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120 alumnos participaron del viaje de promoción, de los
cuales, de las alumnas mujeres se observo que 5/9 llevaron
cámara fotográfica, 4/15 fueron acompañadas al viaje por
un familiar y 9/10 viajaban por primera vez a dicha ciudad.
¿Cuántos alumnos varones participaron del viaje?
𝐻 + 𝑀 = 120
𝑀 = 9
°
𝑀 = 15
°
𝑀 = 12
°
𝑀 = 𝑀𝐶𝑀(12,15,9)
°
𝑀 = 90
°
𝑀 = 90
𝐻 = 30
1
2
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Difiere entre
multiplicidad y
divisibilidad de
números.
Determina los múltiplos
de un número, conocido
su módulo.
Para números no
divisibles.
Propiedades.
Operaciones elementales
con respecto a los
múltiplos
de un mismo módulo.
Definición.
3
1
En
general:
𝐴 𝜖 ℤ; 𝐵 𝜖 ℤ+; 𝑘 𝜖 ℤ
Donde:
𝑘
𝐵
A
0
𝐴 = 𝐵 𝑥 𝑘
MÓDULO
Notación:
"𝐴 𝑒𝑠 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝐵"
"𝐴 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐵"
"𝐵 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐴"
"𝐵 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐴"
𝐴 = 𝐵 = 𝐵 = 𝐵𝑘
°
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Por defecto
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divisibles
Donde:
𝐴 = 𝐵𝑘 + 𝑟𝑑
Por exceso
𝑘
𝐵
A
𝑟𝑑 7
5
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4
(𝑘 + 1)
𝐵
A
𝑟𝑒 (7 + 1)
5
39
1
39 = 5𝑥7 + 4
𝐴 = 𝐵(𝑘 + 1) − 𝑟𝑒 39 = 5𝑥8 − 1
Ej
m
𝐴 = 𝐵 + 𝑟𝑑
°
𝐴 = 𝐵 + 𝑟𝑑 = 𝐵 − 𝑟𝑒
°
° 5 + 4 = 5 − 1
°
°
39 = 5 + 4
°
𝐴 = 𝐵 − 𝑟𝑒
°
39 = 5 − 1
°
2
3
 𝑛 + 𝑛 + ⋯ + 𝑛 = 𝑛
° ° ° °
 𝑛 − 𝑛 = 𝑛
° ° °
 𝑛𝑘
= 𝑛, ∀𝑘 ∈ ℤ +
° °
 𝑛𝑘 = 𝑛
° °
 𝑆𝑖 23𝑎 = 5 → 𝑎 = 5 , 𝑂𝑏𝑠. : 23 ≠ 5
° ° °
 (𝑛 + 𝑟)𝑘
= 𝑛 + 𝑟𝑘
°
°
 (𝑛 − 𝑟)𝑘
=
°
°
𝑛 + 𝑟𝑘
↔ 𝑘: 𝑝𝑎𝑟
°
𝑛 − 𝑟𝑘
↔ 𝑘: 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
 𝑛 + 𝑎 𝑛 + 𝑏 … 𝑛 + 𝑝 = 𝑛 + 𝑎 𝑥 𝑏 𝑥 … 𝑥 𝑝
° ° ° °
𝑆𝑖 𝐴 = 35 → 𝐴 =
°
𝐵 = 12
°
1
°
5
°
7
°
35
°
𝐵 = 15
°
𝐵 = 6
°
𝐵 = 𝑀𝐶𝑀(12,15,6)
° °
°
𝐵 = 60
°
1
Resolución
RPTA:
De la secuencia del 1 al 800
 Cuántos son múltiplos
de 4
 Cuántos son múltiplos
de 7
 Cuántos son múltiplos
de 6 pero no de 5
Dé como respuesta la suma
de los resultados.
Para 4 ∗
∗
∴ 20
0
+ 114 =
Para 7
4 ≤ 800
°
4𝑘 ≤ 800
𝑘 ≤ 200
7 ≤ 800
°
7𝑘 ≤ 800
𝑘 ≤ 114,3
Para 6
∗
6 ≤ 800
°
6𝑘 ≤ 800
𝑘 ≤ 133,3
Para
30
∗
30 ≤ 800
°
30𝑘 ≤ 800
𝑘 ≤ 26,7
107
+
133 − 26 = 107
2
Resolución
RPTA:
¿Cuántos múltiplos de 7, terminados
en 4 existen entre el 115 y 993?
22; 32; 42; … ; 132 =
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:
115
17; … ; 22; … ; 32; … ; 42; … ; 132; … ; 141
993
7 𝑥 … 2 = ⋯ 4
<
<
𝟕
°
119; 126; … … ; 987;
𝟕𝑥17 𝟕𝑥18 𝟕𝑥141
3
Resolución
RPTA:
Reduzca
𝐹 = 13 + 2 3
13 − 6 + 13 + 4 2
13 − 2 (13 + 1)
° ° ° ° °
+
+
(13 + 8)(13 − 6)
° °
(13 − 32)
°
(13 + 16)(13 − 2)(13 + 1)
° ° °
(13 − 48)
°
13 − 48 + 13 − 32
° °
13 − 80
°
13 − 2
°
°
4
Resolución
RPTA:
En una división
inexacta el divisor es
11 + 4 , el cociente es
11 + 9 . ¿Cómo tiene
que ser el dividendo si
el residuo es un
11 + 10 ?
°
°
°
Reemplazamos
𝐷 = 𝑑𝑞 + 𝑟
𝐷 = 11 + 4 11 + 9 + (11 + 10)
° °
°
(11 + 36)
°
°
+(11 + 10)
°
11 + 46
°
°
11 + 44 + 2
5
Resoluci
ón
6 En un congreso
participaron 600
personas. De los
asistentes varones se
observo que 3/7 eran
abogados , los 4/9 eran
médicos y los 2/5 eran
economistas. ¿Cuántas
damas asistieron al
congreso
Si 𝑎𝑏𝑐𝑑 es divisible
por 73 y 𝑐𝑑 = 3𝑎𝑏 +
1. Calcule el valor de
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑
7
Resolució
n
Halle el residuo
que se obtiene al
dividir
688857
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Si 𝑎𝑏𝑎
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Halle el residuo
que se obtiene al
dividir 𝑎𝑏𝑎𝑏
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  • 1.
  • 2. 120 alumnos participaron del viaje de promoción, de los cuales, de las alumnas mujeres se observo que 5/9 llevaron cámara fotográfica, 4/15 fueron acompañadas al viaje por un familiar y 9/10 viajaban por primera vez a dicha ciudad. ¿Cuántos alumnos varones participaron del viaje? 𝐻 + 𝑀 = 120 𝑀 = 9 ° 𝑀 = 15 ° 𝑀 = 12 ° 𝑀 = 𝑀𝐶𝑀(12,15,9) ° 𝑀 = 90 ° 𝑀 = 90 𝐻 = 30
  • 3. 1 2 4 Difiere entre multiplicidad y divisibilidad de números. Determina los múltiplos de un número, conocido su módulo. Para números no divisibles. Propiedades. Operaciones elementales con respecto a los múltiplos de un mismo módulo. Definición. 3
  • 4. 1 En general: 𝐴 𝜖 ℤ; 𝐵 𝜖 ℤ+; 𝑘 𝜖 ℤ Donde: 𝑘 𝐵 A 0 𝐴 = 𝐵 𝑥 𝑘 MÓDULO Notación: "𝐴 𝑒𝑠 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝐵" "𝐴 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐵" "𝐵 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐴" "𝐵 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐴" 𝐴 = 𝐵 = 𝐵 = 𝐵𝑘 ° °
  • 5. Por defecto Para números no divisibles Donde: 𝐴 = 𝐵𝑘 + 𝑟𝑑 Por exceso 𝑘 𝐵 A 𝑟𝑑 7 5 39 4 (𝑘 + 1) 𝐵 A 𝑟𝑒 (7 + 1) 5 39 1 39 = 5𝑥7 + 4 𝐴 = 𝐵(𝑘 + 1) − 𝑟𝑒 39 = 5𝑥8 − 1 Ej m 𝐴 = 𝐵 + 𝑟𝑑 ° 𝐴 = 𝐵 + 𝑟𝑑 = 𝐵 − 𝑟𝑒 ° ° 5 + 4 = 5 − 1 ° ° 39 = 5 + 4 ° 𝐴 = 𝐵 − 𝑟𝑒 ° 39 = 5 − 1 ° 2
  • 6. 3  𝑛 + 𝑛 + ⋯ + 𝑛 = 𝑛 ° ° ° °  𝑛 − 𝑛 = 𝑛 ° ° °  𝑛𝑘 = 𝑛, ∀𝑘 ∈ ℤ + ° °  𝑛𝑘 = 𝑛 ° °  𝑆𝑖 23𝑎 = 5 → 𝑎 = 5 , 𝑂𝑏𝑠. : 23 ≠ 5 ° ° °  (𝑛 + 𝑟)𝑘 = 𝑛 + 𝑟𝑘 ° °  (𝑛 − 𝑟)𝑘 = ° ° 𝑛 + 𝑟𝑘 ↔ 𝑘: 𝑝𝑎𝑟 ° 𝑛 − 𝑟𝑘 ↔ 𝑘: 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟  𝑛 + 𝑎 𝑛 + 𝑏 … 𝑛 + 𝑝 = 𝑛 + 𝑎 𝑥 𝑏 𝑥 … 𝑥 𝑝 ° ° ° °
  • 7. 𝑆𝑖 𝐴 = 35 → 𝐴 = ° 𝐵 = 12 ° 1 ° 5 ° 7 ° 35 ° 𝐵 = 15 ° 𝐵 = 6 ° 𝐵 = 𝑀𝐶𝑀(12,15,6) ° ° ° 𝐵 = 60 °
  • 8. 1 Resolución RPTA: De la secuencia del 1 al 800  Cuántos son múltiplos de 4  Cuántos son múltiplos de 7  Cuántos son múltiplos de 6 pero no de 5 Dé como respuesta la suma de los resultados. Para 4 ∗ ∗ ∴ 20 0 + 114 = Para 7 4 ≤ 800 ° 4𝑘 ≤ 800 𝑘 ≤ 200 7 ≤ 800 ° 7𝑘 ≤ 800 𝑘 ≤ 114,3 Para 6 ∗ 6 ≤ 800 ° 6𝑘 ≤ 800 𝑘 ≤ 133,3 Para 30 ∗ 30 ≤ 800 ° 30𝑘 ≤ 800 𝑘 ≤ 26,7 107 + 133 − 26 = 107
  • 9. 2 Resolución RPTA: ¿Cuántos múltiplos de 7, terminados en 4 existen entre el 115 y 993? 22; 32; 42; … ; 132 = 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 115 17; … ; 22; … ; 32; … ; 42; … ; 132; … ; 141 993 7 𝑥 … 2 = ⋯ 4 < < 𝟕 ° 119; 126; … … ; 987; 𝟕𝑥17 𝟕𝑥18 𝟕𝑥141
  • 10. 3 Resolución RPTA: Reduzca 𝐹 = 13 + 2 3 13 − 6 + 13 + 4 2 13 − 2 (13 + 1) ° ° ° ° ° + + (13 + 8)(13 − 6) ° ° (13 − 32) ° (13 + 16)(13 − 2)(13 + 1) ° ° ° (13 − 48) ° 13 − 48 + 13 − 32 ° ° 13 − 80 ° 13 − 2 ° °
  • 11. 4 Resolución RPTA: En una división inexacta el divisor es 11 + 4 , el cociente es 11 + 9 . ¿Cómo tiene que ser el dividendo si el residuo es un 11 + 10 ? ° ° ° Reemplazamos 𝐷 = 𝑑𝑞 + 𝑟 𝐷 = 11 + 4 11 + 9 + (11 + 10) ° ° ° (11 + 36) ° ° +(11 + 10) ° 11 + 46 ° ° 11 + 44 + 2
  • 12. 5 Resoluci ón 6 En un congreso participaron 600 personas. De los asistentes varones se observo que 3/7 eran abogados , los 4/9 eran médicos y los 2/5 eran economistas. ¿Cuántas damas asistieron al congreso Si 𝑎𝑏𝑐𝑑 es divisible por 73 y 𝑐𝑑 = 3𝑎𝑏 + 1. Calcule el valor de 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑
  • 13. 7 Resolució n Halle el residuo que se obtiene al dividir 688857 entre 7 8 Si 𝑎𝑏𝑎 = 9 + 4 𝑎𝑏𝑏 = 9 + 5 Halle el residuo que se obtiene al dividir 𝑎𝑏𝑎𝑏 entre 9 ° °