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CONJUNTOS Y RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Estructura Discreta
CONJUNTOS Un conjunto esta constituido por una serie de elementos que poseen una característica o condición especial. Estos elementos se denotan con letras minúsculas (a,b,..) y se encierran entre corchetes {} o círculos   , los conjuntos se identifican por ser denotados por una letra Mayúscula(A,B,C…). El Conjunto Universal es un conjunto que posee todos los elementos, y se denota (U). Ejemplo ,[object Object],R= {-∞…,-2,-1,0,1,2,..∞}
¿COMO DETERMINAMOS UN CONJUNTO? Por EXTENCION Cuando TODOS sus ELEMENTOS son ENUMERADOS uno a uno. EjemploA={z, w ,x} y D={3,6,9} 2. Por COMPRENCION Cuando los elementos de un conjunto, cumplen con una función determinada, la cual esta expresada.      EjemploD = {nє N/ n divide a 3} Lo que quiere decir que D son todos los números divisibles entre tres.
SUBCONJUNTOS Son conjuntos formados por elementos que al mismo tiempo forman parte de otros conjuntos, esto quiere decir que su condición cumple ambos conjuntos.  Un ejemplo claro de esto es:   S es el conjunto formado por todos los perros  de raza salchicha que existen mientras que P es el conjunto formado por todas la razas de perros que existen, entonces decimos claramente que S es un SUBCONJUNTO de P  y se denota S ⊂P  , ya que los Perros salchichas pertenecen al subconjunto S pero al mismo tiempo pertenecen al conjunto P porque son perros.  Diremos que S es subconjunto Propio de P , si se cumple = (S ⊂P) y ( S≠P) Lo que quiere decir que TODOS los elementos de S (perros de raza salchicha) están dentro del conjunto P, pero que no todos los elementos de P (TODAS las razas de perros) esta dentro del conjunto S.
¿CUÁNDO UN CONJUNTO ES VACIO?  Cuando no posee elementos y se denota ᵩA ᵩA={x є A/ x ≠ x } entonces ᵩA  no tiene elementos ya que no existe ningún x dentro de el.(debería satisfacer x=x y como es x ≠ x , quiere decir que no hay).  CONJUNTO POTENCIA   Es el conjunto formado por todos los subconjuntos del mismo. se denota S(P) o 2S Usando el ejemplo anterior donde el conjunto {P} (son todas las razas de los perros),{S}(perros raza salchicha), {B} (perros raza Bóxer), {G} (perros raza Golden) Decimos que:     2S {P} ={{S},{B},{G},{S,B}{S,G}{B,G},{S,B,G}}
IGUALDAD DE CONJUNTOS Dos conjuntos son iguales si y solo si los elementos de ambos son IGUALES. Atreves de diferentes teoremas esto es posible demostrarse ya que: A = B        A C B ^ B C A A es igual a B si y solo si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A. UNION de Conjuntos Considerando J y W dos conjuntos.     {J}= {3,6,9}     y      {W} = {1,5,7} la unión de {J} y{W}, se denota A U B = {xєU / x є J ᵛx є W } Entonces:                     A U B = {1,3,5,6,7,9} es decir que todos los elementos o están en J o en W.
Propiedades de la UNION de Conjuntos A U B : A U A= A A U U= U A U ᵩA = A A U B = B U A INTERSECCION de Conjuntos A ∩ B Significa que algunos elementos de A están presentes en B. Propiedades de la INTERSECCION de Conjuntos A ∩ B: A I A = A , ∀ A   A I U = A , donde U es el conjunto universal A I ᵩA = ᵩA A I B = B I A          
Diferencia de Conjuntos Son todos aquellos elementos que estan en el conjunto A pero no en el conjunto B Ejemplo  Sean A = { 10,20,30,40,50,60}  y B = {10,15,25,30, 45,60} Entonces   A-B ={20,40,50}                           y                       B-A = {15,25,45} Diferencia Simétrica Se denota como  ADB y ADB= (A-BU B-A) Usando el ejemplo anterior podemos decir que la Diferencia Simétrica es  ADB= {20,40,50,15,25,45} Propiedades de la Diferencia de Conjuntos Sean A,B,C tres conjuntos, luego se cumple que: (AUB) - C = (A - C) U (B - C) (A I B) - C = (A - C) I (B - C) (AD B) - C = (A - C) D (B - C) A I ( B - C) = (A I B) - (A I C) (B - C) I A = (B I A) - (C I A)
¿Qué es Considerado Complemento de un Conjunto? El complemento de un conjunto son los elementos que le faltan a el mismo para  para llegar a ser igual a U. Se define C(F) = {xÎ U/ xÏF} Así podemos decir xÎ C(B) Û xÏ B. Ejemplo Si U = {22,32,42,52,62}  y F = {22,32,52} entonces C(F) = {42,62} ,[object Object],Considerando A y B dos conjuntos A - B = AI C(B) C(C(A)) = A  AUC(A) = U  AI C(A) = f  C(U) = f  C(f ) = U  AÌ B Û C(B) Ì C(A)
TEOREMA de LAS LEYES DE MORGAN(para Conjuntos) C(AUB) = C(A) I C(B)  C(AIB) = C(A) U C(B) Ejemplo Hallar los conjuntos A y B sabiendo que U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, C(A)I C(B) = {6} y A I B = {0,5,8}. C(A) I C(B) = {6} por ley de De Morgan C(A)I C(B) = C(AUB), así podemos decir que:C(AUB) = {6} Þ AUB = C(C(AUB)) = {0,1,2,3,4,5,7,8,9} Como A - B = = {7,9} entonces concluimos que A = {0,5,7,8,9} y B = {0,1,2,3,4,5,8}
ALGEBRA DE PRODUCTOS Así como en las proposiciones existen las leyes del álgebra de proposicional, en la teoría de conjuntos tenemos las leyes del álgebra de conjuntos que veremos a continuación ,[object Object]
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Conjuntos y relacion entre conjuntos

  • 1. CONJUNTOS Y RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Estructura Discreta
  • 2.
  • 3. ¿COMO DETERMINAMOS UN CONJUNTO? Por EXTENCION Cuando TODOS sus ELEMENTOS son ENUMERADOS uno a uno. EjemploA={z, w ,x} y D={3,6,9} 2. Por COMPRENCION Cuando los elementos de un conjunto, cumplen con una función determinada, la cual esta expresada. EjemploD = {nє N/ n divide a 3} Lo que quiere decir que D son todos los números divisibles entre tres.
  • 4. SUBCONJUNTOS Son conjuntos formados por elementos que al mismo tiempo forman parte de otros conjuntos, esto quiere decir que su condición cumple ambos conjuntos. Un ejemplo claro de esto es: S es el conjunto formado por todos los perros de raza salchicha que existen mientras que P es el conjunto formado por todas la razas de perros que existen, entonces decimos claramente que S es un SUBCONJUNTO de P y se denota S ⊂P , ya que los Perros salchichas pertenecen al subconjunto S pero al mismo tiempo pertenecen al conjunto P porque son perros. Diremos que S es subconjunto Propio de P , si se cumple = (S ⊂P) y ( S≠P) Lo que quiere decir que TODOS los elementos de S (perros de raza salchicha) están dentro del conjunto P, pero que no todos los elementos de P (TODAS las razas de perros) esta dentro del conjunto S.
  • 5. ¿CUÁNDO UN CONJUNTO ES VACIO? Cuando no posee elementos y se denota ᵩA ᵩA={x є A/ x ≠ x } entonces ᵩA no tiene elementos ya que no existe ningún x dentro de el.(debería satisfacer x=x y como es x ≠ x , quiere decir que no hay). CONJUNTO POTENCIA Es el conjunto formado por todos los subconjuntos del mismo. se denota S(P) o 2S Usando el ejemplo anterior donde el conjunto {P} (son todas las razas de los perros),{S}(perros raza salchicha), {B} (perros raza Bóxer), {G} (perros raza Golden) Decimos que: 2S {P} ={{S},{B},{G},{S,B}{S,G}{B,G},{S,B,G}}
  • 6. IGUALDAD DE CONJUNTOS Dos conjuntos son iguales si y solo si los elementos de ambos son IGUALES. Atreves de diferentes teoremas esto es posible demostrarse ya que: A = B A C B ^ B C A A es igual a B si y solo si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A. UNION de Conjuntos Considerando J y W dos conjuntos. {J}= {3,6,9} y {W} = {1,5,7} la unión de {J} y{W}, se denota A U B = {xєU / x є J ᵛx є W } Entonces: A U B = {1,3,5,6,7,9} es decir que todos los elementos o están en J o en W.
  • 7. Propiedades de la UNION de Conjuntos A U B : A U A= A A U U= U A U ᵩA = A A U B = B U A INTERSECCION de Conjuntos A ∩ B Significa que algunos elementos de A están presentes en B. Propiedades de la INTERSECCION de Conjuntos A ∩ B: A I A = A , ∀ A  A I U = A , donde U es el conjunto universal A I ᵩA = ᵩA A I B = B I A          
  • 8. Diferencia de Conjuntos Son todos aquellos elementos que estan en el conjunto A pero no en el conjunto B Ejemplo Sean A = { 10,20,30,40,50,60} y B = {10,15,25,30, 45,60} Entonces A-B ={20,40,50} y B-A = {15,25,45} Diferencia Simétrica Se denota como ADB y ADB= (A-BU B-A) Usando el ejemplo anterior podemos decir que la Diferencia Simétrica es ADB= {20,40,50,15,25,45} Propiedades de la Diferencia de Conjuntos Sean A,B,C tres conjuntos, luego se cumple que: (AUB) - C = (A - C) U (B - C) (A I B) - C = (A - C) I (B - C) (AD B) - C = (A - C) D (B - C) A I ( B - C) = (A I B) - (A I C) (B - C) I A = (B I A) - (C I A)
  • 9.
  • 10. TEOREMA de LAS LEYES DE MORGAN(para Conjuntos) C(AUB) = C(A) I C(B) C(AIB) = C(A) U C(B) Ejemplo Hallar los conjuntos A y B sabiendo que U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, C(A)I C(B) = {6} y A I B = {0,5,8}. C(A) I C(B) = {6} por ley de De Morgan C(A)I C(B) = C(AUB), así podemos decir que:C(AUB) = {6} Þ AUB = C(C(AUB)) = {0,1,2,3,4,5,7,8,9} Como A - B = = {7,9} entonces concluimos que A = {0,5,7,8,9} y B = {0,1,2,3,4,5,8}
  • 11.
  • 18.
  • 19.
  • 20. TEORIA DE LA CARDINALIDAD DE CONJUNTOS Diremos que un conjunto A es finito si A tiene n elemento, para algún número natural n, es decir, un conjunto es finito si se pueden contar sus elementos. En caso contrario se dice que es infinito. Ejemplo El conjunto {f,k,h,s,b} es finito porque contiene 5 elementos, el conjunto de los números reales, de los números naturales son ejemplos de conjuntos infinitos. DefinimosA un conjunto finito, si: El cardinal de A es 0 si A = f  El cardinal de A es n y lo denotaremos por #A = n si A tiene n elementos     Ejemplo Si F = {0,1,3,5,8,9} entonces #A = 6 Los siguientes teoremas son usados para resolver problemas de la vida cotidiana cuando los conjuntos con los que estamos trabajando son conjuntos finitos. Teorema: Sean A y B dos conjuntos finitos, se cumple        1. B - A) = #B - #(AI B)        2. #(AUB) = #A + #B - #(AI B) Teorema: Si A;B y C son tres conjuntos finitos se cumple #(AUBUC) = #A + #B +#C - #(AI B) - #(AI C) - #(BI C) + #(AI BI C).