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Definición de determinante<br />A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A , denotado por |A| o por det (A). <br />Determinante de orden uno<br />|a 11| = a 11 <br />Determinante de orden dos<br />= a 11 a 22 - a 12 a 21 <br />Determinante de orden tres<br />=<br />a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - <br />- a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32.<br />Regla de Cramer <br />  <br />Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones según la regla de Cramer son los siguientes: <br />  <br />1. Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones. <br />  <br />2. Calcular el determinante de A. <br />  <br />3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en: <br />  <br />a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los términos independientes; <br />  <br />b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incógnita; <br />  <br />c) continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas. <br />  <br />Ejemplo: <br />  <br />Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas: <br />  <br />Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer. <br />  <br />Empezaremos con el primer paso, que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales: <br />  <br />  <br />  <br />El segundo paso es calcular el determinante de A. Así pues: <br />  <br />Y el tercero y último paso consiste en calcular las incógnitas: <br />  <br />  <br />¿Cómo calculamos el valor de un determinante de orden 2?<br />Es una simple resta de números: producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria:<br />Posiblemente, hacerlo del siguiente modo: <br />1) Escribes el determinante sea más fácil tanto de operar como recordar:<br />Escribes a continuación, detrás de la 3ª columna, las dos primeras:<br />Ahora realizas las sumas de los productos de los elementos de la diagonal principal que son las líneas trazadas de izquierda a derecha. <br />Haces lo mismo con las diagonales que van de derecha a izquierda como lo representado en la figura siguiente:<br />Verás que coincide con lo dicho anteriormente:<br />Respuesta: det (B) = 9<br />Solución<br />Escribimos primeramente la suma de los productos de las diagonales principales y en segundo lugar vamos restando el producto de las diagonales secundarias:<br />Ejercicio #38   <br />Haciendo uso del modo que acabamos de explicar: ¿Cuánto vale<br />Respuesta: det(C) = 14<br />Ejercicio #39     <br />Haciendo uso del modo más sencillo para ti ¿Cuánto valeRespuesta: det (D) = – 48<br />
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Determinantes

  • 1. Definición de determinante<br />A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A , denotado por |A| o por det (A). <br />Determinante de orden uno<br />|a 11| = a 11 <br />Determinante de orden dos<br />= a 11 a 22 - a 12 a 21 <br />Determinante de orden tres<br />=<br />a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - <br />- a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32.<br />Regla de Cramer <br />  <br />Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones según la regla de Cramer son los siguientes: <br />  <br />1. Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones. <br />  <br />2. Calcular el determinante de A. <br />  <br />3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en: <br />  <br />a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los términos independientes; <br />  <br />b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incógnita; <br />  <br />c) continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas. <br />  <br />Ejemplo: <br />  <br />Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas: <br />  <br />Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer. <br />  <br />Empezaremos con el primer paso, que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales: <br />  <br />  <br />  <br />El segundo paso es calcular el determinante de A. Así pues: <br />  <br />Y el tercero y último paso consiste en calcular las incógnitas: <br />  <br /> <br />¿Cómo calculamos el valor de un determinante de orden 2?<br />Es una simple resta de números: producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria:<br />Posiblemente, hacerlo del siguiente modo: <br />1) Escribes el determinante sea más fácil tanto de operar como recordar:<br />Escribes a continuación, detrás de la 3ª columna, las dos primeras:<br />Ahora realizas las sumas de los productos de los elementos de la diagonal principal que son las líneas trazadas de izquierda a derecha. <br />Haces lo mismo con las diagonales que van de derecha a izquierda como lo representado en la figura siguiente:<br />Verás que coincide con lo dicho anteriormente:<br />Respuesta: det (B) = 9<br />Solución<br />Escribimos primeramente la suma de los productos de las diagonales principales y en segundo lugar vamos restando el producto de las diagonales secundarias:<br />Ejercicio #38   <br />Haciendo uso del modo que acabamos de explicar: ¿Cuánto vale<br />Respuesta: det(C) = 14<br />Ejercicio #39     <br />Haciendo uso del modo más sencillo para ti ¿Cuánto valeRespuesta: det (D) = – 48<br />