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Cinematica
Introducción.
La cinemática estudia los movimientos de los cuerpos
independientemente de las causas que lo producen.
Magnitud física: Propiedad de un objeto que se puede medir.
Hay 2 tipos:
• Escalar: posee un nº natural y una unidad
• Vectorial: es un vector con dirección y punto de aplicación
Movimientos.
Cambio de posición de un cuerpo o móvil puntual al pasar el
tiempo.
El sistema de referencia se define desde donde se observa al
móvil.
El movimiento se define siempre que cambie la posición del
móvil respecto al sistema de referencia. En caso contrario, el
móvil estará en reposo.
TRAYECTORIA
La trayectoria es el
camino que recorre la
partícula cuando se
traslada de una
posición a otra.
La trayectoria puede variar con el cambio de referencia.
EJERCICIO:
Considere que usted está sentado en un autobús. En ese momento,
el bus está en una trayectoria lineal a velocidad constante. De
repente, un foco de luz del techo cae. ¿Qué forma tendrá la
trayectoria del foco para la persona que va en el bus y que forma
tendrá para una persona en reposo fuera del mismo?
Respuesta
Para quien está en el autobús, la trayectoria descrita por la lámpara será
rectilínea. Pero a un extraño y en reposo respecto a la Tierra, la trayectoria
se verá como el arco de una parábola.
EL DESPLAZAMIENTO
Es el cambio de posición de una partícula
durante un intervalo de tiempo
Físicamente el vector desplazamiento representa la
variación de la posición de una partícula respecto a un
sistema de referencia fijo, sin que interese la forma de la
trayectoria , la velocidad o aceleración.
El desplazamiento total de una partícula puede
descomponerse en desplazamientos parciales y
analizarlos individualmente a cada uno de ellos, de todas
maneras el desplazamiento total será la suma vectorial
de los vectores desplazamiento parciales.
EJERCICIO
El desplazamiento total realizado por la
persona de la gráfica es:
a) 28 m
b)12 m al este
c) O m
d)(12 i - 8 j ) m
LA DISTANCIA
Es la longitud total de la trayectoria recorrida por un
cuerpo (partícula) al moverse de un lugar a otro.
En una trayectoria rectilínea, el módulo del
desplazamiento será igual a la distancia recorrida.
EJERCICIO
La casa de Pedro está ubicada en una calle que tiene dirección norte
– sur y tiene 10 m de ancho la calle. Pedro sale de su casa y camina
30 m al norte, dobla a la derecha y camina 40 m , dobla de nuevo a
la derecha y camina 10 m; una vez más dobla a la derecha y camina
30 m. Finalmente, dobla a la izquierda y camina 20 m. La posición
final y la distancia total recorrida respectivamente son:
a) 30 m al norte ; 70 m
b) (40 i + 30 j)m ; 50 m
c) 10 m al este; 130 m
d) Se encuentra en la salida de su
casa; 140 m
• Fue Galileo Galilei quien, estudiando el
movimiento de los cuerpos en un plano
inclinado, llegó a un concepto de velocidad.
Lo que hizo fue dividir la distancia recorrida
en unidades de tiempo. Esto es, fijó un
patrón de una unidad de tiempo, como por
ejemplo 1 segundo, y a partir de esto
relacionó la distancia recorrida por un
cuerpo en cada segundo. De esta manera,
Galileo desarrolló el concepto de la
velocidad como una variación de la
distancia recorrida por unidad de tiempo
VELOCIDAD
es una de las
magnitudes físicas más
importante para el buen
rendimiento, se conoce
como una unidad vectorial
que expresa un
desplazamiento en una
unidad de tiempo marcada
• La velocidad es una magnitud física de
carácter vectorial que expresa la distancia
recorrida por un objeto por unidad de
tiempo.
• Se representa por
• Sus dimensiones son [X]/[t], donde X es la
distancia recorrida o desplazamiento y t es
el tiempo en recorrer dicha distancia
• Su unidad en el Sistema Internacional es el
m/s.
• En virtud de su carácter vectorial, para
definir la velocidad deben considerarse la
dirección del desplazamiento y el módulo,
el cual se denomina celeridad o rapidez.
• De igual forma la velocidad es el ritmo o
tasa de cambio de la posición por unidad de
tiempo.
Velocidad media
La velocidad media o velocidad promedio es la velocidad en un
intervalo de tiempo dado. Se calcula dividiendo el desplazamiento
(Δr) entre el tiempo(Δt) empleado en efectuarlo:
Esta es la definición de la velocidad media entendida como vector
(ya que es el resultado de dividir un vector entre un escalar).
Por otra parte, si se considera la distancia recorrida sobre la
trayectoria en un intervalo de tiempo dado, tenemos la velocidad
media sobre la trayectoria o rapidez media, la cual es una cantidad
escalar. La expresión anterior se escribe en la forma:
La velocidad media sobre la trayectoria también se suele
denominar «velocidad media numérica» aunque esta última forma
de llamarla no está exenta de ambigüedades.
El módulo de la velocidad media (entendida como
vector), en general, es diferente al valor de la velocidad
media sobre la trayectoria. Solo serán iguales si la
trayectoria es rectilínea y si el móvil solo avanza (en uno
u otro sentido) sin retroceder. Por ejemplo, si un objeto
recorre una distancia de 10 metros en un lapso de 3
segundos, el módulo de su velocidad media sobre la
trayectoria es:
Velocidad instantánea
La velocidad instantánea permite conocer la velocidad de un móvil que se
desplaza sobre una trayectoria cuando el intervalo de tiempo es infinitamente
pequeño, siendo entonces el espacio recorrido también muy pequeño,
representando un punto de la trayectoria. La velocidad instantánea es siempre
tangente a la trayectoria.
En forma vectorial, la velocidad es la derivada del vector posición respecto al
tiempo:
donde es un vector (vector de módulo unidad) de dirección tangente a la
trayectoria del cuerpo en cuestión y es el vector posición, ya que en el límite
los diferenciales de espacio recorrido y posición coinciden.
APLICACIONES DE LA VELOCIDAD
• El Movimiento Rectilíneo Uniforme es un
movimiento con trayectoria rectilínea y está
caracterizado por tener una velocidad constante. O
sea el móvil con M.R.U. “recorre distancias iguales
en tiempos iguales”.
• En la siguiente aplicación interactiva se ilustra las
características del M.R.U. y se grafican sus
ecuaciones horarias.
MRU
• Esta ecuación permite predecir en un
momento futuro determinado cual será la
posición del móvil con M.R.U. conociendo su
velocidad, la posición inicial del mismo y el
instante inicial del movimiento.
• En la mayoría de los ejercicios, se toma para
mayor simplicidad el instante inicial igual a
cero, lo cual equivale a usar un cronómetro y
ponerlo en cero al inicio del experimento. La
ecuación horaria se transforma entonces en:
REPRESENTACIONES GRÁFICAS DEL M.R.U.
• Esta última fórmula se puede representar
gráficamente en un sistema de coordenadas
cartesianas. La variable independiente es “t” y
se representa en el eje horizontal y la función
es “X” que se representa en el eje de
ordenadas (vertical).
• La representación gráfica de X = f (t) corresponde
a una recta, cuya pendiente es la velocidad del
móvil y cuya ordenada al origen es la posición
inicial Xi.
• Vemos que los móviles A y B parten de la misma
posición inicial Xi = 1m y tienen pendientes
positivas, lo que indica que se están alejando del
origen (dado que la posición inicial es positiva). A
medida que pasa el tiempo dichos móviles están
cada vez más lejos del origen de coordenadas.
Pero el móvil B tiene mayor velocidad que el A,
pues para incrementos de tiempo iguales (por
ejemplo 1(s)) tiene un mayor desplazamiento Dx.
Se observa que la pendiente de la recta B es
mayor que la de la recta A.
• El móvil C arranca con una posición inicial distinta Xi =
4m, más lejos del origen, pero regresa a él pues su
velocidad es negativa. A medida que transcurre el
tiempo este móvil se halla cada vez más cerca del
origen, o sea que sufre desplazamientos “Dx” negativos
hasta llegar al origen; cosa que ocurre a los 5 (s) de
iniciado el movimiento. Luego de llegar al origen
continúa con M.R.U. dirigiéndose ahora hacia
posiciones negativas.
• El móvil D está en un estado de reposo, pues se halla
en la misma posición X = 1m en todo momento. Vemos
que su pendiente es cero, correspondiendo a una recta
horizontal: velocidad nula.
• Las gráficas de las velocidades de estos
móviles serán:
• Como la velocidad es constante, estas
gráficas corresponden a rectas horizontales y
por esto no es muy interesante esta
representación.
• En este movimiento unidimensional, si bien la
velocidad es un vector, vamos a trabajar con él como
si fuera un escalar positivo o negativo. O sea que
mediante el signo indicaremos el sentido del vector.
• Todo vector será positivo si está en el sentido de
crecimiento del eje de referencia. Y será negativo si va
en sentido contrario. Esto se aplica tanto a
velocidades, como a desplazamientos o cualquier otro
vector (aceleración, fuerza, etc. como veremos más
adelante).
• Si el móvil está con una posición positiva (a la derecha del
origen en este ejemplo) y su velocidad es también positiva,
entonces se estará alejando del origen y si su velocidad es
negativa, se estará acercando al origen. Pero si el móvil se halla
con una posición negativa (a la izquierda del origen en este
ejemplo), la situación se invierte: Si v es (+) se acercará al
origen y si v es (-) se alejará de él.
• O sea que no es sólo el signo de la velocidad (+ o -) el que
determina si se acerca o se aleja del origen, sino la evaluación
de este signo con el signo de la posición : Si “v” y “X” tienen
igual signo el móvil se aleja del origen y si tienen distinto signo
se acerca al origen.
• Es importante destacar que si bien el signo de un vector
depende del sistema de referencia, el sentido de un vector no
depende del sistema de referencia. Por ejemplo, si el vector va
hacia la derecha, seguirá siendo así no importa cuál sea el
sistema de referencia empleado.
EJERCICIO
• Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de
manera que su posición en cualquier instante t
está dada por x=5·t2+1, donde x se expresa en
metros y t en segundos.
• Calcular su velocidad promedio en el intervalo
de tiempo entre:
2 y 3 s.
2 y 2.1 s.
2 y 2.01 s.
2 y 2.001 s.
2 y 2.0001 s.
• Calcula la velocidad en el instante t=2 s.
Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo Δt→0, la
velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t=2 s
es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que
tiende a cero.
Calculamos la velocidad en cualquier instante t
La posición del móvil en el instante t es x=5t2+1
La posición del móvil en el instante t+Dt es :
x'=5(t+Dt)2+1=5t2+10tDt+5Dt2+1
• El desplazamiento es Dx=x'-x=10tDt+5Dt2
• La velocidad media <v> es
• La velocidad en el instante t es el límite de la
velocidad media cuando el intervalo de tiempo
tiende a cero
• La velocidad en un instante t se puede calcular
directamente, hallando la derivada de la posición x
respecto del tiempo
• En el instante t=2 s, v=20 m/s
La rapidez de un partícula se define como la magnitud de su
velocidad.
La rapidez no tiene dirección asociada y, en consecuencia, no
lleva signo algebraico.
La rapidez es una magnitud escalar que relaciona la distancia
recorrida con el tiempo
Ej. Si una partícula tiene una velocidad de +25 m/s y otra un
velocidad de – 25 m/s, las dos tienen una rapidez de 25 m/s. el
velocímetro de un automóvil indica la rapidez y no la velocidad.
RAPIDEZ
La rapidez puede ser definida como "la rapidez con que algo se
mueve" o se puede explicar de forma más científica como "la
distancia recorrida en una unidad de tiempo". En la vida diaria
utilizamos la primera definición y decir que el objeto más
rápido tiene una velocidad más alta. La rapidez no nos muestra
la dirección del movimiento que sólo da la magnitud de lo que
la distancia tomada en un momento dado. En otras palabras,
es una magnitud escalar. Nosotros usamos un símbolo para
mostrar la rapidez v. Permítanme formular lo que hablamos
anteriormente;
De la fórmula anterior podemos decir que la rapidez es
directamente proporcional a la distancia e inversamente
proporcional al tiempo. Creo que es tiempo para hablar un
poco de las unidades de la rapidez.
( )
d
V rapidez
t
Una persona pasea desde A hasta B, retrocede hasta C y retrocede de nuevo para
alcanzar el punto D. Calcula su rapidez media
RAPIDEZ MEDIA
La velocidad media es igual a la distancia total recorrida dividida por el tiempo
necesario para recorrerla. Obviamente, la distancia total recorrida se obtiene
sumando la longitud de cada tramo. Con el tiempo total, otro tanto. Por lo tanto,
nuestro punto de partida es
Tramo A - B
distancia recorrida = 350 m
tiempo empleado = 3 min
Tramo B - C
distancia recorrida = 200 m
tiempo empleado = 2 min
Tramo C - D
distancia recorrida = 450 m
tiempo empleado = 5 min
Movimiento completo
distancia recorrida = 350 m + 200 m + 450 m = 1000 m
tiempo = 10 min
Rapidez media = distancia total/tiempo total = 1000 m/10 min = 100 m/min
12 tt
d
t
d
s
Rapidez instantánea
Rapidez media y rapidez instantánea
Un objeto en movimiento no tiene la misma rapidez durante su viaje. A veces se
acelera y, a veces se ralentiza. En un momento determinado instante lo que leemos
en el indicador de rapidez es la rapidez instantánea.
Por ejemplo, un coche se mueve con una rapidez constante viaja a otra ciudad,
que deben detenerse en las luces rojas en el tráfico, o se debe reducir la rapidez
cuando se producen situaciones no deseadas en el camino. Al final del viaje, si
queremos aprender la rapidez media del coche dividimos la distancia total a
tiempo total que el viaje dura.
Supongamos que el coche recorre 500 km en una hora 5. Cuando se calcula la
rapidez media se ve que es de 100 km / h. Por supuesto, el coche no se moverá
simultáneamente a 100 km / h constantes. Tiene muchas rapidez instantáneas y
100 km / h es el promedio de las rapidez instantáneas.
Rapidez instantánea
Se puede saber la rapidez del vehículo en cualquier momento mirando el
velocímetro del mismo.
La rapidez en cualquier instante se conoce como rapidez instantánea. El
velocímetro de un automóvil nos indica la rapidez instantánea que lleva el
automóvil en ese mismo instante. Puede recorrer una calle a 50km/h,
reducir su velocidad a 0 km/h en un semáforo y luego aumentarla solo 30
km/h a causa del tráfico.
El velocímetro de un auto proporciona lecturas de rapidez instantáneas en
mi/h y en km/h. Los odómetros indican las distancias en kilómetros
Se puede saber la rapidez instantánea del
vehículo en cualquier momento simplemente
mirando el velocímetro. El velocímetro
proporciona lecturas de rapidez instantáneas
en km/h Un automóvil no se desplaza siempre
con la misma rapidez
Ejemplo 1.- Un auto se mueve a una velocidad uniforme a través del tiempo
entre los puntos A y G según lo demuestra la siguiente imagen:
Hagamos ahora una gráfica de velocidad (o rapidez) versus
tiempo para el carro que se movía a una velocidad uniforme
entre los puntos A y G. Recuerda que en cada uno de esos
puntos la rapidez era de 5 m/s, así que nuestra tabla de datos
es:
Punto tiempo
(s)
velocidad (m/s)
A 0 5
B 10 5
C 20 5
D 30 5
E 40 5
F 50 5
G 60 5
Ejemplo 2. Fíjate que la gráfica de la derecha es la de una
línea recta horizontal. Esta es la forma que tiene la gráfica de
velocidad versus tiempo para un objeto que se mueve a una
velocidad uniforme.
Hagamos algo nuevo. Calculemos el área del rectángulo
definido por la línea recta, el eje de x (tiempo) y los puntos A
y G. Para calcular el área de un rectángulo todo que tenemos
que saber son los largos de su base y su altura.
Tramo Forma Posició
n (m)
Tiempo
(s)
Rapidez
(m/s)
Velocida
d (m/s)
AB Lineal
Horizontal
Constante en
120m, N
Aumenta de 0
a 20
0, No hay
movimiento
+0m/s,
No hay
BC Lineal
Descendente
Disminuye de
120 a 20
Aumenta de
20 a 40
5m/s -5m/s
5m/s, Sur
CD Lineal
Horizontal
Constante en
20m, N
Aumenta de
40 a 60
0, No hay
movimiento
+0m/s, No hay
El calculo de la pendiente nos dará el valor de la velocidad
2 1
2 1
y y
m
x x
Ejemplo.3
Explica el movimiento del
mismo en términos de su
posición, distancia,
desplazamiento, rapidez y
velocidad. Indica en cuales
momentos de la gráfica no hay
movimiento.
Tramo Forma Posición
(m)
Tiempo
(s)
Rapidez
(m/s)
Velocida
d (m/s)
AB Lineal
Ascendente
Aumenta de
0 a 80m, N
Aumenta de
0 a 5
16m/s +16m/s, N
BC Lineal
Horizontal
Constante en
80m
Aumenta de
5 a 20
0m/s
No hay
0, no se mueve
CD Lineal
Descendente
Disminuye
80 a 40m,S
Aumenta
de 20 a 25
8m/s -8m/s
8m/s, S
DE Lineal
Ascendente
Aumenta de 40
a 60m, N
Aumenta
de 25 a 30
4m/s +4m/s, N
EF Lineal
Descendente
Disminuye
60 a o m, S
Aumenta
de 30 a 40
6m/s -6m/s
6m/s, S
Explica el movimiento del
mismo en términos de su
posición, distancia,
desplazamiento, rapidez y
velocidad. Indica en cuales
momentos de la gráfica no hay
movimiento.
Cinematica
En el M.R.U.V. la rapidez varía pero no de
cualquier manera, depende de la aceleración
y esta es constante. Si miramos
detenidamente la gráfica de la aceleración en
función del tiempo (gráfico de la aceleración)
podremos darnos cuenta que, no importa el
instante elegido, "a« tendrá siempre el
mismo valor.
Otra forma de realizar el análisis del movimiento es
mediante la utilización del software Geogebra para física
En este ambiente de aprendizaje podemos observar el movimiento de dos móviles
uno con MRU y otro con MRUV. Ponemos el cursor sobre la deslizador del tiempo,
hacemos clic derecho y tomamos la opción animación automática, y se vera el
movimiento.
Link de descarga.
http://www.geogebra.org/en/upload/index.php?action=downloadfile&filename=GeoGebra_Physics
.ggb&directory=jlhneira&
Protocolo de construcción
Ejercicio: En la figura P2.3 se ilustra la grafica de posición
contra tiempo para cierta partícula que se mueve a lo largo
del eje x. Encuentre la velocidad promedio en los intervalos:
(a) 0 a 2 seg.,
(b) 0 a 4 seg.,
(c)2 seg. a 4 seg.,
(d) 4 seg. a 7 seg.,
(e) 0 a 8 seg.,.
Ejercicio 2: Una persona camina primero a una rapidez
constante de 5 m/seg. a lo largo de una recta del punto A al
punto B, y luego regresa a lo largo de la línea de B a A, a una
rapidez constante de 3 m / seg. CuaI es:
(a) su rapidez promedio en todo el viaje?
(b) cuál es su velocidad promedio en todo el viaje?
Sol:
a) 3.75 m/s
b) 0 m/s
Aceleración
Así como la velocidad describe la tasa de cambio de
posición con el tiempo, la aceleración describe la tasa
de cambio de velocidad con el tiempo. Al igual que la
velocidad, la aceleración es una cantidad vectorial.
•Componentes intrínsecas de la aceleración
Otro sistema de referencia puede ser: conocida la
trayectoria y tomar un punto sobre ella (origen)
para medir la distancia.
En cualquier punto de la trayectoria puedo
asociar un sistema de referencia formado por dos
ejes: uno tangencial y otro perpendicular.
Aceleración media: es el consciente entre el cambio
de velocidad y el intervalo de tiempo transcurrido.
Tiene igual dirección y sentido que el incremento de
velocidad.
Si expresamos la velocidad en metros por segundo y
el tiempo en segundos, la aceleración media está en
metros por segundo por segundo, o bien (m/s)/s.
Esto se lee “metros por segundo al cuadrado”.
Aceleración instantánea: Si el incremento de tiempo
tiende a 0, el intervalo de tiempo se aproxima a un
instante y la aceleración sería instantánea.
Como ejemplo, suponga que un piloto de carreras acaba
de entrar en una recta como se muestra en la figura.
Para definir la aceleración instantánea en P1, tomamos
el segundo punto P2 en la figura, cada vez más cerca de
P1, de modo que la aceleración media se calcule en
intervalos cada vez más cortos.
Ejercicio: Una astronauta sale de una nave espacial
en orbita para probar una unidad personal de
maniobras. Mientras se mueve en línea recta, su
compañera a bordo mide su velocidad cada 2.0 s a
partir del instante t 5 1.0 s:
Calcule la aceleración media y diga si la rapidez de la
astronauta aumenta o disminuye para cada uno de
estos intervalos:
a) t1 5 1.0 s a t2 5 3.0 s; b) t1 5 5.0 s a t2 5 7.0 s; c) t1
5 9.0 s a t2 5 l l.0 s; d) t1 5 13.0 s a t2 5 15.0 s.
La aceleración instantánea es el límite de la
aceleración media conforme el intervalo de
tiempo se acerca a cero. En el lenguaje del
cálculo, la aceleración instantánea es la tasa
instantánea de cambio de la velocidad con el
tiempo. Así,
Aceleración constante:
El movimiento acelerado mas sencillo es el rectilíneo
con aceleración constante. En este caso, la velocidad
cambia al mismo ritmo todo el tiempo. Se trata de una
situación muy especial, aun cuando ocurre a menudo
en la naturaleza.
Ejercicio 2: Suponga que la velocidad vx del auto en la
figura 2.11 en el tiempo t
esta dada por
a) Calcule el cambio de velocidad del auto en el intervalo
entre t1= 1.0 s y t2 = 3.0 s.
b) Calcule la aceleración media en este intervalo.
c) Obtenga la aceleración instantánea en t1 = 1.0 s
tomando Δt primero como 0.1 s, después como 0.01 s y
luego como 0.001 s.
d) Deduzca una expresión para la aceleración instantánea
en cualquier instante y úsela para obtener la aceleración
en t = 1.0 s y t = 3.0 s.
Graficas de rapidez, aceleración y posición

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  • 2. Introducción. La cinemática estudia los movimientos de los cuerpos independientemente de las causas que lo producen. Magnitud física: Propiedad de un objeto que se puede medir. Hay 2 tipos: • Escalar: posee un nº natural y una unidad • Vectorial: es un vector con dirección y punto de aplicación Movimientos. Cambio de posición de un cuerpo o móvil puntual al pasar el tiempo. El sistema de referencia se define desde donde se observa al móvil. El movimiento se define siempre que cambie la posición del móvil respecto al sistema de referencia. En caso contrario, el móvil estará en reposo.
  • 3. TRAYECTORIA La trayectoria es el camino que recorre la partícula cuando se traslada de una posición a otra.
  • 4. La trayectoria puede variar con el cambio de referencia. EJERCICIO: Considere que usted está sentado en un autobús. En ese momento, el bus está en una trayectoria lineal a velocidad constante. De repente, un foco de luz del techo cae. ¿Qué forma tendrá la trayectoria del foco para la persona que va en el bus y que forma tendrá para una persona en reposo fuera del mismo? Respuesta Para quien está en el autobús, la trayectoria descrita por la lámpara será rectilínea. Pero a un extraño y en reposo respecto a la Tierra, la trayectoria se verá como el arco de una parábola.
  • 5. EL DESPLAZAMIENTO Es el cambio de posición de una partícula durante un intervalo de tiempo
  • 6. Físicamente el vector desplazamiento representa la variación de la posición de una partícula respecto a un sistema de referencia fijo, sin que interese la forma de la trayectoria , la velocidad o aceleración. El desplazamiento total de una partícula puede descomponerse en desplazamientos parciales y analizarlos individualmente a cada uno de ellos, de todas maneras el desplazamiento total será la suma vectorial de los vectores desplazamiento parciales.
  • 7. EJERCICIO El desplazamiento total realizado por la persona de la gráfica es: a) 28 m b)12 m al este c) O m d)(12 i - 8 j ) m
  • 8. LA DISTANCIA Es la longitud total de la trayectoria recorrida por un cuerpo (partícula) al moverse de un lugar a otro. En una trayectoria rectilínea, el módulo del desplazamiento será igual a la distancia recorrida.
  • 9. EJERCICIO La casa de Pedro está ubicada en una calle que tiene dirección norte – sur y tiene 10 m de ancho la calle. Pedro sale de su casa y camina 30 m al norte, dobla a la derecha y camina 40 m , dobla de nuevo a la derecha y camina 10 m; una vez más dobla a la derecha y camina 30 m. Finalmente, dobla a la izquierda y camina 20 m. La posición final y la distancia total recorrida respectivamente son: a) 30 m al norte ; 70 m b) (40 i + 30 j)m ; 50 m c) 10 m al este; 130 m d) Se encuentra en la salida de su casa; 140 m
  • 10. • Fue Galileo Galilei quien, estudiando el movimiento de los cuerpos en un plano inclinado, llegó a un concepto de velocidad. Lo que hizo fue dividir la distancia recorrida en unidades de tiempo. Esto es, fijó un patrón de una unidad de tiempo, como por ejemplo 1 segundo, y a partir de esto relacionó la distancia recorrida por un cuerpo en cada segundo. De esta manera, Galileo desarrolló el concepto de la velocidad como una variación de la distancia recorrida por unidad de tiempo VELOCIDAD
  • 11. es una de las magnitudes físicas más importante para el buen rendimiento, se conoce como una unidad vectorial que expresa un desplazamiento en una unidad de tiempo marcada
  • 12. • La velocidad es una magnitud física de carácter vectorial que expresa la distancia recorrida por un objeto por unidad de tiempo. • Se representa por • Sus dimensiones son [X]/[t], donde X es la distancia recorrida o desplazamiento y t es el tiempo en recorrer dicha distancia • Su unidad en el Sistema Internacional es el m/s. • En virtud de su carácter vectorial, para definir la velocidad deben considerarse la dirección del desplazamiento y el módulo, el cual se denomina celeridad o rapidez. • De igual forma la velocidad es el ritmo o tasa de cambio de la posición por unidad de tiempo.
  • 13. Velocidad media La velocidad media o velocidad promedio es la velocidad en un intervalo de tiempo dado. Se calcula dividiendo el desplazamiento (Δr) entre el tiempo(Δt) empleado en efectuarlo: Esta es la definición de la velocidad media entendida como vector (ya que es el resultado de dividir un vector entre un escalar). Por otra parte, si se considera la distancia recorrida sobre la trayectoria en un intervalo de tiempo dado, tenemos la velocidad media sobre la trayectoria o rapidez media, la cual es una cantidad escalar. La expresión anterior se escribe en la forma: La velocidad media sobre la trayectoria también se suele denominar «velocidad media numérica» aunque esta última forma de llamarla no está exenta de ambigüedades.
  • 14. El módulo de la velocidad media (entendida como vector), en general, es diferente al valor de la velocidad media sobre la trayectoria. Solo serán iguales si la trayectoria es rectilínea y si el móvil solo avanza (en uno u otro sentido) sin retroceder. Por ejemplo, si un objeto recorre una distancia de 10 metros en un lapso de 3 segundos, el módulo de su velocidad media sobre la trayectoria es:
  • 15. Velocidad instantánea La velocidad instantánea permite conocer la velocidad de un móvil que se desplaza sobre una trayectoria cuando el intervalo de tiempo es infinitamente pequeño, siendo entonces el espacio recorrido también muy pequeño, representando un punto de la trayectoria. La velocidad instantánea es siempre tangente a la trayectoria. En forma vectorial, la velocidad es la derivada del vector posición respecto al tiempo: donde es un vector (vector de módulo unidad) de dirección tangente a la trayectoria del cuerpo en cuestión y es el vector posición, ya que en el límite los diferenciales de espacio recorrido y posición coinciden.
  • 16. APLICACIONES DE LA VELOCIDAD • El Movimiento Rectilíneo Uniforme es un movimiento con trayectoria rectilínea y está caracterizado por tener una velocidad constante. O sea el móvil con M.R.U. “recorre distancias iguales en tiempos iguales”. • En la siguiente aplicación interactiva se ilustra las características del M.R.U. y se grafican sus ecuaciones horarias. MRU
  • 17. • Esta ecuación permite predecir en un momento futuro determinado cual será la posición del móvil con M.R.U. conociendo su velocidad, la posición inicial del mismo y el instante inicial del movimiento. • En la mayoría de los ejercicios, se toma para mayor simplicidad el instante inicial igual a cero, lo cual equivale a usar un cronómetro y ponerlo en cero al inicio del experimento. La ecuación horaria se transforma entonces en:
  • 18. REPRESENTACIONES GRÁFICAS DEL M.R.U. • Esta última fórmula se puede representar gráficamente en un sistema de coordenadas cartesianas. La variable independiente es “t” y se representa en el eje horizontal y la función es “X” que se representa en el eje de ordenadas (vertical).
  • 19. • La representación gráfica de X = f (t) corresponde a una recta, cuya pendiente es la velocidad del móvil y cuya ordenada al origen es la posición inicial Xi. • Vemos que los móviles A y B parten de la misma posición inicial Xi = 1m y tienen pendientes positivas, lo que indica que se están alejando del origen (dado que la posición inicial es positiva). A medida que pasa el tiempo dichos móviles están cada vez más lejos del origen de coordenadas. Pero el móvil B tiene mayor velocidad que el A, pues para incrementos de tiempo iguales (por ejemplo 1(s)) tiene un mayor desplazamiento Dx. Se observa que la pendiente de la recta B es mayor que la de la recta A.
  • 20. • El móvil C arranca con una posición inicial distinta Xi = 4m, más lejos del origen, pero regresa a él pues su velocidad es negativa. A medida que transcurre el tiempo este móvil se halla cada vez más cerca del origen, o sea que sufre desplazamientos “Dx” negativos hasta llegar al origen; cosa que ocurre a los 5 (s) de iniciado el movimiento. Luego de llegar al origen continúa con M.R.U. dirigiéndose ahora hacia posiciones negativas. • El móvil D está en un estado de reposo, pues se halla en la misma posición X = 1m en todo momento. Vemos que su pendiente es cero, correspondiendo a una recta horizontal: velocidad nula.
  • 21. • Las gráficas de las velocidades de estos móviles serán: • Como la velocidad es constante, estas gráficas corresponden a rectas horizontales y por esto no es muy interesante esta representación.
  • 22. • En este movimiento unidimensional, si bien la velocidad es un vector, vamos a trabajar con él como si fuera un escalar positivo o negativo. O sea que mediante el signo indicaremos el sentido del vector. • Todo vector será positivo si está en el sentido de crecimiento del eje de referencia. Y será negativo si va en sentido contrario. Esto se aplica tanto a velocidades, como a desplazamientos o cualquier otro vector (aceleración, fuerza, etc. como veremos más adelante).
  • 23. • Si el móvil está con una posición positiva (a la derecha del origen en este ejemplo) y su velocidad es también positiva, entonces se estará alejando del origen y si su velocidad es negativa, se estará acercando al origen. Pero si el móvil se halla con una posición negativa (a la izquierda del origen en este ejemplo), la situación se invierte: Si v es (+) se acercará al origen y si v es (-) se alejará de él. • O sea que no es sólo el signo de la velocidad (+ o -) el que determina si se acerca o se aleja del origen, sino la evaluación de este signo con el signo de la posición : Si “v” y “X” tienen igual signo el móvil se aleja del origen y si tienen distinto signo se acerca al origen. • Es importante destacar que si bien el signo de un vector depende del sistema de referencia, el sentido de un vector no depende del sistema de referencia. Por ejemplo, si el vector va hacia la derecha, seguirá siendo así no importa cuál sea el sistema de referencia empleado.
  • 24. EJERCICIO • Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en cualquier instante t está dada por x=5·t2+1, donde x se expresa en metros y t en segundos. • Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre: 2 y 3 s. 2 y 2.1 s. 2 y 2.01 s. 2 y 2.001 s. 2 y 2.0001 s. • Calcula la velocidad en el instante t=2 s.
  • 25. Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo Δt→0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t=2 s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero. Calculamos la velocidad en cualquier instante t La posición del móvil en el instante t es x=5t2+1 La posición del móvil en el instante t+Dt es : x'=5(t+Dt)2+1=5t2+10tDt+5Dt2+1
  • 26. • El desplazamiento es Dx=x'-x=10tDt+5Dt2 • La velocidad media <v> es • La velocidad en el instante t es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero • La velocidad en un instante t se puede calcular directamente, hallando la derivada de la posición x respecto del tiempo • En el instante t=2 s, v=20 m/s
  • 27. La rapidez de un partícula se define como la magnitud de su velocidad. La rapidez no tiene dirección asociada y, en consecuencia, no lleva signo algebraico. La rapidez es una magnitud escalar que relaciona la distancia recorrida con el tiempo Ej. Si una partícula tiene una velocidad de +25 m/s y otra un velocidad de – 25 m/s, las dos tienen una rapidez de 25 m/s. el velocímetro de un automóvil indica la rapidez y no la velocidad. RAPIDEZ
  • 28. La rapidez puede ser definida como "la rapidez con que algo se mueve" o se puede explicar de forma más científica como "la distancia recorrida en una unidad de tiempo". En la vida diaria utilizamos la primera definición y decir que el objeto más rápido tiene una velocidad más alta. La rapidez no nos muestra la dirección del movimiento que sólo da la magnitud de lo que la distancia tomada en un momento dado. En otras palabras, es una magnitud escalar. Nosotros usamos un símbolo para mostrar la rapidez v. Permítanme formular lo que hablamos anteriormente; De la fórmula anterior podemos decir que la rapidez es directamente proporcional a la distancia e inversamente proporcional al tiempo. Creo que es tiempo para hablar un poco de las unidades de la rapidez. ( ) d V rapidez t
  • 29. Una persona pasea desde A hasta B, retrocede hasta C y retrocede de nuevo para alcanzar el punto D. Calcula su rapidez media RAPIDEZ MEDIA La velocidad media es igual a la distancia total recorrida dividida por el tiempo necesario para recorrerla. Obviamente, la distancia total recorrida se obtiene sumando la longitud de cada tramo. Con el tiempo total, otro tanto. Por lo tanto, nuestro punto de partida es Tramo A - B distancia recorrida = 350 m tiempo empleado = 3 min Tramo B - C distancia recorrida = 200 m tiempo empleado = 2 min Tramo C - D distancia recorrida = 450 m tiempo empleado = 5 min Movimiento completo distancia recorrida = 350 m + 200 m + 450 m = 1000 m tiempo = 10 min Rapidez media = distancia total/tiempo total = 1000 m/10 min = 100 m/min 12 tt d t d s
  • 30. Rapidez instantánea Rapidez media y rapidez instantánea Un objeto en movimiento no tiene la misma rapidez durante su viaje. A veces se acelera y, a veces se ralentiza. En un momento determinado instante lo que leemos en el indicador de rapidez es la rapidez instantánea. Por ejemplo, un coche se mueve con una rapidez constante viaja a otra ciudad, que deben detenerse en las luces rojas en el tráfico, o se debe reducir la rapidez cuando se producen situaciones no deseadas en el camino. Al final del viaje, si queremos aprender la rapidez media del coche dividimos la distancia total a tiempo total que el viaje dura. Supongamos que el coche recorre 500 km en una hora 5. Cuando se calcula la rapidez media se ve que es de 100 km / h. Por supuesto, el coche no se moverá simultáneamente a 100 km / h constantes. Tiene muchas rapidez instantáneas y 100 km / h es el promedio de las rapidez instantáneas.
  • 31. Rapidez instantánea Se puede saber la rapidez del vehículo en cualquier momento mirando el velocímetro del mismo. La rapidez en cualquier instante se conoce como rapidez instantánea. El velocímetro de un automóvil nos indica la rapidez instantánea que lleva el automóvil en ese mismo instante. Puede recorrer una calle a 50km/h, reducir su velocidad a 0 km/h en un semáforo y luego aumentarla solo 30 km/h a causa del tráfico. El velocímetro de un auto proporciona lecturas de rapidez instantáneas en mi/h y en km/h. Los odómetros indican las distancias en kilómetros Se puede saber la rapidez instantánea del vehículo en cualquier momento simplemente mirando el velocímetro. El velocímetro proporciona lecturas de rapidez instantáneas en km/h Un automóvil no se desplaza siempre con la misma rapidez
  • 32. Ejemplo 1.- Un auto se mueve a una velocidad uniforme a través del tiempo entre los puntos A y G según lo demuestra la siguiente imagen: Hagamos ahora una gráfica de velocidad (o rapidez) versus tiempo para el carro que se movía a una velocidad uniforme entre los puntos A y G. Recuerda que en cada uno de esos puntos la rapidez era de 5 m/s, así que nuestra tabla de datos es:
  • 33. Punto tiempo (s) velocidad (m/s) A 0 5 B 10 5 C 20 5 D 30 5 E 40 5 F 50 5 G 60 5
  • 34. Ejemplo 2. Fíjate que la gráfica de la derecha es la de una línea recta horizontal. Esta es la forma que tiene la gráfica de velocidad versus tiempo para un objeto que se mueve a una velocidad uniforme. Hagamos algo nuevo. Calculemos el área del rectángulo definido por la línea recta, el eje de x (tiempo) y los puntos A y G. Para calcular el área de un rectángulo todo que tenemos que saber son los largos de su base y su altura.
  • 35. Tramo Forma Posició n (m) Tiempo (s) Rapidez (m/s) Velocida d (m/s) AB Lineal Horizontal Constante en 120m, N Aumenta de 0 a 20 0, No hay movimiento +0m/s, No hay BC Lineal Descendente Disminuye de 120 a 20 Aumenta de 20 a 40 5m/s -5m/s 5m/s, Sur CD Lineal Horizontal Constante en 20m, N Aumenta de 40 a 60 0, No hay movimiento +0m/s, No hay El calculo de la pendiente nos dará el valor de la velocidad 2 1 2 1 y y m x x Ejemplo.3 Explica el movimiento del mismo en términos de su posición, distancia, desplazamiento, rapidez y velocidad. Indica en cuales momentos de la gráfica no hay movimiento.
  • 36. Tramo Forma Posición (m) Tiempo (s) Rapidez (m/s) Velocida d (m/s) AB Lineal Ascendente Aumenta de 0 a 80m, N Aumenta de 0 a 5 16m/s +16m/s, N BC Lineal Horizontal Constante en 80m Aumenta de 5 a 20 0m/s No hay 0, no se mueve CD Lineal Descendente Disminuye 80 a 40m,S Aumenta de 20 a 25 8m/s -8m/s 8m/s, S DE Lineal Ascendente Aumenta de 40 a 60m, N Aumenta de 25 a 30 4m/s +4m/s, N EF Lineal Descendente Disminuye 60 a o m, S Aumenta de 30 a 40 6m/s -6m/s 6m/s, S Explica el movimiento del mismo en términos de su posición, distancia, desplazamiento, rapidez y velocidad. Indica en cuales momentos de la gráfica no hay movimiento.
  • 38. En el M.R.U.V. la rapidez varía pero no de cualquier manera, depende de la aceleración y esta es constante. Si miramos detenidamente la gráfica de la aceleración en función del tiempo (gráfico de la aceleración) podremos darnos cuenta que, no importa el instante elegido, "a« tendrá siempre el mismo valor.
  • 39. Otra forma de realizar el análisis del movimiento es mediante la utilización del software Geogebra para física
  • 40. En este ambiente de aprendizaje podemos observar el movimiento de dos móviles uno con MRU y otro con MRUV. Ponemos el cursor sobre la deslizador del tiempo, hacemos clic derecho y tomamos la opción animación automática, y se vera el movimiento. Link de descarga. http://www.geogebra.org/en/upload/index.php?action=downloadfile&filename=GeoGebra_Physics .ggb&directory=jlhneira&
  • 42. Ejercicio: En la figura P2.3 se ilustra la grafica de posición contra tiempo para cierta partícula que se mueve a lo largo del eje x. Encuentre la velocidad promedio en los intervalos: (a) 0 a 2 seg., (b) 0 a 4 seg., (c)2 seg. a 4 seg., (d) 4 seg. a 7 seg., (e) 0 a 8 seg.,.
  • 43. Ejercicio 2: Una persona camina primero a una rapidez constante de 5 m/seg. a lo largo de una recta del punto A al punto B, y luego regresa a lo largo de la línea de B a A, a una rapidez constante de 3 m / seg. CuaI es: (a) su rapidez promedio en todo el viaje? (b) cuál es su velocidad promedio en todo el viaje? Sol: a) 3.75 m/s b) 0 m/s
  • 44. Aceleración Así como la velocidad describe la tasa de cambio de posición con el tiempo, la aceleración describe la tasa de cambio de velocidad con el tiempo. Al igual que la velocidad, la aceleración es una cantidad vectorial.
  • 45. •Componentes intrínsecas de la aceleración Otro sistema de referencia puede ser: conocida la trayectoria y tomar un punto sobre ella (origen) para medir la distancia. En cualquier punto de la trayectoria puedo asociar un sistema de referencia formado por dos ejes: uno tangencial y otro perpendicular.
  • 46. Aceleración media: es el consciente entre el cambio de velocidad y el intervalo de tiempo transcurrido. Tiene igual dirección y sentido que el incremento de velocidad. Si expresamos la velocidad en metros por segundo y el tiempo en segundos, la aceleración media está en metros por segundo por segundo, o bien (m/s)/s. Esto se lee “metros por segundo al cuadrado”.
  • 47. Aceleración instantánea: Si el incremento de tiempo tiende a 0, el intervalo de tiempo se aproxima a un instante y la aceleración sería instantánea. Como ejemplo, suponga que un piloto de carreras acaba de entrar en una recta como se muestra en la figura. Para definir la aceleración instantánea en P1, tomamos el segundo punto P2 en la figura, cada vez más cerca de P1, de modo que la aceleración media se calcule en intervalos cada vez más cortos.
  • 48. Ejercicio: Una astronauta sale de una nave espacial en orbita para probar una unidad personal de maniobras. Mientras se mueve en línea recta, su compañera a bordo mide su velocidad cada 2.0 s a partir del instante t 5 1.0 s: Calcule la aceleración media y diga si la rapidez de la astronauta aumenta o disminuye para cada uno de estos intervalos: a) t1 5 1.0 s a t2 5 3.0 s; b) t1 5 5.0 s a t2 5 7.0 s; c) t1 5 9.0 s a t2 5 l l.0 s; d) t1 5 13.0 s a t2 5 15.0 s.
  • 49. La aceleración instantánea es el límite de la aceleración media conforme el intervalo de tiempo se acerca a cero. En el lenguaje del cálculo, la aceleración instantánea es la tasa instantánea de cambio de la velocidad con el tiempo. Así,
  • 50. Aceleración constante: El movimiento acelerado mas sencillo es el rectilíneo con aceleración constante. En este caso, la velocidad cambia al mismo ritmo todo el tiempo. Se trata de una situación muy especial, aun cuando ocurre a menudo en la naturaleza.
  • 51. Ejercicio 2: Suponga que la velocidad vx del auto en la figura 2.11 en el tiempo t esta dada por a) Calcule el cambio de velocidad del auto en el intervalo entre t1= 1.0 s y t2 = 3.0 s. b) Calcule la aceleración media en este intervalo. c) Obtenga la aceleración instantánea en t1 = 1.0 s tomando Δt primero como 0.1 s, después como 0.01 s y luego como 0.001 s. d) Deduzca una expresión para la aceleración instantánea en cualquier instante y úsela para obtener la aceleración en t = 1.0 s y t = 3.0 s.
  • 52. Graficas de rapidez, aceleración y posición