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“Insiste, perservera,todo final depende de tu esfuerzo.”
PROF: JULIO CESAR SUAREZCARRANZA GRADO 5° SECUNDARIA SECC. A-B-
C
DIFERENCIA ENTRE VARIACIÓN, PERMUTACIÓN Y COMBINACIÓN
La diferenciaentre combinacionesyporotro lado de lasvariacionesypermutacionesesel ordende los
elementos.
PERMUTACIÓN
Se agrupande todaslasformas posibles todosloselementos,importandoel ordende colocaciónde
cada elementoenlosdiferentesgrupos.
Ejemplo:
¿De cuántas manerasse puedensentar4 personasen4 butacasnumeradas.Hayel mismonúmerode
elementosacombinar(4 personas,4 butacas).Las butacasnumeradashacenque el ordenimporte.
Solución:
P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
VARIACIÓN
Se agrupan de todas lasformasposibles parte de loselementostotales,importandoel ordende
colocaciónde cada elementoenlosdiferentesgrupos.
Ejemplo:
¿De cuántas manerasse puedensentar4 personasen5 butacasnumeradas.Haydiferente númerode
elementosacombinar(4 personasen5 butacas).Las butacas numeradashacenque el ordenimporte.
Solución:
V(5,4) = 5 x 4 x 3 x 2 = 120
COMBINACIÓN.
Se agrupan de todas lasformasposibles parte de loselementostotales, noimportandoel ordende
colocaciónde cada elementoenlosdiferentesgrupos.
Ejemplo:
¿De cuántasmanerasse puedensentar3personas(daigual como se llamen) en5butacas sinnumerar.
Hay diferente númerode elementosacombinar(3personasen5 butacas).Las butacas sinnumerar
hacenque el ordenno importe.
Solución:
C(5, 3) = 5! /3!(5-3)!= 10
OTROS EJEMPLOS
1. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3,
4, 5?
Solución.
No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean
diferentes.
𝑉3
5
= 5.4.3 = 60
“Insiste, perservera,todo final depende de tu esfuerzo.”
2. ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?
Solución.
m = 5 k = 3
No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
𝑉𝑅3
5
= 53
= 125
3. ¿ A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas. El
cuadro de honor lo forman el ganador, el finalista y un accésit. ¿Cuántos cuadros de
honor se pueden formar?
Solución.
m = 10 k = 3
No entran todos los elementos. De 10 candidatos entran sólo 3.
Sí importa el orden. No es lo mismo quedar ganador que finalista.
No se repiten los elementos. Suponemos que cada candidato presenta una sola
obra.
𝑉3
10
= 10.9.8 = 720
4.¿De cuántos partidos consta una liguilla formada por cuatro equipos?
Solución.
No entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Variación de 2 en 4 = 12
5.- Cuántos resultados distintos pueden producirse al lanzar una moneda cuatro veces al aire.
Solución.
Influye orden y elementos, y estos se pueden repetir. k = 2, n = 4.
𝑉𝑅2
4
= 42
= 16
6. Cuántos números de cuatro cifras distintos pueden formarse con los elementos del conjunto
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Solución.
Influye orden y elementos, y estos no se pueden repetir. m = 7, k = 4.
𝑉4
7
= 7.6.5.4 = 840
7. ¿De cuántas formas diferentes se pueden repartir tres juguetes diferentes entre cuatro
niños, de manera que ningún niño tenga más de un juguete?
Solución.
Influye orden y elementos, y estos no se pueden repetir.
m = 4 (niños), n = 3(juguetes).
“Insiste, perservera,todo final depende de tu esfuerzo.”
𝑉3
4
= 4.3.2 = 24
8. ¿De cuántas formas diferentes se pueden distribuir cinco bolas distintas en tres cajas
diferentes?
Solución.
Influye orden y elementos, y estos no se pueden repetir.
m = 5 (bolas), n = 3 (cajas).
𝑉3
5
= 5.4.3 = 60
9. Tienes las letras A B C D; quieres calcular las posibles maneras de escoger 3 letras de estas
cuatro, como no importa el orden son combinaciones de 4 elementos tomados de 3 en 3.
Solución
C(4,3) = 4!/(3!*1!) = 4 ……….(A,B,C - A,B,D - A,C,D - B,C,D)
y no importa el orden de las letras A,B,C es lo mismo que B,C,A y C,A,B
10) Si quieres calcular cuantas palabras (aunque no existan) de 3 letras se pueden formar con
las 4 anteriores.
Solución.
Utilizamos Variaciones de 4 elementos tomados de tres en tres.
V(4,3)=4!/(4-3)!=4!/1!=4!=24
11) Si quieres ver cuantas formas posibles hay de ordenar la cuatro letras son permutaciones
de 4 = 4!=24
AHORA PRACTICAMOS
1.- De cuántas maneras se pueden sentar 5 niños en 6 asientos numerados.
2.- De cuántas maneras se pueden ubicar 6 personas en 6 sillas numeradas.
3.- De cuántas maneras se pueden colocarse 5 llantas en una trimoto (mototaxi).
4.- ¿Cuántos números de dos cifras diferentes se puede formar con los
dígitos: 1, 2, 3, 4?
5.- Tienes las letras A M O R, ver cuantas formas posibles hay de ordenar las cuatro letras.
6.- Tienes las letras R E I N A; quieres calcular las posibles maneras de escoger 3 letras de
estas cuatro.
7.- ¿De cuántas formas diferentes se pueden distribuir cinco muñecas distintas en tres cajas
diferentes?
8.- ¿Cuántos números de cuatro cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2,
3, 4, 5,6?
9.- ¿Cuántos palabras (con o sin sentido) se podrán formar con
DODECAGENEON?
10.- A una reunión asistieron 20 personas. Si cada persona le dio un apretón de manos a
cada uno de los otros. ¿Cuántos apretones de mano, en total, hubo en dicha reunión?

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  • 1. “Insiste, perservera,todo final depende de tu esfuerzo.” PROF: JULIO CESAR SUAREZCARRANZA GRADO 5° SECUNDARIA SECC. A-B- C DIFERENCIA ENTRE VARIACIÓN, PERMUTACIÓN Y COMBINACIÓN La diferenciaentre combinacionesyporotro lado de lasvariacionesypermutacionesesel ordende los elementos. PERMUTACIÓN Se agrupande todaslasformas posibles todosloselementos,importandoel ordende colocaciónde cada elementoenlosdiferentesgrupos. Ejemplo: ¿De cuántas manerasse puedensentar4 personasen4 butacasnumeradas.Hayel mismonúmerode elementosacombinar(4 personas,4 butacas).Las butacasnumeradashacenque el ordenimporte. Solución: P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 VARIACIÓN Se agrupan de todas lasformasposibles parte de loselementostotales,importandoel ordende colocaciónde cada elementoenlosdiferentesgrupos. Ejemplo: ¿De cuántas manerasse puedensentar4 personasen5 butacasnumeradas.Haydiferente númerode elementosacombinar(4 personasen5 butacas).Las butacas numeradashacenque el ordenimporte. Solución: V(5,4) = 5 x 4 x 3 x 2 = 120 COMBINACIÓN. Se agrupan de todas lasformasposibles parte de loselementostotales, noimportandoel ordende colocaciónde cada elementoenlosdiferentesgrupos. Ejemplo: ¿De cuántasmanerasse puedensentar3personas(daigual como se llamen) en5butacas sinnumerar. Hay diferente númerode elementosacombinar(3personasen5 butacas).Las butacas sinnumerar hacenque el ordenno importe. Solución: C(5, 3) = 5! /3!(5-3)!= 10 OTROS EJEMPLOS 1. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5? Solución. No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3. Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321. No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes. 𝑉3 5 = 5.4.3 = 60
  • 2. “Insiste, perservera,todo final depende de tu esfuerzo.” 2. ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5? Solución. m = 5 k = 3 No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3. Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321. 𝑉𝑅3 5 = 53 = 125 3. ¿ A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas. El cuadro de honor lo forman el ganador, el finalista y un accésit. ¿Cuántos cuadros de honor se pueden formar? Solución. m = 10 k = 3 No entran todos los elementos. De 10 candidatos entran sólo 3. Sí importa el orden. No es lo mismo quedar ganador que finalista. No se repiten los elementos. Suponemos que cada candidato presenta una sola obra. 𝑉3 10 = 10.9.8 = 720 4.¿De cuántos partidos consta una liguilla formada por cuatro equipos? Solución. No entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos. Variación de 2 en 4 = 12 5.- Cuántos resultados distintos pueden producirse al lanzar una moneda cuatro veces al aire. Solución. Influye orden y elementos, y estos se pueden repetir. k = 2, n = 4. 𝑉𝑅2 4 = 42 = 16 6. Cuántos números de cuatro cifras distintos pueden formarse con los elementos del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Solución. Influye orden y elementos, y estos no se pueden repetir. m = 7, k = 4. 𝑉4 7 = 7.6.5.4 = 840 7. ¿De cuántas formas diferentes se pueden repartir tres juguetes diferentes entre cuatro niños, de manera que ningún niño tenga más de un juguete? Solución. Influye orden y elementos, y estos no se pueden repetir. m = 4 (niños), n = 3(juguetes).
  • 3. “Insiste, perservera,todo final depende de tu esfuerzo.” 𝑉3 4 = 4.3.2 = 24 8. ¿De cuántas formas diferentes se pueden distribuir cinco bolas distintas en tres cajas diferentes? Solución. Influye orden y elementos, y estos no se pueden repetir. m = 5 (bolas), n = 3 (cajas). 𝑉3 5 = 5.4.3 = 60 9. Tienes las letras A B C D; quieres calcular las posibles maneras de escoger 3 letras de estas cuatro, como no importa el orden son combinaciones de 4 elementos tomados de 3 en 3. Solución C(4,3) = 4!/(3!*1!) = 4 ……….(A,B,C - A,B,D - A,C,D - B,C,D) y no importa el orden de las letras A,B,C es lo mismo que B,C,A y C,A,B 10) Si quieres calcular cuantas palabras (aunque no existan) de 3 letras se pueden formar con las 4 anteriores. Solución. Utilizamos Variaciones de 4 elementos tomados de tres en tres. V(4,3)=4!/(4-3)!=4!/1!=4!=24 11) Si quieres ver cuantas formas posibles hay de ordenar la cuatro letras son permutaciones de 4 = 4!=24 AHORA PRACTICAMOS 1.- De cuántas maneras se pueden sentar 5 niños en 6 asientos numerados. 2.- De cuántas maneras se pueden ubicar 6 personas en 6 sillas numeradas. 3.- De cuántas maneras se pueden colocarse 5 llantas en una trimoto (mototaxi). 4.- ¿Cuántos números de dos cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4? 5.- Tienes las letras A M O R, ver cuantas formas posibles hay de ordenar las cuatro letras. 6.- Tienes las letras R E I N A; quieres calcular las posibles maneras de escoger 3 letras de estas cuatro. 7.- ¿De cuántas formas diferentes se pueden distribuir cinco muñecas distintas en tres cajas diferentes? 8.- ¿Cuántos números de cuatro cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5,6? 9.- ¿Cuántos palabras (con o sin sentido) se podrán formar con DODECAGENEON? 10.- A una reunión asistieron 20 personas. Si cada persona le dio un apretón de manos a cada uno de los otros. ¿Cuántos apretones de mano, en total, hubo en dicha reunión?