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UNIDAD 2

ALGEBRA BOOLEANA Y COMPUERTAS
           LOGICAS
Algebra Booleana y compuertas logicas
Temario :
• Introducción
•Electrónica Digital
• Algebra de Boole o Booleana.
• Símbolos y funciones lógicas.
•Operaciones con compuertas lógicas
•Leyes del algebra Booleana y circuitos lógicos.
•Teoremas de Morgan
•Mapas de Karnaugh
INTRODUCCIÓN

Después de haber estudiado los sistemas numéricos y las operaciones
   básicas que entre ellos se pueden realizar, ahora iniciaremos el estudio
   del funcionamiento de los circuitos que forman a los sistemas
   electrónicos digitales, que operan mediante el uso de dos valores
   binarios , 0 y 1.
Estas operaciones se sustentan en las leyes y reglas de la lógica
   matemática, por lo cual se les conoce como funciones lógicas.
Las funciones lógicas que desarrollan los circuitos electrónicos digitales
   pueden describirse con base en los postulados del algebra
   convencional aplicados a operaciones que manejan únicamente el
   valor 1 para la presencia de un voltaje y el valor 0 para la ausencia de
   este.
De igual manera estos valores pueden interpretarse como verdadero-
   falso , encendido – apagado, esta relación es conocida como lógica
ELECTRONICA DIGITAL
TIPOS DE SEÑALES
Una señal es la variación de una magnitud que permite transmitir
   información. Las señales pueden ser de dos tipos,analogicas y digitales
Señales Analógicas.- pueden adquirir infinitos valores entre dos extremos
   cualesquiera. La variación de la señal forma una grafica continua,
   como se muestra en la figura 1




                 Figura 1.- señal analógica
ELECTRONICA DIGITAL

Señales Digitales.- pueden adquirir únicamente valores concretos, es
   decir no varían a lo largo de un periodo de tiempo, por ejemplo el
   estado de un foco solo puede tener dos valores encendido 1 y apagado
   0, a cada valor de una señal digital se llama bit y es la unidad mínima
   de información, la figura 2 muestra una grafica digital con dos valores
   discretos.




                 Figura 2.- Señal digital
REPRESENTACION DE LAS SEÑALES DIGITALES


Las señales digitales pueden representarse de dos maneras distintas:
Cronogramas y tablas de verdad
CRONOGRAMAS.- son diagramas señal-tiempo, expliquemos con un
    ejemplo 1: circuito con pulsador y foco figura 3 y cronograma figura 4
P sin pulsar (0)            Foco ON (1)
P pulsado (1)               Foco OFF (0)




Figura3.- circuito eléctrico                Figura4.- Cronograma
REPRESENTACION DE LAS SEÑALES DIGITALES


Ejemplo2:circuito con pulsador y dos focos figura 5 y cronograma figura6
P sin pulsar (0)          Foco1 (B1) ON (1)          Foco2 (B2) ON (1)
P pulsado (1)             Foco1 (B2) OFF (0)         Foco2(B2)OFF (0)




Figura5.- circuito eléctrico               Figura6.- Cronograma
TABLA DE VERDAD

En este tipo de representación no se utiliza el tiempo. Es una tabla en la
   que se presentan las señales de entrada así como las señales de salida
   que corresponden a cada estado.
Realicemos la tabla de verdad para el ejemplo 1 y 2, en las tablas 1 y 2 se
   muestra las tablas de verdad de estos dos ejemplos




Tabla 1.- Tabla de verdad ejemplo 1      Tabla2.-Tabla de verdad ejemplo
   2
El área de la matemática que describe simbólicamente las
funciones lógicas referidas es el algebra Booleana
Donde solamente, tanto las variables como el resultado de
las funciones pueden devolver 0 y 1.


                                                           George Boole (1815-1864)
                                                           Matematico Ingles
Una función booleana toma una o varias                        F(A) es 1 si A es 0
variables de entrada y da por resultado                       F(A) es 0 si A es 1
un valor que depende solo de una de                           Que funcion es?
ellas.
                          http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Boole.html
SIMBOLOS Y FUNCIONES LOGICAS

El algebra Booleana utiliza tres símbolos conectivos que representan las posibles
    relaciones lógicas entre variables:
El signo o símbolo (=), El signo de suma (+) y El signo de multiplicación (x).
Además de un signo de negación, que es una raya horizontal que se traza por encima de
    una variable, o grupo de variables para indicar una operación de negación lógica.
Esta algebra es básica para el análisis y diseño de los circuitos electrónicos digitales,
    estos circuitos son sistemas físicos reales que utilizan componentes electrónicos que
    realizan grandes cantidades de operaciones lógicas a muy altas velocidades
    mediante la aplicación de pequeños voltajes que se interpretan como 1(+V) y 0 para
    la ausencia de voltaje (0V).
El resultado a la salida de una función lógica dependen tanto del valor que tengan las
    variables a la entrada, como de las operaciones que se realicen con estas variables.
El conjunto de las posibles combinaciones de sus entradas y sus resultados se expresan
    atraves de una tabla de verdad
FUNCIÓN DE IGUALDAD (A=B)
Es la función que representa la igualdad entre los valores de dos o mas
   variables. Utiliza el signo igual (=), que indican una situación de
   igualdad entre las cantidades o variables que se encuentran del lado
   izquierdo y las del lado derecho del signo
FUNCIÓN DE NEGACIÓN LOGICA
                (NOT)
El signo de negación logica es una linea horizontal que al escribirlo por
   encima de una variable invierte el valor logico de esta variable .
La operación logica que realiza se denomina función de negación o
   función NOT
FUNCIÓN DE DISYUNCIÓN (OR)
Es la operación lógica entre dos o mas variables que llevan entre si el
   conectivo +
FUNCIÓN DE CONJUNCIÓN (AND)
Es la operación lógica entre dos o mas variables que llevan entre si el
              .
   conectivo ( )
COMBINACIONES ENTRE FUNCIONES BASICAS
            FUNCIÓN SUMA (NOR)

Esta función es la combinación entre la función OR y la función NOT por
   lo tanto estamos negando la salida de la función OR.
COMBINACIONES ENTRE FUNCIONES BASICAS
           FUNCIÓN SUMA (NAND)

Esta función es la combinación entre la función AND y la función NOT
   por lo tanto estamos negando la salida de la función AND.
OPERACIONES CON COMPUERTAS LOGICAS


En electrónica digital se da el nombre de compuerta lógica, a un circuito
   lógico cuya salida es el resultado de procesar una o mas variables que
   recibe a la entrada, mediante la aplicación de operaciones lógicas dadas
   por algún criterio.
Circuito lógico.- es un conjunto de elementos que realizan operaciones
   lógicas relacionando cantidades, que pueden ser de valor constante o
   variable, para proporcionar finalmente un resultado.
Un circuito lógico puede describirse completamente a través de las tres
   operaciones básicas OR,AND y NOT, utilizando para esto compuertas
   lógicas como se vera en el siguiente ejemplo.
EEJMPLO 1


Para las variables A,B y C dadas en el circuito lógico de la figura 1 obtén
   la expresión para la salida S y su tabla de verdad.




                  figura 1.- circuito lógico para el ejemplo 1
EEJMPLO 2

Implementar con compuertas lógicas básicas (AND,OR,NOT) la siguiente
  función y obtén su tabla de verdad
LEYES DELALGEBRA BOOLEANA
De manera semejante al algebra convencional, en el algebra Booleana
   existen leyes y propiedades, así como diversos teoremas cuya aplicación
   facilita el análisis de expresiones booleanas o bien de circuitos lógicos.
LEY CONMUTATIVA
Esta ley establece que en una función sea OR o AND, el orden de las
   variables no altera el resultado.
A+B=B+A                               A.B=B.A
LEY ASOCIATIVA
Esta ley establece que el orden en que se agrupen o asocien las variables que
   intervienen en una función sea OR o AND no altera el resultado.
(A+B) +C = A+(B+C)                    (A.B).C = A.(B.C)
LEY DISTRIBUTIVA
En algebra booleana, esta ley tiene el mismo efecto que en el algebra
   convencional, esto es:
                             A.(B+C) = A.B + A.C
REGLAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
Teoremas de DeMorgan


Ademas de las leyes y reglas expuestas, existen dos teoremas de gran
importancia en laaplicación del algebra booleana; el primero se refiere a que la
negación de la conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones y su
expresión es :
Este teorema se interpreta diciendo que el complemento de un producto es igual
a la suma de los complementos.
El segundo teorema establece que la negación de la disyunción es equivalente a
laconjunción de las negaciones; o tambien que el complemento de una suma es
igual al producto de los complementos, su expresión es:
SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LOGICAS O
                    BOOLEANAS

Existen varios métodos      para simplificar   funciones lógicas, veremos los
siguientes:
1.- Por manipulación algebraica
Se simplifica sustituyendo las operaciones usando las reglas, leyes y teoremas
descritos anteriormente, lógicamente solo se aplicaran aquellos que se puedan
aplicar.
Ejemplo:
dada la expresión C.(D+E)+D(D+E), reducirla a su expresión mínima.
                        Solución:
Paso 1 al aplicar la ley distributiva queda la expresión: C.D+C.E+D.D+D.E
Paso 2 al aplicar la regla D.D=D queda la expresión:   C.D+C.E+D+D.E
Paso 3 al aplicar la ley distributiva en el primer y tercer termino
CONTINUACION DEL EJEMPLO

Paso 4 al aplicar la regla C+1=1 queda D.1+CE+DE
Paso 5 al aplicar la regla D.1=D queda la expresión: D+C.E+D.E
Paso 6 al aplicar la ley distributiva al primero y tercer termino queda la
expresión:  D.(1+E)+C.E
Paso 7 al aplicar la regla 1+E=1 queda la expresión D.1+CE
Paso 8 finalmente se aplica la regla D.1=D para llegar a la expresión simplificada
                           D+CE
Resultado:
                 C.(D+E)+D.(D+E)=D+C.E
El resultado obtenido para este ejemplo se puede verificar elborando la tabla de
verdad para ambas expresiones la original y la simplificada, se debe llegar al
mismo resultado para cada combinación de posibles valores de las variables de
entrada .
SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LOGICAS O
                     BOOLEANAS

2.- TABLAS DE KARNAUGH
Es un sistema muy utilizado para simplificar funciones lógicas complejas, sobre
todo con varias variables (hasta 5 o 6). Como bases fundamentales se deben
establecer:
-existen 2 elevado a la n celdas en el mapa, donde n es el numero de variables
- en cada celda solo puede cambiar un bit (dato) respecto de la anterior.
- las agrupaciones se pueden realizar de múltiples modos pero únicamente en
grupos de : 1,2,4,8,etc.
EJEMPLO
CONTINUACION DEL EJEMPLO
GRACIAS

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  • 1. UNIDAD 2 ALGEBRA BOOLEANA Y COMPUERTAS LOGICAS
  • 2. Algebra Booleana y compuertas logicas Temario : • Introducción •Electrónica Digital • Algebra de Boole o Booleana. • Símbolos y funciones lógicas. •Operaciones con compuertas lógicas •Leyes del algebra Booleana y circuitos lógicos. •Teoremas de Morgan •Mapas de Karnaugh
  • 3. INTRODUCCIÓN Después de haber estudiado los sistemas numéricos y las operaciones básicas que entre ellos se pueden realizar, ahora iniciaremos el estudio del funcionamiento de los circuitos que forman a los sistemas electrónicos digitales, que operan mediante el uso de dos valores binarios , 0 y 1. Estas operaciones se sustentan en las leyes y reglas de la lógica matemática, por lo cual se les conoce como funciones lógicas. Las funciones lógicas que desarrollan los circuitos electrónicos digitales pueden describirse con base en los postulados del algebra convencional aplicados a operaciones que manejan únicamente el valor 1 para la presencia de un voltaje y el valor 0 para la ausencia de este. De igual manera estos valores pueden interpretarse como verdadero- falso , encendido – apagado, esta relación es conocida como lógica
  • 4. ELECTRONICA DIGITAL TIPOS DE SEÑALES Una señal es la variación de una magnitud que permite transmitir información. Las señales pueden ser de dos tipos,analogicas y digitales Señales Analógicas.- pueden adquirir infinitos valores entre dos extremos cualesquiera. La variación de la señal forma una grafica continua, como se muestra en la figura 1 Figura 1.- señal analógica
  • 5. ELECTRONICA DIGITAL Señales Digitales.- pueden adquirir únicamente valores concretos, es decir no varían a lo largo de un periodo de tiempo, por ejemplo el estado de un foco solo puede tener dos valores encendido 1 y apagado 0, a cada valor de una señal digital se llama bit y es la unidad mínima de información, la figura 2 muestra una grafica digital con dos valores discretos. Figura 2.- Señal digital
  • 6. REPRESENTACION DE LAS SEÑALES DIGITALES Las señales digitales pueden representarse de dos maneras distintas: Cronogramas y tablas de verdad CRONOGRAMAS.- son diagramas señal-tiempo, expliquemos con un ejemplo 1: circuito con pulsador y foco figura 3 y cronograma figura 4 P sin pulsar (0) Foco ON (1) P pulsado (1) Foco OFF (0) Figura3.- circuito eléctrico Figura4.- Cronograma
  • 7. REPRESENTACION DE LAS SEÑALES DIGITALES Ejemplo2:circuito con pulsador y dos focos figura 5 y cronograma figura6 P sin pulsar (0) Foco1 (B1) ON (1) Foco2 (B2) ON (1) P pulsado (1) Foco1 (B2) OFF (0) Foco2(B2)OFF (0) Figura5.- circuito eléctrico Figura6.- Cronograma
  • 8. TABLA DE VERDAD En este tipo de representación no se utiliza el tiempo. Es una tabla en la que se presentan las señales de entrada así como las señales de salida que corresponden a cada estado. Realicemos la tabla de verdad para el ejemplo 1 y 2, en las tablas 1 y 2 se muestra las tablas de verdad de estos dos ejemplos Tabla 1.- Tabla de verdad ejemplo 1 Tabla2.-Tabla de verdad ejemplo 2
  • 9. El área de la matemática que describe simbólicamente las funciones lógicas referidas es el algebra Booleana Donde solamente, tanto las variables como el resultado de las funciones pueden devolver 0 y 1. George Boole (1815-1864) Matematico Ingles Una función booleana toma una o varias F(A) es 1 si A es 0 variables de entrada y da por resultado F(A) es 0 si A es 1 un valor que depende solo de una de Que funcion es? ellas. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Boole.html
  • 10. SIMBOLOS Y FUNCIONES LOGICAS El algebra Booleana utiliza tres símbolos conectivos que representan las posibles relaciones lógicas entre variables: El signo o símbolo (=), El signo de suma (+) y El signo de multiplicación (x). Además de un signo de negación, que es una raya horizontal que se traza por encima de una variable, o grupo de variables para indicar una operación de negación lógica. Esta algebra es básica para el análisis y diseño de los circuitos electrónicos digitales, estos circuitos son sistemas físicos reales que utilizan componentes electrónicos que realizan grandes cantidades de operaciones lógicas a muy altas velocidades mediante la aplicación de pequeños voltajes que se interpretan como 1(+V) y 0 para la ausencia de voltaje (0V). El resultado a la salida de una función lógica dependen tanto del valor que tengan las variables a la entrada, como de las operaciones que se realicen con estas variables. El conjunto de las posibles combinaciones de sus entradas y sus resultados se expresan atraves de una tabla de verdad
  • 11. FUNCIÓN DE IGUALDAD (A=B) Es la función que representa la igualdad entre los valores de dos o mas variables. Utiliza el signo igual (=), que indican una situación de igualdad entre las cantidades o variables que se encuentran del lado izquierdo y las del lado derecho del signo
  • 12. FUNCIÓN DE NEGACIÓN LOGICA (NOT) El signo de negación logica es una linea horizontal que al escribirlo por encima de una variable invierte el valor logico de esta variable . La operación logica que realiza se denomina función de negación o función NOT
  • 13. FUNCIÓN DE DISYUNCIÓN (OR) Es la operación lógica entre dos o mas variables que llevan entre si el conectivo +
  • 14. FUNCIÓN DE CONJUNCIÓN (AND) Es la operación lógica entre dos o mas variables que llevan entre si el . conectivo ( )
  • 15. COMBINACIONES ENTRE FUNCIONES BASICAS FUNCIÓN SUMA (NOR) Esta función es la combinación entre la función OR y la función NOT por lo tanto estamos negando la salida de la función OR.
  • 16. COMBINACIONES ENTRE FUNCIONES BASICAS FUNCIÓN SUMA (NAND) Esta función es la combinación entre la función AND y la función NOT por lo tanto estamos negando la salida de la función AND.
  • 17. OPERACIONES CON COMPUERTAS LOGICAS En electrónica digital se da el nombre de compuerta lógica, a un circuito lógico cuya salida es el resultado de procesar una o mas variables que recibe a la entrada, mediante la aplicación de operaciones lógicas dadas por algún criterio. Circuito lógico.- es un conjunto de elementos que realizan operaciones lógicas relacionando cantidades, que pueden ser de valor constante o variable, para proporcionar finalmente un resultado. Un circuito lógico puede describirse completamente a través de las tres operaciones básicas OR,AND y NOT, utilizando para esto compuertas lógicas como se vera en el siguiente ejemplo.
  • 18. EEJMPLO 1 Para las variables A,B y C dadas en el circuito lógico de la figura 1 obtén la expresión para la salida S y su tabla de verdad. figura 1.- circuito lógico para el ejemplo 1
  • 19. EEJMPLO 2 Implementar con compuertas lógicas básicas (AND,OR,NOT) la siguiente función y obtén su tabla de verdad
  • 20. LEYES DELALGEBRA BOOLEANA De manera semejante al algebra convencional, en el algebra Booleana existen leyes y propiedades, así como diversos teoremas cuya aplicación facilita el análisis de expresiones booleanas o bien de circuitos lógicos. LEY CONMUTATIVA Esta ley establece que en una función sea OR o AND, el orden de las variables no altera el resultado. A+B=B+A A.B=B.A LEY ASOCIATIVA Esta ley establece que el orden en que se agrupen o asocien las variables que intervienen en una función sea OR o AND no altera el resultado. (A+B) +C = A+(B+C) (A.B).C = A.(B.C) LEY DISTRIBUTIVA En algebra booleana, esta ley tiene el mismo efecto que en el algebra convencional, esto es: A.(B+C) = A.B + A.C
  • 21. REGLAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
  • 22. Teoremas de DeMorgan Ademas de las leyes y reglas expuestas, existen dos teoremas de gran importancia en laaplicación del algebra booleana; el primero se refiere a que la negación de la conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones y su expresión es : Este teorema se interpreta diciendo que el complemento de un producto es igual a la suma de los complementos. El segundo teorema establece que la negación de la disyunción es equivalente a laconjunción de las negaciones; o tambien que el complemento de una suma es igual al producto de los complementos, su expresión es:
  • 23. SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LOGICAS O BOOLEANAS Existen varios métodos para simplificar funciones lógicas, veremos los siguientes: 1.- Por manipulación algebraica Se simplifica sustituyendo las operaciones usando las reglas, leyes y teoremas descritos anteriormente, lógicamente solo se aplicaran aquellos que se puedan aplicar. Ejemplo: dada la expresión C.(D+E)+D(D+E), reducirla a su expresión mínima. Solución: Paso 1 al aplicar la ley distributiva queda la expresión: C.D+C.E+D.D+D.E Paso 2 al aplicar la regla D.D=D queda la expresión: C.D+C.E+D+D.E Paso 3 al aplicar la ley distributiva en el primer y tercer termino
  • 24. CONTINUACION DEL EJEMPLO Paso 4 al aplicar la regla C+1=1 queda D.1+CE+DE Paso 5 al aplicar la regla D.1=D queda la expresión: D+C.E+D.E Paso 6 al aplicar la ley distributiva al primero y tercer termino queda la expresión: D.(1+E)+C.E Paso 7 al aplicar la regla 1+E=1 queda la expresión D.1+CE Paso 8 finalmente se aplica la regla D.1=D para llegar a la expresión simplificada D+CE Resultado: C.(D+E)+D.(D+E)=D+C.E El resultado obtenido para este ejemplo se puede verificar elborando la tabla de verdad para ambas expresiones la original y la simplificada, se debe llegar al mismo resultado para cada combinación de posibles valores de las variables de entrada .
  • 25. SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LOGICAS O BOOLEANAS 2.- TABLAS DE KARNAUGH Es un sistema muy utilizado para simplificar funciones lógicas complejas, sobre todo con varias variables (hasta 5 o 6). Como bases fundamentales se deben establecer: -existen 2 elevado a la n celdas en el mapa, donde n es el numero de variables - en cada celda solo puede cambiar un bit (dato) respecto de la anterior. - las agrupaciones se pueden realizar de múltiples modos pero únicamente en grupos de : 1,2,4,8,etc.