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Cinemática- Aceleración
    Presentación PowerPoint de
 Paul E. Tippens, Profesor de Física
Southern Polytechnic State University
El cheetah (guepardo): Un gato diseñado para correr. Su fortaleza y
agilidad le permiten sostener una rapidez tope de más de 100
km/h. Tales rapideces sólo se pueden mantener durante unos diez
segundos.           Foto © Vol. 44 Photo Disk/Getty
Objetivos: Después de completar
   este módulo, deberá:
• Definir y aplicar los conceptos de velocidad
  promedio e instantánea y aceleración.
• Resolver problemas que involucren velocidad inicial
  y final, aceleración, desplazamiento y tiempo.
• Demostrar su comprensión de las direcciones y
  signos para velocidad, desplazamiento y
  aceleración.
• Resolver problemas que involucren un cuerpo en
  caída libre en un campo gravitacional.
Aceleración uniforme en una
          dirección:
• El movimiento es a lo largo de una línea recta
  (horizontal, vertical o inclinado).
• Los cambios en el movimiento resultan de
  una fuerza CONSTANTE que produce
  aceleración uniforme.
• La causa del movimiento se discutirá más
  tarde. Aquí sólo se tratan los cambios.
• El objeto en movimiento se trata como si
  fuese una partícula puntual.
Distancia y desplazamiento
    Distancia es la longitud de la trayectoria real
    que sigue el objeto. Considere el viaje del
    punto A al punto B en el siguiente diagrama:


                            La distancia s es una
                            cantidad escalar (sin
                     B      dirección):
     s = 20 m
                            Sólo contiene magnitud y
A                           consta de un número y
                            una unidad.

                             (20 m, 40 mi/h, 10 gal)
Distancia y desplazamiento
Desplazamiento es la separación en línea recta
de dos puntos en una dirección específica.


                           Una cantidad vectorial:
D = 12 m, 20o       B
                           Contiene magnitud Y
A                          dirección, un número,
                           unidad y ángulo.
                           (12 m, 300; 8 km/h, N)
Distancia y desplazamiento
• Para movimiento a lo largo de los ejes x o y, el
  desplazamiento se determina por la coordenada x o y
  de su posición final. Ejemplo: Considere un auto que
  viaja 8 m al E, luego 12 m al O.


El desplazamiento neto
D es desde el origen            D        8 m,E
hasta la posición final:                                 x
   D = 4 m, W
                           x = -4              x = +8
¿Cuál es la distancia               12 m,O
recorrida? 20 m !!
Los signos del desplazamiento
• El desplazamiento es positivo (+) o
  negativo (-) con base en la UBICACIÓN.
    Ejemplos:
                            2m
El desplazamiento es
la coordenada y. Si el
movimiento es arriba o
abajo, + o -, se basa     -1 m
en la UBICACIÓN.          -2 m


    ¡La dirección del movimiento no importa!
Definición de rapidez
• Rapidez es la distancia recorrida por unidad de
  tiempo (una cantidad escalar).

                               s       20 m
     s = 20 m       B    v=        =
                               t        4s
 A
                               v = 5 m/s

                         ¡No depende de la
   Tiempo t = 4 s        dirección!
Definición de velocidad
• Velocidad es el desplazamiento por unidad
  de tiempo. (Una cantidad vectorial.)


s = 20 m             B        D    12 m
                          v
        D=12 m                t     4s
A
          20o            v = 3 m/s, 200 N del E

    Tiempo t = 4 s        ¡Requiere dirección!
Ejemplo 1. Una corredora corre 200 m, este,
      luego cambia dirección y corre 300 m, oeste.
      Si todo el viaje tarda 60 s, ¿cuál es la rapidez
      promedio y cuál la velocidad promedio?
  Recuerde que la rapidez
  promedio es una función s2 = 300 m                 s1 = 200 m
  sólo de la distancia total
  y del tiempo total:                inicio

  Distancia total: s = 200 m + 300 m = 500 m

                    trayectoria total   500 m   Rapidez prom.
Rapidez pr omedio                                 8.33 m/s
                         tiempo          60 s

                ¡No importa la dirección!
Ejemplo 1 (Cont.) Ahora encuentre la
     velocidad promedio, que es el desplazamiento
     neto dividido por el tiempo. En este caso,
     importa la dirección.
                                         t = 60 s
           xf       x0        xf = -100 m          x1= +200 m
    v
                t
x0 = 0 m; xf = -100 m                   xo = 0
                                       La dirección del
         100 m 0                       desplazamiento final es hacia
v                        1.67 m/s      la izquierda, como se
           60 s                        muestra.

        Velocidad promedio:   v   1.67 m/s, West
    Nota: La velocidad promedio se dirige al oeste.
Ejemplo 2. Un paracaidista salta y cae 600 m
    en 14 s. Después se abre el paracaídas y cae
    otros 400 m en 150 s. ¿Cuál es la rapidez
    promedio de toda la caída?
    Distancia total/tiempo total:     14 s

       xA   xB   600 m + 400 m        A
 v                                        625 m
       tA   tB    14 s + 150 s
      1000 m
v                v    6.10 m/s
       164 s
                                     B
La rapidez promedio sólo es               356 m
función de la distancia total
recorrida y el tiempo total           142 s
requerido.
Ejemplos de rapidez
                      Órbita
                    2 x 104 m/s
Luz = 3 x 108 m/s




 Jets = 300 m/s        Automóvil = 25 m/s
Ejemplos de rapidez (Cont.)



Corredora = 10 m/s


                      Glaciar = 1 x 10-5 m/s


Caracol = 0.001 m/s
Rapidez promedio y velocidad
             instantánea
 La rapidez promedio depende SÓLO de la
  distancia recorrida y el tiempo requerido.


     s = 20 m      B     La velocidad
                         instantánea es la
       C
 A                       magnitud y la dirección
                         de la rapidez en un
                         instante particular. (v
                         en el punto C)
  Tiempo t = 4 s
Los signos de la velocidad
 La velocidad es positiva (+) o negativa (-)
  con base en la dirección de movimiento.


   +       -       Elija primero la dirección +;
               +   entonces v es positiva si el
                   movimiento está en dicha
                   dirección, y negativa si es
   +
           -       contraria a esa dirección.
v promedio e instantánea
Velocidad promedio:      Velocidad instantánea:
         x x2 x1                   x
 vavg                       vinst     ( t 0)
         t t2 t1                    t

                                                pendiente




                            Desplazamiento, x
 x2
                                                              x
                     x
 x1
                                                        t
            t

       t1       t2                                   Tiempo
Definición de aceleración
     Una aceleración es el cambio en velocidad
      por unidad de tiempo. (Una cantidad
      vectorial.)
     Un cambio en velocidad requiere la aplicación
      de un empuje o jalón (fuerza).

Más adelante se dará un tratamiento formal de
fuerza y aceleración. Por ahora, debe saber que:

• La dirección de la        • La aceleración es
  aceleración es la misma     proporcional a la
  que la dirección de la
                              magnitud de la fuerza.
  fuerza.
Aceleración y fuerza

                 F
                                  a

                     2F          2a


Jalar el carrito con el doble de fuerza
produce el doble de aceleración y la
aceleración está en la dirección de la
fuerza.
Ejemplo de aceleración

      +                           Fuerza
               t=3s

 v0 = +2 m/s          vf = +8 m/s

 El viento cambia la rapidez de un bote
 de 2 m/s a 8 m/s en 3 s. Cada segundo
 cambia la rapidez por 2 m/s.
La fuerza del viento es constante, por tanto la
          aceleración es constante.
Los signos de la aceleración
• La aceleración es positiva (+) o negativa (-)
  con base en la dirección de la fuerza.


              +       Primero elija la dirección
 F          a (-)     +. Entonces la
                      aceleración a tendrá el
                      mismo signo que el de la
            a(+)      fuerza F, sin importar la
F                     dirección de la velocidad.
a promedio e instantánea
                 v       v2 v1              v
     aavg                          ainst      ( t        0)
                 t       t2 t1              t


                                       pendiente
v2
                                                     v
                               v
v1
                                              t
                     t

            t1            t2                tiempo
Ejemplo 3 (sin cambio en dirección): Una fuerza
  constante cambia la rapidez de un auto de 8 m/s a
  20 m/s en 4 s. ¿Cuál es la aceleración promedio?

             +                            Fuerza
                      t=4s

       v1 = +8 m/s               v2 = +20 m/s

Paso   1.   Dibuje un bosquejo burdo.
Paso   2.   Elija una dirección positiva (derecha).
Paso   3.   Etiquete la información dada con signos + y -.
Paso   4.   Indique la dirección de la fuerza F.
Ejemplo 3 (continuación): ¿Cuál es la
     aceleración promedio del auto?

               +                           Fuerza
                        t=4s

         v1 = +8 m/s               v2 = +20 m/s

Paso 5. Recuerde la definición   20 m/s - 8 m/s
de aceleración promedio.     a                      3 m/s
                                      4s
           v    v2 v1
  aavg                     a = + 3 m/s, a la derecha
           t    t2 t1
Ejemplo 4: Un carrito que se mueve al este a 20
  m/s encuentra un viento de cara muy fuerte, lo
  que hace que cambie de dirección. Después de 5
  s, viaja al oeste a 5 m/s. ¿Cuál es la aceleración
  promedio? (Asegúrese de los signos.)

      +                                   Fuerza
                                      E
vf = -5 m/s        vo = +20 m/s

Paso 1. Dibuje un bosquejo burdo.
Paso 2. Elija la dirección al este como positiva.
Paso 3. Etiquete la información dada con los
signos + y -.
Ejemplo 4 (Cont.): El carrito que se mueve al este
a 20 m/s encuentra un viento de cara que hace
que cambie de dirección. Cinco segundos después,
viaja al oeste a 5 m/s. ¿Cuál es la aceleración
promedio?

Elija la dirección al este como positiva.
Velocidad inicial, vo = +20 m/s, este (+)
Velocidad final, vf = -5 m/s, oeste (-)
Cambio en velocidad, v = vf - v0
  v = (-5 m/s) - (+20 m/s) = -25 m/s
Ejemplo 4: (continuación)
     +                                           Fuerza
                                             E
                   vo = +20 m/s
 vf = -5 m/s
                   v = (-5 m/s) - (+20 m/s) = -25 m/s


          v        vf - vo                 -25 m/s
aprom=         =                     a=
          t         tf - to                  5s

                              La aceleración se dirige a la
    a = - 5 m/s2
                              izquierda, oeste (igual que F).
Signos para el desplazamiento
     +                       C            Fuerza
      D                               E
              A                                 B
vf = -5 m/s   vo = +20 m/s       a = - 5 m/s2


 Tiempo t = 0 en el punto A. ¿Cuáles son los
 signos (+ o -) del desplazamiento en B, C y D?

  En B, x es positivo, derecha del origen
  En C, x es positivo, derecha del origen
  En D, x es negativo, izquierda del origen
Signos para velocidad

      +        x=0
                              C            Fuerza
       D                               E
                A                                B
 vf = -5 m/s   vo = +20 m/s       a = - 5 m/s2


   ¿Cuáles son los signos (+ o -) de la
   velocidad en los puntos B, C y D?
 En B, v es cero - no necesita signo.
 En C, v es positiva de ida y negativa de vuelta.

 En D, v es negativa, va a la izquierda.
Signos para aceleración

     +                       C             Fuerza
      D                                E
              A                                 B
vf = -5 m/s   vo = +20 m/s       a = - 5 m/s2
¿Cuáles son los signos (+ o -) de la
aceleración en los puntos B, C y D?

 En B, C y D, a = -5 m/s, negativa en todos
  los puntos.
 La fuerza es constante y siempre se dirige a la
  izquierda, de modo que la aceleración no cambia.
Definiciones
Velocidad promedio:

         x   x2 x1
  vavg
         t   t2 t1

Aceleración promedio:

         v   v2 v1
  aavg
         t   t2 t1
Velocidad para a constante
Velocidad promedio:      Velocidad promedio:

        x   xf   x0                 v0 v f
 vavg                        vavg
        t   tf   t0                   2
Al hacer to = 0 y combinar lo que se tiene:

                       v0 v f
             x    x0            t
                         2
Ejemplo 5: Una bola a 5 m del fondo de un plano inclinad
    viaja inicialmente a 8 m/s. Cuatro segundos después, viaj
    abajo del plano a 2 m/s. ¿Cuán lejos del fondo está en es
    instante?


      +              x             F
                          vf
                     vo
       5m                      -2 m/s
                                  t=4s            Cuidado
                 8 m/s

           vo + vf                 8 m/s + (-2 m/s)
x = xo +             t =5m+                           (4 s)
             2                           2
(Continuación)
      +                          F
             x
                       vf
              vo
    5m                      -2 m/s
            8 m/s              t=4s

              8 m/s + (-2 m/s)
 x=5m+                                (4 s)
                    2
          8 m/s - 2 m/s
x=5m+                         (4 s)      x = 17 m
                   2
Aceleración constante
                                  v    vf   v0
   Aceleración:          a avg
                                  t    tf   t0

   Al hacer to = 0 y resolver para v, se tiene:

                    vf       v0   at

Velocidad final = velocidad inicial + cambio en velocidad
Aceleración en el ejemplo
                       +                 F
vf       v0    at          x        v
                               vo
     vf       v0
a                     5m         -2 m/s
          t                8 m/s    t=4s


              ( 2 m/s) ( 8 m/s)                 2
     a                                  2 m/s
                      4s
                           ¡La fuerza que cambia
                            ¿Cuál es el significado
     a = -2.50 m/s2        delrapidez es abajo del
                           la signo negativo de a?
                                    plano!
Fórmulas basadas en definicione
          v0 v f
 x   x0                  t           vf        v0   at
                2
      Fórmulas derivadas:
                    1        2                       1        2
 x   x0   v0t       2   at       x       x0 v f t    2   at
                                     2       2
           2a( x x0 ) v              f     v 0


Sólo para aceleración constante
Uso de posición inicial x0 en problemas.

          0    v0 v f                     Si elige el origen de
x    x0                          t        sus ejes x,y en el
                     2                    punto de la posición
          0              1        2       inicial, puede hacer
x    x0        v0t       2   at           x0 = 0 y simplificar
          0              1        2       estas ecuaciones.
x    x0 v f t            2   at
                 0                          El término xo es muy
2a( x x0 ) v                 2        2
                                      v     útil para estudiar
                             f        0
                                            problemas que
vf        v0     at                         involucran movimiento
                                            de dos cuerpos.
Repaso de símbolos y unidades

• Desplazamiento (x, xo); metros (m)
• Velocidad (v, vo); metros por segundo (m/s)
• Aceleración (a); metros por s2 (m/s2)
• Tiempo (t); segundos (s)


  Repase la convención de signos para cada
                  símbolo
Los signos del desplazamiento
• El desplazamiento es positivo (+) o
  negativo (-) con base en la
  UBICACIÓN.


  2m                   El desplazamiento es
                       la coordenada y. Si
                       el movimiento es
 -1 m                  arriba o abajo, + o -,
 -2 m                  se basa en la
                       UBICACIÓN.
Los signos de la velocidad
• La velocidad es positiva (+) o negativa (-)
  con base en la dirección de movimiento.

               +
  +        -       Elija primero la dirección
                   +; entonces la velocidad v
                   es positiva si el
                   movimiento está en la
   +
           -       dirección +, y negativa si
                   está contraria a esa
                   dirección.
Aceleración producida por una fuerza

• La aceleración es (+) o (-) con base en la
  dirección de la fuerza (NO con base en v).

                    Se necesita un empujón o
                    jalón (fuerza) para cambiar
F         a(-)      la velocidad, por tanto el
                    signo de a es igual al signo
                    de F.
F          a(+)    Después se hablará
                   más de la relación
                   entre F y a.
Estrategia para resolución de problemas
 Dibuje y etiquete bosquejo del problema.
 Indique la dirección + y la dirección de la fuerza.
 Mencione la información dada y establezca lo que
  se tiene que encontrar.

   Dada: ____, _____, _____ (x,v,vo,a,t)
   Encontrar: ____, _____
 Seleccione la ecuación que contenga una
  y no las otras cantidades desconocidas y
  resuelva para la incógnita.
Ejemplo 6: Un avión que inicialmente vuela a
  400 ft/s aterriza en la cubierta de un
  portaaviones y se detiene en una distancia
  de 300 ft. ¿Cuál es la aceleración?
                            +400 ft/s
      v=0       300 ft
                               F      vo
                 +
                                   X0 = 0

Paso 1. Dibuje y etiquete un bosquejo.
Paso 2. Indique la dirección + y la dirección de F.
Ejemplo: (Cont.)
                              +400 ft/s
         v=0      300 ft
                                       vo
                   +            F
                                    X0 = 0

Paso 3. Mencione lo        Dado: vo = +400 ft/s
conocido; encuentre                 v=0
información con signos.
                                    x = +300 ft
Mencione t = ¿?, aun
cuando no se pida el       Encontrar: a = ¿?;
tiempo.                    t = ¿?
Continúa . . .              +400 ft/s
                           x
              v=0        300 ft
                                             vo
                       +            F
                                          X0 = 0

Paso 4. Seleccione la ecuación
                                             0      0
que contiene a y no t.            2a(x -xo) = v2 - vo2
                                  La posición inicial y la
       -vo2       -(400 ft/s)2
  a=          =                   velocidad final son
                                    a = - 267 ft/s2
       2x           2(300 ft)     cero.

¡Porque laqué la aceleración es negativa?
     ¿Por fuerza está en una dirección negativa!
Aceleración debida a la gravedad

• Todo objeto sobre la Tierra
  experimenta una fuerza común:
  la fuerza debida a la gravedad.
• Esta fuerza siempre se dirige
  hacia el centro de la Tierra
  (hacia abajo).                     g   W
• La aceleración debida a la
  gravedad es relativamente
  constante cerca de la superficie
  terrestre.
                                     Tierra
Aceleración gravitacional
• En un vacío, todos los objetos
  caen con la misma aceleración.
• Las ecuaciones para aceleración
  constante se aplican como es
  usual.
• Cerca de la superficie de la
  Tierra:

        a = g = 9.80 m/s2 o 32 ft/s2
Dirigida hacia abajo (por lo general negativa).
Determinación experimental
    de la aceleración
    gravitacional.                    t

El aparato consiste de un
dispositivo que mide el tiempo
que una bola requiere para caer
una distancia dada.               y

Suponga que la altura es 1.20
m y que el tiempo de caída
registrado es 0.650 s. ¿Cuál es
la aceleración debida a la
gravedad?
Determinación experimental de la
  gravedad (y0 = 0; y = -1.20 m)
 y = -1.20 m; t = 0.495 s                            t
                  1       2
  y       v0t     2   at ; v0     0
            2y        2( 1.20 m)
      a
                                             y
              2                  2
            t          (0.495 s)                 +
Aceleración de
                                         2
la gravedad:          a       9.79 m/s
                                                 W
La aceleración a es negativa
porque la fuerza W es negativa.
Convención de signos:
                                         Bola que se lanza
                                    verticalmente hacia arriba
             av= -0
              y=+
                =
                                    •   El desplazamiento es
                                        positivo (+) o negativo (-)
  a == +
  vy -
    =+                ya= +-
                       v ==-            con base en la UBICACIÓN.
 ARRIBA = +           y=0

Punto de
                      v = -0
                       a= -
                       y=           •   La velocidad es positiva (+)
liberación                              o negativa (-) con base en
                                        la dirección de movimiento.

                   yv= -
                     =
                  Negativa
                  Negativa
                       a=-          • La aceleración es (+) o (-)
                                        con base en la dirección de la
                                        fuerza (peso).
                          Tippens
Misma estrategia de resolución
   de problemas, excepto a = g:
 Dibuje y etiquete bosquejo del problema.
 Indique la dirección + y la dirección de la fuerza.
 Mencione la información dada y establezca la que
  se tiene que encontrar.

   Dado: ____, _____, a = - 9.8 m/s2
   Encontrar: ____, _____
 Seleccione la ecuación que contenga una
  y no las otras cantidades desconocidas, y
  resuelva para la incógnita.
Ejemplo 7: Una bola se lanza verticalmente hacia
    arriba con una velocidad inicial de 30 m/s. ¿Cuále
    son su posición y velocidad después de 2 s, 4 s y
    7 s?

 Paso 1. Dibuje y etiquete un
 bosquejo.
 Paso 2. Indique la dirección
                                               +
 + y la dirección de la fuerza.   a=g
 Paso 3. Información
 dada/encontrar.

a = -9.8 ft/s2    t = 2, 4, 7 s
                                  vo = +30 m/s
vo = + 30 m/s y = ¿? v = ¿?
Encontrar desplazamiento:

  Paso 4. Seleccione ecuación
  que contenga y y no v.                     +
              0                    a=g
                     1        2
      y   y0 v0t     2   at
y = (30 m/s)t + ½(-9.8 m/s2)t2
La sustitución de t = 2, 4 y 7 s   vo = 30 m/s
dará los siguientes valores:


   y = 40.4 m; y = 41.6 m; y = -30.1 m
Encontrar velocidad:
Paso 5. Encuentre v a partir de la
ecuación que contenga v y no x:                +
                                     a=g
        vf     v0    at
                             2
vf    30 m/s ( 9.8 m/s )t
                                     vo = 30 m/s
Sustituya t = 2, 4 y 7 s:


v = +10.4 m/s; v = -9.20 m/s; v = -38.6 m/s
Ejemplo 7: (Cont.) Ahora
         encuentre la altura máxima
         alcanzada:
El desplazamiento es máximo                       +
cuando la velocidad vf es cero.
                             2
                                       a=g
vf       30 m/s ( 9.8 m/s )t       0
           30 m/s
     t            2
                    ; t   3.06 s
          9.8 m/s
  Para encontrar ymax sustituya
                                       vo = +96 ft/s
  t = 3.06 s en la ecuación
  general del desplazamiento.

         y = (30 m/s)t + ½(-9.8 m/s2)t2
Ejemplo 7: (Cont.) Encuentre la altura máxima:

 y = (30 m/s)t + ½(-9.8 m/s2)t2         t = 3.06 s

                   Al omitir unidades se obtiene:
         +                       1                  2
a=g            y   (30)(3.06)    2   ( 9.8)(3.06)

                    y = 91.8 m - 45.9 m
vo =+30 m/s
                      ymax = 45.9 m
Resumen de fórmulas
         v0 v f
x   x0                  t           vf        v0   at
               2
     Fórmulas derivadas:
                   1        2                       1        2
x   x0   v0t       2   at       x       x0 v f t    2   at
                                    2       2
          2a( x x0 ) v              f     v 0


Sólo para aceleración constante
Resumen: Procedimiento
 Dibuje y etiquete bosquejo del problema.
 Indique la dirección + y la dirección de la fuerza.
 Mencione la información dada y establezca la que
  debe encontrar.
    Dada: ____, _____, ______
    Encontrar: ____, _____

 Seleccione la ecuación que contenga una y no la
  otra de las cantidades desconocidas, y resuelva
  para la incógnita.
CONCLUSIÓN : Aceleración

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Aceleración uniforme: conceptos clave de velocidad, desplazamiento y aceleración

  • 1. Cinemática- Aceleración Presentación PowerPoint de Paul E. Tippens, Profesor de Física Southern Polytechnic State University
  • 2. El cheetah (guepardo): Un gato diseñado para correr. Su fortaleza y agilidad le permiten sostener una rapidez tope de más de 100 km/h. Tales rapideces sólo se pueden mantener durante unos diez segundos. Foto © Vol. 44 Photo Disk/Getty
  • 3. Objetivos: Después de completar este módulo, deberá: • Definir y aplicar los conceptos de velocidad promedio e instantánea y aceleración. • Resolver problemas que involucren velocidad inicial y final, aceleración, desplazamiento y tiempo. • Demostrar su comprensión de las direcciones y signos para velocidad, desplazamiento y aceleración. • Resolver problemas que involucren un cuerpo en caída libre en un campo gravitacional.
  • 4. Aceleración uniforme en una dirección: • El movimiento es a lo largo de una línea recta (horizontal, vertical o inclinado). • Los cambios en el movimiento resultan de una fuerza CONSTANTE que produce aceleración uniforme. • La causa del movimiento se discutirá más tarde. Aquí sólo se tratan los cambios. • El objeto en movimiento se trata como si fuese una partícula puntual.
  • 5. Distancia y desplazamiento Distancia es la longitud de la trayectoria real que sigue el objeto. Considere el viaje del punto A al punto B en el siguiente diagrama: La distancia s es una cantidad escalar (sin B dirección): s = 20 m Sólo contiene magnitud y A consta de un número y una unidad. (20 m, 40 mi/h, 10 gal)
  • 6. Distancia y desplazamiento Desplazamiento es la separación en línea recta de dos puntos en una dirección específica. Una cantidad vectorial: D = 12 m, 20o B Contiene magnitud Y A dirección, un número, unidad y ángulo. (12 m, 300; 8 km/h, N)
  • 7. Distancia y desplazamiento • Para movimiento a lo largo de los ejes x o y, el desplazamiento se determina por la coordenada x o y de su posición final. Ejemplo: Considere un auto que viaja 8 m al E, luego 12 m al O. El desplazamiento neto D es desde el origen D 8 m,E hasta la posición final: x D = 4 m, W x = -4 x = +8 ¿Cuál es la distancia 12 m,O recorrida? 20 m !!
  • 8. Los signos del desplazamiento • El desplazamiento es positivo (+) o negativo (-) con base en la UBICACIÓN. Ejemplos: 2m El desplazamiento es la coordenada y. Si el movimiento es arriba o abajo, + o -, se basa -1 m en la UBICACIÓN. -2 m ¡La dirección del movimiento no importa!
  • 9. Definición de rapidez • Rapidez es la distancia recorrida por unidad de tiempo (una cantidad escalar). s 20 m s = 20 m B v= = t 4s A v = 5 m/s ¡No depende de la Tiempo t = 4 s dirección!
  • 10. Definición de velocidad • Velocidad es el desplazamiento por unidad de tiempo. (Una cantidad vectorial.) s = 20 m B D 12 m v D=12 m t 4s A 20o v = 3 m/s, 200 N del E Tiempo t = 4 s ¡Requiere dirección!
  • 11. Ejemplo 1. Una corredora corre 200 m, este, luego cambia dirección y corre 300 m, oeste. Si todo el viaje tarda 60 s, ¿cuál es la rapidez promedio y cuál la velocidad promedio? Recuerde que la rapidez promedio es una función s2 = 300 m s1 = 200 m sólo de la distancia total y del tiempo total: inicio Distancia total: s = 200 m + 300 m = 500 m trayectoria total 500 m Rapidez prom. Rapidez pr omedio 8.33 m/s tiempo 60 s ¡No importa la dirección!
  • 12. Ejemplo 1 (Cont.) Ahora encuentre la velocidad promedio, que es el desplazamiento neto dividido por el tiempo. En este caso, importa la dirección. t = 60 s xf x0 xf = -100 m x1= +200 m v t x0 = 0 m; xf = -100 m xo = 0 La dirección del 100 m 0 desplazamiento final es hacia v 1.67 m/s la izquierda, como se 60 s muestra. Velocidad promedio: v 1.67 m/s, West Nota: La velocidad promedio se dirige al oeste.
  • 13. Ejemplo 2. Un paracaidista salta y cae 600 m en 14 s. Después se abre el paracaídas y cae otros 400 m en 150 s. ¿Cuál es la rapidez promedio de toda la caída? Distancia total/tiempo total: 14 s xA xB 600 m + 400 m A v 625 m tA tB 14 s + 150 s 1000 m v v 6.10 m/s 164 s B La rapidez promedio sólo es 356 m función de la distancia total recorrida y el tiempo total 142 s requerido.
  • 14. Ejemplos de rapidez Órbita 2 x 104 m/s Luz = 3 x 108 m/s Jets = 300 m/s Automóvil = 25 m/s
  • 15. Ejemplos de rapidez (Cont.) Corredora = 10 m/s Glaciar = 1 x 10-5 m/s Caracol = 0.001 m/s
  • 16. Rapidez promedio y velocidad instantánea  La rapidez promedio depende SÓLO de la distancia recorrida y el tiempo requerido. s = 20 m B La velocidad instantánea es la C A magnitud y la dirección de la rapidez en un instante particular. (v en el punto C) Tiempo t = 4 s
  • 17. Los signos de la velocidad  La velocidad es positiva (+) o negativa (-) con base en la dirección de movimiento. + - Elija primero la dirección +; + entonces v es positiva si el movimiento está en dicha dirección, y negativa si es + - contraria a esa dirección.
  • 18. v promedio e instantánea Velocidad promedio: Velocidad instantánea: x x2 x1 x vavg vinst ( t 0) t t2 t1 t pendiente Desplazamiento, x x2 x x x1 t t t1 t2 Tiempo
  • 19. Definición de aceleración  Una aceleración es el cambio en velocidad por unidad de tiempo. (Una cantidad vectorial.)  Un cambio en velocidad requiere la aplicación de un empuje o jalón (fuerza). Más adelante se dará un tratamiento formal de fuerza y aceleración. Por ahora, debe saber que: • La dirección de la • La aceleración es aceleración es la misma proporcional a la que la dirección de la magnitud de la fuerza. fuerza.
  • 20. Aceleración y fuerza F a 2F 2a Jalar el carrito con el doble de fuerza produce el doble de aceleración y la aceleración está en la dirección de la fuerza.
  • 21. Ejemplo de aceleración + Fuerza t=3s v0 = +2 m/s vf = +8 m/s El viento cambia la rapidez de un bote de 2 m/s a 8 m/s en 3 s. Cada segundo cambia la rapidez por 2 m/s. La fuerza del viento es constante, por tanto la aceleración es constante.
  • 22. Los signos de la aceleración • La aceleración es positiva (+) o negativa (-) con base en la dirección de la fuerza. + Primero elija la dirección F a (-) +. Entonces la aceleración a tendrá el mismo signo que el de la a(+) fuerza F, sin importar la F dirección de la velocidad.
  • 23. a promedio e instantánea v v2 v1 v aavg ainst ( t 0) t t2 t1 t pendiente v2 v v v1 t t t1 t2 tiempo
  • 24. Ejemplo 3 (sin cambio en dirección): Una fuerza constante cambia la rapidez de un auto de 8 m/s a 20 m/s en 4 s. ¿Cuál es la aceleración promedio? + Fuerza t=4s v1 = +8 m/s v2 = +20 m/s Paso 1. Dibuje un bosquejo burdo. Paso 2. Elija una dirección positiva (derecha). Paso 3. Etiquete la información dada con signos + y -. Paso 4. Indique la dirección de la fuerza F.
  • 25. Ejemplo 3 (continuación): ¿Cuál es la aceleración promedio del auto? + Fuerza t=4s v1 = +8 m/s v2 = +20 m/s Paso 5. Recuerde la definición 20 m/s - 8 m/s de aceleración promedio. a 3 m/s 4s v v2 v1 aavg a = + 3 m/s, a la derecha t t2 t1
  • 26. Ejemplo 4: Un carrito que se mueve al este a 20 m/s encuentra un viento de cara muy fuerte, lo que hace que cambie de dirección. Después de 5 s, viaja al oeste a 5 m/s. ¿Cuál es la aceleración promedio? (Asegúrese de los signos.) + Fuerza E vf = -5 m/s vo = +20 m/s Paso 1. Dibuje un bosquejo burdo. Paso 2. Elija la dirección al este como positiva. Paso 3. Etiquete la información dada con los signos + y -.
  • 27. Ejemplo 4 (Cont.): El carrito que se mueve al este a 20 m/s encuentra un viento de cara que hace que cambie de dirección. Cinco segundos después, viaja al oeste a 5 m/s. ¿Cuál es la aceleración promedio? Elija la dirección al este como positiva. Velocidad inicial, vo = +20 m/s, este (+) Velocidad final, vf = -5 m/s, oeste (-) Cambio en velocidad, v = vf - v0 v = (-5 m/s) - (+20 m/s) = -25 m/s
  • 28. Ejemplo 4: (continuación) + Fuerza E vo = +20 m/s vf = -5 m/s v = (-5 m/s) - (+20 m/s) = -25 m/s v vf - vo -25 m/s aprom= = a= t tf - to 5s La aceleración se dirige a la a = - 5 m/s2 izquierda, oeste (igual que F).
  • 29. Signos para el desplazamiento + C Fuerza D E A B vf = -5 m/s vo = +20 m/s a = - 5 m/s2 Tiempo t = 0 en el punto A. ¿Cuáles son los signos (+ o -) del desplazamiento en B, C y D? En B, x es positivo, derecha del origen En C, x es positivo, derecha del origen En D, x es negativo, izquierda del origen
  • 30. Signos para velocidad + x=0 C Fuerza D E A B vf = -5 m/s vo = +20 m/s a = - 5 m/s2 ¿Cuáles son los signos (+ o -) de la velocidad en los puntos B, C y D?  En B, v es cero - no necesita signo.  En C, v es positiva de ida y negativa de vuelta.  En D, v es negativa, va a la izquierda.
  • 31. Signos para aceleración + C Fuerza D E A B vf = -5 m/s vo = +20 m/s a = - 5 m/s2 ¿Cuáles son los signos (+ o -) de la aceleración en los puntos B, C y D?  En B, C y D, a = -5 m/s, negativa en todos los puntos.  La fuerza es constante y siempre se dirige a la izquierda, de modo que la aceleración no cambia.
  • 32. Definiciones Velocidad promedio: x x2 x1 vavg t t2 t1 Aceleración promedio: v v2 v1 aavg t t2 t1
  • 33. Velocidad para a constante Velocidad promedio: Velocidad promedio: x xf x0 v0 v f vavg vavg t tf t0 2 Al hacer to = 0 y combinar lo que se tiene: v0 v f x x0 t 2
  • 34. Ejemplo 5: Una bola a 5 m del fondo de un plano inclinad viaja inicialmente a 8 m/s. Cuatro segundos después, viaj abajo del plano a 2 m/s. ¿Cuán lejos del fondo está en es instante? + x F vf vo 5m -2 m/s t=4s Cuidado 8 m/s vo + vf 8 m/s + (-2 m/s) x = xo + t =5m+ (4 s) 2 2
  • 35. (Continuación) + F x vf vo 5m -2 m/s 8 m/s t=4s 8 m/s + (-2 m/s) x=5m+ (4 s) 2 8 m/s - 2 m/s x=5m+ (4 s) x = 17 m 2
  • 36. Aceleración constante v vf v0 Aceleración: a avg t tf t0 Al hacer to = 0 y resolver para v, se tiene: vf v0 at Velocidad final = velocidad inicial + cambio en velocidad
  • 37. Aceleración en el ejemplo + F vf v0 at x v vo vf v0 a 5m -2 m/s t 8 m/s t=4s ( 2 m/s) ( 8 m/s) 2 a 2 m/s 4s ¡La fuerza que cambia ¿Cuál es el significado a = -2.50 m/s2 delrapidez es abajo del la signo negativo de a? plano!
  • 38. Fórmulas basadas en definicione v0 v f x x0 t vf v0 at 2 Fórmulas derivadas: 1 2 1 2 x x0 v0t 2 at x x0 v f t 2 at 2 2 2a( x x0 ) v f v 0 Sólo para aceleración constante
  • 39. Uso de posición inicial x0 en problemas. 0 v0 v f Si elige el origen de x x0 t sus ejes x,y en el 2 punto de la posición 0 1 2 inicial, puede hacer x x0 v0t 2 at x0 = 0 y simplificar 0 1 2 estas ecuaciones. x x0 v f t 2 at 0 El término xo es muy 2a( x x0 ) v 2 2 v útil para estudiar f 0 problemas que vf v0 at involucran movimiento de dos cuerpos.
  • 40. Repaso de símbolos y unidades • Desplazamiento (x, xo); metros (m) • Velocidad (v, vo); metros por segundo (m/s) • Aceleración (a); metros por s2 (m/s2) • Tiempo (t); segundos (s) Repase la convención de signos para cada símbolo
  • 41. Los signos del desplazamiento • El desplazamiento es positivo (+) o negativo (-) con base en la UBICACIÓN. 2m El desplazamiento es la coordenada y. Si el movimiento es -1 m arriba o abajo, + o -, -2 m se basa en la UBICACIÓN.
  • 42. Los signos de la velocidad • La velocidad es positiva (+) o negativa (-) con base en la dirección de movimiento. + + - Elija primero la dirección +; entonces la velocidad v es positiva si el movimiento está en la + - dirección +, y negativa si está contraria a esa dirección.
  • 43. Aceleración producida por una fuerza • La aceleración es (+) o (-) con base en la dirección de la fuerza (NO con base en v). Se necesita un empujón o jalón (fuerza) para cambiar F a(-) la velocidad, por tanto el signo de a es igual al signo de F. F a(+) Después se hablará más de la relación entre F y a.
  • 44. Estrategia para resolución de problemas  Dibuje y etiquete bosquejo del problema.  Indique la dirección + y la dirección de la fuerza.  Mencione la información dada y establezca lo que se tiene que encontrar. Dada: ____, _____, _____ (x,v,vo,a,t) Encontrar: ____, _____  Seleccione la ecuación que contenga una y no las otras cantidades desconocidas y resuelva para la incógnita.
  • 45. Ejemplo 6: Un avión que inicialmente vuela a 400 ft/s aterriza en la cubierta de un portaaviones y se detiene en una distancia de 300 ft. ¿Cuál es la aceleración? +400 ft/s v=0 300 ft F vo + X0 = 0 Paso 1. Dibuje y etiquete un bosquejo. Paso 2. Indique la dirección + y la dirección de F.
  • 46. Ejemplo: (Cont.) +400 ft/s v=0 300 ft vo + F X0 = 0 Paso 3. Mencione lo Dado: vo = +400 ft/s conocido; encuentre v=0 información con signos. x = +300 ft Mencione t = ¿?, aun cuando no se pida el Encontrar: a = ¿?; tiempo. t = ¿?
  • 47. Continúa . . . +400 ft/s x v=0 300 ft vo + F X0 = 0 Paso 4. Seleccione la ecuación 0 0 que contiene a y no t. 2a(x -xo) = v2 - vo2 La posición inicial y la -vo2 -(400 ft/s)2 a= = velocidad final son a = - 267 ft/s2 2x 2(300 ft) cero. ¡Porque laqué la aceleración es negativa? ¿Por fuerza está en una dirección negativa!
  • 48. Aceleración debida a la gravedad • Todo objeto sobre la Tierra experimenta una fuerza común: la fuerza debida a la gravedad. • Esta fuerza siempre se dirige hacia el centro de la Tierra (hacia abajo). g W • La aceleración debida a la gravedad es relativamente constante cerca de la superficie terrestre. Tierra
  • 49. Aceleración gravitacional • En un vacío, todos los objetos caen con la misma aceleración. • Las ecuaciones para aceleración constante se aplican como es usual. • Cerca de la superficie de la Tierra: a = g = 9.80 m/s2 o 32 ft/s2 Dirigida hacia abajo (por lo general negativa).
  • 50. Determinación experimental de la aceleración gravitacional. t El aparato consiste de un dispositivo que mide el tiempo que una bola requiere para caer una distancia dada. y Suponga que la altura es 1.20 m y que el tiempo de caída registrado es 0.650 s. ¿Cuál es la aceleración debida a la gravedad?
  • 51. Determinación experimental de la gravedad (y0 = 0; y = -1.20 m) y = -1.20 m; t = 0.495 s t 1 2 y v0t 2 at ; v0 0 2y 2( 1.20 m) a y 2 2 t (0.495 s) + Aceleración de 2 la gravedad: a 9.79 m/s W La aceleración a es negativa porque la fuerza W es negativa.
  • 52. Convención de signos: Bola que se lanza verticalmente hacia arriba av= -0 y=+ = • El desplazamiento es positivo (+) o negativo (-) a == + vy - =+ ya= +- v ==- con base en la UBICACIÓN. ARRIBA = + y=0 Punto de v = -0 a= - y= • La velocidad es positiva (+) liberación o negativa (-) con base en la dirección de movimiento. yv= - = Negativa Negativa a=- • La aceleración es (+) o (-) con base en la dirección de la fuerza (peso). Tippens
  • 53. Misma estrategia de resolución de problemas, excepto a = g:  Dibuje y etiquete bosquejo del problema.  Indique la dirección + y la dirección de la fuerza.  Mencione la información dada y establezca la que se tiene que encontrar. Dado: ____, _____, a = - 9.8 m/s2 Encontrar: ____, _____  Seleccione la ecuación que contenga una y no las otras cantidades desconocidas, y resuelva para la incógnita.
  • 54. Ejemplo 7: Una bola se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 30 m/s. ¿Cuále son su posición y velocidad después de 2 s, 4 s y 7 s? Paso 1. Dibuje y etiquete un bosquejo. Paso 2. Indique la dirección + + y la dirección de la fuerza. a=g Paso 3. Información dada/encontrar. a = -9.8 ft/s2 t = 2, 4, 7 s vo = +30 m/s vo = + 30 m/s y = ¿? v = ¿?
  • 55. Encontrar desplazamiento: Paso 4. Seleccione ecuación que contenga y y no v. + 0 a=g 1 2 y y0 v0t 2 at y = (30 m/s)t + ½(-9.8 m/s2)t2 La sustitución de t = 2, 4 y 7 s vo = 30 m/s dará los siguientes valores: y = 40.4 m; y = 41.6 m; y = -30.1 m
  • 56. Encontrar velocidad: Paso 5. Encuentre v a partir de la ecuación que contenga v y no x: + a=g vf v0 at 2 vf 30 m/s ( 9.8 m/s )t vo = 30 m/s Sustituya t = 2, 4 y 7 s: v = +10.4 m/s; v = -9.20 m/s; v = -38.6 m/s
  • 57. Ejemplo 7: (Cont.) Ahora encuentre la altura máxima alcanzada: El desplazamiento es máximo + cuando la velocidad vf es cero. 2 a=g vf 30 m/s ( 9.8 m/s )t 0 30 m/s t 2 ; t 3.06 s 9.8 m/s Para encontrar ymax sustituya vo = +96 ft/s t = 3.06 s en la ecuación general del desplazamiento. y = (30 m/s)t + ½(-9.8 m/s2)t2
  • 58. Ejemplo 7: (Cont.) Encuentre la altura máxima: y = (30 m/s)t + ½(-9.8 m/s2)t2 t = 3.06 s Al omitir unidades se obtiene: + 1 2 a=g y (30)(3.06) 2 ( 9.8)(3.06) y = 91.8 m - 45.9 m vo =+30 m/s ymax = 45.9 m
  • 59. Resumen de fórmulas v0 v f x x0 t vf v0 at 2 Fórmulas derivadas: 1 2 1 2 x x0 v0t 2 at x x0 v f t 2 at 2 2 2a( x x0 ) v f v 0 Sólo para aceleración constante
  • 60. Resumen: Procedimiento  Dibuje y etiquete bosquejo del problema.  Indique la dirección + y la dirección de la fuerza.  Mencione la información dada y establezca la que debe encontrar. Dada: ____, _____, ______ Encontrar: ____, _____  Seleccione la ecuación que contenga una y no la otra de las cantidades desconocidas, y resuelva para la incógnita.