 27. Sea f una función de variable real, tal que 12)( 3 −= −x xf , entonces es VERDAD que: a) ( )∞−= ,1fDom b)f es decreciente. c)f no es inyectiva. d) f es par. e) ( )∞−= ,1frg 28. Una población de bacterias crece según la fórmula 18 0 )8( t PP = , donde 0P es la población inicial y t el tiempo en días. Entonces es VERDAD que, la población se duplicó al: a) Cuarto día. b) Tercer día. c) Segundo día c) Quinto día e) Sexto día. 29. El volumen de ventas de cierto producto está creciendo exponencialmente a una tasa del 12 % anual. Si el actual volumen es de 500 unidades diarias, entonces el tiempo que se demora en alcanzar 100 unidades es: a) 5 1 ln 3 25 =t años b) 5 1 ln 3 1 =t años c) 2ln 3 2 =t años d) 2ln 4 3 =t años e) 2=t años 30. La SUMA de las solucio nes de la ecuación ( ) 1log3log =++ xx es: a) 5− b) 3− c) 0 d) 2 e) 3