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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO 
FACULTAD DE CIENCIAS POLITICAS Y ADMINISTRATIVAS 
RIOBAMBA ECUADOR 
ESCUELA: CONTABILIDAD Y AUDITORÍA DOCENTE: Doctor Marlon Villa Villa Ms.C. 
DISCENTE: FECHA: 2014-10-22 SEMESTRE: 5º “A” 
TEMA: MÉTODO GRÁFICO 
1. INDICACIONES GENERALES 
 La presente Prueba será calificada sobre 4 puntos 
 Cada problema resuelto vale un punto excepto el tercero que vale 2 puntos 
 El tiempo estimado para la prueba es de 50 minutos 
2. C U E S T I O N A R I O. 
Hallar el valor óptimo, la solución óptima, las restricciones activas, las restricciones inactivas, la 
holgura o el excedente de los siguientes problemas. 
1) Una fábrica de pintura produce pinturas para interiores y exteriores, a partir de dos materias 
primas M1 y M2. Por cada tonelada de pintura para interiores se requiere 4 toneladas de M1 y 
2 toneladas de M2. Y para cada tonelada de pintura para exteriores se requiere 6 toneladas de 
M1 y una de M2. Se dispone de 24 toneladas de M1 y 6 de M2 diariamente. La utilidad que 
arroga una tonelada de pintura para exteriores es de $ 5 000 y de una tonelada para interiores 
es de $ 4 000. La demanda máxima diaria de pintura para interiores es de 2 toneladas. Además 
la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a la de pintura para exteriores 
por más de una tonelada. La compañía quiere determinar la mezcla de producción óptima de 
pinturas para interiores y exteriores que maximice las utilidades diarias y satisfaga las 
limitaciones. 
2) Min Z= 3F + 4G 
s.a. F + G ≥ 8 
2F + G ≥ 12 
G ≥ 2 
F ≤ 10 
F , G ≥ 0 
3) Para el siguiente problema de programación lineal: 
Z = 3X1 – 5X2 
Restricciones: 5X1 – 4X2 ≥ -20 
X1 ≤ 8
X2 ≤ 10 
X2 ≥ 3 
5X1 + 4X2 ≥ 20 
Xj ≥0 ; j =1,2 
a) Cuál es el valor de X1 y X2 que maximiza la función objetivo Z. 
b) Cuál es el valor de X1 y X2 que minimiza la función objetivo Z. 
Maximizar: Z= 4000X1+ 5000X2 
1. 4푋1 + 6푋2 ≤ 24 
4푋1 + 6푋2 = 24 
F G 
0 4 
6 0 
2. 2푋1 + 푋2 ≤ 6 
2푋1 + 푋2 = 6 
F G 
0 6 
3 0 
3. 푋1 ≥ 2 
4. 푋2 − 푋1 ≤ 1 
푋1, 푋2 ≤ 0 
1
1. 
4푋1 + 6푋2 = 24 
−4푋1 +2푋2 =12 
4푋2 =12 
푋2 = 3 
2푋1 + 3 = 6 
2푋1 = 6 − 3 
푋1 = 1.5 
2. 
2푋1 + 푋2 = 6 
−2푋1+2푋2=−1 
3푋2=5 
푋2 = 2.5 
2.5 − 푋1 = 1 
푋1 = 1.5 
VALORES ÓPTIMOS 
Z 21000 
X1 1.5 
X2 3 
r.a 1,2 
r.i 3,4
HOLGURAS O EXCEDENTES 
1. 
푿ퟐ − 푯 ≥ ퟐ 
ퟏ. ퟓ − 푯 ≥ ퟐ 
푯 = ퟐ 
2. 
푿ퟏ − 푿ퟐ + 푯 ≤ ퟏ 
ퟑ − ퟏ. ퟓ + 푯 ≤ ퟏ 
푯 = ퟎ. ퟓ 
MINIMIZAR: Z= 3F+ 4G 
1. 퐹 + 퐺 ≥ 8 
F G 
0 8 
8 0 
2. 2퐹 + 퐺 ≥ 12 
F G 
0 12 
6 0 
3. 퐺 ≥ 2 
4. 퐹 ≤ 10 
퐹, 퐺 ≥ 0 
2 
HOLGURA 
EXCEDENTE
푭+푮=ퟖ 
ퟐ푭+푮=ퟏퟐ (−ퟏ) 
−푭= −ퟒ 
푭=ퟒ 
푭 + 푮 = ퟖ 
ퟒ(ퟏ) + 푮 = ퟖ 
ퟒ + 푮 = ퟖ 
푮 = ퟖ − ퟒ 
푮 = ퟒ 
풁 = ퟑ푭 + ퟒ푮 
풁 = ퟑ(ퟒ) + ퟒ(ퟒ) 
풁 = ퟐퟖ 
VALORES ÓPTIMOS 
Z 28 
F 4 
G 4 
R.A. 1,2 
R.I. 3,4
HOLGURAS O EXCEDENTES 
3. 
푭 + 푮 + 푯ퟏ = ퟖ 
ퟒ + ퟒ + 푯ퟏ = ퟖ 
푯ퟏ = ퟖ − ퟖ 
푯ퟏ = ퟎ 
4. 
ퟐ푭 + 푮 + 푯ퟐ = ퟏퟐ 
ퟐ(ퟒ) + ퟒ + 푯ퟐ = ퟏퟐ 
푯ퟐ = ퟏퟐ − ퟏퟐ 
푯ퟐ = ퟎ 
5. 
푮 − 푯ퟑ = ퟐ 
ퟒ − 푯ퟑ = ퟐ 
−푯ퟑ = ퟐ − ퟒ 
−푯ퟑ = −ퟐ 
푯ퟑ = ퟐ 
(excedente) 
6. 
푭 + 푯ퟒ = ퟏퟎ 
ퟒ + 푯ퟒ = ퟏퟎ 
푯ퟒ = ퟏퟎ − ퟒ 
푯ퟒ = ퟔ 
(holgura) 
FUNCIÓN OBJETIVO: 
MAXIMIZAR Z = 3X1 – 5X2 
Restricciones: 
5X1 – 4X2 ≥ -20 
X1 ≤ 8 
X2 ≤ 1 
X2 ≥ 3 
5X1 + 4X2 ≥ 20 
Xj ≥0 ; j =1,2 
1) 5X1 – 4X2 = -20 
x y 
0 
-4 
5 
0 
2) X1 = 8 
3 a)
3) X2 = 10 
4) X2 = 3 
5) 5X1 + 4X2 =20 
x y 
0 
4 
5 
0 
La solución óptima es z=9 
X1= 8 
X2=3
MINIMIZAR: 3 X1 -5 X2 
-5 X1 + 4 X2 ≥ 20 
1 X1 + 0 X2 ≥ 8 
0 X1 + 1 X2 ≥ 10 
0 X1 + 1 X2 ≥ 3 
5 X1 + 4 X2 ≥ 20 
X1, X2 ≥ 0 
El problema no está acotado pero como se trata de un problema de minimización es posible 
encontrar una solución. 
1) 5X1 – 4X2 = -20 
x y 
0 
-4 
5 
0 
2) X1 = 8 
3) X2 = 10 
4) X2 = 3 
5) 5X1 + 4X2 =20 
x y 
0 
4 
5 
0 
b)
Punto 
Coordenada X 
(X1) 
Coordenada Y 
(X2) 
Valor de la función objetivo 
(Z) 
O 0 0 0 
A 0 5 -25 
B 8 15 -51 
C 4 10 -38 
D 8 0 24 
E 8 10 -26 
F 8 3 9 
G 0 10 -50 
H 0 3 -15 
I 1.6 3 -10.2 
J 4 0 12 
NOTA: 
En color verde los puntos en los que se encuentra la solución. 
En color rojo los puntos que no pertenecen a la región factible
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Corrección

  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLITICAS Y ADMINISTRATIVAS RIOBAMBA ECUADOR ESCUELA: CONTABILIDAD Y AUDITORÍA DOCENTE: Doctor Marlon Villa Villa Ms.C. DISCENTE: FECHA: 2014-10-22 SEMESTRE: 5º “A” TEMA: MÉTODO GRÁFICO 1. INDICACIONES GENERALES  La presente Prueba será calificada sobre 4 puntos  Cada problema resuelto vale un punto excepto el tercero que vale 2 puntos  El tiempo estimado para la prueba es de 50 minutos 2. C U E S T I O N A R I O. Hallar el valor óptimo, la solución óptima, las restricciones activas, las restricciones inactivas, la holgura o el excedente de los siguientes problemas. 1) Una fábrica de pintura produce pinturas para interiores y exteriores, a partir de dos materias primas M1 y M2. Por cada tonelada de pintura para interiores se requiere 4 toneladas de M1 y 2 toneladas de M2. Y para cada tonelada de pintura para exteriores se requiere 6 toneladas de M1 y una de M2. Se dispone de 24 toneladas de M1 y 6 de M2 diariamente. La utilidad que arroga una tonelada de pintura para exteriores es de $ 5 000 y de una tonelada para interiores es de $ 4 000. La demanda máxima diaria de pintura para interiores es de 2 toneladas. Además la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a la de pintura para exteriores por más de una tonelada. La compañía quiere determinar la mezcla de producción óptima de pinturas para interiores y exteriores que maximice las utilidades diarias y satisfaga las limitaciones. 2) Min Z= 3F + 4G s.a. F + G ≥ 8 2F + G ≥ 12 G ≥ 2 F ≤ 10 F , G ≥ 0 3) Para el siguiente problema de programación lineal: Z = 3X1 – 5X2 Restricciones: 5X1 – 4X2 ≥ -20 X1 ≤ 8
  • 2. X2 ≤ 10 X2 ≥ 3 5X1 + 4X2 ≥ 20 Xj ≥0 ; j =1,2 a) Cuál es el valor de X1 y X2 que maximiza la función objetivo Z. b) Cuál es el valor de X1 y X2 que minimiza la función objetivo Z. Maximizar: Z= 4000X1+ 5000X2 1. 4푋1 + 6푋2 ≤ 24 4푋1 + 6푋2 = 24 F G 0 4 6 0 2. 2푋1 + 푋2 ≤ 6 2푋1 + 푋2 = 6 F G 0 6 3 0 3. 푋1 ≥ 2 4. 푋2 − 푋1 ≤ 1 푋1, 푋2 ≤ 0 1
  • 3. 1. 4푋1 + 6푋2 = 24 −4푋1 +2푋2 =12 4푋2 =12 푋2 = 3 2푋1 + 3 = 6 2푋1 = 6 − 3 푋1 = 1.5 2. 2푋1 + 푋2 = 6 −2푋1+2푋2=−1 3푋2=5 푋2 = 2.5 2.5 − 푋1 = 1 푋1 = 1.5 VALORES ÓPTIMOS Z 21000 X1 1.5 X2 3 r.a 1,2 r.i 3,4
  • 4. HOLGURAS O EXCEDENTES 1. 푿ퟐ − 푯 ≥ ퟐ ퟏ. ퟓ − 푯 ≥ ퟐ 푯 = ퟐ 2. 푿ퟏ − 푿ퟐ + 푯 ≤ ퟏ ퟑ − ퟏ. ퟓ + 푯 ≤ ퟏ 푯 = ퟎ. ퟓ MINIMIZAR: Z= 3F+ 4G 1. 퐹 + 퐺 ≥ 8 F G 0 8 8 0 2. 2퐹 + 퐺 ≥ 12 F G 0 12 6 0 3. 퐺 ≥ 2 4. 퐹 ≤ 10 퐹, 퐺 ≥ 0 2 HOLGURA EXCEDENTE
  • 5. 푭+푮=ퟖ ퟐ푭+푮=ퟏퟐ (−ퟏ) −푭= −ퟒ 푭=ퟒ 푭 + 푮 = ퟖ ퟒ(ퟏ) + 푮 = ퟖ ퟒ + 푮 = ퟖ 푮 = ퟖ − ퟒ 푮 = ퟒ 풁 = ퟑ푭 + ퟒ푮 풁 = ퟑ(ퟒ) + ퟒ(ퟒ) 풁 = ퟐퟖ VALORES ÓPTIMOS Z 28 F 4 G 4 R.A. 1,2 R.I. 3,4
  • 6. HOLGURAS O EXCEDENTES 3. 푭 + 푮 + 푯ퟏ = ퟖ ퟒ + ퟒ + 푯ퟏ = ퟖ 푯ퟏ = ퟖ − ퟖ 푯ퟏ = ퟎ 4. ퟐ푭 + 푮 + 푯ퟐ = ퟏퟐ ퟐ(ퟒ) + ퟒ + 푯ퟐ = ퟏퟐ 푯ퟐ = ퟏퟐ − ퟏퟐ 푯ퟐ = ퟎ 5. 푮 − 푯ퟑ = ퟐ ퟒ − 푯ퟑ = ퟐ −푯ퟑ = ퟐ − ퟒ −푯ퟑ = −ퟐ 푯ퟑ = ퟐ (excedente) 6. 푭 + 푯ퟒ = ퟏퟎ ퟒ + 푯ퟒ = ퟏퟎ 푯ퟒ = ퟏퟎ − ퟒ 푯ퟒ = ퟔ (holgura) FUNCIÓN OBJETIVO: MAXIMIZAR Z = 3X1 – 5X2 Restricciones: 5X1 – 4X2 ≥ -20 X1 ≤ 8 X2 ≤ 1 X2 ≥ 3 5X1 + 4X2 ≥ 20 Xj ≥0 ; j =1,2 1) 5X1 – 4X2 = -20 x y 0 -4 5 0 2) X1 = 8 3 a)
  • 7. 3) X2 = 10 4) X2 = 3 5) 5X1 + 4X2 =20 x y 0 4 5 0 La solución óptima es z=9 X1= 8 X2=3
  • 8. MINIMIZAR: 3 X1 -5 X2 -5 X1 + 4 X2 ≥ 20 1 X1 + 0 X2 ≥ 8 0 X1 + 1 X2 ≥ 10 0 X1 + 1 X2 ≥ 3 5 X1 + 4 X2 ≥ 20 X1, X2 ≥ 0 El problema no está acotado pero como se trata de un problema de minimización es posible encontrar una solución. 1) 5X1 – 4X2 = -20 x y 0 -4 5 0 2) X1 = 8 3) X2 = 10 4) X2 = 3 5) 5X1 + 4X2 =20 x y 0 4 5 0 b)
  • 9. Punto Coordenada X (X1) Coordenada Y (X2) Valor de la función objetivo (Z) O 0 0 0 A 0 5 -25 B 8 15 -51 C 4 10 -38 D 8 0 24 E 8 10 -26 F 8 3 9 G 0 10 -50 H 0 3 -15 I 1.6 3 -10.2 J 4 0 12 NOTA: En color verde los puntos en los que se encuentra la solución. En color rojo los puntos que no pertenecen a la región factible