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República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Educación
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Barcelona – Edo. Anzoátegui
Carrera: Ingeniería Industrial
Área: Matemática IV
NÚMEROS COMPLEJOS
Profesor: Bachiller:
Alexander Noriega MARTÍNEZ, Néstor C.I 28.186.926
Barcelona,Mayo,2020
INTRODUCCIÓN
Tenemos imperecederos números: los naturales (los de contar), los enteros (positivos, negativos y el
cero), racionales(fracciones y decimales) e irracionales(con infinitos decimales sin repetirse). Todos estos
forman los números reales, sin embargo no los tenemos todos. Hay un conjunto de números que la
mayoría de personas desconocen y aquí, vamos a hablar de ellos. Estamos hablando de los denominados
Números Complejos. Ante la insuficiencia de los números reales para denotar raíces de polinomios como
x²+1=0 o generalizando, x²+n=0, donde n puede ser cualquier número mayor o igual que 1. A
continuación nos adentraremos al tema con un poco más de especificación
NÚMEROS COMPLEJOS
Los números complejos son una extensión de los números reales y forman un cuerpo
algebraicamente cerrado. En general, cualquier número complejo se denota por la letra z.
También se le llama número complejo en forma binomial. Al número “a” se le denomina
parte real del número complejo y se denota por “a=Re(z)” , mientras que al número “b” se le
denomina parte imaginaria del número complejo y se denota por “b=Im(z)” .
Si la parte imaginaria de un número complejo vale cero, esto es b = 0, se reduce a un número
real a, ya que z =a + 0i = a.
OPERACIONES ELEMENTALES
Se le llama operaciones elementales al cambiar entre si dos filas de matrices. -Se puede
representar por Fi ? Fj, siendo Fi y Fj dos filas de matrices. -Al multiplicar una fila por un escalar
distinto de cero, se representa por Fi ? a Fj.
Si la parte real de un número complejo vale cero, esto es a = 0, el número complejo se reduce
a bi, y se dice que es un número imaginario puro.
En general, al conjunto de todos números complejos se le designa por el símbolo C. De una
manera más formal, utilizando notación de conjuntos, se le denota como:
NÚMEROS IMAGINARIOS PUROS
Un número imaginario puro se denota por Z = bi; donde:
• b es un número real
• i es la unidad imaginaria
Recordemos que su parte real es 0, es decir, a=Re(z)=0. A los números complejos cuya parte
real es distinta de cero también se les puede llamar simplemente números imaginarios.
 Los números complejos:
Se denominan opuestos o contrarios.
 Los números complejos:
Se denominan complejos conjugados.
Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma
componente imaginaria, es decir:
OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS
Suma y resta: El procedimiento para efectuar estas operaciones es similar que en los números reales o sea la parte
real de un numero complejo se sumara o se restara con la parte real de otro numero complejo y la parte imaginaria
de un numero complejo se sumara o se restara con la parte imaginaria de otro numero complejo.
El siguiente ejemplo nos dará una idea más amplia de lo que anteriormente se explico.
2+4i+3-5i-8+2i+12+3i+3i = 9+4i
Multiplicación: Debemos recordar que en la multiplicación se efectúan dos operaciones básicas, la multiplicación y
la suma, por lo tanto cuando se efectúe la operación de multiplicar se podrá multiplicar partes reales con partes
reales o con partes imaginarias y viceversa y cuando se tenga que efectuar la operación de sumar será como se
explico en el punto Nº1.
El siguiente ejemplo lo explicara con mucho mas detalle:
2 + 3𝑖 × 3 − 4𝑖 = 6 + 9𝑖
−8𝑖 − 12𝑖2
6 + 1𝑖 − 12𝑖2
División: Cuando se tiene que efectuar la división de dos números complejos, el proceso a seguir
es similar al que se lleva a cabo cuando se racionaliza un denominador, en otras palabras el
número complejo que se va a dividir se le multiplicará tanto al dividendo como al divisor el
conjugado del divisor y lo que resulte será el resultado.
Ejemplo: Dividir entre:
3+2𝑖
2+2𝑖
∙
2−2𝑖
2−2𝑖
=
6−2𝑖−42
4−4𝑖2 =
6−2𝑖+4
4+4
=
10−2𝑖
8
TEOREMA DEL BINOMIO
El teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima
de n (siendo n, entero positivo) de un binomio. De acuerdo con el teorema, es posible calcular la
potencia (x + y)n para cualquier número entero positivo utilizando:
Donde la expresión nCr es equivalente a y se calcula por la fórmula combinatoria:
Potencias: Para efectuar esta operación se seguirán las indicaciones que se explicaron en el
Teorema del Binomio.
Ejemplo:
Recordar que:
Raíces: La operación de calcular las Raíces de un Número Complejo es como si eleváramos ese
Número Complejo a una Potencia Fraccionaria y por lo tanto y de acuerdo con el Teorema del
Binomio el desarrollo tiende a Infinito.
Ejemplo: Encontrar la raíz cuarta de:
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Los números complejos se representan gráficamente en el plano cartesiano (que en este caso
de va a llamar plano complejo, PC por sus iniciales) en forma de vector posicional, es decir, un
vector cuyo punto inicial es el origen y su punto final el punto (a,b), también llamado afijo del
número complejo. El eje X se llama eje real y el eje Y, eje imaginario.
Al plano complejo también se le conoce como plano de Argand.
Se utiliza para representar las posiciones de los polos y los ceros de una función en un plano
complejo.
REPRESENTACIÓN BINOMICA
Un número complejo representado como un punto (en rojo) y un vector de posición (azul) en
un diagrama de Argand; Z = a+bi es la expresión binomial del punto.
FORMA CANÓNICA
Es una manera estándar de presentar ese objeto como una expresión matemática . La
distinción entre las formas "canónicos" y "normal" varía según el sub campo. En la mayoría de
los campos, una forma canónica especifica una única representación para cada objeto, mientras
que una forma normal simplemente especifica su forma, sin el requisito de exclusividad. La
forma canónica de un número entero positivo en representación decimal es una secuencia finita
de dígitos que no comience con cero.
Los Números Complejos tienen la forma canónica, en donde es la parte Real y es la parte
imaginaria. Como cualquier número Real los Números Complejos también tienen su negativo y
su conjugado, el primero se obtiene de multiplicar él número complejo por -1, y el segundo se
obtiene de cambiar el signo de la parte Imaginaria.
Trataremos de explicar lo anterior con los siguientes ejemplos:
FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO
La forma polar de un numero complejo z = x + y i corresponde precisamente a su
representación en coordenadas polares, donde los referentes para la ubicación de un punto en el
plano son: la distancia del punto al origen y el ángulo que forma la parte positiva del eje real
con el rayo que va del origen al punto, medido en forma contraria a las manecillas del reloj.
Si (r, θ) son las coordenadas polares del complejo z = x + y i, diremos que θ es el argumento
de z o que arg(z) = θ: si se exige que −π < θ ≤ π se dice que θ es el argumento principal de z,
Arg(z) = θ. Para nosotros, argumento significa argumento principal.
Si usted calcula el argumento principal de un complejo usando la tangente inversa:
Debe tener en cuenta que la división pierde a quien corresponde el signo y por tanto
debemos corregir esa perdida.
INVERSO DE UN NÚMERO COMPLEJO
1. Graficar z.
2. Graficar el conjugado de z, z.
3. Trazar el rayo del origen a z.
4. Graficar el círculo unitario.
5. Localizar B.
6. Localizar A.
7. Trazar el segmento z − B.
8. Trazar por A un segmento paralelo a z − B.
9. Localizar la intersección sobre el rayo 0 a z.
Observe como se calcula el inverso del
modulo de z (Es decir, el modulo del inverso de
z): las líneas rosas son paralelas y los puntos
auxiliares A y B están sobre el circulo unitario.
DESIGUALDAD TRIANGULAR
La desigualdad triangular es una igualdad si, y solamente si uno de ellos es un múltiplo
positivo del otro; equivalentemente, están en una misma semirrecta a partir del origen. La suma
de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que el tercer lado. Lo
mismo pasará si queremos ir del punto amarillo al rojo (a+b>c) o del azul al rojo (a+c>b).
MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO
El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de
coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.
NÚMEROS COMPLEJOS CONJUGADOS
Dos números complejos son conjugados si tienen el mismo módulo y opuestos sus
argumentos.
FÓRMULA DE MOIVRE
Sea n un numero entero no negativo y un numero complejo zo escrito convenientemente en
la forma polar zo = a cis (α). Supongamos que deseamos obtener un complejo z = r cis (θ) tal
que:
POTENCIAS Y RAICES
Las potencias y las raíces de un numero complejo son fáciles de calcular cuando el complejo
esta en su notación polar:
CONCLUSIÓN
Los números complejos son de fundamental importancia para la ingeniería, especialmente
para la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas
electromagnéticas y la corriente eléctrica. Gracias a esta particularidad, los números complejos
se han convertido en una herramienta de gran eficacia en nuestra vida actual dando por hecho
el campo evolutivo que nos ayuda a desarrollar continuamente el día a día.
BIBLIOGRAFÍA
o Wikipedia.Recuperadode:https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo
o Matesfácil.Recuperadode:https://www.matesfacil.com/matrices/matrices2.html
o Lemat.unican. Recuperado de:
https://www.lemat.unican.es/lemat/proyecto_lemat/complejos/nivel3/teoria/complejos16.html
o Varsitytutors. Recuperado de:
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/polar-form-of-a-complex-
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o Maeckes.Recuperadode:http://www.maeckes.nl/Notatie%20(canonica)%20ES.html

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Dapositivas de Números complejos

  • 1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular Para la Educación Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño” Barcelona – Edo. Anzoátegui Carrera: Ingeniería Industrial Área: Matemática IV NÚMEROS COMPLEJOS Profesor: Bachiller: Alexander Noriega MARTÍNEZ, Néstor C.I 28.186.926 Barcelona,Mayo,2020
  • 2. INTRODUCCIÓN Tenemos imperecederos números: los naturales (los de contar), los enteros (positivos, negativos y el cero), racionales(fracciones y decimales) e irracionales(con infinitos decimales sin repetirse). Todos estos forman los números reales, sin embargo no los tenemos todos. Hay un conjunto de números que la mayoría de personas desconocen y aquí, vamos a hablar de ellos. Estamos hablando de los denominados Números Complejos. Ante la insuficiencia de los números reales para denotar raíces de polinomios como x²+1=0 o generalizando, x²+n=0, donde n puede ser cualquier número mayor o igual que 1. A continuación nos adentraremos al tema con un poco más de especificación
  • 3. NÚMEROS COMPLEJOS Los números complejos son una extensión de los números reales y forman un cuerpo algebraicamente cerrado. En general, cualquier número complejo se denota por la letra z. También se le llama número complejo en forma binomial. Al número “a” se le denomina parte real del número complejo y se denota por “a=Re(z)” , mientras que al número “b” se le denomina parte imaginaria del número complejo y se denota por “b=Im(z)” . Si la parte imaginaria de un número complejo vale cero, esto es b = 0, se reduce a un número real a, ya que z =a + 0i = a.
  • 4. OPERACIONES ELEMENTALES Se le llama operaciones elementales al cambiar entre si dos filas de matrices. -Se puede representar por Fi ? Fj, siendo Fi y Fj dos filas de matrices. -Al multiplicar una fila por un escalar distinto de cero, se representa por Fi ? a Fj.
  • 5. Si la parte real de un número complejo vale cero, esto es a = 0, el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro. En general, al conjunto de todos números complejos se le designa por el símbolo C. De una manera más formal, utilizando notación de conjuntos, se le denota como:
  • 6. NÚMEROS IMAGINARIOS PUROS Un número imaginario puro se denota por Z = bi; donde: • b es un número real • i es la unidad imaginaria Recordemos que su parte real es 0, es decir, a=Re(z)=0. A los números complejos cuya parte real es distinta de cero también se les puede llamar simplemente números imaginarios.
  • 7.  Los números complejos: Se denominan opuestos o contrarios.  Los números complejos: Se denominan complejos conjugados.
  • 8. Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria, es decir:
  • 9. OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS Suma y resta: El procedimiento para efectuar estas operaciones es similar que en los números reales o sea la parte real de un numero complejo se sumara o se restara con la parte real de otro numero complejo y la parte imaginaria de un numero complejo se sumara o se restara con la parte imaginaria de otro numero complejo. El siguiente ejemplo nos dará una idea más amplia de lo que anteriormente se explico. 2+4i+3-5i-8+2i+12+3i+3i = 9+4i
  • 10. Multiplicación: Debemos recordar que en la multiplicación se efectúan dos operaciones básicas, la multiplicación y la suma, por lo tanto cuando se efectúe la operación de multiplicar se podrá multiplicar partes reales con partes reales o con partes imaginarias y viceversa y cuando se tenga que efectuar la operación de sumar será como se explico en el punto Nº1. El siguiente ejemplo lo explicara con mucho mas detalle: 2 + 3𝑖 × 3 − 4𝑖 = 6 + 9𝑖 −8𝑖 − 12𝑖2 6 + 1𝑖 − 12𝑖2
  • 11. División: Cuando se tiene que efectuar la división de dos números complejos, el proceso a seguir es similar al que se lleva a cabo cuando se racionaliza un denominador, en otras palabras el número complejo que se va a dividir se le multiplicará tanto al dividendo como al divisor el conjugado del divisor y lo que resulte será el resultado. Ejemplo: Dividir entre: 3+2𝑖 2+2𝑖 ∙ 2−2𝑖 2−2𝑖 = 6−2𝑖−42 4−4𝑖2 = 6−2𝑖+4 4+4 = 10−2𝑖 8
  • 12. TEOREMA DEL BINOMIO El teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima de n (siendo n, entero positivo) de un binomio. De acuerdo con el teorema, es posible calcular la potencia (x + y)n para cualquier número entero positivo utilizando:
  • 13. Donde la expresión nCr es equivalente a y se calcula por la fórmula combinatoria:
  • 14. Potencias: Para efectuar esta operación se seguirán las indicaciones que se explicaron en el Teorema del Binomio. Ejemplo:
  • 16. Raíces: La operación de calcular las Raíces de un Número Complejo es como si eleváramos ese Número Complejo a una Potencia Fraccionaria y por lo tanto y de acuerdo con el Teorema del Binomio el desarrollo tiende a Infinito. Ejemplo: Encontrar la raíz cuarta de:
  • 17. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Los números complejos se representan gráficamente en el plano cartesiano (que en este caso de va a llamar plano complejo, PC por sus iniciales) en forma de vector posicional, es decir, un vector cuyo punto inicial es el origen y su punto final el punto (a,b), también llamado afijo del número complejo. El eje X se llama eje real y el eje Y, eje imaginario.
  • 18. Al plano complejo también se le conoce como plano de Argand. Se utiliza para representar las posiciones de los polos y los ceros de una función en un plano complejo.
  • 19. REPRESENTACIÓN BINOMICA Un número complejo representado como un punto (en rojo) y un vector de posición (azul) en un diagrama de Argand; Z = a+bi es la expresión binomial del punto.
  • 20. FORMA CANÓNICA Es una manera estándar de presentar ese objeto como una expresión matemática . La distinción entre las formas "canónicos" y "normal" varía según el sub campo. En la mayoría de los campos, una forma canónica especifica una única representación para cada objeto, mientras que una forma normal simplemente especifica su forma, sin el requisito de exclusividad. La forma canónica de un número entero positivo en representación decimal es una secuencia finita de dígitos que no comience con cero.
  • 21. Los Números Complejos tienen la forma canónica, en donde es la parte Real y es la parte imaginaria. Como cualquier número Real los Números Complejos también tienen su negativo y su conjugado, el primero se obtiene de multiplicar él número complejo por -1, y el segundo se obtiene de cambiar el signo de la parte Imaginaria. Trataremos de explicar lo anterior con los siguientes ejemplos:
  • 22.
  • 23. FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO La forma polar de un numero complejo z = x + y i corresponde precisamente a su representación en coordenadas polares, donde los referentes para la ubicación de un punto en el plano son: la distancia del punto al origen y el ángulo que forma la parte positiva del eje real con el rayo que va del origen al punto, medido en forma contraria a las manecillas del reloj.
  • 24.
  • 25. Si (r, θ) son las coordenadas polares del complejo z = x + y i, diremos que θ es el argumento de z o que arg(z) = θ: si se exige que −π < θ ≤ π se dice que θ es el argumento principal de z, Arg(z) = θ. Para nosotros, argumento significa argumento principal.
  • 26. Si usted calcula el argumento principal de un complejo usando la tangente inversa: Debe tener en cuenta que la división pierde a quien corresponde el signo y por tanto debemos corregir esa perdida.
  • 27. INVERSO DE UN NÚMERO COMPLEJO 1. Graficar z. 2. Graficar el conjugado de z, z. 3. Trazar el rayo del origen a z. 4. Graficar el círculo unitario. 5. Localizar B. 6. Localizar A. 7. Trazar el segmento z − B. 8. Trazar por A un segmento paralelo a z − B. 9. Localizar la intersección sobre el rayo 0 a z.
  • 28. Observe como se calcula el inverso del modulo de z (Es decir, el modulo del inverso de z): las líneas rosas son paralelas y los puntos auxiliares A y B están sobre el circulo unitario.
  • 29. DESIGUALDAD TRIANGULAR La desigualdad triangular es una igualdad si, y solamente si uno de ellos es un múltiplo positivo del otro; equivalentemente, están en una misma semirrecta a partir del origen. La suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que el tercer lado. Lo mismo pasará si queremos ir del punto amarillo al rojo (a+b>c) o del azul al rojo (a+c>b).
  • 30. MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.
  • 31. NÚMEROS COMPLEJOS CONJUGADOS Dos números complejos son conjugados si tienen el mismo módulo y opuestos sus argumentos.
  • 32. FÓRMULA DE MOIVRE Sea n un numero entero no negativo y un numero complejo zo escrito convenientemente en la forma polar zo = a cis (α). Supongamos que deseamos obtener un complejo z = r cis (θ) tal que:
  • 33. POTENCIAS Y RAICES Las potencias y las raíces de un numero complejo son fáciles de calcular cuando el complejo esta en su notación polar:
  • 34. CONCLUSIÓN Los números complejos son de fundamental importancia para la ingeniería, especialmente para la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica. Gracias a esta particularidad, los números complejos se han convertido en una herramienta de gran eficacia en nuestra vida actual dando por hecho el campo evolutivo que nos ayuda a desarrollar continuamente el día a día.
  • 35. BIBLIOGRAFÍA o Wikipedia.Recuperadode:https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo o Matesfácil.Recuperadode:https://www.matesfacil.com/matrices/matrices2.html o Lemat.unican. Recuperado de: https://www.lemat.unican.es/lemat/proyecto_lemat/complejos/nivel3/teoria/complejos16.html o Varsitytutors. Recuperado de: https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/polar-form-of-a-complex- number o Maeckes.Recuperadode:http://www.maeckes.nl/Notatie%20(canonica)%20ES.html