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Armando Saúl
  García Favela




                                Proceso
Eventos aleatorios, Espacio     Industriales
muestral y Técnicas de Conteo   2° D
Conceptos
Experimentos aleatorios:Experimento o ensayo aleatorio es
aquel que puede dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser
previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en
la realización del experimento.

Espacio muestra. Es el conjunto de todos los posibles valores
Que toma una variable aleatoria en un experimento. Puede ser
finito o infinito.

Evento. Puede ser uno o una combinación de los valores Que
toma una variable aleatoria

Técnicas de Conteo: Si el número de posibles resultados de un
experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar
todos los posibles resultados
Un experimento es aleatorio si hay más de un resultado
posible y no podemos decir con
anterioridad lo que va a suceder. En este caso se dice que el
resultado depende del azar.
Ejemplos:
Todos los juegos de azar son experimentos aleatorios. Como
ejemplos
podemos poner:
Lanzar una moneda al aire podrá salir cara o cruz.
Sacar una bola de una urna que contiene bolas de distinto
color, si no
vemos su interior,
Obtener una carta de una baraja, etc...
Ejemplos:
Consideremos los experimentos aleatorios siguientes:
Lanzar una moneda. Se puede obtener cara (que representaremos
por C) o cruz (que representamos por X). El espacio muestral es E =
{ C, X } Lanzar un dado de quinielas. Se puede obtener 1, X, 2. El
espacio muestral es E = {1, X, 2} Lanzar un dado. Se puede obtener
uno de los números 1, 2, 3, 4, 5 ó 6 y el
espacio muestral es E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Espacio Muestral
Consiste en todos los posibles resultados de un experimento.
Para el lanzamiento de una moneda es (A,S).




                                                          5
Métodos de conteo
Los métodos de conteo son estrategias
 utilizadas para determinar el número
de posibilidades diferentes que existen
al realizar un experimento. Entre estos
   métodos destacan el diagrama de
árbol, permutaciones, combinaciones,
principio multiplicativo, principio de la
                  suma
Permutaciones
       Definición.
Un arreglo ordenado de r objetos diferentes es llamado una
permutación .
  El numero resultante de ordenar n objetos diferentes
  tomando r a la vez será representado por el símbolo
Antes revisemos el concepto de factorial !!!!!!

Considere el siguiente caso: Hay 3 libros: Uno de Historia (H), Uno de
Física (F), Otro de Matemáticas (M). Note Que existen 6 formas de
acomodar dichos libros.
{ HFM, HMF, FHM, FMH, MHF, MFH } Aquí importa el orden

3*2*1=6
Diagramas de árbol
En casos simples resultan útiles los diagramas de árbol para enumerar objetos en
forma sistemática.
 Ejemplo: Se desea conocer todas las formas posibles de hacer un experimento
 que consiste en 4 componentes de auto a {L1, L2, L3, L4}, entonces cada
 componente es sometido a tres diferentes temperaturas de {A1, A2, A3} hasta
 que se obtiene una falla.
                                                     A1
            L1                                       A2
                                                    A3
                                                    A1
              L2                                    A2
                                                   A3     12 tratamientos
                                                  A1
             L3                                   A2
                                                   A3
                                                   A1
             L4                                     A2
                                                    A3
El numero de formas de ordenar n objetos distintos en n lugares
diferentes es :

              n! n(n 1 n 2)...(2)(1
                      )(           )

   n! se lee como n factorial
¿ Que pasa cuando tenemos solo r lugares para acomodar n
objetos, tal Que n es mayor o igual que r?

 En este caso el numero de arreglos resulta ser:

                n(n 1)(n 2)...(n [r 2])(n [r 1]) Pn
                                                  r

                         n     n!
                       Pr
                             (n r)!
Ejemplo: Suponga que a un grupo de motores se les aplicara un
tratamiento que consiste en dos aplicaciones de diferentes
intensidades de presión. Hay 10 diferentes intensidades y el orden de
administrar las intensidades es importante, ¿ cuantos motores se
ocupan si cada tratamiento se tiene que llevar a cabo?.

10 intensidades (i1,i2,…,i10 ) y 2 aplicaciones.
Nos interesa contar los pares (i1,12),(i1,i3),…..
                        10   10!
                   P   2            9 0.
                              8!
Combinaciones
Una combinación es un arreglo de distintos elementos , en donde una
combinación difiere de otra solamente si el contenido del arreglo es
distinto.
                  !! En este caso no es importante el orden de los
                  objetos !!

Definición. (Combinaciones).
El numero de combinaciones de n objetos tomando r a la vez es el numero
de maneras de formar un subconjunto de tamaño r de los n objetos. Esto
se denota como:

    n          n                         n
                                              n       Prn
                                                                    n!
C   r                                C   r
               r                              r       r!      r !( n r )!
                                     Teorema 2.
Ejemplo: En un lote de producción 100 chips
de computadora, un comprador desea adquirir
10 chips, ¿ de cuantas formas se pueden
seleccionar 10 chips de ese lote?.

       n
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  • 1. Armando Saúl García Favela Proceso Eventos aleatorios, Espacio Industriales muestral y Técnicas de Conteo 2° D
  • 2. Conceptos Experimentos aleatorios:Experimento o ensayo aleatorio es aquel que puede dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento. Espacio muestra. Es el conjunto de todos los posibles valores Que toma una variable aleatoria en un experimento. Puede ser finito o infinito. Evento. Puede ser uno o una combinación de los valores Que toma una variable aleatoria Técnicas de Conteo: Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados
  • 3. Un experimento es aleatorio si hay más de un resultado posible y no podemos decir con anterioridad lo que va a suceder. En este caso se dice que el resultado depende del azar. Ejemplos: Todos los juegos de azar son experimentos aleatorios. Como ejemplos podemos poner: Lanzar una moneda al aire podrá salir cara o cruz. Sacar una bola de una urna que contiene bolas de distinto color, si no vemos su interior, Obtener una carta de una baraja, etc...
  • 4. Ejemplos: Consideremos los experimentos aleatorios siguientes: Lanzar una moneda. Se puede obtener cara (que representaremos por C) o cruz (que representamos por X). El espacio muestral es E = { C, X } Lanzar un dado de quinielas. Se puede obtener 1, X, 2. El espacio muestral es E = {1, X, 2} Lanzar un dado. Se puede obtener uno de los números 1, 2, 3, 4, 5 ó 6 y el espacio muestral es E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
  • 5. Espacio Muestral Consiste en todos los posibles resultados de un experimento. Para el lanzamiento de una moneda es (A,S). 5
  • 6. Métodos de conteo Los métodos de conteo son estrategias utilizadas para determinar el número de posibilidades diferentes que existen al realizar un experimento. Entre estos métodos destacan el diagrama de árbol, permutaciones, combinaciones, principio multiplicativo, principio de la suma
  • 7. Permutaciones Definición. Un arreglo ordenado de r objetos diferentes es llamado una permutación . El numero resultante de ordenar n objetos diferentes tomando r a la vez será representado por el símbolo Antes revisemos el concepto de factorial !!!!!! Considere el siguiente caso: Hay 3 libros: Uno de Historia (H), Uno de Física (F), Otro de Matemáticas (M). Note Que existen 6 formas de acomodar dichos libros. { HFM, HMF, FHM, FMH, MHF, MFH } Aquí importa el orden 3*2*1=6
  • 8. Diagramas de árbol En casos simples resultan útiles los diagramas de árbol para enumerar objetos en forma sistemática. Ejemplo: Se desea conocer todas las formas posibles de hacer un experimento que consiste en 4 componentes de auto a {L1, L2, L3, L4}, entonces cada componente es sometido a tres diferentes temperaturas de {A1, A2, A3} hasta que se obtiene una falla. A1 L1 A2 A3 A1 L2 A2 A3 12 tratamientos A1 L3 A2 A3 A1 L4 A2 A3
  • 9. El numero de formas de ordenar n objetos distintos en n lugares diferentes es : n! n(n 1 n 2)...(2)(1 )( ) n! se lee como n factorial ¿ Que pasa cuando tenemos solo r lugares para acomodar n objetos, tal Que n es mayor o igual que r? En este caso el numero de arreglos resulta ser: n(n 1)(n 2)...(n [r 2])(n [r 1]) Pn r n n! Pr (n r)!
  • 10. Ejemplo: Suponga que a un grupo de motores se les aplicara un tratamiento que consiste en dos aplicaciones de diferentes intensidades de presión. Hay 10 diferentes intensidades y el orden de administrar las intensidades es importante, ¿ cuantos motores se ocupan si cada tratamiento se tiene que llevar a cabo?. 10 intensidades (i1,i2,…,i10 ) y 2 aplicaciones. Nos interesa contar los pares (i1,12),(i1,i3),….. 10 10! P 2 9 0. 8!
  • 11. Combinaciones Una combinación es un arreglo de distintos elementos , en donde una combinación difiere de otra solamente si el contenido del arreglo es distinto. !! En este caso no es importante el orden de los objetos !! Definición. (Combinaciones). El numero de combinaciones de n objetos tomando r a la vez es el numero de maneras de formar un subconjunto de tamaño r de los n objetos. Esto se denota como: n n n n Prn n! C r C r r r r! r !( n r )! Teorema 2.
  • 12. Ejemplo: En un lote de producción 100 chips de computadora, un comprador desea adquirir 10 chips, ¿ de cuantas formas se pueden seleccionar 10 chips de ese lote?. n n n! 100! Cr r r!(n r)! 10!(100 10)!