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V1 Grado 10 - Página 1 de 5
DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE
matemáticas - grado 10
Lib
ertad y O r
d
en
Reconoce que no todos los números son racionales, es decir, no
todos los números se pueden escribir como una fracción de
enteros a/b. Por ejemplo, conoce una demostración del hecho de
que 2 no es racional.
Expresa un número racional con expansión decimal periódica o
finita como una fracción. Reconoce que todo número (racional
o irracional) tiene una expansión decimal y encuentra una
sucesión de racionales que lo aproxima. Por ejemplo:
Reconoce que los números racionales tienen expansión decimal
que es finita o infinita eventualmente periódica, mientras que
para los irracionales es infinita y no periódica.
Comprende el concepto de límite de una sucesión.
1
2
Reconoce la familia de funciones logarítmicas f (x) = loga
(x) unto
con su dominio, rango, propiedades y gráficas.3
La razón de cambio promedio entre los meses
10 y 30 está dada por:
La razón de cambio promedio es una aproximación al cambio real
pero en muchas ocasiones no lo refleja con precisión. Por ejemplo,
entre el mes 10 y el mes 11 la población creció menos que 510
peces y entre el mes 25 y 26 la población creció más que 510
peces. Sin embargo, al cabo de los 20 meses (entre el mes 10 y el
30) el cambio en la población fue igual al que se hubiera produci-
do si la población hubiese crecido exactamente 510 peces
cada mes.
Por ejemplo, la siguiente gráfica muestra la temperatura C(t) de una
sopa que se colocó sobre un fogón durante 20 minutos y después
se retiró para que se enfriara.
La pendiente de la tangente en (30,C(30)) es aproximadamente
-1,8ºC/min, lo cual significa que la razón de cambio instantáneo de
la temperatura con respecto al tiempo en t=30 es de -1,8ºC/min. Es
decir, alrededor de t=30 minutos, la temperatura disminuyó aproxi-
madamente 1,8ºC cada minuto.
Población
(en cientos de peces)
Reconoce la noción razón de cambio instantáneo de una
función en un punto x=a:5
a²
b²
a
b
2b² a²=2 = 2=
● Imagine que sombrea medio círculo, después la mitad de lo que
estaba sin sombrear, y así sucesivamente. ¿Qué porción del círculo
ha sombreado en cada paso y cuál es el límite si continúa
indefinidamente?
● El punto de corte con el eje x
es 1.
● A medida que x aumenta, el
valor de la función aumenta.
● El dominio es (0,∞).
● El rango es el conjunto de los
números reales.
Si continuamos este proceso indefinidamente, la porción del círculo
sombreada estará cada vez más cerca del círculo completo.
n = 1
3
4
1
2
n = 2
7
8
n = 3
n
15
16
n = 4
límite
∞
1 2 ...3 4
...
n
Porción del círculo
coloreada: n
2
2 - 1n
2
1
2
1
4
1
0,75
4
3₊ ₌
₌
4
3
8
1
8
7₊ ₌
10
10 20 30
70
56
Tiempo (en meses)
razón de cambio
promedio
cambio en población
cambio en tiempo
=
510 peces/mes=
5600 peces - 1000 peces
20 meses
2 2,4 2,43 2,429 2,4286 2,42857 · · ·
1 1,4 1,41 1,414 1,4142 1,41421 · · · 2
17
7
=
xa
A P
P
P
P
Pendiente = Razón de cambio
instantáneo de f en a
t
20 30 504010
20
40
60
y
Pendiente = razón de cambio instantánea
≈ -1,8 °C / min
Tiempo en minutos
Temperatura en ºC
● Como la pendiente de la
recta tangente a la gráfica en
el punto A.
● Como el valor al que tienden
las razones de cambio
promedio de la función entre
x=a y puntos cada vez más
cercanos a éste.
y = c(t)
Suponer que 2 se escribe como una fracción lleva a una contradicción.
En cualquier número al cuadrado el número de primos en que se descompone es
par (si descompone cualquier número en primos y se eleva al cuadrado, entonces
cada primo se elevará al cuadrado). Por lo tanto en a² y en b² hay un número par
de 2’s. Así en el lado izquierdo de la última ecuación (2b² ) hay un número impar de
2’s, mientras que en lado derecho (a²) hay un número par de 2’s. Esto muestra que
esos dos lados no pueden ser iguales y, por lo tanto, 2 no puede inscribirse como
una fracción.
x
y y = log₂ x
y = log₃ x
y = log₄ x
21
1
4 Comprende el significado de la razón de cambio promedio
de una función en un intervalo (a partir de gráficas, tablas o
expresiones) y la calcula. Por ejemplo, la gráfica muestra la
cantidad de peces en un lago luego de haber introducido 800
especímenes.
0,874₌
8
7
16
1
16
15₊ ₌
0,9375₌
V1 Grado 10 - Página 2 de 5
DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE
matemáticas - grado 10
Lib
ertad y O r
d
en
Reconoce los cambios generados en las gráficas de funciones
cuando su expresión algebráica presenta variaciones como:
y = f(x)+a, y = bf(x), y = f(x+c), y = f(dx).
Soluciona problemas geométricos en el plano cartesiano. Por
ejemplo, encuentra las coordenadas del punto medio entre dos
puntos, encuentra la distancia entre dos puntos, determina cuándo
dos rectas son paralelas o perpendiculares, determina cuándo tres
puntos son colineales o encuentra la ecuación de un círculo de radio
r con centro (a,b).
● ¿Cuál es la ecuación de un círculo de radio 2 con centro (-2,1)?
Reconoce características generales de las gráficas de las
funciones polinómicas observando regularidades.8
Soluciona inecuaciones del tipo f(x) > 3 o f(x) ≤ g(x),
donde f y g son funciones dadas de forma gráfica o
algebraica. Por ejemplo:
6 9
● El precio de un carro antiguo en el año 1995 era 8 millones, y
en el año 2015 es 24 millones. ¿Cuál será el precio del carro en
el año 2035 si se asume que éste crece de manera exponencial
o lineal?
7
y = x +3
y = x
y = x -1
Traslación vertical
Traslación horizontal Estiramiento vertical y = cf(x)
Contracción vertical
y = f(x) + c
c > 0
c < 0
Reflexiones
Con el eje x
y = -f(x)
3
1
y = x
y = x -13
1
y = x2
y = f(x+c)
c > 0
c < 0
y = (x-3)2
y = (x+2)2
2 3
1. y = ½senx
2. y = senx
3. y = 2senx
0 < c < 1
El círculo de radio 2 con centro (-2, 1) es el
conjunto de todos los puntos P = (x, y) que se
encuentran a distancia 2 del centro:
Ecuación de círculo:
2 = ( x - (-2))2
+ ( y - 1)2
4 = ( x + 2 )2
+ ( y - 1 )2
Distancia del centro
(-2, 1) al punto P
(por el teorema de
Pitágoras)
p (x) = an
xn
+ an
- 1x n - 1
+ . . . + a1
x + a0
grado
an
> 0
an
< 0
grado 2 grado 3 grado 4 grado 5
p (x) se comporta
como an
xn
para
valores grandes de x.
La empresa presenta ganancias
cuando I(n) ≥ C(n) y de lo contrario
presenta pérdidas. A partir de la
gráfica, esta desigualdad se
cumple sólo cuando n se encuentra
aproximadamente entre 400
unidades y 800 unidades.
grado 3 grado 4
● Los ingresos y los costos que genera una fábrica de
zapatos están dados en función del número de unidades
que produce y vende. Las ganancias de la empresa son la
diferencia entre los ingresos y los costos.
Compara y comprende la diferencia entre la variación
exponencial y lineal. Por ejemplo:
● ¿Cuál de las siguientes funciones podría ser una función lineal y
cuál una función exponencial?
1O
● La función f(x) no puede ser lineal
porque a cambios constantes de
x (incrementa 1), los valores de f(x)
no estan variando de forma
aditiva. Revisando los cocientes
entre los valores de f(x) se ve que
para pasar de un valor a otro
siempre se multiplica por 1,5. Así,
f(x) parece ser una función
exponencial de la forma
f(x)=36(1,5)x
.
● La función g(x) no puede ser ni
exponencial ni lineal porque
crece y decrece. Las funciones
exponenciales y lineales siempre
crecen o siempre decrecen.
● La función h(x) presenta
cambios aditivos constantes
(restar 3) cuando x incrementa
1. Así, h(x) parece ser una
función lineal de la forma
h(x)=42-3x.
1000500
pesos
C(n) = costos
I(n) = ingresos
● Soluciona la inecuación x2
> 4.
4
-2 2
y = x2
y = 4
Solución:
( - ∞, -2 ] u [ 2, ∞ )
x2
es mayor o igual a 4 en
estos dos intervalos:
1.
2.
3.
X f(x)
-2 16
g(x)
15
h(x)
48
-1 24 20 45
1 54 24 39
2 81 21 36
0 36 23 42
● Si se asume crecimiento lineal y se toma t como el tiempo en
años desde el año 1995, entonces el precio del carro en
millones es:
P (t) = 8 + 0,8 t Razón de cambio
constante
Cambio en precio
Número de meses
= 24 - 8
20
=
0,8 millones de pesos / año=
n (número de unidades
producidas y vendidas)
c > 1
x
y
P = (x, y)
(-2,1)
-2
1
Suma, resta, multiplica y divide polinomios. Reconoce que un número
"a" es una raíz de un polinomio p(x) si y sólo si (x-a) es un factor de p(x)
y utiliza este hecho para factorizar polinomios simples.
V1 Grado 10 - Página 3 de 5
DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE
matemáticas - grado 10
● Si se asume crecimiento exponencial, la función que modela el precio
en millones sería de la forma Q(t) = 8at
(pues Q(0) = 8 millones).
Como Q(20) = 24 millones, se obtiene:
Utiliza calculadoras y software para encontrar un ángulo en un
triángulo rectángulo conociendo su seno, coseno o tangente.
Por ejemplo:
11
Q(t) = 8 (31/20
)t
Q(t) = 8 x 3t/20
24 = 8a20
3 = a20
31/20 = a
10 20 30 40
25
8
40
72 Asumiendo crecimiento exponencial:
Q(40) = 72
El precio del carro en año 2035 sería
72 millones.
Asumiendo crecimiento lineal:
P(40) = 40
El precio del carro en año 2035
sería 40 millones.
● Soluciona ecuaciones del tipo sen(α) = (utilizando la tecla de
seno inverso en la calculadora).
● Dados dos lados en un triángulo rectángulo, encuentra el lado
restante y todos los ángulos.
5
7
3
4
α
β
d
Hallar el lado a y los ángulos α y β
= 4
3
4
3
tan α
tan1
( )=α
53, 13º=α
= 3
d
3
5
3cos-1
( )5
36, 87º
cos β
=β
=β
≈β
Tiempo en años
Precio del
carro en millones
= 4
d
4
senα
4
sen 53,13º
5
sen α
=d
=d
≈d
Comprende y utiliza la ley del seno y el coseno para resolver
problemas de matemáticas y otras disciplinas que involucren
triángulos no rectángulos. Por ejemplo:
Calcula la distancia a un objeto lejano o inalcanzable utilizando la ley
del seno. Se quiere conocer el ancho de un río, para lo cual un observa-
dor se sitúa justo en una de las orillas y estima que el ángulo entre la
dirección del río y un árbol que observa en la otra orilla mide 53°. El
observador camina 20m como se muestra en la figura y al observar de
nuevo el árbol el ángulo es ahora de 32°. ¿Cuál es el ancho del río?
12
53º 32º
1. 180° - 53° - 32° = 95°
20m
d
=
ancho
d
sen32°
ancho =
ancho =
sen32° x 16,03
8,49m
= sen95°
20d
sen53° x 20
sen95°
sen53°
d
d
=
≈ 16,03
2. Utilizando el teorema del seno
encontramos d
El ancho del río es aproximadamente 8,49m
3.
Reconoce el radián como unidad de medida angular y
conoce su significado geométrico.
Realiza conversiones entre grados y radianes. Por ejemplo:
Halla la longitud de un segmento de circunferencia y el
área de un sector de círculo (por ejemplo, utilizando propor-
cionalidad).
13
θ
r
r
r
δ
θ = 1 rad
δ = 2 rad
1 rad2 rad
3 rad
4 rad
5 rad
6 rad
0 rad
1 rad
=360° 2π rad
=
360°
2π rad
1
=360° 2π rad
= = ≈3rad x 172°
(3rad
360°
2π rad 2π
3x360 °
Utiliza el sistema de coordenadas polares y realiza conver-
siones entre éste y el sistema cartesiano, haciendo uso de
argumentos geométricos y de sus conocimientos sobre las
funciones trigonométricas. Reconoce fortalezas y debilidades
de este sistema de coordenadas.
15
Comprende por qué sen2
(x) + cos2
(x) = 1 y deduce otras
identidades entre funciones trigonométricas.
● El punto con coordenadas cartesianas (4,4) tiene infinitas
coordenadas polares.
● Una misma curva puede tener una ecuación simple o compleja
dependiendo del sistema de coordenadas escogido.
Comprende la definición de las funciones trigonométricas
sen(x) y cos(x), en las cuales x puede ser cualquier número
real y calcula, a partir del círculo unitario, el valor aproxi-
mado de sen(x) y cos(x). También traza sus gráficas e identifi-
ca sus propiedades (rango, dominio y periodo).
14
1
0
-1
6
π
3
π
2
π π 3π 2π
2
r =1
x
y
y = senx
La función seno es periódica con periodo 2π.
El dominio de la función seno es el conjunto de todos los reales.
El rango es [-1,1] ya que el valor máximo que puede tomar la
función es 1 y el mínimo es -1.
4
2
2
π
π 0
2π
(r, θ) = 4 2 ,
4
π
(
( = =4 2 ,
4
-7π
(
( 4 2 , . . .
4
9π
(
(=
45°
45° = 45° rad
πrad
180°
π
4
=x
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V1 Grado 10 - Página 4 de 5
DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE
matemáticas - grado 10
Lib
ertad y O r
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en
Entiende y utiliza la relación entre la probabilidad de que un
evento ocurra y la probabilidad de que no ocurra:
P(A) + P(Ac
) = 1. Por ejemplo:
Reconoce la relación de los conectores lógicos "y" y "o" entre
eventos y las operaciones entre los conjuntos
correspondientes ("y" corresponde a intersección y "o"
corresponde a unión).
Comprende y utiliza la fórmula general para la probabilidad
de que ocurran los eventos A o B. Por ejemplo:
En P(A) + P(B) se está sumando dos veces P(A∩B), luego
El número de elecciones de dos cartas que tienen una Q es:
Calcula e interpreta la probabilidad de que un evento ocurra o
no ocurra en situaciones que involucran conteos con combina-
ciones y permutaciones. Por ejemplo:
16
Calcula y utiliza los percentiles para describir la posición
de un dato con respecto a otros. En particular, entiende que
la mediana corresponde al percentil 50 y comprende cómo los
percentiles ayudan a reconocer la distribución de los datos. Por
ejemplo:
17
● Una lotería se juega con 45 balotas marcadas del 1 al 45 en la que
cada concursante elige seis de éstas. El premio se otorga a las
personas que acierten las seis balotas en cualquier orden. ¿Cuál es
la probabilidad que una persona obtenga el premio?
El espacio muestral es el conjunto de todas las selecciones de seis
balotas de las cuarenta y cinco (sin contar el orden). Hay 45 combi-
nado 6 posibles elecciones de esas seis balotas. Si A es el evento
de acertar las seis balotas, tenemos que:
● ¿Cuál es la probabilidad de sacar cinco cartas de una baraja y que
no salgan corazones?
La probabilidad de que una persona obtenga el premio es aproxi-
madamente 1 en 8 millones.
elegidas de las 39 cartas que
nos son corazones
P (A) = 0,000012%
45
1
8145060
1
6(
(= ≈
El espacio muestral es el conjunto de todas las posibles formas de
seleccionar cinco cartas de una baraja. Su tamaño es pues se
están eligiendo 5 cartas de una baraja que tiene un total de 52 sin
que importe el orden.
● Se lanza una moneda 7 veces, ¿cuál es la probabilidad de que salga
sello al menos una vez? El espacio muestral es el conjunto de todas las
posibilidades. En este caso, éstas se pueden codificar como cadenas
de siete letras utilizando las letras C (cara) y S (sello), por ejemplo
CCSCSSS es un elemento de espacio muestral que corresponde a tres
caras y cuatro sellos en un orden particular. El evento A, de las posibili-
dades en que sale sello al menos una vez, es el conjunto de todas las
cadenas de letras que tienen al menos una S. Es más fácil calcular la
probabilidad de que no ocurra A (la probabilidad de complemento
de A) pues el complemento de A es el conjunto de las cadenas que no
tienen ninguna S (sólo hay una cadena entre las 27 opciones:
CCCCCCC). Así,"
● ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una carta de una
baraja, salga una Q o una K? Sea A el evento de que salga
una K y B el evento de que salga una Q. Hay cuatro K y cuatro
Q en las 52 cartas. A∩B es vacío, pues no puede salir al mismo
tiempo una Q y una K si se elige sólo una carta. Así,
● Que la mediana de los salarios de cierta ciudad, sea 2 millones
de pesos significa que la mitad de las personas tienen un salario
inferior a 2 millones, y que el percentil 75 sea 2,5 millones,
significa que el 25% de la población de dicha ciudad tiene un
salario superior a 2,5 millones.
● Andrés consultó sus resultados de la prueba Saber 11 y fue
informado que en la prueba de matemáticas está ubicado en
el percentil 56. Esto significa que el 56% de todos los estudi-
antes que presentaron la prueba en el país obtuvieron un
puntaje menor al suyo.
● ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar dos cartas de una
baraja salga una Q o una K? El espacio muestral es el conjunto
de todas las selecciones de dos cartas en una baraja de 52
(sin contar el orden). Hay posibles elecciones de dos
cartas. Sea A el evento de que salga una K y B el evento de
que salga una Q. En esta ocasión A∩B no es vació, consiste
precisamente de todas las elecciones de una Q y una K.
● ¿Cuál es la probabilidad de que en una fiesta de 40 personas al
menos dos personas cumplan el mismo día (es decir, mismo día y
mes)? Es más facil calcular la probabilidad de que ese evento no
ocurra, pues esto corresponde al evento que todos tengan fechas
de cumpleaños distintas, la cual se puede calcular utilizando
permutaciones:
52
5(
(
Probabilidad de elegir
cinco cartas que no
sean corazones
Número de elecciones de cinco
cartas que no incluyen corazones
Número de elecciones de cinco cartas
= =
39
5(
(
52
5(
( 22%≈
P(A) = 1 P(Ac
) = 1 99,2%
1
27
- - ≈
# de opciones para el cumpleaños
de la primera persona
# de opciones para el cumpleaños de la segunda
persona (debe ser distinto al de la primera)
# de posibilidades para los cumpleaños de 40
personas (sin importar si estos se repiten o no)
Probabilidad de que
todos tengan
compleaños distintos
365 x 364 x 363 x . . . x 326
36540
365! / 325!
36540
= =
Ocurren los eventos A o B Ocurren los eventos A y B
P(A) + P(B) - P(A∩B)
P(A B) =
∩
P(A) + P(B) P(A∩B) = 4
52
+ -- 4 0 15,4%
52
≈
P(A B) =P(A) + P(B) P(A∩B) =
4 x 51
+ -- 30%≈
(
(52
2
4 x 51
(
(52
2
4 x 4
(
(52
2
∩
52
2(
(
4 x 51
# de elecciones de la Q
entre las 4 que hay
# de elecciones para la otra
carta (puede ser cualquiera)
8 145 060
6! (45 - 6)!
45!45
6(
( ==
= 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 16!
P(A B) =
∩
A B
∩
A∩B
Por lo tanto, la probabilidad de que en una fiesta de 40 personas al
menos dos personas cumplan el mismo día es aproximadamente 89%.
Probabilidad de que
haya al menos dos
cumpelaños iguales
Probabilidad de que
todos tengan cumpleaños
distintos
1
365! / 325!
36540
= - 1 0,89123 ...
89%≈
=-=
Derechos Básicos de Aprendizaje • V.2
74
1.
Utiliza las propiedades de los números reales
para justificar procedimientos y diferentes
representaciones de subconjuntos de ellos.
Evidencias de aprendizaje
m	Argumenta la existencia de los números
irracionales.
m	Utiliza representaciones geométricas de los
números irracionales y los ubica en una recta
numérica.
m	Describe la propiedad de densidad de los números
reales y utiliza estrategias para calcular un número
entre otros dos.
Ejemplo
	 A partir de construcciones como la de la figura
elabora argumentos para mostrar que raíz
cuadrada de dos no puede representarse como
la división de dos enteros. Los catetos de los
triángulos son números enteros.
	 Identifica que en cada nuevo elemento de
la sucesión el nuevo triángulo construido es
rectángulo isósceles.
	 Determina si la sucesión de figuras puede
continuarse. ¿cuántos nuevos elementos puede
tener hasta cubrir por completo BC?
2.
Utiliza las propiedades algebraicas de
equivalencia y de orden de los números
reales para comprender y crear estrategias
que permitan compararlos y comparar
subconjuntos de ellos (por ejemplo, intervalos).
Evidencias de aprendizaje
m	Ordena de menor a mayor o viceversa números
reales.
m	Describe el ‘efecto’ que tendría realizar operaciones
con números reales (positivos, negativos, mayores
y menores que 1) sobre la cantidad.
m	Utiliza las propiedades de la equivalencia para
realizar cálculos con números reales.
Ejemplo
	 A la ‘máquina’ de la figura se le introducen
números, los procesa de acuerdo con una regla
y arroja los resultados.
	 La máquina puede realizar los siguientes
procesos:
	 Proceso 1: “Toma el número de entrada y lo divide
entre 0,25”.
	 Proceso 2: “Toma el número de entrada y lo
multiplica por 5”.
	 Proceso 3. “Toma el número de entrada y le saca
raíz cuadrada”.
	 Determina los conjuntos de salida, si se toman
los números de entrada en cada uno de los
conjuntos dados;
Matemáticas • Grado 10º
Matematicas DBA_Final.indd 74 12/10/16 3:39 p.m.
Derechos Básicos de Aprendizaje • V.2
75
3.
Resuelve problemas que involucran el
significado de medidas de magnitudes
relacionales (velocidad media, aceleración
media) a partir de tablas, gráficas y expresiones
algebraicas.
Evidencias de aprendizaje
m	Reconoce la relación funcional entre variables
asociadas a problemas.
m	Interpreta y expresa magnitudes definidas
como razones entre magnitudes (velocidad,
aceleración, etc.), con las unidades respectivas
y las relaciones entre ellas.
m	Utiliza e interpreta la razón de cambio para resolver
problemas relacionados con magnitudes como
velocidad, aceleración.
m	Explica las respuestas y resultados en un problema
usando las expresiones algebraicas y la pertinencia
de las unidades utilizadas en los cálculos.
Ejemplo
	 Al arrojar piedras a un lago de aguas tranquilas se
van formando ondas circulares concéntricas, las
cuales van aumentando de tamaño a medida
que transcurre el tiempo. Una onda exterior tiene
un radio de 80 cm y la rapidez con la que aumenta
su radio es de 0,3 m/s. El aumento del tamaño
de las ondas significa que aumenta el radio y
por lo tanto el área de los círculos concéntricos.
	 Discute la rapidez con la cual aumenta el área del
círculo formado por la onda. Completa la tabla
calculando la rapidez con la que aumenta el área
de las ondas, para t = 1, 2, 3, respectivamente.
Compara, a partir de gráficas cartesianas, el
cambio de radio, de la rapidez de cambio del
radio, el cambio de las áreas y la rapidez del
cambio de área.
	 Discute sobre las magnitudes que son razones
de otras magnitudes, sus unidades y la solución
de ecuaciones.
Radio (m) Área del Tiempo 	 Rapidez
		círculo (m2
) (seg) (m2
/s)
0,1				 1
				 2
		 0,09 π 	 3
	 Conjunto 1: 1, 1 , 1
			 10 100 1000
	 Conjunto 2: [0, 0.5)
	 Conjunto 3: [5,∞)
	 Conjunto 4: [-1.5, -0.5]
	 Margarita dijo “yo pensaba que dividir siempre
daba como resultado un número más pequeño,
ahora me doy cuenta que no”. Analiza la validez
de la afirmación y justifica la decisión tomada.
Matemáticas • Grado 10º
Matematicas DBA_Final.indd 75 12/10/16 3:39 p.m.
Derechos Básicos de Aprendizaje • V.2
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4.
Comprende y utiliza funciones para modelar
fenómenos periódicos y justifica las soluciones.
Evidencias de aprendizaje
m	Reconoce el significado de las razones
trigonométricas en un triángulo rectángulo para
ángulos agudos, en particular, seno, coseno y
tangente.
m	Explora, en una situación o fenómeno de variación
periódica, valores, condiciones, relaciones
o comportamientos, a través de diferentes
representaciones.
m	Calcula algunos valores de las razones seno y
coseno para ángulos no agudos, auxiliándose
de ángulos de referencia inscritos en el círculo
unitario.
m	Reconoce algunas aplicaciones de las funciones
trigonométricas en el estudio de fenómenos
diversos de variación periódica, por ejemplo:
movimiento circular, movimiento del péndulo,
del pistón, ciclo de la respiración, entre otros.
m	Modela fenómenos periódicos a través de
funciones trigonométricas.
Ejemplo
	 Construye un disco de radio 12 cm con diferentes
colores, de tal forma que cada franja de color
se encuentre a una distancia determinada con
respecto al centro del disco. El primer color (azul
claro) se encuentra desde el centro del disco
hasta un radio de 5 cm y los demás colores
tienen un ancho de un centímetro.
	 Representa en un plano cartesiano el movimiento
que realiza una marca que se hace en algunos
de las franjas del disco, cuando éste se hace
girar. El centro del disco de colores está en
(0, 0). Determina los tiempos en los que la marca
gira 30° más a partir de su posición de inicio
a =0° y realiza la gráfica para estas dos variables
hasta una vuelta completa del disco.
5.
Explora y describe las propiedades de los
lugares geométricos y de sus transformaciones
a partir de diferentes representaciones.
Evidencias de aprendizaje
m	Localiza objetos geométricos en el plano
cartesiano.
m	Identifica las propiedades de lugares geométricos
a través de sus representación en un sistema de
referencia.
m	Utiliza las expresiones simbólicas de las cónicas
y propone los rangos de variación para obtener
una gráfica requerida.
m	Representa lugares geométricos en el plano
cartesiano, a partir de su expresión algebraica.
Ejemplo
	 Con un software de geometría dinámica y
mediante la escritura de las ecuaciones diseña
la imagen de la figura. Realiza su propio diseño.
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	 Realiza un vídeo (editor de videos Windows Movie
Maker de office o Virtual Dub) acerca del paso
a paso del diseño. En caso de no contar con
un software de geometría dinámica realiza en
papel milimetrado la construcción.
6.
Comprende y usa el concepto de razón de
cambio para estudiar el cambio promedio y el
cambio alrededor de un punto y lo reconoce
en representaciones gráficas, numéricas y
algebraicas.
Evidencias de aprendizaje
m	Utiliza representaciones gráficas o numéricas
para tomar decisiones, frente a la solución de
problemas prácticos.
m	Determina la tendencia numérica en relación
con problemas prácticos como predicción del
comportamiento futuro.
m	Relaciona características algebraicas de las
funciones, sus gráficas y procesos de aproximación
sucesiva.
Ejemplo
	 Difusión del sarampión. La difusión del sarampión
en cierta escuela está dada por la expresión,
200
		 1+e (5-t)
	 donde t representa el número de días desde
la aparición del sarampión, y P(t) representa
el número total de estudiantes que se han
contagiado hasta la fecha.
	 Estima tanto el número inicial de estudiantes
infectados como el número de estudiantes que
se contagiarán.
	 Determina cuándo se presenta la máxima tasa
de difusión del sarampión e indica cuál es esa
tasa.
	 Nota: Se pide la “máxima tasa” de variación
que es diferente al valor máximo para P(t). Una
estimación geométrica es posible.
7.
Resuelve problemas mediante el uso de
las propiedades de las funciones y usa
representaciones tabulares, gráficas y
algebraicas para estudiar la variación, la
tendencia numérica y las razones de cambio
entre magnitudes.
Evidencias de aprendizaje
m	Utiliza representaciones gráficas o numéricas
para tomar decisiones en problemas prácticos.
m	Usa la pendiente de la recta tangente como
razón de cambio, la reconoce y verbaliza
en representaciones gráficas, numéricas y
algebraicas.
m	Utiliza la razón entre magnitudes para tomar
decisiones sobre el cambio.
m	Relaciona características algebraicas de las
funciones, sus gráficas y procesos de aproximación
sucesiva.
P(t)=
Matemáticas • Grado 10º
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Ejemplo2
	 Al lanzar un cohete, el combustible se quema
durante algunos segundos, acelerando hacia
arriba. Después de consumirse el combustible,
el cohete sigue ascendiendo durante un tiempo
y luego comienza a caer. Una pequeña carga
explosiva expulsa un paracaídas poco después
que el cohete comienza a descender. El
paracaídas evita que el cohete se estrelle. La
gráfica muestra los datos de velocidad durante
el vuelo. Utiliza la gráfica para determinar: la
velocidad del cohete cuando se para el motor,
el tiempo de funcionamiento del motor, el tiempo
cuando alcanzó el cohete el punto más alto y
su velocidad en ese momento.
	 En el momento en que el paracaídas se abrió,
determina la velocidad de caída del cohete,
el tiempo de caída antes de que se abriera el
paracaídas, la velocidad y la aceleración máxima
del cohete.
	 2
	Tomado de Cálculo de una variable. Finney, Dema-
na, Waits y Kennedy. Prentice Hall. Segunda Edición.
2000.
8.
Selecciona muestras aleatorias en poblaciones
grandes para inferir el comportamiento de las
variables en estudio. Interpreta, valora y analiza
críticamente los resultados y las inferencias
presentadas en estudios estadísticos.
Evidencias de aprendizaje
m	Define la población de la cual va a extraer las
muestras.
m	Define el tamaño y el método de selección de
la muestra.
m	Construye gráficas para representar las
distribuciones de los datos muestrales y encuentra
los estadígrafos adecuados. Usa software cuando
sea posible.
m	Hace inferencias sobre los parámetros basadas
en los estadígrafos calculados.
m	Hace análisis críticos de las conclusiones de los
estudios presentados en medios de comunicación
o en artículos científicos.
Ejemplo
	 Con la información que se presenta tanto en la
página web (http://banrep.gov.co/es/encuesta-
expectativas-trimestral) como en la siguiente ficha
técnica, elabora un informe crítico al estudio
realizado por el Banco de la República sobre
las expectativas económicas.
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	 http://banrep.gov.co/es/encuesta-expectativas-
trimestral
9.
Comprende y explica el carácter relativo de las
medidas de tendencias central y de dispersión,
junto con algunas de sus propiedades, y la
necesidad de complementar una medida
con otra para obtener mejores lecturas de
los datos.
Evidencias de aprendizaje
m	Encuentra las medidas de tendencia central
y de dispersión, usando, cuando sea posible,
herramientas tecnológicas.
m	Interpreta y compara lo que representan cada
una de las medidas de tendencia central en un
conjunto de datos.
m	Interpreta y compara lo que representan cada
una de las medidas de dispersión en un conjunto
de datos.
m	Usa algunas de las propiedades de las medidas de
tendencia central y de dispersión para caracterizar
un conjunto de datos.
m	Formula conclusiones sobre la distribución de
un conjunto de datos, empleando más de una
medida.
Ejemplo
	 Se realizó un estudio para determinar la durabilidad
de dos marcas de llantas para moto, para esto,
se escogieron al azar 20 llantas de cada marca y
se pusieron a prueba. Los resultados se presentan
en las siguientes tablas.
	 Encuentra la medida que mejor representa los
datos, justifica su elección y decide cuál es la
marca con mayor durabilidad.
No. de
llantas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Durabilidad
de las llantas
marca 1
(meses)
24,3
23,5
25,7
26,5
24,3
24,6
26,2
25,7
24,6
25,4
26,4
24,7
23,2
25,4
24,5
27,1
26,8
23,4
24,8
25,6
Durabilidad
de las llantas
marca 2
(meses)
24,5
25,8
25,7
26,5
24,7
25,4
24,8
25,9
5,4
24,2
24,5
25,2
23,4
25,8
26,9
25,3
23,5
24,4
22,8
21,5
10.
Propone y realiza experimentos aleatorios
en contextos de las ciencias naturales o
sociales y predice la ocurrencia de eventos,
en casos para los cuales el espacio muestral
es indeterminado.
Evidencias de aprendizaje
m	Plantea o identifica una pregunta cuya solución
requiera de la realización de un experimento
aleatorio.
m	Identifica la población y las variables en estudio.
m	Encuentra muestras aleatorias para hacer
predicciones sobre el comportamiento de las
variables en estudio.
m	Usa la probabilidad frecuencial para interpretar
la posibilidad de ocurrencia de un evento dado.
m	Infiere o valida la probabilidad de ocurrencia
del evento en estudio.
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Ejemplo							
En una revista médica se menciona lo siguiente:
“Se ha estimado que la probabilidad de que una
persona fumadora muera de una enfermedad
asociada con el consumo del cigarrillo es de
aproximadamente 1”.
2
Se trata de describir un método posible por medio
del cual se haya podido llegar a este resultado.
“Afirma que el estudio se pudo realizar en una
muestra aleatoria de la población de personas
fumadoras en donde se calculó la probabilidad
de que una persona fumadora muera de una
enfermedad asociada con el consumo del
cigarrillo. Concluye que lo previsible es que en
esa muestra el resultado haya sido 1.”						
2
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  • 1. V1 Grado 10 - Página 1 de 5 DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE matemáticas - grado 10 Lib ertad y O r d en Reconoce que no todos los números son racionales, es decir, no todos los números se pueden escribir como una fracción de enteros a/b. Por ejemplo, conoce una demostración del hecho de que 2 no es racional. Expresa un número racional con expansión decimal periódica o finita como una fracción. Reconoce que todo número (racional o irracional) tiene una expansión decimal y encuentra una sucesión de racionales que lo aproxima. Por ejemplo: Reconoce que los números racionales tienen expansión decimal que es finita o infinita eventualmente periódica, mientras que para los irracionales es infinita y no periódica. Comprende el concepto de límite de una sucesión. 1 2 Reconoce la familia de funciones logarítmicas f (x) = loga (x) unto con su dominio, rango, propiedades y gráficas.3 La razón de cambio promedio entre los meses 10 y 30 está dada por: La razón de cambio promedio es una aproximación al cambio real pero en muchas ocasiones no lo refleja con precisión. Por ejemplo, entre el mes 10 y el mes 11 la población creció menos que 510 peces y entre el mes 25 y 26 la población creció más que 510 peces. Sin embargo, al cabo de los 20 meses (entre el mes 10 y el 30) el cambio en la población fue igual al que se hubiera produci- do si la población hubiese crecido exactamente 510 peces cada mes. Por ejemplo, la siguiente gráfica muestra la temperatura C(t) de una sopa que se colocó sobre un fogón durante 20 minutos y después se retiró para que se enfriara. La pendiente de la tangente en (30,C(30)) es aproximadamente -1,8ºC/min, lo cual significa que la razón de cambio instantáneo de la temperatura con respecto al tiempo en t=30 es de -1,8ºC/min. Es decir, alrededor de t=30 minutos, la temperatura disminuyó aproxi- madamente 1,8ºC cada minuto. Población (en cientos de peces) Reconoce la noción razón de cambio instantáneo de una función en un punto x=a:5 a² b² a b 2b² a²=2 = 2= ● Imagine que sombrea medio círculo, después la mitad de lo que estaba sin sombrear, y así sucesivamente. ¿Qué porción del círculo ha sombreado en cada paso y cuál es el límite si continúa indefinidamente? ● El punto de corte con el eje x es 1. ● A medida que x aumenta, el valor de la función aumenta. ● El dominio es (0,∞). ● El rango es el conjunto de los números reales. Si continuamos este proceso indefinidamente, la porción del círculo sombreada estará cada vez más cerca del círculo completo. n = 1 3 4 1 2 n = 2 7 8 n = 3 n 15 16 n = 4 límite ∞ 1 2 ...3 4 ... n Porción del círculo coloreada: n 2 2 - 1n 2 1 2 1 4 1 0,75 4 3₊ ₌ ₌ 4 3 8 1 8 7₊ ₌ 10 10 20 30 70 56 Tiempo (en meses) razón de cambio promedio cambio en población cambio en tiempo = 510 peces/mes= 5600 peces - 1000 peces 20 meses 2 2,4 2,43 2,429 2,4286 2,42857 · · · 1 1,4 1,41 1,414 1,4142 1,41421 · · · 2 17 7 = xa A P P P P Pendiente = Razón de cambio instantáneo de f en a t 20 30 504010 20 40 60 y Pendiente = razón de cambio instantánea ≈ -1,8 °C / min Tiempo en minutos Temperatura en ºC ● Como la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto A. ● Como el valor al que tienden las razones de cambio promedio de la función entre x=a y puntos cada vez más cercanos a éste. y = c(t) Suponer que 2 se escribe como una fracción lleva a una contradicción. En cualquier número al cuadrado el número de primos en que se descompone es par (si descompone cualquier número en primos y se eleva al cuadrado, entonces cada primo se elevará al cuadrado). Por lo tanto en a² y en b² hay un número par de 2’s. Así en el lado izquierdo de la última ecuación (2b² ) hay un número impar de 2’s, mientras que en lado derecho (a²) hay un número par de 2’s. Esto muestra que esos dos lados no pueden ser iguales y, por lo tanto, 2 no puede inscribirse como una fracción. x y y = log₂ x y = log₃ x y = log₄ x 21 1 4 Comprende el significado de la razón de cambio promedio de una función en un intervalo (a partir de gráficas, tablas o expresiones) y la calcula. Por ejemplo, la gráfica muestra la cantidad de peces en un lago luego de haber introducido 800 especímenes. 0,874₌ 8 7 16 1 16 15₊ ₌ 0,9375₌
  • 2. V1 Grado 10 - Página 2 de 5 DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE matemáticas - grado 10 Lib ertad y O r d en Reconoce los cambios generados en las gráficas de funciones cuando su expresión algebráica presenta variaciones como: y = f(x)+a, y = bf(x), y = f(x+c), y = f(dx). Soluciona problemas geométricos en el plano cartesiano. Por ejemplo, encuentra las coordenadas del punto medio entre dos puntos, encuentra la distancia entre dos puntos, determina cuándo dos rectas son paralelas o perpendiculares, determina cuándo tres puntos son colineales o encuentra la ecuación de un círculo de radio r con centro (a,b). ● ¿Cuál es la ecuación de un círculo de radio 2 con centro (-2,1)? Reconoce características generales de las gráficas de las funciones polinómicas observando regularidades.8 Soluciona inecuaciones del tipo f(x) > 3 o f(x) ≤ g(x), donde f y g son funciones dadas de forma gráfica o algebraica. Por ejemplo: 6 9 ● El precio de un carro antiguo en el año 1995 era 8 millones, y en el año 2015 es 24 millones. ¿Cuál será el precio del carro en el año 2035 si se asume que éste crece de manera exponencial o lineal? 7 y = x +3 y = x y = x -1 Traslación vertical Traslación horizontal Estiramiento vertical y = cf(x) Contracción vertical y = f(x) + c c > 0 c < 0 Reflexiones Con el eje x y = -f(x) 3 1 y = x y = x -13 1 y = x2 y = f(x+c) c > 0 c < 0 y = (x-3)2 y = (x+2)2 2 3 1. y = ½senx 2. y = senx 3. y = 2senx 0 < c < 1 El círculo de radio 2 con centro (-2, 1) es el conjunto de todos los puntos P = (x, y) que se encuentran a distancia 2 del centro: Ecuación de círculo: 2 = ( x - (-2))2 + ( y - 1)2 4 = ( x + 2 )2 + ( y - 1 )2 Distancia del centro (-2, 1) al punto P (por el teorema de Pitágoras) p (x) = an xn + an - 1x n - 1 + . . . + a1 x + a0 grado an > 0 an < 0 grado 2 grado 3 grado 4 grado 5 p (x) se comporta como an xn para valores grandes de x. La empresa presenta ganancias cuando I(n) ≥ C(n) y de lo contrario presenta pérdidas. A partir de la gráfica, esta desigualdad se cumple sólo cuando n se encuentra aproximadamente entre 400 unidades y 800 unidades. grado 3 grado 4 ● Los ingresos y los costos que genera una fábrica de zapatos están dados en función del número de unidades que produce y vende. Las ganancias de la empresa son la diferencia entre los ingresos y los costos. Compara y comprende la diferencia entre la variación exponencial y lineal. Por ejemplo: ● ¿Cuál de las siguientes funciones podría ser una función lineal y cuál una función exponencial? 1O ● La función f(x) no puede ser lineal porque a cambios constantes de x (incrementa 1), los valores de f(x) no estan variando de forma aditiva. Revisando los cocientes entre los valores de f(x) se ve que para pasar de un valor a otro siempre se multiplica por 1,5. Así, f(x) parece ser una función exponencial de la forma f(x)=36(1,5)x . ● La función g(x) no puede ser ni exponencial ni lineal porque crece y decrece. Las funciones exponenciales y lineales siempre crecen o siempre decrecen. ● La función h(x) presenta cambios aditivos constantes (restar 3) cuando x incrementa 1. Así, h(x) parece ser una función lineal de la forma h(x)=42-3x. 1000500 pesos C(n) = costos I(n) = ingresos ● Soluciona la inecuación x2 > 4. 4 -2 2 y = x2 y = 4 Solución: ( - ∞, -2 ] u [ 2, ∞ ) x2 es mayor o igual a 4 en estos dos intervalos: 1. 2. 3. X f(x) -2 16 g(x) 15 h(x) 48 -1 24 20 45 1 54 24 39 2 81 21 36 0 36 23 42 ● Si se asume crecimiento lineal y se toma t como el tiempo en años desde el año 1995, entonces el precio del carro en millones es: P (t) = 8 + 0,8 t Razón de cambio constante Cambio en precio Número de meses = 24 - 8 20 = 0,8 millones de pesos / año= n (número de unidades producidas y vendidas) c > 1 x y P = (x, y) (-2,1) -2 1 Suma, resta, multiplica y divide polinomios. Reconoce que un número "a" es una raíz de un polinomio p(x) si y sólo si (x-a) es un factor de p(x) y utiliza este hecho para factorizar polinomios simples.
  • 3. V1 Grado 10 - Página 3 de 5 DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE matemáticas - grado 10 ● Si se asume crecimiento exponencial, la función que modela el precio en millones sería de la forma Q(t) = 8at (pues Q(0) = 8 millones). Como Q(20) = 24 millones, se obtiene: Utiliza calculadoras y software para encontrar un ángulo en un triángulo rectángulo conociendo su seno, coseno o tangente. Por ejemplo: 11 Q(t) = 8 (31/20 )t Q(t) = 8 x 3t/20 24 = 8a20 3 = a20 31/20 = a 10 20 30 40 25 8 40 72 Asumiendo crecimiento exponencial: Q(40) = 72 El precio del carro en año 2035 sería 72 millones. Asumiendo crecimiento lineal: P(40) = 40 El precio del carro en año 2035 sería 40 millones. ● Soluciona ecuaciones del tipo sen(α) = (utilizando la tecla de seno inverso en la calculadora). ● Dados dos lados en un triángulo rectángulo, encuentra el lado restante y todos los ángulos. 5 7 3 4 α β d Hallar el lado a y los ángulos α y β = 4 3 4 3 tan α tan1 ( )=α 53, 13º=α = 3 d 3 5 3cos-1 ( )5 36, 87º cos β =β =β ≈β Tiempo en años Precio del carro en millones = 4 d 4 senα 4 sen 53,13º 5 sen α =d =d ≈d Comprende y utiliza la ley del seno y el coseno para resolver problemas de matemáticas y otras disciplinas que involucren triángulos no rectángulos. Por ejemplo: Calcula la distancia a un objeto lejano o inalcanzable utilizando la ley del seno. Se quiere conocer el ancho de un río, para lo cual un observa- dor se sitúa justo en una de las orillas y estima que el ángulo entre la dirección del río y un árbol que observa en la otra orilla mide 53°. El observador camina 20m como se muestra en la figura y al observar de nuevo el árbol el ángulo es ahora de 32°. ¿Cuál es el ancho del río? 12 53º 32º 1. 180° - 53° - 32° = 95° 20m d = ancho d sen32° ancho = ancho = sen32° x 16,03 8,49m = sen95° 20d sen53° x 20 sen95° sen53° d d = ≈ 16,03 2. Utilizando el teorema del seno encontramos d El ancho del río es aproximadamente 8,49m 3. Reconoce el radián como unidad de medida angular y conoce su significado geométrico. Realiza conversiones entre grados y radianes. Por ejemplo: Halla la longitud de un segmento de circunferencia y el área de un sector de círculo (por ejemplo, utilizando propor- cionalidad). 13 θ r r r δ θ = 1 rad δ = 2 rad 1 rad2 rad 3 rad 4 rad 5 rad 6 rad 0 rad 1 rad =360° 2π rad = 360° 2π rad 1 =360° 2π rad = = ≈3rad x 172° (3rad 360° 2π rad 2π 3x360 ° Utiliza el sistema de coordenadas polares y realiza conver- siones entre éste y el sistema cartesiano, haciendo uso de argumentos geométricos y de sus conocimientos sobre las funciones trigonométricas. Reconoce fortalezas y debilidades de este sistema de coordenadas. 15 Comprende por qué sen2 (x) + cos2 (x) = 1 y deduce otras identidades entre funciones trigonométricas. ● El punto con coordenadas cartesianas (4,4) tiene infinitas coordenadas polares. ● Una misma curva puede tener una ecuación simple o compleja dependiendo del sistema de coordenadas escogido. Comprende la definición de las funciones trigonométricas sen(x) y cos(x), en las cuales x puede ser cualquier número real y calcula, a partir del círculo unitario, el valor aproxi- mado de sen(x) y cos(x). También traza sus gráficas e identifi- ca sus propiedades (rango, dominio y periodo). 14 1 0 -1 6 π 3 π 2 π π 3π 2π 2 r =1 x y y = senx La función seno es periódica con periodo 2π. El dominio de la función seno es el conjunto de todos los reales. El rango es [-1,1] ya que el valor máximo que puede tomar la función es 1 y el mínimo es -1. 4 2 2 π π 0 2π (r, θ) = 4 2 , 4 π ( ( = =4 2 , 4 -7π ( ( 4 2 , . . . 4 9π ( (= 45° 45° = 45° rad πrad 180° π 4 =x Lib ertad y O r d en
  • 4. V1 Grado 10 - Página 4 de 5 DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE matemáticas - grado 10 Lib ertad y O r d en Entiende y utiliza la relación entre la probabilidad de que un evento ocurra y la probabilidad de que no ocurra: P(A) + P(Ac ) = 1. Por ejemplo: Reconoce la relación de los conectores lógicos "y" y "o" entre eventos y las operaciones entre los conjuntos correspondientes ("y" corresponde a intersección y "o" corresponde a unión). Comprende y utiliza la fórmula general para la probabilidad de que ocurran los eventos A o B. Por ejemplo: En P(A) + P(B) se está sumando dos veces P(A∩B), luego El número de elecciones de dos cartas que tienen una Q es: Calcula e interpreta la probabilidad de que un evento ocurra o no ocurra en situaciones que involucran conteos con combina- ciones y permutaciones. Por ejemplo: 16 Calcula y utiliza los percentiles para describir la posición de un dato con respecto a otros. En particular, entiende que la mediana corresponde al percentil 50 y comprende cómo los percentiles ayudan a reconocer la distribución de los datos. Por ejemplo: 17 ● Una lotería se juega con 45 balotas marcadas del 1 al 45 en la que cada concursante elige seis de éstas. El premio se otorga a las personas que acierten las seis balotas en cualquier orden. ¿Cuál es la probabilidad que una persona obtenga el premio? El espacio muestral es el conjunto de todas las selecciones de seis balotas de las cuarenta y cinco (sin contar el orden). Hay 45 combi- nado 6 posibles elecciones de esas seis balotas. Si A es el evento de acertar las seis balotas, tenemos que: ● ¿Cuál es la probabilidad de sacar cinco cartas de una baraja y que no salgan corazones? La probabilidad de que una persona obtenga el premio es aproxi- madamente 1 en 8 millones. elegidas de las 39 cartas que nos son corazones P (A) = 0,000012% 45 1 8145060 1 6( (= ≈ El espacio muestral es el conjunto de todas las posibles formas de seleccionar cinco cartas de una baraja. Su tamaño es pues se están eligiendo 5 cartas de una baraja que tiene un total de 52 sin que importe el orden. ● Se lanza una moneda 7 veces, ¿cuál es la probabilidad de que salga sello al menos una vez? El espacio muestral es el conjunto de todas las posibilidades. En este caso, éstas se pueden codificar como cadenas de siete letras utilizando las letras C (cara) y S (sello), por ejemplo CCSCSSS es un elemento de espacio muestral que corresponde a tres caras y cuatro sellos en un orden particular. El evento A, de las posibili- dades en que sale sello al menos una vez, es el conjunto de todas las cadenas de letras que tienen al menos una S. Es más fácil calcular la probabilidad de que no ocurra A (la probabilidad de complemento de A) pues el complemento de A es el conjunto de las cadenas que no tienen ninguna S (sólo hay una cadena entre las 27 opciones: CCCCCCC). Así," ● ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una carta de una baraja, salga una Q o una K? Sea A el evento de que salga una K y B el evento de que salga una Q. Hay cuatro K y cuatro Q en las 52 cartas. A∩B es vacío, pues no puede salir al mismo tiempo una Q y una K si se elige sólo una carta. Así, ● Que la mediana de los salarios de cierta ciudad, sea 2 millones de pesos significa que la mitad de las personas tienen un salario inferior a 2 millones, y que el percentil 75 sea 2,5 millones, significa que el 25% de la población de dicha ciudad tiene un salario superior a 2,5 millones. ● Andrés consultó sus resultados de la prueba Saber 11 y fue informado que en la prueba de matemáticas está ubicado en el percentil 56. Esto significa que el 56% de todos los estudi- antes que presentaron la prueba en el país obtuvieron un puntaje menor al suyo. ● ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar dos cartas de una baraja salga una Q o una K? El espacio muestral es el conjunto de todas las selecciones de dos cartas en una baraja de 52 (sin contar el orden). Hay posibles elecciones de dos cartas. Sea A el evento de que salga una K y B el evento de que salga una Q. En esta ocasión A∩B no es vació, consiste precisamente de todas las elecciones de una Q y una K. ● ¿Cuál es la probabilidad de que en una fiesta de 40 personas al menos dos personas cumplan el mismo día (es decir, mismo día y mes)? Es más facil calcular la probabilidad de que ese evento no ocurra, pues esto corresponde al evento que todos tengan fechas de cumpleaños distintas, la cual se puede calcular utilizando permutaciones: 52 5( ( Probabilidad de elegir cinco cartas que no sean corazones Número de elecciones de cinco cartas que no incluyen corazones Número de elecciones de cinco cartas = = 39 5( ( 52 5( ( 22%≈ P(A) = 1 P(Ac ) = 1 99,2% 1 27 - - ≈ # de opciones para el cumpleaños de la primera persona # de opciones para el cumpleaños de la segunda persona (debe ser distinto al de la primera) # de posibilidades para los cumpleaños de 40 personas (sin importar si estos se repiten o no) Probabilidad de que todos tengan compleaños distintos 365 x 364 x 363 x . . . x 326 36540 365! / 325! 36540 = = Ocurren los eventos A o B Ocurren los eventos A y B P(A) + P(B) - P(A∩B) P(A B) = ∩ P(A) + P(B) P(A∩B) = 4 52 + -- 4 0 15,4% 52 ≈ P(A B) =P(A) + P(B) P(A∩B) = 4 x 51 + -- 30%≈ ( (52 2 4 x 51 ( (52 2 4 x 4 ( (52 2 ∩ 52 2( ( 4 x 51 # de elecciones de la Q entre las 4 que hay # de elecciones para la otra carta (puede ser cualquiera) 8 145 060 6! (45 - 6)! 45!45 6( ( == = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 16! P(A B) = ∩ A B ∩ A∩B Por lo tanto, la probabilidad de que en una fiesta de 40 personas al menos dos personas cumplan el mismo día es aproximadamente 89%. Probabilidad de que haya al menos dos cumpelaños iguales Probabilidad de que todos tengan cumpleaños distintos 1 365! / 325! 36540 = - 1 0,89123 ... 89%≈ =-=
  • 5. Derechos Básicos de Aprendizaje • V.2 74 1. Utiliza las propiedades de los números reales para justificar procedimientos y diferentes representaciones de subconjuntos de ellos. Evidencias de aprendizaje m Argumenta la existencia de los números irracionales. m Utiliza representaciones geométricas de los números irracionales y los ubica en una recta numérica. m Describe la propiedad de densidad de los números reales y utiliza estrategias para calcular un número entre otros dos. Ejemplo A partir de construcciones como la de la figura elabora argumentos para mostrar que raíz cuadrada de dos no puede representarse como la división de dos enteros. Los catetos de los triángulos son números enteros. Identifica que en cada nuevo elemento de la sucesión el nuevo triángulo construido es rectángulo isósceles. Determina si la sucesión de figuras puede continuarse. ¿cuántos nuevos elementos puede tener hasta cubrir por completo BC? 2. Utiliza las propiedades algebraicas de equivalencia y de orden de los números reales para comprender y crear estrategias que permitan compararlos y comparar subconjuntos de ellos (por ejemplo, intervalos). Evidencias de aprendizaje m Ordena de menor a mayor o viceversa números reales. m Describe el ‘efecto’ que tendría realizar operaciones con números reales (positivos, negativos, mayores y menores que 1) sobre la cantidad. m Utiliza las propiedades de la equivalencia para realizar cálculos con números reales. Ejemplo A la ‘máquina’ de la figura se le introducen números, los procesa de acuerdo con una regla y arroja los resultados. La máquina puede realizar los siguientes procesos: Proceso 1: “Toma el número de entrada y lo divide entre 0,25”. Proceso 2: “Toma el número de entrada y lo multiplica por 5”. Proceso 3. “Toma el número de entrada y le saca raíz cuadrada”. Determina los conjuntos de salida, si se toman los números de entrada en cada uno de los conjuntos dados; Matemáticas • Grado 10º Matematicas DBA_Final.indd 74 12/10/16 3:39 p.m.
  • 6. Derechos Básicos de Aprendizaje • V.2 75 3. Resuelve problemas que involucran el significado de medidas de magnitudes relacionales (velocidad media, aceleración media) a partir de tablas, gráficas y expresiones algebraicas. Evidencias de aprendizaje m Reconoce la relación funcional entre variables asociadas a problemas. m Interpreta y expresa magnitudes definidas como razones entre magnitudes (velocidad, aceleración, etc.), con las unidades respectivas y las relaciones entre ellas. m Utiliza e interpreta la razón de cambio para resolver problemas relacionados con magnitudes como velocidad, aceleración. m Explica las respuestas y resultados en un problema usando las expresiones algebraicas y la pertinencia de las unidades utilizadas en los cálculos. Ejemplo Al arrojar piedras a un lago de aguas tranquilas se van formando ondas circulares concéntricas, las cuales van aumentando de tamaño a medida que transcurre el tiempo. Una onda exterior tiene un radio de 80 cm y la rapidez con la que aumenta su radio es de 0,3 m/s. El aumento del tamaño de las ondas significa que aumenta el radio y por lo tanto el área de los círculos concéntricos. Discute la rapidez con la cual aumenta el área del círculo formado por la onda. Completa la tabla calculando la rapidez con la que aumenta el área de las ondas, para t = 1, 2, 3, respectivamente. Compara, a partir de gráficas cartesianas, el cambio de radio, de la rapidez de cambio del radio, el cambio de las áreas y la rapidez del cambio de área. Discute sobre las magnitudes que son razones de otras magnitudes, sus unidades y la solución de ecuaciones. Radio (m) Área del Tiempo Rapidez círculo (m2 ) (seg) (m2 /s) 0,1 1 2 0,09 π 3 Conjunto 1: 1, 1 , 1 10 100 1000 Conjunto 2: [0, 0.5) Conjunto 3: [5,∞) Conjunto 4: [-1.5, -0.5] Margarita dijo “yo pensaba que dividir siempre daba como resultado un número más pequeño, ahora me doy cuenta que no”. Analiza la validez de la afirmación y justifica la decisión tomada. Matemáticas • Grado 10º Matematicas DBA_Final.indd 75 12/10/16 3:39 p.m.
  • 7. Derechos Básicos de Aprendizaje • V.2 76 4. Comprende y utiliza funciones para modelar fenómenos periódicos y justifica las soluciones. Evidencias de aprendizaje m Reconoce el significado de las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo para ángulos agudos, en particular, seno, coseno y tangente. m Explora, en una situación o fenómeno de variación periódica, valores, condiciones, relaciones o comportamientos, a través de diferentes representaciones. m Calcula algunos valores de las razones seno y coseno para ángulos no agudos, auxiliándose de ángulos de referencia inscritos en el círculo unitario. m Reconoce algunas aplicaciones de las funciones trigonométricas en el estudio de fenómenos diversos de variación periódica, por ejemplo: movimiento circular, movimiento del péndulo, del pistón, ciclo de la respiración, entre otros. m Modela fenómenos periódicos a través de funciones trigonométricas. Ejemplo Construye un disco de radio 12 cm con diferentes colores, de tal forma que cada franja de color se encuentre a una distancia determinada con respecto al centro del disco. El primer color (azul claro) se encuentra desde el centro del disco hasta un radio de 5 cm y los demás colores tienen un ancho de un centímetro. Representa en un plano cartesiano el movimiento que realiza una marca que se hace en algunos de las franjas del disco, cuando éste se hace girar. El centro del disco de colores está en (0, 0). Determina los tiempos en los que la marca gira 30° más a partir de su posición de inicio a =0° y realiza la gráfica para estas dos variables hasta una vuelta completa del disco. 5. Explora y describe las propiedades de los lugares geométricos y de sus transformaciones a partir de diferentes representaciones. Evidencias de aprendizaje m Localiza objetos geométricos en el plano cartesiano. m Identifica las propiedades de lugares geométricos a través de sus representación en un sistema de referencia. m Utiliza las expresiones simbólicas de las cónicas y propone los rangos de variación para obtener una gráfica requerida. m Representa lugares geométricos en el plano cartesiano, a partir de su expresión algebraica. Ejemplo Con un software de geometría dinámica y mediante la escritura de las ecuaciones diseña la imagen de la figura. Realiza su propio diseño. Matemáticas • Grado 10º Matematicas DBA_Final.indd 76 12/10/16 3:39 p.m.
  • 8. Derechos Básicos de Aprendizaje • V.2 77 Realiza un vídeo (editor de videos Windows Movie Maker de office o Virtual Dub) acerca del paso a paso del diseño. En caso de no contar con un software de geometría dinámica realiza en papel milimetrado la construcción. 6. Comprende y usa el concepto de razón de cambio para estudiar el cambio promedio y el cambio alrededor de un punto y lo reconoce en representaciones gráficas, numéricas y algebraicas. Evidencias de aprendizaje m Utiliza representaciones gráficas o numéricas para tomar decisiones, frente a la solución de problemas prácticos. m Determina la tendencia numérica en relación con problemas prácticos como predicción del comportamiento futuro. m Relaciona características algebraicas de las funciones, sus gráficas y procesos de aproximación sucesiva. Ejemplo Difusión del sarampión. La difusión del sarampión en cierta escuela está dada por la expresión, 200 1+e (5-t) donde t representa el número de días desde la aparición del sarampión, y P(t) representa el número total de estudiantes que se han contagiado hasta la fecha. Estima tanto el número inicial de estudiantes infectados como el número de estudiantes que se contagiarán. Determina cuándo se presenta la máxima tasa de difusión del sarampión e indica cuál es esa tasa. Nota: Se pide la “máxima tasa” de variación que es diferente al valor máximo para P(t). Una estimación geométrica es posible. 7. Resuelve problemas mediante el uso de las propiedades de las funciones y usa representaciones tabulares, gráficas y algebraicas para estudiar la variación, la tendencia numérica y las razones de cambio entre magnitudes. Evidencias de aprendizaje m Utiliza representaciones gráficas o numéricas para tomar decisiones en problemas prácticos. m Usa la pendiente de la recta tangente como razón de cambio, la reconoce y verbaliza en representaciones gráficas, numéricas y algebraicas. m Utiliza la razón entre magnitudes para tomar decisiones sobre el cambio. m Relaciona características algebraicas de las funciones, sus gráficas y procesos de aproximación sucesiva. P(t)= Matemáticas • Grado 10º Matematicas DBA_Final.indd 77 12/10/16 3:39 p.m.
  • 9. Derechos Básicos de Aprendizaje • V.2 78 Ejemplo2 Al lanzar un cohete, el combustible se quema durante algunos segundos, acelerando hacia arriba. Después de consumirse el combustible, el cohete sigue ascendiendo durante un tiempo y luego comienza a caer. Una pequeña carga explosiva expulsa un paracaídas poco después que el cohete comienza a descender. El paracaídas evita que el cohete se estrelle. La gráfica muestra los datos de velocidad durante el vuelo. Utiliza la gráfica para determinar: la velocidad del cohete cuando se para el motor, el tiempo de funcionamiento del motor, el tiempo cuando alcanzó el cohete el punto más alto y su velocidad en ese momento. En el momento en que el paracaídas se abrió, determina la velocidad de caída del cohete, el tiempo de caída antes de que se abriera el paracaídas, la velocidad y la aceleración máxima del cohete. 2 Tomado de Cálculo de una variable. Finney, Dema- na, Waits y Kennedy. Prentice Hall. Segunda Edición. 2000. 8. Selecciona muestras aleatorias en poblaciones grandes para inferir el comportamiento de las variables en estudio. Interpreta, valora y analiza críticamente los resultados y las inferencias presentadas en estudios estadísticos. Evidencias de aprendizaje m Define la población de la cual va a extraer las muestras. m Define el tamaño y el método de selección de la muestra. m Construye gráficas para representar las distribuciones de los datos muestrales y encuentra los estadígrafos adecuados. Usa software cuando sea posible. m Hace inferencias sobre los parámetros basadas en los estadígrafos calculados. m Hace análisis críticos de las conclusiones de los estudios presentados en medios de comunicación o en artículos científicos. Ejemplo Con la información que se presenta tanto en la página web (http://banrep.gov.co/es/encuesta- expectativas-trimestral) como en la siguiente ficha técnica, elabora un informe crítico al estudio realizado por el Banco de la República sobre las expectativas económicas. Matemáticas • Grado 10º Matematicas DBA_Final.indd 78 12/10/16 3:39 p.m.
  • 10. Derechos Básicos de Aprendizaje • V.2 79 http://banrep.gov.co/es/encuesta-expectativas- trimestral 9. Comprende y explica el carácter relativo de las medidas de tendencias central y de dispersión, junto con algunas de sus propiedades, y la necesidad de complementar una medida con otra para obtener mejores lecturas de los datos. Evidencias de aprendizaje m Encuentra las medidas de tendencia central y de dispersión, usando, cuando sea posible, herramientas tecnológicas. m Interpreta y compara lo que representan cada una de las medidas de tendencia central en un conjunto de datos. m Interpreta y compara lo que representan cada una de las medidas de dispersión en un conjunto de datos. m Usa algunas de las propiedades de las medidas de tendencia central y de dispersión para caracterizar un conjunto de datos. m Formula conclusiones sobre la distribución de un conjunto de datos, empleando más de una medida. Ejemplo Se realizó un estudio para determinar la durabilidad de dos marcas de llantas para moto, para esto, se escogieron al azar 20 llantas de cada marca y se pusieron a prueba. Los resultados se presentan en las siguientes tablas. Encuentra la medida que mejor representa los datos, justifica su elección y decide cuál es la marca con mayor durabilidad. No. de llantas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Durabilidad de las llantas marca 1 (meses) 24,3 23,5 25,7 26,5 24,3 24,6 26,2 25,7 24,6 25,4 26,4 24,7 23,2 25,4 24,5 27,1 26,8 23,4 24,8 25,6 Durabilidad de las llantas marca 2 (meses) 24,5 25,8 25,7 26,5 24,7 25,4 24,8 25,9 5,4 24,2 24,5 25,2 23,4 25,8 26,9 25,3 23,5 24,4 22,8 21,5 10. Propone y realiza experimentos aleatorios en contextos de las ciencias naturales o sociales y predice la ocurrencia de eventos, en casos para los cuales el espacio muestral es indeterminado. Evidencias de aprendizaje m Plantea o identifica una pregunta cuya solución requiera de la realización de un experimento aleatorio. m Identifica la población y las variables en estudio. m Encuentra muestras aleatorias para hacer predicciones sobre el comportamiento de las variables en estudio. m Usa la probabilidad frecuencial para interpretar la posibilidad de ocurrencia de un evento dado. m Infiere o valida la probabilidad de ocurrencia del evento en estudio. Matemáticas • Grado 10º Matematicas DBA_Final.indd 79 12/10/16 3:39 p.m.
  • 11. Derechos Básicos de Aprendizaje • V.2 80 Ejemplo En una revista médica se menciona lo siguiente: “Se ha estimado que la probabilidad de que una persona fumadora muera de una enfermedad asociada con el consumo del cigarrillo es de aproximadamente 1”. 2 Se trata de describir un método posible por medio del cual se haya podido llegar a este resultado. “Afirma que el estudio se pudo realizar en una muestra aleatoria de la población de personas fumadoras en donde se calculó la probabilidad de que una persona fumadora muera de una enfermedad asociada con el consumo del cigarrillo. Concluye que lo previsible es que en esa muestra el resultado haya sido 1.” 2 Matemáticas • Grado 10º Matematicas DBA_Final.indd 80 12/10/16 3:39 p.m.