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TRABAJO DE DISTRIBUCCION DE PROBABILIDAD

Este documento presenta diferentes distribuciones de probabilidad continuas como la gamma, exponencial y Weibull. Describe sus usos, gráficas y provee ejemplos para cada una. La distribución gamma modela la suma de variables independientes distribuidas exponencialmente, mientras que la exponencial describe procesos donde se analiza el tiempo hasta que ocurre un evento.

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UNIVERDIDAD FERMÍN TORO VICE-RECTORADO ACADÉMICO FACULTAD DE INGENIERÍA TRABAJO INTEGRANTES: JORGE MOGOLLON CI: 21.459.583 SECCION: SAIA “B” Cabudare, 05 de Junio del 2015.
INTRODUCCIÓN De acuerdo al estudio de la estadística entre sus objetivos implica conocer de manera cuantitativa determinada parte de la realidad, por esto se hace necesario construir un modelo particular del objeto de estudio; en este sentido la probabilidad se caracteriza en la forma medible de diferentes valores donde se asigna a cada posible resultado de un experimento aleatoriodeterminada probabilidad. Las distribuciones de probabilidad están relacionadas con la distribución de frecuencias; debido a que la distribuciones tratan sobre expectativas de que algo suceda, resultan ser modelos útiles para hacer inferencias y tomar decisiones de incertidumbre una distribución; por ello la distribución de frecuencias teórica es una distribución de probabilidades que describe la forma en que se espera que varíen los resultados. A continuación se presentará diferentes probabilidades entre ellas, la continua, gamma, erlang, exponencial, weibull con el objetivo de conocer sus uso, la grafica que representa y un ejemplo de cada una de ellas.
Distribución de Probabilidad Continua Una distribución de probabilidad es continua, es decir, de variables cuantitativas que pueden tomar cualquier valor, y que resultan principalmente del proceso de medición. Continuas se refierecuando los resultados posibles del experimento son obtenidos de variables aleatorias puede asumir un número infinito de valores, que son resultado de unamedición. Por ejemplo, el valor de la temperatura media del aire en intervalos dadosde tiempo. Por supuesto que las variables aleatorias continuas dependen de la exactituddel instrumento de medición en este caso del termómetro. Usos: La distribución continua de probabilidad más importante en todoel campo de la estadística es la distribución normal, describe aproximadamente muchos fenómenos que ocurren en la naturaleza, la industria y la investigación. Las mediciones físicas en áreas como los experimentos meteorológicos, estudios de la lluvia y mediciones de partes fabricadas a menudo se explican más adecuadamente con la distribución normal. Además, los errores en las mediciones científicas se aproximan extremadamente bien mediante una distribución normal. Grafica: Distribución de probabilidad para una variable aleatoria continúa, su gráfica, quese denomina curva normal, es la curva con forma de campana
El modelo probabilístico para la distribución de frecuencias de una variable aleatoria continua implica la selección de una curva, generalmente regular o aislada, a la que se llama distribución de probabilidad o función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria. Si la ecuación de esta distribución de probabilidad continua es f(x), entonces la probabilidad de que x esté en el intervalo a < x < b es el área bajo la curva de distribución para f(x) entre los dos puntos a y b. Una vez que conocemos la ecuación f(x) de una distribución de probabilidad particular se pueden encontrar probabilidades específicas, por ejemplo, la probabilidad de que x esté en el intervalo a < x <b, de dos maneras. Podemos graficar la ecuación y utilizar métodos numéricos para aproximar el área sobre el intervalo a < x < b. Este cálculo puede realizarse utilizando métodos muy aproximados o una computadora para obtener cualquier grado de precisión. O bien, si f(x) tiene una forma particular, podemos usar el cálculo integral para encontrar P(a <x< b). Afortunadamente, no hay que utilizar en la práctica, ninguno de estos métodos, porque se han calculado y tabulado las áreas bajo la mayoría de las distribuciones de probabilidades continuas más empleadas.
Distribución de Probabilidad Gamma La distribución Gamma es una distribución de probabilidad continua. La distribución Gamma modela la suma de múltiples variables independientes, distribuidas exponencialmente. Se puede ver como un caso especial de distribución exponencial; pero otras distribuciones, como la Chi – Cuadrado, se basan en ella. Asimismo para un valor de alfa 1, la distribución Gamma equivale a la distribución exponencial. Cuando el valor de alfa es un número entero, la distribución Gamma se convierte en la distribución Erlang. Para un valor de alfa entero y uno de beta equivalente a 2, la distribución Gamma se convierte en distribución de chi-cuadrado con 2 grados de libertad de alfa. La distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se está interesado en la ocurrencia de un evento generado por un proceso de Poisson (número de ocurrencias de un evento, llegadas, en un intervalo de tiempo) de media lambda, la variable que mide el tiempo transcurrido hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una distribución gamma con parámetros a= n´lambda(escala) y p=n (forma). Se denota Gamma(a,p). Ejemplo, en la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de la duración de elementos físicos (tiempo de vida). Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”. Por esta razón, es muy utilizada en las teorías de la fiabilidad, mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemplo en una consulta médica “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente”). Campo de variación: 0 <x < ¥
Parámetros: a: parámetro de escala, a > 0 p: parámetro de forma, p > 0 Usos: Estas distribuciones juegan un rol fundamental en los problemas de confiabilidad. Los tiempos entre llegadas en instalaciones de servicio, y tiempos de fallas de partes componentes y sistemas eléctricos, frecuentemente son bien modelados mediante la distribución exponencial.La velocidad del viento horaria y media diaria no se ajusta a una distribución normal, se emplean distribuciones de extremos, para ajustar las distribuciones de velocidades de viento.La precipitación diariano tiene una distribución normal. Usualmente se emplea una distribución de extremos Gamma, para ajustar las distribuciones delluvias diarias. Tiene aplicaciones en tiempos de espera y teoría de la confiabilidad; define una familia de la que otras distribuciones son casos especiales; la densidad gamma se puede desarrollar con el proceso de poissont La fórmula para la distribución Gamma es la siguiente: Gráfica:
Ejemplo El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución de Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos deuna hora hasta la llegada del segundo paciente. Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2). Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas Gamma (a,p) a : Escala 6,0000 p : Forma 2,0000 Punto X 1,0000 Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9826 Cola Derecha Pr [X>=k] 0,0174 Media 0,3333
Varianza 0,0556 Moda 0,1667 La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo pacientees 0,98. Se destaca que con valores iguales a cero no es posible el cálculo del valor A pues ellogaritmo de cero es infinito. En el caso de que aparezcan valores nulos hay que crear unafunción mixta compuesta de la probabilidad del valor nulo y la probabilidad del valor nonulo: “q” y “p” = 1-q. Ejemplo: Con los datos de precipitación del mes de Julio se pide calcular los percentiles 20, 40, 60 y 80 mediante el empleo de la ley de distribución Gamma. 00 00 9.4 6.0 0.0 10.5 44.8 8.7 10.0 2.8 12.3 3.9 3.2 2.5 8.2 37.1 16.7 4.8 2.8 68.6 71.2 9.7 72.9 13.8 0.0 5.6 4.0 37.9 2.6 Solución. El número de datos de la serie es de 29. Podemos observar que en algunos años durante el mesde Julio no hubo precipitación. Como con los valores iguales a cero no es posible el cálculo delvalor A pues el logaritmo de cero es infinito. Hay que crear una función mixta compuesta de laprobabilidad del valor nulo “q” y la del valor no nulo “p = 1-q”.
Distribución de Probabilidad Exponencial La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta. Esta ley de distribución describe procesos en los que interesa saber el tiempo hasta queocurre determinado evento; en particular, se utiliza para modelar tiempos de supervivencia. Un ejemplo es el tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse. El conocimientode la ley que sigue este evento se utiliza, por ejemplo, para la datación de fósiles o cualquiermateria orgánica mediante la técnica del carbono. Una característica importante de esta distribución es la propiedad conocida como “falta dememoria”. Esto significa, por ejemplo, que la probabilidad de que un individuo de edad tsobreviva x años más, hasta la edad x+t, es la misma que tiene un recién nacido de sobrevivirhasta la edad x. Dicho de manera más general, el tiempo transcurrido desde cualquierinstante dado t0 hasta que ocurre el evento, no depende de lo que haya ocurrido antes delinstante t0. La distribución exponencial se puede caracterizar como la distribución del tiempo entresucesos consecutivos generados por un proceso de Poisson; por ejemplo, el tiempo quetranscurre entre dos heridas graves sufridas por una persona. La media de la distribución dePoisson, lambda, que representa la tasa de ocurrencia del evento por unidad de tiempo, es elparámetro de la distribución exponencial, y su inversa es el valor medio de la distribución. También se puede ver como un caso particular de la distribución gamma(a,p), con a=lambda yp=1. El uso El uso de la distribución exponencial supone que los tiempos de servicio son aleatorios, es decir, que un tiempo de servicio determinado no depende de otro servicio realizado anteriormente ni de la posible cola que
pueda estar formándose. Otra característica de este tipo de distribución es que no tienen "edad" o en otras palabras, "memoria". Por ejemplo. Supongamos que el tiempo de atención de un paciente en una sala quirúrgica sigue una distribución exponencial. Si el paciente ya lleva 5 horas siendo operado, la probabilidad de que esté una hora más es la misma que si hubiera estado 2 horas, o 10 horas o las que sea. Esto es debido a que la distribución exponencial supone que los tiempos de servicio tienen una gran variabilidad. A lo mejor el próximo paciente operado tarda 1 hora porque su cirugía era mucho más simple que la anterior. Gráfica: Su gráfica es un modelo apropiado a vida útil de objetos. Se dice que la variable aleatoria continua X tiene distribución exponencial con parámetro
Ejercicio Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una distribuciónexponencial con media de 16 años. ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona a la que sele ha implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20 años? Si elmarcapasos lleva funcionando correctamente 5 años en un paciente, ¿cuál es la probabilidadde que haya que cambiarlo antes de 25 años? La variable aleatoria “tiempo de vida del marcapasos” sigue una distribución exponencial deparámetro lambda=1/16=0,0625 Resultados Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas Exponencial (lambda) Lambda : Tasa 0,0625 Punto X 20,0000 Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,7135 Cola Derecha Pr[X>=k] 0,2865 La probabilidad de que se le tenga que implantar otro marcapasos antes de los 20 años sesitúa en un entorno a 0,71.
Teniendo en cuenta la propiedad de “falta de memoria” de la exponencial, la probabilidadde tener que cambiar antes de 25 años un marcapasos que lleva funcionando 5 es igual a laprobabilidad de cambio a los 20 años, es decir, P(X<25/X>5) = P(X<20) = 0,71. Distribución de Probabilidad Erlang La distribución de Erlang es una distribución de probabilidad continua con amplia aplicabilidad principalmente debido a su relación con las distribuciones exponencial y gamma. La distribución de Erlang fue desarrollado por AK Erlang para examinar el número de llamadas telefónicas que pudieran ser realizados al mismo tiempo para los operadores de las estaciones de conmutación. Este trabajo de ingeniería de tráfico telefónico ha sido ampliado para tener en cuenta los tiempos de espera en los sistemas de formación de colas en general. La distribución se utiliza ahora en el campo de los procesos estocásticos y de biomatemáticas. La distribución es una distribución continua, que tiene un valor positivo para todos los números reales mayores que cero, y viene dada por dos parámetros: la forma, que es un entero positivo, y la tasa, que es un número real positivo. La distribución se define a veces utilizando la inversa de la tasa parámetro, la escala. Es la distribución de la suma de las variables exponenciales independientes con media. Cuando el parámetro de forma es igual a 1, la distribución se simplifica a la distribución exponencial. La distribución Erlang es un caso especial de la distribución Gamma, donde el parámetro de forma es un número entero. En la distribución Gamma, este parámetro no se limita a los números enteros.
UsosSe utiliza en modelos de sistemas de servicio masivo, para describir el tiempo de espera hasta el suceso, son aleatorias. Gráfica La distribución gamma, cuando a es un entero positivo se conoce con el nombre de Erlang. Existe una asociación entre los modelos de probabilidad de Poisson y de Erlang. Si el número de eventos aleatorios independientes que ocurren en un lapso específico es una variable aleatoria de Poisson con frecuencia constante de ocurrencia igual a 1/ q, entonces, para una a dada, el tiempo de espera hasta que ocurre el a-ésimo evento de Poisson sigue una distribución de Erlang.
Cuando a=1, la distribución de Erlang se reduce a una distribución exponencial negativa. Nótese que la variable aleatoria de una distribución exponencial negativa puede pensarse como el lapso que transcurre hasta el primer evento de Poisson. De acuerdo con esto, la variable aleatoria de Erlang es la suma de variables aleatorias independientes distribuidas exponencialmente. Otro caso especial del modelo de probabilidad gamma es la distribución chi-cuadrado. Si se hace a= u /2 y q=2 , se obtiene: Donde u recibe el nombre de grados de libertad. La media y varianza de la distribución chi-cuadrado se obtienen de los de la gamma. E[X]= u y Var[X]=2. u Weibull La distribución Weibulles una distribución de probabilidadcontinua; queda totalmente definida mediante dos parámetros, forma (a) y escala (b). En el caso particular de que a=1, se tiene la distribución exponencial, y si a = 2 y b = recibe el nombre de 2 σdistribución de Rayleigh. Usos: Esta distribución se utiliza para modelar situaciones del tipo tiempo fallo, modelar tiempos de vida o en el análisis de supervivencia, aparte de otros usos como, por ejemplo, caracterizar el comportamiento climático de la lluvia en un año determinado.Se ha usado para modelar situaciones del tipo
tiempo- falla, ó bien puede indicar la vida útil de cierto artículo, planta o animal, confiabilidad de un componente. Gráficas Obsérvense a continuación las gráficas de algunas de las formas que adquiere la distribución. Ejercicio Se trata de un modelo continuo asociado a variables del tipo tiempo de vida, tiempo hasta que un mecanismo falla, etc. La función de densidad de este modelo viene dada por: Que, como vemos, depende de dos parámetros: α > 0 y β > 0, donde α es un parámetro de escala y β es un parámetro de forma (lo que proporciona
una gran flexibilidad a este modelo).La función de distribución se obtiene por la integración de la función de densidad y vale:
CONCLUSION Una vez desarrollado el tema sobre probabilidades se puede llegar a las siguientes conclusiones: A través de esas construcciones teóricas, se podrá experimentar sobre aquello que la realidad no permitía;se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia para lograr conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales en sistemas complejos. Debido a la necesidad de modelar lo observable laprobabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico; un modeloresulta extremadamente útil, siempre que se corresponda con la realidad que pretende representar o predecir; por ello es necesario conocer cada distribución de la probabilidad en el casos especifico, sus usos y formas de aplicarlas. Asimismo la probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables; en este sentido se recurre a diferentes distribuciones de probabilidad como weibull, erlang, exponencial, gamma, continua según el caso y uso.
BIBLIOGRÁFIA Distribuciones probabilísticas de uso común, Documento PDFBadii, Castiloprobabilidad.pdf[Consulta: junio 5, 2014] Distribuciones de Probabilidades Continuas, Documento PDF.[Consulta: Mayo 30, 2014] Distribuciones de Probabilidad Wibull, Documento PDF [Consulta: junio 4, 2014] Distribuciones de probabilidad[Documento en Línea] http://www.monografias.com/trabajos84/distribucion- exponencial/distribución-exponencial.shtml#ixzz33uek68NXde[Consulta: junio 5, 2014] Probabilidades [Documento en Línea] http://www.monografias.com/trabajos20/estadistica/estadistica.shtml#ixzz3 3xDPLLuh, [Consulta: Junio 3 2014] Probabilidad Continua[Documento en Línea] http://www.cnice.mecd.es/Descartes /Bach_HCS_ 2/ Distribuciones_probabilidad_continuas/normal.htm.[Consulta: Mayo 30, 2014] ProbabilidadesErlang [Documento en Línea] v2009n05erleng.pdf [Consulta: junio 4, 2014]