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Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias
Cristian j. P. Castillo U.
ÍNDICE GENERAL
PRESENTACIÓN 1
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 4
1.1 Definición de ecuación diferencial 5
1.2 Clasificación de ecuaciones diferenciales 5
1.2.1 Clasificación según su tipo 6
1.2.2 Clasificación según su orden 6
1.2.3 Clasificación según su linealidad o no 7
1.3 Solución de una ecuación diferencial 8
1.4 Problema de valor inicial 11
1.5 Modelos matemáticos 13
ÍNDICE GENERAL
Cristian Castillo
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 15
2.1 Ecuaciones diferenciales en variables separables 16
2.2 ecuaciones diferenciales homogéneas 21
2.2.1 Funciones homogéneas 21
2.2.2 Resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas 23
2.3 Ecuaciones diferenciales exactas 28
2.4 Factores integrantes 35
2.5 Ecuación diferencial lineal 42
2.6 Ecuación diferencial de Bernoulli 48
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 53
3.1 Introducción a las ecuaciones diferenciales de orden superior 54
3.1.1 Principio de superposición 54
3.1.2 Dependencia e independencia lineal 54
3.1.3 Wronskiano 55
3.1.4 Ecuación diferencial homogénea 56
3.1.5 Ecuación diferencial no homogénea 57
3.2 Reducción de orden 58
3.3 Ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes 63
3.3.1 Ecuaciones de segundo orden 64
3.3.2 Ecuaciones de orden superior 69
3.4 Método de coeficientes indeterminados 75
3.4.1 Enfoque de superposición 76
3.4.2 Enfoque anulador 89
ÍNDICE GENERAL
Cristian Castillo
3.4.2.1 Operadores diferenciales 89
3.4.2.2 Coeficientes indeterminados 93
3.5 Método de variación de parámetros 100
3.5.1 Ecuaciones de segundo orden 101
3.5.2 Ecuaciones de orden superior 108
3.6 Ecuaciones de Cauchy-Euler 112
3.6.1 Ecuaciones homogéneas 113
3.6.2 Ecuaciones no homogéneas 120
CAPÍTULO 4. APLICACIONES CON ECUACIONES DIFERENCIALES 124
4.1 Trayectorias ortogonales 125
4.2 Crecimiento y decrecimiento exponencial 128
4.3 Ley de Newton del enfriamiento 134
4.4 Mezclas 137
4.5 Circuitos eléctricos en serie 140
4.5.1 Circuitos RL 140
4.5.2 Circuitos RC 143
4.6 Absorción de drogas en órganos o células 146
4.7 Crecimiento logístico 151
APÉNDICE I. Números complejos 155
APÉNDICE II. Tabla de derivadas 161
APÉNDICE III. Tabla de integrales 163
BIBLIOGRAFÍA 175
PRESENTACIÓN
En diferentes áreas de la ciencia, y sobre todo en la ingeniería, se desarrollan
modelos matemáticos para ayudar a comprender la fenomenología o el origen de
ciertos problemas físicos, biológicos, sociales, etc. Estos modelos, por lo general,
pueden ser expresados a partir de ecuaciones que contiene ciertas derivadas de una
función desconocida. A una ecuación de este tipo se le denomina ecuación
diferencial.
La historia de las ecuaciones diferenciales comenzó en el siglo XVI, donde los
matemáticos Newton, Leibniz y los hermanos Bernoulli resolvieron las primeras
PRESENTACIÓN
Cristian Castillo
2
ecuaciones diferenciales sencillas a partir de unos problemas de Mecánica y
Geometría. De hecho, según Nápoles y otros (2002), a finales del siglo XVII James y
Johan Bernoulli, introducen término como el de “Integrar” una ecuación diferencial,
así como la técnica de variables separables para resolver una ecuación diferencial.
Estos primeros descubrimientos abrieron al mundo un universo de ecuaciones
nuevas, así como también a una serie de procedimientos que nos permiten la
resolución de algunos tipos de ecuaciones diferenciales que se presentan en
problemas de modelado.
Actualmente, las ecuaciones diferenciales y los modelos matemáticos se han
convertido en un tema fundamental e indispensable para ser incluido en el pensum de
estudio de cualquier carrera de ingeniería a nivel mundial. Es por ello que la
asignatura Matemática IV (0082824 – 0322144) que cursan las carreras de ingeniería
y afines en la Universidad de Oriente, trata sobre los tipos de ecuaciones
diferenciales, las técnicas como resolverlas y modelos matemáticos que las incluyen.
Este módulo de Matemática IV (0082824 – 0322144) que se presenta, se
ajusta en su totalidad a las unidades 1 y 2 de su programa vigente, tanto en el orden
en que son presentados los objetivos como en la profundidad con que son tratados. En
él, se ha querido exponer todos los temas de este material en una forma muy clara y
sencilla, de manera que el lector pueda comprenderlos en forma inmediata. Además
no se ha hecho demasiado énfasis en las demostraciones de los teoremas, en lugar de
ello se ha preferido crear un material haciendo hincapié en la parte práctica, para lo
PRESENTACIÓN
Cristian Castillo
3
cual se han incluido una gran cantidad de ejercicios resueltos y además se han
propuesto una serie de ejercicios con respuestas al finalizar cada tema.
Por lo tanto este módulo se ha estructurado 4 capítulos, en los cuales se
estudiarán las ecuaciones diferenciales ordinarias incluyendo teoremas y técnicas para
la resolución de las mismas.
El capítulo 1, es una introducción al mundo de las ecuaciones diferenciales,
donde se darán definiciones, conceptos y teoremas sobre estas ecuaciones, además de
incluir los problemas de valor inicial e introducir la definición de los modelos
matemáticos y como formularlos.
En el capítulo 2, se desarrollan una serie de técnicas y procedimientos para
resolver ecuaciones diferenciales de primer orden.
En el capítulo 3, se presentan primero unas definiciones necesarias para el
estudio de ecuaciones diferenciales de orden superior, para luego desarrollar técnicas
que permitan resolver ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes ya
sean homogéneas o no y por último se presenta las ecuaciones diferenciales de
Cauchy-Euler y cómo resolverlas.
En el capítulo 4, se presentan una serie de problemas de aplicación que se
pueden resolver mediante modelos matemáticos que incluyan ecuaciones
diferenciales utilizando las técnicas que presentadas en los capítulos anteriores.
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Este capítulo es un preámbulo a todo el mundo de las ecuaciones diferenciales
ordinarias. Se desarrollaran conceptos básicos para la mejor comprensión de este tipo
de ecuaciones, así como también una breve introducción a como enunciar un modelo
matemático a partir de un problema de la vida real.
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo
5
1.1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL.
Una ecuación diferencial es una igualdad que contiene derivadas de una
función desconocida con respecto a una o más variables independientes.
Por ejemplo la ecuación
dx
kx
dt
  es una ecuación diferencial, que por cierto
representa la desintegración radioactiva de una sustancia a través del tiempo.
Así mismo, la ecuación  
4
4
d y
EI w x
dx
 , es una ecuación diferencial que
modela la desviación que experimenta una viga con respecto a su eje de simetría.
Por último, la ecuación  
2 2 2
2 2 2
4 , ,
u u u
x y z
x y z

  
  
  
, también es una
ecuación diferencial, llamada ecuación de Poisson, la cual satisface, por ejemplo, el
potencial del campo electrostático.
Como se ve, existen diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, por lo que se
hace necesario realizar una clasificación de ellas. A continuación se presentarán
diferentes formas de clasificar las ecuaciones diferenciales.
1.2 CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse según su tipo, orden o
linealidad.
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo
6
1.2.1 Clasificación según el tipo
Cuando una ecuación diferencial contiene una o más derivadas de una
función desconocida con respecto a una sola variable, es decir solo derivadas
ordinarias, entonces se está en presencia de una ecuación diferencial ordinaria, por
ejemplo:
cos
dy
y y xy x yx
dx
     
En cambio si la ecuación posee una o más derivadas de una función
desconocida con respecto a dos o más de una variables, entonces es una ecuación
diferencial en derivadas parciales, por ejemplo:
2 2
2 2
0
z z
x y
 
 
 
Cabe destacar que en este módulo está basado solo en el estudio de ecuaciones
diferenciales ordinarias.
1.2.2 Clasificación según su orden.
El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta que
tiene la ecuación, por ejemplo:
2
2
2
dy d y
x
dx dx
  , es de segundo orden
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo
7
0y y  , es de tercer orden
4 3
3
tan
dy d y
x
dx dx
 
  
 
, es de tercer orden
De este último ejemplo, cabe destacar que es importante no confundir el orden
con el grado (potencia del término).
1.2.3 Clasificación según su linealidad o no.
Una ecuación diferencial es lineal, si se puede escribir de la forma:
   
   
       1
1 2 1 0
n n
n na x y a x y a x y a x y a x y g x


      
Esto implica que debe cumplir con las siguientes condiciones:
a. La función desconocida y sus derivadas son a lo sumo de primer grado, es
decir, de potencia 1.
b. Los coeficientes de la función desconocida y sus derivadas dependen solo
de la variable independiente.
En caso de que no se cumpla alguna de estas condiciones, se dice que la
ecuación diferencial es no lineal. Por ejemplo:
2 1y xy x    , es lineal
 2
1y y y x    , es no lineal, ya que el coeficiente de y depende de y
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo
8
4
4
cos 0
d y dy
x y
dx dx
   , es lineal
3
2
3
0
d y dy
x y
dx dx
   , no es lineal, ya que el término y, no es de primer grado.
1.3 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL.
Toda función que al sustituirla en la ecuación diferencial, cumple con la
igualdad, es considerada como una solución de ella. Por lo tanto, se puede decir que
2x
y e es solución de ecuación 2 0y y  , ya que, como 2x
y e , entonces
2
2 x
y e  , por lo tanto al sustituir en la ecuación diferencial se tiene:
 2 2
2 0 2 2 0 0 0x x
y y e e      
Por lo tanto podemos definir como solución de una ecuación diferencial a
toda función que satisface a la ecuación, es decir que al sustituirla la reduce a una
identidad.
Existen varias formas de clasificar las soluciones de las ecuaciones
diferenciales, una de ellas es en explícitas e implícitas.
Una solución explícita, es aquella que se puede escribir de la forma  y f x
, es decir que la solución este expresada solo en función de la variable independiente
y constantes. Por ejemplo 2x
y e es una solución explícita de la ecuación
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo
9
2 0y y  . Un tipo solución explícita es la solución trivial o nula y es aquella que
tiene la forma 0y  .
Ahora, una solución implícita, es la que tiene la forma  ,f x y C , es decir,
toda solución que involucre tanto a la variable dependiente como a la independiente.
Por ejemplo  3 3
4 1y x  , es una solución explícita la ecuación diferencial
 3 2
1 0x dy x ydx   .
Otra manera de clasificar las soluciones de las ecuaciones diferenciales es en
generales, particulares y singulares.
Una solución o relación que satisfaga a una ecuación diferencial y además
involucre en su estructura una o más constantes arbitrarias, se denomina solución
general. Cabe destacar, que una ecuación diferencial de orden n, tendrá una solución
general compuesta por n funciones multiplicadas por n constantes arbitrarias. Por
ejemplo   1 2cos siny x C x C x  es solución general de la ecuación diferencial
0y y  . Geométricamente, una solución general de la forma  ,y C x ,
representa una familia de curva en el plano xy. Estas curvas se llaman curvas
integrales.
En la figura 1.1, se muestran las curvas integrales de la solución general
2
y x C  .
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo
10
Figura 1.1
Ahora bien, una solución particular, es la que no está en función de
constantes arbitrarias, y esto se logra particularizando las constantes de la solución
general, a partir de unas condiciones iniciales que presenta el problema. Por ejemplo
la función   2cos 3siny x x x  , es una solución particular de 0y y  . Más
adelante veremos que una solución particular es la que se obtiene de un problema de
valor inicial.
Por último una solución singular, es aquella que no se obtener a partir de la
solución general de la ecuación diferencial. Por ejemplo, la función 2
2y Cx C  es
la solución general de la ecuación  
2
2y Cy y   , sin embargo la función
2
8 0x y  también es solución de la ecuación diferencial ya que la satisface, por lo
tanto ésta es una solución singular, ya que es imposible obtenerla a partir de la
solución general.
x
y
-4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
-3
-2
-1
0
1
2
3
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo
11
1.4 PROBLEMAS DE VALOR INICIAL
Un problema de valor inicial es toda ecuación diferencial que se encuentra
acompañada por unas condiciones iniciales. Es importante destacar que en un
problema de valor inicial, el número de condiciones iniciales necesarias debe ser
igual al orden de la ecuación diferencial, es decir, una ecuación diferencial de tercer
orden necesita tres condiciones iniciales. En forma general, una ecuación diferencial
de orden n, debe estar sujeta a n condiciones iniciales, es decir:
 1
, , , , , 0n n
F x y y y y y
   sujeta a
     
 1
0 0 0 1 0 1, , ,
n
ny x y y x y y x y


  
Cabe destacar, que la solución de un problema de valor inicial siempre genera
una solución del tipo particular.
Ahora bien, cuando se considera un problema de valor inicial, surgen las
siguientes preguntas:
 ¿El problema tiene solución?
 De existir solución, ¿es ésta la única solución del problema?
La respuesta a estas interrogantes viene dada en el siguiente teorema.
Teorema de existencia y unicidad. Sea R una región rectangular en el plano xy,
definida por ,a x b c y d    , que contiene al punto  0 0,x y en su interior.
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo
12
 ,o ox y
x
y
c
d
a b
R
I
Si f y
df
dy
son continuas en R, entonces existe un intervalo abierto I, con centro 0x
contenido en  ,a b y una única función  y x , que satisface el problema de valor
inicial  ,y f x y  , sujeta a  0 0y x y ,
Para toda x de I. (ver figura 1.2)
Figura 1.2
A continuación se presentarán unos ejemplos para aclarar el teorema anterior.
Ejemplo1. Demuestre que el problema de valor inicial 3
y x y   sujeta a  1 2y  ,
tiene solución única.
De acuerdo al teorema de existencia y unicidad, primero se comprobará que
cumple con la hipótesis. Como   3
,f x y x y  , y 2
3
df
y
dy
 , ambas son continuas
en todo rectángulo R del plano xy. Ahora la condición inicial  1 2y  , implica que
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo
13
0 1x  , y además 0 2y  . Es obvio que  1,2 está contenido en alguna región
rectangular R. Entonces, todas las hipótesis del teorema se cumplen, con lo cual se
puede concluir que existe una solución única.
Ejemplo 2. Verifique si la ecuaciónl 2
1y y   sujeta a  1 1y  , tiene solución
única.
Al igual que el problema anterior, primero se comprobará que cumple con la
hipótesis del teorema de existencia y unicidad. Entonces se tiene que
  2
, 1f x y y  , y
2
1
df y
dy y
 

, sin embargo en  1,1
df
dy
no es continua. Por
lo tanto el punto 1,1 no debe estar incluido en una región rectangular R, donde las
hipótesis que satisfaga el teorema. Con lo cual no se puede concluir del teorema de
existencia y unicidad que exista una solución única. Esto no significa que el problema
no tenga solución o que tenga varias soluciones. Cabe destacar que si un problema
de valor inicial no satisface las condiciones del teorema de existencia y unicidad,
entonces las curvas integrales se interceptan.
1.5 MODELOS MATEMÁTICOS.
Un modelo matemático, es una descripción matemática de un sistema o
fenómeno físico, sociológico, económico, entre otros, que ocurre en la vida real.
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo
14
Para la formulación de un modelo matemático es necesario:
 Identificar las variables que afectan al sistema, es decir, las que producen
cambios en éste. Mientras más variables tenga el modelo será más ajustado a
la realidad, sin embargo mucho más complejo para resolver.
 Establecer un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema que se trata
de describir. Las hipótesis del problema implican con frecuencia, la razón o
tasa de cambio de las variables involucradas. El enunciado del modelo
matemático de estas hipótesis, puede estar conformado por una o más
ecuaciones en donde intervienen derivadas, es decir, ecuaciones diferenciales.
Luego de formulado el modelo matemático, es necesario resolverlo, es decir
hallar una solución a la ecuación diferencial o al sistema de ecuaciones diferenciales,
lo cual no es nada fácil. Al determinar la solución se deberá comprobar que el
modelo sea razonable, lo que implica verificar si su solución es consistente con los
datos experimentales o con los hechos conocidos acerca del comportamiento del
sistema. Sin embargo, si las predicciones que se basan en la solución son deficientes,
se puede aumentar el nivel de resolución del modelo o elaborar hipótesis alternativas
sobre los mecanismos del cambio del sistema; entonces, se repiten los pasos del
proceso de modelado.
En el capítulo 4 se desarrollarán ejemplos de algunos modelos matemáticos
con ecuaciones diferenciales de primer orden y orden superior.

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Capítulo Introductorio de Ecuaciones Diferenciales

  • 2. ÍNDICE GENERAL PRESENTACIÓN 1 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 4 1.1 Definición de ecuación diferencial 5 1.2 Clasificación de ecuaciones diferenciales 5 1.2.1 Clasificación según su tipo 6 1.2.2 Clasificación según su orden 6 1.2.3 Clasificación según su linealidad o no 7 1.3 Solución de una ecuación diferencial 8 1.4 Problema de valor inicial 11 1.5 Modelos matemáticos 13
  • 3. ÍNDICE GENERAL Cristian Castillo CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 15 2.1 Ecuaciones diferenciales en variables separables 16 2.2 ecuaciones diferenciales homogéneas 21 2.2.1 Funciones homogéneas 21 2.2.2 Resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas 23 2.3 Ecuaciones diferenciales exactas 28 2.4 Factores integrantes 35 2.5 Ecuación diferencial lineal 42 2.6 Ecuación diferencial de Bernoulli 48 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 53 3.1 Introducción a las ecuaciones diferenciales de orden superior 54 3.1.1 Principio de superposición 54 3.1.2 Dependencia e independencia lineal 54 3.1.3 Wronskiano 55 3.1.4 Ecuación diferencial homogénea 56 3.1.5 Ecuación diferencial no homogénea 57 3.2 Reducción de orden 58 3.3 Ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes 63 3.3.1 Ecuaciones de segundo orden 64 3.3.2 Ecuaciones de orden superior 69 3.4 Método de coeficientes indeterminados 75 3.4.1 Enfoque de superposición 76 3.4.2 Enfoque anulador 89
  • 4. ÍNDICE GENERAL Cristian Castillo 3.4.2.1 Operadores diferenciales 89 3.4.2.2 Coeficientes indeterminados 93 3.5 Método de variación de parámetros 100 3.5.1 Ecuaciones de segundo orden 101 3.5.2 Ecuaciones de orden superior 108 3.6 Ecuaciones de Cauchy-Euler 112 3.6.1 Ecuaciones homogéneas 113 3.6.2 Ecuaciones no homogéneas 120 CAPÍTULO 4. APLICACIONES CON ECUACIONES DIFERENCIALES 124 4.1 Trayectorias ortogonales 125 4.2 Crecimiento y decrecimiento exponencial 128 4.3 Ley de Newton del enfriamiento 134 4.4 Mezclas 137 4.5 Circuitos eléctricos en serie 140 4.5.1 Circuitos RL 140 4.5.2 Circuitos RC 143 4.6 Absorción de drogas en órganos o células 146 4.7 Crecimiento logístico 151 APÉNDICE I. Números complejos 155 APÉNDICE II. Tabla de derivadas 161 APÉNDICE III. Tabla de integrales 163 BIBLIOGRAFÍA 175
  • 5. PRESENTACIÓN En diferentes áreas de la ciencia, y sobre todo en la ingeniería, se desarrollan modelos matemáticos para ayudar a comprender la fenomenología o el origen de ciertos problemas físicos, biológicos, sociales, etc. Estos modelos, por lo general, pueden ser expresados a partir de ecuaciones que contiene ciertas derivadas de una función desconocida. A una ecuación de este tipo se le denomina ecuación diferencial. La historia de las ecuaciones diferenciales comenzó en el siglo XVI, donde los matemáticos Newton, Leibniz y los hermanos Bernoulli resolvieron las primeras
  • 6. PRESENTACIÓN Cristian Castillo 2 ecuaciones diferenciales sencillas a partir de unos problemas de Mecánica y Geometría. De hecho, según Nápoles y otros (2002), a finales del siglo XVII James y Johan Bernoulli, introducen término como el de “Integrar” una ecuación diferencial, así como la técnica de variables separables para resolver una ecuación diferencial. Estos primeros descubrimientos abrieron al mundo un universo de ecuaciones nuevas, así como también a una serie de procedimientos que nos permiten la resolución de algunos tipos de ecuaciones diferenciales que se presentan en problemas de modelado. Actualmente, las ecuaciones diferenciales y los modelos matemáticos se han convertido en un tema fundamental e indispensable para ser incluido en el pensum de estudio de cualquier carrera de ingeniería a nivel mundial. Es por ello que la asignatura Matemática IV (0082824 – 0322144) que cursan las carreras de ingeniería y afines en la Universidad de Oriente, trata sobre los tipos de ecuaciones diferenciales, las técnicas como resolverlas y modelos matemáticos que las incluyen. Este módulo de Matemática IV (0082824 – 0322144) que se presenta, se ajusta en su totalidad a las unidades 1 y 2 de su programa vigente, tanto en el orden en que son presentados los objetivos como en la profundidad con que son tratados. En él, se ha querido exponer todos los temas de este material en una forma muy clara y sencilla, de manera que el lector pueda comprenderlos en forma inmediata. Además no se ha hecho demasiado énfasis en las demostraciones de los teoremas, en lugar de ello se ha preferido crear un material haciendo hincapié en la parte práctica, para lo
  • 7. PRESENTACIÓN Cristian Castillo 3 cual se han incluido una gran cantidad de ejercicios resueltos y además se han propuesto una serie de ejercicios con respuestas al finalizar cada tema. Por lo tanto este módulo se ha estructurado 4 capítulos, en los cuales se estudiarán las ecuaciones diferenciales ordinarias incluyendo teoremas y técnicas para la resolución de las mismas. El capítulo 1, es una introducción al mundo de las ecuaciones diferenciales, donde se darán definiciones, conceptos y teoremas sobre estas ecuaciones, además de incluir los problemas de valor inicial e introducir la definición de los modelos matemáticos y como formularlos. En el capítulo 2, se desarrollan una serie de técnicas y procedimientos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. En el capítulo 3, se presentan primero unas definiciones necesarias para el estudio de ecuaciones diferenciales de orden superior, para luego desarrollar técnicas que permitan resolver ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes ya sean homogéneas o no y por último se presenta las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Euler y cómo resolverlas. En el capítulo 4, se presentan una serie de problemas de aplicación que se pueden resolver mediante modelos matemáticos que incluyan ecuaciones diferenciales utilizando las técnicas que presentadas en los capítulos anteriores.
  • 8. CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Este capítulo es un preámbulo a todo el mundo de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Se desarrollaran conceptos básicos para la mejor comprensión de este tipo de ecuaciones, así como también una breve introducción a como enunciar un modelo matemático a partir de un problema de la vida real.
  • 9. CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Cristian Castillo 5 1.1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL. Una ecuación diferencial es una igualdad que contiene derivadas de una función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Por ejemplo la ecuación dx kx dt   es una ecuación diferencial, que por cierto representa la desintegración radioactiva de una sustancia a través del tiempo. Así mismo, la ecuación   4 4 d y EI w x dx  , es una ecuación diferencial que modela la desviación que experimenta una viga con respecto a su eje de simetría. Por último, la ecuación   2 2 2 2 2 2 4 , , u u u x y z x y z           , también es una ecuación diferencial, llamada ecuación de Poisson, la cual satisface, por ejemplo, el potencial del campo electrostático. Como se ve, existen diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, por lo que se hace necesario realizar una clasificación de ellas. A continuación se presentarán diferentes formas de clasificar las ecuaciones diferenciales. 1.2 CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES Las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse según su tipo, orden o linealidad.
  • 10. CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Cristian Castillo 6 1.2.1 Clasificación según el tipo Cuando una ecuación diferencial contiene una o más derivadas de una función desconocida con respecto a una sola variable, es decir solo derivadas ordinarias, entonces se está en presencia de una ecuación diferencial ordinaria, por ejemplo: cos dy y y xy x yx dx       En cambio si la ecuación posee una o más derivadas de una función desconocida con respecto a dos o más de una variables, entonces es una ecuación diferencial en derivadas parciales, por ejemplo: 2 2 2 2 0 z z x y       Cabe destacar que en este módulo está basado solo en el estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias. 1.2.2 Clasificación según su orden. El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta que tiene la ecuación, por ejemplo: 2 2 2 dy d y x dx dx   , es de segundo orden
  • 11. CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Cristian Castillo 7 0y y  , es de tercer orden 4 3 3 tan dy d y x dx dx        , es de tercer orden De este último ejemplo, cabe destacar que es importante no confundir el orden con el grado (potencia del término). 1.2.3 Clasificación según su linealidad o no. Una ecuación diferencial es lineal, si se puede escribir de la forma:                1 1 2 1 0 n n n na x y a x y a x y a x y a x y g x          Esto implica que debe cumplir con las siguientes condiciones: a. La función desconocida y sus derivadas son a lo sumo de primer grado, es decir, de potencia 1. b. Los coeficientes de la función desconocida y sus derivadas dependen solo de la variable independiente. En caso de que no se cumpla alguna de estas condiciones, se dice que la ecuación diferencial es no lineal. Por ejemplo: 2 1y xy x    , es lineal  2 1y y y x    , es no lineal, ya que el coeficiente de y depende de y
  • 12. CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Cristian Castillo 8 4 4 cos 0 d y dy x y dx dx    , es lineal 3 2 3 0 d y dy x y dx dx    , no es lineal, ya que el término y, no es de primer grado. 1.3 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL. Toda función que al sustituirla en la ecuación diferencial, cumple con la igualdad, es considerada como una solución de ella. Por lo tanto, se puede decir que 2x y e es solución de ecuación 2 0y y  , ya que, como 2x y e , entonces 2 2 x y e  , por lo tanto al sustituir en la ecuación diferencial se tiene:  2 2 2 0 2 2 0 0 0x x y y e e       Por lo tanto podemos definir como solución de una ecuación diferencial a toda función que satisface a la ecuación, es decir que al sustituirla la reduce a una identidad. Existen varias formas de clasificar las soluciones de las ecuaciones diferenciales, una de ellas es en explícitas e implícitas. Una solución explícita, es aquella que se puede escribir de la forma  y f x , es decir que la solución este expresada solo en función de la variable independiente y constantes. Por ejemplo 2x y e es una solución explícita de la ecuación
  • 13. CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Cristian Castillo 9 2 0y y  . Un tipo solución explícita es la solución trivial o nula y es aquella que tiene la forma 0y  . Ahora, una solución implícita, es la que tiene la forma  ,f x y C , es decir, toda solución que involucre tanto a la variable dependiente como a la independiente. Por ejemplo  3 3 4 1y x  , es una solución explícita la ecuación diferencial  3 2 1 0x dy x ydx   . Otra manera de clasificar las soluciones de las ecuaciones diferenciales es en generales, particulares y singulares. Una solución o relación que satisfaga a una ecuación diferencial y además involucre en su estructura una o más constantes arbitrarias, se denomina solución general. Cabe destacar, que una ecuación diferencial de orden n, tendrá una solución general compuesta por n funciones multiplicadas por n constantes arbitrarias. Por ejemplo   1 2cos siny x C x C x  es solución general de la ecuación diferencial 0y y  . Geométricamente, una solución general de la forma  ,y C x , representa una familia de curva en el plano xy. Estas curvas se llaman curvas integrales. En la figura 1.1, se muestran las curvas integrales de la solución general 2 y x C  .
  • 14. CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Cristian Castillo 10 Figura 1.1 Ahora bien, una solución particular, es la que no está en función de constantes arbitrarias, y esto se logra particularizando las constantes de la solución general, a partir de unas condiciones iniciales que presenta el problema. Por ejemplo la función   2cos 3siny x x x  , es una solución particular de 0y y  . Más adelante veremos que una solución particular es la que se obtiene de un problema de valor inicial. Por último una solución singular, es aquella que no se obtener a partir de la solución general de la ecuación diferencial. Por ejemplo, la función 2 2y Cx C  es la solución general de la ecuación   2 2y Cy y   , sin embargo la función 2 8 0x y  también es solución de la ecuación diferencial ya que la satisface, por lo tanto ésta es una solución singular, ya que es imposible obtenerla a partir de la solución general. x y -4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 -3 -2 -1 0 1 2 3
  • 15. CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Cristian Castillo 11 1.4 PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Un problema de valor inicial es toda ecuación diferencial que se encuentra acompañada por unas condiciones iniciales. Es importante destacar que en un problema de valor inicial, el número de condiciones iniciales necesarias debe ser igual al orden de la ecuación diferencial, es decir, una ecuación diferencial de tercer orden necesita tres condiciones iniciales. En forma general, una ecuación diferencial de orden n, debe estar sujeta a n condiciones iniciales, es decir:  1 , , , , , 0n n F x y y y y y    sujeta a        1 0 0 0 1 0 1, , , n ny x y y x y y x y      Cabe destacar, que la solución de un problema de valor inicial siempre genera una solución del tipo particular. Ahora bien, cuando se considera un problema de valor inicial, surgen las siguientes preguntas:  ¿El problema tiene solución?  De existir solución, ¿es ésta la única solución del problema? La respuesta a estas interrogantes viene dada en el siguiente teorema. Teorema de existencia y unicidad. Sea R una región rectangular en el plano xy, definida por ,a x b c y d    , que contiene al punto  0 0,x y en su interior.
  • 16. CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Cristian Castillo 12  ,o ox y x y c d a b R I Si f y df dy son continuas en R, entonces existe un intervalo abierto I, con centro 0x contenido en  ,a b y una única función  y x , que satisface el problema de valor inicial  ,y f x y  , sujeta a  0 0y x y , Para toda x de I. (ver figura 1.2) Figura 1.2 A continuación se presentarán unos ejemplos para aclarar el teorema anterior. Ejemplo1. Demuestre que el problema de valor inicial 3 y x y   sujeta a  1 2y  , tiene solución única. De acuerdo al teorema de existencia y unicidad, primero se comprobará que cumple con la hipótesis. Como   3 ,f x y x y  , y 2 3 df y dy  , ambas son continuas en todo rectángulo R del plano xy. Ahora la condición inicial  1 2y  , implica que
  • 17. CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Cristian Castillo 13 0 1x  , y además 0 2y  . Es obvio que  1,2 está contenido en alguna región rectangular R. Entonces, todas las hipótesis del teorema se cumplen, con lo cual se puede concluir que existe una solución única. Ejemplo 2. Verifique si la ecuaciónl 2 1y y   sujeta a  1 1y  , tiene solución única. Al igual que el problema anterior, primero se comprobará que cumple con la hipótesis del teorema de existencia y unicidad. Entonces se tiene que   2 , 1f x y y  , y 2 1 df y dy y    , sin embargo en  1,1 df dy no es continua. Por lo tanto el punto 1,1 no debe estar incluido en una región rectangular R, donde las hipótesis que satisfaga el teorema. Con lo cual no se puede concluir del teorema de existencia y unicidad que exista una solución única. Esto no significa que el problema no tenga solución o que tenga varias soluciones. Cabe destacar que si un problema de valor inicial no satisface las condiciones del teorema de existencia y unicidad, entonces las curvas integrales se interceptan. 1.5 MODELOS MATEMÁTICOS. Un modelo matemático, es una descripción matemática de un sistema o fenómeno físico, sociológico, económico, entre otros, que ocurre en la vida real.
  • 18. CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Cristian Castillo 14 Para la formulación de un modelo matemático es necesario:  Identificar las variables que afectan al sistema, es decir, las que producen cambios en éste. Mientras más variables tenga el modelo será más ajustado a la realidad, sin embargo mucho más complejo para resolver.  Establecer un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema que se trata de describir. Las hipótesis del problema implican con frecuencia, la razón o tasa de cambio de las variables involucradas. El enunciado del modelo matemático de estas hipótesis, puede estar conformado por una o más ecuaciones en donde intervienen derivadas, es decir, ecuaciones diferenciales. Luego de formulado el modelo matemático, es necesario resolverlo, es decir hallar una solución a la ecuación diferencial o al sistema de ecuaciones diferenciales, lo cual no es nada fácil. Al determinar la solución se deberá comprobar que el modelo sea razonable, lo que implica verificar si su solución es consistente con los datos experimentales o con los hechos conocidos acerca del comportamiento del sistema. Sin embargo, si las predicciones que se basan en la solución son deficientes, se puede aumentar el nivel de resolución del modelo o elaborar hipótesis alternativas sobre los mecanismos del cambio del sistema; entonces, se repiten los pasos del proceso de modelado. En el capítulo 4 se desarrollarán ejemplos de algunos modelos matemáticos con ecuaciones diferenciales de primer orden y orden superior.