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CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
1.

RESOLUCIÓN
Si: " "

¿Qué valores puede tomar “x”
para que se cumpla:
x

Sen

2

x

3

1

1 sen

1 2x
3

Como: sen

siendo

2

III C

1 2x
0
3
3 1 2x 0
4
2x
1
1
2 x
2
1
"x"
;2
2
1

un arco del tercer cuadrante?
1 3
;
5 5
2
D) 0;
5

1 2
;
5 5
3
E) 0;
5

A)

B)

C)

1;

1
5

RPTA.: C

RESOLUCIÓN
x 2
3

Sen

Como:

x 1
2

III C

5x 1
6

1

3.

Sen

0

5x 1
0
6
6 <5x 1 > 0
5 <5x < 1
1
1<x<
5

1;

Sabemos:
0 cos2
1
3
1 sen
1
RPTA.: C

2.

Si: sen

B) 36
E) 20

C) 9

RESOLUCIÓN

1
5

1-2x
3

Indique el producto de los
valores mínimo y máximo de la
expresión:
Q 4 3 cos 2
2 sen 3 ;
A) 18
D) 40

1

x

0

" "

IIIC ;

Halle la variación de “x”
1
1
;2
2;
A)
B)
2
2
1
;2
C)
D) 2;2
2
E) 1;1

3 ….(i)
2 .(ii)

0 3 cos2
2 2sen 3

(i) + (ii):

2 3 cos 2

2sen 3

2 4 3 cos

2

QMínimo

“Q”

Qmínimo

máximo

2sen

5
3

9
QMàximo

18

RPTA.: A
4.

Determine la veracidad (V) o
falsedad (F) de c/u de las
siguientes proposiciones

(I) sen2 > sen1 > sen3 (
(II) sen 6 > sen4 > sen5 (
(III) cos 6 cos1 cos5 (
(IV) cos 2 cos 4 cos3 (

A) FFVV
C) VVFV
E) VFVF

A) VVFV
C) VVVF
E) VFFF

)
)
)
)

B) VFVF
D) VFFV

RESOLUCIÓN
2

x2

B) VVFF
D) FVFV

x1

RESOLUCIÓN
1,57

2
2
cos 2

1

O

sen 4

314

cos 3
sen 3

2

sen 6

3

sen 1

sen 2

cos 1

6,28

I.
II.
III.
IV.

RPTA.: E

sen 5

6
cos 4

6.

cos 5

3
2

4,71

2

x2

5

;

x1

analizar

cos( x1 )

III.
IV.

tgx1

valor de:
E 5 cos a 3 sen b siendo “a” y
“b” ángulos diferentes.

mínimo

ctg( x2 )

B) -5
E) -8

C) -6

RESOLUCIÓN
Como:
EMin
EMin

5

E 5 cos a
Mín
Mín
1

3 sen2 b
Máx

3(1)

8

RPTA.: E
7.

Calcule el valor máximo que
toma la expresión:

cos( x2 )

tgx2

ctg( x1 )

el

A) -4
D) -7

la

verdad (v) ó falsedad (F) de las
siguientes proposiciones:
sen x1 sen x2
I.
II.

Halle

2

Según la C.T. las proposiciones
serán:
(I)
(V)
(II)
(V)
(III)
(F)
(IV)
(F)
RPTA.: C
Si:

(V)
(F)
(F)
(F)

cos 6

4

5.

sen x, sen x 2
cos ( x1 ) cos( x 2 )
tg x1 tg x 2
ctg ( 1) ctg ( x 2 )

E

4 sen x 3
4 sen x
7
3
7
D)
4

1
5
3
E)
5

A)

B)

2
5

C)

9.

y

y

C)
E)

1
;1
3
1
;1
2

4 sen 2 x 1

0 4 sen 2 x 4
1 y 3
y
1; 3
RPTA.: C
10.

cos x

B)
D)

Halle
cos x

Entre que límites está “a”
A)

1)

Pero: 0 sen 2 x 1

RPTA.: B
IV C

de

B) 0; 3
D) 1; 4

2; 3
1; 3
1; 2

Como: y

Pero: 1 sen x 1
3 4 sen x
5
1
1
1
5 4 sen x 3
7
1
1
E
Emáx
3
5
5

x

intervalo

RESOLUCIÓN

Como:
4 sen x 3
E
4 4
4 sen x
19
E
4
4 sen x

Si:

el

(2 senx 1)(2 senx

A)
C)
E)

RESOLUCIÓN

8.

Calcule

3a 1
4

1;1
1
;1
4

los
valores
30 , si x 0;30

A)

1
;1
2

B)

3
;1
2

C)

1 3
;
2 2

D)

3 1
;
2 2

E)

de

1;1

RESOLUCIÓN
Como:

0

x 30

30

1; 2

x 30

60

C.T.

RESOLUCIÓN
Como: 0
0
1
3
a

cos 60º

cos x 1
3a 1
1
4
a 1

O 60º

cos 30º

1
;1
3

RPTA.: A

cos x 30

O 30º

1 3
;
2 2
RPTA.: C
11.

Si

y

II C

csc

sen
sen

2
1

RESOLUCIÓN

determine la variación de “
csc2 ”
A)
C)
E)

9
;10
2

B)

3 3
;
4 4

2 sen
2

1

1
sen
2

3 2
;
5 5

1

3 1
2

3
2

2
3

3 7
D)
;
5 5

5
O
6

9
;4
4

RESOLUCIÓN
csc

1

1

C.T.

sen

1

II C
Como
0 sen 1 1 sen
1 2
1
1
3
1
1
1
2 sen
1
2
sen

2 5
;
3 6

RPTA.: C
1

2

13.

csc
9
Luego:
csc2
4
9
csc2
;4
4

En la figura mostrada halle las
coordenadas del punto “P”
y

4

Determine la extensión de “
que cumple con:
1

2

2 sen
2

1

A

O

”

P(x,y)

3 1
2

A)

2 5
;
3 6

B)

2 5
;
3 6

A) P

C)

5
3 6

D)

2 5
;
3 6

C) P

E)

2 5
;
3 6

;

1

1

RPTA.: E
12.

C.T.

1

sen ; cos

B) P sen ; cos
sen ; cos

D) P cos ; sen
E) P sen ; cos

x
RESOLUCIÓN

Del gráfico:
2 cos
S

y
cos ;sen

C.T.

sen ;cos

3 cos

S

RPTA.: E
14.

En
la
circunferencia
trigonométrica mostrada halle
el área de la región sombreada.
y

sen

2

P sen ;cos

 sen

2

S

sen

2

3 cos

S

x

O

cos

2

1,5sen cos

RPTA.: A
15.

En

la

figura

halle

PR ,

si:

5
7

sen

y

1
1

1

P

x

O

1
A

R

C.T.

A)
B)
C)
D)
E)

x

1
C.T.

2

1,5.sen .cos
1,5.sen .cos

2

3.sen .cos

2
2

3.sen .cos
sen .cos

7
11
10
D)
7

A)

2

RESOLUCIÓN

B)

7
10

C)

11
7

E) 2

RESOLUCIÓN
y

y

C.T.

C.T.

P
1

x

O
cos

sen

S
2 cos

R

O
1

cos

sen

M

5
7

x
PMO : 1

5
7

2

24
cos2
49
2
PMR : PR
2

PR

sen

2

RESOLUCIÓN y

2

PM

2

cos

2

MR

cos

cos
2

2

2

2 cos

2

sen 2
4 cos2
25
24
2
PR
4
49
49
121
2
PR
49
11
PR
7
PR

sen

B’

RPTA.: C
16.

En
la
circunferencia
trigonométrica determine el
área de la región en término de
“ “ siendo OP PB .
y

(+)
sen

S

2

S

´

M

( )
cos

1
2

sen . cos
.u 2
2

2

RPTA.: B

Q
17.

o
A

Del gráfico mostrado calcule el
área
del
cuadrilátero
sombreado. y

P

C.T.
B’
sen
B)
2 cos
1
2 cos2
C)
D)
2 sen
1
1 2 cos .sen
E)
sen

A)

sen cos
2
sen 
cos
2sen
1

x

A) 0,5 sen

cos

B) 0,5 sen

cos

C) 0,5 cos

sen

D)

0,5 sen

cos
E) 0,5sen

cos

RESOLUCIÓN

RESOLUCIÓN
y

S S1 S 2
Calculamos

C.T.

2
2

cos 135º
135º
cos

180º

S1

210º

cos180º

1

cos 210º

3
2

x

S2

sen
cos

Se observa:
210
Si: 135
1 cos

1
(cos )
2
1
(sen )
2
0,5(sen

S1
S2
S

2
1

2
2
2 cos

2

P 1

1

2cos

1 0

2; 0
RPTA.: D

cos )

RPTA.: A
18.

Si se sabe que: “
,
P

dar
la
2 . cos
1

A)
C)
E) 1

”

135 ; 210

variación

de:

19.

Si: 2
sen
halle: “ csc

1

8 5cos

sec

“

A) 2
9
4

E)

9
4

B)

2
2

B) 1

2; 0

D)

2; 1

D) 1

2; 0

,

C)

1
4

1
4

RESOLUCIÓN

1;

2; 0

Condición:
2
sen 1

8 5cos

Se observa que:
sen 1 0 sen
1
sen
1
sen
1
csc
1
¡Incompatible!
Reemplazando en la condición:
2 0
8 5cos
cos

4
5

csc

sec

csc
1

5
4

1
( sen
cos )
2
1
S
. 2 sen
4
2
3
Como:
4
3
2
4
4
2
sen
1
2
4

1
1
4

S

RPTA.: C
20.

3
;
4

Si

,

de

la

circunferencia
trigonometrica
determina la variación de la
región sombreada.

1
2

2
. sen
2

S

1 2
;
2 2

4

2
2

RPTA.: A

21.

A)

1 2
;
2 2

C) 0;
E)

B) 0;

1
2

D)

2
2

x2

y2

1 2
;
2 2

cos ;sen

sen
sen ; cos

cos

1
1 sen
2

cos

1

x

1 3
;
2 2

RESOLUCIÓN

S

Halle el área de la región
sombreada en términos de “
”.
y

A) 1 cos
C) 1 sen
E) 2 sen

B) 1 sen
D) 1 cos
2b - a = 1...

RESOLUCIÓN
y

3b = 2
b
sen

x

1
3

a

1 + Sen

cos

2
3

a
b

tg

tg

1

1
3
2
3

tg

III C, tg ( )

1
2
RPTA.: C

A = (1 + sen ) x 1
A = 1 + sen

23.

RPTA.: C
22.

El siguiente gráfico es una
circunferencia trigonométrica.
Calcule el área del triángulo
EBF.

Calcule “ tg ” en el siguiente
circulo trigonométrico.

y
B

y

F
A

x

1
A

=

=

2
A)
2
B) 2
1
C)
2
3
D)
2
E) 1

2b = 1 + a

C.T.

E

C.T.

A) cos
C) sen

RESOLUCIÓN

a+b=1…
(
OBT) =
1 1 a
1
b
2

x

E)
BPR

1
sen
2

B) 2 cos
D) 2 sen
RESOLUCIÓN

24.

Si:

2

3 tg x

1,

entonces

todos los valores de “x” en
que
verifique
la
0;

B
cos

F

desigualdad, se
comprendido en:

encuentran

1
A)
C)

B)

;
3 2
2 3
;
3 2

D)

;
4 3
;
6 3

E) 0; 6

E

RESOLUCIÓN
1
(2) cos
2
Área EBF cos

Área EBF

RPTA.: A

1 2
1
3

3 tan x 1
3
tg x
3
3
3
3

3
x

3tg x

1

;
6 3

RPTA.: D

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Circunferencia trigonométrica

  • 1. CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA 1. RESOLUCIÓN Si: " " ¿Qué valores puede tomar “x” para que se cumpla: x Sen 2 x 3 1 1 sen 1 2x 3 Como: sen siendo 2 III C 1 2x 0 3 3 1 2x 0 4 2x 1 1 2 x 2 1 "x" ;2 2 1 un arco del tercer cuadrante? 1 3 ; 5 5 2 D) 0; 5 1 2 ; 5 5 3 E) 0; 5 A) B) C) 1; 1 5 RPTA.: C RESOLUCIÓN x 2 3 Sen Como: x 1 2 III C 5x 1 6 1 3. Sen 0 5x 1 0 6 6 <5x 1 > 0 5 <5x < 1 1 1<x< 5 1; Sabemos: 0 cos2 1 3 1 sen 1 RPTA.: C 2. Si: sen B) 36 E) 20 C) 9 RESOLUCIÓN 1 5 1-2x 3 Indique el producto de los valores mínimo y máximo de la expresión: Q 4 3 cos 2 2 sen 3 ; A) 18 D) 40 1 x 0 " " IIIC ; Halle la variación de “x” 1 1 ;2 2; A) B) 2 2 1 ;2 C) D) 2;2 2 E) 1;1 3 ….(i) 2 .(ii) 0 3 cos2 2 2sen 3 (i) + (ii): 2 3 cos 2 2sen 3 2 4 3 cos 2 QMínimo “Q” Qmínimo máximo 2sen 5 3 9 QMàximo 18 RPTA.: A
  • 2. 4. Determine la veracidad (V) o falsedad (F) de c/u de las siguientes proposiciones (I) sen2 > sen1 > sen3 ( (II) sen 6 > sen4 > sen5 ( (III) cos 6 cos1 cos5 ( (IV) cos 2 cos 4 cos3 ( A) FFVV C) VVFV E) VFVF A) VVFV C) VVVF E) VFFF ) ) ) ) B) VFVF D) VFFV RESOLUCIÓN 2 x2 B) VVFF D) FVFV x1 RESOLUCIÓN 1,57 2 2 cos 2 1 O sen 4 314 cos 3 sen 3 2 sen 6 3 sen 1 sen 2 cos 1 6,28 I. II. III. IV. RPTA.: E sen 5 6 cos 4 6. cos 5 3 2 4,71 2 x2 5 ; x1 analizar cos( x1 ) III. IV. tgx1 valor de: E 5 cos a 3 sen b siendo “a” y “b” ángulos diferentes. mínimo ctg( x2 ) B) -5 E) -8 C) -6 RESOLUCIÓN Como: EMin EMin 5 E 5 cos a Mín Mín 1 3 sen2 b Máx 3(1) 8 RPTA.: E 7. Calcule el valor máximo que toma la expresión: cos( x2 ) tgx2 ctg( x1 ) el A) -4 D) -7 la verdad (v) ó falsedad (F) de las siguientes proposiciones: sen x1 sen x2 I. II. Halle 2 Según la C.T. las proposiciones serán: (I) (V) (II) (V) (III) (F) (IV) (F) RPTA.: C Si: (V) (F) (F) (F) cos 6 4 5. sen x, sen x 2 cos ( x1 ) cos( x 2 ) tg x1 tg x 2 ctg ( 1) ctg ( x 2 ) E 4 sen x 3 4 sen x
  • 3. 7 3 7 D) 4 1 5 3 E) 5 A) B) 2 5 C) 9. y y C) E) 1 ;1 3 1 ;1 2 4 sen 2 x 1 0 4 sen 2 x 4 1 y 3 y 1; 3 RPTA.: C 10. cos x B) D) Halle cos x Entre que límites está “a” A) 1) Pero: 0 sen 2 x 1 RPTA.: B IV C de B) 0; 3 D) 1; 4 2; 3 1; 3 1; 2 Como: y Pero: 1 sen x 1 3 4 sen x 5 1 1 1 5 4 sen x 3 7 1 1 E Emáx 3 5 5 x intervalo RESOLUCIÓN Como: 4 sen x 3 E 4 4 4 sen x 19 E 4 4 sen x Si: el (2 senx 1)(2 senx A) C) E) RESOLUCIÓN 8. Calcule 3a 1 4 1;1 1 ;1 4 los valores 30 , si x 0;30 A) 1 ;1 2 B) 3 ;1 2 C) 1 3 ; 2 2 D) 3 1 ; 2 2 E) de 1;1 RESOLUCIÓN Como: 0 x 30 30 1; 2 x 30 60 C.T. RESOLUCIÓN Como: 0 0 1 3 a cos 60º cos x 1 3a 1 1 4 a 1 O 60º cos 30º 1 ;1 3 RPTA.: A cos x 30 O 30º 1 3 ; 2 2 RPTA.: C
  • 4. 11. Si y II C csc sen sen 2 1 RESOLUCIÓN determine la variación de “ csc2 ” A) C) E) 9 ;10 2 B) 3 3 ; 4 4 2 sen 2 1 1 sen 2 3 2 ; 5 5 1 3 1 2 3 2 2 3 3 7 D) ; 5 5 5 O 6 9 ;4 4 RESOLUCIÓN csc 1 1 C.T. sen 1 II C Como 0 sen 1 1 sen 1 2 1 1 3 1 1 1 2 sen 1 2 sen 2 5 ; 3 6 RPTA.: C 1 2 13. csc 9 Luego: csc2 4 9 csc2 ;4 4 En la figura mostrada halle las coordenadas del punto “P” y 4 Determine la extensión de “ que cumple con: 1 2 2 sen 2 1 A O ” P(x,y) 3 1 2 A) 2 5 ; 3 6 B) 2 5 ; 3 6 A) P C) 5 3 6 D) 2 5 ; 3 6 C) P E) 2 5 ; 3 6 ; 1 1 RPTA.: E 12. C.T. 1 sen ; cos B) P sen ; cos sen ; cos D) P cos ; sen E) P sen ; cos x
  • 5. RESOLUCIÓN Del gráfico: 2 cos S y cos ;sen C.T. sen ;cos 3 cos S RPTA.: E 14. En la circunferencia trigonométrica mostrada halle el área de la región sombreada. y sen 2 P sen ;cos  sen 2 S sen 2 3 cos S x O cos 2 1,5sen cos RPTA.: A 15. En la figura halle PR , si: 5 7 sen y 1 1 1 P x O 1 A R C.T. A) B) C) D) E) x 1 C.T. 2 1,5.sen .cos 1,5.sen .cos 2 3.sen .cos 2 2 3.sen .cos sen .cos 7 11 10 D) 7 A) 2 RESOLUCIÓN B) 7 10 C) 11 7 E) 2 RESOLUCIÓN y y C.T. C.T. P 1 x O cos sen S 2 cos R O 1 cos sen M 5 7 x
  • 6. PMO : 1 5 7 2 24 cos2 49 2 PMR : PR 2 PR sen 2 RESOLUCIÓN y 2 PM 2 cos 2 MR cos cos 2 2 2 2 cos 2 sen 2 4 cos2 25 24 2 PR 4 49 49 121 2 PR 49 11 PR 7 PR sen B’ RPTA.: C 16. En la circunferencia trigonométrica determine el área de la región en término de “ “ siendo OP PB . y (+) sen S 2 S ´ M ( ) cos 1 2 sen . cos .u 2 2 2 RPTA.: B Q 17. o A Del gráfico mostrado calcule el área del cuadrilátero sombreado. y P C.T. B’ sen B) 2 cos 1 2 cos2 C) D) 2 sen 1 1 2 cos .sen E) sen A) sen cos 2 sen  cos 2sen 1 x A) 0,5 sen cos B) 0,5 sen cos C) 0,5 cos sen D) 0,5 sen cos
  • 7. E) 0,5sen cos RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN y S S1 S 2 Calculamos C.T. 2 2 cos 135º 135º cos 180º S1 210º cos180º 1 cos 210º 3 2 x S2 sen cos Se observa: 210 Si: 135 1 cos 1 (cos ) 2 1 (sen ) 2 0,5(sen S1 S2 S 2 1 2 2 2 cos 2 P 1 1 2cos 1 0 2; 0 RPTA.: D cos ) RPTA.: A 18. Si se sabe que: “ , P dar la 2 . cos 1 A) C) E) 1 ” 135 ; 210 variación de: 19. Si: 2 sen halle: “ csc 1 8 5cos sec “ A) 2 9 4 E) 9 4 B) 2 2 B) 1 2; 0 D) 2; 1 D) 1 2; 0 , C) 1 4 1 4 RESOLUCIÓN 1; 2; 0 Condición: 2 sen 1 8 5cos Se observa que: sen 1 0 sen 1 sen 1 sen 1 csc 1 ¡Incompatible! Reemplazando en la condición: 2 0 8 5cos
  • 8. cos 4 5 csc sec csc 1 5 4 1 ( sen cos ) 2 1 S . 2 sen 4 2 3 Como: 4 3 2 4 4 2 sen 1 2 4 1 1 4 S RPTA.: C 20. 3 ; 4 Si , de la circunferencia trigonometrica determina la variación de la región sombreada. 1 2 2 . sen 2 S 1 2 ; 2 2 4 2 2 RPTA.: A 21. A) 1 2 ; 2 2 C) 0; E) B) 0; 1 2 D) 2 2 x2 y2 1 2 ; 2 2 cos ;sen sen sen ; cos cos 1 1 sen 2 cos 1 x 1 3 ; 2 2 RESOLUCIÓN S Halle el área de la región sombreada en términos de “ ”. y A) 1 cos C) 1 sen E) 2 sen B) 1 sen D) 1 cos
  • 9. 2b - a = 1... RESOLUCIÓN y 3b = 2 b sen x 1 3 a 1 + Sen cos 2 3 a b tg tg 1 1 3 2 3 tg III C, tg ( ) 1 2 RPTA.: C A = (1 + sen ) x 1 A = 1 + sen 23. RPTA.: C 22. El siguiente gráfico es una circunferencia trigonométrica. Calcule el área del triángulo EBF. Calcule “ tg ” en el siguiente circulo trigonométrico. y B y F A x 1 A = = 2 A) 2 B) 2 1 C) 2 3 D) 2 E) 1 2b = 1 + a C.T. E C.T. A) cos C) sen RESOLUCIÓN a+b=1… ( OBT) = 1 1 a 1 b 2 x E) BPR 1 sen 2 B) 2 cos D) 2 sen
  • 10. RESOLUCIÓN 24. Si: 2 3 tg x 1, entonces todos los valores de “x” en que verifique la 0; B cos F desigualdad, se comprendido en: encuentran 1 A) C) B) ; 3 2 2 3 ; 3 2 D) ; 4 3 ; 6 3 E) 0; 6 E RESOLUCIÓN 1 (2) cos 2 Área EBF cos Área EBF RPTA.: A 1 2 1 3 3 tan x 1 3 tg x 3 3 3 3 3 x 3tg x 1 ; 6 3 RPTA.: D