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Conjuntos


1. Sean A y B conjuntos, entonces demostrar que:

                               i)Y ⊆ A, Y ⊆ B
             Y =A∩B ⇔
                               ii)SiX ⊆ A ∧ X ⊆ B ⇒ X ⊆ Y

Soluci´n
      o


1. (⇒) Como Y = A ∩ B ⊆ A ⇒ Y ⊆ A de modo an´logo Y ⊆ B as´ hemos
                                                a            ı
   probado la parte i)
   Para la parte ii) Si X ⊆ A ∧ X ⊆ B ⇒ X ∩ X ⊆ A ∩ B ⇒ X ⊆ Y .

  (⇐) ahora consideramos

                       i)Y ⊆ A, Y ⊆ B
                       ii)SiX ⊆ A ∧ X ⊆ B ⇒ X ⊆ Y

  Debemos probar que Y = A ∩ B lo cual haremos por doble inclusi´n.
                                                                o

  Como Y ⊆ A y Y ⊆ B ⇒ Y ∩ Y ⊆ A ∩ B ⇒ Y ⊆ A ∩ B . . . (α)

  Pero por propiedad de conjuntos se conoce que:

                           A ∩ B ⊆ A, A ∩ B ⊆ B

  Aplicando a esto la hip´tesis ⇒ A ∩ B ⊆ Y . . . (β)
                         o
  Luego de (α), (β) se deduce que Y = A ∩ B.




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  • 1. Conjuntos 1. Sean A y B conjuntos, entonces demostrar que: i)Y ⊆ A, Y ⊆ B Y =A∩B ⇔ ii)SiX ⊆ A ∧ X ⊆ B ⇒ X ⊆ Y Soluci´n o 1. (⇒) Como Y = A ∩ B ⊆ A ⇒ Y ⊆ A de modo an´logo Y ⊆ B as´ hemos a ı probado la parte i) Para la parte ii) Si X ⊆ A ∧ X ⊆ B ⇒ X ∩ X ⊆ A ∩ B ⇒ X ⊆ Y . (⇐) ahora consideramos i)Y ⊆ A, Y ⊆ B ii)SiX ⊆ A ∧ X ⊆ B ⇒ X ⊆ Y Debemos probar que Y = A ∩ B lo cual haremos por doble inclusi´n. o Como Y ⊆ A y Y ⊆ B ⇒ Y ∩ Y ⊆ A ∩ B ⇒ Y ⊆ A ∩ B . . . (α) Pero por propiedad de conjuntos se conoce que: A ∩ B ⊆ A, A ∩ B ⊆ B Aplicando a esto la hip´tesis ⇒ A ∩ B ⊆ Y . . . (β) o Luego de (α), (β) se deduce que Y = A ∩ B. 1