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CURSO: INTRODUCCIÓN A
LA ECONOMETRÍA
APLICADA A LAS FINANZAS
02 de junio de 2016
1
3.- Modelos univariados de series de tiempo para estimación. Modelos
autorregresivos, promedios móviles, funciones de autocorrelación parcial,
Modelos ARMA, EWMA.
CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO
2
Este es un análisis alternativo al Modelo clásico de regresión lineal, el cual
surgió en los años 70 de la mano del libro Time Series Analysis,
Forecasting and Control de George Box y Gwilym Jenkins, donde
propusieron un análisis univariado de series de tiempo postulando la
existencia de un proceso estocástico generador de datos (data generating
process).
Modelos que predicen variables financieras usando sólo información
contenida en sus propios valores pasados y posiblemente en los valores
presentes y pasados del término de error. La evolución de una serie de
tiempo puede explicarse por su propio pasado más la acción de una
perturbación aleatoria.
Modelos de series de tiempo son a-teóricos. Su construcción y uso no está
basado en algún modelo teórico sobre el comportamiento de la variable. En
lugar de ello, estos modelos capturan características empíricas relevantes
de la data observada (por eso se recomienda no abarcar largo plazo en
data).
Ejemplos: ARIMA (Box – Jenkins 1976) yt = ǿ Yt-1
CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO
3
Lo más importante en una serie de tiempo es determinar si los datos son
estacionarios o no para determinar si la serie puede influenciar sus
propiedades y comportamiento.
Proceso estrictamente estacionario (mean-reverting), es decir, el ǿ<0,8
Es aquel cuya función de distribución se mantiene igual en la medida que
el tiempo pasa implicando que la probabilidad de que yt caiga dentro de un
intervalo particular es la misma ahora como en cualquier momento en el
pasado o futuro.
Proceso débilmente estacionario
Presentan promedio, varianza y auto-covarianza constante.
Auto-covarianza: Determina como yt está relacionado con sus valores
previos y por una serie estacionaria. Dependen sólo de la diferencia entre
Yt-1 y Yt-2. Así que la covarianza entre Yt-1 y Yt-2 es la misma como la
covarianza entre Yt-10 y Yt-11.
CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO
4
Fórmulas Covarianza
Covarianza Muestral (X,Y) = ∑ [(Xi – X)(Yi – Y) ]
n-1
Covarianza = Correlación lineal entre X y Y (ρ) * σx * σy
Autocovarianza: Autocorrelación de una serie temporal discreta de un
proceso Xt no es más que simplemente la correlación de dicho proceso con
una versión desplazada en el tiempo de la propia serie temporal.
5
Es más conveniente usar las autocorrelaciones los cuales son las
autocovarianzas normalizadas cuando son divididas por la varianza. Este tipo
de autocorrelación tiene la propiedad estándar como los coeficientes de
correlación en las que los valores se mueven en un rango de ± 1. Y si estos
valores son graficados podríamos obtener una función de autocorrrelación o
correlograma.
Proceso de ruido Blanco (White Noise) Es decir, el ǿ=0
Proceso en la cual no presenta una estructura discernible. Presenta media y
varianza constante y cada observación es incorrelacionada con todos los otros
valores de la secuencia. Se asume que Yt se distribuye como una normal,
entonces los coeficientes de autocorrelación aproximadamente también están
normalmente distribuidos. Asímismo, los residuos no están correlacionados.
Los coeficientes de autocorrelación pueden ser usados para construir pruebas
de significancia para determinar si es significativamente diferente de cero
±1.96*1/√(T). Si el coeficiente de autocorrelación se encuentra fuera de la
región entonces la hipótesis nula de no autocorrelación es rechazada (es decir,
existe autocorrelación).
Autocorrelación Parcial: correlación entre yt y yt-3 después de controlar yt-1 y yt-2
CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO
6
También se pueden hacer pruebas conjuntas (globales) usando el estadístico Q de Box
y Pierce (1970) Ho= NO ACR (ojo propiedad de fallar en caso de muestras pequeñas)…
Para solventar esta situación, en 1978 Ljung y Box desarrollaron una estadística en la
cual cuando la muestra se aproxima al infinito se aproxima a la Q de Box y Pierce.
Proceso de Promedio Móvil (MA)
Combinación de procesos de ruido blanco…. (Yt. Depende de los valores presentes y
pasados de los términos de error de ruido blanco). Ø son los ponderadores que indican
la persistencia de shocks pasados. Si Ø=0.3 de Ut-1 indica que en el mes en curso, la
perturbación ocurrida el mes pasado todavía conserva esa parte de su magnitud (un
30% en este caso).
Yt = μ + ut + ø1 ut-1 + ø2 ut-2 + ø3 ut-3 + ø4 ut-4 + ….. + øq ut-q
Proceso Autoregresivo (AR) utilizado en 1927 por Yule aplicado en la predicción de las
manchas solares.
Los valores presentes de la variable Y depende sólo de los valores que la variable
toman en los períodos previos (realizaciones anteriores) más su término de error.
Realizaciones más lejanas en el tiempo no tienen influencia destacable sobre magnitud
actual de la variable.
Yt = μ + ø1 yt-1 + ø2 yt-2 + ø3 yt-3 + ø4 yt-4 + ….. + øq yt-p + ut
Estacionariedad es una propiedad deseable de un modelo AR.
CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO
7
En caso de que un proceso AR es no estacionario tiene la mala propiedad
de que los valores previos del término de error tendrá un efecto no
descendiente sobre los valores corrientes de yt a la medida que el tiempo
progresa.
Proceso ARMA
Combinación AR y MA. Los valores corrientes de la serie de y depende
linealmente de sus previos valores propios (yt-1, yt-2, etc.) más una
combinación de valores corrientes y presentes del término de error de ruido
blanco.
Yt = μ + ø1 yt-1 + ø2 yt-2 + ø3 yt-3 + ….. + øq yt-p + ut + ø1 ut-1 + ø2 ut-2 + ø3 ut-3
+ ø4 ut-4 + ….. + øq ut-q
La correlación parcial es importante en este caso.
CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO
8
Proceso ARIMA
Combinación AR y MA integrado (lo mismo que un proceso ARMA con
datos que se lograron diferenciar o se hicieron transformaciones para ser
estacionarios).
Ruido Blanco:
Rt = Ro +Ԑt
Ԑt = variable aleatoria (distribución N(0,σ2)). Es decir, el ǿ=0
Este modelo es una clase de modelo estacionario e implica que la variable
oscila alrededor del valor “natural” o de largo plazo (Ro), movida por la
influencia de un factor aleatorio no predecible. Los cambios que se
producen en un período no persisten en el tiempo. Cuando una serie se
comporta de acuerdo a este modelo se dice que es I(0), integrada de orden
cero.
CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO
9
Random Walk:
Rt = ǿ Rt-1 +Ԑt Es decir, el ǿ=1
Donde Ԑt tiene una distribución normal1 con media cero y variancia finita y
no tiene correlación serial (o sea, Ԑt es ruido blanco). Según este modelo,
el mejor predictor de una variable en el período t es la tasa del período t-1.
Cuando se produce una perturbación aleatoria en la variable, ésta tiene
infinita persistencia en el tiempo. La tasa no está acotada (puede adoptar
cualquier valor).
Cuando una serie se comporta de acuerdo a este modelo es no
estacionaria y se dice que es I(1), integrada de orden uno.
El modelo random walk es un caso límite de un modelo más general, el
autorregresivo de orden uno (AR(1)), en el cual las perturbaciones tienen
cierta persistencia, pero la variable vuelve eventualmente a su nivel de
equilibrio.
CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO
1 No es imprescindible la normalidad para los procesos de ruido blanco.
10
Modelo Autoregresivo de Orden 1 (AR(1)):
Rt = c + βRt-1 + Ԑt
donde 0<β<1 y Ԑt tiene una distribución normal con media cero y variancia
finita. El valor de β determina la velocidad de la variable (tasa de interés, tc,
etc.) para regresar a su valor de largo plazo. Ese período se denomina de
"reversión a la media" ("mean reversion"). La "vida media" ("half life") es el
tiempo que demora en reducirse a la mitad un shock inicial en R y
constituye una medida de la persistencia de los shocks. La vida media (así
como la persistencia) es mayor en la medida en que β se aproxima a uno.
Así, un β =0,9950 implica que el proceso tiene una vida media de 5 años,
mientras que si β =0,9975 la vida media es de 10 años.
Estos modelos suponen que el término del error Ԑt posee varianza
constante, lo cual puede no ser cierto. Una manera de modelar una
varianza variable en el tiempo es suponer que ésta depende de la varianza
y del error en el período anterior. Los modelos más comúnmente
considerados son los modelos GARCH y, especialmente, el modelo
GARCH (1,1). Interesante paper sobre modelos de comportamiento de las tasas de interés
CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO
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Fuente: Software Shop 13
Fuente: Software Shop 14
Fuente: Software Shop 15
Fuente: Software Shop 16
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Identificación de tipos de modelos que mejor se adaptan al
comportamiento de los datos. AC varia entre -1 y 1
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
pacac
MA(1) Yt = -0,5 ut-1 + ut
pacac
MA(2) Yt = 0,5 ut-1 – 0,25 ut-2 + ut
acf
pacf
1 Ac y descendente pac 2 Ac y descendente pac
Barra vertical distancia +2sigma un valor AC dentro de las líneas punteadas no es signif
diferente de cero es decir hay ACR (Ho= ACR=0=no ACR) p-value=0,000 a nivel sig 5%
30
Proceso ARIMA
ACF: Sus valores pueden variar entre –1 y 1 correspondientes a un rezago
k indican si existe correlación entre los valores de la serie separados por k
períodos. Si los valores decrecen rápidamente a medida que los rezagos
se incrementan hasta hacerse menores que las líneas punteadas trazadas
a ambos lados del eje vertical. Estas líneas están trazadas a una distancia
de dos desviaciones estándares de la serie, e indican que un valor
individual de ACR dentro de dichas líneas no es significativamente
diferente de cero (nivel de significación aproximado del 5%).
PACF: para un rezago dado k indican la autocorrelación remanente entre
valores de series separados por k períodos, removiendo previamente la
ACR correspondiente a períodos intermedios. Mismas líneas punteadas +-
2 sigmas. Distancia entre líneas punteadas y la línea base se computa
como 2 / √T.
En regresión lineal clásica la ACR constituye una violación de los
supuestos, en enfoque ARMA corresponde la materia prima del análisis.
(Pág. 173 libro fabris).
CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO
31
Identificación de tipos de modelos que mejor se adaptan al
comportamiento de los datos.
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
pacac
AR(1) Yt = 0,9 yt-1 + ut
acf
pacf
1 Pacf no pacf entre yt y yt-1
Función descendente acf
(lenta)
pacac
AR(1) Yt = 0,5 yt-1 + ut
1 Pacf y función descendente
acf
acf pacf
32
Identificación de tipos de modelos que mejor se adaptan al
comportamiento de los datos.
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
pacac
AR(1) Yt = -0,5 yt-1 + ut
acf
pacf
pacac
Modelo no estacionario
coeficiente uno: yt = yt-1 +ut1 Pacf no pacf entre yt y yt-1
Función descendente acf
(rápida)
33
Identificación de tipos de modelos que mejor se adaptan al
comportamiento de los datos.
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
pacac
ARMA(1,1) Yt = 0,5 yt-1 + 0.5ut-1 + ut
acf
pacf
Yt
acf
AR
Ut
pacf
MA
Resumen
34
Pasos en la construcción de un modelo ARMA según Box-Jenkins.
1.- Identificación: Determinación del orden del modelo requerido para
capturar las características dinámicas de la data (AC y PAC para ver el
patrón de dependencia temporal de la serie) para determinar la
especificación mas apropiada. Criterios de información de Akaike, Schwarz
(penaliza mas que Akaike) y Hannan-Quinn….agregando nuevas variables
o rezagos tienen efectos castigo sobre los Criterios de información
mencionados arriba…penalizan agregación nuevos parámetros…los
valores más favorables son los menores o en su caso los más negativos)…
RSS se reducen pero la penalidad se incrementa R.
Akaike (AIC)= -2 ( L/T) + 2 (k/T)
Schwarz (SIC)= -2 (L/T)+ k (ln(T) / T )
L es la función de verosimilitud… log likelihood. k= parámetros. T= Número
observaciones.
2.- Estimación: Determinación de los parámetros del modelo especificado
en el paso 1…. Usando MCO (OLS) o máxima verosimilitud. Ver estad t
(valor abs mayor a 2 rechazamos Ho), error estándar, p-value, R2.
CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO
Akaike y Schawrz
AR/MA 0 1
0 2.7525 2.75537
1 2.75582 2.75941
35
3.- Chequeo de Diagnóstico: sobre alimentación (overfitting) y diagnóstico de los
residuales (residual diagnostics)… Overfitting: buscando un modelo más grande
para capturar la dinámica de la data (ojo ni muy pequeño ni muy
grande…parsimonioso)….. Diagnóstico de los residuales: chequeo de los
residuales para evidenciar si existe dependencia lineal (modelo inadecuado), acf,
pacf, Ljung-box (Q o significancia conjunta desde el orden 1 hasta el orden k). Se
busca un modelo parsimonioso porque un modelo que posea rezagos irrelevantes
de la variable y del término de error (muchos parámetros innecesarios) incrementa
el EE (error estándar) y dificulta encontrar relaciones significativos en la data.
Necesitamos verificar que los residuos sean de ruido blanco.
Modelos con parámetros innecesarios se inclinan en ajustar a los datos
características específicas las cuales no se pueden replicar fuera de la muestra
(elevados R2) pero con estimaciones imprecisas.
Lo importante en estos casos de modelos univariados de series de tiempo es que el
coeficiente de bondad de ajuste R2 no resulta ser una buena guía respecto de la
adecuación de nuestro modelo. Como a diferencia de las regresiones tradicionales,
los regresores en este caso son variables aleatorias, el estadístico R2 que es una
razón de variabilidades, depende de la variabilidad de los mismos. Fabris pp. 181.
CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO
36
3.- Chequeo de Diagnóstico (cont.): La adecuación del modelo, como también ha sido
dicho no resulta de chequear la bondad del ajuste con el estadístico R2. Lo más importante
en este enfoque, que se basa en la modelización de la autocorrelación presente, es que
no quede autocorrelación permanente, lo cual indicaría que hay información disponible
que no está siendo utilizada. Esto se prueba verificando que los residuos de la regresión
sean ruido blanco.
Verificar que el residuo es ruido blanco (es decir, sin ACR):
1)Verificar correlograma de los residuos de la regresión. Q stat. De Ljung-Box desde
orden 1 hasta el orden k. Significancia conjunta Ho=no ACR. Para un nivel de significancia
del 5% un valor p menor que 0,05 indica rechazar la Ho de no ACR hasta el orden k. Que
valor de k? algunos econometristas como Diebold (1998) sugiere k=√T para series
cortas…Otros sugieren guiarse por la periodicidad de la serie y así chequear valores Q
para k=4,8,12 en series trimestrales y k=12,24 y 36 para series mensuales. Otra prueba:
2)Test de Breusch y Godfrey: View/residual test…serial correlation LM test….el test Q
solo se reporta para valores de k que superan la cantidad de regresores…si una ecuación
hay 3 regresores (β), el primer test Q que el programa calcula es el correspondiente a k=4
Ho=no existencia de correlación serial en los residuos hasta el orden k. Verificada la
ausencia de ACR en los residuos de las regresiones…Q*R2 p- value mayor 0,05 hay más
de 5% de probabilidad de No ACR en los residuales..Bueno. En cada modelo se verifica
que los residuos de la estimación de los parámetros sean de ruido blanco.. Para hacerlo
se inspecciona tambien correlograma Q Ljung Box. Cuando residuo no sea ruido blanco
este criterio es prioritario.
CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO
37
Para el caso de no tener ningún modelo que haya conseguido eliminar la ACR en los
residuos de la regresión, simplemente elegiremos entre los candidatos el que presente el
mayor valor del criterio elegido.
Transformaciones para estacionarizar series de tiempo (Fabris 189):
a) Extracción de una tendencia determinística: Por ejemplo está claro que una serie
que crece en el tiempo no será estacionaria en media, pero si la regresamos contra
una tendencia (lineal, cuadrática, logarítmica, etc.) quizás podamos transformarla en
una serie que si lo sea. Luego analizaríamos la serie transformada, la identificaríamos,
predeciríamos sus valores futuros y, finalmente, haríamos la transformación inversa
para tener las predicciones de la serie original. La extracción de la tendencia es muy
sencilla si sabemos el tipo de tendencia de qué se trata. Por ejemplo, una tendencia
lineal se determina mediante una regresión contra una tendencia, o sea una serie que
crece uniformemente en el tiempo (t=1, 2, 3) que el programa E-views genera
automáticamente con el comando @trend. Archivo pbi.wf1. Esta serie no es
estacionaria en media (ver gráfico), pero regresándola contra una tendencia quizás
logremos estacionalizarla. La regresaremos contra una tendencia lineal (@trend) o
podríamos probar con @trend^2 o @log(@trend) para tendencia logarítmica. PBI_PM
regresada contra @tend podría tenerse una serie destendenciada es el residuo (en
este caso no se logró). Fuente: Fabris, Julio (capítulo de Modelos univariados).
b) Transformaciones de Box y Cox (igual que con heteroscedasticidad) aplicando log
aplanaría la variabilidad de la misma. (logaritmación)
CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO
38
Para el caso de no tener ningún modelo que haya conseguido eliminar la ACR en los
residuos de la regresión, simplemente elegiremos entre los candidatos el que presente el
mayor valor del criterio elegido.
Transformaciones para estacionarizar series de tiempo (cont.):
c) Extracción de una tendencia estocástica… Diferenciándola Zt= Yt- Yt-1 = d(Yt)… se
denominan también series integradas (orden 1 cuando es primera diferencia). La
característica de las series integradas es la persistencia de las perturbaciones en el
tiempo. Es por eso, que en los correlogramas puede detectarse a partir del no
decaimiento de la función de autocorrelación. Se logra un claro retorno a la media
(ejemplo con D(pbi_pm del texto de Julio Fábris).
d) Test de Raíz unitaria: Si hay tendencia determinística (se estacionariza restándole
dicho valor de tendencia como ya hemos visto), pero si la tendencia es aleatoria o
estocástica (es decir generada por un proceso denominado paseo aleatorio o random
walk) que no tiene dirección definida y tiene varianza infinita. En este caso no hay
forma de extraer la tendencia… se trabajaría con las diferencias de la serie original.
Así nuestros procedimientos sería no válidos en el caso de NO ESTACIONARIEDAD.
Ver inverted roots del polinomio AR que si valen 1 es no estacionaria.. Un valor
superior a 0,95 amerita estudio más cuidadoso. También se puede usar View/ARMA
Structure… /Roots… El problema de la estacionariedad sólo se presenta en el
polinomio AR, no en el polinomio MA.
CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO
39
Pruebas de raíces unitarias (cont.)… EViews ..hacer prueba intercepto y tendencia
(trend)… este es el test que brinda menos potencia y si no se rechaza ir eligiendo
modelos en orden creciente de potencia (solo intercepto) y luego none.
Ho= ø = 1 (es decir tiene raíz unitaria, o sea que es no estacionaria…p-value=0,1497
es decir, hay 14,97% de probabilidad de caer en Ho de raíz unitaria, es decir es no
estacionaria.
CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO
NEE
Valores críticos
del test (1%, 5%
y 10%)
Si diferenciamos una vez (primer orden), dos veces (segundo orden).
-2,4154-3,0123
40
Recomendación…como cuando aplicábamos Dummy para dar cuenta de la estacionalidad
(ojo!! no estacionariedad) estacionalidad: variación de los valores a lo largo del año,
mientras estacionariedad se refiere a metodología Box-Jenkins en la búsqueda de data
estable… se reemplaza variables Dummy por términos de autocorrelación coincidentes
con la serie trimestral para detectar si los valores de los trimestres análogos de cada año
están correlacionados. En las series mensuales un término AR(12) detectaría los patrones
anuales….AR(4) ara detectar si los valores de los trimestres análogos de cada año están
correlacionados. AR(5) efecto fin de semana, los retornos de los días lunes deberían ser
diferentes de los retornos del resto de la semana hábil. Ejemplo pág. 197 Julio Fábris..
modelo con componentes estacionales…. Seleccionamos modelo AR(1) con un término
estacional SAR(4)… En caso de que no se logre.. Existiría raíz unitaria estacional..
Ejemplo en los casos de que no se pueda remover una correlación de cuarto orden,
ejemplo en una serie trimestral agregando términos AR(4), SAR(4) o sus equivalentes MA,
se deberá realizar la diferenciación estacional de la serie…. Zt=Yt- Yt-4.
CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO
41
CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO
Ejemplo:
En este caso el valor de la inflación en el año en curso “hereda” una magnitud de 84,88% del valor
alcanzado en el período anterior y puede persistir Inercia inflacionaria? Las realizaciones más lejanas
en el tiempo no tienen influencia destacable sobre la magnitud actual de la variable. 42
CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO
43
Estimación en econometría:
La modelización univariada de la serie propuesta por metodología Box
Jenkins el pronóstico se basa sólo en las realizaciones pasadas de las
misma, por lo cual no se presenta aquí el problema que aparecía en las
regresiones clásicas, que para pronosticar el consumo del próximo
trimestre se necesitaba suponer el valor del PIB para el próximo trimestre.
Es por eso que en 1970 los pronósticos realizados con la metodología
univariada resultaron ser mucho más precisos que los de la econometría
clásica, generando un gran prestigio para la nueva disciplina. La
modelización univariada de la serie genera una dinámica autónoma que le
permite evolucionar en el corto plazo replicando el patrón histórico de la
misma.
Sin embargo, es de señalar que los pronósticos con un horizonte de más
de media docena de períodos (en realidad este número depende del orden
del modelo y de si se trata de un AR o de un MA) ya no son tan precisos (el
modelo tiende a pronosticar un valor igual a la media de la serie).
CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO
44
Estimación en econometría (cont.):
Determinación de los valores que las series podrían tomar. Es fundamental
importante verificar la adecuación estadística de un modelo en término de
si viola o no los supuestos del modelo clásico de regresión lineal o si
contienen parámetros insignificantes.
Por que estimar?.... Mejor precisión, más utilidad se obtendría de una
buena estimación financiera.
Ejemplos:
1.- Estimación del retorno de una acción en particular.
2.- Estimación del precio de una vivienda de acuerdo a sus características
3.- Estimación del grado de riesgo de un portafolio de inversión para el año
próximo.
4.- Estimación de la volatilidad de los retornos de los bonos.
5.- Estimación de correlación entre el índice de acciones de EEUU y Reino
Unido para la próxima sesión.
6.- Estimación del número probable de moratorias en los portafolio de
préstamos de viviendas.
CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO
45
Tipos de estimación:
1.- Estimación Econométrica (estructural) MCO…. Variable dependiente
en función de variable(s) independiente(s). Estos modelos trabajan bien
para relaciones a largo plazo…. APT1, eficiencia del mercado.
2.- Estimación de series de tiempo. Envuelve la estimación de los
valores futuros de las series dados los valores previos y/o los valores
previos del término de error.
Un paso adelante versus varios pasos adelante
…rolling versus recursive.
Un paso adelante es la estimación generada solamente para la próxima
observación, mientras varios pasos involucra 1, 2, 3, …. S pasos adelante
(horizonte de estimación para los próximos S períodos.
CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO
1Arbitrage Pricing Theory (APT) dice que el retorno esperado de un activo financiero puede ser modelado como una función lineal de
varios factores macroeconómicos, donde la sensibilidad a cambios en cada factor es representada por un factor específico, el coeficiente
beta….
Si APT se cumple, entonces el retorno de un activo debe satisfacer la siguiente relación:
E(rj) = rf + bj1F1 + bj2F2 + ... + b(jn)Fn + Єj
donde
E(rj) es la tasa de retorno esperada del activo, rf es el retorno esperado de un activo libre de riesgo,
Fk es el factor macroeconómico, b(jk) es la sensibilidad del activo al factor k,
Єj es el término de error de media cero del activo de riesgo.
Lo anterior significa que la tasa de retorno incierta de un activo j es una relación lineal entre n factores. Adicionalmente, se considera que
cada factor es una variable aleatoria con media cero.
46
Muestras de datos en Rolling versus Recursive.
Recursive: La data de estimación inicial es fija y se incrementan las
observaciones son adicionadas una cada vez (muestra de datos crece).
Ventana Rolling: Muestra de datos no crece sino que se va desplazando.
CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO
Datos usados para estimar los parámetros del modelo
estimación de 1, 2, 3 pasos adelante para: Ventana Rolling Ventana Recursiva
1999M1, M2, M3 1990M1 - 1998M12 1990M1 - 1998M12
1999M2, M3, M4 1990M2 - 1999M1 1990M1 - 1999M1
1999M3, M4, M5 1990M3 - 1999M2 1990M1 - 1999M2
1999M4, M5, M6 1990M4 - 1999M3 1990M1 - 1999M3
1999M5, M6, M7 1990M5 - 1999M4 1990M1 - 1999M4
1999M6, M7, M8 1990M6 - 1999M5 1990M1 - 1999M5
1999M7, M8, M9 1990M7 - 1999M6 1990M1 - 1999M6
1999M8, M9, M10 1990M8 - 1999M7 1990M1 - 1999M7
1999M9, M10, M11 1990M9 - 1999M8 1990M1 - 1999M8
1999M10, M11, M12 1990M10 - 1999M9 1990M1 - 1999M9
muestra de datos no crece muestra de datos CRECE
47
Pronóstico Estático y Dinámico
Estático: Pronóstico a un período. Si se quiere pronosticar PIB del primer
trimestre 2013 se tienen en cuenta las observaciones hasta el 4 trimestre
2012. Luego para pronosticar el PIB del 2 trimestre 2013 se tienen en
cuenta todas las observaciones hasta el 1 trimestre de 2013…No se
recalculan las estimaciones de los coeficientes, utilizándose las
inicialmente estimadas para todos los pronósticos.
Dinámico: Pronóstico en el que sólo se tienen en cuenta las
observaciones iniciales, o sea, las que se usaron para la estimación de los
coeficientes. En nuestro caso, sólo se utilizan los datos hasta el 4 trimestre
2012 y con ellos se pronostica el 1 trim. 2013. Luego para pronosticar el
PIB del 2 trimestre de 2013 se tienen en cuenta todas las observaciones
hasta el 4 trim 2012 y como dato para el 1 trim 2013 se utiliza el pronóstico
obtenido en el paso ….generalmente no es tan bueno como el estático.
Fabris Julio. Pág. 160
CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO
48
Muestras de datos en Rolling versus Recursive.
Estimación de los futuros valores del un MA(q): Este modelo tiene una
memoria de la longitud de q y esto limita el horizonte sensible de
estimación (ej: un MA(3) tiene una memoria de sólo 3 períodos, todas las
estimaciones de 4 o más pasos adelante colapsa en el intercepto. Si no
hay intercepto se obtendría cero.
Estimación de los futuros valores del un AR(p): Presenta una memoria
infinita. Ej Para una estimación de un modelo autorregresivo de 2 rezagos
AR(2) está obtenido por el intercepto + el coeficiente de 1 período.
CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO
49
El fenómeno de Regresión Espúrea.
Modelos de regresión que involucran datos de series de tiempo algunas
veces dan resultados espúreos o de dudoso valor en el sentido de que
resultan superficialmente buenos pero si se le investiga más de cerca
presentan sospechas.
Existen casos en donde R2 es extremadamente alto, el valor t es
extremadamente elevado, sin embargo, Durbin y Watson (d) es bajo.
(Granger y Newbold sugirieron que R2>d es una buena regla de pulgar
para sospechar que la regresión estimada es espúrea.
CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO
50
Determinación de precisión del modelo univariado de estimación.
Estimaciones se producen por períodos fuera de la muestra y luego se
busca comparar con los valores actuales. (MSE, MAE) se comparan con
otros modelos para datos similares y periodos de estimación. El modelo
con el más bajo valor en estas medidas de error es el más preciso.
CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO
Pasos adelante Datos estimados Datos actuales Error al Cuadrado Error Absoluto
1 0.20 -0.4 (0.20- - 0.40)2
= 0.360 |0.20- - 0.40 | = 0.600
2 0.15 0.2 (0.15- 0.20)
2
= 0.002 |0.15- 0.20 | = 0.050
3 0.10 0.1 (0.10- 0.10)2
= 0.000 |0.10 - 0.10 | = 0.000
4 0.06 -0.1 (0.06- - 0.10)
2
= 0.026 |0.06- - 0.10 | = 0.160
5 0.04 -0.05 (0.04- - 0.05)2
= 0.008 |0.04- - 0.05 | = 0.090
MSE= 0.079 MAE = 0.180
51
Determinación de precisión del modelo univariado de estimación.
Error de pronóstico: diferencia entre el valor pronosticado por el modelo y
el valor observado de la variable dependiente. Si llamamos T al último
período utilizado para estimar el modelo, los pronósticos se harán para los
períodos posteriores y, por lo tanto, el error de pronóstico se calculará para
un período T+t con t=1,2,3….n. Si el superíndice P refiere el valor
pronosticado y el superíndica O al valor efectivamente observado, el error
de pronóstico será:
eT+t = YP
T+t – YO
T+t
EVALUACIÓN DE LOS PRONÓSTICOS:
RMS=Root mean Square error = Raiz {1/n ∑(YP
T+t – YO
T+t)2 }
Es la varianza del error del mismo…raiz cuadrada de dicha varianza
evaluada en el horizonte de pronóstico. Dato poco informativo, solo para
comparación.
CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO
52
Determinación de precisión del modelo univariado de estimación.
EVALUACIÓN DE LOS PRONÓSTICOS:
U de Theil= varia entre cero y uno (0,1) correspondiendo el valor cero a un
pronóstico perfecto. Se descompone en tres (las tres deben sumar 1):
Proporción de Bias (o desvío)= Cuánto difiere la media de los valores
pronosticados respecto a la media de los valores observados.
Proporción de Varianza=cuánto difiere la varianza de los valores
pronosticados respecto a la varianza de los valores observados
Proporción de Covarianza=mide los errores de pronóstico no sistemáticos
remanentes.
SI EL PRONÓSTICO ES BUENO, LA PROPORCIÓN DE COVARIANZA
DEBERÍA CONCENTRAR LA MAYOR PARTE DEL ERROR, MIENTRAS
QUE LAS PROPORCIONES DE DESVÍO Y VARIANZA DEBERÍA SER
PEQUEÑAS.
CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO
53
CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO
54
CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO
Resumen METODOLOGÍA Box and Jenkins.
INICIO
VERIFICAR
ESTACIONAREIDAD
IDENTIFICACIÓN
ESTIMACIÓN
VERIFICACIÓN
PRONÓSTICO
NO
TRANSFORMAR
LA SERIE
55
Quick / Estimate Equation… y ajustemos en la
ventana Sample la muestra como 1993q1 a
2005q4 limitando nuestra muestra al 4 trim 2005
y con ella, realizamos la estimación de los
coeficientes del modelo
Para hacer pronóstico fuera de muestra:
Forecast .. forecast sample comenzamos con el
período siguiente al último de la muestra utilizada
para estimar los coeficientes.
Fuente: Fabris, Julio: ejemplo Capítulo 5 pbi resuelto capítulo 5.wf1
Pronóstico
56
Static Forecast
Static Forecast: El valor usado es el verdadero valor de la
variable (suponiendo que estén disponibles, con lo cual el
pronóstico, aunque se extienda por varios períodos, en
realidad es un pronóstico un período hacia adelante. (más
ajustado, ya que en realidad actualiza los verdaderos
valores del término AR(1) perído a período 57
Dinamic Forecast: Se usa el valor
pronosticado de la variable con lo cual los
errores aumentan. Tiene proporción de desvío
(bias) demasiado grande, con lo cual se
caracteriza por un mal pronóstico
Dinamic Forecast: Subestima sistemáticamente el valor de la variable pronosticada
58
Pronóstico
CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.
Mediciones de efectividad y error de pronóstico :
Error de pronóstico: Diferencia entre el valor pronosticado por el modelo y el
valor observado de la variable dependiente. Si llamamos T al último período
utilizado para estimar el modelo, los pronósticos se harán para los períodos
posteriores y, por lo tanto, el error de pronóstico se calculará para un período T+t
con t=1, 2, ….n Si el superíndice P refiere al valor pronosticado y el superíndice O
al valor efectivamente observado, el error de pronóstico será:
eT+t = YP
T+t- YO
T+t
Evaluación de pronósticos: La magnitud que se tiene en cuenta para la
evaluación de los pronósticos es la varianza del error del mismo, la cual puede
medirse mediante la llamada Raíz del Error Medio Cuadrático de Pronóstico (RMS
– Root Mean Squared Error), que es simplemente la raíz cuadrada de dicha
varianza evaluada en el horizonte de pronóstico. Si n son los períodos que
constituyen dicho horizonte:
Forecast U de Theil
U de Theil (econometrista) varia entre cero y uno, correspondiendo valor cero a un pronóstico perfecto.
Se descompone en tres partes:
a) Proporción de desvío (Bias Proportion): Cuánto difiere la media de los valores pronosticados, respecto
a la media de los valores observados
b) Proporción de Varianza: Cuando difiere la varianza de los valores pronosticados, respecto de la
varianza de los valores observados.
c) Proporción de Covarianza (las tres suman 1): mide los errores de pronóstico no sistemáticos
remanentes.
Si el pronóstico es bueno, la proporción de Covarianza debería concentrar la mayor parte del error, mientras
que las proporciones de desvío y de varianza deberían ser pequeñas. 59
Webinar: Introducción a los modelos AR(p)
http://software-videos.com/2409/
60
https://www.youtube.com/watch?v=e_jrj_zW5b8
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Capítulo iii modelos univariados de series de tiempo

  • 1. CURSO: INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA APLICADA A LAS FINANZAS 02 de junio de 2016 1
  • 2. 3.- Modelos univariados de series de tiempo para estimación. Modelos autorregresivos, promedios móviles, funciones de autocorrelación parcial, Modelos ARMA, EWMA. CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO 2
  • 3. Este es un análisis alternativo al Modelo clásico de regresión lineal, el cual surgió en los años 70 de la mano del libro Time Series Analysis, Forecasting and Control de George Box y Gwilym Jenkins, donde propusieron un análisis univariado de series de tiempo postulando la existencia de un proceso estocástico generador de datos (data generating process). Modelos que predicen variables financieras usando sólo información contenida en sus propios valores pasados y posiblemente en los valores presentes y pasados del término de error. La evolución de una serie de tiempo puede explicarse por su propio pasado más la acción de una perturbación aleatoria. Modelos de series de tiempo son a-teóricos. Su construcción y uso no está basado en algún modelo teórico sobre el comportamiento de la variable. En lugar de ello, estos modelos capturan características empíricas relevantes de la data observada (por eso se recomienda no abarcar largo plazo en data). Ejemplos: ARIMA (Box – Jenkins 1976) yt = ǿ Yt-1 CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO 3
  • 4. Lo más importante en una serie de tiempo es determinar si los datos son estacionarios o no para determinar si la serie puede influenciar sus propiedades y comportamiento. Proceso estrictamente estacionario (mean-reverting), es decir, el ǿ<0,8 Es aquel cuya función de distribución se mantiene igual en la medida que el tiempo pasa implicando que la probabilidad de que yt caiga dentro de un intervalo particular es la misma ahora como en cualquier momento en el pasado o futuro. Proceso débilmente estacionario Presentan promedio, varianza y auto-covarianza constante. Auto-covarianza: Determina como yt está relacionado con sus valores previos y por una serie estacionaria. Dependen sólo de la diferencia entre Yt-1 y Yt-2. Así que la covarianza entre Yt-1 y Yt-2 es la misma como la covarianza entre Yt-10 y Yt-11. CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO 4
  • 5. Fórmulas Covarianza Covarianza Muestral (X,Y) = ∑ [(Xi – X)(Yi – Y) ] n-1 Covarianza = Correlación lineal entre X y Y (ρ) * σx * σy Autocovarianza: Autocorrelación de una serie temporal discreta de un proceso Xt no es más que simplemente la correlación de dicho proceso con una versión desplazada en el tiempo de la propia serie temporal. 5
  • 6. Es más conveniente usar las autocorrelaciones los cuales son las autocovarianzas normalizadas cuando son divididas por la varianza. Este tipo de autocorrelación tiene la propiedad estándar como los coeficientes de correlación en las que los valores se mueven en un rango de ± 1. Y si estos valores son graficados podríamos obtener una función de autocorrrelación o correlograma. Proceso de ruido Blanco (White Noise) Es decir, el ǿ=0 Proceso en la cual no presenta una estructura discernible. Presenta media y varianza constante y cada observación es incorrelacionada con todos los otros valores de la secuencia. Se asume que Yt se distribuye como una normal, entonces los coeficientes de autocorrelación aproximadamente también están normalmente distribuidos. Asímismo, los residuos no están correlacionados. Los coeficientes de autocorrelación pueden ser usados para construir pruebas de significancia para determinar si es significativamente diferente de cero ±1.96*1/√(T). Si el coeficiente de autocorrelación se encuentra fuera de la región entonces la hipótesis nula de no autocorrelación es rechazada (es decir, existe autocorrelación). Autocorrelación Parcial: correlación entre yt y yt-3 después de controlar yt-1 y yt-2 CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO 6
  • 7. También se pueden hacer pruebas conjuntas (globales) usando el estadístico Q de Box y Pierce (1970) Ho= NO ACR (ojo propiedad de fallar en caso de muestras pequeñas)… Para solventar esta situación, en 1978 Ljung y Box desarrollaron una estadística en la cual cuando la muestra se aproxima al infinito se aproxima a la Q de Box y Pierce. Proceso de Promedio Móvil (MA) Combinación de procesos de ruido blanco…. (Yt. Depende de los valores presentes y pasados de los términos de error de ruido blanco). Ø son los ponderadores que indican la persistencia de shocks pasados. Si Ø=0.3 de Ut-1 indica que en el mes en curso, la perturbación ocurrida el mes pasado todavía conserva esa parte de su magnitud (un 30% en este caso). Yt = μ + ut + ø1 ut-1 + ø2 ut-2 + ø3 ut-3 + ø4 ut-4 + ….. + øq ut-q Proceso Autoregresivo (AR) utilizado en 1927 por Yule aplicado en la predicción de las manchas solares. Los valores presentes de la variable Y depende sólo de los valores que la variable toman en los períodos previos (realizaciones anteriores) más su término de error. Realizaciones más lejanas en el tiempo no tienen influencia destacable sobre magnitud actual de la variable. Yt = μ + ø1 yt-1 + ø2 yt-2 + ø3 yt-3 + ø4 yt-4 + ….. + øq yt-p + ut Estacionariedad es una propiedad deseable de un modelo AR. CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO 7
  • 8. En caso de que un proceso AR es no estacionario tiene la mala propiedad de que los valores previos del término de error tendrá un efecto no descendiente sobre los valores corrientes de yt a la medida que el tiempo progresa. Proceso ARMA Combinación AR y MA. Los valores corrientes de la serie de y depende linealmente de sus previos valores propios (yt-1, yt-2, etc.) más una combinación de valores corrientes y presentes del término de error de ruido blanco. Yt = μ + ø1 yt-1 + ø2 yt-2 + ø3 yt-3 + ….. + øq yt-p + ut + ø1 ut-1 + ø2 ut-2 + ø3 ut-3 + ø4 ut-4 + ….. + øq ut-q La correlación parcial es importante en este caso. CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO 8
  • 9. Proceso ARIMA Combinación AR y MA integrado (lo mismo que un proceso ARMA con datos que se lograron diferenciar o se hicieron transformaciones para ser estacionarios). Ruido Blanco: Rt = Ro +Ԑt Ԑt = variable aleatoria (distribución N(0,σ2)). Es decir, el ǿ=0 Este modelo es una clase de modelo estacionario e implica que la variable oscila alrededor del valor “natural” o de largo plazo (Ro), movida por la influencia de un factor aleatorio no predecible. Los cambios que se producen en un período no persisten en el tiempo. Cuando una serie se comporta de acuerdo a este modelo se dice que es I(0), integrada de orden cero. CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO 9
  • 10. Random Walk: Rt = ǿ Rt-1 +Ԑt Es decir, el ǿ=1 Donde Ԑt tiene una distribución normal1 con media cero y variancia finita y no tiene correlación serial (o sea, Ԑt es ruido blanco). Según este modelo, el mejor predictor de una variable en el período t es la tasa del período t-1. Cuando se produce una perturbación aleatoria en la variable, ésta tiene infinita persistencia en el tiempo. La tasa no está acotada (puede adoptar cualquier valor). Cuando una serie se comporta de acuerdo a este modelo es no estacionaria y se dice que es I(1), integrada de orden uno. El modelo random walk es un caso límite de un modelo más general, el autorregresivo de orden uno (AR(1)), en el cual las perturbaciones tienen cierta persistencia, pero la variable vuelve eventualmente a su nivel de equilibrio. CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO 1 No es imprescindible la normalidad para los procesos de ruido blanco. 10
  • 11. Modelo Autoregresivo de Orden 1 (AR(1)): Rt = c + βRt-1 + Ԑt donde 0<β<1 y Ԑt tiene una distribución normal con media cero y variancia finita. El valor de β determina la velocidad de la variable (tasa de interés, tc, etc.) para regresar a su valor de largo plazo. Ese período se denomina de "reversión a la media" ("mean reversion"). La "vida media" ("half life") es el tiempo que demora en reducirse a la mitad un shock inicial en R y constituye una medida de la persistencia de los shocks. La vida media (así como la persistencia) es mayor en la medida en que β se aproxima a uno. Así, un β =0,9950 implica que el proceso tiene una vida media de 5 años, mientras que si β =0,9975 la vida media es de 10 años. Estos modelos suponen que el término del error Ԑt posee varianza constante, lo cual puede no ser cierto. Una manera de modelar una varianza variable en el tiempo es suponer que ésta depende de la varianza y del error en el período anterior. Los modelos más comúnmente considerados son los modelos GARCH y, especialmente, el modelo GARCH (1,1). Interesante paper sobre modelos de comportamiento de las tasas de interés CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO 11
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  • 30. Identificación de tipos de modelos que mejor se adaptan al comportamiento de los datos. AC varia entre -1 y 1 CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. pacac MA(1) Yt = -0,5 ut-1 + ut pacac MA(2) Yt = 0,5 ut-1 – 0,25 ut-2 + ut acf pacf 1 Ac y descendente pac 2 Ac y descendente pac Barra vertical distancia +2sigma un valor AC dentro de las líneas punteadas no es signif diferente de cero es decir hay ACR (Ho= ACR=0=no ACR) p-value=0,000 a nivel sig 5% 30
  • 31. Proceso ARIMA ACF: Sus valores pueden variar entre –1 y 1 correspondientes a un rezago k indican si existe correlación entre los valores de la serie separados por k períodos. Si los valores decrecen rápidamente a medida que los rezagos se incrementan hasta hacerse menores que las líneas punteadas trazadas a ambos lados del eje vertical. Estas líneas están trazadas a una distancia de dos desviaciones estándares de la serie, e indican que un valor individual de ACR dentro de dichas líneas no es significativamente diferente de cero (nivel de significación aproximado del 5%). PACF: para un rezago dado k indican la autocorrelación remanente entre valores de series separados por k períodos, removiendo previamente la ACR correspondiente a períodos intermedios. Mismas líneas punteadas +- 2 sigmas. Distancia entre líneas punteadas y la línea base se computa como 2 / √T. En regresión lineal clásica la ACR constituye una violación de los supuestos, en enfoque ARMA corresponde la materia prima del análisis. (Pág. 173 libro fabris). CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO 31
  • 32. Identificación de tipos de modelos que mejor se adaptan al comportamiento de los datos. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. pacac AR(1) Yt = 0,9 yt-1 + ut acf pacf 1 Pacf no pacf entre yt y yt-1 Función descendente acf (lenta) pacac AR(1) Yt = 0,5 yt-1 + ut 1 Pacf y función descendente acf acf pacf 32
  • 33. Identificación de tipos de modelos que mejor se adaptan al comportamiento de los datos. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. pacac AR(1) Yt = -0,5 yt-1 + ut acf pacf pacac Modelo no estacionario coeficiente uno: yt = yt-1 +ut1 Pacf no pacf entre yt y yt-1 Función descendente acf (rápida) 33
  • 34. Identificación de tipos de modelos que mejor se adaptan al comportamiento de los datos. CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. pacac ARMA(1,1) Yt = 0,5 yt-1 + 0.5ut-1 + ut acf pacf Yt acf AR Ut pacf MA Resumen 34
  • 35. Pasos en la construcción de un modelo ARMA según Box-Jenkins. 1.- Identificación: Determinación del orden del modelo requerido para capturar las características dinámicas de la data (AC y PAC para ver el patrón de dependencia temporal de la serie) para determinar la especificación mas apropiada. Criterios de información de Akaike, Schwarz (penaliza mas que Akaike) y Hannan-Quinn….agregando nuevas variables o rezagos tienen efectos castigo sobre los Criterios de información mencionados arriba…penalizan agregación nuevos parámetros…los valores más favorables son los menores o en su caso los más negativos)… RSS se reducen pero la penalidad se incrementa R. Akaike (AIC)= -2 ( L/T) + 2 (k/T) Schwarz (SIC)= -2 (L/T)+ k (ln(T) / T ) L es la función de verosimilitud… log likelihood. k= parámetros. T= Número observaciones. 2.- Estimación: Determinación de los parámetros del modelo especificado en el paso 1…. Usando MCO (OLS) o máxima verosimilitud. Ver estad t (valor abs mayor a 2 rechazamos Ho), error estándar, p-value, R2. CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO Akaike y Schawrz AR/MA 0 1 0 2.7525 2.75537 1 2.75582 2.75941 35
  • 36. 3.- Chequeo de Diagnóstico: sobre alimentación (overfitting) y diagnóstico de los residuales (residual diagnostics)… Overfitting: buscando un modelo más grande para capturar la dinámica de la data (ojo ni muy pequeño ni muy grande…parsimonioso)….. Diagnóstico de los residuales: chequeo de los residuales para evidenciar si existe dependencia lineal (modelo inadecuado), acf, pacf, Ljung-box (Q o significancia conjunta desde el orden 1 hasta el orden k). Se busca un modelo parsimonioso porque un modelo que posea rezagos irrelevantes de la variable y del término de error (muchos parámetros innecesarios) incrementa el EE (error estándar) y dificulta encontrar relaciones significativos en la data. Necesitamos verificar que los residuos sean de ruido blanco. Modelos con parámetros innecesarios se inclinan en ajustar a los datos características específicas las cuales no se pueden replicar fuera de la muestra (elevados R2) pero con estimaciones imprecisas. Lo importante en estos casos de modelos univariados de series de tiempo es que el coeficiente de bondad de ajuste R2 no resulta ser una buena guía respecto de la adecuación de nuestro modelo. Como a diferencia de las regresiones tradicionales, los regresores en este caso son variables aleatorias, el estadístico R2 que es una razón de variabilidades, depende de la variabilidad de los mismos. Fabris pp. 181. CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO 36
  • 37. 3.- Chequeo de Diagnóstico (cont.): La adecuación del modelo, como también ha sido dicho no resulta de chequear la bondad del ajuste con el estadístico R2. Lo más importante en este enfoque, que se basa en la modelización de la autocorrelación presente, es que no quede autocorrelación permanente, lo cual indicaría que hay información disponible que no está siendo utilizada. Esto se prueba verificando que los residuos de la regresión sean ruido blanco. Verificar que el residuo es ruido blanco (es decir, sin ACR): 1)Verificar correlograma de los residuos de la regresión. Q stat. De Ljung-Box desde orden 1 hasta el orden k. Significancia conjunta Ho=no ACR. Para un nivel de significancia del 5% un valor p menor que 0,05 indica rechazar la Ho de no ACR hasta el orden k. Que valor de k? algunos econometristas como Diebold (1998) sugiere k=√T para series cortas…Otros sugieren guiarse por la periodicidad de la serie y así chequear valores Q para k=4,8,12 en series trimestrales y k=12,24 y 36 para series mensuales. Otra prueba: 2)Test de Breusch y Godfrey: View/residual test…serial correlation LM test….el test Q solo se reporta para valores de k que superan la cantidad de regresores…si una ecuación hay 3 regresores (β), el primer test Q que el programa calcula es el correspondiente a k=4 Ho=no existencia de correlación serial en los residuos hasta el orden k. Verificada la ausencia de ACR en los residuos de las regresiones…Q*R2 p- value mayor 0,05 hay más de 5% de probabilidad de No ACR en los residuales..Bueno. En cada modelo se verifica que los residuos de la estimación de los parámetros sean de ruido blanco.. Para hacerlo se inspecciona tambien correlograma Q Ljung Box. Cuando residuo no sea ruido blanco este criterio es prioritario. CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO 37
  • 38. Para el caso de no tener ningún modelo que haya conseguido eliminar la ACR en los residuos de la regresión, simplemente elegiremos entre los candidatos el que presente el mayor valor del criterio elegido. Transformaciones para estacionarizar series de tiempo (Fabris 189): a) Extracción de una tendencia determinística: Por ejemplo está claro que una serie que crece en el tiempo no será estacionaria en media, pero si la regresamos contra una tendencia (lineal, cuadrática, logarítmica, etc.) quizás podamos transformarla en una serie que si lo sea. Luego analizaríamos la serie transformada, la identificaríamos, predeciríamos sus valores futuros y, finalmente, haríamos la transformación inversa para tener las predicciones de la serie original. La extracción de la tendencia es muy sencilla si sabemos el tipo de tendencia de qué se trata. Por ejemplo, una tendencia lineal se determina mediante una regresión contra una tendencia, o sea una serie que crece uniformemente en el tiempo (t=1, 2, 3) que el programa E-views genera automáticamente con el comando @trend. Archivo pbi.wf1. Esta serie no es estacionaria en media (ver gráfico), pero regresándola contra una tendencia quizás logremos estacionalizarla. La regresaremos contra una tendencia lineal (@trend) o podríamos probar con @trend^2 o @log(@trend) para tendencia logarítmica. PBI_PM regresada contra @tend podría tenerse una serie destendenciada es el residuo (en este caso no se logró). Fuente: Fabris, Julio (capítulo de Modelos univariados). b) Transformaciones de Box y Cox (igual que con heteroscedasticidad) aplicando log aplanaría la variabilidad de la misma. (logaritmación) CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO 38
  • 39. Para el caso de no tener ningún modelo que haya conseguido eliminar la ACR en los residuos de la regresión, simplemente elegiremos entre los candidatos el que presente el mayor valor del criterio elegido. Transformaciones para estacionarizar series de tiempo (cont.): c) Extracción de una tendencia estocástica… Diferenciándola Zt= Yt- Yt-1 = d(Yt)… se denominan también series integradas (orden 1 cuando es primera diferencia). La característica de las series integradas es la persistencia de las perturbaciones en el tiempo. Es por eso, que en los correlogramas puede detectarse a partir del no decaimiento de la función de autocorrelación. Se logra un claro retorno a la media (ejemplo con D(pbi_pm del texto de Julio Fábris). d) Test de Raíz unitaria: Si hay tendencia determinística (se estacionariza restándole dicho valor de tendencia como ya hemos visto), pero si la tendencia es aleatoria o estocástica (es decir generada por un proceso denominado paseo aleatorio o random walk) que no tiene dirección definida y tiene varianza infinita. En este caso no hay forma de extraer la tendencia… se trabajaría con las diferencias de la serie original. Así nuestros procedimientos sería no válidos en el caso de NO ESTACIONARIEDAD. Ver inverted roots del polinomio AR que si valen 1 es no estacionaria.. Un valor superior a 0,95 amerita estudio más cuidadoso. También se puede usar View/ARMA Structure… /Roots… El problema de la estacionariedad sólo se presenta en el polinomio AR, no en el polinomio MA. CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO 39
  • 40. Pruebas de raíces unitarias (cont.)… EViews ..hacer prueba intercepto y tendencia (trend)… este es el test que brinda menos potencia y si no se rechaza ir eligiendo modelos en orden creciente de potencia (solo intercepto) y luego none. Ho= ø = 1 (es decir tiene raíz unitaria, o sea que es no estacionaria…p-value=0,1497 es decir, hay 14,97% de probabilidad de caer en Ho de raíz unitaria, es decir es no estacionaria. CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO NEE Valores críticos del test (1%, 5% y 10%) Si diferenciamos una vez (primer orden), dos veces (segundo orden). -2,4154-3,0123 40
  • 41. Recomendación…como cuando aplicábamos Dummy para dar cuenta de la estacionalidad (ojo!! no estacionariedad) estacionalidad: variación de los valores a lo largo del año, mientras estacionariedad se refiere a metodología Box-Jenkins en la búsqueda de data estable… se reemplaza variables Dummy por términos de autocorrelación coincidentes con la serie trimestral para detectar si los valores de los trimestres análogos de cada año están correlacionados. En las series mensuales un término AR(12) detectaría los patrones anuales….AR(4) ara detectar si los valores de los trimestres análogos de cada año están correlacionados. AR(5) efecto fin de semana, los retornos de los días lunes deberían ser diferentes de los retornos del resto de la semana hábil. Ejemplo pág. 197 Julio Fábris.. modelo con componentes estacionales…. Seleccionamos modelo AR(1) con un término estacional SAR(4)… En caso de que no se logre.. Existiría raíz unitaria estacional.. Ejemplo en los casos de que no se pueda remover una correlación de cuarto orden, ejemplo en una serie trimestral agregando términos AR(4), SAR(4) o sus equivalentes MA, se deberá realizar la diferenciación estacional de la serie…. Zt=Yt- Yt-4. CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO 41
  • 42. CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO Ejemplo: En este caso el valor de la inflación en el año en curso “hereda” una magnitud de 84,88% del valor alcanzado en el período anterior y puede persistir Inercia inflacionaria? Las realizaciones más lejanas en el tiempo no tienen influencia destacable sobre la magnitud actual de la variable. 42
  • 43. CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO 43
  • 44. Estimación en econometría: La modelización univariada de la serie propuesta por metodología Box Jenkins el pronóstico se basa sólo en las realizaciones pasadas de las misma, por lo cual no se presenta aquí el problema que aparecía en las regresiones clásicas, que para pronosticar el consumo del próximo trimestre se necesitaba suponer el valor del PIB para el próximo trimestre. Es por eso que en 1970 los pronósticos realizados con la metodología univariada resultaron ser mucho más precisos que los de la econometría clásica, generando un gran prestigio para la nueva disciplina. La modelización univariada de la serie genera una dinámica autónoma que le permite evolucionar en el corto plazo replicando el patrón histórico de la misma. Sin embargo, es de señalar que los pronósticos con un horizonte de más de media docena de períodos (en realidad este número depende del orden del modelo y de si se trata de un AR o de un MA) ya no son tan precisos (el modelo tiende a pronosticar un valor igual a la media de la serie). CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO 44
  • 45. Estimación en econometría (cont.): Determinación de los valores que las series podrían tomar. Es fundamental importante verificar la adecuación estadística de un modelo en término de si viola o no los supuestos del modelo clásico de regresión lineal o si contienen parámetros insignificantes. Por que estimar?.... Mejor precisión, más utilidad se obtendría de una buena estimación financiera. Ejemplos: 1.- Estimación del retorno de una acción en particular. 2.- Estimación del precio de una vivienda de acuerdo a sus características 3.- Estimación del grado de riesgo de un portafolio de inversión para el año próximo. 4.- Estimación de la volatilidad de los retornos de los bonos. 5.- Estimación de correlación entre el índice de acciones de EEUU y Reino Unido para la próxima sesión. 6.- Estimación del número probable de moratorias en los portafolio de préstamos de viviendas. CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO 45
  • 46. Tipos de estimación: 1.- Estimación Econométrica (estructural) MCO…. Variable dependiente en función de variable(s) independiente(s). Estos modelos trabajan bien para relaciones a largo plazo…. APT1, eficiencia del mercado. 2.- Estimación de series de tiempo. Envuelve la estimación de los valores futuros de las series dados los valores previos y/o los valores previos del término de error. Un paso adelante versus varios pasos adelante …rolling versus recursive. Un paso adelante es la estimación generada solamente para la próxima observación, mientras varios pasos involucra 1, 2, 3, …. S pasos adelante (horizonte de estimación para los próximos S períodos. CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO 1Arbitrage Pricing Theory (APT) dice que el retorno esperado de un activo financiero puede ser modelado como una función lineal de varios factores macroeconómicos, donde la sensibilidad a cambios en cada factor es representada por un factor específico, el coeficiente beta…. Si APT se cumple, entonces el retorno de un activo debe satisfacer la siguiente relación: E(rj) = rf + bj1F1 + bj2F2 + ... + b(jn)Fn + Єj donde E(rj) es la tasa de retorno esperada del activo, rf es el retorno esperado de un activo libre de riesgo, Fk es el factor macroeconómico, b(jk) es la sensibilidad del activo al factor k, Єj es el término de error de media cero del activo de riesgo. Lo anterior significa que la tasa de retorno incierta de un activo j es una relación lineal entre n factores. Adicionalmente, se considera que cada factor es una variable aleatoria con media cero. 46
  • 47. Muestras de datos en Rolling versus Recursive. Recursive: La data de estimación inicial es fija y se incrementan las observaciones son adicionadas una cada vez (muestra de datos crece). Ventana Rolling: Muestra de datos no crece sino que se va desplazando. CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO Datos usados para estimar los parámetros del modelo estimación de 1, 2, 3 pasos adelante para: Ventana Rolling Ventana Recursiva 1999M1, M2, M3 1990M1 - 1998M12 1990M1 - 1998M12 1999M2, M3, M4 1990M2 - 1999M1 1990M1 - 1999M1 1999M3, M4, M5 1990M3 - 1999M2 1990M1 - 1999M2 1999M4, M5, M6 1990M4 - 1999M3 1990M1 - 1999M3 1999M5, M6, M7 1990M5 - 1999M4 1990M1 - 1999M4 1999M6, M7, M8 1990M6 - 1999M5 1990M1 - 1999M5 1999M7, M8, M9 1990M7 - 1999M6 1990M1 - 1999M6 1999M8, M9, M10 1990M8 - 1999M7 1990M1 - 1999M7 1999M9, M10, M11 1990M9 - 1999M8 1990M1 - 1999M8 1999M10, M11, M12 1990M10 - 1999M9 1990M1 - 1999M9 muestra de datos no crece muestra de datos CRECE 47
  • 48. Pronóstico Estático y Dinámico Estático: Pronóstico a un período. Si se quiere pronosticar PIB del primer trimestre 2013 se tienen en cuenta las observaciones hasta el 4 trimestre 2012. Luego para pronosticar el PIB del 2 trimestre 2013 se tienen en cuenta todas las observaciones hasta el 1 trimestre de 2013…No se recalculan las estimaciones de los coeficientes, utilizándose las inicialmente estimadas para todos los pronósticos. Dinámico: Pronóstico en el que sólo se tienen en cuenta las observaciones iniciales, o sea, las que se usaron para la estimación de los coeficientes. En nuestro caso, sólo se utilizan los datos hasta el 4 trimestre 2012 y con ellos se pronostica el 1 trim. 2013. Luego para pronosticar el PIB del 2 trimestre de 2013 se tienen en cuenta todas las observaciones hasta el 4 trim 2012 y como dato para el 1 trim 2013 se utiliza el pronóstico obtenido en el paso ….generalmente no es tan bueno como el estático. Fabris Julio. Pág. 160 CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO 48
  • 49. Muestras de datos en Rolling versus Recursive. Estimación de los futuros valores del un MA(q): Este modelo tiene una memoria de la longitud de q y esto limita el horizonte sensible de estimación (ej: un MA(3) tiene una memoria de sólo 3 períodos, todas las estimaciones de 4 o más pasos adelante colapsa en el intercepto. Si no hay intercepto se obtendría cero. Estimación de los futuros valores del un AR(p): Presenta una memoria infinita. Ej Para una estimación de un modelo autorregresivo de 2 rezagos AR(2) está obtenido por el intercepto + el coeficiente de 1 período. CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO 49
  • 50. El fenómeno de Regresión Espúrea. Modelos de regresión que involucran datos de series de tiempo algunas veces dan resultados espúreos o de dudoso valor en el sentido de que resultan superficialmente buenos pero si se le investiga más de cerca presentan sospechas. Existen casos en donde R2 es extremadamente alto, el valor t es extremadamente elevado, sin embargo, Durbin y Watson (d) es bajo. (Granger y Newbold sugirieron que R2>d es una buena regla de pulgar para sospechar que la regresión estimada es espúrea. CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO 50
  • 51. Determinación de precisión del modelo univariado de estimación. Estimaciones se producen por períodos fuera de la muestra y luego se busca comparar con los valores actuales. (MSE, MAE) se comparan con otros modelos para datos similares y periodos de estimación. El modelo con el más bajo valor en estas medidas de error es el más preciso. CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO Pasos adelante Datos estimados Datos actuales Error al Cuadrado Error Absoluto 1 0.20 -0.4 (0.20- - 0.40)2 = 0.360 |0.20- - 0.40 | = 0.600 2 0.15 0.2 (0.15- 0.20) 2 = 0.002 |0.15- 0.20 | = 0.050 3 0.10 0.1 (0.10- 0.10)2 = 0.000 |0.10 - 0.10 | = 0.000 4 0.06 -0.1 (0.06- - 0.10) 2 = 0.026 |0.06- - 0.10 | = 0.160 5 0.04 -0.05 (0.04- - 0.05)2 = 0.008 |0.04- - 0.05 | = 0.090 MSE= 0.079 MAE = 0.180 51
  • 52. Determinación de precisión del modelo univariado de estimación. Error de pronóstico: diferencia entre el valor pronosticado por el modelo y el valor observado de la variable dependiente. Si llamamos T al último período utilizado para estimar el modelo, los pronósticos se harán para los períodos posteriores y, por lo tanto, el error de pronóstico se calculará para un período T+t con t=1,2,3….n. Si el superíndice P refiere el valor pronosticado y el superíndica O al valor efectivamente observado, el error de pronóstico será: eT+t = YP T+t – YO T+t EVALUACIÓN DE LOS PRONÓSTICOS: RMS=Root mean Square error = Raiz {1/n ∑(YP T+t – YO T+t)2 } Es la varianza del error del mismo…raiz cuadrada de dicha varianza evaluada en el horizonte de pronóstico. Dato poco informativo, solo para comparación. CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO 52
  • 53. Determinación de precisión del modelo univariado de estimación. EVALUACIÓN DE LOS PRONÓSTICOS: U de Theil= varia entre cero y uno (0,1) correspondiendo el valor cero a un pronóstico perfecto. Se descompone en tres (las tres deben sumar 1): Proporción de Bias (o desvío)= Cuánto difiere la media de los valores pronosticados respecto a la media de los valores observados. Proporción de Varianza=cuánto difiere la varianza de los valores pronosticados respecto a la varianza de los valores observados Proporción de Covarianza=mide los errores de pronóstico no sistemáticos remanentes. SI EL PRONÓSTICO ES BUENO, LA PROPORCIÓN DE COVARIANZA DEBERÍA CONCENTRAR LA MAYOR PARTE DEL ERROR, MIENTRAS QUE LAS PROPORCIONES DE DESVÍO Y VARIANZA DEBERÍA SER PEQUEÑAS. CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO 53
  • 54. CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO 54
  • 55. CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO Resumen METODOLOGÍA Box and Jenkins. INICIO VERIFICAR ESTACIONAREIDAD IDENTIFICACIÓN ESTIMACIÓN VERIFICACIÓN PRONÓSTICO NO TRANSFORMAR LA SERIE 55
  • 56. Quick / Estimate Equation… y ajustemos en la ventana Sample la muestra como 1993q1 a 2005q4 limitando nuestra muestra al 4 trim 2005 y con ella, realizamos la estimación de los coeficientes del modelo Para hacer pronóstico fuera de muestra: Forecast .. forecast sample comenzamos con el período siguiente al último de la muestra utilizada para estimar los coeficientes. Fuente: Fabris, Julio: ejemplo Capítulo 5 pbi resuelto capítulo 5.wf1 Pronóstico 56
  • 57. Static Forecast Static Forecast: El valor usado es el verdadero valor de la variable (suponiendo que estén disponibles, con lo cual el pronóstico, aunque se extienda por varios períodos, en realidad es un pronóstico un período hacia adelante. (más ajustado, ya que en realidad actualiza los verdaderos valores del término AR(1) perído a período 57
  • 58. Dinamic Forecast: Se usa el valor pronosticado de la variable con lo cual los errores aumentan. Tiene proporción de desvío (bias) demasiado grande, con lo cual se caracteriza por un mal pronóstico Dinamic Forecast: Subestima sistemáticamente el valor de la variable pronosticada 58
  • 59. Pronóstico CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal. Mediciones de efectividad y error de pronóstico : Error de pronóstico: Diferencia entre el valor pronosticado por el modelo y el valor observado de la variable dependiente. Si llamamos T al último período utilizado para estimar el modelo, los pronósticos se harán para los períodos posteriores y, por lo tanto, el error de pronóstico se calculará para un período T+t con t=1, 2, ….n Si el superíndice P refiere al valor pronosticado y el superíndice O al valor efectivamente observado, el error de pronóstico será: eT+t = YP T+t- YO T+t Evaluación de pronósticos: La magnitud que se tiene en cuenta para la evaluación de los pronósticos es la varianza del error del mismo, la cual puede medirse mediante la llamada Raíz del Error Medio Cuadrático de Pronóstico (RMS – Root Mean Squared Error), que es simplemente la raíz cuadrada de dicha varianza evaluada en el horizonte de pronóstico. Si n son los períodos que constituyen dicho horizonte: Forecast U de Theil U de Theil (econometrista) varia entre cero y uno, correspondiendo valor cero a un pronóstico perfecto. Se descompone en tres partes: a) Proporción de desvío (Bias Proportion): Cuánto difiere la media de los valores pronosticados, respecto a la media de los valores observados b) Proporción de Varianza: Cuando difiere la varianza de los valores pronosticados, respecto de la varianza de los valores observados. c) Proporción de Covarianza (las tres suman 1): mide los errores de pronóstico no sistemáticos remanentes. Si el pronóstico es bueno, la proporción de Covarianza debería concentrar la mayor parte del error, mientras que las proporciones de desvío y de varianza deberían ser pequeñas. 59
  • 60. Webinar: Introducción a los modelos AR(p) http://software-videos.com/2409/ 60 https://www.youtube.com/watch?v=e_jrj_zW5b8 Estimación de Modelos de Series de Tiempo en EViews