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Conjuntos Inductivos
                   Helmuth villavicencio fern´ndez
                                             a


  1. Determinar si el conjunto

                                    1
                             A=        :n∈N
                                   n+1

    Es inductivo ¿Es bien ordenado?

Soluci´n
      o
  1. Supongamos que A sea inductivo, entonces debe cumplirse que N ⊆ A
                                                 1
     luego 1 ∈ A entonces ∃k0 ∈ N tal que 1 =        ⇒ k0 = 0 ∈ N as´ A no
                                                              /     ı
                                              k0 + 1
     es inductivo.

    Supongamos que A es bien ordenado luego tendr´ elemento m´
                                                   ıa        ınimo, sea
                                            1
    este k ∈ A luego ∃n0 ∈ N tal que k =
                                         n0 + 1
                   k
    Afirmaci´n:o      ∈A
                   2
    En efecto; basta tomar 2n0 + 1 ∈ N y formar el elemento:
           1            1      k           k
                  =          = ∈ A pero < k.
    (2n0 + 1) + 1    2n0 + 2   2           2
    De la afirmaci´n deducimos que A no tiene m´
                  o                           ınimo (absurdo!), luego A
    no es bien ordenado.




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  • 1. Conjuntos Inductivos Helmuth villavicencio fern´ndez a 1. Determinar si el conjunto 1 A= :n∈N n+1 Es inductivo ¿Es bien ordenado? Soluci´n o 1. Supongamos que A sea inductivo, entonces debe cumplirse que N ⊆ A 1 luego 1 ∈ A entonces ∃k0 ∈ N tal que 1 = ⇒ k0 = 0 ∈ N as´ A no / ı k0 + 1 es inductivo. Supongamos que A es bien ordenado luego tendr´ elemento m´ ıa ınimo, sea 1 este k ∈ A luego ∃n0 ∈ N tal que k = n0 + 1 k Afirmaci´n:o ∈A 2 En efecto; basta tomar 2n0 + 1 ∈ N y formar el elemento: 1 1 k k = = ∈ A pero < k. (2n0 + 1) + 1 2n0 + 2 2 2 De la afirmaci´n deducimos que A no tiene m´ o ınimo (absurdo!), luego A no es bien ordenado. 1