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                          XV CLAB‐X ELAEM 


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                Del 16 al 20 de noviembre del 2009 

                                  

                                  

          Unidad Académica de Matemáticas Nodo Acapulco 
 

 

                                                      Acapulco, México
Comité Organizador: 

José Geiser Villavicencio Pulido (Coordinador) 
Juan Carlos Hernández Gómez 
Crisólogo Dolores Flores 
Efrén Marmolejo Vega 
Claudia Nila Luévano 
Ignacio Miranda Vargas 
 
 
Comité Científico 
 
Ignacio Barradas Bribiesca (UG., México) 
Rodney Bassanezi (Universidad. Estadual de Campinas, Brasil) 
Jorge González Guzmán (Universidad. Católica de Valparaíso, Chile) 
Josefina Hernández (Universidad Central de Venezuela, Venezuela)  
Jaime Mena Lorca (Universidad. Católica de Valparaíso, Chile)  
Joao Frederico Meyer (Universidad Estadual de Campinas, Brasil) 
Faustino Sánchez Garduño (UNAM, México) 
Jorge X. Velasco Hernández (Instituto Mexicano del Petróleo, México) 
Graciela Canziani (Exactas, UNCPBA) 
José Geiser Villavicencio Pulido (Universidad Autónoma de Guerrero, México)  
Juan Carlos Hernández Gómez (Universidad Autónoma de Guerrero, México) 
Daniel Olmos Liceaga (Universidad de Sonora, México)   
Brenda Tapia de los Santos (Universidad Veracruzana, México)  
Fernando Momo (Universidad  Nacional de General Sarmiento, Argentina) 
 
 
Comité de Apoyo 
 
Vicente Castro Salgado 
José Guadalupe de la Torre Suárez 
 
 
Conferencistas convidados:
Dr. Jorge X. Velasco-Hernández - Inst. Mexicano del Petróleo, México
Dr. Fernando Momo – UNGS, Argentina
Dr. Rodney C. Bassanezi – UFABC, Brasil
Dr. Ignacio Barradas Bribiesca –UG, México
Dr. Faustino Sánchez Garduño – UNAM, México
Dr. Michel de Lara – CERMICS, Francia
Dr. Jorge González Guzmán –UPCV, Chile
 
 
 
 
Temas Principales 
Dinámica Poblacional 
Ecología Matemática 
Biomedicina 
Epidemiología 
Biología Computacional 
 
                           
Actividades 
 
Conferencias Magistrales 
Conferencias 
Sesión de Posters 
Asamblea 
 

Reseña Histórica 

El VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática surge a partir un compromiso 
asumido por investigadores latinoamericanos para desarrollar y fortalecer el trabajo 
interdisciplinario de modelación matemática en las biociencias, promoviendo el intercambio 
de conocimientos a través de las fronteras, uniendo esfuerzos en proyectos conjuntos y 
participando en la formación de recursos humanos a escala regional.  

La propuesta tuvo sus inicios en las actividades desarrolladas por la Asociación Latino 
Americana de Biomatemática (ALAB) por un lado y la Red Latino Americana de Ecología 
Matemática por el otro. Luego de varios años de desarrollar actividades paralelas, una con los 
Congresos Latino Americanos de Biomatemática (CLAB) y la otra con los Encuentros Latino 
Americanos sobre Ecología Matemática (ELAEM), y a propuesta de los colegas brasileños, se 
planteó la posibilidad de unir a los respectivos miembros en una única entidad. En 2001 se 
llevó a cabo en Campinas, Brasil, el primero de estos Congresos (X CLAB y V ELAEM). En 2002, 
el Congreso tuvo lugar en Guanajuato, México, en 2003 en Armenia, Colombia, en 2005 en 
Tandil, Argentina y en 2007 en Campinas, Brasil.   

Durante el Congreso 2002 en Guanajuato, se sentaron las bases de la nueva Sociedad 
Latinoamericana de Biología Matemática (SOLABIMA) según las cuales la Comisión Directiva 
será integrada por colegas de un único país. Durante la Asamblea Anual, se eligen el país y los 
integrantes de la Comisión Directiva que actuará durante el año subsiguiente y que a ella le es 
encomendada la organización del Congreso. En la Asamblea realizada durante el Congreso 
2007 se eligió a Acapulco, México, como sede del Congreso 2009, siendo integrantes de la 
Comisión Directiva 

Presidente: Dr. José Geiser Villavicencio Pulido 
(Unidad Académica de Matemáticas, UAG)  
Vice‐presidente: Dr. Jorge X. Velasco Hernández 
(Instituto Méxicano del Petróleo)  
Secretaria: M. en C. Claudia Nila Luévano  
(Unidad Académica de Matemáticas, UAG)  
Tesorero: M. en C. Ignacio Miranda Vargas  
(Unidad Académica de Matemáticas, UAG) 
 
 
Anclado de Ondas en Espiral en el regimen divagador en obstáculos para las
                ecuaciones de Fitzhugh-Nagumo y Beeler Reuter.

                             Dr. Daniel Olmos Liceaga
                           Departamento de Matemáticas
                              Universidad de Sonora

La interacción de ondas en espiral y obstáculos en tejido cardiaco es un problema de
suma importancia en la transición de diferentes tipos de arritmias cardiacas. Cuando una
espiral en régimen divagador se ancla a un obstáculo se obtiene una arritmia más
localizada y controlable.
En esta plática, se presentan cuatro propiedades necesarias para que una onda en espiral
se ancle al obstáculo. Dichas propiedades se basan en conceptos de excitabilidad del
medio, el tamaño y la geometría del obstáculo; y que por tanto no dependen del modelo
iónico considerado. En esta plática se consideran dos modelos, como lo son una versión
modificada de la ecuación de Fitzhugh-Nagumo (FHN) y la ecuación de Beeler-Reuter.
Analisis cualitativo de modelos de depredación
    considerando efecto Allee en una de las
                    poblaciones
     Ana Romina Vicencio-Cumillaf, Eduardo González Olivares
    Grupo de Ecología Matemática, Instituto de Matemáticas, Facultad de Ciencias
                    Ponti…cia Universidad Católica de Valparaíso
                  email: ana.vicencio.c@mail.ucv.cl, ejgonzal@ucv.cl

                                    julio de 2009



1      INTRODUCCIÓN
En este trabajo se hace un estudio de dos modelos depredador-presa tiempo
continuo propuestos en [8], considerando que el crecimiento de las presas es de
tipo malthusiano y alguna de las poblaciones está afectada por el efecto Allee
[1, 5].
    Existen muchas formas matemáticas para expresar este importante fenómemo
ecológico [4] pero en este trabajo emplearemos la función
                                  dx        x
                                  dt   = r x+n x                               (01)
                                                                        x
    donde x = x (t) indica el tamaño poblacional; el factor a (x) =    x+n ,
                                                                         modela
el efecto Allee, fenómeno que puede ser producido por diferentes causas [1, 2]
    Uno de los objetivos del trabajo será determinar la naturaleza de los puntos
de equilibrio, de acuerdo a los diferentes parámetros del modelo.


2      LOS MODELOS
Los modelos a estudiar son modi…caciones del conocido modelo de Lotka-Volterra,
y el primer de ellos es del tipo Gause [3] o de transferencia de masa, descrito
por el siguiente sistema bidimensional de ecuaciones diferenciales no lineales
autónomo del tipo Kolmogorov [3].


                                  dx        x
                                  dt   = r x+n x qxy
                         X :      dy                                            (1)
                                  dt   = (px c ) y



                                          1
donde x = x (t) e y = y (t) son los tamaños poblacionales de las poblaciones
presa y depredador, respectivamente; la función h (x) = qx es la respuesta
funcional o tasa de consumo de los depredadores del tipo Holling I o lineal
[6, 7].
    Los parámetros son todos positivos, o sea, = (r; n; q; p; c) 2 R5 y tienen
                                                                      +
diferentes signi…cados ecológicos.
    El segundo modelo es
                           ( dx
                                dt  = r x qxy
                       Y :     dy             y                              (2)
                                dt  =     px y+b c y

    donde = (r; q; p; b; c) 2 R5 , esto es, los parámetros son todos positivos y
                                 +
tienen diferentes similares signi…cados ecológicos a los del modelo (1).
    En particular, se estudia el acotamiento de las soluciones porque de acuerdo
a las simulaciones que aparecen en [8], habría soluciones que tienden al punto
(0; 1), obteniendose una situación que no es ecológicamente sustentable.
    En trabajos futuros revisaremos otros de los modelos propuestos en [8], o
otro donde se incorpore la función de crecimiento logística para las presas.


References
[1] L. Berec, E. Angulo and F. Courchamp, Multiple Allee e¤ects and population
    management,Trends in Ecology and Evolution Vol. 22 (2007) 185-191.
[2] F. Courchamp, L. Berec and J. Gascoigne, Allee e¤ ects in Ecology and Con-
    servation, Oxford University Press 2008.
[3] H. I. Freedman, Deterministic Mathematical Models in Population Ecology,
    Marcel Dekker 1980.
[4] E. González-Olivares, B. González-Yañez, J. Mena-Lorca and R. Ramos-
    Jiliberto. Modelling the Allee e¤ect: are the di¤erent mathematical forms
    proposed equivalents?, In R. Mondaini (Ed.) Proceedings of the 2006 Inter-
    national Symposium on Mathematical and Computational Biology BIOMAT
    2006 E-papers Serviços Editoriais Ltda. Rio de Janeiro (2007) 53-71.
[5] P. A. Stephens, W. J. Sutherland, R. P. Freckleton, What is the Allee e¤ect?,
    Oikos 87 (1999) 185-190.
[6] R. J. Taylor. Predation. Chapman and Hall, 1984.
[7] P. Turchin, Complex population dynamics. A theoretical/empirical synthesis,
    Mongraphs in Population Biology 35 Princeton University Press, 2003.
[8] S-R. Zhou, Y-F. Liu, G. Wang, The stability of predator-prey systems sub-
    ject to the Allee e¤ect, Theoretical Populations Biology 67 (2005) 23-31.




                                       2
MODELACIÓN DE LA RED REGULATORIA GENÉTICA INDUCIDA POR
ETILENO EN RESPUESTA A INFECCIÓN POR PATÓGENOS EN Arabidopsis
thaliana.

                           Rafael Verduzco Vázquez & José Díaz

Grupo de Biología Teórica y Computacional, Facultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de
Morelos, Av. Universidad 1001, Colonia Chamilpa, Cuernavaca, Morelos. CP: 62209.



Los mecanismos que permiten a un organismo realizar toda clase de funciones están
basados en la compleja interacción de proteínas y ARN. El ADN de cada célula
contiene un conjunto de genes que, a través de los procesos de traducción y
transcripción hacen posible la expresión. Algunas proteínas actúan como factores de
transcripción, que regulan la tasa de transcripción de otros genes, de modo que al
analizar las relaciones entre factores y genes se llega a una estructura llamada
red regulatoria genética. Se han propuesto distintos modelos para poder entender tanto
las propiedades estructurales como la dinámica de estas redes. Esta dinámica
corresponde a patrones de expresión genética que producen un fenotipo particular.
Abundan técnicas de modelado que permiten estudiar dicha dinámica desde varios
enfoques teóricos. Dentro de estos enfoques, las redes Booleanas consideran a cada gen
en uno de dos estados posibles a un tiempo discreto dado. En una red Boolena los
genes -o nodos en terminología de redes– actualizan su estado de acuerdo a un conjunto
de reglas lógicas que suelen inferirse a partir de datos experimentales de expresión
genética. Esta clase de modelos requiere relativamente poca información acerca del
conjunto de genes y sus interacciones, a la par que brinda resultados biológicamente
relevantes. En este trabajo se presenta un modelo de red Boolena para una pequeña red
de regulación genética relacionada con la defensa contra patógenos en Arabidopsis
thaliana estimulada por las hormonas etileno y jasmonato. Uno de los aspectos
relevantes del modelo propuesto es que tras revisar la literatura se incorporó ERF4, un
factor de transcripción de la familia de factores de respuesta a etileno ERF que no había
sido incluido en la vía de señalización de etileno en trabajos anteriores. Tras analizar las
configuraciones del sistema en el conjunto de puntos estacionarios para diferentes
condiciones iniciales, tanto en WT como en mutantes, se obtuvieron resultados que tras
su interpretación coinciden con algunos fenotipos reportados en la literatura.
Modelo matemático del proceso mecanobiológico de reparación del
ligamento
Rosy Paola Cárdenas Sandoval*
Liliana Mabel Peinado Cortés
Diego Alexander Garzón Alvarado
* National University of Colombia
 Carrera 30 N°45-03 Edificio 407
 rpcardenass@unal.edu.co


   ABSTRACT: Coagulation, inflammation, proliferation and remodelling are the stages performed in the
wound healing in connective tissues injured, one of these is the ligament. The wound healing depends of
biological and mechanical manifold factors, they release key elements and stimulate the right fibers
organization. The aim of this work is to provide a mathematical model based in hyperelasticity equations of the
continuum mechanics for to describe the biological changes and the mechanotransduction process happened in
the ligament wound healing when it is subjected to mechanical load. The model proposed is solved using the
finite elements method. The results obtained simulate the ligament answer in the remodeling phase in presence
of mechanical loads, which is to enlarge the cellular and extracellular size components, increase the fibroblast
proliferation, collagen production and other proteins, and the formation of the new fibers net, more
homogeneous and mostly dense. This model offers a biological and mechanical framework about the effect of
the tension load in the ligament wound healing for the health care professionals that make use of the mechanical
loads prescription as tool’s work.



   RESUMEN: Coagulación, inflamación, proliferación y remodelación, son las fases llevadas a cabo en el
proceso de reparación en la mayoría de los tejidos conectivos lesionados, uno de ellos es el ligamento. La
cicatrización de este tejido depende de múltiples factores biológicos y mecánicos, los cuales estimulan la
síntesis de componentes claves en la reparación y la organización correcta del ligamento. El objetivo de este
trabajo es proporcionar un modelo matemático fundamentado en las ecuaciones de hiperelasticidad de la
mecánica de medio continuo para describir los cambios biológicos y los mecanismos de mecanotransducción
ocurridos en el ligamento en reparación cuando está sometido a carga mecánica. El modelo propuesto está
resuelto mediante el método de elementos finitos. Los resultados obtenidos simulan la respuesta del ligamento
ante cargas mecánicas en la etapa de remodelación, es decir, incremento en el tamaño de los componentes
celulares y extracelulares del tejido, aumento de la proliferación de fibroblastos, producción de colágeno y otras
proteínas, y la formación de una nueva red de fibras más homogénea y densa. En conclusión, este modelo
ofrece un marco de referencia mecánico y biológico, del efecto de la carga de elongación en la reparación del
ligamento, útil para los profesionales de las ciencias de la salud que utilizan la prescripción de cargas mecánicas
como herramienta de trabajo.
FITOREMEDIACIÓN   DE    AGUAS    RESIDUALES   SECUNDARIAS   CON
PLÁNTULAS DE Rhizophora mangle BAJO CONDICIONES EXPERIMENTALES


C. Chan-Keb*, C. M. Agraz-Hernández**, J. Osti-Saenz**, C. García-Zaragoza**
Miguel A. Valera Pérez*, Gladys Linares Fleites*.

*Posgrado en Ciencias Ambientales, Instituto de Ciencias. Benemérita Universidad
Autónoma de Puebla. karloschank2@hotmail.com

** Centro de Ecología, Pesquerías y Oceanografía del Golfo de México. UAC. Av.
Agustín Melgar s/n entre Juan de la Barrera y Calle 20. Col. Buenavista. San
Francisco de Campeche; Campeche, México. Tel (981) 8119800. Ext. 62309.

                                      RESUMEN

Los bosques de manglar son considerados como ecosistemas de gran valor
económico, ecológico y social, debido a los múltiples usos y beneficios que estos
proporcionan. Es por ello que esta halófita es reconocida a nivel mundial en su
función como agentes de remediación de contaminación de descargas de aguas
residuales con altas concentraciones de metales pesados, herbicidas, plaguicidas o
con exceso de nutrientes, esto como una alternativa de tratamiento de agua en la
zona costera. Por lo cual, esta investigación tuvo como propósito el evaluar el uso de
la forestación y fitorremediación con plántulas de Rhizophora. mangle para mitigar la
eutrofización causada por las descargas de aguas residuales secundarias, bajo
condiciones controladas de temperatura ambiental, humedad, hidroperiodo y nivel
microtopografico en un invernadero, con salinidad de 25 ± 5 ups. A través de la
colecta de hipocotilos de R. mangle en bosques de manglar sin impacto antrópico y
mediante la forestación de seis estanques (100 hipocotilos por estanque), con
dimensiones de:1.5 x 0.45 x 0.95 m y un filtro compuesto de grava gruesa (0.081 m3)
y fina (0.081 m3), de arena (0.081 m3) y turba natural (0.222 m3) del mismo bosque
de colecta de los propágulos. Cada estanque presento un reservorio individual de
0.250 m3 para efectuar por gravedad el flujo y por bombeo el reflujo de la marea. Se
establecieron dos tipos de vertidos, donde en tres estanques se vertieron con agua
residual y tres con agua de mar. La intensidad de muestreo fue semanal para
determinar la concentración de los nutrientes, la salinidad y el valor de pH y potencial
redox del agua intersticial. Para evaluar la respuesta fisiológica de las plántulas
simultáneamente a los parámetros químicos, se monitoreo el incremento diametral,
longitud total, inter nodal y la producción de las hojas. Al realizar mediante la prueba
ANOVA de una vía entre los dos tipos de vertido, se encontraron diferencias
significativas (p‹0.05) entre la concentración de NO2-, NH4+ y el valor de redox,
observándose acumulación de los nutrientes y condiciones más anaeróbicas en el
gua intersticial de los estanques con agua residual. Con respecto a la respuesta
fisiológicas, se observo mayor tasa de crecimiento diametral (0,014 mm.dia-1) y
disminución en la longitud total (0.049 cm.dia-1) para las plántulas tratadas con agua
residual, que con respecto a las tratadas con agua de mar (0.0057 mm.dia-1 y 0.064
cm.dia-1, respectivamente). El incremento internodal y la producción de hojas no
presentaron diferencias significativas entre los vertidos. Estos resultados indican que
la función de los manglares como agentes fitoremediador es una alternativa para
tratar cuerpos de agua costeras eutrofizados, utilizando la forestación. Sin embargo,
a su vez los resultados obtenidos para esta investigación indican estrés en las
plántulas al incrementar el número de vertidos y al acumularse los nutrientes en el
agua intersticial. Es por ello que se recomienda considerar durante el uso del
manglar como fitoremediador, el control de la concentración de nutrientes en el
vertido y la intensidad de los vertidos, así como la extensión disponible de cobertura
del bosque de mangle.
Análisis del modelo general de Lotka-Volterra
     considerando comportamientos sociales del
                     depredador
 Sebastián Valenzuela-Figueroa, Ruth Becerra-Klix, Eduardo González-Olivares
                Grupo de Ecología, Instituto de Matemáticas, Facultad de Ciencias
                                 Ponti…cia Universidad Católica de Valparaíso
             email: sebastiancvf@gmail.com; rbecerraklix@gmail.com; ejgonzal@ucv.cl
                                               http://ima.ucv.cl

                                         julio de 2009


1    Introducción
Es ampliamente conocido el hecho que en el modelo general de Lotka-Volterra
[5] (considerando crecimiento logístico en las presas), cuando existe un punto
de equilibrio al interior del primer cuadrante este es global asintóticamente
estable [2] y esta propiedad se mantiene cuando existe colaboración entre los
depredadores.
    El objetivo fundamental de este trabajo es describir el comportamiento
matemático de un modelo de depredación, considerando colaboración entre los
depredadores.
    De acuerdo a los resultados obtenidos, planteamos que la incorporación de
este fenómeno ecológico en este modelo derivado del modelo general de Lotka-
Volterra, no es adecuado porque se obtienen conclusiones ecológicas incompati-
bles.


2    El modelo
El modelo a estudiar es descrito por el sistema bidimensional de ecuaciones
diferenciales autónomo del tipo Kolmogorov [3]:
                                    dx               x
                                    dt     =    r(1 K ) qy x
                     X   ;   :      dy                                          (1)
                                    dt     =   (px c + y ) y
   con = (r; K; q; p; c; ) 2 R5 , donde los parámetros tienen diferente signi…-
                              +
cados ecológicos y 2 R. Si > 0, el parámetro expresa la colaboración entre



                                               1
los depredadores, si = 0, se tiene el modelo de Lotka-Voltera usual y si < 0,
el sistema representa un modelo con interferencia entre los depredadores.
    En particular, si     1 el sistema fue estudiado parcialmente por Pacheco
& al. [4] y en [6] consideraron el caso en que = 1, demostrando que existe
condiciones para la existencia de un centro.
    En este trabajo se muestra, entre otros resultados, que si > 0, existe un
subconjunto en el espacio de parámetros, donde el sistema no tiene soluciones
acotadas, concluyendo que el sistema no representa adecuadamente un modelo
de depredación.
    Sin embargo, es posible determinar condiciones en los parámetros para las
cuales el único punto de equilibrio al interior del primer cuadrante este es global
asintóticamente estable


References
[1] A. D. Bazykin, Nonlinear Dynamics of interacting populations, World Sci-
    enti…c, 1998.
[2] C. Chicone, Ordinary di¤erential equations with applications, Texts in Ap-
    plied Mathematics 34 Springer, 2006.
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    Marcel Dekker, 1980.
[4] J. M. Pacheco, C. Rodríguez and I. Fernández, Hopf bifurcations in
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    105 (1997) 83–87.
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    sis, Mongraphs in Population Biology 35 Princeton University Press, 2003.
[6] M. Uribe y M. Wallace, The period function in a class of quadratic Kol-
    mogoro¤ systems, Proyecciones Vol 19 (2000) 197-205.




                                        2
Mauro A.E. Chaparro

   Un modelo matemático de la fase parasitaria de Ostertagia ostertagi
    basado en sistemas de inferencia difusa, con especial referencia a
                               hipobiosis
Ostertagia ostertagi es un nematodo que se encuentra muy frecuentemente en el ganado bovino de la
región pampeana argentina. La fase parasitaria de Ostertagia comienza cuando la larva infectante (L3)
es ingerida por los bovinos al alimentarse en las pasturas contaminadas. Continúa su desarrollo en el
sistema digestivo durante aproximadamente tres semanas hasta iniciar la puesta de huevos.
Dependiendo de las condiciones climáticas a las que estuvieron expuestas las L3 durante su vida libre,
éstas pueden inhibir su proceso de desarrollo (hipobiosis) extendiendo el período de prepatencia hasta
cinco meses. Así la hipobiosis permite al parásito “saltar” períodos del año en los que las condiciones
climáticas son adversas para la supervivencia de la progenie. Desde el punto de vista sanitario, es
importante destacar que las larvas hipobióticas están deprimidas metabólicamente y por lo tanto son
menos susceptibles a ciertos antihelmínticos.
En la región de la Pampa Húmeda en Argentina este fenómeno se produce mayoritariamente en la
primavera. Ensayos realizados a campo determinaron tres factores que acondicionan a las larvas
infectantes a detener su desarrollo: tiempo de espera en las pasturas, temperatura ambiente y cantidad
de horas de luz (fotoperíodo) diarias.
Se construyó un modelo matemático que describe la dinámica poblacional de los parásitos adultos
dentro del hospedador, en relación con el grado de infección de las pasturas y las condiciones
climáticas. Para describir la dinámica de los adultos se utilizó una ecuación en diferencias con paso
diario mientras que para el proceso de inhibición se usó un sistema de inferencia difuso. Con la
combinación de estos dos modelos se describe la dinámica poblacional satisfactoriamente. Los
resultados obtenidos fueron comparados con ensayos realizados en condiciones naturales, obteniéndose
un coeficiente de bondad de ajuste de R2=0.85, siendo este un buen indicador de la calidad de ajuste
del modelo.

   A mathematical model based on a fuzzy logic inference system for the
      parasitic stage of Ostertagia ostertagi, including to hypobiosis
Ostertagia ostertagi is a nematode frequently found in cattle in the pampean region of Argentina. The
parasitic phase of Ostertagia initiates when the infecting larvae (L3) are ingested by cattle feeding on
infected pastures. The larva continues its development in the digestive tract of the animal for about
three week until it starts producing eggs. Depending on the climatic conditions to which the L3 larvae
were exposed during their free living stage, they can inhibit their development (hypobiosis) by
extending the prepatent period for up to five months. Thus hypobiosis allows them to skip some
periods during which weather conditions are negative for their offspring in the free living cycle. From
the sanitarian perspective, it is important to point out that hypobiotic larvae are metabolically depressed
and thus are less susceptible to antihelmintics.
In the Humid Pampas of Argentina, this phenomenon occurs mostly in spring. Field trials helped
identify three factors that condition the development arrestment of ingested larvae: waiting time in the
pasture, environmental temperature, and photoperiod.
 A mathematical model was built for describing the population dynamics of adult parasites inside the
host, depending on the degree of infection of the pasture and on the weather conditions. Difference
equations with daily time-step were used for describing the adult population dynamics, while the
inhibition process was modeled using a fuzzy inference system. The combination of both models yields
a satisfactory description of the dynamics. The simulation results were compared to field trials under
natural conditions and the goodness-of-fit coefficient R2=0.85 was obtained, indicating the quality of
the model.
Captura óptima en un modelo depredador-presa
con respuesta funcional sigmoidea y efecto Allee
                 en las presas
        Alejandro Rojas-Palma 1 , Eduardo González-Olivares 2
                1
                    Instituto de Matemática, Universidad Austral de Chile
                                Casilla 567, Valdivia, Chile
                              alejandro.rojas@docentes.uach.cl
                     http://www.ciencias.uach.cl/instituto/matematicas
            2
                Grupo de Ecología Matemática, Instituto de Matemáticas,
                       Ponti…cia Universidad Católica de Valparaíso.
                               Casilla 4059 Valparaíso, Chile
                                      ejgonzal@ucv.cl
                                     http://ima.ucv.cl

                                       Julio 2009


1    Introducción
La modelación bioeconómica de la explotación de recursos renovables como
pesquerías y bosques, los conceptos esenciales requeridos y las herramientas
matemáticas necesarias han sido dadas en detalle por Clark [5], en especial
cuando una sola especie es sometida a captura. Sin embargo, modelos que con-
sideran más especies han sido estudiados solamente en algunos trabajos, debido
a las complicaciones propias del análisis cualitativo de los sistemas de ecuaciones
diferenciales no lineales [5, 3].
    Este trabajo considera el análisis de la captura no selectiva de dos pobla-
ciones en donde una de ellas es depredadora de la otra. Se asume que el esfuerzo
de pesca es el mismo para ambas poblaciones y la captura por unidad de esfuerzo
(CPUE) es proporcional a los tamaños poblacionales de cada población, es de-
cir, se asume la bien conocida hipótesis de Schaefer de explotación pesquera.
Basados en el análisis cualitativo, se establece la política de control óptima que
la industria pesquera debe aplicar con el …n de la maximización de los bene…-
cios económicos presentes. Entonces, se de…ne un problema de control óptimo
consistente en maximizar los ingresos netos totales que la sociedad deriva de la
pesquería, sujeto a las ecuaciones de estado aplicando el Principio del Máximo
de Pontragyn [11].


                                             1
2    El Modelo
Se considera un modelo depredador-presa de tipo Gause [6] en el cual la presa
es afectada por el fenómeno biológico conocido como efecto Allee [1, 13, 14] y
la respuesta funcional es sigmoidea [15]. Existen muchas formas de expresar el
efecto Allee [8], pero se empleará la más usual y la interacción es dada por un
sistema de ecuaciones diferenciales autónomo del tipo Kolmogorov [6, 7].
                    ( dx                x                 s x2
                        dt  = r 1 K (x m) x              x2 + a2 y
               X :      dy          p x2                                     (1)
                        dt  =      x2 + a2  c y

donde x = x(t) e y = y(t) indican los tamaños poblacionales de la presa y el
depredador respectivamente, los parámetros son todos positivos, esto es, =
(r; K; m; p; a; c; s) 2 R7 , y tienen distintos signi…cados ecológicos y por razones
                         +
biológicas a; m < K.
    Este sistema fue analizado en [12] y ahora se asumirá que ambas poblaciones
son explotadas y la captura es proporcional al stock corriente, obteniendo el
sistema
                  ( dx                 x                 s x2
                      dt  = r 1 K (x m) x               x2 + a2 y   q1 Ex
           Y :        dy           p x2                                          (2)
                      dt  =       x2 + a2   c y q2 Ey

donde E = E(t) representa el esfuerzo de pesca, 0 < E < Emax y q1 , q2 son
cantidades positivas.
    El funcional objetivo, que representa el valor presente J de un ‡ de gana-
                                                                     ujo
cias continuo en el tiempo, es dado por
                                 Z1
                                                       t
                            J=        (x; y; E; t) e       dt                   (3)
                                 0

donde    es la tasa anual de descuento instantanea y

                       (x; y; E; t) = p1 q1 Ex + p2 q2 Ey       CE              (4)

es el ingreso económico neto del pescador o renta percibida y es representado
como la diferencia entre el ingreso total y el costo total asociado al esfuerzo de
pesca.


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                                       3
Análisis del modelo de depredación de
  Holling-Tanner modi…cado considerando un
   alimento alternativo para los depredadores
    Analysis of the modi…ed Holling-Tanner
 predator-prey model considering an alternative
                 food for predator
        Claudio Arancibia-Ibarra, Eduardo González-Olivares
            Grupo de Ecología Matemática, Instituto de Matemáticas,
                  Ponti…cia Universidad Católica de Valparaíso.
                            Casilla 4059 Valparaíso, Chile
                      clanarib@gmail.com, ejgonzal@ucv.cl
                                  http://ima.ucv.cl

                                      julio 2009


1    Resumen
En este trabajo analizamos un modelo depredador-presa tiempo continuo asum-
iendo que:
    i) la respuesta funcional es de tipo Holling II,
    ii) el crecimiento de los depredadores es de tipo logístico [4].
    Este último supuesto caracteriza a los modelos del tipo Leslie-Gower [1], en
los cuales la capacidad de soporte convencional de los depredadores es propor-
cional a la abundancia de presas x = x (t), es decir, Ky = K(x) = nx, tal como
es asumida en el modelo de May-Holling-Tanner model [6, 5].
    Aqui, consderaremos que K(x) = nx + c, suponiendo que los depredadores
tienen un alimento alternativo cuando las presas disminuyen, esto es, cuando
x ! 0.
    El modelo es descrito por el siguiente sistema bidiemnsional de ecuaciones
diferenciales del tipo Kolmogorov [3]:

                        8
                        <    dx
                                  =     r 1     x       q
                             dt                K       x+a y   x
                  X :                                                        (1)
                        :    dy
                                  =     s 1       y
                                                       y
                             dt                nx+c



                                          1
donde x = x(t) e y = y(t) indican los tamaños poblacionales de presas y
depredadores, respectivamente; = (r; K; q; a; s; n; c) 2 R7 , y los parámetros
                                                          +
tienen diferentes signi…cados ecológicos, pero a, m < K.
    Mediante una reparametrización y un reescalamiento del tiempo, obtenemos
el sistema
                     du
                     d    =        (u + C) ( (1 u) (u + A)     Qv) u
              Y :    dv                                                        (2)
                     d    =         S (u + A) ( u + C  v) v

    que es topológicalmente equivalente al sistema(1) [2]; los puntos de equilibrio
son (0; 0), (1; 0), (0; C) and Qe = (ue ; ve ), dependient de la intersección entre
                                   1
las isoclinas v = u + C and v = Q (1 u) (u + A); entonces el sitema puede
tener uno, dos o ningún punto de equilibrio positivo.
    Uno de los principales objetivos es determinar la cantidad de ciclo límites
del sistema bifurcando de un centro-foco al interior del primer cuadrante.


2    Summary
In this work we analyze a continuous-time predator-prey model assuming that:
    i) the functional response or predator consumption rate is Holling type II or
hyperbolic [6], and
    iii) the growth of the predator population is of logistic form [4].
    This last assumption characterize the Leslie-Gower type models [1], in which
the conventional environmental carrying capacity Ky measuring their resources,
is proportional to prey abundance x = x (t), that is Ky = K(x) = nx, such as
is assumed in the May-Holling-Tanner model [6, 5].
    We will consider that K(x) = nx + c, assuming that the predators have an
alternative food when the quantity of prey diminish, this is, when x ! 0.
    The model is describe by the following bidimensional di¤erential equations
systems of Kolmogorov type system [3]:

                          8
                          <   dx
                                    =    r 1     x      q
                              dt                K      x+a y   x
                    X :                                                        (1)
                          :   dy
                                    =    s 1       y
                                                       y
                              dt                nx+c

    where x = x(t) and y = y(t) indicate the predator and prey population
sizes, respectively; = (r; K; q; a; s; n; c) 2 R7 , the parameters have di¤erent
                                                +
ecological meanings, but a, m < K.
    By mean of a reparameterization and time rescaling we obtain the polyno-
mial system
                     du
                     d    =        (u + C) ( (1 u) (u + A)     Qv) u
              Y :    dv                                                        (2)
                     d    =         S (u + A) ( u + C  v) v
    which is topologically equivalent to original [2]; the equilibrium points are
(0; 0), (1; 0), (0; C) and Qe = (ue ; ve ), which dependent of the intersection of

                                           2
1
the isoclines v = u + C and v = Q (1 u) (u + A); then, the system can have
two, one, or none positive equilibrium point.
    One of the main objectives is establish the quantity of limit cycles bifurcating
of a center-focus at interior of the …rst quadrant.


References
[1] M. A. Aziz-Alaoui and M. Daher Okiye, Boundedness and global stability
    for a predator-prey model with modi…ed Leslie-Gower and Holling-type II
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                                         3
Modelamiento Matemático y Análisis Dinámico del
    Proceso de Edición del ARN en Leishmania sp.


                                   Autores
        Andrés Florez1, Carlos Muskus1, Jairo Espinosa2, Luz Castellanos3,
                                Diego A. Muñoz3
    1
     Programa de Estudio y Control de Enfermedades Tropicales, PECET.
                             Universidad de Antioquia.
                         2
                           Grupo de Automática, GAUNAL,
                       Universidad Nacional-sede Medellín.
                 3
                   Grupo de Investigación en Matemáticas, GMat.
                         Universidad Pontificia Bolivariana
Correo electrónico: Andres_Florez@hms.harvard.edu

Introducción

La leishmaniasis es una enfermedad tropical que constituye un problema de
salud pública debido a su alta morbilidad y que en la forma clínica visceral
puede ser letal. Adicionalmente, no existen medicamentos seguros, ni vacunas
efectivas [1]. El proceso de edición del RNA del kinetoplasto (kRNA) consiste
en la modificación post-transcripcional mediante la inserción y/o delección de
uracilos para generar transcritos funcionales [2]. Este proceso, además, no
ocurre de la misma forma en el ser humano. Esto genera el interés de
proteínas involucradas en este proceso como blanco de nuevos fármacos que
puedan inhibirlo y por tanto eliminar al patógeno.
La descripción de dicho proceso biológico puede ser expresada como el arreglo
o acomodo de mecanismos y dinámicas para el procesamiento de materia y
energía “cruda” con el fin de obtener un producto con especificaciones
deseadas [3]. En tal sentido, si se dispone de un modelo que describa los
mecanismos y dinámicas factibles para realizar el proceso, es posible usar
dicho modelo para encontrar condiciones de operación del proceso, de modo
que con esos valores se logre el producto deseado sin violentar las
restricciones que el proceso mismo impone.

Basado en la anterior premisa, se construye un modelo matemático del proceso
de edición del RNA basado en el conjunto de reacciones que lo describen, con
la intención de establecer el comportamiento dinámico de este. Adicionalmente
se hace el análisis de sensibilidad para predecir posibles blancos de
medicamentos, es decir, identificar los parámetros más susceptibles a las
perturbaciones y que bloquen la generación del producto final que es el ARN
mensajero editado. Con éste análisis se identificó una enzima responsable de
una reacción muy sensible, y que se convierte en un blanco atractivo para un
futuro desarrollo de medicamentos inhibidores.

Cuando se aborda el análisis de un proceso biológico, aparece un grupo
disponible de modelos diferentes, que van desde los simbólico simples
(diagrama de bloques) hasta los matemáticos sofisticados (modelo dinámico
del proceso basado en principios fenomenológicos). Tal evolución en la
complejidad de la representación usada va de la mano con la complejidad de la
tarea que se desarrolla y con lo cual se espera del modelo. En tal sentido, el
modelo se plantea con una estructura basada en principios físicos utilizando
parámetros determinados mediante experimentos de las cinéticas de reacción.

Modelamiento y análisis

A partir de una revisión extensa de la literatura se construyó un esquema
cualitativo de las reacciones involucradas en el proceso y de las cuales
existieran parámetros cinéticos determinados experimentalmente [4]. Con base
en este esquema se construyó un modelo matemático basado en ecuaciones
diferenciales ordinarias que representan cinéticamente las reacciones químicas
involucradas. Las leyes cinéticas de las reacciones fueron asignadas de
acuerdo a la literatura, donde 5 fueron asignadas como Michaelis-Menten
irreversible y la restante por la ley de acción de masas. El análisis de
sensibilidad para la detección de blancos moleculares se hizo realizando
cambios en los vectores de parámetros y analizando las perturbaciones del
modelo mediante los coeficientes de sensibilidad. El análisis de sensibilidad y
las simulaciones fueron realizados utilizando el Toolbox de Matlab “SimBiology”
[5].

Resultados

Las simulaciones realizadas con el modelo demuestran una correspondencia
con lo descrito en los datos experimentales de manera cualitativa, pues la
información paramétrica es incompleta y no existen datos de perturbaciones
experimentales del modelo que permitan su validación. El análisis de
sensibilidad muestra que la reacción de unión del RNA guía (gRNA) con el
RNA mensajero (mRNA) es la más susceptible a la perturbación con respecto
al producto, lo cual sugiere a las proteínas MRP1/MRP2 como probables
blancos. Estas predicciones serán refinadas en futuros proyectos que permitan
la validación experimental del modelo.

Referencias

[1] Herwaldt, B.L., Leishmaniasis. Lancet, 1999. 354(9185): p. 1191-9.
[2] Lukes, J., H. Hashimi, and A. Zikova, Unexplained complexity of the mitochondrial
genome and transcriptome in kinetoplastid flagellates. Curr Genet, 2005. 48(5): p. 277-
99.

[3] Alvarez, H. and Muñoz D.A. About models of chemical processes and their use in
control (In Spanish). Proceedings XII Latin-American Congress on Automatic Control,
Salvador Bahía-Brazil, 2006.
[4] Gao, G., et al., Functional complementation of Trypanosoma brucei RNA in vitro
editing with recombinant RNA ligase. Proc Natl Acad Sci U S A, 2005. 102(13): p.
4712-7.
[5] http://www.mathworks.com/products/simbiology/
Title

 Mathematical modeling and dynamic analysis of RNA
         editing process in Leishmania sp.


                                    Authors
         Andrés Florez1, Carlos Muskus1, Jairo Espinosa2, Luz Castellanos3,
                                 Diego A. Muñoz3
     1
         Programa de Estudio y Control de Enfermedades Tropicales, PECET.
                             Universidad de Antioquia.
                         2
                           Grupo de Automática, GAUNAL,
                        Universidad Nacional-sede Medellín.
                  3
                    Grupo de Investigación en Matemáticas, GMat.
                         Universidad Pontificia Bolivariana


Introduction

Leishmaniasis is a tropical disease that constitutes a public health problem for
its high morbidity and which can be fatal in the visceral form. In addition, there is
lack of safe drugs and of an effective vaccine [1]. The process of kRNA edition
in the kinetoplast (kRNA) consists of the posttranscriptional modification by the
insertion and/or deletion of uracils for generating functional transcripts [2]. On
the other hand, this process does not occur similarly in humans. This has raised
the interest of studying this process for finding new potential drugs that can
inhibit this process and therefore to remove the pathogen.

The description of such biological process can be expressed by the
arrangement of mechanisms and dynamics to process matter and energy with
the intention to get a product with the desired specifications [3]. In this sense, if
we have a process model describing the feasible mechanisms and dynamics, it
is possible to use such model to find operation conditions, which can be
obtained the desired product without violate the constraints that the process
itself imposes.

Based on the former premise, a mathematical model is constructed for the
processing of the RNA edition in a set of reactions that best describe it, in order
to set up the dynamical behavior of the process. Furthermore, the analysis of
sensitivity is carried out to predict potential or candidate drug targets, in order to
identify the most susceptible parameters to disturb the final product, the
messenger RNA. With this analysis, an enzyme responsible of a very sensitive
reaction was identified, which render it as an attractive drug target for future
experimental evaluation.

When the analysis of a biological process is studied, an available group of
different models arise, span from the simple symbolism (diagram of blocks) to
the mathematics sophisticated (dynamic model of the process supported in
phenomenological principles). Such evolution in the complexity of the used
representation is articulated with the complexity of the developed task and from
which the model is expected. In this way, the model is proposed with a structure
based on physical principles using specified parameters through experiments
taken of the kinetics of reaction.

Modeling and Analysis

From an extensive literature revision, a qualitative scheme of the reaction
involved was built taking into account that kinetic parameters experimentally
determined were available [4]. From this scheme, a mathematical model was
built based on ordinary differential equations, which kinetically represent, the
chemical reactions involved. The kinetic laws of the reactions were assigned
according to the literature, where 5 were assigned as irreversible Michaelis
Menten and the remaining by the law of action of masses. The sensitivity
analysis for molecular targets detection was made carrying out changes in the
parameter vectors and analyzing the perturbations of the model through the
sensivity coefficients. The sensitivity analysis and simulations were carried out
using the toolbox of Matlab “SimBiology” [5].

Results

The simulations carried out with the model show a correspondence with the
experimental data described in a qualitative way, since the parametric
information is incomplete and there are not data of experimental perturbations
of the model that allow its validation.

The sensitivity analysis shows that the joint reaction of the gRNA with the
mRNA is the most susceptible to the perturbation regarding the product, which
identified to the proteins MRP1/MRP2 as possible drug targets. These
predictions will be refined in future projects that allow the experimental
validation of the model.

References

[1] Herwaldt, B.L., Leishmaniasis. Lancet, 1999. 354(9185): p. 1191-9.
[2] Lukes, J., H. Hashimi, and A. Zikova, Unexplained complexity of the mitochondrial
genome and transcriptome in kinetoplastid flagellates. Curr Genet, 2005. 48(5): p. 277-
99.
[3] Alvarez, H. and Muñoz D.A. About models of chemical processes and their use in
control (In Spanish). Proceedings XII Latin-American Congress on Automatic Control,
Salvador Bahía-Brazil, 2006.
[4] Gao, G., et al., Functional complementation of Trypanosoma brucei RNA in vitro
editing with recombinant RNA ligase. Proc Natl Acad Sci U S A, 2005. 102(13): p.
4712-7.
[5] http://www.mathworks.com/products/simbiology/
Modelamiento matemático del potencial larvicida de algunas especies de la
                  familia Asteracea frente a larvas de Aedes aegypti
                           1                                    2                                   3
    Irene Duarte Gandica , Oscar Alexander Aguirre Obando , Jorge Alberto Jiménez Montoya , Juan Carlos
                                                             4
                                             Álvarez Londoño

Los mosquitos son vectores de agentes causales de enfermedades humanas con gran
importancia, como es el caso del dengue, cuyo vector es el mosquito Aedes aegypti. El control
del vector con insecticidas en principio produjo resultados, pero debido a la resistencia a los
pesticidas, la contaminación ambiental y los altos costos, se hace necesaria la búsqueda de
alternativas de solución con menos riesgos, como lo es el control biológico, particularmente el
uso de extractos vegetales.

Este trabajo evaluó el potencial larvicida de extractos vegetales de algunas especies de la
familia Asteraceae presentes en el Departamento del Quindío, Colombia, frente a larvas de
tercero y cuarto instar de A. aegypti .Se recolectaron 24 especies , obteniendo extractos
crudos etanólicos, analizados mediante marcha fitoquímica preliminar para la identificación de
metabolitos secundarios. Estos extractos se concentraron para preparar diluciones de 1000,
500, 100, 10, 1 y 0,1 ul/L, que finalmente fueron evaluadas según protocolo estandarizado por
la OMS. Las especies analizadas fitoquímicamente mostraron una presencia alta de alcaloides,
terpenos, entre otros metabolitos secundarios. De las 24 especies evaluadas sólo algunas
mostraron actividad biológica a 500 y 1000 ul/L, con mortalidades a las 48 horas del 100% de
la población. Además, se calcularon las dosis CL 50 y 95 en 24 y 48 horas para todas las
plantas analizadas.


Se escogieron las dos especies con más alta actividad biológica y en ellas se evaluó la
actividad biológica de alcaloides frente a larvas de A. aegypti. Para ello, se realizó un extracto
a partir de 500 gramos de peso. Se hizo una extracción líquido-líquido con solventes polares a
los alcaloides, estando en esta fase los alcaloides. Se realizó un análisis de confirmación del
contenido para proceder a la separación e identificación de fracciones de algunos de los
alcaloides presentes. Por medio de cromatografía de placa delgada (TLC),espectrofotometría
de infrarrojo (FT-IR ) y el uso de reactivos específicos se identificaron preliminarmente
fracciones de alcaloides, los que finalmente fueron evaluados en larvas de tercero-cuarto instar
de A. aegypti. Se determinó la susceptibilidad en las larvas, dando mortalidad de
aproximadamente 100% para la fase que contiene los alcaloides.

Posteriormente, se construyó un modelo matemático en ecuaciones diferenciales, que usó los
datos arrojados por estos trabajos experimentales, para describir el comportamiento de las
poblaciones.

1
  Escuela de Investigación en Biomatemática, Universidad del Quindío, Cra.15 Calle 12 Norte. Armenia, Colombia.
iduarte@uniquindio.edu.co

2
 Licenciatura en Biología y Educación Ambiental, Universidad del Quindío, Cra.15 Calle 12 Norte. Armenia, Colombia.
oscaraguirre@uniquindio.edu.co

3
Maestria en Ciencias Biomédicas. Universidad del Quindío, Cra.15 Calle 12 Norte. Armenia,
Colombia.jorjinmon@gmail.com

4
    Programa de Biología, Universidad del Quindío, Cra.15 Calle 12 Norte. Armenia, Colombia. ayoira21@gmail.com
Mathematical model for the larvicidal potential of some species of the family
                  Asteracea against larvae of Aedes aegypti
                     1                                2                               3
Irene Duarte Gandica , Oscar Alexander Aguirre Obando , Jorge Alberto Jiménez Montoya , Juan Carlos
                                                         4
                                         Álvarez Londoño


The mosquitos are vectors of causal agents of human diseases with great importance, as it is
the case of the dengue, which vector is the mosquito Aedes aegypti. The control of the vector
with insecticides at first produced results, but due to the resistance to the pesticides, the
environmental pollution and the high costs, there becomes necessary the search of alternatives
of solution by fewer risks, as it is the biological control, particularly the use of plant extracts.

This work evaluated the potential larvicidal of plant extracts of some species of the family
Asteraceae present in the Department of the Quindío, Colombia, against to larvas of third and
fourth state of A. aegypti, they gathered 24 species obtaining raw Ethanol extracts analyzed by
means of preliminary phytochemistry march for the identification of secondary methabolyts.
These extracts centered to prepare dilutions of 1000, 500, 100, 10, 1 and 0,1 ul/L, that finally
were evaluated according to protocol standardized by the WHO. The analyzed species
phytochemistry showed a high presence of alkaloids, among other secondary metabolits.The
24 species evaluated only some of them showed biological activity to 500 and 1000 ul/L, with
mortalities at 48 hours of 100 % of the population. In addition, the doses calculated LD 50 and
95 in 24 and 48 hours for all the analyzed plants.

We chose two species with the highest biological activity and are assessed the biological
activity of alkaloids against larvae of A. aegypti. To do this was performed extract from 500
grams in weight.

 It was a liquid-liquid extraction with polar solvents for alkaloids and was performed the analysis
of the contents confirmation, with the separation and identification of fractions of some of the
present alkaloids. Through thin plate chromatography (TLC), infrared spectrometry (FT-IR) and
the use of specific reagents were identified preliminarily fractions of alkaloids, which were finally
evaluated in third-fourth larval instar A. aegypti. Susceptibility was determined in larvae, with
mortality of approximately 100% for the phase that contains the alkaloids.

A differential equations model was constructed in, which it used the information thrown by these
experimental works, to describe the behavior of the populations.
Modelos Matemáticos de la epidemia de
  Influenza Humana A(H1N1) de origen
       porcino en el 2009 en México.
Alavez Justino1, Gómez Guillermo2, Hernández Luis2,
             López Jesús3, Vargas Cruz2
           1
               UJAT, 2FC-UNAM, 3IM(Cuernavaca)-UNAM
                          gomal@servidor.unam.mx


                               Resumen
Se reportará los resultados de dos tipos de modelación de la epidemia de
Influenza Humana A(H1N1) de origen porcino en el 2009 en México. El
primero se refiere a un modelo de tipo inglés en el que se estiman
parámetros y se estudia la estabilidad local y global de sus soluciones. El
segundo modelo está referido al modelo tipo soviético donde se logran
resultados a medio plazo prediciendo un total de 4 brotes epidémicos que
cualitativamente deberían aparecer durante su primer año de aparición.
Does density dependency in
predator-prey models with Allee e¤ect
     create periodic oscillations?
Jaime Mena-Lorca1 ;Eduardo González-Olivares1 , Jaime Mena-Lorca1 ;
                   Pilar Carrasco Espinoza1
                       1
                           Grupo de Ecología Matemática,
                             Instituto de Matemáticas,
                 Ponti…cia Universidad Católica de Valparaíso
          ejgonzal@ucv.cl; jmena@ucv.cl; pilar.carrasco.e@gmail.com



                                   Julio 2009

                                    Abstract
       El principal propósito de este trabajo es analizar la denso dependen-
   cia en modelos predador presa con efecto Allee en cuanto ella produce o
   no soluciones periódicas, para eso se hará un estudio comparativo entre
   modelos con denso dependencia y modelos sin denso dependencia, ambos
   con la población presa con efecto Allee. Ocuparemos modelos tipo Gause
   y Modelos tipo Leslie similares (con respuesta funcional y Allee) a los
   que se ha probado la existencia de soluciones periódicas, pero sin denso
   dependencia. Las respuestas funcionales y la forma de modelar el efecto
   Allee que se ocupan en los nuevos modelos estudiados son las que más son
   utilizadas en los trabajos del área.

                                    Abstract
       The central aim of this work is to analyze whether density dependency
   in predator prey models with Allee e¤ect creates or not periodic solutions.
   To achieve this we will do a comparison among models with and without
   density dependency, in both cases prey population with allee e¤ect. We
   will use Gause and Leslie type models (with functional response and Allee)
   similar those where the existence of periodic solutions has been proved
   (except for the density dependency). The functional response and the
   manner used to model the Allee e¤ect used in the new models studied are
   the most commonly used in this area.

 Palabras claves: Efecto Allee, depredador-presa, ciclos límites.




                                        1
1    Introducción
En la literatura de relativa a predador-presa podemos encontrar una gran var-
iedad de modelos, pero los más utilizados son los llamados modelos tipo Gause
y los modelos tipo Leslie, cuya diferencia fundamental está en la forma que es
modelado en la ecuación de depredador el "input" que este logra como fruto
de la depredación sobre la presa. Una buen resumen del estado del arte en
el caso modelos tipo Gause lo encontramos en [6], varios de estos modelos
han sido estudiado por González-Olivares con el grupo de ecología matemática
([1],[2],[5],[3],[20],[4]), quienes se han dedicado últimamente al estudio de este
tipo de modelos introduciendo el efecto Allee en la presas. Por otra parte una
muy buena referencia para modelos con efecto Allee lo tenemos en Courchamp
[11], que corresponde a la visión que tiene el otro grupo que ha estudiado el efecto
Allee desde una perspectiva más cercana a la ecología debido principalmente a
la línea que desarrolla con su grupo y Berec [10], la misma visión la tenemos en
los trabajos de Stephens ([9],[8]). Otros que han abordado esta problemática,
pero en una mirada más matemática, son Zhou and Wang ([18],[16],[17]). Sin
duda hay otros trabajos que han cooperado en el entendimiento de este tipo
de modelos tanto en sus consecuencias ecológicas como matemática, ellos han
usado distintas formas de modelar estos procesos y la mayoría de ellos están
citados por Berec o González-Olivares.
    En los modelos bidimensionales plasmados en ecuaciones diferenciales ordi-
narias, es claro que el hecho de poner denso dependencia en la ecuación de las
presas hace que se cree en el espacio de fase una región acotada por la capacidad
de carga de presas que soporta el hábitat, que junto con la variedad inestable
producida por el efecto Allee podría de…nir una región acotada compacta, que
junto a otros elementos del modelos puede ayudar a generar soluciones per-
iódicas. En este trabajo se estudian modelos sin denso dependencia, la región
compacta invariante no se creará y por lo tanto la posibilidad de ciclos límites
no es factible como antes y de existir estos deberían provenir de otras causas.
    Este estudio de carácter teórico se hace en base al análisis comparativos de
modelos con denso dependencia y que tienen ciclos, creemos que el hecho que la
población de las presas puedan crecer sólo hasta cierto valor se conjugada con
la respuesta funcional respectiva para obtener ciclos límites, es así que estudi-
amos dos clases de modelos en donde el crecimiento de la población, después
de superar el umbral Allee, es "tipo" exponencial, así tenemos los siguientes
modelos:
    TIPO GAUSE
                              8
                              > dx
                              <       = r (x m) x x (x) y
                         G :      dt                                     (Gause 1)
                              >   dy
                              :       = px (x) y     y
                                  dt
                                8
                                > dx
                                <              rnx
                                       = rx x+b x (x) y
                           G :     dt                                    (Gause 2)
                                > dy = px (x) y
                                :                     y
                                   dt

                                         2
TIPO LESLIE
                          8
                          > dx
                          <      = r (x m) x x (x) y
                     L :     dt                                        (Leslie 1)
                          >  dy
                          :      = s 1 nx+q yy
                             dt
                          8
                          > dx
                          <               rnx
                                  = rx x+b x (x) y
                      L :     dt                                       (Leslie 2)
                          > dy = s 1
                          :                    y
                              dt            nx+q y

    Donde x = x (t) e y = y (t) son el tamaño de la población de presas y
depredadores respectivamente para t > 0, los parámetros r; m; s; n; b; p; ; q
tienen diferentes signi…cados ecológicos.
    La función h (x) = x (x) es la respuesta funcional y satisface las siguientes
condiciones [12]:
                 0                  0
      (x)   0;       (x)   0; (x (x))   0 y x (x) es acotada cuando x ! 1 .

    Se estudian analíticamente los modelos con las funciones genéricas dadas
más arribas, el estudio comparativo se hace con respuestas funcionales concretas
correspondiente a los modelos ya estudiados por González-Olivares et al.
    Se concluye que realmente estos modelos no tiene soluciones periódicas, a
diferencia de los modelos con efecto Allee estudiados anteriormente, esto quiere
decir que para modelar situaciones en que se presente ‡  uctuaciones periódicas
se debe incluir otros elementos en el modelo que de cuenta de ellos, por ejemplo
el crecimiento no puede ser de "tipo" como los planteados en los modelos de
arriba.


2    Referencias
References
 [1] P. Aguirre, E. González-Olivares and E. Sáez, Three limit cycles in a Leslie-
     Gower predator-prey model with additive Allee e¤ect, SIAM Journal on
     Applied Mathematics 69 (5) (2009), 1244-1269.
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     Consequences of Depensation in a Smith´s Bioeconomic Model for Open-
     Access Fishery, In (R. Mondaini and R. Dilao Eds.) Proceedings of Interna-
     tional Symposium on Mathematical and Computational Biology, E-papers
     Serviços Editorial Ltda. (2007), 219-232.
 [3] E. González-Olivares, J. Mena-Lorca, H. Meneses-Alcay, B. González-
     Yañez, J. D. Flores, Allee e¤ect, emigration and immigration in a class
     of predator-prey models, Biophysical Reviews and Letters (BRL), 3 (1/2)
     (2008) 195 –215.


                                          3
[4] A. Rojas-Palma, B. González-Yañez , E. Gonzalez-Olivares. Metastability
     in a Gause type predator-prey models with sigmoid functional response and
     Multiplicative Allee e¤ect on prey (2006).
 [5] B. González-Yañez and E. González-Olivares, Consequences of Allee ef-
     fect on a Gause type predator-prey model with nonmonotonic functional
     response, In R. Mondaini (Ed.) Proceedings of the Third Brazilian Sym-
     posium on Mathematical and Computational Biology, E-Papers Serviços
     Editoriais Ltda, Río de Janeiro Vol. 2 (2004) 358-373.
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     els:Existence of multiple attractors, limit cycles and separatrix curves. A
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     thesis Princeton university Press, 2001.
 [8] Stephens P. A., W. J. Sutherland, Consequences of the Allee e¤ect for
     behaviour, ecology an conservation, Trends in Ecology and Evolution, Vol.
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                                     5
Una situación paradójica en que hay variables predictoras perfectas
      de la presencia de una enfermedad pero el modelo falla
         Elia Barrera Rodriguez, he-lya@hotmail.com; Flaviano Godínez Jaimes,
       fgodinezj@gmail.com; Francisco Julian Ariza Hernandez, fjah@colpos.mx;
                      Ramón Reyes Carreto, rcarreto1@yahoo.com,
         Unidad Académica de Matemáticas, Universidad Autónoma de Guerrero

                                         Resumen

En epidemiologia es común que la presencia o ausencia de una enfermedad se trate de
predecir a partir de una variable explicatoria o una combinación lineal de variables
explicatorias. Si para valores de una variable explicatoria menores que una constante los
individuos están sanos y para valores mayores que la constante están enfermos entonces la
variable explicatoria predice perfectamente la presencia de la enfermedad. El modelo
apropiado para modelar respuestas binarias es el de regresión logística. En presencia de una
variable explicatoria perfecta el estimador de máxima verosimilitud del modelo de
regresión logística produce resultados incorrectos. La colinealidad en las variables
explicatorias es otro problema que puede presentarse en regresión logística binaria y cuyos
efectos también pueden llevar a resultados erróneas. Ambos problemas causan que los
estimadores sean sesgados y se presentan con más frecuencia cuando se utiliza el modelo
de regresión logística en el análisis de microarreglos. En este trabajo se hace una revisión
de los estimadores existentes en presencia de ambos problemas mediante simulación se
comparan en función del sesgo y error cuadrático medio.
Influˆncia dos fatores intr´
       e                     ınsecos e extr´
                                           ınsecos na dinˆmica da C´lera
                                                         a         o

  Rosˆngela Peregrina Sanchesa , Claudia Pio Ferreira1b e Roberto Andre Kraenkelc
     a
        a Programa de P´s Gradua¸˜o em Biometria, IBB, UNESP, Brasil
                          o          ca
                  b Depto de Bioestat´  ıstica, IBB, UNESP, Brasil
                c Instituto de F´ısica Te´rica - IFT, UNESP, Brasil
                                          o



    A c´lera ´ uma infec¸˜o intestinal aguda caracterizada por diarr´ia severa, cuja
        o      e                ca                                            e
                                                                  ´  ´
distribui¸˜o espacial abrange o sub-continente indiano, Asia, Africa e Am´rica Latina.
          ca                                                                      e
O agente etiol´gico ´ o Vibrio cholerae, o qual coloniza o intestino delgado e produz
                 o       e
uma enterotoxina respons´vel pela doen¸a. Sem tratamento imediato um indiv´
                                 a             c                                          ıduo
infectado podem morrer de desidrata¸˜o em quest˜o de horas. O tratamento reduz o
                                           ca              a
n´ mero de mortes para 1% dos casos diagn´sticados. No entanto, 50% dos indiv´
  u                                               o                                      ıduos
infectados s˜o assintom´ticos e constituem uma importante fonte de infec¸˜o.
             a               a                                                    ca
    A transmiss˜o pode ocorrer de duas formas, pelo contato direto com o vibri˜o via
                  a                                                                     a
fezes contaminadas ou atrav´s do contato indireto com ´gua e/ou comida contaminada.
                                   e                            a
Nas regi˜es onde a c´lera ´ endˆmica, sua dinˆmica exibe um ou dois picos anuais com
         o              o        e   e              a
pronunciada variabilidade inter-anual. A     ` semelhan¸a de outras doen¸as endˆmicas, os
                                                           c                c       e
surtos de c´lera est˜o associados a sazonalidade, a deteriora¸˜o do meio ambiente, a
             o          a                                            ca
virulˆncia da bact´ria e a imunidade do indiv´
     e               e                                ıduo. Portanto, a intera¸˜o entre esses
                                                                               ca
fatores determina a dinˆmica da c´lera em uma regi˜o espec´
                             a           o                   a      ıfica.
    Uma tarefa dif´ na preven¸˜o desta doen¸a reside na concep¸˜o de alternativas
                      ıcil             ca              c                   ca
de baixo custo que s˜o eficazes e sustent´veis. O controle cl´ssico engloba melho-
                           a                     a                      a
rias no sistema de saneamento, tratamento da ´gua e campanhas de divulga¸˜o sobre
                                                       a                             ca
a transmiss˜o da doen¸a, as quais ressaltam a importˆncia da higiene pessoal e ali-
             a               c                                   a
mentar no controle da c´lera. V. cholerae resistentes ao tratamento por antibi´ticos
                               o                                                        o
foram identificadas pela primeira vez no M´xico em 1991 e rapidamente se espalharam
                                                 e
pela Am´rica Central. Desde ent˜o, resistˆncia bacterial se tornou um problema na
          e                              a        e
preven¸˜o e controle da c´lera. Vacina¸˜o constitue uma op¸˜o real para o controle
       ca                        o            ca                      ca
da c´lera, entretando uma vacina efetiva e de baixo custo ainda n˜o foi desenvolvida.
     o                                                                    a
Efeitos colaterias, baixa eficiˆncia, alto custo, existˆncia de bact´rias resistentes e baixa
                                   e                      e            e
imunidade tornam as campanhas de vacina¸˜o impratic´veis. Por ultimo, a tendˆncia
                                                  ca              a       ´              e
global do aumento de viagens para regi˜es endˆmicas para a c´lera consititue um risco
                                             o       e               o
para a dissemina¸˜o desta doen¸a para outras regi˜es.
                    ca                c                    o
    Um desafio impotante na epidemiologia da c´lera ´ explicar como os surtos podem
                                                        o      e
ser t˜o explosivos e, ao mesmo tempo, limitados ao ponto de epidemias ocorrerem
     a
duas vezes ao ano. Alguns trabalhos associam este fato a estados hiper-infecciosos da
  1
      pio@ibb.unesp.br


                                              1
bact´ria, outros as infec¸˜es assintom´ticas e outros a fatores clim´ticos. A possibili-
     e                   co            a                            a
dade de que o V. cholerae possa sobreviver em ambientes aqu´ticos por meses ou anos,
                                                              a
em um estado vi´vel mas n˜o cultiv´vel, sugere ainda que o ambiente aqu´tico pode
                 a           a       a                                       a
agir como um reservat´rio deste pat´geno em regi˜es endˆmicas.
                       o             o             o      e
    Neste trabalho ´ proposto um modelo de equa¸˜es diferenciais ordin´rias para a
                    e                                co                    a
dinˆmica de c´lera, com o objetivo de explorar e caracterizar o car´ter sazonal da
   a           o                                                        a
doen¸a e discutir poss´
     c                 ıveis mecanismos de controle.




                                           2
Titulo: Análisis y Control de Bifurcaciones Estacionarias. 
                                           M.C. David Baca Carrasco. 
                                        Departamento de Matemáticas 
                                             Universidad de Sonora 
                                         davidbc@hades.mat.uson.mx 
                                          davidbaca_12@hotmail.com 
 

Resumen. 

En los sistemas biológicos se presentan con mucha frecuencia diversos tipos de bifurcaciones, las cuales 
tienen  una  interpretación  de  acuerdo  al  modelo  que  las  presenta.  Por  otro  lado,  el  control  de 
bifurcaciones  se  refiere  a  la  tarea  de  designar  un  control  que  pueda  modificar  las  propiedades  de  la 
bifurcación de un sistema dado, así como alcanzar algún comportamiento deseable en la dinámica. 

Los  objetivos  típicos  del  control  de  bifurcaciones  incluye  el  retraso  del  inicio  de  una  bifurcación 
inherente introduciendo una nueva bifurcación en un valor de parámetro deseado; cambiando el valor 
del parámetro en un punto de bifurcación existente; modificando la forma o el tipo de una bifurcación 
en  cadena;  estabilizando  una  solución  bifurcada  o  rama;  monitoreando  la  multiplicidad;  amplitud  y/o 
frecuencia  de  algunos  ciclos  límite  que  emergen  de  bifurcaciones;  optimizando  el  funcionamiento  del 
sistema cerca de un punto de bifurcación, o una combinación de alguno de estos objetivos.  

En  el  trabajo  que  a  continuación  se  presenta,  se  hace  un  estudio  sobre  el  análisis  y  el  control  de  las 
bifurcaciones  estacionarias:  silla‐nodo,  transcrítica  y  trinche.  Así  mismo,  se  presentan  algunas 
aplicaciones a modelos biológicos.   
Simulation of Calcium Oscillations and the Electrical Activity of
  the Pancreatic β Cells During an Oral Glucose Tolerance Test
                ´
        Roberto Avila-Pozos 1 , J. Azpiroz Leehan 2 , H. Trujillo 2 and J.R. God´ 2,∗
                                                                                ınez
          ´
       1. Area Acad´mica de Matem´ticas y F´
                   e                  a                                          ´
                                                 ısica, UAEH, Pachuca, Hgo., MEXICO
    2. Departamento de Ingenier´ El´ctrica, UAM-Iztapalapa, M´xico, D.F., MEXICO
                                   ıa e                               e            ´
                                 ∗
                                   e-mail: ravila@uaeh.edu.mx

Introduction
The Type 2 Diabetes Mellitus constitutes a serious problem of public health. For a precise
diagnosis of the diabetes, a denominated Oral Glucose Tolerance test is made. Diabetes
Mellitus is diagnosed when the levels of the glucose concentration in the blood exceed a
certain limit after ingesting a standard glucose load. This excess in the glucose concentration
in the blood is caused fundamentally by an insufficient liberation of the insulin, released by
the pancreatic β-cells. Electrophysiological studies of the β-cells have shown the mechanisms
by which the insulin is secreted to the circulatory torrent. The β-cells store the insulin in
packages, and when the glucose concentration in blood arises, the insulin is released by
exocytosis. So that the exocytosis process goes off is required as well of a pulsating elevation
of the concentration of the intracellular Ca++ ([Ca++ ]). The source of Ca++ comes from
                                                         i
the extracellular medium, and enter to the β-cell via voltage dependent Ca++ channels
[1, 6]. The pulsating elevation of the [Ca++ ] in the β-cell is product of the burst of electrical
                                            i
activity, that consists of action potentials over a depolarized plateau [2, 6]. The action
potentials are generated by currents of Ca++ that increase the [Ca++ ] [1, 7]. When the
                                                                          i
glucose concentration is in its basal level, the β-cells shown a resting potential without
electrical activity. The resting potential is mediated by K+ channels, such as the KAT P
channels. KAT P channels are open in absence of ATPi and they close on depending by the
concentration of intracellular ATPi ([ATPi]) [9]. When [glucose] in blood is increased, and
introduces into the β-cells causing an increase in the basal level of ATPi [1], which diminishes
the fraction of opened KAT P channels, depolarized the cell [9]. This depolarization reaches
a level threshold that generates burst of action potentials with the consequent pulsating
elevation of Ca++ and insulin liberation [7]. Electrophysiological techniques have contributed
                i
to a detailed description of the voltage dependence and the kinetic of the ionic channels in
the β-cells, which has allowed to formulate equations that describe their behavior. Also,
has been reported functions that describe the behavior of KAT P channels with respect to
[ATPi ] [7]. Furthermore, experimental graphs offer information about the temporary course
of the increase on ATPi before an extracellular glucose load. In this work, we described the
simulation of the electrical activity of the β-cells induced during an oral glucose tolerance test
in normal subjects. The model describes the glucose level in blood, the increase of associated
ATPi , the burst of action potentials and the pulsating elevation of Ca++ indispensable for
                                                                            i
the liberation of insulin. The model reproduces experimental data at systemic and cellular
level. The model predicts a basal level of optimal ATPi for a suitable electrical answer before
an extracellular glucose load. This could indicate that the alteration in the basal level of
ATPi can be one of the mechanisms that generate Type 2 Diabetes Mellitus.
Methods
Simulations were developed in MatLab v.7 (The MathWorks, Inc.). For the quantitative
description of [glucose] in blood during the oral glucose tolerance test, we used the model
developed by Trujillo [8]. Mathematical model for the description of the electrical activity
of the β-cells was taken from Godinez [6], that is a modified version of Chay [4, 3, 5] which
describes the electrical properties of the β-cells and also considere the changes in [Ca++ ]. To
                                                                                        i
this model, we incorporate the change in the membrane resistance generated by the action of
the glucose, for which the mathematical description reported by Fridlyand [7] was used. The
model completed when incorporating the increase of the ATPi according to the extracellular
glucose levels, for which the data published by Ainscow [1] were used. To the experimental
graph of the temporary course of the change in the basal level of ATPi that reports these
authors, we fit an exponential function with time constant of 100 seconds.

Results
We simulate the electrical activity of a β-cells in absence of extracellular glucose (not shown);
the membrane potential VM is greater than -50 mV and the concentration of Ca++ was 150i
nM.
Fig 1A, shows the results obtained at the beginning of the OGTT after a glucose load. At
t=0 with normal glycemia, the β-cells are silent but show a reduction in the resting potential
and increases the basal level of Ca++ .
                                   i

At t=60 min, when the maximum glucose is reached (Fig 1B), burst activity causes a depo-
larization. Associated to this type of electrical activity, an increase in the Ca++ is induced.
                                                                                 i
The level average of the Ca++ was increased and it was accompanied by oscillations at the
                            i
end of each burst of action potentials.

Discussion
Several models have seen used to describe the electrical activity of pancreatic β-cells. Each
one of them makes emphasis in some topic related to some recent experimental finding. Nev-
ertheless, there is not a model of the electrical activity and the changes in [Ca++ ] in terms of
                                                                                  i
the values of [glucose] in blood. The electrophysiological studies at cellular level report a de-
polarization and increase in the electrical activity of the β-cells when increasing extracellular
glucose. Our model reproduces these results. Due the importance of the oscillation of Ca++    i
in the pulsating insulin liberation, diverse mechanisms have seen proposed to explain the
transitory of Ca++ . Our results indicate that the increase average of the ATPi induced by
                  i
hiperglycemia, is the factor generates burst of action potentials and the oscillating increase
of the Ca++ is product of the activation and inactivation of ionic channels. In addition, basal
          i
[ATPi ] is critical for a suitable induction of the insulin release in response to an increase of
glucose.
Figure 1: A. Reduction of resting potencial (top), increase of Ca++ (bottom) due an increase in
                                                                 i
blood glucose (5 mM) in oral glucose tolerance test at t=0 min. B. Burst of action potential (top),
oscillations in Ca++ (bottom) at maximum glycemia (15 mM), 60 min after a glucose load.
                  i



References
[1] D. E. K. Ainscow and G. A. Rutte. Glucose-stimulated oscillations in free cytosolic ATP
    concentration imaged in single islet β-cells. Diabetes, 51(1), (2002).

[2] R. M. Barbosa, A. M. Silva, A. R. Tom´, J. A. Stamford, R. M. Santos, and L. M.
                                              e
    Rosario. Control of pulsatile 5-HT/insulin secretion from single mouse pancreatic islets
    by intracellular calcium dynamics. J Physiol., 510:135–143, (1998).

[3] T. Chay. Minimal model for membrane oscillation in the pancreatic β-cell. Biophys J,
    42:181–190, (1983).

[4] T. Chay. On the effect of the intracelular calcium-sensitive K+ channel in the bursting
    pancreatic β-cell. Biophys J, 50:765–777, (1986).

[5] T. Chay and J. Kaizer. Theory of the effect of extracellular potassium on oscillations in
    the pancreatic β-cell. Biophys J, 48:815–827, (1985).
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    pancreas. Rev Mex de Ing Biomed, XIV(1):21–29, (1993).

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    285:E138–E154, (2003).

[8] H. Trujillo and R. R.Roman. Does a single time function adequately describe blood
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[9] P. O. Westermark and A. Lansner. A model of phosphofructokinase and glycolytic oscil-
    lations in the pancreatic β-cell. Biophys J, 85:126–139, (2003).
Manejo óptimo de un recurso pesquero
       considerando un área marina protegida
        Jaime Huincahue-Arcos y Eduardo González-Olivares
       Grupo de Ecología, Instituto de Matemáticas, Facultad de Ciencias
                  Ponti…cia Universidad Católica de Valparaíso
               email: jhuincahuearcos@gmail.com; ejgonzal@ucv.cl
                                http://ima.ucv.cl

                                    Julio 2009



1    INTRODUCCIÓN
En este trabajo analizamos el comportamiento de modelos determinista tiempo
continuo considerando la optimización del manejo de un recurso pesquero [3, 4].
Se asume que la población está dividida en dos áreas separadas espacialmente:
una parte de la población se desarrolla en una zona marina protegida (MPA)
[2, 6, 11] y otra está en una zona donde se efectúa la pesca o explotación del
recurso en acceso abierto [5].
    Si se establece prohibición de explotación en el área protegida se transforma
en una reserva marina [12, 14, 17], la puede asumirse como un refugio de la
especie explotada [9, 16]. Si la población se reproduce sólo en la reserva marina
se tiene un modelo fuente-sumidero, en el cual el área marina protegida se puede
considerar como la fuente y el área de explotación como un sumidero [1, 13].
    En este trabajo consideraremos que existe un ‡ de población sólo desde la
                                                    ujo
zona protegida hacia la zona de libre explotación, pero también podría consider-
arse un ‡ en ambos sentidos, dejando de ser así un modelo fuente-sumidero.
           ujo
    Uno de los objetivos del trabajo será la determinación de la política de
captura optimal de la industria pesquera considerando que se debe maximizar
el valor presente de las ganancias netas de la industria.
    Se efectuarán comparaciones de los resultados obtenidos en modelos sin reser-
vas marinas o con los resultados obtenidos para modelos diferentes [1, 2, 6].


2    EL MODELO
El modelo a analizar es descrito por el sistema bidimensional de ecuaciones
diferenciales no lineales autónomo




                                        1
(
                      dx1               x1            m x1
                       dt   = r1 1      K     x1      x1 + a x1    q1 x1 E1
            X :       dx2                x2            m x1                       (1)
                       dt   = r2 1       L     x2 +    x1 + a x1    q2 x2 E2

    donde x1 = x1 (t) y x2 = x2 (t) son los tamaños poblacionales de las pobla-
                                                                        m x
ciones fuente y sumidero, respectivamente, la función m (x1 ) = x1 +1 a es la
función de migración, h (xi ) = qi xi Ei con i = 1; 2, indica la función de captura
o extracción y el crecimiento de la población explotada es del tipo logístico,
dejando de ser un sistema del tipo Kolmogorov [7, 8].
    Los parámetros son todos positivos, o sea, = (r1 ; K; m; a; q1 ; s; L; r2 ; q2 ) 2
R9 y tienen diferentes signi…cados ecológicos.
  +
    Si se considera q1 = 0, el sistema representa un modelo de reserva marina
en la cual no es permitida la pesca, mientras que si 0 < q1 E1 < q2 E2 , el sistema
representa un modelo de extracción en áreas marinas protegidas, es decir, en
la primera podría ser destinada a pesquería artesanal o de orilla, y la segunda
representar una pesquería de alta mar, representando una pesquería no selectiva
del recurso.

2.1    EL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN
Para establecer la determinación de la política de captura optimal de la industria
pesquera se buscará maximizar el valor presente de la industria descrito por el
funcional de costo o índice de desempeño [10, 15]
                            Z 1
                        J=       e t (x1 ; x2 ; E1 ; E2 ) dt                   (2)
                               0
   donde
              (x1 ; x2 ; E1 ; E2 ) = p1 q1 x1 E1 c1 E1 + p2 q2 x2 E2 c2 E2 ,
   es la ganancia neta de la industria.
   Usando el Principio del Máximo de Pontryagin [3] se deberá obtener el
Hamiltoniano con el objeto de determinar la política optimal. Posteriormente
se mostrarán algunas simulaciones para evidenciar los resultados obtenidos.


References
 [1] C. W. Armstrong and A. Skonhoft, Marine reserves: A bio-economic model
     with asymmetric density-dependent migration. Ecological Economics 57
     (2005) 466-476.
 [2] P. Cartigny, W. Gómez and H. Salgado, The spatial distribution of small-
     and large-scale …sheries in a marine protected area, Ecological Modelling
     212 (2008) 513– 521.
 [3] C. W. Clark, Mathematical Bioeconomics: the Optimal Management of
     Renewable Resources, 2nd ed. Wiley, 1990.


                                          2
[4] C. W. Clark, The worldwide crisis in …sheries: Economic models and hu-
     man behavior, Cambridge University Press (2006).
 [5] F. Córdova-Lepe, E. González-Olivares and M. Pinto, Source-sink impul-
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 [6] B. Dubey, P. Chandra, P. Sinha. A model for …shery resource with reserve
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     Marcel Dekker 1980.

 [8] B-S Goh. Management and Analysis of Biological Populations. Elsevier Sci-
     enti…c Publishing Company, 1980.
 [9] E. González-Olivares and R. Ramos-Jiliberto, Dynamic consequences of
     prey refuges in a simple model system: more prey, fewer predators and
     enhanced stability, Ecological Modelling 106 135-146, 2003.
[10] T. K. Kar and H. Matsuda, A bioeconomic model of a single-species …shery
     with a marine reserve, Journal of Environmental Management 86 (2008)
     171-180.
[11] M. G., Neubert, Marine reserves and optimal harvesting, Ecology Letters
     6 (2003) 843–849.
[12] J. C. V. Pezzey, C. M. Roberts, B. T. Urdal, A simple bioeconomic model
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[13] H. R. Pulliam, Sources, sinks, and population regulation. The American
     Naturalist 132 (1988) 652-661.
[14] J. Sanchirico and J. Wilen, A bioeconomic model of marine reserve creation.
     Journal of Environmental Economics and Management 42 (2001) 257–       276.
[15] P. D. N. Srinivasu, Bioeconomics of a renewable resource in presence of a
     predator, Nonlinear Analysis: Real World Applications 2 (2001) 497– 506.

[16] P. D. N. Srinivasu and I. L. Gayitri, In‡uence of prey reserve capacity on
     predator-prey dynamics.Ecological Modelling 181 (2005) 191-202.
[17] C. White, B. E. Kendall, S. Gaines, D. A. Siegel and C. Costello, Marine
     reserve e¤ects on …shery pro…t, Ecology Letters 11 (2008) 370–379




                                       3
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VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

  • 1.     i VÉÇzÜxáÉ _tà|ÇÉtÅxÜ|vtÇÉ wx U|ÉÄÉz•t `tàxÅöà|vt XV CLAB‐X ELAEM  fÉv|xwtw _tà|ÇÉtÅxÜ|vtÇt wx U|ÉÄÉz•t `tàxÅöà|vt Del 16 al 20 de noviembre del 2009      Unidad Académica de Matemáticas Nodo Acapulco      Acapulco, México
  • 2. Comité Organizador:  José Geiser Villavicencio Pulido (Coordinador)  Juan Carlos Hernández Gómez  Crisólogo Dolores Flores  Efrén Marmolejo Vega  Claudia Nila Luévano  Ignacio Miranda Vargas      Comité Científico    Ignacio Barradas Bribiesca (UG., México)  Rodney Bassanezi (Universidad. Estadual de Campinas, Brasil)  Jorge González Guzmán (Universidad. Católica de Valparaíso, Chile)  Josefina Hernández (Universidad Central de Venezuela, Venezuela)   Jaime Mena Lorca (Universidad. Católica de Valparaíso, Chile)   Joao Frederico Meyer (Universidad Estadual de Campinas, Brasil)  Faustino Sánchez Garduño (UNAM, México)  Jorge X. Velasco Hernández (Instituto Mexicano del Petróleo, México)  Graciela Canziani (Exactas, UNCPBA)  José Geiser Villavicencio Pulido (Universidad Autónoma de Guerrero, México)   Juan Carlos Hernández Gómez (Universidad Autónoma de Guerrero, México)  Daniel Olmos Liceaga (Universidad de Sonora, México)    Brenda Tapia de los Santos (Universidad Veracruzana, México)   Fernando Momo (Universidad  Nacional de General Sarmiento, Argentina)      Comité de Apoyo    Vicente Castro Salgado  José Guadalupe de la Torre Suárez      Conferencistas convidados: Dr. Jorge X. Velasco-Hernández - Inst. Mexicano del Petróleo, México Dr. Fernando Momo – UNGS, Argentina Dr. Rodney C. Bassanezi – UFABC, Brasil Dr. Ignacio Barradas Bribiesca –UG, México Dr. Faustino Sánchez Garduño – UNAM, México Dr. Michel de Lara – CERMICS, Francia Dr. Jorge González Guzmán –UPCV, Chile        
  • 4. Actividades    Conferencias Magistrales  Conferencias  Sesión de Posters  Asamblea    Reseña Histórica  El VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática surge a partir un compromiso  asumido por investigadores latinoamericanos para desarrollar y fortalecer el trabajo  interdisciplinario de modelación matemática en las biociencias, promoviendo el intercambio  de conocimientos a través de las fronteras, uniendo esfuerzos en proyectos conjuntos y  participando en la formación de recursos humanos a escala regional.   La propuesta tuvo sus inicios en las actividades desarrolladas por la Asociación Latino  Americana de Biomatemática (ALAB) por un lado y la Red Latino Americana de Ecología  Matemática por el otro. Luego de varios años de desarrollar actividades paralelas, una con los  Congresos Latino Americanos de Biomatemática (CLAB) y la otra con los Encuentros Latino  Americanos sobre Ecología Matemática (ELAEM), y a propuesta de los colegas brasileños, se  planteó la posibilidad de unir a los respectivos miembros en una única entidad. En 2001 se  llevó a cabo en Campinas, Brasil, el primero de estos Congresos (X CLAB y V ELAEM). En 2002,  el Congreso tuvo lugar en Guanajuato, México, en 2003 en Armenia, Colombia, en 2005 en  Tandil, Argentina y en 2007 en Campinas, Brasil.    Durante el Congreso 2002 en Guanajuato, se sentaron las bases de la nueva Sociedad  Latinoamericana de Biología Matemática (SOLABIMA) según las cuales la Comisión Directiva  será integrada por colegas de un único país. Durante la Asamblea Anual, se eligen el país y los  integrantes de la Comisión Directiva que actuará durante el año subsiguiente y que a ella le es  encomendada la organización del Congreso. En la Asamblea realizada durante el Congreso  2007 se eligió a Acapulco, México, como sede del Congreso 2009, siendo integrantes de la  Comisión Directiva  Presidente: Dr. José Geiser Villavicencio Pulido  (Unidad Académica de Matemáticas, UAG)   Vice‐presidente: Dr. Jorge X. Velasco Hernández  (Instituto Méxicano del Petróleo)   Secretaria: M. en C. Claudia Nila Luévano   (Unidad Académica de Matemáticas, UAG)   Tesorero: M. en C. Ignacio Miranda Vargas   (Unidad Académica de Matemáticas, UAG)     
  • 5. Anclado de Ondas en Espiral en el regimen divagador en obstáculos para las ecuaciones de Fitzhugh-Nagumo y Beeler Reuter. Dr. Daniel Olmos Liceaga Departamento de Matemáticas Universidad de Sonora La interacción de ondas en espiral y obstáculos en tejido cardiaco es un problema de suma importancia en la transición de diferentes tipos de arritmias cardiacas. Cuando una espiral en régimen divagador se ancla a un obstáculo se obtiene una arritmia más localizada y controlable. En esta plática, se presentan cuatro propiedades necesarias para que una onda en espiral se ancle al obstáculo. Dichas propiedades se basan en conceptos de excitabilidad del medio, el tamaño y la geometría del obstáculo; y que por tanto no dependen del modelo iónico considerado. En esta plática se consideran dos modelos, como lo son una versión modificada de la ecuación de Fitzhugh-Nagumo (FHN) y la ecuación de Beeler-Reuter.
  • 6. Analisis cualitativo de modelos de depredación considerando efecto Allee en una de las poblaciones Ana Romina Vicencio-Cumillaf, Eduardo González Olivares Grupo de Ecología Matemática, Instituto de Matemáticas, Facultad de Ciencias Ponti…cia Universidad Católica de Valparaíso email: ana.vicencio.c@mail.ucv.cl, ejgonzal@ucv.cl julio de 2009 1 INTRODUCCIÓN En este trabajo se hace un estudio de dos modelos depredador-presa tiempo continuo propuestos en [8], considerando que el crecimiento de las presas es de tipo malthusiano y alguna de las poblaciones está afectada por el efecto Allee [1, 5]. Existen muchas formas matemáticas para expresar este importante fenómemo ecológico [4] pero en este trabajo emplearemos la función dx x dt = r x+n x (01) x donde x = x (t) indica el tamaño poblacional; el factor a (x) = x+n , modela el efecto Allee, fenómeno que puede ser producido por diferentes causas [1, 2] Uno de los objetivos del trabajo será determinar la naturaleza de los puntos de equilibrio, de acuerdo a los diferentes parámetros del modelo. 2 LOS MODELOS Los modelos a estudiar son modi…caciones del conocido modelo de Lotka-Volterra, y el primer de ellos es del tipo Gause [3] o de transferencia de masa, descrito por el siguiente sistema bidimensional de ecuaciones diferenciales no lineales autónomo del tipo Kolmogorov [3]. dx x dt = r x+n x qxy X : dy (1) dt = (px c ) y 1
  • 7. donde x = x (t) e y = y (t) son los tamaños poblacionales de las poblaciones presa y depredador, respectivamente; la función h (x) = qx es la respuesta funcional o tasa de consumo de los depredadores del tipo Holling I o lineal [6, 7]. Los parámetros son todos positivos, o sea, = (r; n; q; p; c) 2 R5 y tienen + diferentes signi…cados ecológicos. El segundo modelo es ( dx dt = r x qxy Y : dy y (2) dt = px y+b c y donde = (r; q; p; b; c) 2 R5 , esto es, los parámetros son todos positivos y + tienen diferentes similares signi…cados ecológicos a los del modelo (1). En particular, se estudia el acotamiento de las soluciones porque de acuerdo a las simulaciones que aparecen en [8], habría soluciones que tienden al punto (0; 1), obteniendose una situación que no es ecológicamente sustentable. En trabajos futuros revisaremos otros de los modelos propuestos en [8], o otro donde se incorpore la función de crecimiento logística para las presas. References [1] L. Berec, E. Angulo and F. Courchamp, Multiple Allee e¤ects and population management,Trends in Ecology and Evolution Vol. 22 (2007) 185-191. [2] F. Courchamp, L. Berec and J. Gascoigne, Allee e¤ ects in Ecology and Con- servation, Oxford University Press 2008. [3] H. I. Freedman, Deterministic Mathematical Models in Population Ecology, Marcel Dekker 1980. [4] E. González-Olivares, B. González-Yañez, J. Mena-Lorca and R. Ramos- Jiliberto. Modelling the Allee e¤ect: are the di¤erent mathematical forms proposed equivalents?, In R. Mondaini (Ed.) Proceedings of the 2006 Inter- national Symposium on Mathematical and Computational Biology BIOMAT 2006 E-papers Serviços Editoriais Ltda. Rio de Janeiro (2007) 53-71. [5] P. A. Stephens, W. J. Sutherland, R. P. Freckleton, What is the Allee e¤ect?, Oikos 87 (1999) 185-190. [6] R. J. Taylor. Predation. Chapman and Hall, 1984. [7] P. Turchin, Complex population dynamics. A theoretical/empirical synthesis, Mongraphs in Population Biology 35 Princeton University Press, 2003. [8] S-R. Zhou, Y-F. Liu, G. Wang, The stability of predator-prey systems sub- ject to the Allee e¤ect, Theoretical Populations Biology 67 (2005) 23-31. 2
  • 8. MODELACIÓN DE LA RED REGULATORIA GENÉTICA INDUCIDA POR ETILENO EN RESPUESTA A INFECCIÓN POR PATÓGENOS EN Arabidopsis thaliana. Rafael Verduzco Vázquez & José Díaz Grupo de Biología Teórica y Computacional, Facultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de Morelos, Av. Universidad 1001, Colonia Chamilpa, Cuernavaca, Morelos. CP: 62209. Los mecanismos que permiten a un organismo realizar toda clase de funciones están basados en la compleja interacción de proteínas y ARN. El ADN de cada célula contiene un conjunto de genes que, a través de los procesos de traducción y transcripción hacen posible la expresión. Algunas proteínas actúan como factores de transcripción, que regulan la tasa de transcripción de otros genes, de modo que al analizar las relaciones entre factores y genes se llega a una estructura llamada red regulatoria genética. Se han propuesto distintos modelos para poder entender tanto las propiedades estructurales como la dinámica de estas redes. Esta dinámica corresponde a patrones de expresión genética que producen un fenotipo particular. Abundan técnicas de modelado que permiten estudiar dicha dinámica desde varios enfoques teóricos. Dentro de estos enfoques, las redes Booleanas consideran a cada gen en uno de dos estados posibles a un tiempo discreto dado. En una red Boolena los genes -o nodos en terminología de redes– actualizan su estado de acuerdo a un conjunto de reglas lógicas que suelen inferirse a partir de datos experimentales de expresión genética. Esta clase de modelos requiere relativamente poca información acerca del conjunto de genes y sus interacciones, a la par que brinda resultados biológicamente relevantes. En este trabajo se presenta un modelo de red Boolena para una pequeña red de regulación genética relacionada con la defensa contra patógenos en Arabidopsis thaliana estimulada por las hormonas etileno y jasmonato. Uno de los aspectos relevantes del modelo propuesto es que tras revisar la literatura se incorporó ERF4, un factor de transcripción de la familia de factores de respuesta a etileno ERF que no había sido incluido en la vía de señalización de etileno en trabajos anteriores. Tras analizar las configuraciones del sistema en el conjunto de puntos estacionarios para diferentes condiciones iniciales, tanto en WT como en mutantes, se obtuvieron resultados que tras su interpretación coinciden con algunos fenotipos reportados en la literatura.
  • 9. Modelo matemático del proceso mecanobiológico de reparación del ligamento Rosy Paola Cárdenas Sandoval* Liliana Mabel Peinado Cortés Diego Alexander Garzón Alvarado * National University of Colombia Carrera 30 N°45-03 Edificio 407 rpcardenass@unal.edu.co ABSTRACT: Coagulation, inflammation, proliferation and remodelling are the stages performed in the wound healing in connective tissues injured, one of these is the ligament. The wound healing depends of biological and mechanical manifold factors, they release key elements and stimulate the right fibers organization. The aim of this work is to provide a mathematical model based in hyperelasticity equations of the continuum mechanics for to describe the biological changes and the mechanotransduction process happened in the ligament wound healing when it is subjected to mechanical load. The model proposed is solved using the finite elements method. The results obtained simulate the ligament answer in the remodeling phase in presence of mechanical loads, which is to enlarge the cellular and extracellular size components, increase the fibroblast proliferation, collagen production and other proteins, and the formation of the new fibers net, more homogeneous and mostly dense. This model offers a biological and mechanical framework about the effect of the tension load in the ligament wound healing for the health care professionals that make use of the mechanical loads prescription as tool’s work. RESUMEN: Coagulación, inflamación, proliferación y remodelación, son las fases llevadas a cabo en el proceso de reparación en la mayoría de los tejidos conectivos lesionados, uno de ellos es el ligamento. La cicatrización de este tejido depende de múltiples factores biológicos y mecánicos, los cuales estimulan la síntesis de componentes claves en la reparación y la organización correcta del ligamento. El objetivo de este trabajo es proporcionar un modelo matemático fundamentado en las ecuaciones de hiperelasticidad de la mecánica de medio continuo para describir los cambios biológicos y los mecanismos de mecanotransducción ocurridos en el ligamento en reparación cuando está sometido a carga mecánica. El modelo propuesto está resuelto mediante el método de elementos finitos. Los resultados obtenidos simulan la respuesta del ligamento ante cargas mecánicas en la etapa de remodelación, es decir, incremento en el tamaño de los componentes celulares y extracelulares del tejido, aumento de la proliferación de fibroblastos, producción de colágeno y otras proteínas, y la formación de una nueva red de fibras más homogénea y densa. En conclusión, este modelo ofrece un marco de referencia mecánico y biológico, del efecto de la carga de elongación en la reparación del ligamento, útil para los profesionales de las ciencias de la salud que utilizan la prescripción de cargas mecánicas como herramienta de trabajo.
  • 10. FITOREMEDIACIÓN DE AGUAS RESIDUALES SECUNDARIAS CON PLÁNTULAS DE Rhizophora mangle BAJO CONDICIONES EXPERIMENTALES C. Chan-Keb*, C. M. Agraz-Hernández**, J. Osti-Saenz**, C. García-Zaragoza** Miguel A. Valera Pérez*, Gladys Linares Fleites*. *Posgrado en Ciencias Ambientales, Instituto de Ciencias. Benemérita Universidad Autónoma de Puebla. karloschank2@hotmail.com ** Centro de Ecología, Pesquerías y Oceanografía del Golfo de México. UAC. Av. Agustín Melgar s/n entre Juan de la Barrera y Calle 20. Col. Buenavista. San Francisco de Campeche; Campeche, México. Tel (981) 8119800. Ext. 62309. RESUMEN Los bosques de manglar son considerados como ecosistemas de gran valor económico, ecológico y social, debido a los múltiples usos y beneficios que estos proporcionan. Es por ello que esta halófita es reconocida a nivel mundial en su función como agentes de remediación de contaminación de descargas de aguas residuales con altas concentraciones de metales pesados, herbicidas, plaguicidas o con exceso de nutrientes, esto como una alternativa de tratamiento de agua en la zona costera. Por lo cual, esta investigación tuvo como propósito el evaluar el uso de la forestación y fitorremediación con plántulas de Rhizophora. mangle para mitigar la eutrofización causada por las descargas de aguas residuales secundarias, bajo condiciones controladas de temperatura ambiental, humedad, hidroperiodo y nivel microtopografico en un invernadero, con salinidad de 25 ± 5 ups. A través de la colecta de hipocotilos de R. mangle en bosques de manglar sin impacto antrópico y mediante la forestación de seis estanques (100 hipocotilos por estanque), con dimensiones de:1.5 x 0.45 x 0.95 m y un filtro compuesto de grava gruesa (0.081 m3) y fina (0.081 m3), de arena (0.081 m3) y turba natural (0.222 m3) del mismo bosque de colecta de los propágulos. Cada estanque presento un reservorio individual de 0.250 m3 para efectuar por gravedad el flujo y por bombeo el reflujo de la marea. Se establecieron dos tipos de vertidos, donde en tres estanques se vertieron con agua residual y tres con agua de mar. La intensidad de muestreo fue semanal para determinar la concentración de los nutrientes, la salinidad y el valor de pH y potencial redox del agua intersticial. Para evaluar la respuesta fisiológica de las plántulas simultáneamente a los parámetros químicos, se monitoreo el incremento diametral, longitud total, inter nodal y la producción de las hojas. Al realizar mediante la prueba ANOVA de una vía entre los dos tipos de vertido, se encontraron diferencias significativas (p‹0.05) entre la concentración de NO2-, NH4+ y el valor de redox, observándose acumulación de los nutrientes y condiciones más anaeróbicas en el gua intersticial de los estanques con agua residual. Con respecto a la respuesta fisiológicas, se observo mayor tasa de crecimiento diametral (0,014 mm.dia-1) y disminución en la longitud total (0.049 cm.dia-1) para las plántulas tratadas con agua residual, que con respecto a las tratadas con agua de mar (0.0057 mm.dia-1 y 0.064
  • 11. cm.dia-1, respectivamente). El incremento internodal y la producción de hojas no presentaron diferencias significativas entre los vertidos. Estos resultados indican que la función de los manglares como agentes fitoremediador es una alternativa para tratar cuerpos de agua costeras eutrofizados, utilizando la forestación. Sin embargo, a su vez los resultados obtenidos para esta investigación indican estrés en las plántulas al incrementar el número de vertidos y al acumularse los nutrientes en el agua intersticial. Es por ello que se recomienda considerar durante el uso del manglar como fitoremediador, el control de la concentración de nutrientes en el vertido y la intensidad de los vertidos, así como la extensión disponible de cobertura del bosque de mangle.
  • 12. Análisis del modelo general de Lotka-Volterra considerando comportamientos sociales del depredador Sebastián Valenzuela-Figueroa, Ruth Becerra-Klix, Eduardo González-Olivares Grupo de Ecología, Instituto de Matemáticas, Facultad de Ciencias Ponti…cia Universidad Católica de Valparaíso email: sebastiancvf@gmail.com; rbecerraklix@gmail.com; ejgonzal@ucv.cl http://ima.ucv.cl julio de 2009 1 Introducción Es ampliamente conocido el hecho que en el modelo general de Lotka-Volterra [5] (considerando crecimiento logístico en las presas), cuando existe un punto de equilibrio al interior del primer cuadrante este es global asintóticamente estable [2] y esta propiedad se mantiene cuando existe colaboración entre los depredadores. El objetivo fundamental de este trabajo es describir el comportamiento matemático de un modelo de depredación, considerando colaboración entre los depredadores. De acuerdo a los resultados obtenidos, planteamos que la incorporación de este fenómeno ecológico en este modelo derivado del modelo general de Lotka- Volterra, no es adecuado porque se obtienen conclusiones ecológicas incompati- bles. 2 El modelo El modelo a estudiar es descrito por el sistema bidimensional de ecuaciones diferenciales autónomo del tipo Kolmogorov [3]: dx x dt = r(1 K ) qy x X ; : dy (1) dt = (px c + y ) y con = (r; K; q; p; c; ) 2 R5 , donde los parámetros tienen diferente signi…- + cados ecológicos y 2 R. Si > 0, el parámetro expresa la colaboración entre 1
  • 13. los depredadores, si = 0, se tiene el modelo de Lotka-Voltera usual y si < 0, el sistema representa un modelo con interferencia entre los depredadores. En particular, si 1 el sistema fue estudiado parcialmente por Pacheco & al. [4] y en [6] consideraron el caso en que = 1, demostrando que existe condiciones para la existencia de un centro. En este trabajo se muestra, entre otros resultados, que si > 0, existe un subconjunto en el espacio de parámetros, donde el sistema no tiene soluciones acotadas, concluyendo que el sistema no representa adecuadamente un modelo de depredación. Sin embargo, es posible determinar condiciones en los parámetros para las cuales el único punto de equilibrio al interior del primer cuadrante este es global asintóticamente estable References [1] A. D. Bazykin, Nonlinear Dynamics of interacting populations, World Sci- enti…c, 1998. [2] C. Chicone, Ordinary di¤erential equations with applications, Texts in Ap- plied Mathematics 34 Springer, 2006. [3] H. I. Freedman, Deterministic Mathematical Model in Population Ecology, Marcel Dekker, 1980. [4] J. M. Pacheco, C. Rodríguez and I. Fernández, Hopf bifurcations in predator–prey systems with social predator behaviour, Ecological Modelling 105 (1997) 83–87. [5] P. Turchin, Complex population dynamics. A theoretical/empirical synthe- sis, Mongraphs in Population Biology 35 Princeton University Press, 2003. [6] M. Uribe y M. Wallace, The period function in a class of quadratic Kol- mogoro¤ systems, Proyecciones Vol 19 (2000) 197-205. 2
  • 14. Mauro A.E. Chaparro Un modelo matemático de la fase parasitaria de Ostertagia ostertagi basado en sistemas de inferencia difusa, con especial referencia a hipobiosis Ostertagia ostertagi es un nematodo que se encuentra muy frecuentemente en el ganado bovino de la región pampeana argentina. La fase parasitaria de Ostertagia comienza cuando la larva infectante (L3) es ingerida por los bovinos al alimentarse en las pasturas contaminadas. Continúa su desarrollo en el sistema digestivo durante aproximadamente tres semanas hasta iniciar la puesta de huevos. Dependiendo de las condiciones climáticas a las que estuvieron expuestas las L3 durante su vida libre, éstas pueden inhibir su proceso de desarrollo (hipobiosis) extendiendo el período de prepatencia hasta cinco meses. Así la hipobiosis permite al parásito “saltar” períodos del año en los que las condiciones climáticas son adversas para la supervivencia de la progenie. Desde el punto de vista sanitario, es importante destacar que las larvas hipobióticas están deprimidas metabólicamente y por lo tanto son menos susceptibles a ciertos antihelmínticos. En la región de la Pampa Húmeda en Argentina este fenómeno se produce mayoritariamente en la primavera. Ensayos realizados a campo determinaron tres factores que acondicionan a las larvas infectantes a detener su desarrollo: tiempo de espera en las pasturas, temperatura ambiente y cantidad de horas de luz (fotoperíodo) diarias. Se construyó un modelo matemático que describe la dinámica poblacional de los parásitos adultos dentro del hospedador, en relación con el grado de infección de las pasturas y las condiciones climáticas. Para describir la dinámica de los adultos se utilizó una ecuación en diferencias con paso diario mientras que para el proceso de inhibición se usó un sistema de inferencia difuso. Con la combinación de estos dos modelos se describe la dinámica poblacional satisfactoriamente. Los resultados obtenidos fueron comparados con ensayos realizados en condiciones naturales, obteniéndose un coeficiente de bondad de ajuste de R2=0.85, siendo este un buen indicador de la calidad de ajuste del modelo. A mathematical model based on a fuzzy logic inference system for the parasitic stage of Ostertagia ostertagi, including to hypobiosis Ostertagia ostertagi is a nematode frequently found in cattle in the pampean region of Argentina. The parasitic phase of Ostertagia initiates when the infecting larvae (L3) are ingested by cattle feeding on infected pastures. The larva continues its development in the digestive tract of the animal for about three week until it starts producing eggs. Depending on the climatic conditions to which the L3 larvae were exposed during their free living stage, they can inhibit their development (hypobiosis) by extending the prepatent period for up to five months. Thus hypobiosis allows them to skip some periods during which weather conditions are negative for their offspring in the free living cycle. From the sanitarian perspective, it is important to point out that hypobiotic larvae are metabolically depressed and thus are less susceptible to antihelmintics. In the Humid Pampas of Argentina, this phenomenon occurs mostly in spring. Field trials helped identify three factors that condition the development arrestment of ingested larvae: waiting time in the pasture, environmental temperature, and photoperiod. A mathematical model was built for describing the population dynamics of adult parasites inside the host, depending on the degree of infection of the pasture and on the weather conditions. Difference equations with daily time-step were used for describing the adult population dynamics, while the inhibition process was modeled using a fuzzy inference system. The combination of both models yields a satisfactory description of the dynamics. The simulation results were compared to field trials under natural conditions and the goodness-of-fit coefficient R2=0.85 was obtained, indicating the quality of the model.
  • 15. Captura óptima en un modelo depredador-presa con respuesta funcional sigmoidea y efecto Allee en las presas Alejandro Rojas-Palma 1 , Eduardo González-Olivares 2 1 Instituto de Matemática, Universidad Austral de Chile Casilla 567, Valdivia, Chile alejandro.rojas@docentes.uach.cl http://www.ciencias.uach.cl/instituto/matematicas 2 Grupo de Ecología Matemática, Instituto de Matemáticas, Ponti…cia Universidad Católica de Valparaíso. Casilla 4059 Valparaíso, Chile ejgonzal@ucv.cl http://ima.ucv.cl Julio 2009 1 Introducción La modelación bioeconómica de la explotación de recursos renovables como pesquerías y bosques, los conceptos esenciales requeridos y las herramientas matemáticas necesarias han sido dadas en detalle por Clark [5], en especial cuando una sola especie es sometida a captura. Sin embargo, modelos que con- sideran más especies han sido estudiados solamente en algunos trabajos, debido a las complicaciones propias del análisis cualitativo de los sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales [5, 3]. Este trabajo considera el análisis de la captura no selectiva de dos pobla- ciones en donde una de ellas es depredadora de la otra. Se asume que el esfuerzo de pesca es el mismo para ambas poblaciones y la captura por unidad de esfuerzo (CPUE) es proporcional a los tamaños poblacionales de cada población, es de- cir, se asume la bien conocida hipótesis de Schaefer de explotación pesquera. Basados en el análisis cualitativo, se establece la política de control óptima que la industria pesquera debe aplicar con el …n de la maximización de los bene…- cios económicos presentes. Entonces, se de…ne un problema de control óptimo consistente en maximizar los ingresos netos totales que la sociedad deriva de la pesquería, sujeto a las ecuaciones de estado aplicando el Principio del Máximo de Pontragyn [11]. 1
  • 16. 2 El Modelo Se considera un modelo depredador-presa de tipo Gause [6] en el cual la presa es afectada por el fenómeno biológico conocido como efecto Allee [1, 13, 14] y la respuesta funcional es sigmoidea [15]. Existen muchas formas de expresar el efecto Allee [8], pero se empleará la más usual y la interacción es dada por un sistema de ecuaciones diferenciales autónomo del tipo Kolmogorov [6, 7]. ( dx x s x2 dt = r 1 K (x m) x x2 + a2 y X : dy p x2 (1) dt = x2 + a2 c y donde x = x(t) e y = y(t) indican los tamaños poblacionales de la presa y el depredador respectivamente, los parámetros son todos positivos, esto es, = (r; K; m; p; a; c; s) 2 R7 , y tienen distintos signi…cados ecológicos y por razones + biológicas a; m < K. Este sistema fue analizado en [12] y ahora se asumirá que ambas poblaciones son explotadas y la captura es proporcional al stock corriente, obteniendo el sistema ( dx x s x2 dt = r 1 K (x m) x x2 + a2 y q1 Ex Y : dy p x2 (2) dt = x2 + a2 c y q2 Ey donde E = E(t) representa el esfuerzo de pesca, 0 < E < Emax y q1 , q2 son cantidades positivas. El funcional objetivo, que representa el valor presente J de un ‡ de gana- ujo cias continuo en el tiempo, es dado por Z1 t J= (x; y; E; t) e dt (3) 0 donde es la tasa anual de descuento instantanea y (x; y; E; t) = p1 q1 Ex + p2 q2 Ey CE (4) es el ingreso económico neto del pescador o renta percibida y es representado como la diferencia entre el ingreso total y el costo total asociado al esfuerzo de pesca. References [1] L. Berec, E. Angulo and F. Courchamp, Multiple Allee e¤ects and pop- ulation management. Trends in Ecology and Evolution Vol. 22, 185-191. (2007). [2] F. Brauer and C. Castillo-Chávez, Mathematical models in Population Bi- ology and Epidemiology, TAM 40, Springer.Verlag, (2001). 2
  • 17. [3] K. S. Chaudhuri. A bioeconomic model of harvesting a multispecies …shery, Ecol. Model., 32, 12 pp., (1986). [4] C. Chicone. Ordinary di¤ erential equations with applications, Texts in Ap- plied Mathematics 34, Springer, (1999). [5] C. W. Clark, Mathematical Bioeconomic: The optimal management of re- newable resources, (2nd ed). John Wiley and Sons, (1990). [6] H. I. Freedman. Deterministic Mathematical Model in Population Ecology. Marcel Dekker, 254 pp., (1980). [7] B-S. Goh. Management and Analysis of Biological Populations. Elsevier Scienti…c Publishing Company, (1980). [8] E. González-Olivares, B. González-Yañez, J. Mena-Lorca and R. Ramos- Jiliberto. Modelling the Allee exect: are the dixerent mathematical forms o o proposed equivalents?, In R. Mondaini (Ed.) Proceedings of the 2006 In- ternational Symposium on Mathematical and Computational Biology BIO- MAT 2006 E-papers Serviços Editoriais Ltda. Rio de Janeiro, 53-71. (2007). [9] E. González-Olivares, H. Meneses-Alcay and B.González-Yañez, Metastable dynamics in a Gause type predator-prey model considering Allee e¤ect on prey. in preparation, (2008). [10] T.K. Kar, K.S. Chaudhuri.On non-selective harvesting of a multispecies …shery. int. j. math. educ. sci. technol.,33, (2002). [11] L. S. Pontryagin, V. G. Boltyanskii, R. V. Gamkrelidze and E. F. Mishchenko, The Mathematical Theory of Optimal Processes. London: Pergamon Press. (1964). [12] A. Rojas-Palma, E. González-Olivares and B. González-Yañez. Metastabil- ity in a Gause type predator-prey models with sigmoid functional response and multiplicative Allee e¤ect on prey. In R. Mondaini (Ed.) Proceedings of International Symposium on Mathematical and Computational Biology,E- papers Serviços Editoriais Ltda. 295-321. (2007) . [13] P. A. Stephens and W. J. Sutherland. Consequences of the Allee e¤ect for behaviour, ecology and conservation. Trends in Ecol. Evo., Vol. 14 No 10 401-405.(1999). [14] P. A. Stephens, W. J. Sutherland, and R. P. Freckleton, What is the Allee e¤ect?, Oikos 87, 185-190. (1999). [15] P. Turchin. Complex population dynamics. A theoretical/empirical syn- thesis, Mongraphs in Population Biology 35 Princeton University Press. (2003). 3
  • 18. Análisis del modelo de depredación de Holling-Tanner modi…cado considerando un alimento alternativo para los depredadores Analysis of the modi…ed Holling-Tanner predator-prey model considering an alternative food for predator Claudio Arancibia-Ibarra, Eduardo González-Olivares Grupo de Ecología Matemática, Instituto de Matemáticas, Ponti…cia Universidad Católica de Valparaíso. Casilla 4059 Valparaíso, Chile clanarib@gmail.com, ejgonzal@ucv.cl http://ima.ucv.cl julio 2009 1 Resumen En este trabajo analizamos un modelo depredador-presa tiempo continuo asum- iendo que: i) la respuesta funcional es de tipo Holling II, ii) el crecimiento de los depredadores es de tipo logístico [4]. Este último supuesto caracteriza a los modelos del tipo Leslie-Gower [1], en los cuales la capacidad de soporte convencional de los depredadores es propor- cional a la abundancia de presas x = x (t), es decir, Ky = K(x) = nx, tal como es asumida en el modelo de May-Holling-Tanner model [6, 5]. Aqui, consderaremos que K(x) = nx + c, suponiendo que los depredadores tienen un alimento alternativo cuando las presas disminuyen, esto es, cuando x ! 0. El modelo es descrito por el siguiente sistema bidiemnsional de ecuaciones diferenciales del tipo Kolmogorov [3]: 8 < dx = r 1 x q dt K x+a y x X : (1) : dy = s 1 y y dt nx+c 1
  • 19. donde x = x(t) e y = y(t) indican los tamaños poblacionales de presas y depredadores, respectivamente; = (r; K; q; a; s; n; c) 2 R7 , y los parámetros + tienen diferentes signi…cados ecológicos, pero a, m < K. Mediante una reparametrización y un reescalamiento del tiempo, obtenemos el sistema du d = (u + C) ( (1 u) (u + A) Qv) u Y : dv (2) d = S (u + A) ( u + C v) v que es topológicalmente equivalente al sistema(1) [2]; los puntos de equilibrio son (0; 0), (1; 0), (0; C) and Qe = (ue ; ve ), dependient de la intersección entre 1 las isoclinas v = u + C and v = Q (1 u) (u + A); entonces el sitema puede tener uno, dos o ningún punto de equilibrio positivo. Uno de los principales objetivos es determinar la cantidad de ciclo límites del sistema bifurcando de un centro-foco al interior del primer cuadrante. 2 Summary In this work we analyze a continuous-time predator-prey model assuming that: i) the functional response or predator consumption rate is Holling type II or hyperbolic [6], and iii) the growth of the predator population is of logistic form [4]. This last assumption characterize the Leslie-Gower type models [1], in which the conventional environmental carrying capacity Ky measuring their resources, is proportional to prey abundance x = x (t), that is Ky = K(x) = nx, such as is assumed in the May-Holling-Tanner model [6, 5]. We will consider that K(x) = nx + c, assuming that the predators have an alternative food when the quantity of prey diminish, this is, when x ! 0. The model is describe by the following bidimensional di¤erential equations systems of Kolmogorov type system [3]: 8 < dx = r 1 x q dt K x+a y x X : (1) : dy = s 1 y y dt nx+c where x = x(t) and y = y(t) indicate the predator and prey population sizes, respectively; = (r; K; q; a; s; n; c) 2 R7 , the parameters have di¤erent + ecological meanings, but a, m < K. By mean of a reparameterization and time rescaling we obtain the polyno- mial system du d = (u + C) ( (1 u) (u + A) Qv) u Y : dv (2) d = S (u + A) ( u + C v) v which is topologically equivalent to original [2]; the equilibrium points are (0; 0), (1; 0), (0; C) and Qe = (ue ; ve ), which dependent of the intersection of 2
  • 20. 1 the isoclines v = u + C and v = Q (1 u) (u + A); then, the system can have two, one, or none positive equilibrium point. One of the main objectives is establish the quantity of limit cycles bifurcating of a center-focus at interior of the …rst quadrant. References [1] M. A. Aziz-Alaoui and M. Daher Okiye, Boundedness and global stability for a predator-prey model with modi…ed Leslie-Gower and Holling-type II schemes, Applied Mathematics Letters 16 (2003) 1069-1075. [2] C. Chicone, Ordinary di¤erential equations with applications, Texts in Ap- plied Mathematics 34, Springer, 2006. [3] H. I. Freedman. Deterministic Mathematical Model in Population Ecology. Marcel Dekker, 1980. [4] R. May, Stability and complexity in model ecosystems (2nd ed.), Princeton University Press, 2001. [5] E. Sáez and E. González-Olivares. Dynamics on a Predator-prey Model. SIAM Journal of Applied Mathematics 59(5) (1999) 1867-1878. [6] P. Turchin, Complex population dynamics. A theoretical/empirical synthe- sis, Mongraphs in Population Biology 35 Princeton University Press 2003. 3
  • 21. Modelamiento Matemático y Análisis Dinámico del Proceso de Edición del ARN en Leishmania sp. Autores Andrés Florez1, Carlos Muskus1, Jairo Espinosa2, Luz Castellanos3, Diego A. Muñoz3 1 Programa de Estudio y Control de Enfermedades Tropicales, PECET. Universidad de Antioquia. 2 Grupo de Automática, GAUNAL, Universidad Nacional-sede Medellín. 3 Grupo de Investigación en Matemáticas, GMat. Universidad Pontificia Bolivariana Correo electrónico: Andres_Florez@hms.harvard.edu Introducción La leishmaniasis es una enfermedad tropical que constituye un problema de salud pública debido a su alta morbilidad y que en la forma clínica visceral puede ser letal. Adicionalmente, no existen medicamentos seguros, ni vacunas efectivas [1]. El proceso de edición del RNA del kinetoplasto (kRNA) consiste en la modificación post-transcripcional mediante la inserción y/o delección de uracilos para generar transcritos funcionales [2]. Este proceso, además, no ocurre de la misma forma en el ser humano. Esto genera el interés de proteínas involucradas en este proceso como blanco de nuevos fármacos que puedan inhibirlo y por tanto eliminar al patógeno. La descripción de dicho proceso biológico puede ser expresada como el arreglo o acomodo de mecanismos y dinámicas para el procesamiento de materia y energía “cruda” con el fin de obtener un producto con especificaciones deseadas [3]. En tal sentido, si se dispone de un modelo que describa los mecanismos y dinámicas factibles para realizar el proceso, es posible usar dicho modelo para encontrar condiciones de operación del proceso, de modo que con esos valores se logre el producto deseado sin violentar las restricciones que el proceso mismo impone. Basado en la anterior premisa, se construye un modelo matemático del proceso de edición del RNA basado en el conjunto de reacciones que lo describen, con la intención de establecer el comportamiento dinámico de este. Adicionalmente se hace el análisis de sensibilidad para predecir posibles blancos de medicamentos, es decir, identificar los parámetros más susceptibles a las perturbaciones y que bloquen la generación del producto final que es el ARN mensajero editado. Con éste análisis se identificó una enzima responsable de una reacción muy sensible, y que se convierte en un blanco atractivo para un futuro desarrollo de medicamentos inhibidores. Cuando se aborda el análisis de un proceso biológico, aparece un grupo disponible de modelos diferentes, que van desde los simbólico simples
  • 22. (diagrama de bloques) hasta los matemáticos sofisticados (modelo dinámico del proceso basado en principios fenomenológicos). Tal evolución en la complejidad de la representación usada va de la mano con la complejidad de la tarea que se desarrolla y con lo cual se espera del modelo. En tal sentido, el modelo se plantea con una estructura basada en principios físicos utilizando parámetros determinados mediante experimentos de las cinéticas de reacción. Modelamiento y análisis A partir de una revisión extensa de la literatura se construyó un esquema cualitativo de las reacciones involucradas en el proceso y de las cuales existieran parámetros cinéticos determinados experimentalmente [4]. Con base en este esquema se construyó un modelo matemático basado en ecuaciones diferenciales ordinarias que representan cinéticamente las reacciones químicas involucradas. Las leyes cinéticas de las reacciones fueron asignadas de acuerdo a la literatura, donde 5 fueron asignadas como Michaelis-Menten irreversible y la restante por la ley de acción de masas. El análisis de sensibilidad para la detección de blancos moleculares se hizo realizando cambios en los vectores de parámetros y analizando las perturbaciones del modelo mediante los coeficientes de sensibilidad. El análisis de sensibilidad y las simulaciones fueron realizados utilizando el Toolbox de Matlab “SimBiology” [5]. Resultados Las simulaciones realizadas con el modelo demuestran una correspondencia con lo descrito en los datos experimentales de manera cualitativa, pues la información paramétrica es incompleta y no existen datos de perturbaciones experimentales del modelo que permitan su validación. El análisis de sensibilidad muestra que la reacción de unión del RNA guía (gRNA) con el RNA mensajero (mRNA) es la más susceptible a la perturbación con respecto al producto, lo cual sugiere a las proteínas MRP1/MRP2 como probables blancos. Estas predicciones serán refinadas en futuros proyectos que permitan la validación experimental del modelo. Referencias [1] Herwaldt, B.L., Leishmaniasis. Lancet, 1999. 354(9185): p. 1191-9. [2] Lukes, J., H. Hashimi, and A. Zikova, Unexplained complexity of the mitochondrial genome and transcriptome in kinetoplastid flagellates. Curr Genet, 2005. 48(5): p. 277- 99. [3] Alvarez, H. and Muñoz D.A. About models of chemical processes and their use in control (In Spanish). Proceedings XII Latin-American Congress on Automatic Control, Salvador Bahía-Brazil, 2006. [4] Gao, G., et al., Functional complementation of Trypanosoma brucei RNA in vitro editing with recombinant RNA ligase. Proc Natl Acad Sci U S A, 2005. 102(13): p. 4712-7. [5] http://www.mathworks.com/products/simbiology/
  • 23. Title Mathematical modeling and dynamic analysis of RNA editing process in Leishmania sp. Authors Andrés Florez1, Carlos Muskus1, Jairo Espinosa2, Luz Castellanos3, Diego A. Muñoz3 1 Programa de Estudio y Control de Enfermedades Tropicales, PECET. Universidad de Antioquia. 2 Grupo de Automática, GAUNAL, Universidad Nacional-sede Medellín. 3 Grupo de Investigación en Matemáticas, GMat. Universidad Pontificia Bolivariana Introduction Leishmaniasis is a tropical disease that constitutes a public health problem for its high morbidity and which can be fatal in the visceral form. In addition, there is lack of safe drugs and of an effective vaccine [1]. The process of kRNA edition in the kinetoplast (kRNA) consists of the posttranscriptional modification by the insertion and/or deletion of uracils for generating functional transcripts [2]. On the other hand, this process does not occur similarly in humans. This has raised the interest of studying this process for finding new potential drugs that can inhibit this process and therefore to remove the pathogen. The description of such biological process can be expressed by the arrangement of mechanisms and dynamics to process matter and energy with the intention to get a product with the desired specifications [3]. In this sense, if we have a process model describing the feasible mechanisms and dynamics, it is possible to use such model to find operation conditions, which can be obtained the desired product without violate the constraints that the process itself imposes. Based on the former premise, a mathematical model is constructed for the processing of the RNA edition in a set of reactions that best describe it, in order to set up the dynamical behavior of the process. Furthermore, the analysis of sensitivity is carried out to predict potential or candidate drug targets, in order to identify the most susceptible parameters to disturb the final product, the messenger RNA. With this analysis, an enzyme responsible of a very sensitive
  • 24. reaction was identified, which render it as an attractive drug target for future experimental evaluation. When the analysis of a biological process is studied, an available group of different models arise, span from the simple symbolism (diagram of blocks) to the mathematics sophisticated (dynamic model of the process supported in phenomenological principles). Such evolution in the complexity of the used representation is articulated with the complexity of the developed task and from which the model is expected. In this way, the model is proposed with a structure based on physical principles using specified parameters through experiments taken of the kinetics of reaction. Modeling and Analysis From an extensive literature revision, a qualitative scheme of the reaction involved was built taking into account that kinetic parameters experimentally determined were available [4]. From this scheme, a mathematical model was built based on ordinary differential equations, which kinetically represent, the chemical reactions involved. The kinetic laws of the reactions were assigned according to the literature, where 5 were assigned as irreversible Michaelis Menten and the remaining by the law of action of masses. The sensitivity analysis for molecular targets detection was made carrying out changes in the parameter vectors and analyzing the perturbations of the model through the sensivity coefficients. The sensitivity analysis and simulations were carried out using the toolbox of Matlab “SimBiology” [5]. Results The simulations carried out with the model show a correspondence with the experimental data described in a qualitative way, since the parametric information is incomplete and there are not data of experimental perturbations of the model that allow its validation. The sensitivity analysis shows that the joint reaction of the gRNA with the mRNA is the most susceptible to the perturbation regarding the product, which identified to the proteins MRP1/MRP2 as possible drug targets. These predictions will be refined in future projects that allow the experimental validation of the model. References [1] Herwaldt, B.L., Leishmaniasis. Lancet, 1999. 354(9185): p. 1191-9. [2] Lukes, J., H. Hashimi, and A. Zikova, Unexplained complexity of the mitochondrial genome and transcriptome in kinetoplastid flagellates. Curr Genet, 2005. 48(5): p. 277- 99. [3] Alvarez, H. and Muñoz D.A. About models of chemical processes and their use in control (In Spanish). Proceedings XII Latin-American Congress on Automatic Control, Salvador Bahía-Brazil, 2006.
  • 25. [4] Gao, G., et al., Functional complementation of Trypanosoma brucei RNA in vitro editing with recombinant RNA ligase. Proc Natl Acad Sci U S A, 2005. 102(13): p. 4712-7. [5] http://www.mathworks.com/products/simbiology/
  • 26. Modelamiento matemático del potencial larvicida de algunas especies de la familia Asteracea frente a larvas de Aedes aegypti 1 2 3 Irene Duarte Gandica , Oscar Alexander Aguirre Obando , Jorge Alberto Jiménez Montoya , Juan Carlos 4 Álvarez Londoño Los mosquitos son vectores de agentes causales de enfermedades humanas con gran importancia, como es el caso del dengue, cuyo vector es el mosquito Aedes aegypti. El control del vector con insecticidas en principio produjo resultados, pero debido a la resistencia a los pesticidas, la contaminación ambiental y los altos costos, se hace necesaria la búsqueda de alternativas de solución con menos riesgos, como lo es el control biológico, particularmente el uso de extractos vegetales. Este trabajo evaluó el potencial larvicida de extractos vegetales de algunas especies de la familia Asteraceae presentes en el Departamento del Quindío, Colombia, frente a larvas de tercero y cuarto instar de A. aegypti .Se recolectaron 24 especies , obteniendo extractos crudos etanólicos, analizados mediante marcha fitoquímica preliminar para la identificación de metabolitos secundarios. Estos extractos se concentraron para preparar diluciones de 1000, 500, 100, 10, 1 y 0,1 ul/L, que finalmente fueron evaluadas según protocolo estandarizado por la OMS. Las especies analizadas fitoquímicamente mostraron una presencia alta de alcaloides, terpenos, entre otros metabolitos secundarios. De las 24 especies evaluadas sólo algunas mostraron actividad biológica a 500 y 1000 ul/L, con mortalidades a las 48 horas del 100% de la población. Además, se calcularon las dosis CL 50 y 95 en 24 y 48 horas para todas las plantas analizadas. Se escogieron las dos especies con más alta actividad biológica y en ellas se evaluó la actividad biológica de alcaloides frente a larvas de A. aegypti. Para ello, se realizó un extracto a partir de 500 gramos de peso. Se hizo una extracción líquido-líquido con solventes polares a los alcaloides, estando en esta fase los alcaloides. Se realizó un análisis de confirmación del contenido para proceder a la separación e identificación de fracciones de algunos de los alcaloides presentes. Por medio de cromatografía de placa delgada (TLC),espectrofotometría de infrarrojo (FT-IR ) y el uso de reactivos específicos se identificaron preliminarmente fracciones de alcaloides, los que finalmente fueron evaluados en larvas de tercero-cuarto instar de A. aegypti. Se determinó la susceptibilidad en las larvas, dando mortalidad de aproximadamente 100% para la fase que contiene los alcaloides. Posteriormente, se construyó un modelo matemático en ecuaciones diferenciales, que usó los datos arrojados por estos trabajos experimentales, para describir el comportamiento de las poblaciones. 1 Escuela de Investigación en Biomatemática, Universidad del Quindío, Cra.15 Calle 12 Norte. Armenia, Colombia. iduarte@uniquindio.edu.co 2 Licenciatura en Biología y Educación Ambiental, Universidad del Quindío, Cra.15 Calle 12 Norte. Armenia, Colombia. oscaraguirre@uniquindio.edu.co 3 Maestria en Ciencias Biomédicas. Universidad del Quindío, Cra.15 Calle 12 Norte. Armenia, Colombia.jorjinmon@gmail.com 4 Programa de Biología, Universidad del Quindío, Cra.15 Calle 12 Norte. Armenia, Colombia. ayoira21@gmail.com
  • 27. Mathematical model for the larvicidal potential of some species of the family Asteracea against larvae of Aedes aegypti 1 2 3 Irene Duarte Gandica , Oscar Alexander Aguirre Obando , Jorge Alberto Jiménez Montoya , Juan Carlos 4 Álvarez Londoño The mosquitos are vectors of causal agents of human diseases with great importance, as it is the case of the dengue, which vector is the mosquito Aedes aegypti. The control of the vector with insecticides at first produced results, but due to the resistance to the pesticides, the environmental pollution and the high costs, there becomes necessary the search of alternatives of solution by fewer risks, as it is the biological control, particularly the use of plant extracts. This work evaluated the potential larvicidal of plant extracts of some species of the family Asteraceae present in the Department of the Quindío, Colombia, against to larvas of third and fourth state of A. aegypti, they gathered 24 species obtaining raw Ethanol extracts analyzed by means of preliminary phytochemistry march for the identification of secondary methabolyts. These extracts centered to prepare dilutions of 1000, 500, 100, 10, 1 and 0,1 ul/L, that finally were evaluated according to protocol standardized by the WHO. The analyzed species phytochemistry showed a high presence of alkaloids, among other secondary metabolits.The 24 species evaluated only some of them showed biological activity to 500 and 1000 ul/L, with mortalities at 48 hours of 100 % of the population. In addition, the doses calculated LD 50 and 95 in 24 and 48 hours for all the analyzed plants. We chose two species with the highest biological activity and are assessed the biological activity of alkaloids against larvae of A. aegypti. To do this was performed extract from 500 grams in weight. It was a liquid-liquid extraction with polar solvents for alkaloids and was performed the analysis of the contents confirmation, with the separation and identification of fractions of some of the present alkaloids. Through thin plate chromatography (TLC), infrared spectrometry (FT-IR) and the use of specific reagents were identified preliminarily fractions of alkaloids, which were finally evaluated in third-fourth larval instar A. aegypti. Susceptibility was determined in larvae, with mortality of approximately 100% for the phase that contains the alkaloids. A differential equations model was constructed in, which it used the information thrown by these experimental works, to describe the behavior of the populations.
  • 28. Modelos Matemáticos de la epidemia de Influenza Humana A(H1N1) de origen porcino en el 2009 en México. Alavez Justino1, Gómez Guillermo2, Hernández Luis2, López Jesús3, Vargas Cruz2 1 UJAT, 2FC-UNAM, 3IM(Cuernavaca)-UNAM gomal@servidor.unam.mx Resumen Se reportará los resultados de dos tipos de modelación de la epidemia de Influenza Humana A(H1N1) de origen porcino en el 2009 en México. El primero se refiere a un modelo de tipo inglés en el que se estiman parámetros y se estudia la estabilidad local y global de sus soluciones. El segundo modelo está referido al modelo tipo soviético donde se logran resultados a medio plazo prediciendo un total de 4 brotes epidémicos que cualitativamente deberían aparecer durante su primer año de aparición.
  • 29. Does density dependency in predator-prey models with Allee e¤ect create periodic oscillations? Jaime Mena-Lorca1 ;Eduardo González-Olivares1 , Jaime Mena-Lorca1 ; Pilar Carrasco Espinoza1 1 Grupo de Ecología Matemática, Instituto de Matemáticas, Ponti…cia Universidad Católica de Valparaíso ejgonzal@ucv.cl; jmena@ucv.cl; pilar.carrasco.e@gmail.com Julio 2009 Abstract El principal propósito de este trabajo es analizar la denso dependen- cia en modelos predador presa con efecto Allee en cuanto ella produce o no soluciones periódicas, para eso se hará un estudio comparativo entre modelos con denso dependencia y modelos sin denso dependencia, ambos con la población presa con efecto Allee. Ocuparemos modelos tipo Gause y Modelos tipo Leslie similares (con respuesta funcional y Allee) a los que se ha probado la existencia de soluciones periódicas, pero sin denso dependencia. Las respuestas funcionales y la forma de modelar el efecto Allee que se ocupan en los nuevos modelos estudiados son las que más son utilizadas en los trabajos del área. Abstract The central aim of this work is to analyze whether density dependency in predator prey models with Allee e¤ect creates or not periodic solutions. To achieve this we will do a comparison among models with and without density dependency, in both cases prey population with allee e¤ect. We will use Gause and Leslie type models (with functional response and Allee) similar those where the existence of periodic solutions has been proved (except for the density dependency). The functional response and the manner used to model the Allee e¤ect used in the new models studied are the most commonly used in this area. Palabras claves: Efecto Allee, depredador-presa, ciclos límites. 1
  • 30. 1 Introducción En la literatura de relativa a predador-presa podemos encontrar una gran var- iedad de modelos, pero los más utilizados son los llamados modelos tipo Gause y los modelos tipo Leslie, cuya diferencia fundamental está en la forma que es modelado en la ecuación de depredador el "input" que este logra como fruto de la depredación sobre la presa. Una buen resumen del estado del arte en el caso modelos tipo Gause lo encontramos en [6], varios de estos modelos han sido estudiado por González-Olivares con el grupo de ecología matemática ([1],[2],[5],[3],[20],[4]), quienes se han dedicado últimamente al estudio de este tipo de modelos introduciendo el efecto Allee en la presas. Por otra parte una muy buena referencia para modelos con efecto Allee lo tenemos en Courchamp [11], que corresponde a la visión que tiene el otro grupo que ha estudiado el efecto Allee desde una perspectiva más cercana a la ecología debido principalmente a la línea que desarrolla con su grupo y Berec [10], la misma visión la tenemos en los trabajos de Stephens ([9],[8]). Otros que han abordado esta problemática, pero en una mirada más matemática, son Zhou and Wang ([18],[16],[17]). Sin duda hay otros trabajos que han cooperado en el entendimiento de este tipo de modelos tanto en sus consecuencias ecológicas como matemática, ellos han usado distintas formas de modelar estos procesos y la mayoría de ellos están citados por Berec o González-Olivares. En los modelos bidimensionales plasmados en ecuaciones diferenciales ordi- narias, es claro que el hecho de poner denso dependencia en la ecuación de las presas hace que se cree en el espacio de fase una región acotada por la capacidad de carga de presas que soporta el hábitat, que junto con la variedad inestable producida por el efecto Allee podría de…nir una región acotada compacta, que junto a otros elementos del modelos puede ayudar a generar soluciones per- iódicas. En este trabajo se estudian modelos sin denso dependencia, la región compacta invariante no se creará y por lo tanto la posibilidad de ciclos límites no es factible como antes y de existir estos deberían provenir de otras causas. Este estudio de carácter teórico se hace en base al análisis comparativos de modelos con denso dependencia y que tienen ciclos, creemos que el hecho que la población de las presas puedan crecer sólo hasta cierto valor se conjugada con la respuesta funcional respectiva para obtener ciclos límites, es así que estudi- amos dos clases de modelos en donde el crecimiento de la población, después de superar el umbral Allee, es "tipo" exponencial, así tenemos los siguientes modelos: TIPO GAUSE 8 > dx < = r (x m) x x (x) y G : dt (Gause 1) > dy : = px (x) y y dt 8 > dx < rnx = rx x+b x (x) y G : dt (Gause 2) > dy = px (x) y : y dt 2
  • 31. TIPO LESLIE 8 > dx < = r (x m) x x (x) y L : dt (Leslie 1) > dy : = s 1 nx+q yy dt 8 > dx < rnx = rx x+b x (x) y L : dt (Leslie 2) > dy = s 1 : y dt nx+q y Donde x = x (t) e y = y (t) son el tamaño de la población de presas y depredadores respectivamente para t > 0, los parámetros r; m; s; n; b; p; ; q tienen diferentes signi…cados ecológicos. La función h (x) = x (x) es la respuesta funcional y satisface las siguientes condiciones [12]: 0 0 (x) 0; (x) 0; (x (x)) 0 y x (x) es acotada cuando x ! 1 . Se estudian analíticamente los modelos con las funciones genéricas dadas más arribas, el estudio comparativo se hace con respuestas funcionales concretas correspondiente a los modelos ya estudiados por González-Olivares et al. Se concluye que realmente estos modelos no tiene soluciones periódicas, a diferencia de los modelos con efecto Allee estudiados anteriormente, esto quiere decir que para modelar situaciones en que se presente ‡ uctuaciones periódicas se debe incluir otros elementos en el modelo que de cuenta de ellos, por ejemplo el crecimiento no puede ser de "tipo" como los planteados en los modelos de arriba. 2 Referencias References [1] P. Aguirre, E. González-Olivares and E. Sáez, Three limit cycles in a Leslie- Gower predator-prey model with additive Allee e¤ect, SIAM Journal on Applied Mathematics 69 (5) (2009), 1244-1269. [2] J.D. Flores, J. Mena-Lorca, B. González-Yañez , E. Gonzalez-Olivares. Consequences of Depensation in a Smith´s Bioeconomic Model for Open- Access Fishery, In (R. Mondaini and R. Dilao Eds.) Proceedings of Interna- tional Symposium on Mathematical and Computational Biology, E-papers Serviços Editorial Ltda. (2007), 219-232. [3] E. González-Olivares, J. Mena-Lorca, H. Meneses-Alcay, B. González- Yañez, J. D. Flores, Allee e¤ect, emigration and immigration in a class of predator-prey models, Biophysical Reviews and Letters (BRL), 3 (1/2) (2008) 195 –215. 3
  • 32. [4] A. Rojas-Palma, B. González-Yañez , E. Gonzalez-Olivares. Metastability in a Gause type predator-prey models with sigmoid functional response and Multiplicative Allee e¤ect on prey (2006). [5] B. González-Yañez and E. González-Olivares, Consequences of Allee ef- fect on a Gause type predator-prey model with nonmonotonic functional response, In R. Mondaini (Ed.) Proceedings of the Third Brazilian Sym- posium on Mathematical and Computational Biology, E-Papers Serviços Editoriais Ltda, Río de Janeiro Vol. 2 (2004) 358-373. [6] E. González-Olivares. Allee e¤ect in Gause type predator-prey mod- els:Existence of multiple attractors, limit cycles and separatrix curves. A brief review (submited). [7] Peter Turchin. Complex Population Dynamics: a Theorical/Empirical Syn- thesis Princeton university Press, 2001. [8] Stephens P. A., W. J. Sutherland, Consequences of the Allee e¤ect for behaviour, ecology an conservation, Trends in Ecology and Evolution, Vol. 14 N 10 , (1999), 401-405, . [9] Stephens, P. A., W. J. Sutherland, and R. P. Freckleton, What is the Allee e¤ect?, Oikos Vol. 87„(1999), 185-190, [10] L. Berec, E. Angulo and F. Courchamp, Multiple Allee exects and popula- o tion management,Trends in Ecology and Evolution 22 (2007) 185-191. [11] Courchamp, F., Berec, L., Gascoigne, J. Allee e¤ects in ecology and con- servation. Oxford University Press, 2008. [12] F. Brauer and C. Castillo-Chávez, Mathematical models in Population Bi- ology and Epimediology, TAM 40 Springer-Verlag 2001. [13] D. S. Boukal and L. Berec, Single-species models and the Allee e¤ect: Ex- tinction boundaries, sex rations and mate encounters, Journal of Theoret- ical Biology 218 (2002), 375-394. [14] G. Wang, X-G. Liang and F-Z. Wang, The competitive dynamics of popu- lations subject to an Allee e¤ect, Ecological Modelling 124 (1999), 183-192. [15] S-R. Zhou and G. Wang, Allee-like e¤ects in metapopulation dynamics, Mathematical Biosciences 189 103-113. [16] S-R. Zhou, C-Z. Liu and G. Wang, 2004. The competitive dynamics of metapopulations subject to the Allee-like efecto, Theorical Populations Bi- ology (2004). 65 29-37. [17] S-R. Zhou, C-Z. Liu and G. Wang, The stability of predator-prey systems subject to the Allee e¤ect, Theorical Populations Biology (2005). 67 23-31. 4
  • 33. [18] C. Hui and Z. Li, Dynamical complexity and metapopulation persistence, Ecological modelling, 2003. 164 201-209. [19] C. Hui and Z. Li, Distribution patterns of metapopulation determined by Allee e¤ects, Population Ecology 46 2003, 55-63. [20] J.Mena-Lorca, B. González-Yañez and E. González-Olivares, The Leslie- Cower Predator Prey model with Allee e¤ect on prey: A simple model with a rich and interesting dynamics. Proceedings of International Symposium on Mathematical and Computational Biology, 2006. 5
  • 34. Una situación paradójica en que hay variables predictoras perfectas de la presencia de una enfermedad pero el modelo falla Elia Barrera Rodriguez, he-lya@hotmail.com; Flaviano Godínez Jaimes, fgodinezj@gmail.com; Francisco Julian Ariza Hernandez, fjah@colpos.mx; Ramón Reyes Carreto, rcarreto1@yahoo.com, Unidad Académica de Matemáticas, Universidad Autónoma de Guerrero Resumen En epidemiologia es común que la presencia o ausencia de una enfermedad se trate de predecir a partir de una variable explicatoria o una combinación lineal de variables explicatorias. Si para valores de una variable explicatoria menores que una constante los individuos están sanos y para valores mayores que la constante están enfermos entonces la variable explicatoria predice perfectamente la presencia de la enfermedad. El modelo apropiado para modelar respuestas binarias es el de regresión logística. En presencia de una variable explicatoria perfecta el estimador de máxima verosimilitud del modelo de regresión logística produce resultados incorrectos. La colinealidad en las variables explicatorias es otro problema que puede presentarse en regresión logística binaria y cuyos efectos también pueden llevar a resultados erróneas. Ambos problemas causan que los estimadores sean sesgados y se presentan con más frecuencia cuando se utiliza el modelo de regresión logística en el análisis de microarreglos. En este trabajo se hace una revisión de los estimadores existentes en presencia de ambos problemas mediante simulación se comparan en función del sesgo y error cuadrático medio.
  • 35. Influˆncia dos fatores intr´ e ınsecos e extr´ ınsecos na dinˆmica da C´lera a o Rosˆngela Peregrina Sanchesa , Claudia Pio Ferreira1b e Roberto Andre Kraenkelc a a Programa de P´s Gradua¸˜o em Biometria, IBB, UNESP, Brasil o ca b Depto de Bioestat´ ıstica, IBB, UNESP, Brasil c Instituto de F´ısica Te´rica - IFT, UNESP, Brasil o A c´lera ´ uma infec¸˜o intestinal aguda caracterizada por diarr´ia severa, cuja o e ca e ´ ´ distribui¸˜o espacial abrange o sub-continente indiano, Asia, Africa e Am´rica Latina. ca e O agente etiol´gico ´ o Vibrio cholerae, o qual coloniza o intestino delgado e produz o e uma enterotoxina respons´vel pela doen¸a. Sem tratamento imediato um indiv´ a c ıduo infectado podem morrer de desidrata¸˜o em quest˜o de horas. O tratamento reduz o ca a n´ mero de mortes para 1% dos casos diagn´sticados. No entanto, 50% dos indiv´ u o ıduos infectados s˜o assintom´ticos e constituem uma importante fonte de infec¸˜o. a a ca A transmiss˜o pode ocorrer de duas formas, pelo contato direto com o vibri˜o via a a fezes contaminadas ou atrav´s do contato indireto com ´gua e/ou comida contaminada. e a Nas regi˜es onde a c´lera ´ endˆmica, sua dinˆmica exibe um ou dois picos anuais com o o e e a pronunciada variabilidade inter-anual. A ` semelhan¸a de outras doen¸as endˆmicas, os c c e surtos de c´lera est˜o associados a sazonalidade, a deteriora¸˜o do meio ambiente, a o a ca virulˆncia da bact´ria e a imunidade do indiv´ e e ıduo. Portanto, a intera¸˜o entre esses ca fatores determina a dinˆmica da c´lera em uma regi˜o espec´ a o a ıfica. Uma tarefa dif´ na preven¸˜o desta doen¸a reside na concep¸˜o de alternativas ıcil ca c ca de baixo custo que s˜o eficazes e sustent´veis. O controle cl´ssico engloba melho- a a a rias no sistema de saneamento, tratamento da ´gua e campanhas de divulga¸˜o sobre a ca a transmiss˜o da doen¸a, as quais ressaltam a importˆncia da higiene pessoal e ali- a c a mentar no controle da c´lera. V. cholerae resistentes ao tratamento por antibi´ticos o o foram identificadas pela primeira vez no M´xico em 1991 e rapidamente se espalharam e pela Am´rica Central. Desde ent˜o, resistˆncia bacterial se tornou um problema na e a e preven¸˜o e controle da c´lera. Vacina¸˜o constitue uma op¸˜o real para o controle ca o ca ca da c´lera, entretando uma vacina efetiva e de baixo custo ainda n˜o foi desenvolvida. o a Efeitos colaterias, baixa eficiˆncia, alto custo, existˆncia de bact´rias resistentes e baixa e e e imunidade tornam as campanhas de vacina¸˜o impratic´veis. Por ultimo, a tendˆncia ca a ´ e global do aumento de viagens para regi˜es endˆmicas para a c´lera consititue um risco o e o para a dissemina¸˜o desta doen¸a para outras regi˜es. ca c o Um desafio impotante na epidemiologia da c´lera ´ explicar como os surtos podem o e ser t˜o explosivos e, ao mesmo tempo, limitados ao ponto de epidemias ocorrerem a duas vezes ao ano. Alguns trabalhos associam este fato a estados hiper-infecciosos da 1 pio@ibb.unesp.br 1
  • 36. bact´ria, outros as infec¸˜es assintom´ticas e outros a fatores clim´ticos. A possibili- e co a a dade de que o V. cholerae possa sobreviver em ambientes aqu´ticos por meses ou anos, a em um estado vi´vel mas n˜o cultiv´vel, sugere ainda que o ambiente aqu´tico pode a a a a agir como um reservat´rio deste pat´geno em regi˜es endˆmicas. o o o e Neste trabalho ´ proposto um modelo de equa¸˜es diferenciais ordin´rias para a e co a dinˆmica de c´lera, com o objetivo de explorar e caracterizar o car´ter sazonal da a o a doen¸a e discutir poss´ c ıveis mecanismos de controle. 2
  • 37. Titulo: Análisis y Control de Bifurcaciones Estacionarias.  M.C. David Baca Carrasco.  Departamento de Matemáticas  Universidad de Sonora  davidbc@hades.mat.uson.mx  davidbaca_12@hotmail.com    Resumen.  En los sistemas biológicos se presentan con mucha frecuencia diversos tipos de bifurcaciones, las cuales  tienen  una  interpretación  de  acuerdo  al  modelo  que  las  presenta.  Por  otro  lado,  el  control  de  bifurcaciones  se  refiere  a  la  tarea  de  designar  un  control  que  pueda  modificar  las  propiedades  de  la  bifurcación de un sistema dado, así como alcanzar algún comportamiento deseable en la dinámica.  Los  objetivos  típicos  del  control  de  bifurcaciones  incluye  el  retraso  del  inicio  de  una  bifurcación  inherente introduciendo una nueva bifurcación en un valor de parámetro deseado; cambiando el valor  del parámetro en un punto de bifurcación existente; modificando la forma o el tipo de una bifurcación  en  cadena;  estabilizando  una  solución  bifurcada  o  rama;  monitoreando  la  multiplicidad;  amplitud  y/o  frecuencia  de  algunos  ciclos  límite  que  emergen  de  bifurcaciones;  optimizando  el  funcionamiento  del  sistema cerca de un punto de bifurcación, o una combinación de alguno de estos objetivos.   En  el  trabajo  que  a  continuación  se  presenta,  se  hace  un  estudio  sobre  el  análisis  y  el  control  de  las  bifurcaciones  estacionarias:  silla‐nodo,  transcrítica  y  trinche.  Así  mismo,  se  presentan  algunas  aplicaciones a modelos biológicos.   
  • 38. Simulation of Calcium Oscillations and the Electrical Activity of the Pancreatic β Cells During an Oral Glucose Tolerance Test ´ Roberto Avila-Pozos 1 , J. Azpiroz Leehan 2 , H. Trujillo 2 and J.R. God´ 2,∗ ınez ´ 1. Area Acad´mica de Matem´ticas y F´ e a ´ ısica, UAEH, Pachuca, Hgo., MEXICO 2. Departamento de Ingenier´ El´ctrica, UAM-Iztapalapa, M´xico, D.F., MEXICO ıa e e ´ ∗ e-mail: ravila@uaeh.edu.mx Introduction The Type 2 Diabetes Mellitus constitutes a serious problem of public health. For a precise diagnosis of the diabetes, a denominated Oral Glucose Tolerance test is made. Diabetes Mellitus is diagnosed when the levels of the glucose concentration in the blood exceed a certain limit after ingesting a standard glucose load. This excess in the glucose concentration in the blood is caused fundamentally by an insufficient liberation of the insulin, released by the pancreatic β-cells. Electrophysiological studies of the β-cells have shown the mechanisms by which the insulin is secreted to the circulatory torrent. The β-cells store the insulin in packages, and when the glucose concentration in blood arises, the insulin is released by exocytosis. So that the exocytosis process goes off is required as well of a pulsating elevation of the concentration of the intracellular Ca++ ([Ca++ ]). The source of Ca++ comes from i the extracellular medium, and enter to the β-cell via voltage dependent Ca++ channels [1, 6]. The pulsating elevation of the [Ca++ ] in the β-cell is product of the burst of electrical i activity, that consists of action potentials over a depolarized plateau [2, 6]. The action potentials are generated by currents of Ca++ that increase the [Ca++ ] [1, 7]. When the i glucose concentration is in its basal level, the β-cells shown a resting potential without electrical activity. The resting potential is mediated by K+ channels, such as the KAT P channels. KAT P channels are open in absence of ATPi and they close on depending by the concentration of intracellular ATPi ([ATPi]) [9]. When [glucose] in blood is increased, and introduces into the β-cells causing an increase in the basal level of ATPi [1], which diminishes the fraction of opened KAT P channels, depolarized the cell [9]. This depolarization reaches a level threshold that generates burst of action potentials with the consequent pulsating elevation of Ca++ and insulin liberation [7]. Electrophysiological techniques have contributed i to a detailed description of the voltage dependence and the kinetic of the ionic channels in the β-cells, which has allowed to formulate equations that describe their behavior. Also, has been reported functions that describe the behavior of KAT P channels with respect to [ATPi ] [7]. Furthermore, experimental graphs offer information about the temporary course of the increase on ATPi before an extracellular glucose load. In this work, we described the simulation of the electrical activity of the β-cells induced during an oral glucose tolerance test in normal subjects. The model describes the glucose level in blood, the increase of associated ATPi , the burst of action potentials and the pulsating elevation of Ca++ indispensable for i the liberation of insulin. The model reproduces experimental data at systemic and cellular level. The model predicts a basal level of optimal ATPi for a suitable electrical answer before an extracellular glucose load. This could indicate that the alteration in the basal level of ATPi can be one of the mechanisms that generate Type 2 Diabetes Mellitus.
  • 39. Methods Simulations were developed in MatLab v.7 (The MathWorks, Inc.). For the quantitative description of [glucose] in blood during the oral glucose tolerance test, we used the model developed by Trujillo [8]. Mathematical model for the description of the electrical activity of the β-cells was taken from Godinez [6], that is a modified version of Chay [4, 3, 5] which describes the electrical properties of the β-cells and also considere the changes in [Ca++ ]. To i this model, we incorporate the change in the membrane resistance generated by the action of the glucose, for which the mathematical description reported by Fridlyand [7] was used. The model completed when incorporating the increase of the ATPi according to the extracellular glucose levels, for which the data published by Ainscow [1] were used. To the experimental graph of the temporary course of the change in the basal level of ATPi that reports these authors, we fit an exponential function with time constant of 100 seconds. Results We simulate the electrical activity of a β-cells in absence of extracellular glucose (not shown); the membrane potential VM is greater than -50 mV and the concentration of Ca++ was 150i nM. Fig 1A, shows the results obtained at the beginning of the OGTT after a glucose load. At t=0 with normal glycemia, the β-cells are silent but show a reduction in the resting potential and increases the basal level of Ca++ . i At t=60 min, when the maximum glucose is reached (Fig 1B), burst activity causes a depo- larization. Associated to this type of electrical activity, an increase in the Ca++ is induced. i The level average of the Ca++ was increased and it was accompanied by oscillations at the i end of each burst of action potentials. Discussion Several models have seen used to describe the electrical activity of pancreatic β-cells. Each one of them makes emphasis in some topic related to some recent experimental finding. Nev- ertheless, there is not a model of the electrical activity and the changes in [Ca++ ] in terms of i the values of [glucose] in blood. The electrophysiological studies at cellular level report a de- polarization and increase in the electrical activity of the β-cells when increasing extracellular glucose. Our model reproduces these results. Due the importance of the oscillation of Ca++ i in the pulsating insulin liberation, diverse mechanisms have seen proposed to explain the transitory of Ca++ . Our results indicate that the increase average of the ATPi induced by i hiperglycemia, is the factor generates burst of action potentials and the oscillating increase of the Ca++ is product of the activation and inactivation of ionic channels. In addition, basal i [ATPi ] is critical for a suitable induction of the insulin release in response to an increase of glucose.
  • 40. Figure 1: A. Reduction of resting potencial (top), increase of Ca++ (bottom) due an increase in i blood glucose (5 mM) in oral glucose tolerance test at t=0 min. B. Burst of action potential (top), oscillations in Ca++ (bottom) at maximum glycemia (15 mM), 60 min after a glucose load. i References [1] D. E. K. Ainscow and G. A. Rutte. Glucose-stimulated oscillations in free cytosolic ATP concentration imaged in single islet β-cells. Diabetes, 51(1), (2002). [2] R. M. Barbosa, A. M. Silva, A. R. Tom´, J. A. Stamford, R. M. Santos, and L. M. e Rosario. Control of pulsatile 5-HT/insulin secretion from single mouse pancreatic islets by intracellular calcium dynamics. J Physiol., 510:135–143, (1998). [3] T. Chay. Minimal model for membrane oscillation in the pancreatic β-cell. Biophys J, 42:181–190, (1983). [4] T. Chay. On the effect of the intracelular calcium-sensitive K+ channel in the bursting pancreatic β-cell. Biophys J, 50:765–777, (1986). [5] T. Chay and J. Kaizer. Theory of the effect of extracellular potassium on oscillations in the pancreatic β-cell. Biophys J, 48:815–827, (1985).
  • 41. [6] R. Godinez and G. Urbina. Simulacion de la actividad electrica de las celulas beta del pancreas. Rev Mex de Ing Biomed, XIV(1):21–29, (1993). [7] N. T. L. E. Fridlyand and L. H. Philipson. Modeling of Ca++ flux in pancreatic β-cells: role of the plasma membrane and intracellular stores. Am J Physiol Endocrinol Metab, 285:E138–E154, (2003). [8] H. Trujillo and R. R.Roman. Does a single time function adequately describe blood glucose concentration dynamics during an OGTT? Medical Hypotheses, 62:53–61, (2004). [9] P. O. Westermark and A. Lansner. A model of phosphofructokinase and glycolytic oscil- lations in the pancreatic β-cell. Biophys J, 85:126–139, (2003).
  • 42. Manejo óptimo de un recurso pesquero considerando un área marina protegida Jaime Huincahue-Arcos y Eduardo González-Olivares Grupo de Ecología, Instituto de Matemáticas, Facultad de Ciencias Ponti…cia Universidad Católica de Valparaíso email: jhuincahuearcos@gmail.com; ejgonzal@ucv.cl http://ima.ucv.cl Julio 2009 1 INTRODUCCIÓN En este trabajo analizamos el comportamiento de modelos determinista tiempo continuo considerando la optimización del manejo de un recurso pesquero [3, 4]. Se asume que la población está dividida en dos áreas separadas espacialmente: una parte de la población se desarrolla en una zona marina protegida (MPA) [2, 6, 11] y otra está en una zona donde se efectúa la pesca o explotación del recurso en acceso abierto [5]. Si se establece prohibición de explotación en el área protegida se transforma en una reserva marina [12, 14, 17], la puede asumirse como un refugio de la especie explotada [9, 16]. Si la población se reproduce sólo en la reserva marina se tiene un modelo fuente-sumidero, en el cual el área marina protegida se puede considerar como la fuente y el área de explotación como un sumidero [1, 13]. En este trabajo consideraremos que existe un ‡ de población sólo desde la ujo zona protegida hacia la zona de libre explotación, pero también podría consider- arse un ‡ en ambos sentidos, dejando de ser así un modelo fuente-sumidero. ujo Uno de los objetivos del trabajo será la determinación de la política de captura optimal de la industria pesquera considerando que se debe maximizar el valor presente de las ganancias netas de la industria. Se efectuarán comparaciones de los resultados obtenidos en modelos sin reser- vas marinas o con los resultados obtenidos para modelos diferentes [1, 2, 6]. 2 EL MODELO El modelo a analizar es descrito por el sistema bidimensional de ecuaciones diferenciales no lineales autónomo 1
  • 43. ( dx1 x1 m x1 dt = r1 1 K x1 x1 + a x1 q1 x1 E1 X : dx2 x2 m x1 (1) dt = r2 1 L x2 + x1 + a x1 q2 x2 E2 donde x1 = x1 (t) y x2 = x2 (t) son los tamaños poblacionales de las pobla- m x ciones fuente y sumidero, respectivamente, la función m (x1 ) = x1 +1 a es la función de migración, h (xi ) = qi xi Ei con i = 1; 2, indica la función de captura o extracción y el crecimiento de la población explotada es del tipo logístico, dejando de ser un sistema del tipo Kolmogorov [7, 8]. Los parámetros son todos positivos, o sea, = (r1 ; K; m; a; q1 ; s; L; r2 ; q2 ) 2 R9 y tienen diferentes signi…cados ecológicos. + Si se considera q1 = 0, el sistema representa un modelo de reserva marina en la cual no es permitida la pesca, mientras que si 0 < q1 E1 < q2 E2 , el sistema representa un modelo de extracción en áreas marinas protegidas, es decir, en la primera podría ser destinada a pesquería artesanal o de orilla, y la segunda representar una pesquería de alta mar, representando una pesquería no selectiva del recurso. 2.1 EL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN Para establecer la determinación de la política de captura optimal de la industria pesquera se buscará maximizar el valor presente de la industria descrito por el funcional de costo o índice de desempeño [10, 15] Z 1 J= e t (x1 ; x2 ; E1 ; E2 ) dt (2) 0 donde (x1 ; x2 ; E1 ; E2 ) = p1 q1 x1 E1 c1 E1 + p2 q2 x2 E2 c2 E2 , es la ganancia neta de la industria. Usando el Principio del Máximo de Pontryagin [3] se deberá obtener el Hamiltoniano con el objeto de determinar la política optimal. Posteriormente se mostrarán algunas simulaciones para evidenciar los resultados obtenidos. References [1] C. W. Armstrong and A. Skonhoft, Marine reserves: A bio-economic model with asymmetric density-dependent migration. Ecological Economics 57 (2005) 466-476. [2] P. Cartigny, W. Gómez and H. Salgado, The spatial distribution of small- and large-scale …sheries in a marine protected area, Ecological Modelling 212 (2008) 513– 521. [3] C. W. Clark, Mathematical Bioeconomics: the Optimal Management of Renewable Resources, 2nd ed. Wiley, 1990. 2
  • 44. [4] C. W. Clark, The worldwide crisis in …sheries: Economic models and hu- man behavior, Cambridge University Press (2006). [5] F. Córdova-Lepe, E. González-Olivares and M. Pinto, Source-sink impul- sive Bio-economic models. Fixed and variables close-seasons, submitted to Journal of Di¤erence Equations and Applications (2008). [6] B. Dubey, P. Chandra, P. Sinha. A model for …shery resource with reserve area. Nonlinear Analysis: Real World Applications 4 (2003) 625–637. [7] H. I. Freedman. Deterministic Mathematical Model in Population Ecology. Marcel Dekker 1980. [8] B-S Goh. Management and Analysis of Biological Populations. Elsevier Sci- enti…c Publishing Company, 1980. [9] E. González-Olivares and R. Ramos-Jiliberto, Dynamic consequences of prey refuges in a simple model system: more prey, fewer predators and enhanced stability, Ecological Modelling 106 135-146, 2003. [10] T. K. Kar and H. Matsuda, A bioeconomic model of a single-species …shery with a marine reserve, Journal of Environmental Management 86 (2008) 171-180. [11] M. G., Neubert, Marine reserves and optimal harvesting, Ecology Letters 6 (2003) 843–849. [12] J. C. V. Pezzey, C. M. Roberts, B. T. Urdal, A simple bioeconomic model of a marine reserve, Ecological Economics 33 (2000) 77–91. [13] H. R. Pulliam, Sources, sinks, and population regulation. The American Naturalist 132 (1988) 652-661. [14] J. Sanchirico and J. Wilen, A bioeconomic model of marine reserve creation. Journal of Environmental Economics and Management 42 (2001) 257– 276. [15] P. D. N. Srinivasu, Bioeconomics of a renewable resource in presence of a predator, Nonlinear Analysis: Real World Applications 2 (2001) 497– 506. [16] P. D. N. Srinivasu and I. L. Gayitri, In‡uence of prey reserve capacity on predator-prey dynamics.Ecological Modelling 181 (2005) 191-202. [17] C. White, B. E. Kendall, S. Gaines, D. A. Siegel and C. Costello, Marine reserve e¤ects on …shery pro…t, Ecology Letters 11 (2008) 370–379 3