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JASBLEYDI ANDREA JIMENEZ ZAPATA 
AURELINA BENAVIDES 
ROSA MARIA RONDON
Principios de Probabilidad 
Experimento Aleatorio: Suerte o azar el resultado depende 
del azar.
 Conjunto formado por todos los experimentos aleatorios. 
 S = 
 S =
 1. Considere el espacio muestral S = {cobre, sodio, nitrógeno, potasio, 
uranio, oxígeno y zinc} y los eventos 
 A = {cobre, sodio, zinc} 
B= {sodio, nitrógeno, potasio} 
C = {oxigeno} 
 Liste los elementos de los conjuntos que corresponden a los siguientes 
eventos y represéntelos mediante un diagrama de Venn: 
 a) A’ 
 b) (AUC) 
 c) (AnB´) UC´ 
 d) B´ Ú C´ 
 e) (A – B)´ U (B´n C´) 
 f) A (B – A )´
 S = {cobre, sodio, nitrógeno, potasio, uranio, oxígeno y zinc}. 
 A = {cobre, sodio, zinc} 
B= {sodio, nitrógeno, potasio} 
C = {oxigeno} 
 a) A’ = { nitrógeno, potasio, uranio, oxígeno} 
 b) (AUC) = {cobre, sodio, oxígeno y zinc} 
 c) (A n B´) UC´ 
 A = {cobre, sodio, zinc} 
 B´= {cobre, uranio, oxígeno y zinc} 
 A n B´ = {cobre y zinc} 
 C´= {cobre, sodio, nitrógeno, potasio, uranio y zinc} 
 (A n B´) U C´ = {cobre, sodio, nitrógeno, potasio, uranio, oxígeno y zinc} 
 d) B´ Ú C´ = = {cobre, sodio, nitrógeno, potasio, uranio, oxígeno y zinc} 
 e) A – B = {cobre, zinc} 
 (A – B)´ = {sodio, nitrógeno, potasio, uranio y oxigeno} 
 (B´ n C´) = {cobre, uranio y zinc} 
 (A – B)´ U (B´n C´) = {cobre, sodio, nitrógeno, potasio, uranio, oxígeno y 
zinc}.
 f) A (B – A )´ 
 B – A = { nitrógeno, potasio} 
 (B – A)´= {cobre, sodio, uranio, oxígeno y zinc}. 
 A (B – A )´= {uranio y oxígeno}.
 Son los subconjuntos del espacio muestral. 
 S= (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18) 
 Subconjuntos: 
 Múltiplo de 5 A = (5, 10, 15). 
 Numero Primo C = (2, 3, 5, 6, 7,11, 13, 17). 
 Mayor o igual que 12 D = (12,13,14,15,16,18).
 2. Cuatro matrimonios compran 8 lugares en la misma fila para un 
concierto. ¿De cuantas maneras diferentes se 
 pueden sentar? 
 a) Sin restricciones? 
 b) Si cada pareja se sienta junta? 
 c) Si todos los hombres se sientan juntos a la derecha de todas las 
mujeres?
 a) Sin restricciones? 
 8!= 8X7X6X5X4X2X1 
 = 40320 maneras diferentes 
 b) Si cada pareja se sienta junta? 
 Hay 4! Maneras de sentarsen ya que hay 4 parejas, ademas cad miembro 
de una pareja puede intercambiar, por lo tanto, hay 
 2 a la 4 (4!) = 384 maneras diferentes
 c) Si todos los hombres se sientan juntos a la derecha de todas las 
mujeres? 
 Recordemos, que si una operación se puede llevar a cabo en n formas, y si 
para cada una de estas, se puede realizar una segunda operación en n dos 
formas, entonces las dos operaciones se pueden ejecutar de n uno y n 
dos formas, así, tanto hombres como mujeres pueden sentarsen en 
 (4!) (4!) = 76 maneras.
 Se usa las operaciones básicas de subconjuntos unión, intercesión, 
complemento. 
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 Diagrama de venn representan un espacio muestral y sus eventos:
DIAGRAMAS DE ARBOL 
 Es una especie de mapa de acontecimientos de un 
espacio muestral y sus acontecimientos.
 Es el numero de veces que ocurre un evento, principio de 
multiplicación, diferentes maneras de combinar elementos.
 Concepto de factorial de un numero no negativo 
 6! = 6×5×4×3×2×1= 720
 Una permutación de los elementos es una acomodo u 
ordenamiento de ellos.
 Es un conjunto de elementos con subconjuntos donde el orden no 
se tiene en cuenta.
 Combinación o arreglo ordenado en donde siempre hay reemplazo 
del elemento que se toma. 
 En un lanzamiento: 2 21 = casos posibles 
• En dos lanzamientos: 422 = casos posibles 
• En tres lanzamientos: 283 = casos posibles
 Es la manera de calcular la probabilidad de ocurrencia de un 
resultado. 
 Probabilidad que el numero cinco caiga des pues de un 
lanzamiento.
DIAPOSITIVAS DE ESTADÍSTICA COMPLEJA
Una variable aleatoria es una función que asocia un número real con 
cada elemento del espacio muestral. 
Ejemplo: Supongamos que nos interesamos por el número de varones 
X en el experimento de observar al azar dos niños recién nacidos 
(Sea H = hombre y M = mujer). Entonces, el espacio muestra, los 
valores de la variable aleatoria X que cuenta el número de varones y 
su función de probabilidad se dan en la siguiente tabla: 
S Valores de X: xi F (Xi) 
MM 0 F (0) = 1/4 
MH , HM 1 F (1) = 2/4 
HH 2 F (2) = 2/4 
Total: 4/4 = 1
Variable aleatoria discreta: es cuando puede contar su conjunto 
de resultados posibles. Se representan datos contados 
Variable aleatoria continua: es cuando se puede tomar valores en 
una escala continua. Muchas veces los posibles valores de una 
variable aleatoria continua son precisamente los mismos valores 
que contiene el espacio muestral. En la mayor parte de los 
problemas prácticos, se representan datos medidos, como son los 
posibles pesos, alturas, temperaturas o períodos de vida.
El conjunto de pares ordenados (x,f(x)) se llama función de 
probabilidad o distribución de probabilidad de la variable aleatoria 
discreta X. 
• El conjunto de pares ordenados (x,f(x)) es una función de probabilidad, 
función de masa de probabilidad o distribución de probabilidad de la 
variable aleatoria discreta X, 
1. F (x) > 0, 
2. Σ F(x) = 1, 
3. P (X=x) = f(x)
El valor esperado de una Variable Aleatoria X es el promedio ponderado 
de todos los valores posibles de la misma. Donde los pesos son las 
probabilidades asociadas con los valores. 
Para calcular el valor esperado de una variable aleatoria por su 
correspondiente probabilidad y luego sumar los términos resultante. 
E(x) = μ = E xf (x)
Ejemplo: 
En una ciudad, la temperatura máxima durante el mes de junio está 
distribuida normalmente con una media de 26º y una desviación típica de 
4º. 
Calcular el número de días que se "espera", tengan temperatura máxima 
comprendida entre 22º y 28º. 
Como se trata de una distribución Normal, tipificamos (estandarizamos) 
los valores 22 y 28: 
z1= (22 – 26) / 4 = -1 
z2 = (28 – 26) / 4 = 0, 5 
Entonces la probabilidad de que en un día de junio la temperatura máxima 
esté entre 22 y 28º es: 
p( 22< x < 28) = p( -1 < z < 0,5 ) = 0, 5328 
Y el número esperado (esperanza) de días es: 
E(x) = n * p = 30 * 0, 5328 ≈ 16 días
Es un promedio ponderado de las de las desviaciones al cuadrado. 
Varianza = E ( x - μ )² f ( x)
La distribución Binomial es un caso particular de probabilidad de variable 
aleatoria discreta, y por sus aplicaciones, es posiblemente la más 
importante. 
Esta distribución corresponde a la realización de un experimento 
aleatorio que cumple con las siguientes condiciones: 
* Al realizar el experimento sólo son posible dos resultados: el suceso A, 
llamado éxito, y el suceso B , llamado fracaso. 
* Al repetir el experimento, el resultado obtenido es independiente de 
los resultados obtenidos anteriormente. 
* La probabilidad del suceso A es constante, es decir, no varía de una 
prueba del experimento a otra. 
* En cada experimento se realizan n pruebas idénticas.
Todo experimento que tenga estas características se dice que sigue el 
modelo de la distribución Binomial o distribución de Bernoulli. 
En general, si se tienen n ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito p y 
de fracaso q, entonces la distribución de probabilidad que la modela es la 
distribución de probabilidad binomial y su regla de correspondencia es: 
Donde: 
P(X)= es la probabilidad de ocurrencia del 
evento 
p = es la probabilidad de éxito del evento (en un intento) 
q = es la probabilidad de fracaso del evento (en un intento) (se define como 
q = 1 – p ) 
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DIAPOSITIVAS DE ESTADÍSTICA COMPLEJA

  • 1. JASBLEYDI ANDREA JIMENEZ ZAPATA AURELINA BENAVIDES ROSA MARIA RONDON
  • 2. Principios de Probabilidad Experimento Aleatorio: Suerte o azar el resultado depende del azar.
  • 3.  Conjunto formado por todos los experimentos aleatorios.  S =  S =
  • 4.  1. Considere el espacio muestral S = {cobre, sodio, nitrógeno, potasio, uranio, oxígeno y zinc} y los eventos  A = {cobre, sodio, zinc} B= {sodio, nitrógeno, potasio} C = {oxigeno}  Liste los elementos de los conjuntos que corresponden a los siguientes eventos y represéntelos mediante un diagrama de Venn:  a) A’  b) (AUC)  c) (AnB´) UC´  d) B´ Ú C´  e) (A – B)´ U (B´n C´)  f) A (B – A )´
  • 5.  S = {cobre, sodio, nitrógeno, potasio, uranio, oxígeno y zinc}.  A = {cobre, sodio, zinc} B= {sodio, nitrógeno, potasio} C = {oxigeno}  a) A’ = { nitrógeno, potasio, uranio, oxígeno}  b) (AUC) = {cobre, sodio, oxígeno y zinc}  c) (A n B´) UC´  A = {cobre, sodio, zinc}  B´= {cobre, uranio, oxígeno y zinc}  A n B´ = {cobre y zinc}  C´= {cobre, sodio, nitrógeno, potasio, uranio y zinc}  (A n B´) U C´ = {cobre, sodio, nitrógeno, potasio, uranio, oxígeno y zinc}  d) B´ Ú C´ = = {cobre, sodio, nitrógeno, potasio, uranio, oxígeno y zinc}  e) A – B = {cobre, zinc}  (A – B)´ = {sodio, nitrógeno, potasio, uranio y oxigeno}  (B´ n C´) = {cobre, uranio y zinc}  (A – B)´ U (B´n C´) = {cobre, sodio, nitrógeno, potasio, uranio, oxígeno y zinc}.
  • 6.  f) A (B – A )´  B – A = { nitrógeno, potasio}  (B – A)´= {cobre, sodio, uranio, oxígeno y zinc}.  A (B – A )´= {uranio y oxígeno}.
  • 7.  Son los subconjuntos del espacio muestral.  S= (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18)  Subconjuntos:  Múltiplo de 5 A = (5, 10, 15).  Numero Primo C = (2, 3, 5, 6, 7,11, 13, 17).  Mayor o igual que 12 D = (12,13,14,15,16,18).
  • 8.  2. Cuatro matrimonios compran 8 lugares en la misma fila para un concierto. ¿De cuantas maneras diferentes se  pueden sentar?  a) Sin restricciones?  b) Si cada pareja se sienta junta?  c) Si todos los hombres se sientan juntos a la derecha de todas las mujeres?
  • 9.  a) Sin restricciones?  8!= 8X7X6X5X4X2X1  = 40320 maneras diferentes  b) Si cada pareja se sienta junta?  Hay 4! Maneras de sentarsen ya que hay 4 parejas, ademas cad miembro de una pareja puede intercambiar, por lo tanto, hay  2 a la 4 (4!) = 384 maneras diferentes
  • 10.  c) Si todos los hombres se sientan juntos a la derecha de todas las mujeres?  Recordemos, que si una operación se puede llevar a cabo en n formas, y si para cada una de estas, se puede realizar una segunda operación en n dos formas, entonces las dos operaciones se pueden ejecutar de n uno y n dos formas, así, tanto hombres como mujeres pueden sentarsen en  (4!) (4!) = 76 maneras.
  • 11.  Se usa las operaciones básicas de subconjuntos unión, intercesión, complemento. 
  • 12.  Diagrama de venn representan un espacio muestral y sus eventos:
  • 13. DIAGRAMAS DE ARBOL  Es una especie de mapa de acontecimientos de un espacio muestral y sus acontecimientos.
  • 14.  Es el numero de veces que ocurre un evento, principio de multiplicación, diferentes maneras de combinar elementos.
  • 15.  Concepto de factorial de un numero no negativo  6! = 6×5×4×3×2×1= 720
  • 16.  Una permutación de los elementos es una acomodo u ordenamiento de ellos.
  • 17.  Es un conjunto de elementos con subconjuntos donde el orden no se tiene en cuenta.
  • 18.  Combinación o arreglo ordenado en donde siempre hay reemplazo del elemento que se toma.  En un lanzamiento: 2 21 = casos posibles • En dos lanzamientos: 422 = casos posibles • En tres lanzamientos: 283 = casos posibles
  • 19.  Es la manera de calcular la probabilidad de ocurrencia de un resultado.  Probabilidad que el numero cinco caiga des pues de un lanzamiento.
  • 21. Una variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada elemento del espacio muestral. Ejemplo: Supongamos que nos interesamos por el número de varones X en el experimento de observar al azar dos niños recién nacidos (Sea H = hombre y M = mujer). Entonces, el espacio muestra, los valores de la variable aleatoria X que cuenta el número de varones y su función de probabilidad se dan en la siguiente tabla: S Valores de X: xi F (Xi) MM 0 F (0) = 1/4 MH , HM 1 F (1) = 2/4 HH 2 F (2) = 2/4 Total: 4/4 = 1
  • 22. Variable aleatoria discreta: es cuando puede contar su conjunto de resultados posibles. Se representan datos contados Variable aleatoria continua: es cuando se puede tomar valores en una escala continua. Muchas veces los posibles valores de una variable aleatoria continua son precisamente los mismos valores que contiene el espacio muestral. En la mayor parte de los problemas prácticos, se representan datos medidos, como son los posibles pesos, alturas, temperaturas o períodos de vida.
  • 23. El conjunto de pares ordenados (x,f(x)) se llama función de probabilidad o distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X. • El conjunto de pares ordenados (x,f(x)) es una función de probabilidad, función de masa de probabilidad o distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X, 1. F (x) > 0, 2. Σ F(x) = 1, 3. P (X=x) = f(x)
  • 24. El valor esperado de una Variable Aleatoria X es el promedio ponderado de todos los valores posibles de la misma. Donde los pesos son las probabilidades asociadas con los valores. Para calcular el valor esperado de una variable aleatoria por su correspondiente probabilidad y luego sumar los términos resultante. E(x) = μ = E xf (x)
  • 25. Ejemplo: En una ciudad, la temperatura máxima durante el mes de junio está distribuida normalmente con una media de 26º y una desviación típica de 4º. Calcular el número de días que se "espera", tengan temperatura máxima comprendida entre 22º y 28º. Como se trata de una distribución Normal, tipificamos (estandarizamos) los valores 22 y 28: z1= (22 – 26) / 4 = -1 z2 = (28 – 26) / 4 = 0, 5 Entonces la probabilidad de que en un día de junio la temperatura máxima esté entre 22 y 28º es: p( 22< x < 28) = p( -1 < z < 0,5 ) = 0, 5328 Y el número esperado (esperanza) de días es: E(x) = n * p = 30 * 0, 5328 ≈ 16 días
  • 26. Es un promedio ponderado de las de las desviaciones al cuadrado. Varianza = E ( x - μ )² f ( x)
  • 27. La distribución Binomial es un caso particular de probabilidad de variable aleatoria discreta, y por sus aplicaciones, es posiblemente la más importante. Esta distribución corresponde a la realización de un experimento aleatorio que cumple con las siguientes condiciones: * Al realizar el experimento sólo son posible dos resultados: el suceso A, llamado éxito, y el suceso B , llamado fracaso. * Al repetir el experimento, el resultado obtenido es independiente de los resultados obtenidos anteriormente. * La probabilidad del suceso A es constante, es decir, no varía de una prueba del experimento a otra. * En cada experimento se realizan n pruebas idénticas.
  • 28. Todo experimento que tenga estas características se dice que sigue el modelo de la distribución Binomial o distribución de Bernoulli. En general, si se tienen n ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito p y de fracaso q, entonces la distribución de probabilidad que la modela es la distribución de probabilidad binomial y su regla de correspondencia es: Donde: P(X)= es la probabilidad de ocurrencia del evento p = es la probabilidad de éxito del evento (en un intento) q = es la probabilidad de fracaso del evento (en un intento) (se define como q = 1 – p ) X = ocurrencia del evento o éxitos deseados n = número de intentos