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UNIDAD
5
DISTRIBUCIONEDISTRIBUCIONE
S MUESTRALESS MUESTRALES
Antes de seguir adelante esAntes de seguir adelante es
conveniente de que Usted tengaconveniente de que Usted tenga
en claro lo que ya vio.-en claro lo que ya vio.-
Si hacemos una recapitulaciónSi hacemos una recapitulación
de lo que hemos visto hastade lo que hemos visto hasta
ahora podemos observar tresahora podemos observar tres
temas bien diferentes.-temas bien diferentes.-
El primero es laEl primero es la EstadísticaEstadística
DescriptivaDescriptiva y en ella se aprendey en ella se aprende
una serie de técnicas parauna serie de técnicas para
organizar, presentar, analizar eorganizar, presentar, analizar e
interpretar un conjunto finito deinterpretar un conjunto finito de
observaciones, que según elobservaciones, que según el
objetivo del estudio puedenobjetivo del estudio pueden
constituir una población o unaconstituir una población o una
muestra.-muestra.-
El segundo tema fueEl segundo tema fue el cálculoel cálculo
de probabilidadesde probabilidades y en esta partey en esta parte
se define la probabilidad comose define la probabilidad como
una medida de la posibilidad deuna medida de la posibilidad de
ocurrencia de un experimentoocurrencia de un experimento
aleatorio, extendiendo la nociónaleatorio, extendiendo la noción
de frecuencia relativa a lasde frecuencia relativa a las
poblaciones finitas.-poblaciones finitas.-
Luego el tercer tema fueLuego el tercer tema fue las distribuciones delas distribuciones de
probabilidadprobabilidad y a través de ellas se presentany a través de ellas se presentan
modelos matemáticos teóricos delmodelos matemáticos teóricos del
comportamiento (en términos probabilísticos)comportamiento (en términos probabilísticos)
de las poblaciones.- Cada distribución surgede las poblaciones.- Cada distribución surge
como consecuencia de hipótesis establecidascomo consecuencia de hipótesis establecidas
sobre el comportamiento del fenómeno aleatoriosobre el comportamiento del fenómeno aleatorio
analizado.- Estas hipótesis son las que permitenanalizado.- Estas hipótesis son las que permiten
identificar una población con lasidentificar una población con las
correspondientes distribuciones y a su vez cadacorrespondientes distribuciones y a su vez cada
distribución depende de parámetrosdistribución depende de parámetros
matemáticos cuyo valor hemos supuestomatemáticos cuyo valor hemos supuesto
conocido.conocido.
A partir de este momento vamos a estudiarA partir de este momento vamos a estudiar
métodos que nos permita obtener los valores demétodos que nos permita obtener los valores de
los parámetros poblacionales basándonos en loslos parámetros poblacionales basándonos en los
resultados de la muestra, y se podrá ver laresultados de la muestra, y se podrá ver la
integración de los tres grandes temas antesintegración de los tres grandes temas antes
mencionados.-mencionados.-
Los resultados que en elLos resultados que en el
se expone se utilizaránse expone se utilizarán
una y otra vez en losuna y otra vez en los
métodos a desarrollarmétodos a desarrollar
en las Unidadesen las Unidades
siguientes.-siguientes.-
Esta UnidadEsta Unidad
eses
necesariamennecesariamen
te teórica.-te teórica.-
Es necesario destacar laEs necesario destacar la
importancia de unimportancia de un
entendimiento claro de estasentendimiento claro de estas
distribuciones muestrales yadistribuciones muestrales ya
que este concepto es la claveque este concepto es la clave
para comprender lapara comprender la
Inferencia EstadísticaInferencia Estadística.-.-
MUESTREO
DE UNA
POBLACION
A menudo utilizamos muestras en lugar de toda la población porque
el costo y el tiempo necesario para medir todos los elementos de la
población seria prohibitivos.- Además en algunos casos la medición
requiere la destrucción de los elementos.- En general, se consigue
una precisión mayor extrayendo con cuidado una muestra aleatoria
de la población, que dedicando los recursos a medir todos sus
elementos.- La precisión es mayor por dos razones:
En primer lugar, a
menudo es muy difícil
obtener y medir a todos
los elementos de una
población, e incluso
cuando es posible, el
costo es muy alto
cuando la población es
grande.-
En segundo lugar como
veremos en esta Unidad,
pueden utilizarse muestras
bien seleccionadas para
realizar estimaciones medidas
de las característica de la
población que son muy
cercanas a los valores reales.-
La forma como se selecciona una muestra se
llama Plan de Muestreo o Diseño Experimental y
determina la cantidad de información en la
muestra.-
Conocer el plan de muestreo usado en una
situación particular le permitirá medir la
confiabilidad o bondad de su inferencia.-
Las muestras ideales para este
fin es la:
MUESTRA ALEATORIA
SIMPLE.-
Muestra aleatoria
simple.-
Supongamos que queremos seleccionar una muestra de
n objetos de una población de N objetos.- Se selecciona
una muestra aleatoria simple tal que todos los objetos
tienen la misma probabilidad de ser seleccionados y se
seleccionan independientemente, es decir, la selección
de un objeto no altera la probabilidad de que sean
seleccionados otros objetos.- Las muestras aleatorias
simples son el ideal.- En algunos estudios por muestreo
del mundo real, los analistas desarrollan métodos
alternativos para reducir el costo del muestreo.- Pero la
base para saber si estas estrategias alternativas son
aceptables es el grado en que los resultados se
aproximan a los de una muestra aleatoria.-
Es importante que una muestra represente al conjunto de
la población.- Por ejemplo, si un director de marketing
quiere evaluar las reacciones a un nuevo producto
alimenticio, no muestrea únicamente a sus amigos y
vecinos.- Es improbable que las opiniones de esos
grupos representen las de toda la población y es
probable que estén concentradas en un intervalo más
reducido.- Para evitar estos problemas seleccionamos
una muestra aleatoria simple.- El muestreo aleatorio es
nuestra póliza de seguro contra la posibilidad de que los
sesgos personales influyan en la selección.-
El muestreo aleatorio simple puede realizarse de varias
manera, lo más común es poner en una bolsa papelitos
con números de los N miembros de la población y luego
mezclar bien y seleccionar papelitos sin mirar.- (Esto es
poco posible si la población es muy grande).-
En la práctica, solemos utilizar números aleatorios para
seleccionar objetos a los que podemos asignar un valor
numérico.- Por ejemplo, los grupos de estudios de
mercado pueden utilizar números aleatorios para
seleccionar números de teléfonos a los que llamar y
preguntar por las preferencias por un producto.-
Algunos paquetes estadísticos y hojas de cálculo tienen
rutinas para obtener números aleatorios, que se utilizan
generalmente en la mayoría de los estudios por
muestreo.- Estos números aleatorios generados por
ordenador tienen las propiedades necesarias para
elaborar muestras aleatorias.- Las organizaciones que
necesitan muestras aleatorias de grandes poblaciones
humanas, por ejemplo los candidatos políticos que tratan
de averiguar las preferencias de los votantes, recurren a
empresas profesionales de muestreo, que se dedican a
seleccionar y gestionar el proceso de muestreo.-
Un buen muestreo exige mucho trabajo y un elevado
costo.-
Aquí centramos la atención en los métodos para analizar
los resultados de muestras aleatorias simples con el fin
de obtener información sobre la población.- Este proceso
sobre el que nos extenderemos en las Unidades
siguientes, se conoce con el nombre de Inferencia
Clásica.- Sin embargo, existen otros métodos de
muestreo, que es posible que en algunas circunstancias
se prefieran a otros métodos de muestreo.-
Las muestras aleatorias protegen contra la posibilidad de
que algún grupo de la población este subreprentado en la
muestra.- Si una población se muestrea repetidamente
utilizando métodos de muestreo aleatorio, ningún
subgrupo específico esta sobrerepresentado o
subrepresentado en la muestra.-
Además , el concepto de distribuciones en el
muestreo me permite averiguar la probabilidad de
obtener una determinada muestra.-
Utilizamos la información muestral para hacer inferencias
sobre la población de la que procede la muestra.- La
distribución de todos los valores de interés de esta
población pueden representarse por medio de una
variable aleatoria.- Sería demasiado ambicioso intentar
describir toda la distribución poblacional basándonos en
una pequeña muestra aleatoria de observaciones.-
Sin embargo, podemos muy bien hacer inferencias
bastantes sólidas sobre importantes características de la
distribución poblacional, como la media y la variancia
poblacional.-
Por ejemplo, dada una muestra aleatoria del consumo de
combustible de 20 automóviles de un determinado
modelo, podemos utilizar la media y la variancia muestral
para hacer inferencias sobre la media y variancia
poblacional del consumo de combustible.- Esta
inferencia se basará en la información muestral.-
Podemos hacernos preguntas como la siguiente:
“Si el consumo de combustible, en kilómetros por
litro, de la población de todos los automóviles de
un determinado modelo tiene una media de 25
litros y una desviación estándar de 2 litros”;
¿Cuál es la probabilidad de que el consumo medio
muestral de combustible de los automóviles de una
muestra aleatoria de 20 sea de menos de 24 kilómetros
por litro?
A continuación veremos que podemos utilizar la
distribución de la media muestral en el muestreo para
responder a esta pregunta.-
Necesitamos distinguir entre los atributos de la
población y los atributos de la muestra aleatoria.- En el
párrafo anterior, la población de mediciones del consumo
de combustible de todos los automóviles de un
determinado modelo, sigue una distribución que tiene
una determinada media.- Esta media, un atributo de la
población, es un número fijo (pero desconocido).-
Hacemos inferencias sobre este atributo extrayendo una
muestra aleatoria de la población y calculando la media
muestral.- Cada muestra que extraigamos tendrá una
media muestral distinta y la media muestral puede
considerarse, como una variable aleatoria con una
distribución de probabilidad .-
La distribución de las medias muestrales posibles
constituye la base para realizar inferencias sobre la
muestra.-
En esta Unidad se utiliza laEn esta Unidad se utiliza la distribucióndistribución
muestral o distribuciones en elmuestral o distribuciones en el
muestreomuestreo para contestar preguntas depara contestar preguntas de
probabilidad acerca de los estadísticosprobabilidad acerca de los estadísticos
muestrales.- Recordemos que vimosmuestrales.- Recordemos que vimos
anteriormente que en la Estadística Descriptiva,anteriormente que en la Estadística Descriptiva,
la media, mediana, la variancia, el desvíola media, mediana, la variancia, el desvío
estándar, son estadísticos que se obtienen de laestándar, son estadísticos que se obtienen de la
muestra.-muestra.-
Veamos entonces queVeamos entonces que
es una DISTRIBUCIONes una DISTRIBUCION
MUESTRALMUESTRAL
La distribución de todos los valores posiblesLa distribución de todos los valores posibles
que puede asumir un estadístico calculado aque puede asumir un estadístico calculado a
partir de muestras del mismo tamaño,partir de muestras del mismo tamaño,
seleccionado aleatoriamente de la poblaciónseleccionado aleatoriamente de la población
se llamase llama DISTRIBUCION MUESTRALDISTRIBUCION MUESTRAL
DE ESE ESTADISTICODE ESE ESTADISTICO.-.-
Las distribuciones muestrales pueden construirseLas distribuciones muestrales pueden construirse
empíricamente a partir de poblaciones finitas.- Paraempíricamente a partir de poblaciones finitas.- Para
ello, se procede como sigue:ello, se procede como sigue:
DISTRIBUCIONEDISTRIBUCIONE
S MUESTRALES:S MUESTRALES:
ElaboraciónElaboración
DISTRIBUCIONEDISTRIBUCIONE
S MUESTRALES:S MUESTRALES:
ElaboraciónElaboración
1.- De una población finita de tamaño N, se extraen de manera1.- De una población finita de tamaño N, se extraen de manera
aleatorias todas las muestras posible de tamaño n.-aleatorias todas las muestras posible de tamaño n.-
2.- Se calcula el estadístico de interés para cada muestra.-2.- Se calcula el estadístico de interés para cada muestra.-
3.- Se ordena en una columna los distintos valores observados del3.- Se ordena en una columna los distintos valores observados del
estadístico y en otra columna, las frecuencias de ocurrenciaestadístico y en otra columna, las frecuencias de ocurrencia
correspondientes de cada valor observado.-correspondientes de cada valor observado.-
Elaborar la distribución muestral esElaborar la distribución muestral es
una tarea muy complicada si launa tarea muy complicada si la
población es de un tamaño muypoblación es de un tamaño muy
grande e imposible si la poblacióngrande e imposible si la población
es infinita.- En último caso, eses infinita.- En último caso, es
posible obtener aproximaciones deposible obtener aproximaciones de
las distribuciones muestraleslas distribuciones muestrales
tomando un gran número detomando un gran número de
muestras de un tamaño dado.-muestras de un tamaño dado.-
DISTRIBUCIONEDISTRIBUCIONE
S MUESTRALES:S MUESTRALES:
CaracterísticasCaracterísticas
importantesimportantes ::
DISTRIBUCIONEDISTRIBUCIONE
S MUESTRALES:S MUESTRALES:
CaracterísticasCaracterísticas
importantesimportantes ::
Normalmente para una distribución muestral se tieneNormalmente para una distribución muestral se tiene
interés en conocer tres cosas:interés en conocer tres cosas:
MediaMedia
VarianciaVariancia
Forma funcionalForma funcional
(grafica)(grafica)
Desviación
estándar
DISTRIBUCIONDISTRIBUCION
DE LA MEDIADE LA MEDIA
DE LADE LA
MUESTRAMUESTRA
DISTRIBUCIONDISTRIBUCION
DE LA MEDIADE LA MEDIA
DE LADE LA
MUESTRAMUESTRA
A CONTINUACIÓN VEAMOS UN EJEMPLOA CONTINUACIÓN VEAMOS UN EJEMPLO
DE CÓMO ELABORAR ESTA DISTRIBUCIONDE CÓMO ELABORAR ESTA DISTRIBUCION
SIGUIENDO LOS PASOS ANTESSIGUIENDO LOS PASOS ANTES
MENCIONADOS:MENCIONADOS:
(en la practica profesional nunca puede hacer esto)(en la practica profesional nunca puede hacer esto)
Consideremos una población de tamaño N = 5, la cualConsideremos una población de tamaño N = 5, la cual
se compone de los años de antigüedad en la empresa dese compone de los años de antigüedad en la empresa de
cinco empleados.- Las antigüedades en años son lascinco empleados.- Las antigüedades en años son las
siguientes; 6, 8, 10, 12, 14.-siguientes; 6, 8, 10, 12, 14.-
Calculemos la media y la variancia de la poblaciónCalculemos la media y la variancia de la población
como sabemos:como sabemos:
μμ == ΣΣxixi
NN
= 10= 10 σσ² =² =
ΣΣ (xi –(xi – μμ))²²
NN
= 8= 8
Supongamos que elegimos todas lasSupongamos que elegimos todas las
posibles muestras de tamaño n = 2 de laposibles muestras de tamaño n = 2 de la
población de tamaño N = 5 quepoblación de tamaño N = 5 que
determinamos antes.-determinamos antes.-
La tabla A muestra todas las posiblesLa tabla A muestra todas las posibles
muestras de tamaño 2.-muestras de tamaño 2.-
Las muestra que están arriba y debajo deLas muestra que están arriba y debajo de
la diagonal principal resultan cuando ella diagonal principal resultan cuando el
muestreo es sin reemplazo.- Las mediasmuestreo es sin reemplazo.- Las medias
de las muestras están entre paréntesis.-de las muestras están entre paréntesis.-
SEGUNDA SELECCIONSEGUNDA SELECCION
66 88 1010 1212 1414
1º1º
SS
EE
LL
EE
CC
CC
II
OO
NN
66 6;66;6
(6)(6)
6,86,8
(7)(7)
6;106;10
(8)(8)
6;126;12
(9)(9)
6;146;14
(10)(10)
88 8;68;6
(7)(7)
8,88,8
(8)(8)
8;108;10
(9)(9)
8;128;12
(10)(10)
8;148;14
(11)(11)
1010 10;610;6
(8)(8)
10,810,8
(9)(9)
10;1010;10
(10)(10)
10;1210;12
(11)(11)
10;1410;14
(12)(12)
1212 12;612;6
(9)(9)
12;812;8
(10)(10)
12;1012;10
(11)(11)
12;1212;12
(12)(12)
12;1412;14
(13)(13)
1414 14;614;6
(10)(10)
14;814;8
(11)(11)
14;1014;10
(12)(12)
14;1214;12
(13)(13)
14;1414;14
(14)(14)
TABLA ATABLA A
En este ejemplo se observa que cuando el muestreo se hace conEn este ejemplo se observa que cuando el muestreo se hace con
reemplazos, hay 25 muestras posibles.- En general, cuando elreemplazos, hay 25 muestras posibles.- En general, cuando el
muestreo se lleva a cabo con reemplazos, el número de muestrasmuestreo se lleva a cabo con reemplazos, el número de muestras
posible es igual a Nposible es igual a N
Puede construirse la distribución muestral de media ordenando losPuede construirse la distribución muestral de media ordenando los
diferentes valores de media en una columna y sus frecuencias dediferentes valores de media en una columna y sus frecuencias de
ocurrencia en la otra, tal como mostramos a continuación:ocurrencia en la otra, tal como mostramos a continuación:
nn
MEDIASMEDIAS FRECUENCIAFRECUENCIA FREC. RELATIVAFREC. RELATIVA
66 11 1/251/25
77 22 2/252/25
88 33 3/253/25
99 44 4/254/25
1010 55 5/255/25
1111 44 4/254/25
1212 33 3/253/25
1313 22 2/252/25
1414 11 1/251/25
TOTALTOTAL 2525 1,001,00
En la tabla se aprecian los datos que satisfacen losEn la tabla se aprecian los datos que satisfacen los
requerimientos para la distribución de probabilidad.- Lasrequerimientos para la distribución de probabilidad.- Las
probabilidades individuales todas son mayores de 0 y laprobabilidades individuales todas son mayores de 0 y la
suma de todas ellas me da 1,00.-suma de todas ellas me da 1,00.-
Se mencionó al principio que un interés principal radicaSe mencionó al principio que un interés principal radica
en la forma funcional de la distribución, su media y laen la forma funcional de la distribución, su media y la
variancia.-variancia.-
66 88 1212 14141010 66 77 88 99 1010 12121111 1313 1414
fxfx
xx
11
Distribución de
la población
Distribución
muestral de x
fxfx
DISTRIBUCION MUESTRAL DEDISTRIBUCION MUESTRAL DE X: formaX: forma
funcionalfuncional
En las figuras anteriores observamos que el gráfico en la poblaciónEn las figuras anteriores observamos que el gráfico en la población
esta distribuido uniformemente, en la distribución muestral vaesta distribuido uniformemente, en la distribución muestral va
tomando una forma cada vez más similar a la normal.-tomando una forma cada vez más similar a la normal.-
DISTRIBUCION MUESTRAL DEDISTRIBUCION MUESTRAL DE X: la mediaX: la media
El paso siguiente es calcular la media de la distribución muestral.-El paso siguiente es calcular la media de la distribución muestral.-
μμ = = = 10= = = 10
Observamos que la media de laObservamos que la media de la
distribución muestral me da igual a ladistribución muestral me da igual a la
media de la población, esto no esmedia de la población, esto no es
casualidad, siempre es así.-casualidad, siempre es así.-

x
ΣΣ 
x25 25
250
DISTRIBUCION MUESTRAL DEDISTRIBUCION MUESTRAL DE X:X:
variancia.-variancia.-
σσ²² = = 100/25 = 4= = 100/25 = 4
También se puede advertir que la variancia de laTambién se puede advertir que la variancia de la
distribución muestral no es igual a la variancia de ladistribución muestral no es igual a la variancia de la
población, sin embargo, es interesante observar que lapoblación, sin embargo, es interesante observar que la
variancia de la distribución muestral es igual a lavariancia de la distribución muestral es igual a la
variancia de la población dividida entre el tamaño de lavariancia de la población dividida entre el tamaño de la
muestra utilizada para obtener la distribución muestral.-muestra utilizada para obtener la distribución muestral.-
Esto es:Esto es:
σσ² = = 8/2 = 4² = = 8/2 = 4

x
ΣΣ (( x -x - μμ ))²²

x2525

x
nn
σσ²²
A la raíz cuadrada de la variancia de la distribuciónA la raíz cuadrada de la variancia de la distribución
muestral, se le conoce comomuestral, se le conoce como error estándar de laerror estándar de la
media.-media.-
Entonces:Entonces: σσ² =² = σσxx ==
Estos resultados no son coincidencia sinoEstos resultados no son coincidencia sino
ejemplos de las características de lasejemplos de las características de las
distribuciones muestrales en general,distribuciones muestrales en general,
cuando el muestreo es con reemplazo ocuando el muestreo es con reemplazo o
cuando se efectúan a partir de unacuando se efectúan a partir de una

x
σσ
nn
σσ
nn
Para generalizar, se debe distinguirPara generalizar, se debe distinguir
entre dos situaciones;entre dos situaciones;
Muestreo a partir de una poblaciónMuestreo a partir de una población
que sigue una distribución normalque sigue una distribución normal
Muestreo a partir de una poblaciónMuestreo a partir de una población
que no sigue una distribuciónque no sigue una distribución
normal.-normal.-
DISTRIBUCION MUESTRAL DEDISTRIBUCION MUESTRAL DE X:X:
muestreo a partir de poblaciones quemuestreo a partir de poblaciones que
siguen una distribución normal.-siguen una distribución normal.-
Cuando el muestreo se realiza a partir de una poblaciónCuando el muestreo se realiza a partir de una población
que sigue una distribución normal, la distribución de laque sigue una distribución normal, la distribución de la
media de la muestra tiene las siguientes propiedades:media de la muestra tiene las siguientes propiedades:
1.- La distribución de la media será normal.-1.- La distribución de la media será normal.-
2.- La media de la media de la distribución muestral2.- La media de la media de la distribución muestral
será igual a la media de la población de laserá igual a la media de la población de la
cual proviene la muestra.-cual proviene la muestra.-
3.- La variancia de la distribución muestral será igual3.- La variancia de la distribución muestral será igual
a la variancia dea la variancia de
la población dividida entre el tamaño de la muestra.-la población dividida entre el tamaño de la muestra.-
DISTRIBUCION MUESTRAL DEDISTRIBUCION MUESTRAL DE X: muestreoX: muestreo
a partir de poblaciones que no siguen unaa partir de poblaciones que no siguen una
distribución normal.-distribución normal.-
Cuando el muestreo se hace a partir de una poblaciónCuando el muestreo se hace a partir de una población
que no sigue una distribución normal, se utiliza unque no sigue una distribución normal, se utiliza un
teorema matemático conocido comoteorema matemático conocido como teoremateorema
central del límitecentral del límite.-.- La importancia de este teoremaLa importancia de este teorema
en la inferencia estadística se resume en el siguienteen la inferencia estadística se resume en el siguiente
párrafo:párrafo:
Dada una población de cualquierDada una población de cualquier
forma funcional no normal con unaforma funcional no normal con una
mediamedia μ y variancia finita σ², laμ y variancia finita σ², la
distribución muestral de la mediadistribución muestral de la media x,x,
será casi normal con mediaserá casi normal con media μμxx yy
variancia σ²/n cuando la muestra esvariancia σ²/n cuando la muestra es
muy grande.-muy grande.-
Dada una población de cualquierDada una población de cualquier
forma funcional no normal con unaforma funcional no normal con una
mediamedia μ y variancia finita σ², laμ y variancia finita σ², la
distribución muestral de la mediadistribución muestral de la media x,x,
será casi normal con mediaserá casi normal con media μμxx yy
variancia σ²/n cuando la muestra esvariancia σ²/n cuando la muestra es
muy grande.-muy grande.-
Observamos que elObservamos que el Teorema Central del LimiteTeorema Central del Limite permitepermite
tomar muestras a partir de la poblaciones con distribucióntomar muestras a partir de la poblaciones con distribución
no normal y garantizar que se obtenganno normal y garantizar que se obtengan
aproximadamente los mismos resultados que si laaproximadamente los mismos resultados que si la
población tuviera una distribución normal, siempre que sepoblación tuviera una distribución normal, siempre que se
tome una muestra grande.-tome una muestra grande.-
La importancia de esto se demostrara más adelante alLa importancia de esto se demostrara más adelante al
estudiar que una distribución muestral con distribuciónestudiar que una distribución muestral con distribución
normal es una herramienta importante en la inferencianormal es una herramienta importante en la inferencia
estadística.-estadística.-
En el caso de la media de la muestra, se tienen laEn el caso de la media de la muestra, se tienen la
seguridad de que la distribución muestral estáseguridad de que la distribución muestral está
distribuida en forma al menos aproximadamentedistribuida en forma al menos aproximadamente
normal con tres condiciones:normal con tres condiciones:
1.- Cuando se hace el muestreo a partir de una población1.- Cuando se hace el muestreo a partir de una población
con distribución normal.-con distribución normal.-
2.- Cuando se hace el muestreo a partir de una población2.- Cuando se hace el muestreo a partir de una población
que no exhibe una distribución normal y la muestra esque no exhibe una distribución normal y la muestra es
grande.-grande.-
3.- Cuando se hace el muestreo a partir de una3.- Cuando se hace el muestreo a partir de una
población cuya forma funcional se desconoce, siemprepoblación cuya forma funcional se desconoce, siempre
que el tamaño de la muestra sea grande.-que el tamaño de la muestra sea grande.-
Al llegar a este punto, nos surge una pregunta lógicaAl llegar a este punto, nos surge una pregunta lógica
¿Qué tan grande debe ser la¿Qué tan grande debe ser la
muestra para que el teoremamuestra para que el teorema
central del límite seacentral del límite sea
aplicable?.-aplicable?.-
No existe una sola respuesta, pues el tamaño deNo existe una sola respuesta, pues el tamaño de
la muestra depende de la condición de nola muestra depende de la condición de no
normalidad en la población.- Una regla empíricanormalidad en la población.- Una regla empírica
establece que, en la mayoría de las situacionesestablece que, en la mayoría de las situaciones
prácticas, una muestra de tamaño 30 esprácticas, una muestra de tamaño 30 es
suficiente.- Es decir,suficiente.- Es decir,
nn ≥ 30 normalidad≥ 30 normalidad
En general, la aproximación a la normalidad de laEn general, la aproximación a la normalidad de la
distribución muestral dedistribución muestral de X llega a ser muchoX llega a ser mucho
mejor a medida que crece el tamaño de lamejor a medida que crece el tamaño de la
muestra.-muestra.-
MUESTREO SINMUESTREO SIN
REEMPLAZO.-REEMPLAZO.-
Los resultados anteriores se han dado con la premisa deLos resultados anteriores se han dado con la premisa de
que el muestreo es con reemplazo o que la muestra fueque el muestreo es con reemplazo o que la muestra fue
extraída de una población infinita.- En general, no seextraída de una población infinita.- En general, no se
efectúan muestreo con reemplazo, y en muchos casosefectúan muestreo con reemplazo, y en muchos casos
prácticos, el muestreo debe hacerse a partir de unaprácticos, el muestreo debe hacerse a partir de una
población finita; por lo tanto, es necesario conocer elpoblación finita; por lo tanto, es necesario conocer el
comportamiento de la distribución muestral de la mediacomportamiento de la distribución muestral de la media
de la muestra con estas condiciones.-de la muestra con estas condiciones.-
Antes de hacer cualquier afirmación general, convieneAntes de hacer cualquier afirmación general, conviene
revisar nuevamente los datos de la tabla que vimos alrevisar nuevamente los datos de la tabla que vimos al
comienzo.- Las media de la muestra que resulta cuandocomienzo.- Las media de la muestra que resulta cuando
el muestreo es sin reemplazo se presentan sobre lael muestreo es sin reemplazo se presentan sobre la
diagonal principal que son las mismas que se presentandiagonal principal que son las mismas que se presentan
por debajo de dicha diagonal, siempre y cuando sepor debajo de dicha diagonal, siempre y cuando se
ignore el orden en que se hicieron las observaciones.-ignore el orden en que se hicieron las observaciones.-
Se observa que hay 10 muestras posibles.- En general,Se observa que hay 10 muestras posibles.- En general,
cuando se extraen sin reemplazo muestras de tamaño n acuando se extraen sin reemplazo muestras de tamaño n a
partir de una población finita de tamaño N y se ignora elpartir de una población finita de tamaño N y se ignora el
orden en que son extraídas las muestras, se obtiene elorden en que son extraídas las muestras, se obtiene el
numero posible mediante la combinación de N casosnumero posible mediante la combinación de N casos
tomados de n a la vez.- El siguiente ejemplo se tiene que:tomados de n a la vez.- El siguiente ejemplo se tiene que:
nnCCNN = = = 10= = = 10
La media de las 10 medias muestrales es:La media de las 10 medias muestrales es:
= 10= 10
N!N!
(N-n)!(N-n)!n!n! 2!2!
5!5!
3!3!
μμxx ==
ΣΣxx
1010
==
7 + 8 + 9 + 10 + 9 + 10 + 11 + 11 + 127 + 8 + 9 + 10 + 9 + 10 + 11 + 11 + 12
+13+13
1010
Nuevamente se aprecia que la media de la distribuciónNuevamente se aprecia que la media de la distribución
muestral es igual a la media de la población.-muestral es igual a la media de la población.-
La variancia de la distribución muestral se calcula comoLa variancia de la distribución muestral se calcula como
sigue;sigue;
σσ²²xx = = 30/10 = 3= = 30/10 = 3
En esta ocasión se observa que la variancia de laEn esta ocasión se observa que la variancia de la
distribución muestral no es igual a la variancia de ladistribución muestral no es igual a la variancia de la
población dividida entre el tamaño de la muestra, sinpoblación dividida entre el tamaño de la muestra, sin
embargo, existe una relación interesante que se descubreembargo, existe una relación interesante que se descubre
al multiplicar,al multiplicar,
= = 3= = 3
ΣΣ ( x( xii -- μμxx))²²
1010
88
22
5 - 25 - 2
44
N - nN - n
N - 1N - 1nn
σσ²²
Este resultado indica que si se multiplica la variancia de laEste resultado indica que si se multiplica la variancia de la
distribución muestral que se obtendrá si el muestreo fuesedistribución muestral que se obtendrá si el muestreo fuese
con reemplazo por el factor (N-n)/(N-1), se obtiene el valorcon reemplazo por el factor (N-n)/(N-1), se obtiene el valor
de la variancia de la distribución muestral que resultade la variancia de la distribución muestral que resulta
cuando el muestreo es sin reemplazo.- Es posiblecuando el muestreo es sin reemplazo.- Es posible
generalizar estos resultados con el siguiente enunciado:generalizar estos resultados con el siguiente enunciado:
Cuando el muestreo es sinCuando el muestreo es sin
reemplazo a partir de unareemplazo a partir de una
población finita, la distribuciónpoblación finita, la distribución
muestral demuestral de x tendrá una mediax tendrá una media μμ
y una variancia;y una variancia;
Cuando el muestreo es sinCuando el muestreo es sin
reemplazo a partir de unareemplazo a partir de una
población finita, la distribuciónpoblación finita, la distribución
muestral demuestral de x tendrá una mediax tendrá una media μμ
y una variancia;y una variancia;
N - nN - n
N - 1N - 1
σσ²²
nn
Si el tamaño de la muestra es muy grande, el teoremaSi el tamaño de la muestra es muy grande, el teorema
central del límite es aplicable y la distribución muestral decentral del límite es aplicable y la distribución muestral de
la media será aproximadamente normal.-la media será aproximadamente normal.-
Corrección por poblaciónCorrección por población
finitafinita
Al factor (N-n) / (N-1) se le llamaAl factor (N-n) / (N-1) se le llama factor defactor de
corrección por población finitacorrección por población finita y se puedey se puede
omitir cuando el tamaño de la muestra es pequeño enomitir cuando el tamaño de la muestra es pequeño en
comparación con el tamaño de la población.- Cuando lacomparación con el tamaño de la población.- Cuando la
población es mucho mayor que la muestra la diferenciapoblación es mucho mayor que la muestra la diferencia
entre usar o no el factor es insignificante.-entre usar o no el factor es insignificante.-
La mayoría de los Estadísticos no usamos el factor aLa mayoría de los Estadísticos no usamos el factor a
menos que la muestra sea de más de 5% de lamenos que la muestra sea de más de 5% de la
población.- Es decir, la corrección por población finitapoblación.- Es decir, la corrección por población finita
generalmente se ignora cuandogeneralmente se ignora cuando n/Nn/N ≤ 0,05.-≤ 0,05.-
APLICACIÓNAPLICACIÓN .-.- Como veremos enComo veremos en
Unidades siguientes, el conocimientoUnidades siguientes, el conocimiento
y la comprensión de las distribucionesy la comprensión de las distribuciones
muestrales son necesarias paramuestrales son necesarias para
entender los conceptos de laentender los conceptos de la
inferencia estadística.- La aplicacióninferencia estadística.- La aplicación
más sencilla para la distribuciónmás sencilla para la distribución
muestral de la media de la muestra esmuestral de la media de la muestra es
el cálculo de la probabilidad deel cálculo de la probabilidad de
obtener una muestra con una mediaobtener una muestra con una media
de alguna magnitud especificada.-de alguna magnitud especificada.-
USO DE LAUSO DE LA
DISTRIBUCIODISTRIBUCIO
N MUESTRALN MUESTRAL
DE LA MEDIADE LA MEDIA
USO DE LAUSO DE LA
DISTRIBUCIODISTRIBUCIO
N MUESTRALN MUESTRAL
DE LA MEDIADE LA MEDIA
La importancia de lo que venimos discutiendo hasta ahoraLa importancia de lo que venimos discutiendo hasta ahora
puede reconocerse solo si se recuerda que muchas de laspuede reconocerse solo si se recuerda que muchas de las
decisiones que tomamos se toman en base a losdecisiones que tomamos se toman en base a los
resultados muestrales.-resultados muestrales.-
Por ejemplo, un gerente administrativo puede tomar unaPor ejemplo, un gerente administrativo puede tomar una
muestra de un producto para determinar si cumple o nomuestra de un producto para determinar si cumple o no
con ciertas especificaciones de producción.- Un agente decon ciertas especificaciones de producción.- Un agente de
gobierno tomará una muestra de los residentes paragobierno tomará una muestra de los residentes para
decidir si cierto plan tributario producirá el efectodecidir si cierto plan tributario producirá el efecto
esperado; cierta empresa desea implementar un programaesperado; cierta empresa desea implementar un programa
nuevo de trabajo y ver si producirá el efecto esperado ennuevo de trabajo y ver si producirá el efecto esperado en
la producción, etc.-la producción, etc.-
Como se dijo, las muestras tienen un impacto muy directoComo se dijo, las muestras tienen un impacto muy directo
y consecuencial en las decisiones que se toman.-y consecuencial en las decisiones que se toman.-
Por tanto, toda conclusión que se saque o todo conocimiento que
se tenga respecto a una muestra es muy importante.- Una
aplicación muy común y de gran utilidad en una distribución
muestral es la de determinar la probabilidad de que una media
muestral clasifique dentro de un cierto rango planteado.-
Por tanto, toda conclusión que se saque o todo conocimiento que
se tenga respecto a una muestra es muy importante.- Una
aplicación muy común y de gran utilidad en una distribución
muestral es la de determinar la probabilidad de que una media
muestral clasifique dentro de un cierto rango planteado.-
Dado que la distribución muestral estaráDado que la distribución muestral estará
distribuida normalmente pues;distribuida normalmente pues;
a)a) La muestra se toma de una población que seLa muestra se toma de una población que se
distribuye como normal,distribuye como normal,
a)a) b) nb) n ≥≥ 30 y el teorema central del límite garantiza la30 y el teorema central del límite garantiza la
normalidad en el proceso de muestreo, la desviaciónnormalidad en el proceso de muestreo, la desviación
normal puede usarse para ganar información esencialnormal puede usarse para ganar información esencial
para el proceso de toma de decisiones.-para el proceso de toma de decisiones.-
Al desarrollar laAl desarrollar la
distribución normal,distribución normal,
vimos como usar lavimos como usar la
normal estandarizadanormal estandarizada
(Z), en una distribución(Z), en una distribución
muestral usamos elmuestral usamos el
mismo procedimiento,mismo procedimiento,
pero modificamos el Z.-pero modificamos el Z.-
Muchas de las decisiones en las empresasMuchas de las decisiones en las empresas
depende de una muestra completa, entonces ladepende de una muestra completa, entonces la
formula de reconversión estará dada por:formula de reconversión estará dada por:
σ
µ
x
−
=
x
Z
El valor de interés en el numerador no es unaEl valor de interés en el numerador no es una
observación única de X, sino la media de nobservación única de X, sino la media de n
observaciones.- Además, el denominador no es laobservaciones.- Además, el denominador no es la
desviación estándar poblacionaldesviación estándar poblacional σσ, sino que el, sino que el
error estándar de la distribución muestralerror estándar de la distribución muestral σσ xx.-.-
a) Este entre 145 y 150a) Este entre 145 y 150
b) Sea mayor que 145b) Sea mayor que 145
c) Sea menor que 155c) Sea menor que 155
d) Esté entre 145 y 155d) Esté entre 145 y 155
e) Sea mayor que 155e) Sea mayor que 155
Telecom Satelital es una empresa de Telecomunicación que prestaTelecom Satelital es una empresa de Telecomunicación que presta
servicios en ciertas ciudades.- Los funcionarios de la empresa hanservicios en ciertas ciudades.- Los funcionarios de la empresa han
aprendido que la transmisión satelital promedio es de 150aprendido que la transmisión satelital promedio es de 150
segundos con una desviación estándar de 15 segundos.- Lossegundos con una desviación estándar de 15 segundos.- Los
tiempos parecen estar distribuidos normalmente.- Plantea instalartiempos parecen estar distribuidos normalmente.- Plantea instalar
nuevos equipos que mejorarían la eficiencia de sus operaciones.-nuevos equipos que mejorarían la eficiencia de sus operaciones.-
Sin embargo, antes que los ejecutivos puedan decidir si dichaSin embargo, antes que los ejecutivos puedan decidir si dicha
inversión será eficaz en función de los costos debe determinar lainversión será eficaz en función de los costos debe determinar la
probabilidad de que la media de la muestra de n = 35,probabilidad de que la media de la muestra de n = 35,
SOLUCIONSOLUCION
VEAMOS ESTE EJEMPLO:VEAMOS ESTE EJEMPLO:
a)a) P(145 ≤P(145 ≤ x ≤ 150).-x ≤ 150).-
CalculamosCalculamos
P(145 ≤P(145 ≤ x ≤ 150) = 0.50 - F(-1,97) = 0.50 - 0.0244x ≤ 150) = 0.50 - F(-1,97) = 0.50 - 0.0244
= 0,4756= 0,4756
97.1
35/15
150145
−=
−
=
−
=
σ
µ
x
x
Z
150150145145 XX
b) P(b) P(xx ≥≥ 145)145)
97.1
35/15
150145
−=
−
=
−
=
σ
µ
x
x
ZCalculamosCalculamos
P (P ( xx ≥≥ 145) = 1,00 - F (- 1,97) = 1,00 - 0,0244 = 0,9756145) = 1,00 - F (- 1,97) = 1,00 - 0,0244 = 0,9756
150150145145 XX
Así, con el mismo criterio seAsí, con el mismo criterio se
seguirán calculando el resto de losseguirán calculando el resto de los
incisos, quedando ellos paraincisos, quedando ellos para
ejercitación del alumno.-ejercitación del alumno.-
Lo importante que con estaLo importante que con esta
información Telecom puede tomarinformación Telecom puede tomar
decisiones más inteligentedecisiones más inteligente
respecto a la necesidad de nuevosrespecto a la necesidad de nuevos
equipos.-equipos.-
Supongamos que la empresa que ustedSupongamos que la empresa que usted
asesora produce productosasesora produce productos
manufacturados, las ventas mensualesmanufacturados, las ventas mensuales
sigue una distribución normal con mediasigue una distribución normal con media
de 186,6$ (en miles) y una desviaciónde 186,6$ (en miles) y una desviación
estándar de 12,7$.- ¿Cuál es laestándar de 12,7$.- ¿Cuál es la
probabilidad de que una muestra aleatoriaprobabilidad de que una muestra aleatoria
de tamaño 10 meses de esta poblaciónde tamaño 10 meses de esta población
tenga una media mayor que 190$ ?.-tenga una media mayor que 190$ ?.-
SoluciónSolución
Veamos otro ejemplo.-Veamos otro ejemplo.-
Se sabe que la muestra individual que se estudia es soloSe sabe que la muestra individual que se estudia es solo
una de todas las muestras posibles de tamaño 10 queuna de todas las muestras posibles de tamaño 10 que
pueden ser extraídas de la población, de modo que lapueden ser extraídas de la población, de modo que la
media a la que conduce es una de lasmedia a la que conduce es una de las x que formanx que forman
parte de la distribución muestral departe de la distribución muestral de x, que , teóricamentex, que , teóricamente
podría inferirse de esa población.-podría inferirse de esa población.-
Cuando se dice que la población tiene una distribuciónCuando se dice que la población tiene una distribución
aproximadamente normal, se supone que la distribuciónaproximadamente normal, se supone que la distribución
muestral demuestral de x sigue para fines prácticos una distribuciónx sigue para fines prácticos una distribución
normal.- También se sabe que la media y la desviaciónnormal.- También se sabe que la media y la desviación
estándar de la distribución muestral son iguales a 186,6 $estándar de la distribución muestral son iguales a 186,6 $
yy σσ/ √n = 12,7 / √10 = 4,02 respectivamente.-/ √n = 12,7 / √10 = 4,02 respectivamente.-
Se supone que la población es grande con respecto a laSe supone que la población es grande con respecto a la
muestra, de manera que el factor de corrección paramuestra, de manera que el factor de corrección para
población finita puede omitirse.-población finita puede omitirse.-
Hemos aprendido que siempre que se tenga unaHemos aprendido que siempre que se tenga una
variable aleatoria con distribución normal estavariable aleatoria con distribución normal esta
puede transformarse en una distribución normalpuede transformarse en una distribución normal
estandarizada.- Entonces debemos obtenerestandarizada.- Entonces debemos obtener
nuestra Z con las transformaciones antesnuestra Z con las transformaciones antes
planteadas y luego realizar el cálculo comoplanteadas y luego realizar el cálculo como
hemos visto oportunamente.-hemos visto oportunamente.-
Entonces,Entonces,
x -x - μμxx
σσ // √√nn
Z =Z =
00 1,091,09 ZZ
P (P (x ≥ 190) = P ( Z ≥ 1,00) = 1 - F ( 1,09) =x ≥ 190) = P ( Z ≥ 1,00) = 1 - F ( 1,09) =
= 1 - 0,8621 = 0,1379= 1 - 0,8621 = 0,1379
 14 %14 %
xx
185,6185,6 190190
Veamos otro ejemplo del valorVeamos otro ejemplo del valor
práctico de la distribución muestralpráctico de la distribución muestral
de la media.-de la media.-
-.Para que los alumnos discutan.--.Para que los alumnos discutan.-
Al director de personal de cierta empresa multinacional muyAl director de personal de cierta empresa multinacional muy
importante se le ha asignado la tarea de elaborar un perfil de los 2500importante se le ha asignado la tarea de elaborar un perfil de los 2500
gerentes de la empresa.- Las características por identificar son, entregerentes de la empresa.- Las características por identificar son, entre
otras, el sueldo anual promedio y la proporción de gerentes queotras, el sueldo anual promedio y la proporción de gerentes que
terminaron el programa de adiestramiento de la empresa.-terminaron el programa de adiestramiento de la empresa.-
Si definimos a los 2500 gerentes como la población a estudiar,Si definimos a los 2500 gerentes como la población a estudiar,
podemos determinar el salario anual y el estado de adiestramiento enpodemos determinar el salario anual y el estado de adiestramiento en
el programa para cada individuo, consultando los registros delel programa para cada individuo, consultando los registros del
personal que tiene la empresa.- Supongamos que ya se hizo lopersonal que tiene la empresa.- Supongamos que ya se hizo lo
anterior y que contamos con información de todos los 2500 gerentes.-anterior y que contamos con información de todos los 2500 gerentes.-
Si empleamos las formulas que vimos en Unidades anteriores paraSi empleamos las formulas que vimos en Unidades anteriores para
calcular la media de la población y la desviación estándar poblacional,calcular la media de la población y la desviación estándar poblacional,
que resultaron ser:que resultaron ser:
μμ = 51800 dólares y= 51800 dólares y σσ = 4000 dólares.-= 4000 dólares.-
Sabemos que tantoSabemos que tanto μμ comocomo σσ , son parámetros (características de, son parámetros (características de
la población).-la población).-
El asunto que deseamos considerar es como el director de personalEl asunto que deseamos considerar es como el director de personal
puede obtener estimados de esos parámetros poblacionales con unapuede obtener estimados de esos parámetros poblacionales con una
muestra de gerentes, en lugar de hacerlo con los 2500 individuosmuestra de gerentes, en lugar de hacerlo con los 2500 individuos
de la población.- Supongamos que se usara una muestra de 30de la población.- Supongamos que se usara una muestra de 30
gerentes.- Es claro que el tiempo y el costo de desarrollar un perfilgerentes.- Es claro que el tiempo y el costo de desarrollar un perfil
para 30 gerentes serían mucho menores que para toda la población.-para 30 gerentes serían mucho menores que para toda la población.-
Si el director de personal pudiera estar seguro de que la nuestra deSi el director de personal pudiera estar seguro de que la nuestra de
30 gerentes suministra la información adecuada sobre la población30 gerentes suministra la información adecuada sobre la población
de 2500 gerentes, preferirá trabajar con la muestra que con toda lade 2500 gerentes, preferirá trabajar con la muestra que con toda la
población.-población.-
Empezará su investigación obteniendo la muestra de los 30Empezará su investigación obteniendo la muestra de los 30
gerentes, aplicando un muestreo simple aleatorio (como hemosgerentes, aplicando un muestreo simple aleatorio (como hemos
visto).- Se calcula el valor de la media de la muestra para estimarvisto).- Se calcula el valor de la media de la muestra para estimar µµ,,
la media de la población, no podemos esperar que la media de lala media de la población, no podemos esperar que la media de la
muestra sea exactamente igual a la media de la población.-muestra sea exactamente igual a la media de la población.-
Vimos que el valor absoluto de la diferencia entreVimos que el valor absoluto de la diferencia entre
la media de la muestra y la media de la poblaciónla media de la muestra y la media de la población
me daba el error muestral.-me daba el error muestral.-
La razón práctica de que nos interesa laLa razón práctica de que nos interesa la
distribución muestral dedistribución muestral de x es que la podemosx es que la podemos
usar para determinar información probabilísticausar para determinar información probabilística
acerca del tamaño del error de muestreo, ya queacerca del tamaño del error de muestreo, ya que
no lo podemos calcular porque desconocemos lano lo podemos calcular porque desconocemos la
media de la población.-.media de la población.-.
Supongamos que el director de personal creeSupongamos que el director de personal cree
que la media de la muestra será un estimadoque la media de la muestra será un estimado
aceptable de la media de la población si elaceptable de la media de la población si el
promedio muestral dista menos de 500$ delpromedio muestral dista menos de 500$ del
promedio poblacional.-promedio poblacional.-
En términos de probabilidad, loEn términos de probabilidad, lo
que le preocupa en realidad alque le preocupa en realidad al
director es la siguiente pregunta,director es la siguiente pregunta,
En términos de probabilidad, loEn términos de probabilidad, lo
que le preocupa en realidad alque le preocupa en realidad al
director es la siguiente pregunta,director es la siguiente pregunta,
¿Cuál es la probabilidad de que la media¿Cuál es la probabilidad de que la media
de la muestra que obtengamos de unade la muestra que obtengamos de una
muestra aleatoria simple de 30 gerentesmuestra aleatoria simple de 30 gerentes
esté dentro del intervalo de 500 dólaresesté dentro del intervalo de 500 dólares
alrededor de la media de la población?alrededor de la media de la población?
Como hemos identificado las propiedades de laComo hemos identificado las propiedades de la
distribución muestral dedistribución muestral de x, usaremos esa informaciónx, usaremos esa información
para contestar la pregunta.- La distribución muestral,para contestar la pregunta.- La distribución muestral,
será;será;
μμXX = 51800 dól.-= 51800 dól.-
30,730
30
4000
===
nx
σ
σ
51800518005130051300 5230052300
XX
El director de personal pregunta sobre la probabilidad deEl director de personal pregunta sobre la probabilidad de
que la media de la muestra sea entre 51300 y 52300que la media de la muestra sea entre 51300 y 52300
dólares.- Si el valor de la media de la muestra dedólares.- Si el valor de la media de la muestra de X estaX esta
en ese intervalo, se aproximará a 500 dólares de la mediaen ese intervalo, se aproximará a 500 dólares de la media
poblacional.- La probabilidad correspondiente es el áreapoblacional.- La probabilidad correspondiente es el área
de la distribución muestral que vimos en la figurade la distribución muestral que vimos en la figura
anterior.-anterior.-
Como la distribución muestral es normal, con promedioComo la distribución muestral es normal, con promedio
de 51800 y desviación estándar 730,30, podemos usar lade 51800 y desviación estándar 730,30, podemos usar la
tabla de la distribución de probabilidad normaltabla de la distribución de probabilidad normal
estandarizada, para calcular el área.-estandarizada, para calcular el área.-
Tendremos;Tendremos;
68,0
30,730
5180051300
−=
−
=
−
=
σ
µ
x
x
Z
P( 51300 ≤P( 51300 ≤ x ≤ 52300) = 0,7518 - 0,2482 =x ≤ 52300) = 0,7518 - 0,2482 =
0,50360,5036
Esto nos indica que una muestra aleatoria simple de 30Esto nos indica que una muestra aleatoria simple de 30
gerentes de la multinacional tiene una probabilidad degerentes de la multinacional tiene una probabilidad de
0,50 de dar como resultado una media de la muestra que0,50 de dar como resultado una media de la muestra que
quede a 500$ o menos de la media poblacional.-quede a 500$ o menos de la media poblacional.-
En otras palabras, una muestra aleatoria simple de 30En otras palabras, una muestra aleatoria simple de 30
gerentes tiene una probabilidad de 50 a 50 de quedargerentes tiene una probabilidad de 50 a 50 de quedar
dentro de los 500$ alrededor de la media poblacional.-dentro de los 500$ alrededor de la media poblacional.-
Quizás deba tomar la decisión de aumentar el tamañoQuizás deba tomar la decisión de aumentar el tamaño
de la muestra para lograr obtener datos para tomarde la muestra para lograr obtener datos para tomar
decisiones más seguras.-decisiones más seguras.-
Seguramente al aumentar por ejemplo el tamaño deSeguramente al aumentar por ejemplo el tamaño de
muestra n =100, la probabilidad de obtener una media demuestra n =100, la probabilidad de obtener una media de
muestra dentro de los márgenes pedidos, respecto a lamuestra dentro de los márgenes pedidos, respecto a la
media de la población sea mayor.-media de la población sea mayor.-
EJERICICIO PARA HACER EN CLASE
Supóngase que los incrementos salariales porcentualesSupóngase que los incrementos salariales porcentuales
anuales de los directores generales de todas lasanuales de los directores generales de todas las
empresas de tamaño medio siguen una distribuciónempresas de tamaño medio siguen una distribución
normal que tiene una media de 12,2 por ciento y unanormal que tiene una media de 12,2 por ciento y una
desviación estándar de 3,6 por ciento.- Se extrae unadesviación estándar de 3,6 por ciento.- Se extrae una
muestra aleatoria de nueve observaciones de esamuestra aleatoria de nueve observaciones de esa
población y se calcula la media muestral.- ¿Cuál es lapoblación y se calcula la media muestral.- ¿Cuál es la
probabilidad de que la media muestral sea inferior a unprobabilidad de que la media muestral sea inferior a un
10 por ciento?.-10 por ciento?.-
SoluciónSolución
Resp: 0.0336Resp: 0.0336
2.- Un fabricante de bujías sostiene que la duración de2.- Un fabricante de bujías sostiene que la duración de
sus bujías siguen una distribución normal que tiene unasus bujías siguen una distribución normal que tiene una
media de 36000 kilómetros y una desviación estándar demedia de 36000 kilómetros y una desviación estándar de
4000 kilómetros.- Una muestra aleatoria de 16 bujías4000 kilómetros.- Una muestra aleatoria de 16 bujías
tenía una duración media de 34500 kilómetros.- Si latenía una duración media de 34500 kilómetros.- Si la
afirmación del fabricante es correcta, ¿Cuál es laafirmación del fabricante es correcta, ¿Cuál es la
probabilidad de obtener una media muestral de 34500 oprobabilidad de obtener una media muestral de 34500 o
menos kilómetros?.-menos kilómetros?.-
SoluciónSolución
Repta: 0,0668Repta: 0,0668
3.- La duración de la enfermedad de Alzheimer desde el3.- La duración de la enfermedad de Alzheimer desde el
inicio de los síntomas hasta la muerte varía de tres ainicio de los síntomas hasta la muerte varía de tres a
20 años; el promedio es ocho años con una20 años; el promedio es ocho años con una
desviación estándar de cuatro años.- El administradordesviación estándar de cuatro años.- El administrador
de un centro médico selecciona al azar, de la base dede un centro médico selecciona al azar, de la base de
datos del centro médico, los expedientes de 30datos del centro médico, los expedientes de 30
pacientes que murieron de Aizheimer y anota lapacientes que murieron de Aizheimer y anota la
duración media.-duración media.-
Encuentre las probabilidades aproximadas para estosEncuentre las probabilidades aproximadas para estos
eventos:eventos:
a)a) La duración promedio es menor que 7 años.-La duración promedio es menor que 7 años.-
b)b) Excede 7 años.-Excede 7 años.-
c)c) La duración promedio queda dentro del intervalo de 1La duración promedio queda dentro del intervalo de 1
año de la media poblacional 8.-año de la media poblacional 8.-
Rpta: a) 0.0853 b) 0.9147 c) 0.8294Rpta: a) 0.0853 b) 0.9147 c) 0.8294
4.- Para evitar dificultades con la Oficina de Protección al4.- Para evitar dificultades con la Oficina de Protección al
Consumidor, un embotellador debe asegurarse que lasConsumidor, un embotellador debe asegurarse que las
botellas de 12 onzas en realidad contenga esa cantidadbotellas de 12 onzas en realidad contenga esa cantidad
de bebida.- Para determinar si una máquinade bebida.- Para determinar si una máquina
embotelladora está trabajando satisfactoriamente, elembotelladora está trabajando satisfactoriamente, el
embotellador muestrea al azar 10 botellas por hora yembotellador muestrea al azar 10 botellas por hora y
mide la cantidad de bebida en cada una.-La mediamide la cantidad de bebida en cada una.-La media x dex de
las 10 botellas de llenado se usa para decidir si selas 10 botellas de llenado se usa para decidir si se
reajusta la cantidad de bebida con que la máquina llenareajusta la cantidad de bebida con que la máquina llena
cada botella.- Si en los registros se observa que lacada botella.- Si en los registros se observa que la
cantidad de llenado por botella tiene una distribucióncantidad de llenado por botella tiene una distribución
normal, con una desviación estándar de 0,2 onzas y si senormal, con una desviación estándar de 0,2 onzas y si se
ajusta la embotelladora para producir un llenado medioajusta la embotelladora para producir un llenado medio
por botella de 12,1 onzas.-por botella de 12,1 onzas.-
¿Cuál es la probabilidad aproximada de que la media¿Cuál es la probabilidad aproximada de que la media
muestral de las 10 botellas de prueba sea menor que 12muestral de las 10 botellas de prueba sea menor que 12
onzas?.-onzas?.-
LA
DISTRIBUCION
DE LAS
PROPORCIONES
MUESTRALES
LA
DISTRIBUCION
DE LAS
PROPORCIONES
MUESTRALES
Hasta ahora la discusión se concentro exclusivamente enHasta ahora la discusión se concentro exclusivamente en
las media de los asuntos que se tratan en lalas media de los asuntos que se tratan en la
administración, negocios, economía, etc., muchas vecesadministración, negocios, economía, etc., muchas veces
en ellos interesa la proporción “P” de la población.-en ellos interesa la proporción “P” de la población.-
Una firma de marketing puede querer averiguar si unUna firma de marketing puede querer averiguar si un
cliente compra o no un producto, un banco puede estarcliente compra o no un producto, un banco puede estar
interesado en determinar su un depositante pedirá o no uninteresado en determinar su un depositante pedirá o no un
crédito para auto, muchas firmas deben determinar lacrédito para auto, muchas firmas deben determinar la
probabilidad de que un proyecto para presupuestarprobabilidad de que un proyecto para presupuestar
capitales generará o no un rendimiento positivo, etc.-capitales generará o no un rendimiento positivo, etc.-
En todos estos casos se usa la proporción muestralEn todos estos casos se usa la proporción muestral pp
para hacer inferencias sobre la proporción poblacional.para hacer inferencias sobre la proporción poblacional.
“P”.- Podemos predecir que en cada repetición del“P”.- Podemos predecir que en cada repetición del
proceso obtendremos un valor distinto de la proporciónproceso obtendremos un valor distinto de la proporción
muestralmuestral p.-p.-
La distribución de probabilidad de todos los valoresLa distribución de probabilidad de todos los valores
posibles de esa proporciónposibles de esa proporción p se llamap se llama distribucióndistribución
de la proporción muestral.-de la proporción muestral.-
La distribución de probabilidad binomial según vimosLa distribución de probabilidad binomial según vimos
implica determinar las probabilidades de diferentesimplica determinar las probabilidades de diferentes
números de éxitos en un experimento binomial.- Lanúmeros de éxitos en un experimento binomial.- La
distribución binomial es una distribución de probabilidaddistribución binomial es una distribución de probabilidad
discreta que indica la probabilidad de “x” éxitos en “n”discreta que indica la probabilidad de “x” éxitos en “n”
pruebas de un experimento binomial, donde cada pruebapruebas de un experimento binomial, donde cada prueba
tiene dos resultados posibles, éxitos y fracasos.-tiene dos resultados posibles, éxitos y fracasos.-
xx
p = -------p = -------
nn
Esta fórmula nos muestra que para una muestra de nEsta fórmula nos muestra que para una muestra de n
pruebas de un experimento binomial, la proporción depruebas de un experimento binomial, la proporción de
éxitos, el estadísticoéxitos, el estadístico p, se calcula dividiendo el númerop, se calcula dividiendo el número
de éxitos “x” entre el número de pruebas “n”.-de éxitos “x” entre el número de pruebas “n”.-
Para determinar lo cercano que esta la proporciónPara determinar lo cercano que esta la proporción
muestralmuestral p de la proporción poblacional “P”p de la proporción poblacional “P”
necesitamos comprendernecesitamos comprender las propiedades de lalas propiedades de la
distribución muestral dedistribución muestral de p, su valorp, su valor
esperado, su desviación estándar y la formaesperado, su desviación estándar y la forma
de la distribución.-de la distribución.-
El valor esperado deEl valor esperado de p, la media de todos los valoresp, la media de todos los valores
posibles deposibles de p, se puede expresar como,p, se puede expresar como,
E (E (p) = Pp) = P
La ecuación anterior nos expresa que la media de todosLa ecuación anterior nos expresa que la media de todos
los valores posible delos valores posible de p es igual a la proporción P de lap es igual a la proporción P de la
población y esto siempre es así.-población y esto siempre es así.-
La desviación estándar deLa desviación estándar de p se llamap se llama error estándarerror estándar
de la proporciónde la proporción.-.- Igual que en caso de las medias deIgual que en caso de las medias de
la muestrala muestra x, el error estándar de la proporción dependex, el error estándar de la proporción depende
si la población es finita o infinita, entonces:si la población es finita o infinita, entonces:
-infinitas.spoblacionepara
)1(
-finitas.spoblacionepara
1
*
)1(
p
n
pp
N
nN
n
pp
p
−
=
−
−−
=
σ
σ
Al comparar estas dos fórmulas, vemos que la diferenciaAl comparar estas dos fórmulas, vemos que la diferencia
es el empleo deles el empleo del factor de corrección parafactor de corrección para
poblaciones finitas.-poblaciones finitas.-
Como en el caso de la media de muestraComo en el caso de la media de muestra x, vemos quex, vemos que
la diferencia entre las ecuaciones para poblaciones finitasla diferencia entre las ecuaciones para poblaciones finitas
e infinita se hace despreciable si el tamaño de lae infinita se hace despreciable si el tamaño de la
población finita es grande en comparación con el tamañopoblación finita es grande en comparación con el tamaño
de la muestra.- Seguiremos la misma regla quede la muestra.- Seguiremos la misma regla que
recomendamos antes.-recomendamos antes.-
Como ya conocemos el promedio y laComo ya conocemos el promedio y la
desviación estándar de la proporción muestraldesviación estándar de la proporción muestral
p, debemos conocer ahora la forma de lap, debemos conocer ahora la forma de la
distribución.- Al aplicar el Teorema Central deldistribución.- Al aplicar el Teorema Central del
Límite aLímite a p se tiene que la distribuciónp se tiene que la distribución
muestral demuestral de p se puede aproximar con unap se puede aproximar con una
distribución normal de probabilidad, siempredistribución normal de probabilidad, siempre
que el tamaño de muestra sea grande.- En elque el tamaño de muestra sea grande.- En el
caso decaso de p, se puede considerar que el tamañop, se puede considerar que el tamaño
de muestra es grande cuando se cumple lasde muestra es grande cuando se cumple las
dos siguientes condiciones:dos siguientes condiciones:
n Pn P ≥≥ 5 y n (1- P)5 y n (1- P) ≥≥ 55
Esto es, si la población esEsto es, si la población es
infinita y n/N ≤ 0,05 usamos elinfinita y n/N ≤ 0,05 usamos el
error estándar de la proporciónerror estándar de la proporción
sin el factor de corrección, sinsin el factor de corrección, sin
embargo, si la población es finitaembargo, si la población es finita
y la relación es n/Ny la relación es n/N >> 0,05, se0,05, se
debe usar el factor dedebe usar el factor de
corrección.-corrección.-
Sabemos que la aproximaciónSabemos que la aproximación
normal puede mejorar connormal puede mejorar con lala
corrección por continuidadcorrección por continuidad ,,
un mecanismo que hace un ajuste enun mecanismo que hace un ajuste en
el caso de que una distribuciónel caso de que una distribución
continua se aproxime a unacontinua se aproxime a una
distribución discreta.- En el caso dedistribución discreta.- En el caso de
estudio de proporción de unaestudio de proporción de una
población, estas son muy grandes ypoblación, estas son muy grandes y
la corrección no aporta diferencia yla corrección no aporta diferencia y
por lo tanto la podemos obviar.-por lo tanto la podemos obviar.-
Veamos un ejemplo, con valores irreales solo paraVeamos un ejemplo, con valores irreales solo para
entender los conceptos elementales vistos.- Recuerde queentender los conceptos elementales vistos.- Recuerde que
esto en la práctica profesional no se puede hacer.-esto en la práctica profesional no se puede hacer.-
Casa Garbarino pregunta a toda laCasa Garbarino pregunta a toda la
población de clientes N = 4, si vieron elpoblación de clientes N = 4, si vieron el
anuncio de ofertas, publicitado en el diarioanuncio de ofertas, publicitado en el diario
del día.- Se registra una respuesta de SIdel día.- Se registra una respuesta de SI
como éxito y de NO como fracaso.- Loscomo éxito y de NO como fracaso.- Los
cuatro clientes respondieron: Scuatro clientes respondieron: S11 NN22 NN33 SS44 .-.-
La proporción poblacional de éxito es P = 0.50.- SiLa proporción poblacional de éxito es P = 0.50.- Si
tomamos muestras de tamaño n = 2, la cantidad detomamos muestras de tamaño n = 2, la cantidad de
muestras será igual a las combinaciones de cuatromuestras será igual a las combinaciones de cuatro
elementos tomados de a dos, que me da igual a 6, laelementos tomados de a dos, que me da igual a 6, la
proporción de éxitos se registra como sigue en laproporción de éxitos se registra como sigue en la
siguiente tabla:siguiente tabla:
XiXi Nº de éxitosNº de éxitos Proporción de éxitosProporción de éxitos
SS11NN22 11 0.500.50
SS11NN33 11 0.500.50
SS11SS44 22 1.001.00
NN22NN33 00 0.000.00
NN22 SS33 11 0.500.50
NN22 SS44 11 0.500.50
TotalTotal -------------------------------------------- 3.003.00
El valor esperado, media de distribución muestral de laEl valor esperado, media de distribución muestral de la
proporción muestral es;proporción muestral es;
ΣΣ p 3p 3
μμpp == E(E(p) = ------------- = ------ = 0.50 = Pp) = ------------- = ------ = 0.50 = P
K 6K 6
Tenemos que calcular ahora el error estándar de laTenemos que calcular ahora el error estándar de la
proporción muestral, que será;proporción muestral, que será;
n
P)-1(P
=σ p
Observo si n / NObservo si n / N << 0.05 es este caso no necesito el0.05 es este caso no necesito el
factor de corrección para poblaciones finitas, enfactor de corrección para poblaciones finitas, en
cambio si n / Ncambio si n / N >> 0.05 si lo debo usar al calcular el error0.05 si lo debo usar al calcular el error
estándar de la proporción muestral.-estándar de la proporción muestral.-
En nuestro caso n / N = 2 / 4 = 0.50En nuestro caso n / N = 2 / 4 = 0.50 >> 0.050.05
Luego:Luego:
2888.0
14
24
*
2
50.0*50.0
1-N
n-N
n
p)-1(p
=
−
−
==σ p
Las herramientas recientemente desarrolladasLas herramientas recientemente desarrolladas
para las proporciones muestrales permitenpara las proporciones muestrales permiten
determinar las probabilidades que pueden serdeterminar las probabilidades que pueden ser
muy útiles en la toma de decisionesmuy útiles en la toma de decisiones
importantes.- Esto se logra aplicando laimportantes.- Esto se logra aplicando la
distribución normal a la distribución muestraldistribución normal a la distribución muestral
de proporciones muestrales, como veremos ende proporciones muestrales, como veremos en
el punto siguiente.-el punto siguiente.-
p - Pp - P
Z = -----------------Z = -----------------
σσpp
VALOR PRÁCTICOVALOR PRÁCTICO
DE LADE LA
DISTRIBUCIONDISTRIBUCION
MUESTRAL DE LAMUESTRAL DE LA
PROPORCIÓNPROPORCIÓN
MUESTRAL.-MUESTRAL.-
VALOR PRÁCTICOVALOR PRÁCTICO
DE LADE LA
DISTRIBUCIONDISTRIBUCION
MUESTRAL DE LAMUESTRAL DE LA
PROPORCIÓNPROPORCIÓN
MUESTRAL.-MUESTRAL.-
Siempre que se selecciona una muestra aleatoriaSiempre que se selecciona una muestra aleatoria
simple y que el valor de la proporción de lasimple y que el valor de la proporción de la
muestramuestra p se usa para estimar el valor de lap se usa para estimar el valor de la
proporción poblacional P, podemos predecir queproporción poblacional P, podemos predecir que
hay cierto error de muestreo.- En este caso, elhay cierto error de muestreo.- En este caso, el
error de muestreo es el valor absoluto de laerror de muestreo es el valor absoluto de la
diferencia entre el valor de la proporcióndiferencia entre el valor de la proporción
muestralmuestral p y la proporción poblacional P.-p y la proporción poblacional P.-
El valor práctico de la distribución muestral deEl valor práctico de la distribución muestral de pp
es que se puede usar para proporcionares que se puede usar para proporcionar
información probabilística acerca del error deinformación probabilística acerca del error de
muestreo.-muestreo.-
Veamos un ejemplo.-Veamos un ejemplo.-
El director de personal de cierta multinacional se le haEl director de personal de cierta multinacional se le ha
asignado la tarea de elaborar un perfil de los 2500asignado la tarea de elaborar un perfil de los 2500
gerentes de la empresa.- La característica por identificargerentes de la empresa.- La característica por identificar
es la proporción de gerentes que terminaron el programaes la proporción de gerentes que terminaron el programa
de adiestramiento administrativo de la empresa.- Side adiestramiento administrativo de la empresa.- Si
definimos a los 2500 gerentes como la población adefinimos a los 2500 gerentes como la población a
estudiar y sabemos que 1500 han terminado el programaestudiar y sabemos que 1500 han terminado el programa
de adiestramiento.- Se saca una muestra de 30 gerentesde adiestramiento.- Se saca una muestra de 30 gerentes
y sabemos que de ellos 19 han terminado el programa dey sabemos que de ellos 19 han terminado el programa de
adiestramiento.-adiestramiento.-
Supongamos que el director de personal desea conocerSupongamos que el director de personal desea conocer
la probabilidad de obtener un valor dela probabilidad de obtener un valor de p que se acerquep que se acerque
a 0,05 o más de la proporción poblacional de gerentesa 0,05 o más de la proporción poblacional de gerentes
que participaron en el programa de adiestramiento.-que participaron en el programa de adiestramiento.-
Esto es, ¿Cuál es la probabilidad de obtenerEsto es, ¿Cuál es la probabilidad de obtener
una muestra con proporción muestraluna muestra con proporción muestral p entrep entre
0,55 y 0,65?.-0,55 y 0,65?.-
Usando el hecho de que la distribuciónUsando el hecho de que la distribución
muestralmuestral p se puede aproximar con unap se puede aproximar con una
distribución normal de probabilidad condistribución normal de probabilidad con
promedio P = 0.60 ypromedio P = 0.60 y σσpp = 0,0894, entonces= 0,0894, entonces
será:será:
56.0
0894.0
60.055.0
−=
−
=Zi
P( 0.55P( 0.55 << pp << 0.65) = 0.7123 - 0.28770.65) = 0.7123 - 0.2877
= 0,4246= 0,4246
La probabilidad de seleccionar una muestra queLa probabilidad de seleccionar una muestra que
de cómo resultado una proporción muestralde cómo resultado una proporción muestral
más cercano que 0.05 a la proporciónmás cercano que 0.05 a la proporción
poblacional P es del 42%.-poblacional P es del 42%.-
0,600,600,550,55 0,650,65 pp
Veamos otro ejemplo prácticoVeamos otro ejemplo práctico .- El 5% de los.- El 5% de los
cinescopio que la compañía Audio Films hace paracinescopio que la compañía Audio Films hace para
monitores de PC son devuelto por el fabricante demonitores de PC son devuelto por el fabricante de
monitores como defectuosos.- Este hecho preocupa amonitores como defectuosos.- Este hecho preocupa a
Audio Films, en especial después de leer un artículo en laAudio Films, en especial después de leer un artículo en la
revista PC Word, sobre la guía a los compradores derevista PC Word, sobre la guía a los compradores de
monitores súper VGA.- Audio Films considera que esmonitores súper VGA.- Audio Films considera que es
esencial mejorar su desempeño de calidad si quiereesencial mejorar su desempeño de calidad si quiere
continuar suministrando cinescopios a la industria.-continuar suministrando cinescopios a la industria.-
Después de iniciar su programa de mejora de calidad,Después de iniciar su programa de mejora de calidad,
Audio Films obtendrá una muestra de cinescopios paraAudio Films obtendrá una muestra de cinescopios para
verificar si la calidad se ha elevado.- Se elegirá unaverificar si la calidad se ha elevado.- Se elegirá una
muestra de 125 cinescopios del almacén durante unosmuestra de 125 cinescopios del almacén durante unos
cuantos días.- ¿Cuál es la probabilidad de que más delcuantos días.- ¿Cuál es la probabilidad de que más del
8% sean defectuosos, suponiendo que la tasa global de8% sean defectuosos, suponiendo que la tasa global de
unidades defectuosas es todavía el 5%?.-unidades defectuosas es todavía el 5%?.-
SoluciónSolución
P(P( pp >>0.08) = 1 - F(1,54) =0.08) = 1 - F(1,54) =
= 1 - 0.9382 = 0.0618= 1 - 0.9382 = 0.0618
Hay una probabilidad de alrededor del 6% de queHay una probabilidad de alrededor del 6% de que
el 8% de los cinescopios o más seanel 8% de los cinescopios o más sean
defectuosos, suponiendo que la tasa de defectosdefectuosos, suponiendo que la tasa de defectos
de la población es del 5%.-de la población es del 5%.-
54,1
0195.0
05.008.0p
Z
0.05Pdonde0195.0
125
95.0*05.0
=
−
=
−
=
===
σ
σ
p
p
P
EJEMPLO 3.- Rosales SRL, adquiere componentes paraEJEMPLO 3.- Rosales SRL, adquiere componentes para
sus teléfonos celulares en lotes de 200 de una firma ensus teléfonos celulares en lotes de 200 de una firma en
Buenos Aires.- El componente tiene una tasa de defectosBuenos Aires.- El componente tiene una tasa de defectos
del 10%.- Una política establecida recientemente pordel 10%.- Una política establecida recientemente por
Rosales SRL establece que si el siguiente envió tiene:Rosales SRL establece que si el siguiente envió tiene:
a) Más del 12 % de defectos, definitivamente buscará una) Más del 12 % de defectos, definitivamente buscará un
nuevo proveedor.-nuevo proveedor.-
b) Entre el 10 y el 12 % de defectos (inclusive),b) Entre el 10 y el 12 % de defectos (inclusive),
considerará un nuevo proveedor.-considerará un nuevo proveedor.-
c) Entre el 5 y el 10% de defectos (inclusive),c) Entre el 5 y el 10% de defectos (inclusive),
definitivamente no conseguirá un nuevo proveedor.-definitivamente no conseguirá un nuevo proveedor.-
d) Menos del 5 % de defectos, incrementará susd) Menos del 5 % de defectos, incrementará sus
pedidos.-pedidos.-
¿ Cual decisión es más probable que tome Rosales¿ Cual decisión es más probable que tome Rosales
SRL?.-SRL?.-
Debido a que el tamaño de la población no se suministra,Debido a que el tamaño de la población no se suministra,
se asume que Rosales SRL compra muchos componentesse asume que Rosales SRL compra muchos componentes
y el tamaño de la muestra de n = 200 es menor que 0,05 Ny el tamaño de la muestra de n = 200 es menor que 0,05 N
y por lo tanto no se necesita el factor de corrección paray por lo tanto no se necesita el factor de corrección para
poblaciones finitas.-poblaciones finitas.-
σσpp ==
a) P (a) P (p > 0,12) = 0,1711p > 0,12) = 0,1711
b) P ( 0,10 ≤b) P ( 0,10 ≤ p ≤ 0,12) = 0,3289p ≤ 0,12) = 0,3289
c) P ( 0,05c) P ( 0,05 ≤≤ p ≤p ≤ 0,10) = 0,49130,10) = 0,4913
d) P (d) P ( p < 0,05) = 0,0087p < 0,05) = 0,0087
Como la parte c) tiene la probabilidad más alta. RosalesComo la parte c) tiene la probabilidad más alta. Rosales
SRL se quedará con su proveedor actual.-SRL se quedará con su proveedor actual.-
0,1 0,90,1 0,9
200200
= 0,021= 0,021
EJEMPLO 4.- En una encuesta se pregunto a 500EJEMPLO 4.- En una encuesta se pregunto a 500
madres y padres acerca de la importancia de losmadres y padres acerca de la importancia de los
deportes para muchachos y chicas.- De los padresdeportes para muchachos y chicas.- De los padres
entrevistados, 60% estaba de acuerdo en que losentrevistados, 60% estaba de acuerdo en que los
géneros son iguales y debían tener las mismasgéneros son iguales y debían tener las mismas
oportunidades para participar en los deportes.-oportunidades para participar en los deportes.-
Describa la distribución muestral de la proporción P deDescriba la distribución muestral de la proporción P de
padres que están de acuerdo en que los géneros sonpadres que están de acuerdo en que los géneros son
iguales y deberían tener las mismas oportunidades.-iguales y deberían tener las mismas oportunidades.-
Suponga que la proporción P de padres e la poblaciónSuponga que la proporción P de padres e la población
es en realidad 0.55.- ¿Cuál es la probabilidad dees en realidad 0.55.- ¿Cuál es la probabilidad de
observar una proporción muestral tan grande como oobservar una proporción muestral tan grande como o
mayor que el valor observadomayor que el valor observado p = 0.60?.-p = 0.60?.-
ANEXO
(PARA LEER)
TIPOS DE METODOS DE MUESTREOTIPOS DE METODOS DE MUESTREO
El proceso de muestreo comienza con localización deEl proceso de muestreo comienza con localización de
las fuentes adecuadas de datos, como listados delas fuentes adecuadas de datos, como listados de
población, registros, directorios y otras fuentespoblación, registros, directorios y otras fuentes
llamadasllamadas MARCOSMARCOS.-.- Las muestras se extraen de estosLas muestras se extraen de estos
marcos.- Si el marco es inadecuado debido a que ciertosmarcos.- Si el marco es inadecuado debido a que ciertos
grupos de individuos o de objetos en la población no segrupos de individuos o de objetos en la población no se
incluyeron de manera apropiada, entonces las muestrasincluyeron de manera apropiada, entonces las muestras
serán inexactas y sesgadas.-serán inexactas y sesgadas.-
Recordemos que las razones para obtener unaRecordemos que las razones para obtener una
muestra son:muestra son:
1.- Una muestra requiere menos tiempos que un censo.-1.- Una muestra requiere menos tiempos que un censo.-
2.- Cuesta menos administrar una muestra que un censo.-2.- Cuesta menos administrar una muestra que un censo.-
3.- Administrar una muestra es menos tedioso y más practico que3.- Administrar una muestra es menos tedioso y más practico que
administrar el censo de una población estadística determinada.-administrar el censo de una población estadística determinada.-
Tipos de muestras utilizadasTipos de muestras utilizadas
No ProbabilísticasNo Probabilísticas ProbabilísticasProbabilísticas
Muestra subjetivaMuestra subjetiva
Muestra por cuotaMuestra por cuota
Por grupo naturalesPor grupo naturales
Aleatoria simpleAleatoria simple
SistemáticaSistemática
EstratificadaEstratificada
PorPor
conglomeradosconglomerados
Una muestra aleatoria simple, es aquella en la cual cadaUna muestra aleatoria simple, es aquella en la cual cada
individuo o elemento de una población tiene la mismaindividuo o elemento de una población tiene la misma
oportunidad de ser elegido.- Además, cada muestra deoportunidad de ser elegido.- Además, cada muestra de
un tamaño fijo tiene la misma probabilidad de serun tamaño fijo tiene la misma probabilidad de ser
elegida, que cualquier otra muestra del mismo tamaño.-elegida, que cualquier otra muestra del mismo tamaño.-
El muestreo aleatorio simple, es la técnica de muestreoEl muestreo aleatorio simple, es la técnica de muestreo
aleatorio más elemental y constituye la base para otrasaleatorio más elemental y constituye la base para otras
técnicas.-técnicas.-
En el muestreo aleatorio simple, se usa n paraEn el muestreo aleatorio simple, se usa n para
representar el tamaño de la muestra y N para representarrepresentar el tamaño de la muestra y N para representar
el tamaño de la población.- Cada persona o elemento enel tamaño de la población.- Cada persona o elemento en
el marco se enumera de 1 a N.-el marco se enumera de 1 a N.-
La probabilidad de seleccionar a cualquier miembro enLa probabilidad de seleccionar a cualquier miembro en
particular de la población la primera vez es igual a 1/N.-particular de la población la primera vez es igual a 1/N.-
MUESTRA ALEATORIA SIMPLE.-
Existen dos métodos básicos para seleccionar muestras:Existen dos métodos básicos para seleccionar muestras:
ConCon
reemplazoreemplazo
ConCon
reemplazoreemplazo
SinSin
reemplazoreemplazo
SinSin
reemplazoreemplazo
ElEl muestreo con reemplazomuestreo con reemplazo , implica que una vez, implica que una vez
seleccionada una persona o elemento, se regresa alseleccionada una persona o elemento, se regresa al
marco donde tiene la misma probabilidad de ser elegidamarco donde tiene la misma probabilidad de ser elegida
de nuevo.- Imagine que tiene una urna con 500 tarjetas dede nuevo.- Imagine que tiene una urna con 500 tarjetas de
presentación.- Suponga que en el primer sorteo sale lapresentación.- Suponga que en el primer sorteo sale la
ficha de Juan Llanos.- La información pertinente seficha de Juan Llanos.- La información pertinente se
registra y se regresa la tarjeta a la urna.- Después seregistra y se regresa la tarjeta a la urna.- Después se
mezclan bien las tarjetas y se saca una segunda tarjeta,.mezclan bien las tarjetas y se saca una segunda tarjeta,.
En esta segunda extracción Juan Llanos, tiene la mismaEn esta segunda extracción Juan Llanos, tiene la misma
probabilidad de salir 1/N, de ser elegida de nuevo.- Seprobabilidad de salir 1/N, de ser elegida de nuevo.- Se
repite el procedimiento hasta alcanzar el tamaño muestrarepite el procedimiento hasta alcanzar el tamaño muestra
n deseado.- Sin embargo, suele considerarse másn deseado.- Sin embargo, suele considerarse más
adecuado tener una muestra de personas o elementosadecuado tener una muestra de personas o elementos
diferentes en lugar de permitir la repetición dediferentes en lugar de permitir la repetición de
mediciones de la misma persona o elemento.-mediciones de la misma persona o elemento.-
En elEn el muestreo sin reemplazomuestreo sin reemplazo, no se regresa la, no se regresa la
persona o elemento al marco una vez seleccionado y porpersona o elemento al marco una vez seleccionado y por
lo tanto, no puede elegirse otra vez.- Como antes, en ello tanto, no puede elegirse otra vez.- Como antes, en el
muestreo sin reemplazo la probabilidad de que algúnmuestreo sin reemplazo la probabilidad de que algún
miembro específico de la población, por ejemplo Juanmiembro específico de la población, por ejemplo Juan
Llanos, sea elegido en el primer intento es 1/N.- LaLlanos, sea elegido en el primer intento es 1/N.- La
probabilidad de que, cualquier individuo noprobabilidad de que, cualquier individuo no
seleccionado, salga elegido en el segundo intento será 1 /seleccionado, salga elegido en el segundo intento será 1 /
N-1.- Este proceso continua hasta alcanzar el tamaño deN-1.- Este proceso continua hasta alcanzar el tamaño de
muestra n deseado.-muestra n deseado.-
Sin importar si el muestreo es con o sin reemplazo,Sin importar si el muestreo es con o sin reemplazo,
los métodos de urna para elegir una muestra tienenlos métodos de urna para elegir una muestra tienen
un gran inconveniente: la habilidad para revolverun gran inconveniente: la habilidad para revolver
perfectamente las tarjetas y elegir la muestra enperfectamente las tarjetas y elegir la muestra en
forma aleatoria.- Como resultado, los métodos deforma aleatoria.- Como resultado, los métodos de
urna no son muy útiles.- Son preferibles otrosurna no son muy útiles.- Son preferibles otros
métodos de selección con menos problemas ymétodos de selección con menos problemas y
mejor base científica.-mejor base científica.-
Uno de estos métodos utiliza unaUno de estos métodos utiliza una TABLA DETABLA DE
NUMEROS ALEATORIOSNUMEROS ALEATORIOS, para obtener la, para obtener la
muestra.- Una tabla de números aleatorios estamuestra.- Una tabla de números aleatorios esta
formada por una serie de dígitos que se generanformada por una serie de dígitos que se generan
en forma aleatoria y se colocan en la secuenciaen forma aleatoria y se colocan en la secuencia
en que se generaron.- Hay muchas tablas deen que se generaron.- Hay muchas tablas de
números aleatorios, como la que veremos ennúmeros aleatorios, como la que veremos en
práctica.- De hecho, lo normal es que lospráctica.- De hecho, lo normal es que los
investigadores antes de usar una tabla deinvestigadores antes de usar una tabla de
números aleatorio verifiquen la aleatoriedad denúmeros aleatorio verifiquen la aleatoriedad de
los dígitos generados antes de emplearlos.-los dígitos generados antes de emplearlos.-
Debido a que cada dígito o secuencia de dígitosDebido a que cada dígito o secuencia de dígitos
de la tabla es aleatorio, se puede leer en sentidode la tabla es aleatorio, se puede leer en sentido
horizontal o vertical.-horizontal o vertical.-
Para usar una tabla como la que vemos en práctica enPara usar una tabla como la que vemos en práctica en
lugar de una urna para seleccionar una muestra,lugar de una urna para seleccionar una muestra,
primero debemos asignar números de códigos a losprimero debemos asignar números de códigos a los
miembros individuales de la población.- Entonces semiembros individuales de la población.- Entonces se
obtiene la muestra aleatoria leyendo la tabla yobtiene la muestra aleatoria leyendo la tabla y
seleccionando los elementos del marco de poblaciónseleccionando los elementos del marco de población
cuyos números de código coinciden con los dígitoscuyos números de código coinciden con los dígitos
encontrados en la tabla.-encontrados en la tabla.- Para entender mejor, hagamosPara entender mejor, hagamos
un ejemplo con el curso.-un ejemplo con el curso.-
Hoy gracias a los avances de los paquetes estadísticosHoy gracias a los avances de los paquetes estadísticos
de PC, las tablas se usan menos.- Los programas tienende PC, las tablas se usan menos.- Los programas tienen
una secuencia para generar los números aleatorios queuna secuencia para generar los números aleatorios que
se necesita.-se necesita.-
Distribuciones muestrales. -ano_2010_cdor_5_
En una muestra sistemática, se dividen N individuos oEn una muestra sistemática, se dividen N individuos o
elementos del marco poblacional en k grupos, dividiendoelementos del marco poblacional en k grupos, dividiendo
el tamaño de la población N entre el tamaño de la muestrael tamaño de la población N entre el tamaño de la muestra
deseado n.- Es decir, k = N / n donde k sedeseado n.- Es decir, k = N / n donde k se
redondea al entero más cercano.-redondea al entero más cercano.-
Para obtener una muestra sistemática, el primer individuoPara obtener una muestra sistemática, el primer individuo
o elemento se selecciona al azar entre los k individuos oo elemento se selecciona al azar entre los k individuos o
elementos del primer grupo del marco de población y,elementos del primer grupo del marco de población y,
para el resto de la muestra se elige un individuo opara el resto de la muestra se elige un individuo o
elemento cada k en la lista completa de la población.-elemento cada k en la lista completa de la población.-
Cuando el marco de población consiste en listadosCuando el marco de población consiste en listados
predeterminados es más rápido y fácil obtener unapredeterminados es más rápido y fácil obtener una
muestra sistemática que una muestra aleatoria simple.-muestra sistemática que una muestra aleatoria simple.-
En estas situaciones la muestra sistemática es unEn estas situaciones la muestra sistemática es un
mecanismo conveniente para obtener los datosmecanismo conveniente para obtener los datos
deseados.-deseados.-
MUESTRA SISTEMATICA.-MUESTRA SISTEMATICA.-
Aunque su aplicación es más sencilla, en general los métodos deAunque su aplicación es más sencilla, en general los métodos de
muestreo aleatorio simple y de muestreo sistemático son menosmuestreo aleatorio simple y de muestreo sistemático son menos
eficientes que otros métodos de muestreo probabilístico máseficientes que otros métodos de muestreo probabilístico más
elaborado.- Es decir, para cualquier muestra que se adquiereelaborado.- Es decir, para cualquier muestra que se adquiere
mediante muestra aleatorias simple o muestreo sistemático, losmediante muestra aleatorias simple o muestreo sistemático, los
datos obtenidos pueden o no ser buena representación de lasdatos obtenidos pueden o no ser buena representación de las
características fundamentales (parámetros) de la población.-características fundamentales (parámetros) de la población.-
Aunque la mayor parte de las muestras aleatorias simples sonAunque la mayor parte de las muestras aleatorias simples son
representativas de la población correspondiente, no es posible saberrepresentativas de la población correspondiente, no es posible saber
si una muestra en particular es, de hecho representativa.-.-si una muestra en particular es, de hecho representativa.-.-
Se presentan posibilidades todavía mayores de un sesgo en laSe presentan posibilidades todavía mayores de un sesgo en la
selección y una falta de representatividad de las características de laselección y una falta de representatividad de las características de la
población, en el muestreo sistemático.- Si existiera un padrón en elpoblación, en el muestreo sistemático.- Si existiera un padrón en el
listado del marco de población, podría ocurrir errores de selecciónlistado del marco de población, podría ocurrir errores de selección
importantes.- Para evitar el problema potencial de laimportantes.- Para evitar el problema potencial de la
representatividad desproporcionada de grupos específicos en unarepresentatividad desproporcionada de grupos específicos en una
muestra, se pueden usar los métodos de muestreo estratificado omuestra, se pueden usar los métodos de muestreo estratificado o
muestreo conglomerado.-muestreo conglomerado.-
En una muestra estratificada, primero se dividen los N individuos oEn una muestra estratificada, primero se dividen los N individuos o
elementos de la población en sub poblaciones separadas, o estratos,elementos de la población en sub poblaciones separadas, o estratos,
de acuerdo con algunas característica común.- Se realiza unde acuerdo con algunas característica común.- Se realiza un
muestreo aleatorio simple en cada estrato y después se combinanmuestreo aleatorio simple en cada estrato y después se combinan
los resultados de las muestras aleatorias simple.-los resultados de las muestras aleatorias simple.-
Estos métodos de muestreo son más eficientesEstos métodos de muestreo son más eficientes
que el muestreo aleatorio simple o el sistemático,que el muestreo aleatorio simple o el sistemático,
porque garantizan la representación deporque garantizan la representación de
individuos o elementos de toda la población, loindividuos o elementos de toda la población, lo
que asegura una mayor precisión en lasque asegura una mayor precisión en las
estimaciones de los parámetros poblacionalesestimaciones de los parámetros poblacionales
fundamentales.- Lo que proporciona la presición,fundamentales.- Lo que proporciona la presición,
una vez combinados los estratos, es launa vez combinados los estratos, es la
homogeneidad de individuos o elementos dentrohomogeneidad de individuos o elementos dentro
de cada estrato.-de cada estrato.-
MUESTRA ESTRATIFICADA.-MUESTRA ESTRATIFICADA.-
MUESTRA CONGLOMERADA.-MUESTRA CONGLOMERADA.-
En una muestra conglomerada, se divide los N individuos oEn una muestra conglomerada, se divide los N individuos o
elementos de la población en varios conglomerados, de manera queelementos de la población en varios conglomerados, de manera que
cada conglomerado sea representativo de la población completa.-cada conglomerado sea representativo de la población completa.-
Después, se obtiene una muestra aleatoria de los conglomerados yDespués, se obtiene una muestra aleatoria de los conglomerados y
se estudian todos los individuos o elementos dentro de cadase estudian todos los individuos o elementos dentro de cada
conglomerado seleccionado.- Los conglomerados pueden serconglomerado seleccionado.- Los conglomerados pueden ser
asignaciones naturales, como departamentos, ciudades, manzanas,asignaciones naturales, como departamentos, ciudades, manzanas,
familias o edificio de departamento, etc.-familias o edificio de departamento, etc.-
Los métodos de muestreo conglomerados pueden ser más eficientes
(con relación a su costo) que los métodos de muestreo aleatorio
simple, sobre todo si la población en cuestión se encuentra esparcida
en una vasta región geográfica.- Sin embargo, los métodos de
muestreo conglomerado tienden a ser menos eficientes que los
métodos de muestreo aleatorio simple o de muestreo estratificado, y
necesitan una muestra total más grande para obtener resultados tan
precisos como los que se obtienen con los procedimientos más
eficientes.-
EVALUACION DEL VALOR DE UNAEVALUACION DEL VALOR DE UNA
ENCUESTA.-ENCUESTA.-
Casi todos los días leemos o escuchamos hablar de resultados deCasi todos los días leemos o escuchamos hablar de resultados de
una encuesta.- Es evidente que los avances tecnológicos de lasuna encuesta.- Es evidente que los avances tecnológicos de las
comunicaciones han provocado una gran proliferación decomunicaciones han provocado una gran proliferación de
investigaciones mediante encuestas, sin embargo, no todas soninvestigaciones mediante encuestas, sin embargo, no todas son
aceptables significativas e importantes.-aceptables significativas e importantes.-
Para evitar encuestas carentes de objetividad oPara evitar encuestas carentes de objetividad o
credibilidad, debe evaluarse con sentido críticocredibilidad, debe evaluarse con sentido crítico
todo lo que se lee y escucha, además debetodo lo que se lee y escucha, además debe
examinarse el valor de la encuesta.- En primerexaminarse el valor de la encuesta.- En primer
lugar se evalúa el propósito de la encuesta, porlugar se evalúa el propósito de la encuesta, por
que y para quién se realiza.-que y para quién se realiza.-
En segundo lugar, se debe evaluar si esta basadaEn segundo lugar, se debe evaluar si esta basada
en una muestra probabilística o no.- Recuerde queen una muestra probabilística o no.- Recuerde que
el único medio disponible para hacer inferenciael único medio disponible para hacer inferencia
estadística correcta a partir de una muestra es queestadística correcta a partir de una muestra es que
esta sea probabilística.-esta sea probabilística.-
Las encuestas que emplean métodos no probabilísticos estánLas encuestas que emplean métodos no probabilísticos están
sujetas a errores importante, quizás no intencionales, que puedensujetas a errores importante, quizás no intencionales, que pueden
generar resultados sin sentido.-generar resultados sin sentido.-
ERRORES EN LASERRORES EN LAS
ENCUESTASENCUESTAS
Aún cuando en las encuestas se utilicenAún cuando en las encuestas se utilicen
métodos de muestreo probabilístico estánmétodos de muestreo probabilístico están
sujetos a errores potenciales.-sujetos a errores potenciales.-
Hay cuatro tipos de errores de encuestas.-Hay cuatro tipos de errores de encuestas.-
Con las encuestas correcta se diseñanCon las encuestas correcta se diseñan
modelos para reducir o disminuir losmodelos para reducir o disminuir los
diferentes errores de las encuestas, losdiferentes errores de las encuestas, los
cuales suelen tener un costo considerablecuales suelen tener un costo considerable
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Distribuciones muestrales. -ano_2010_cdor_5_

  • 3. Antes de seguir adelante esAntes de seguir adelante es conveniente de que Usted tengaconveniente de que Usted tenga en claro lo que ya vio.-en claro lo que ya vio.- Si hacemos una recapitulaciónSi hacemos una recapitulación de lo que hemos visto hastade lo que hemos visto hasta ahora podemos observar tresahora podemos observar tres temas bien diferentes.-temas bien diferentes.-
  • 4. El primero es laEl primero es la EstadísticaEstadística DescriptivaDescriptiva y en ella se aprendey en ella se aprende una serie de técnicas parauna serie de técnicas para organizar, presentar, analizar eorganizar, presentar, analizar e interpretar un conjunto finito deinterpretar un conjunto finito de observaciones, que según elobservaciones, que según el objetivo del estudio puedenobjetivo del estudio pueden constituir una población o unaconstituir una población o una muestra.-muestra.-
  • 5. El segundo tema fueEl segundo tema fue el cálculoel cálculo de probabilidadesde probabilidades y en esta partey en esta parte se define la probabilidad comose define la probabilidad como una medida de la posibilidad deuna medida de la posibilidad de ocurrencia de un experimentoocurrencia de un experimento aleatorio, extendiendo la nociónaleatorio, extendiendo la noción de frecuencia relativa a lasde frecuencia relativa a las poblaciones finitas.-poblaciones finitas.-
  • 6. Luego el tercer tema fueLuego el tercer tema fue las distribuciones delas distribuciones de probabilidadprobabilidad y a través de ellas se presentany a través de ellas se presentan modelos matemáticos teóricos delmodelos matemáticos teóricos del comportamiento (en términos probabilísticos)comportamiento (en términos probabilísticos) de las poblaciones.- Cada distribución surgede las poblaciones.- Cada distribución surge como consecuencia de hipótesis establecidascomo consecuencia de hipótesis establecidas sobre el comportamiento del fenómeno aleatoriosobre el comportamiento del fenómeno aleatorio analizado.- Estas hipótesis son las que permitenanalizado.- Estas hipótesis son las que permiten identificar una población con lasidentificar una población con las correspondientes distribuciones y a su vez cadacorrespondientes distribuciones y a su vez cada distribución depende de parámetrosdistribución depende de parámetros matemáticos cuyo valor hemos supuestomatemáticos cuyo valor hemos supuesto conocido.conocido.
  • 7. A partir de este momento vamos a estudiarA partir de este momento vamos a estudiar métodos que nos permita obtener los valores demétodos que nos permita obtener los valores de los parámetros poblacionales basándonos en loslos parámetros poblacionales basándonos en los resultados de la muestra, y se podrá ver laresultados de la muestra, y se podrá ver la integración de los tres grandes temas antesintegración de los tres grandes temas antes mencionados.-mencionados.- Los resultados que en elLos resultados que en el se expone se utilizaránse expone se utilizarán una y otra vez en losuna y otra vez en los métodos a desarrollarmétodos a desarrollar en las Unidadesen las Unidades siguientes.-siguientes.- Esta UnidadEsta Unidad eses necesariamennecesariamen te teórica.-te teórica.-
  • 8. Es necesario destacar laEs necesario destacar la importancia de unimportancia de un entendimiento claro de estasentendimiento claro de estas distribuciones muestrales yadistribuciones muestrales ya que este concepto es la claveque este concepto es la clave para comprender lapara comprender la Inferencia EstadísticaInferencia Estadística.-.-
  • 10. A menudo utilizamos muestras en lugar de toda la población porque el costo y el tiempo necesario para medir todos los elementos de la población seria prohibitivos.- Además en algunos casos la medición requiere la destrucción de los elementos.- En general, se consigue una precisión mayor extrayendo con cuidado una muestra aleatoria de la población, que dedicando los recursos a medir todos sus elementos.- La precisión es mayor por dos razones: En primer lugar, a menudo es muy difícil obtener y medir a todos los elementos de una población, e incluso cuando es posible, el costo es muy alto cuando la población es grande.- En segundo lugar como veremos en esta Unidad, pueden utilizarse muestras bien seleccionadas para realizar estimaciones medidas de las característica de la población que son muy cercanas a los valores reales.-
  • 11. La forma como se selecciona una muestra se llama Plan de Muestreo o Diseño Experimental y determina la cantidad de información en la muestra.- Conocer el plan de muestreo usado en una situación particular le permitirá medir la confiabilidad o bondad de su inferencia.- Las muestras ideales para este fin es la: MUESTRA ALEATORIA SIMPLE.-
  • 12. Muestra aleatoria simple.- Supongamos que queremos seleccionar una muestra de n objetos de una población de N objetos.- Se selecciona una muestra aleatoria simple tal que todos los objetos tienen la misma probabilidad de ser seleccionados y se seleccionan independientemente, es decir, la selección de un objeto no altera la probabilidad de que sean seleccionados otros objetos.- Las muestras aleatorias simples son el ideal.- En algunos estudios por muestreo del mundo real, los analistas desarrollan métodos alternativos para reducir el costo del muestreo.- Pero la base para saber si estas estrategias alternativas son aceptables es el grado en que los resultados se aproximan a los de una muestra aleatoria.-
  • 13. Es importante que una muestra represente al conjunto de la población.- Por ejemplo, si un director de marketing quiere evaluar las reacciones a un nuevo producto alimenticio, no muestrea únicamente a sus amigos y vecinos.- Es improbable que las opiniones de esos grupos representen las de toda la población y es probable que estén concentradas en un intervalo más reducido.- Para evitar estos problemas seleccionamos una muestra aleatoria simple.- El muestreo aleatorio es nuestra póliza de seguro contra la posibilidad de que los sesgos personales influyan en la selección.- El muestreo aleatorio simple puede realizarse de varias manera, lo más común es poner en una bolsa papelitos con números de los N miembros de la población y luego mezclar bien y seleccionar papelitos sin mirar.- (Esto es poco posible si la población es muy grande).-
  • 14. En la práctica, solemos utilizar números aleatorios para seleccionar objetos a los que podemos asignar un valor numérico.- Por ejemplo, los grupos de estudios de mercado pueden utilizar números aleatorios para seleccionar números de teléfonos a los que llamar y preguntar por las preferencias por un producto.- Algunos paquetes estadísticos y hojas de cálculo tienen rutinas para obtener números aleatorios, que se utilizan generalmente en la mayoría de los estudios por muestreo.- Estos números aleatorios generados por ordenador tienen las propiedades necesarias para elaborar muestras aleatorias.- Las organizaciones que necesitan muestras aleatorias de grandes poblaciones humanas, por ejemplo los candidatos políticos que tratan de averiguar las preferencias de los votantes, recurren a empresas profesionales de muestreo, que se dedican a seleccionar y gestionar el proceso de muestreo.-
  • 15. Un buen muestreo exige mucho trabajo y un elevado costo.- Aquí centramos la atención en los métodos para analizar los resultados de muestras aleatorias simples con el fin de obtener información sobre la población.- Este proceso sobre el que nos extenderemos en las Unidades siguientes, se conoce con el nombre de Inferencia Clásica.- Sin embargo, existen otros métodos de muestreo, que es posible que en algunas circunstancias se prefieran a otros métodos de muestreo.- Las muestras aleatorias protegen contra la posibilidad de que algún grupo de la población este subreprentado en la muestra.- Si una población se muestrea repetidamente utilizando métodos de muestreo aleatorio, ningún subgrupo específico esta sobrerepresentado o subrepresentado en la muestra.-
  • 16. Además , el concepto de distribuciones en el muestreo me permite averiguar la probabilidad de obtener una determinada muestra.- Utilizamos la información muestral para hacer inferencias sobre la población de la que procede la muestra.- La distribución de todos los valores de interés de esta población pueden representarse por medio de una variable aleatoria.- Sería demasiado ambicioso intentar describir toda la distribución poblacional basándonos en una pequeña muestra aleatoria de observaciones.- Sin embargo, podemos muy bien hacer inferencias bastantes sólidas sobre importantes características de la distribución poblacional, como la media y la variancia poblacional.-
  • 17. Por ejemplo, dada una muestra aleatoria del consumo de combustible de 20 automóviles de un determinado modelo, podemos utilizar la media y la variancia muestral para hacer inferencias sobre la media y variancia poblacional del consumo de combustible.- Esta inferencia se basará en la información muestral.- Podemos hacernos preguntas como la siguiente: “Si el consumo de combustible, en kilómetros por litro, de la población de todos los automóviles de un determinado modelo tiene una media de 25 litros y una desviación estándar de 2 litros”; ¿Cuál es la probabilidad de que el consumo medio muestral de combustible de los automóviles de una muestra aleatoria de 20 sea de menos de 24 kilómetros por litro?
  • 18. A continuación veremos que podemos utilizar la distribución de la media muestral en el muestreo para responder a esta pregunta.- Necesitamos distinguir entre los atributos de la población y los atributos de la muestra aleatoria.- En el párrafo anterior, la población de mediciones del consumo de combustible de todos los automóviles de un determinado modelo, sigue una distribución que tiene una determinada media.- Esta media, un atributo de la población, es un número fijo (pero desconocido).- Hacemos inferencias sobre este atributo extrayendo una muestra aleatoria de la población y calculando la media muestral.- Cada muestra que extraigamos tendrá una media muestral distinta y la media muestral puede considerarse, como una variable aleatoria con una distribución de probabilidad .-
  • 19. La distribución de las medias muestrales posibles constituye la base para realizar inferencias sobre la muestra.- En esta Unidad se utiliza laEn esta Unidad se utiliza la distribucióndistribución muestral o distribuciones en elmuestral o distribuciones en el muestreomuestreo para contestar preguntas depara contestar preguntas de probabilidad acerca de los estadísticosprobabilidad acerca de los estadísticos muestrales.- Recordemos que vimosmuestrales.- Recordemos que vimos anteriormente que en la Estadística Descriptiva,anteriormente que en la Estadística Descriptiva, la media, mediana, la variancia, el desvíola media, mediana, la variancia, el desvío estándar, son estadísticos que se obtienen de laestándar, son estadísticos que se obtienen de la muestra.-muestra.-
  • 20. Veamos entonces queVeamos entonces que es una DISTRIBUCIONes una DISTRIBUCION MUESTRALMUESTRAL La distribución de todos los valores posiblesLa distribución de todos los valores posibles que puede asumir un estadístico calculado aque puede asumir un estadístico calculado a partir de muestras del mismo tamaño,partir de muestras del mismo tamaño, seleccionado aleatoriamente de la poblaciónseleccionado aleatoriamente de la población se llamase llama DISTRIBUCION MUESTRALDISTRIBUCION MUESTRAL DE ESE ESTADISTICODE ESE ESTADISTICO.-.-
  • 21. Las distribuciones muestrales pueden construirseLas distribuciones muestrales pueden construirse empíricamente a partir de poblaciones finitas.- Paraempíricamente a partir de poblaciones finitas.- Para ello, se procede como sigue:ello, se procede como sigue: DISTRIBUCIONEDISTRIBUCIONE S MUESTRALES:S MUESTRALES: ElaboraciónElaboración DISTRIBUCIONEDISTRIBUCIONE S MUESTRALES:S MUESTRALES: ElaboraciónElaboración 1.- De una población finita de tamaño N, se extraen de manera1.- De una población finita de tamaño N, se extraen de manera aleatorias todas las muestras posible de tamaño n.-aleatorias todas las muestras posible de tamaño n.- 2.- Se calcula el estadístico de interés para cada muestra.-2.- Se calcula el estadístico de interés para cada muestra.- 3.- Se ordena en una columna los distintos valores observados del3.- Se ordena en una columna los distintos valores observados del estadístico y en otra columna, las frecuencias de ocurrenciaestadístico y en otra columna, las frecuencias de ocurrencia correspondientes de cada valor observado.-correspondientes de cada valor observado.-
  • 22. Elaborar la distribución muestral esElaborar la distribución muestral es una tarea muy complicada si launa tarea muy complicada si la población es de un tamaño muypoblación es de un tamaño muy grande e imposible si la poblacióngrande e imposible si la población es infinita.- En último caso, eses infinita.- En último caso, es posible obtener aproximaciones deposible obtener aproximaciones de las distribuciones muestraleslas distribuciones muestrales tomando un gran número detomando un gran número de muestras de un tamaño dado.-muestras de un tamaño dado.-
  • 23. DISTRIBUCIONEDISTRIBUCIONE S MUESTRALES:S MUESTRALES: CaracterísticasCaracterísticas importantesimportantes :: DISTRIBUCIONEDISTRIBUCIONE S MUESTRALES:S MUESTRALES: CaracterísticasCaracterísticas importantesimportantes :: Normalmente para una distribución muestral se tieneNormalmente para una distribución muestral se tiene interés en conocer tres cosas:interés en conocer tres cosas: MediaMedia VarianciaVariancia Forma funcionalForma funcional (grafica)(grafica) Desviación estándar
  • 24. DISTRIBUCIONDISTRIBUCION DE LA MEDIADE LA MEDIA DE LADE LA MUESTRAMUESTRA DISTRIBUCIONDISTRIBUCION DE LA MEDIADE LA MEDIA DE LADE LA MUESTRAMUESTRA
  • 25. A CONTINUACIÓN VEAMOS UN EJEMPLOA CONTINUACIÓN VEAMOS UN EJEMPLO DE CÓMO ELABORAR ESTA DISTRIBUCIONDE CÓMO ELABORAR ESTA DISTRIBUCION SIGUIENDO LOS PASOS ANTESSIGUIENDO LOS PASOS ANTES MENCIONADOS:MENCIONADOS: (en la practica profesional nunca puede hacer esto)(en la practica profesional nunca puede hacer esto) Consideremos una población de tamaño N = 5, la cualConsideremos una población de tamaño N = 5, la cual se compone de los años de antigüedad en la empresa dese compone de los años de antigüedad en la empresa de cinco empleados.- Las antigüedades en años son lascinco empleados.- Las antigüedades en años son las siguientes; 6, 8, 10, 12, 14.-siguientes; 6, 8, 10, 12, 14.- Calculemos la media y la variancia de la poblaciónCalculemos la media y la variancia de la población como sabemos:como sabemos: μμ == ΣΣxixi NN = 10= 10 σσ² =² = ΣΣ (xi –(xi – μμ))²² NN = 8= 8
  • 26. Supongamos que elegimos todas lasSupongamos que elegimos todas las posibles muestras de tamaño n = 2 de laposibles muestras de tamaño n = 2 de la población de tamaño N = 5 quepoblación de tamaño N = 5 que determinamos antes.-determinamos antes.- La tabla A muestra todas las posiblesLa tabla A muestra todas las posibles muestras de tamaño 2.-muestras de tamaño 2.- Las muestra que están arriba y debajo deLas muestra que están arriba y debajo de la diagonal principal resultan cuando ella diagonal principal resultan cuando el muestreo es sin reemplazo.- Las mediasmuestreo es sin reemplazo.- Las medias de las muestras están entre paréntesis.-de las muestras están entre paréntesis.-
  • 27. SEGUNDA SELECCIONSEGUNDA SELECCION 66 88 1010 1212 1414 1º1º SS EE LL EE CC CC II OO NN 66 6;66;6 (6)(6) 6,86,8 (7)(7) 6;106;10 (8)(8) 6;126;12 (9)(9) 6;146;14 (10)(10) 88 8;68;6 (7)(7) 8,88,8 (8)(8) 8;108;10 (9)(9) 8;128;12 (10)(10) 8;148;14 (11)(11) 1010 10;610;6 (8)(8) 10,810,8 (9)(9) 10;1010;10 (10)(10) 10;1210;12 (11)(11) 10;1410;14 (12)(12) 1212 12;612;6 (9)(9) 12;812;8 (10)(10) 12;1012;10 (11)(11) 12;1212;12 (12)(12) 12;1412;14 (13)(13) 1414 14;614;6 (10)(10) 14;814;8 (11)(11) 14;1014;10 (12)(12) 14;1214;12 (13)(13) 14;1414;14 (14)(14) TABLA ATABLA A
  • 28. En este ejemplo se observa que cuando el muestreo se hace conEn este ejemplo se observa que cuando el muestreo se hace con reemplazos, hay 25 muestras posibles.- En general, cuando elreemplazos, hay 25 muestras posibles.- En general, cuando el muestreo se lleva a cabo con reemplazos, el número de muestrasmuestreo se lleva a cabo con reemplazos, el número de muestras posible es igual a Nposible es igual a N Puede construirse la distribución muestral de media ordenando losPuede construirse la distribución muestral de media ordenando los diferentes valores de media en una columna y sus frecuencias dediferentes valores de media en una columna y sus frecuencias de ocurrencia en la otra, tal como mostramos a continuación:ocurrencia en la otra, tal como mostramos a continuación: nn MEDIASMEDIAS FRECUENCIAFRECUENCIA FREC. RELATIVAFREC. RELATIVA 66 11 1/251/25 77 22 2/252/25 88 33 3/253/25 99 44 4/254/25 1010 55 5/255/25 1111 44 4/254/25 1212 33 3/253/25 1313 22 2/252/25 1414 11 1/251/25 TOTALTOTAL 2525 1,001,00
  • 29. En la tabla se aprecian los datos que satisfacen losEn la tabla se aprecian los datos que satisfacen los requerimientos para la distribución de probabilidad.- Lasrequerimientos para la distribución de probabilidad.- Las probabilidades individuales todas son mayores de 0 y laprobabilidades individuales todas son mayores de 0 y la suma de todas ellas me da 1,00.-suma de todas ellas me da 1,00.- Se mencionó al principio que un interés principal radicaSe mencionó al principio que un interés principal radica en la forma funcional de la distribución, su media y laen la forma funcional de la distribución, su media y la variancia.-variancia.- 66 88 1212 14141010 66 77 88 99 1010 12121111 1313 1414 fxfx xx 11 Distribución de la población Distribución muestral de x fxfx
  • 30. DISTRIBUCION MUESTRAL DEDISTRIBUCION MUESTRAL DE X: formaX: forma funcionalfuncional En las figuras anteriores observamos que el gráfico en la poblaciónEn las figuras anteriores observamos que el gráfico en la población esta distribuido uniformemente, en la distribución muestral vaesta distribuido uniformemente, en la distribución muestral va tomando una forma cada vez más similar a la normal.-tomando una forma cada vez más similar a la normal.- DISTRIBUCION MUESTRAL DEDISTRIBUCION MUESTRAL DE X: la mediaX: la media El paso siguiente es calcular la media de la distribución muestral.-El paso siguiente es calcular la media de la distribución muestral.- μμ = = = 10= = = 10 Observamos que la media de laObservamos que la media de la distribución muestral me da igual a ladistribución muestral me da igual a la media de la población, esto no esmedia de la población, esto no es casualidad, siempre es así.-casualidad, siempre es así.-  x ΣΣ  x25 25 250
  • 31. DISTRIBUCION MUESTRAL DEDISTRIBUCION MUESTRAL DE X:X: variancia.-variancia.- σσ²² = = 100/25 = 4= = 100/25 = 4 También se puede advertir que la variancia de laTambién se puede advertir que la variancia de la distribución muestral no es igual a la variancia de ladistribución muestral no es igual a la variancia de la población, sin embargo, es interesante observar que lapoblación, sin embargo, es interesante observar que la variancia de la distribución muestral es igual a lavariancia de la distribución muestral es igual a la variancia de la población dividida entre el tamaño de lavariancia de la población dividida entre el tamaño de la muestra utilizada para obtener la distribución muestral.-muestra utilizada para obtener la distribución muestral.- Esto es:Esto es: σσ² = = 8/2 = 4² = = 8/2 = 4  x ΣΣ (( x -x - μμ ))²²  x2525  x nn σσ²²
  • 32. A la raíz cuadrada de la variancia de la distribuciónA la raíz cuadrada de la variancia de la distribución muestral, se le conoce comomuestral, se le conoce como error estándar de laerror estándar de la media.-media.- Entonces:Entonces: σσ² =² = σσxx == Estos resultados no son coincidencia sinoEstos resultados no son coincidencia sino ejemplos de las características de lasejemplos de las características de las distribuciones muestrales en general,distribuciones muestrales en general, cuando el muestreo es con reemplazo ocuando el muestreo es con reemplazo o cuando se efectúan a partir de unacuando se efectúan a partir de una  x σσ nn σσ nn
  • 33. Para generalizar, se debe distinguirPara generalizar, se debe distinguir entre dos situaciones;entre dos situaciones; Muestreo a partir de una poblaciónMuestreo a partir de una población que sigue una distribución normalque sigue una distribución normal Muestreo a partir de una poblaciónMuestreo a partir de una población que no sigue una distribuciónque no sigue una distribución normal.-normal.-
  • 34. DISTRIBUCION MUESTRAL DEDISTRIBUCION MUESTRAL DE X:X: muestreo a partir de poblaciones quemuestreo a partir de poblaciones que siguen una distribución normal.-siguen una distribución normal.- Cuando el muestreo se realiza a partir de una poblaciónCuando el muestreo se realiza a partir de una población que sigue una distribución normal, la distribución de laque sigue una distribución normal, la distribución de la media de la muestra tiene las siguientes propiedades:media de la muestra tiene las siguientes propiedades: 1.- La distribución de la media será normal.-1.- La distribución de la media será normal.- 2.- La media de la media de la distribución muestral2.- La media de la media de la distribución muestral será igual a la media de la población de laserá igual a la media de la población de la cual proviene la muestra.-cual proviene la muestra.- 3.- La variancia de la distribución muestral será igual3.- La variancia de la distribución muestral será igual a la variancia dea la variancia de la población dividida entre el tamaño de la muestra.-la población dividida entre el tamaño de la muestra.-
  • 35. DISTRIBUCION MUESTRAL DEDISTRIBUCION MUESTRAL DE X: muestreoX: muestreo a partir de poblaciones que no siguen unaa partir de poblaciones que no siguen una distribución normal.-distribución normal.- Cuando el muestreo se hace a partir de una poblaciónCuando el muestreo se hace a partir de una población que no sigue una distribución normal, se utiliza unque no sigue una distribución normal, se utiliza un teorema matemático conocido comoteorema matemático conocido como teoremateorema central del límitecentral del límite.-.- La importancia de este teoremaLa importancia de este teorema en la inferencia estadística se resume en el siguienteen la inferencia estadística se resume en el siguiente párrafo:párrafo: Dada una población de cualquierDada una población de cualquier forma funcional no normal con unaforma funcional no normal con una mediamedia μ y variancia finita σ², laμ y variancia finita σ², la distribución muestral de la mediadistribución muestral de la media x,x, será casi normal con mediaserá casi normal con media μμxx yy variancia σ²/n cuando la muestra esvariancia σ²/n cuando la muestra es muy grande.-muy grande.- Dada una población de cualquierDada una población de cualquier forma funcional no normal con unaforma funcional no normal con una mediamedia μ y variancia finita σ², laμ y variancia finita σ², la distribución muestral de la mediadistribución muestral de la media x,x, será casi normal con mediaserá casi normal con media μμxx yy variancia σ²/n cuando la muestra esvariancia σ²/n cuando la muestra es muy grande.-muy grande.-
  • 36. Observamos que elObservamos que el Teorema Central del LimiteTeorema Central del Limite permitepermite tomar muestras a partir de la poblaciones con distribucióntomar muestras a partir de la poblaciones con distribución no normal y garantizar que se obtenganno normal y garantizar que se obtengan aproximadamente los mismos resultados que si laaproximadamente los mismos resultados que si la población tuviera una distribución normal, siempre que sepoblación tuviera una distribución normal, siempre que se tome una muestra grande.-tome una muestra grande.- La importancia de esto se demostrara más adelante alLa importancia de esto se demostrara más adelante al estudiar que una distribución muestral con distribuciónestudiar que una distribución muestral con distribución normal es una herramienta importante en la inferencianormal es una herramienta importante en la inferencia estadística.-estadística.- En el caso de la media de la muestra, se tienen laEn el caso de la media de la muestra, se tienen la seguridad de que la distribución muestral estáseguridad de que la distribución muestral está distribuida en forma al menos aproximadamentedistribuida en forma al menos aproximadamente normal con tres condiciones:normal con tres condiciones:
  • 37. 1.- Cuando se hace el muestreo a partir de una población1.- Cuando se hace el muestreo a partir de una población con distribución normal.-con distribución normal.- 2.- Cuando se hace el muestreo a partir de una población2.- Cuando se hace el muestreo a partir de una población que no exhibe una distribución normal y la muestra esque no exhibe una distribución normal y la muestra es grande.-grande.- 3.- Cuando se hace el muestreo a partir de una3.- Cuando se hace el muestreo a partir de una población cuya forma funcional se desconoce, siemprepoblación cuya forma funcional se desconoce, siempre que el tamaño de la muestra sea grande.-que el tamaño de la muestra sea grande.- Al llegar a este punto, nos surge una pregunta lógicaAl llegar a este punto, nos surge una pregunta lógica ¿Qué tan grande debe ser la¿Qué tan grande debe ser la muestra para que el teoremamuestra para que el teorema central del límite seacentral del límite sea aplicable?.-aplicable?.-
  • 38. No existe una sola respuesta, pues el tamaño deNo existe una sola respuesta, pues el tamaño de la muestra depende de la condición de nola muestra depende de la condición de no normalidad en la población.- Una regla empíricanormalidad en la población.- Una regla empírica establece que, en la mayoría de las situacionesestablece que, en la mayoría de las situaciones prácticas, una muestra de tamaño 30 esprácticas, una muestra de tamaño 30 es suficiente.- Es decir,suficiente.- Es decir, nn ≥ 30 normalidad≥ 30 normalidad En general, la aproximación a la normalidad de laEn general, la aproximación a la normalidad de la distribución muestral dedistribución muestral de X llega a ser muchoX llega a ser mucho mejor a medida que crece el tamaño de lamejor a medida que crece el tamaño de la muestra.-muestra.-
  • 39. MUESTREO SINMUESTREO SIN REEMPLAZO.-REEMPLAZO.- Los resultados anteriores se han dado con la premisa deLos resultados anteriores se han dado con la premisa de que el muestreo es con reemplazo o que la muestra fueque el muestreo es con reemplazo o que la muestra fue extraída de una población infinita.- En general, no seextraída de una población infinita.- En general, no se efectúan muestreo con reemplazo, y en muchos casosefectúan muestreo con reemplazo, y en muchos casos prácticos, el muestreo debe hacerse a partir de unaprácticos, el muestreo debe hacerse a partir de una población finita; por lo tanto, es necesario conocer elpoblación finita; por lo tanto, es necesario conocer el comportamiento de la distribución muestral de la mediacomportamiento de la distribución muestral de la media de la muestra con estas condiciones.-de la muestra con estas condiciones.- Antes de hacer cualquier afirmación general, convieneAntes de hacer cualquier afirmación general, conviene revisar nuevamente los datos de la tabla que vimos alrevisar nuevamente los datos de la tabla que vimos al comienzo.- Las media de la muestra que resulta cuandocomienzo.- Las media de la muestra que resulta cuando el muestreo es sin reemplazo se presentan sobre lael muestreo es sin reemplazo se presentan sobre la diagonal principal que son las mismas que se presentandiagonal principal que son las mismas que se presentan por debajo de dicha diagonal, siempre y cuando sepor debajo de dicha diagonal, siempre y cuando se ignore el orden en que se hicieron las observaciones.-ignore el orden en que se hicieron las observaciones.-
  • 40. Se observa que hay 10 muestras posibles.- En general,Se observa que hay 10 muestras posibles.- En general, cuando se extraen sin reemplazo muestras de tamaño n acuando se extraen sin reemplazo muestras de tamaño n a partir de una población finita de tamaño N y se ignora elpartir de una población finita de tamaño N y se ignora el orden en que son extraídas las muestras, se obtiene elorden en que son extraídas las muestras, se obtiene el numero posible mediante la combinación de N casosnumero posible mediante la combinación de N casos tomados de n a la vez.- El siguiente ejemplo se tiene que:tomados de n a la vez.- El siguiente ejemplo se tiene que: nnCCNN = = = 10= = = 10 La media de las 10 medias muestrales es:La media de las 10 medias muestrales es: = 10= 10 N!N! (N-n)!(N-n)!n!n! 2!2! 5!5! 3!3! μμxx == ΣΣxx 1010 == 7 + 8 + 9 + 10 + 9 + 10 + 11 + 11 + 127 + 8 + 9 + 10 + 9 + 10 + 11 + 11 + 12 +13+13 1010
  • 41. Nuevamente se aprecia que la media de la distribuciónNuevamente se aprecia que la media de la distribución muestral es igual a la media de la población.-muestral es igual a la media de la población.- La variancia de la distribución muestral se calcula comoLa variancia de la distribución muestral se calcula como sigue;sigue; σσ²²xx = = 30/10 = 3= = 30/10 = 3 En esta ocasión se observa que la variancia de laEn esta ocasión se observa que la variancia de la distribución muestral no es igual a la variancia de ladistribución muestral no es igual a la variancia de la población dividida entre el tamaño de la muestra, sinpoblación dividida entre el tamaño de la muestra, sin embargo, existe una relación interesante que se descubreembargo, existe una relación interesante que se descubre al multiplicar,al multiplicar, = = 3= = 3 ΣΣ ( x( xii -- μμxx))²² 1010 88 22 5 - 25 - 2 44 N - nN - n N - 1N - 1nn σσ²²
  • 42. Este resultado indica que si se multiplica la variancia de laEste resultado indica que si se multiplica la variancia de la distribución muestral que se obtendrá si el muestreo fuesedistribución muestral que se obtendrá si el muestreo fuese con reemplazo por el factor (N-n)/(N-1), se obtiene el valorcon reemplazo por el factor (N-n)/(N-1), se obtiene el valor de la variancia de la distribución muestral que resultade la variancia de la distribución muestral que resulta cuando el muestreo es sin reemplazo.- Es posiblecuando el muestreo es sin reemplazo.- Es posible generalizar estos resultados con el siguiente enunciado:generalizar estos resultados con el siguiente enunciado: Cuando el muestreo es sinCuando el muestreo es sin reemplazo a partir de unareemplazo a partir de una población finita, la distribuciónpoblación finita, la distribución muestral demuestral de x tendrá una mediax tendrá una media μμ y una variancia;y una variancia; Cuando el muestreo es sinCuando el muestreo es sin reemplazo a partir de unareemplazo a partir de una población finita, la distribuciónpoblación finita, la distribución muestral demuestral de x tendrá una mediax tendrá una media μμ y una variancia;y una variancia; N - nN - n N - 1N - 1 σσ²² nn
  • 43. Si el tamaño de la muestra es muy grande, el teoremaSi el tamaño de la muestra es muy grande, el teorema central del límite es aplicable y la distribución muestral decentral del límite es aplicable y la distribución muestral de la media será aproximadamente normal.-la media será aproximadamente normal.- Corrección por poblaciónCorrección por población finitafinita Al factor (N-n) / (N-1) se le llamaAl factor (N-n) / (N-1) se le llama factor defactor de corrección por población finitacorrección por población finita y se puedey se puede omitir cuando el tamaño de la muestra es pequeño enomitir cuando el tamaño de la muestra es pequeño en comparación con el tamaño de la población.- Cuando lacomparación con el tamaño de la población.- Cuando la población es mucho mayor que la muestra la diferenciapoblación es mucho mayor que la muestra la diferencia entre usar o no el factor es insignificante.-entre usar o no el factor es insignificante.- La mayoría de los Estadísticos no usamos el factor aLa mayoría de los Estadísticos no usamos el factor a menos que la muestra sea de más de 5% de lamenos que la muestra sea de más de 5% de la población.- Es decir, la corrección por población finitapoblación.- Es decir, la corrección por población finita generalmente se ignora cuandogeneralmente se ignora cuando n/Nn/N ≤ 0,05.-≤ 0,05.-
  • 44. APLICACIÓNAPLICACIÓN .-.- Como veremos enComo veremos en Unidades siguientes, el conocimientoUnidades siguientes, el conocimiento y la comprensión de las distribucionesy la comprensión de las distribuciones muestrales son necesarias paramuestrales son necesarias para entender los conceptos de laentender los conceptos de la inferencia estadística.- La aplicacióninferencia estadística.- La aplicación más sencilla para la distribuciónmás sencilla para la distribución muestral de la media de la muestra esmuestral de la media de la muestra es el cálculo de la probabilidad deel cálculo de la probabilidad de obtener una muestra con una mediaobtener una muestra con una media de alguna magnitud especificada.-de alguna magnitud especificada.-
  • 45. USO DE LAUSO DE LA DISTRIBUCIODISTRIBUCIO N MUESTRALN MUESTRAL DE LA MEDIADE LA MEDIA USO DE LAUSO DE LA DISTRIBUCIODISTRIBUCIO N MUESTRALN MUESTRAL DE LA MEDIADE LA MEDIA
  • 46. La importancia de lo que venimos discutiendo hasta ahoraLa importancia de lo que venimos discutiendo hasta ahora puede reconocerse solo si se recuerda que muchas de laspuede reconocerse solo si se recuerda que muchas de las decisiones que tomamos se toman en base a losdecisiones que tomamos se toman en base a los resultados muestrales.-resultados muestrales.- Por ejemplo, un gerente administrativo puede tomar unaPor ejemplo, un gerente administrativo puede tomar una muestra de un producto para determinar si cumple o nomuestra de un producto para determinar si cumple o no con ciertas especificaciones de producción.- Un agente decon ciertas especificaciones de producción.- Un agente de gobierno tomará una muestra de los residentes paragobierno tomará una muestra de los residentes para decidir si cierto plan tributario producirá el efectodecidir si cierto plan tributario producirá el efecto esperado; cierta empresa desea implementar un programaesperado; cierta empresa desea implementar un programa nuevo de trabajo y ver si producirá el efecto esperado ennuevo de trabajo y ver si producirá el efecto esperado en la producción, etc.-la producción, etc.- Como se dijo, las muestras tienen un impacto muy directoComo se dijo, las muestras tienen un impacto muy directo y consecuencial en las decisiones que se toman.-y consecuencial en las decisiones que se toman.-
  • 47. Por tanto, toda conclusión que se saque o todo conocimiento que se tenga respecto a una muestra es muy importante.- Una aplicación muy común y de gran utilidad en una distribución muestral es la de determinar la probabilidad de que una media muestral clasifique dentro de un cierto rango planteado.- Por tanto, toda conclusión que se saque o todo conocimiento que se tenga respecto a una muestra es muy importante.- Una aplicación muy común y de gran utilidad en una distribución muestral es la de determinar la probabilidad de que una media muestral clasifique dentro de un cierto rango planteado.- Dado que la distribución muestral estaráDado que la distribución muestral estará distribuida normalmente pues;distribuida normalmente pues; a)a) La muestra se toma de una población que seLa muestra se toma de una población que se distribuye como normal,distribuye como normal, a)a) b) nb) n ≥≥ 30 y el teorema central del límite garantiza la30 y el teorema central del límite garantiza la normalidad en el proceso de muestreo, la desviaciónnormalidad en el proceso de muestreo, la desviación normal puede usarse para ganar información esencialnormal puede usarse para ganar información esencial para el proceso de toma de decisiones.-para el proceso de toma de decisiones.-
  • 48. Al desarrollar laAl desarrollar la distribución normal,distribución normal, vimos como usar lavimos como usar la normal estandarizadanormal estandarizada (Z), en una distribución(Z), en una distribución muestral usamos elmuestral usamos el mismo procedimiento,mismo procedimiento, pero modificamos el Z.-pero modificamos el Z.-
  • 49. Muchas de las decisiones en las empresasMuchas de las decisiones en las empresas depende de una muestra completa, entonces ladepende de una muestra completa, entonces la formula de reconversión estará dada por:formula de reconversión estará dada por: σ µ x − = x Z El valor de interés en el numerador no es unaEl valor de interés en el numerador no es una observación única de X, sino la media de nobservación única de X, sino la media de n observaciones.- Además, el denominador no es laobservaciones.- Además, el denominador no es la desviación estándar poblacionaldesviación estándar poblacional σσ, sino que el, sino que el error estándar de la distribución muestralerror estándar de la distribución muestral σσ xx.-.-
  • 50. a) Este entre 145 y 150a) Este entre 145 y 150 b) Sea mayor que 145b) Sea mayor que 145 c) Sea menor que 155c) Sea menor que 155 d) Esté entre 145 y 155d) Esté entre 145 y 155 e) Sea mayor que 155e) Sea mayor que 155 Telecom Satelital es una empresa de Telecomunicación que prestaTelecom Satelital es una empresa de Telecomunicación que presta servicios en ciertas ciudades.- Los funcionarios de la empresa hanservicios en ciertas ciudades.- Los funcionarios de la empresa han aprendido que la transmisión satelital promedio es de 150aprendido que la transmisión satelital promedio es de 150 segundos con una desviación estándar de 15 segundos.- Lossegundos con una desviación estándar de 15 segundos.- Los tiempos parecen estar distribuidos normalmente.- Plantea instalartiempos parecen estar distribuidos normalmente.- Plantea instalar nuevos equipos que mejorarían la eficiencia de sus operaciones.-nuevos equipos que mejorarían la eficiencia de sus operaciones.- Sin embargo, antes que los ejecutivos puedan decidir si dichaSin embargo, antes que los ejecutivos puedan decidir si dicha inversión será eficaz en función de los costos debe determinar lainversión será eficaz en función de los costos debe determinar la probabilidad de que la media de la muestra de n = 35,probabilidad de que la media de la muestra de n = 35, SOLUCIONSOLUCION VEAMOS ESTE EJEMPLO:VEAMOS ESTE EJEMPLO:
  • 51. a)a) P(145 ≤P(145 ≤ x ≤ 150).-x ≤ 150).- CalculamosCalculamos P(145 ≤P(145 ≤ x ≤ 150) = 0.50 - F(-1,97) = 0.50 - 0.0244x ≤ 150) = 0.50 - F(-1,97) = 0.50 - 0.0244 = 0,4756= 0,4756 97.1 35/15 150145 −= − = − = σ µ x x Z 150150145145 XX
  • 52. b) P(b) P(xx ≥≥ 145)145) 97.1 35/15 150145 −= − = − = σ µ x x ZCalculamosCalculamos P (P ( xx ≥≥ 145) = 1,00 - F (- 1,97) = 1,00 - 0,0244 = 0,9756145) = 1,00 - F (- 1,97) = 1,00 - 0,0244 = 0,9756 150150145145 XX
  • 53. Así, con el mismo criterio seAsí, con el mismo criterio se seguirán calculando el resto de losseguirán calculando el resto de los incisos, quedando ellos paraincisos, quedando ellos para ejercitación del alumno.-ejercitación del alumno.- Lo importante que con estaLo importante que con esta información Telecom puede tomarinformación Telecom puede tomar decisiones más inteligentedecisiones más inteligente respecto a la necesidad de nuevosrespecto a la necesidad de nuevos equipos.-equipos.-
  • 54. Supongamos que la empresa que ustedSupongamos que la empresa que usted asesora produce productosasesora produce productos manufacturados, las ventas mensualesmanufacturados, las ventas mensuales sigue una distribución normal con mediasigue una distribución normal con media de 186,6$ (en miles) y una desviaciónde 186,6$ (en miles) y una desviación estándar de 12,7$.- ¿Cuál es laestándar de 12,7$.- ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoriaprobabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño 10 meses de esta poblaciónde tamaño 10 meses de esta población tenga una media mayor que 190$ ?.-tenga una media mayor que 190$ ?.- SoluciónSolución Veamos otro ejemplo.-Veamos otro ejemplo.-
  • 55. Se sabe que la muestra individual que se estudia es soloSe sabe que la muestra individual que se estudia es solo una de todas las muestras posibles de tamaño 10 queuna de todas las muestras posibles de tamaño 10 que pueden ser extraídas de la población, de modo que lapueden ser extraídas de la población, de modo que la media a la que conduce es una de lasmedia a la que conduce es una de las x que formanx que forman parte de la distribución muestral departe de la distribución muestral de x, que , teóricamentex, que , teóricamente podría inferirse de esa población.-podría inferirse de esa población.- Cuando se dice que la población tiene una distribuciónCuando se dice que la población tiene una distribución aproximadamente normal, se supone que la distribuciónaproximadamente normal, se supone que la distribución muestral demuestral de x sigue para fines prácticos una distribuciónx sigue para fines prácticos una distribución normal.- También se sabe que la media y la desviaciónnormal.- También se sabe que la media y la desviación estándar de la distribución muestral son iguales a 186,6 $estándar de la distribución muestral son iguales a 186,6 $ yy σσ/ √n = 12,7 / √10 = 4,02 respectivamente.-/ √n = 12,7 / √10 = 4,02 respectivamente.- Se supone que la población es grande con respecto a laSe supone que la población es grande con respecto a la muestra, de manera que el factor de corrección paramuestra, de manera que el factor de corrección para población finita puede omitirse.-población finita puede omitirse.-
  • 56. Hemos aprendido que siempre que se tenga unaHemos aprendido que siempre que se tenga una variable aleatoria con distribución normal estavariable aleatoria con distribución normal esta puede transformarse en una distribución normalpuede transformarse en una distribución normal estandarizada.- Entonces debemos obtenerestandarizada.- Entonces debemos obtener nuestra Z con las transformaciones antesnuestra Z con las transformaciones antes planteadas y luego realizar el cálculo comoplanteadas y luego realizar el cálculo como hemos visto oportunamente.-hemos visto oportunamente.- Entonces,Entonces, x -x - μμxx σσ // √√nn Z =Z =
  • 57. 00 1,091,09 ZZ P (P (x ≥ 190) = P ( Z ≥ 1,00) = 1 - F ( 1,09) =x ≥ 190) = P ( Z ≥ 1,00) = 1 - F ( 1,09) = = 1 - 0,8621 = 0,1379= 1 - 0,8621 = 0,1379  14 %14 % xx 185,6185,6 190190
  • 58. Veamos otro ejemplo del valorVeamos otro ejemplo del valor práctico de la distribución muestralpráctico de la distribución muestral de la media.-de la media.- -.Para que los alumnos discutan.--.Para que los alumnos discutan.- Al director de personal de cierta empresa multinacional muyAl director de personal de cierta empresa multinacional muy importante se le ha asignado la tarea de elaborar un perfil de los 2500importante se le ha asignado la tarea de elaborar un perfil de los 2500 gerentes de la empresa.- Las características por identificar son, entregerentes de la empresa.- Las características por identificar son, entre otras, el sueldo anual promedio y la proporción de gerentes queotras, el sueldo anual promedio y la proporción de gerentes que terminaron el programa de adiestramiento de la empresa.-terminaron el programa de adiestramiento de la empresa.- Si definimos a los 2500 gerentes como la población a estudiar,Si definimos a los 2500 gerentes como la población a estudiar, podemos determinar el salario anual y el estado de adiestramiento enpodemos determinar el salario anual y el estado de adiestramiento en el programa para cada individuo, consultando los registros delel programa para cada individuo, consultando los registros del personal que tiene la empresa.- Supongamos que ya se hizo lopersonal que tiene la empresa.- Supongamos que ya se hizo lo anterior y que contamos con información de todos los 2500 gerentes.-anterior y que contamos con información de todos los 2500 gerentes.- Si empleamos las formulas que vimos en Unidades anteriores paraSi empleamos las formulas que vimos en Unidades anteriores para calcular la media de la población y la desviación estándar poblacional,calcular la media de la población y la desviación estándar poblacional, que resultaron ser:que resultaron ser: μμ = 51800 dólares y= 51800 dólares y σσ = 4000 dólares.-= 4000 dólares.-
  • 59. Sabemos que tantoSabemos que tanto μμ comocomo σσ , son parámetros (características de, son parámetros (características de la población).-la población).- El asunto que deseamos considerar es como el director de personalEl asunto que deseamos considerar es como el director de personal puede obtener estimados de esos parámetros poblacionales con unapuede obtener estimados de esos parámetros poblacionales con una muestra de gerentes, en lugar de hacerlo con los 2500 individuosmuestra de gerentes, en lugar de hacerlo con los 2500 individuos de la población.- Supongamos que se usara una muestra de 30de la población.- Supongamos que se usara una muestra de 30 gerentes.- Es claro que el tiempo y el costo de desarrollar un perfilgerentes.- Es claro que el tiempo y el costo de desarrollar un perfil para 30 gerentes serían mucho menores que para toda la población.-para 30 gerentes serían mucho menores que para toda la población.- Si el director de personal pudiera estar seguro de que la nuestra deSi el director de personal pudiera estar seguro de que la nuestra de 30 gerentes suministra la información adecuada sobre la población30 gerentes suministra la información adecuada sobre la población de 2500 gerentes, preferirá trabajar con la muestra que con toda lade 2500 gerentes, preferirá trabajar con la muestra que con toda la población.-población.- Empezará su investigación obteniendo la muestra de los 30Empezará su investigación obteniendo la muestra de los 30 gerentes, aplicando un muestreo simple aleatorio (como hemosgerentes, aplicando un muestreo simple aleatorio (como hemos visto).- Se calcula el valor de la media de la muestra para estimarvisto).- Se calcula el valor de la media de la muestra para estimar µµ,, la media de la población, no podemos esperar que la media de lala media de la población, no podemos esperar que la media de la muestra sea exactamente igual a la media de la población.-muestra sea exactamente igual a la media de la población.-
  • 60. Vimos que el valor absoluto de la diferencia entreVimos que el valor absoluto de la diferencia entre la media de la muestra y la media de la poblaciónla media de la muestra y la media de la población me daba el error muestral.-me daba el error muestral.- La razón práctica de que nos interesa laLa razón práctica de que nos interesa la distribución muestral dedistribución muestral de x es que la podemosx es que la podemos usar para determinar información probabilísticausar para determinar información probabilística acerca del tamaño del error de muestreo, ya queacerca del tamaño del error de muestreo, ya que no lo podemos calcular porque desconocemos lano lo podemos calcular porque desconocemos la media de la población.-.media de la población.-. Supongamos que el director de personal creeSupongamos que el director de personal cree que la media de la muestra será un estimadoque la media de la muestra será un estimado aceptable de la media de la población si elaceptable de la media de la población si el promedio muestral dista menos de 500$ delpromedio muestral dista menos de 500$ del promedio poblacional.-promedio poblacional.-
  • 61. En términos de probabilidad, loEn términos de probabilidad, lo que le preocupa en realidad alque le preocupa en realidad al director es la siguiente pregunta,director es la siguiente pregunta, En términos de probabilidad, loEn términos de probabilidad, lo que le preocupa en realidad alque le preocupa en realidad al director es la siguiente pregunta,director es la siguiente pregunta, ¿Cuál es la probabilidad de que la media¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra que obtengamos de unade la muestra que obtengamos de una muestra aleatoria simple de 30 gerentesmuestra aleatoria simple de 30 gerentes esté dentro del intervalo de 500 dólaresesté dentro del intervalo de 500 dólares alrededor de la media de la población?alrededor de la media de la población?
  • 62. Como hemos identificado las propiedades de laComo hemos identificado las propiedades de la distribución muestral dedistribución muestral de x, usaremos esa informaciónx, usaremos esa información para contestar la pregunta.- La distribución muestral,para contestar la pregunta.- La distribución muestral, será;será; μμXX = 51800 dól.-= 51800 dól.- 30,730 30 4000 === nx σ σ 51800518005130051300 5230052300 XX
  • 63. El director de personal pregunta sobre la probabilidad deEl director de personal pregunta sobre la probabilidad de que la media de la muestra sea entre 51300 y 52300que la media de la muestra sea entre 51300 y 52300 dólares.- Si el valor de la media de la muestra dedólares.- Si el valor de la media de la muestra de X estaX esta en ese intervalo, se aproximará a 500 dólares de la mediaen ese intervalo, se aproximará a 500 dólares de la media poblacional.- La probabilidad correspondiente es el áreapoblacional.- La probabilidad correspondiente es el área de la distribución muestral que vimos en la figurade la distribución muestral que vimos en la figura anterior.-anterior.- Como la distribución muestral es normal, con promedioComo la distribución muestral es normal, con promedio de 51800 y desviación estándar 730,30, podemos usar lade 51800 y desviación estándar 730,30, podemos usar la tabla de la distribución de probabilidad normaltabla de la distribución de probabilidad normal estandarizada, para calcular el área.-estandarizada, para calcular el área.- Tendremos;Tendremos; 68,0 30,730 5180051300 −= − = − = σ µ x x Z P( 51300 ≤P( 51300 ≤ x ≤ 52300) = 0,7518 - 0,2482 =x ≤ 52300) = 0,7518 - 0,2482 = 0,50360,5036
  • 64. Esto nos indica que una muestra aleatoria simple de 30Esto nos indica que una muestra aleatoria simple de 30 gerentes de la multinacional tiene una probabilidad degerentes de la multinacional tiene una probabilidad de 0,50 de dar como resultado una media de la muestra que0,50 de dar como resultado una media de la muestra que quede a 500$ o menos de la media poblacional.-quede a 500$ o menos de la media poblacional.- En otras palabras, una muestra aleatoria simple de 30En otras palabras, una muestra aleatoria simple de 30 gerentes tiene una probabilidad de 50 a 50 de quedargerentes tiene una probabilidad de 50 a 50 de quedar dentro de los 500$ alrededor de la media poblacional.-dentro de los 500$ alrededor de la media poblacional.- Quizás deba tomar la decisión de aumentar el tamañoQuizás deba tomar la decisión de aumentar el tamaño de la muestra para lograr obtener datos para tomarde la muestra para lograr obtener datos para tomar decisiones más seguras.-decisiones más seguras.- Seguramente al aumentar por ejemplo el tamaño deSeguramente al aumentar por ejemplo el tamaño de muestra n =100, la probabilidad de obtener una media demuestra n =100, la probabilidad de obtener una media de muestra dentro de los márgenes pedidos, respecto a lamuestra dentro de los márgenes pedidos, respecto a la media de la población sea mayor.-media de la población sea mayor.-
  • 65. EJERICICIO PARA HACER EN CLASE Supóngase que los incrementos salariales porcentualesSupóngase que los incrementos salariales porcentuales anuales de los directores generales de todas lasanuales de los directores generales de todas las empresas de tamaño medio siguen una distribuciónempresas de tamaño medio siguen una distribución normal que tiene una media de 12,2 por ciento y unanormal que tiene una media de 12,2 por ciento y una desviación estándar de 3,6 por ciento.- Se extrae unadesviación estándar de 3,6 por ciento.- Se extrae una muestra aleatoria de nueve observaciones de esamuestra aleatoria de nueve observaciones de esa población y se calcula la media muestral.- ¿Cuál es lapoblación y se calcula la media muestral.- ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea inferior a unprobabilidad de que la media muestral sea inferior a un 10 por ciento?.-10 por ciento?.- SoluciónSolución Resp: 0.0336Resp: 0.0336
  • 66. 2.- Un fabricante de bujías sostiene que la duración de2.- Un fabricante de bujías sostiene que la duración de sus bujías siguen una distribución normal que tiene unasus bujías siguen una distribución normal que tiene una media de 36000 kilómetros y una desviación estándar demedia de 36000 kilómetros y una desviación estándar de 4000 kilómetros.- Una muestra aleatoria de 16 bujías4000 kilómetros.- Una muestra aleatoria de 16 bujías tenía una duración media de 34500 kilómetros.- Si latenía una duración media de 34500 kilómetros.- Si la afirmación del fabricante es correcta, ¿Cuál es laafirmación del fabricante es correcta, ¿Cuál es la probabilidad de obtener una media muestral de 34500 oprobabilidad de obtener una media muestral de 34500 o menos kilómetros?.-menos kilómetros?.- SoluciónSolución Repta: 0,0668Repta: 0,0668
  • 67. 3.- La duración de la enfermedad de Alzheimer desde el3.- La duración de la enfermedad de Alzheimer desde el inicio de los síntomas hasta la muerte varía de tres ainicio de los síntomas hasta la muerte varía de tres a 20 años; el promedio es ocho años con una20 años; el promedio es ocho años con una desviación estándar de cuatro años.- El administradordesviación estándar de cuatro años.- El administrador de un centro médico selecciona al azar, de la base dede un centro médico selecciona al azar, de la base de datos del centro médico, los expedientes de 30datos del centro médico, los expedientes de 30 pacientes que murieron de Aizheimer y anota lapacientes que murieron de Aizheimer y anota la duración media.-duración media.- Encuentre las probabilidades aproximadas para estosEncuentre las probabilidades aproximadas para estos eventos:eventos: a)a) La duración promedio es menor que 7 años.-La duración promedio es menor que 7 años.- b)b) Excede 7 años.-Excede 7 años.- c)c) La duración promedio queda dentro del intervalo de 1La duración promedio queda dentro del intervalo de 1 año de la media poblacional 8.-año de la media poblacional 8.- Rpta: a) 0.0853 b) 0.9147 c) 0.8294Rpta: a) 0.0853 b) 0.9147 c) 0.8294
  • 68. 4.- Para evitar dificultades con la Oficina de Protección al4.- Para evitar dificultades con la Oficina de Protección al Consumidor, un embotellador debe asegurarse que lasConsumidor, un embotellador debe asegurarse que las botellas de 12 onzas en realidad contenga esa cantidadbotellas de 12 onzas en realidad contenga esa cantidad de bebida.- Para determinar si una máquinade bebida.- Para determinar si una máquina embotelladora está trabajando satisfactoriamente, elembotelladora está trabajando satisfactoriamente, el embotellador muestrea al azar 10 botellas por hora yembotellador muestrea al azar 10 botellas por hora y mide la cantidad de bebida en cada una.-La mediamide la cantidad de bebida en cada una.-La media x dex de las 10 botellas de llenado se usa para decidir si selas 10 botellas de llenado se usa para decidir si se reajusta la cantidad de bebida con que la máquina llenareajusta la cantidad de bebida con que la máquina llena cada botella.- Si en los registros se observa que lacada botella.- Si en los registros se observa que la cantidad de llenado por botella tiene una distribucióncantidad de llenado por botella tiene una distribución normal, con una desviación estándar de 0,2 onzas y si senormal, con una desviación estándar de 0,2 onzas y si se ajusta la embotelladora para producir un llenado medioajusta la embotelladora para producir un llenado medio por botella de 12,1 onzas.-por botella de 12,1 onzas.- ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que la media¿Cuál es la probabilidad aproximada de que la media muestral de las 10 botellas de prueba sea menor que 12muestral de las 10 botellas de prueba sea menor que 12 onzas?.-onzas?.-
  • 70. Hasta ahora la discusión se concentro exclusivamente enHasta ahora la discusión se concentro exclusivamente en las media de los asuntos que se tratan en lalas media de los asuntos que se tratan en la administración, negocios, economía, etc., muchas vecesadministración, negocios, economía, etc., muchas veces en ellos interesa la proporción “P” de la población.-en ellos interesa la proporción “P” de la población.- Una firma de marketing puede querer averiguar si unUna firma de marketing puede querer averiguar si un cliente compra o no un producto, un banco puede estarcliente compra o no un producto, un banco puede estar interesado en determinar su un depositante pedirá o no uninteresado en determinar su un depositante pedirá o no un crédito para auto, muchas firmas deben determinar lacrédito para auto, muchas firmas deben determinar la probabilidad de que un proyecto para presupuestarprobabilidad de que un proyecto para presupuestar capitales generará o no un rendimiento positivo, etc.-capitales generará o no un rendimiento positivo, etc.- En todos estos casos se usa la proporción muestralEn todos estos casos se usa la proporción muestral pp para hacer inferencias sobre la proporción poblacional.para hacer inferencias sobre la proporción poblacional. “P”.- Podemos predecir que en cada repetición del“P”.- Podemos predecir que en cada repetición del proceso obtendremos un valor distinto de la proporciónproceso obtendremos un valor distinto de la proporción muestralmuestral p.-p.-
  • 71. La distribución de probabilidad de todos los valoresLa distribución de probabilidad de todos los valores posibles de esa proporciónposibles de esa proporción p se llamap se llama distribucióndistribución de la proporción muestral.-de la proporción muestral.- La distribución de probabilidad binomial según vimosLa distribución de probabilidad binomial según vimos implica determinar las probabilidades de diferentesimplica determinar las probabilidades de diferentes números de éxitos en un experimento binomial.- Lanúmeros de éxitos en un experimento binomial.- La distribución binomial es una distribución de probabilidaddistribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que indica la probabilidad de “x” éxitos en “n”discreta que indica la probabilidad de “x” éxitos en “n” pruebas de un experimento binomial, donde cada pruebapruebas de un experimento binomial, donde cada prueba tiene dos resultados posibles, éxitos y fracasos.-tiene dos resultados posibles, éxitos y fracasos.- xx p = -------p = ------- nn Esta fórmula nos muestra que para una muestra de nEsta fórmula nos muestra que para una muestra de n pruebas de un experimento binomial, la proporción depruebas de un experimento binomial, la proporción de éxitos, el estadísticoéxitos, el estadístico p, se calcula dividiendo el númerop, se calcula dividiendo el número de éxitos “x” entre el número de pruebas “n”.-de éxitos “x” entre el número de pruebas “n”.-
  • 72. Para determinar lo cercano que esta la proporciónPara determinar lo cercano que esta la proporción muestralmuestral p de la proporción poblacional “P”p de la proporción poblacional “P” necesitamos comprendernecesitamos comprender las propiedades de lalas propiedades de la distribución muestral dedistribución muestral de p, su valorp, su valor esperado, su desviación estándar y la formaesperado, su desviación estándar y la forma de la distribución.-de la distribución.- El valor esperado deEl valor esperado de p, la media de todos los valoresp, la media de todos los valores posibles deposibles de p, se puede expresar como,p, se puede expresar como, E (E (p) = Pp) = P La ecuación anterior nos expresa que la media de todosLa ecuación anterior nos expresa que la media de todos los valores posible delos valores posible de p es igual a la proporción P de lap es igual a la proporción P de la población y esto siempre es así.-población y esto siempre es así.- La desviación estándar deLa desviación estándar de p se llamap se llama error estándarerror estándar de la proporciónde la proporción.-.- Igual que en caso de las medias deIgual que en caso de las medias de la muestrala muestra x, el error estándar de la proporción dependex, el error estándar de la proporción depende si la población es finita o infinita, entonces:si la población es finita o infinita, entonces:
  • 73. -infinitas.spoblacionepara )1( -finitas.spoblacionepara 1 * )1( p n pp N nN n pp p − = − −− = σ σ Al comparar estas dos fórmulas, vemos que la diferenciaAl comparar estas dos fórmulas, vemos que la diferencia es el empleo deles el empleo del factor de corrección parafactor de corrección para poblaciones finitas.-poblaciones finitas.- Como en el caso de la media de muestraComo en el caso de la media de muestra x, vemos quex, vemos que la diferencia entre las ecuaciones para poblaciones finitasla diferencia entre las ecuaciones para poblaciones finitas e infinita se hace despreciable si el tamaño de lae infinita se hace despreciable si el tamaño de la población finita es grande en comparación con el tamañopoblación finita es grande en comparación con el tamaño de la muestra.- Seguiremos la misma regla quede la muestra.- Seguiremos la misma regla que recomendamos antes.-recomendamos antes.-
  • 74. Como ya conocemos el promedio y laComo ya conocemos el promedio y la desviación estándar de la proporción muestraldesviación estándar de la proporción muestral p, debemos conocer ahora la forma de lap, debemos conocer ahora la forma de la distribución.- Al aplicar el Teorema Central deldistribución.- Al aplicar el Teorema Central del Límite aLímite a p se tiene que la distribuciónp se tiene que la distribución muestral demuestral de p se puede aproximar con unap se puede aproximar con una distribución normal de probabilidad, siempredistribución normal de probabilidad, siempre que el tamaño de muestra sea grande.- En elque el tamaño de muestra sea grande.- En el caso decaso de p, se puede considerar que el tamañop, se puede considerar que el tamaño de muestra es grande cuando se cumple lasde muestra es grande cuando se cumple las dos siguientes condiciones:dos siguientes condiciones: n Pn P ≥≥ 5 y n (1- P)5 y n (1- P) ≥≥ 55
  • 75. Esto es, si la población esEsto es, si la población es infinita y n/N ≤ 0,05 usamos elinfinita y n/N ≤ 0,05 usamos el error estándar de la proporciónerror estándar de la proporción sin el factor de corrección, sinsin el factor de corrección, sin embargo, si la población es finitaembargo, si la población es finita y la relación es n/Ny la relación es n/N >> 0,05, se0,05, se debe usar el factor dedebe usar el factor de corrección.-corrección.-
  • 76. Sabemos que la aproximaciónSabemos que la aproximación normal puede mejorar connormal puede mejorar con lala corrección por continuidadcorrección por continuidad ,, un mecanismo que hace un ajuste enun mecanismo que hace un ajuste en el caso de que una distribuciónel caso de que una distribución continua se aproxime a unacontinua se aproxime a una distribución discreta.- En el caso dedistribución discreta.- En el caso de estudio de proporción de unaestudio de proporción de una población, estas son muy grandes ypoblación, estas son muy grandes y la corrección no aporta diferencia yla corrección no aporta diferencia y por lo tanto la podemos obviar.-por lo tanto la podemos obviar.-
  • 77. Veamos un ejemplo, con valores irreales solo paraVeamos un ejemplo, con valores irreales solo para entender los conceptos elementales vistos.- Recuerde queentender los conceptos elementales vistos.- Recuerde que esto en la práctica profesional no se puede hacer.-esto en la práctica profesional no se puede hacer.- Casa Garbarino pregunta a toda laCasa Garbarino pregunta a toda la población de clientes N = 4, si vieron elpoblación de clientes N = 4, si vieron el anuncio de ofertas, publicitado en el diarioanuncio de ofertas, publicitado en el diario del día.- Se registra una respuesta de SIdel día.- Se registra una respuesta de SI como éxito y de NO como fracaso.- Loscomo éxito y de NO como fracaso.- Los cuatro clientes respondieron: Scuatro clientes respondieron: S11 NN22 NN33 SS44 .-.- La proporción poblacional de éxito es P = 0.50.- SiLa proporción poblacional de éxito es P = 0.50.- Si tomamos muestras de tamaño n = 2, la cantidad detomamos muestras de tamaño n = 2, la cantidad de muestras será igual a las combinaciones de cuatromuestras será igual a las combinaciones de cuatro elementos tomados de a dos, que me da igual a 6, laelementos tomados de a dos, que me da igual a 6, la proporción de éxitos se registra como sigue en laproporción de éxitos se registra como sigue en la siguiente tabla:siguiente tabla:
  • 78. XiXi Nº de éxitosNº de éxitos Proporción de éxitosProporción de éxitos SS11NN22 11 0.500.50 SS11NN33 11 0.500.50 SS11SS44 22 1.001.00 NN22NN33 00 0.000.00 NN22 SS33 11 0.500.50 NN22 SS44 11 0.500.50 TotalTotal -------------------------------------------- 3.003.00
  • 79. El valor esperado, media de distribución muestral de laEl valor esperado, media de distribución muestral de la proporción muestral es;proporción muestral es; ΣΣ p 3p 3 μμpp == E(E(p) = ------------- = ------ = 0.50 = Pp) = ------------- = ------ = 0.50 = P K 6K 6 Tenemos que calcular ahora el error estándar de laTenemos que calcular ahora el error estándar de la proporción muestral, que será;proporción muestral, que será; n P)-1(P =σ p
  • 80. Observo si n / NObservo si n / N << 0.05 es este caso no necesito el0.05 es este caso no necesito el factor de corrección para poblaciones finitas, enfactor de corrección para poblaciones finitas, en cambio si n / Ncambio si n / N >> 0.05 si lo debo usar al calcular el error0.05 si lo debo usar al calcular el error estándar de la proporción muestral.-estándar de la proporción muestral.- En nuestro caso n / N = 2 / 4 = 0.50En nuestro caso n / N = 2 / 4 = 0.50 >> 0.050.05 Luego:Luego: 2888.0 14 24 * 2 50.0*50.0 1-N n-N n p)-1(p = − − ==σ p
  • 81. Las herramientas recientemente desarrolladasLas herramientas recientemente desarrolladas para las proporciones muestrales permitenpara las proporciones muestrales permiten determinar las probabilidades que pueden serdeterminar las probabilidades que pueden ser muy útiles en la toma de decisionesmuy útiles en la toma de decisiones importantes.- Esto se logra aplicando laimportantes.- Esto se logra aplicando la distribución normal a la distribución muestraldistribución normal a la distribución muestral de proporciones muestrales, como veremos ende proporciones muestrales, como veremos en el punto siguiente.-el punto siguiente.- p - Pp - P Z = -----------------Z = ----------------- σσpp
  • 82. VALOR PRÁCTICOVALOR PRÁCTICO DE LADE LA DISTRIBUCIONDISTRIBUCION MUESTRAL DE LAMUESTRAL DE LA PROPORCIÓNPROPORCIÓN MUESTRAL.-MUESTRAL.- VALOR PRÁCTICOVALOR PRÁCTICO DE LADE LA DISTRIBUCIONDISTRIBUCION MUESTRAL DE LAMUESTRAL DE LA PROPORCIÓNPROPORCIÓN MUESTRAL.-MUESTRAL.-
  • 83. Siempre que se selecciona una muestra aleatoriaSiempre que se selecciona una muestra aleatoria simple y que el valor de la proporción de lasimple y que el valor de la proporción de la muestramuestra p se usa para estimar el valor de lap se usa para estimar el valor de la proporción poblacional P, podemos predecir queproporción poblacional P, podemos predecir que hay cierto error de muestreo.- En este caso, elhay cierto error de muestreo.- En este caso, el error de muestreo es el valor absoluto de laerror de muestreo es el valor absoluto de la diferencia entre el valor de la proporcióndiferencia entre el valor de la proporción muestralmuestral p y la proporción poblacional P.-p y la proporción poblacional P.- El valor práctico de la distribución muestral deEl valor práctico de la distribución muestral de pp es que se puede usar para proporcionares que se puede usar para proporcionar información probabilística acerca del error deinformación probabilística acerca del error de muestreo.-muestreo.-
  • 84. Veamos un ejemplo.-Veamos un ejemplo.- El director de personal de cierta multinacional se le haEl director de personal de cierta multinacional se le ha asignado la tarea de elaborar un perfil de los 2500asignado la tarea de elaborar un perfil de los 2500 gerentes de la empresa.- La característica por identificargerentes de la empresa.- La característica por identificar es la proporción de gerentes que terminaron el programaes la proporción de gerentes que terminaron el programa de adiestramiento administrativo de la empresa.- Side adiestramiento administrativo de la empresa.- Si definimos a los 2500 gerentes como la población adefinimos a los 2500 gerentes como la población a estudiar y sabemos que 1500 han terminado el programaestudiar y sabemos que 1500 han terminado el programa de adiestramiento.- Se saca una muestra de 30 gerentesde adiestramiento.- Se saca una muestra de 30 gerentes y sabemos que de ellos 19 han terminado el programa dey sabemos que de ellos 19 han terminado el programa de adiestramiento.-adiestramiento.- Supongamos que el director de personal desea conocerSupongamos que el director de personal desea conocer la probabilidad de obtener un valor dela probabilidad de obtener un valor de p que se acerquep que se acerque a 0,05 o más de la proporción poblacional de gerentesa 0,05 o más de la proporción poblacional de gerentes que participaron en el programa de adiestramiento.-que participaron en el programa de adiestramiento.-
  • 85. Esto es, ¿Cuál es la probabilidad de obtenerEsto es, ¿Cuál es la probabilidad de obtener una muestra con proporción muestraluna muestra con proporción muestral p entrep entre 0,55 y 0,65?.-0,55 y 0,65?.- Usando el hecho de que la distribuciónUsando el hecho de que la distribución muestralmuestral p se puede aproximar con unap se puede aproximar con una distribución normal de probabilidad condistribución normal de probabilidad con promedio P = 0.60 ypromedio P = 0.60 y σσpp = 0,0894, entonces= 0,0894, entonces será:será: 56.0 0894.0 60.055.0 −= − =Zi
  • 86. P( 0.55P( 0.55 << pp << 0.65) = 0.7123 - 0.28770.65) = 0.7123 - 0.2877 = 0,4246= 0,4246 La probabilidad de seleccionar una muestra queLa probabilidad de seleccionar una muestra que de cómo resultado una proporción muestralde cómo resultado una proporción muestral más cercano que 0.05 a la proporciónmás cercano que 0.05 a la proporción poblacional P es del 42%.-poblacional P es del 42%.- 0,600,600,550,55 0,650,65 pp
  • 87. Veamos otro ejemplo prácticoVeamos otro ejemplo práctico .- El 5% de los.- El 5% de los cinescopio que la compañía Audio Films hace paracinescopio que la compañía Audio Films hace para monitores de PC son devuelto por el fabricante demonitores de PC son devuelto por el fabricante de monitores como defectuosos.- Este hecho preocupa amonitores como defectuosos.- Este hecho preocupa a Audio Films, en especial después de leer un artículo en laAudio Films, en especial después de leer un artículo en la revista PC Word, sobre la guía a los compradores derevista PC Word, sobre la guía a los compradores de monitores súper VGA.- Audio Films considera que esmonitores súper VGA.- Audio Films considera que es esencial mejorar su desempeño de calidad si quiereesencial mejorar su desempeño de calidad si quiere continuar suministrando cinescopios a la industria.-continuar suministrando cinescopios a la industria.- Después de iniciar su programa de mejora de calidad,Después de iniciar su programa de mejora de calidad, Audio Films obtendrá una muestra de cinescopios paraAudio Films obtendrá una muestra de cinescopios para verificar si la calidad se ha elevado.- Se elegirá unaverificar si la calidad se ha elevado.- Se elegirá una muestra de 125 cinescopios del almacén durante unosmuestra de 125 cinescopios del almacén durante unos cuantos días.- ¿Cuál es la probabilidad de que más delcuantos días.- ¿Cuál es la probabilidad de que más del 8% sean defectuosos, suponiendo que la tasa global de8% sean defectuosos, suponiendo que la tasa global de unidades defectuosas es todavía el 5%?.-unidades defectuosas es todavía el 5%?.- SoluciónSolución
  • 88. P(P( pp >>0.08) = 1 - F(1,54) =0.08) = 1 - F(1,54) = = 1 - 0.9382 = 0.0618= 1 - 0.9382 = 0.0618 Hay una probabilidad de alrededor del 6% de queHay una probabilidad de alrededor del 6% de que el 8% de los cinescopios o más seanel 8% de los cinescopios o más sean defectuosos, suponiendo que la tasa de defectosdefectuosos, suponiendo que la tasa de defectos de la población es del 5%.-de la población es del 5%.- 54,1 0195.0 05.008.0p Z 0.05Pdonde0195.0 125 95.0*05.0 = − = − = === σ σ p p P
  • 89. EJEMPLO 3.- Rosales SRL, adquiere componentes paraEJEMPLO 3.- Rosales SRL, adquiere componentes para sus teléfonos celulares en lotes de 200 de una firma ensus teléfonos celulares en lotes de 200 de una firma en Buenos Aires.- El componente tiene una tasa de defectosBuenos Aires.- El componente tiene una tasa de defectos del 10%.- Una política establecida recientemente pordel 10%.- Una política establecida recientemente por Rosales SRL establece que si el siguiente envió tiene:Rosales SRL establece que si el siguiente envió tiene: a) Más del 12 % de defectos, definitivamente buscará una) Más del 12 % de defectos, definitivamente buscará un nuevo proveedor.-nuevo proveedor.- b) Entre el 10 y el 12 % de defectos (inclusive),b) Entre el 10 y el 12 % de defectos (inclusive), considerará un nuevo proveedor.-considerará un nuevo proveedor.- c) Entre el 5 y el 10% de defectos (inclusive),c) Entre el 5 y el 10% de defectos (inclusive), definitivamente no conseguirá un nuevo proveedor.-definitivamente no conseguirá un nuevo proveedor.- d) Menos del 5 % de defectos, incrementará susd) Menos del 5 % de defectos, incrementará sus pedidos.-pedidos.- ¿ Cual decisión es más probable que tome Rosales¿ Cual decisión es más probable que tome Rosales SRL?.-SRL?.-
  • 90. Debido a que el tamaño de la población no se suministra,Debido a que el tamaño de la población no se suministra, se asume que Rosales SRL compra muchos componentesse asume que Rosales SRL compra muchos componentes y el tamaño de la muestra de n = 200 es menor que 0,05 Ny el tamaño de la muestra de n = 200 es menor que 0,05 N y por lo tanto no se necesita el factor de corrección paray por lo tanto no se necesita el factor de corrección para poblaciones finitas.-poblaciones finitas.- σσpp == a) P (a) P (p > 0,12) = 0,1711p > 0,12) = 0,1711 b) P ( 0,10 ≤b) P ( 0,10 ≤ p ≤ 0,12) = 0,3289p ≤ 0,12) = 0,3289 c) P ( 0,05c) P ( 0,05 ≤≤ p ≤p ≤ 0,10) = 0,49130,10) = 0,4913 d) P (d) P ( p < 0,05) = 0,0087p < 0,05) = 0,0087 Como la parte c) tiene la probabilidad más alta. RosalesComo la parte c) tiene la probabilidad más alta. Rosales SRL se quedará con su proveedor actual.-SRL se quedará con su proveedor actual.- 0,1 0,90,1 0,9 200200 = 0,021= 0,021
  • 91. EJEMPLO 4.- En una encuesta se pregunto a 500EJEMPLO 4.- En una encuesta se pregunto a 500 madres y padres acerca de la importancia de losmadres y padres acerca de la importancia de los deportes para muchachos y chicas.- De los padresdeportes para muchachos y chicas.- De los padres entrevistados, 60% estaba de acuerdo en que losentrevistados, 60% estaba de acuerdo en que los géneros son iguales y debían tener las mismasgéneros son iguales y debían tener las mismas oportunidades para participar en los deportes.-oportunidades para participar en los deportes.- Describa la distribución muestral de la proporción P deDescriba la distribución muestral de la proporción P de padres que están de acuerdo en que los géneros sonpadres que están de acuerdo en que los géneros son iguales y deberían tener las mismas oportunidades.-iguales y deberían tener las mismas oportunidades.- Suponga que la proporción P de padres e la poblaciónSuponga que la proporción P de padres e la población es en realidad 0.55.- ¿Cuál es la probabilidad dees en realidad 0.55.- ¿Cuál es la probabilidad de observar una proporción muestral tan grande como oobservar una proporción muestral tan grande como o mayor que el valor observadomayor que el valor observado p = 0.60?.-p = 0.60?.-
  • 93. TIPOS DE METODOS DE MUESTREOTIPOS DE METODOS DE MUESTREO El proceso de muestreo comienza con localización deEl proceso de muestreo comienza con localización de las fuentes adecuadas de datos, como listados delas fuentes adecuadas de datos, como listados de población, registros, directorios y otras fuentespoblación, registros, directorios y otras fuentes llamadasllamadas MARCOSMARCOS.-.- Las muestras se extraen de estosLas muestras se extraen de estos marcos.- Si el marco es inadecuado debido a que ciertosmarcos.- Si el marco es inadecuado debido a que ciertos grupos de individuos o de objetos en la población no segrupos de individuos o de objetos en la población no se incluyeron de manera apropiada, entonces las muestrasincluyeron de manera apropiada, entonces las muestras serán inexactas y sesgadas.-serán inexactas y sesgadas.- Recordemos que las razones para obtener unaRecordemos que las razones para obtener una muestra son:muestra son: 1.- Una muestra requiere menos tiempos que un censo.-1.- Una muestra requiere menos tiempos que un censo.- 2.- Cuesta menos administrar una muestra que un censo.-2.- Cuesta menos administrar una muestra que un censo.- 3.- Administrar una muestra es menos tedioso y más practico que3.- Administrar una muestra es menos tedioso y más practico que administrar el censo de una población estadística determinada.-administrar el censo de una población estadística determinada.-
  • 94. Tipos de muestras utilizadasTipos de muestras utilizadas No ProbabilísticasNo Probabilísticas ProbabilísticasProbabilísticas Muestra subjetivaMuestra subjetiva Muestra por cuotaMuestra por cuota Por grupo naturalesPor grupo naturales Aleatoria simpleAleatoria simple SistemáticaSistemática EstratificadaEstratificada PorPor conglomeradosconglomerados
  • 95. Una muestra aleatoria simple, es aquella en la cual cadaUna muestra aleatoria simple, es aquella en la cual cada individuo o elemento de una población tiene la mismaindividuo o elemento de una población tiene la misma oportunidad de ser elegido.- Además, cada muestra deoportunidad de ser elegido.- Además, cada muestra de un tamaño fijo tiene la misma probabilidad de serun tamaño fijo tiene la misma probabilidad de ser elegida, que cualquier otra muestra del mismo tamaño.-elegida, que cualquier otra muestra del mismo tamaño.- El muestreo aleatorio simple, es la técnica de muestreoEl muestreo aleatorio simple, es la técnica de muestreo aleatorio más elemental y constituye la base para otrasaleatorio más elemental y constituye la base para otras técnicas.-técnicas.- En el muestreo aleatorio simple, se usa n paraEn el muestreo aleatorio simple, se usa n para representar el tamaño de la muestra y N para representarrepresentar el tamaño de la muestra y N para representar el tamaño de la población.- Cada persona o elemento enel tamaño de la población.- Cada persona o elemento en el marco se enumera de 1 a N.-el marco se enumera de 1 a N.- La probabilidad de seleccionar a cualquier miembro enLa probabilidad de seleccionar a cualquier miembro en particular de la población la primera vez es igual a 1/N.-particular de la población la primera vez es igual a 1/N.- MUESTRA ALEATORIA SIMPLE.-
  • 96. Existen dos métodos básicos para seleccionar muestras:Existen dos métodos básicos para seleccionar muestras: ConCon reemplazoreemplazo ConCon reemplazoreemplazo SinSin reemplazoreemplazo SinSin reemplazoreemplazo
  • 97. ElEl muestreo con reemplazomuestreo con reemplazo , implica que una vez, implica que una vez seleccionada una persona o elemento, se regresa alseleccionada una persona o elemento, se regresa al marco donde tiene la misma probabilidad de ser elegidamarco donde tiene la misma probabilidad de ser elegida de nuevo.- Imagine que tiene una urna con 500 tarjetas dede nuevo.- Imagine que tiene una urna con 500 tarjetas de presentación.- Suponga que en el primer sorteo sale lapresentación.- Suponga que en el primer sorteo sale la ficha de Juan Llanos.- La información pertinente seficha de Juan Llanos.- La información pertinente se registra y se regresa la tarjeta a la urna.- Después seregistra y se regresa la tarjeta a la urna.- Después se mezclan bien las tarjetas y se saca una segunda tarjeta,.mezclan bien las tarjetas y se saca una segunda tarjeta,. En esta segunda extracción Juan Llanos, tiene la mismaEn esta segunda extracción Juan Llanos, tiene la misma probabilidad de salir 1/N, de ser elegida de nuevo.- Seprobabilidad de salir 1/N, de ser elegida de nuevo.- Se repite el procedimiento hasta alcanzar el tamaño muestrarepite el procedimiento hasta alcanzar el tamaño muestra n deseado.- Sin embargo, suele considerarse másn deseado.- Sin embargo, suele considerarse más adecuado tener una muestra de personas o elementosadecuado tener una muestra de personas o elementos diferentes en lugar de permitir la repetición dediferentes en lugar de permitir la repetición de mediciones de la misma persona o elemento.-mediciones de la misma persona o elemento.-
  • 98. En elEn el muestreo sin reemplazomuestreo sin reemplazo, no se regresa la, no se regresa la persona o elemento al marco una vez seleccionado y porpersona o elemento al marco una vez seleccionado y por lo tanto, no puede elegirse otra vez.- Como antes, en ello tanto, no puede elegirse otra vez.- Como antes, en el muestreo sin reemplazo la probabilidad de que algúnmuestreo sin reemplazo la probabilidad de que algún miembro específico de la población, por ejemplo Juanmiembro específico de la población, por ejemplo Juan Llanos, sea elegido en el primer intento es 1/N.- LaLlanos, sea elegido en el primer intento es 1/N.- La probabilidad de que, cualquier individuo noprobabilidad de que, cualquier individuo no seleccionado, salga elegido en el segundo intento será 1 /seleccionado, salga elegido en el segundo intento será 1 / N-1.- Este proceso continua hasta alcanzar el tamaño deN-1.- Este proceso continua hasta alcanzar el tamaño de muestra n deseado.-muestra n deseado.- Sin importar si el muestreo es con o sin reemplazo,Sin importar si el muestreo es con o sin reemplazo, los métodos de urna para elegir una muestra tienenlos métodos de urna para elegir una muestra tienen un gran inconveniente: la habilidad para revolverun gran inconveniente: la habilidad para revolver perfectamente las tarjetas y elegir la muestra enperfectamente las tarjetas y elegir la muestra en forma aleatoria.- Como resultado, los métodos deforma aleatoria.- Como resultado, los métodos de urna no son muy útiles.- Son preferibles otrosurna no son muy útiles.- Son preferibles otros métodos de selección con menos problemas ymétodos de selección con menos problemas y mejor base científica.-mejor base científica.-
  • 99. Uno de estos métodos utiliza unaUno de estos métodos utiliza una TABLA DETABLA DE NUMEROS ALEATORIOSNUMEROS ALEATORIOS, para obtener la, para obtener la muestra.- Una tabla de números aleatorios estamuestra.- Una tabla de números aleatorios esta formada por una serie de dígitos que se generanformada por una serie de dígitos que se generan en forma aleatoria y se colocan en la secuenciaen forma aleatoria y se colocan en la secuencia en que se generaron.- Hay muchas tablas deen que se generaron.- Hay muchas tablas de números aleatorios, como la que veremos ennúmeros aleatorios, como la que veremos en práctica.- De hecho, lo normal es que lospráctica.- De hecho, lo normal es que los investigadores antes de usar una tabla deinvestigadores antes de usar una tabla de números aleatorio verifiquen la aleatoriedad denúmeros aleatorio verifiquen la aleatoriedad de los dígitos generados antes de emplearlos.-los dígitos generados antes de emplearlos.- Debido a que cada dígito o secuencia de dígitosDebido a que cada dígito o secuencia de dígitos de la tabla es aleatorio, se puede leer en sentidode la tabla es aleatorio, se puede leer en sentido horizontal o vertical.-horizontal o vertical.-
  • 100. Para usar una tabla como la que vemos en práctica enPara usar una tabla como la que vemos en práctica en lugar de una urna para seleccionar una muestra,lugar de una urna para seleccionar una muestra, primero debemos asignar números de códigos a losprimero debemos asignar números de códigos a los miembros individuales de la población.- Entonces semiembros individuales de la población.- Entonces se obtiene la muestra aleatoria leyendo la tabla yobtiene la muestra aleatoria leyendo la tabla y seleccionando los elementos del marco de poblaciónseleccionando los elementos del marco de población cuyos números de código coinciden con los dígitoscuyos números de código coinciden con los dígitos encontrados en la tabla.-encontrados en la tabla.- Para entender mejor, hagamosPara entender mejor, hagamos un ejemplo con el curso.-un ejemplo con el curso.- Hoy gracias a los avances de los paquetes estadísticosHoy gracias a los avances de los paquetes estadísticos de PC, las tablas se usan menos.- Los programas tienende PC, las tablas se usan menos.- Los programas tienen una secuencia para generar los números aleatorios queuna secuencia para generar los números aleatorios que se necesita.-se necesita.-
  • 102. En una muestra sistemática, se dividen N individuos oEn una muestra sistemática, se dividen N individuos o elementos del marco poblacional en k grupos, dividiendoelementos del marco poblacional en k grupos, dividiendo el tamaño de la población N entre el tamaño de la muestrael tamaño de la población N entre el tamaño de la muestra deseado n.- Es decir, k = N / n donde k sedeseado n.- Es decir, k = N / n donde k se redondea al entero más cercano.-redondea al entero más cercano.- Para obtener una muestra sistemática, el primer individuoPara obtener una muestra sistemática, el primer individuo o elemento se selecciona al azar entre los k individuos oo elemento se selecciona al azar entre los k individuos o elementos del primer grupo del marco de población y,elementos del primer grupo del marco de población y, para el resto de la muestra se elige un individuo opara el resto de la muestra se elige un individuo o elemento cada k en la lista completa de la población.-elemento cada k en la lista completa de la población.- Cuando el marco de población consiste en listadosCuando el marco de población consiste en listados predeterminados es más rápido y fácil obtener unapredeterminados es más rápido y fácil obtener una muestra sistemática que una muestra aleatoria simple.-muestra sistemática que una muestra aleatoria simple.- En estas situaciones la muestra sistemática es unEn estas situaciones la muestra sistemática es un mecanismo conveniente para obtener los datosmecanismo conveniente para obtener los datos deseados.-deseados.- MUESTRA SISTEMATICA.-MUESTRA SISTEMATICA.-
  • 103. Aunque su aplicación es más sencilla, en general los métodos deAunque su aplicación es más sencilla, en general los métodos de muestreo aleatorio simple y de muestreo sistemático son menosmuestreo aleatorio simple y de muestreo sistemático son menos eficientes que otros métodos de muestreo probabilístico máseficientes que otros métodos de muestreo probabilístico más elaborado.- Es decir, para cualquier muestra que se adquiereelaborado.- Es decir, para cualquier muestra que se adquiere mediante muestra aleatorias simple o muestreo sistemático, losmediante muestra aleatorias simple o muestreo sistemático, los datos obtenidos pueden o no ser buena representación de lasdatos obtenidos pueden o no ser buena representación de las características fundamentales (parámetros) de la población.-características fundamentales (parámetros) de la población.- Aunque la mayor parte de las muestras aleatorias simples sonAunque la mayor parte de las muestras aleatorias simples son representativas de la población correspondiente, no es posible saberrepresentativas de la población correspondiente, no es posible saber si una muestra en particular es, de hecho representativa.-.-si una muestra en particular es, de hecho representativa.-.- Se presentan posibilidades todavía mayores de un sesgo en laSe presentan posibilidades todavía mayores de un sesgo en la selección y una falta de representatividad de las características de laselección y una falta de representatividad de las características de la población, en el muestreo sistemático.- Si existiera un padrón en elpoblación, en el muestreo sistemático.- Si existiera un padrón en el listado del marco de población, podría ocurrir errores de selecciónlistado del marco de población, podría ocurrir errores de selección importantes.- Para evitar el problema potencial de laimportantes.- Para evitar el problema potencial de la representatividad desproporcionada de grupos específicos en unarepresentatividad desproporcionada de grupos específicos en una muestra, se pueden usar los métodos de muestreo estratificado omuestra, se pueden usar los métodos de muestreo estratificado o muestreo conglomerado.-muestreo conglomerado.-
  • 104. En una muestra estratificada, primero se dividen los N individuos oEn una muestra estratificada, primero se dividen los N individuos o elementos de la población en sub poblaciones separadas, o estratos,elementos de la población en sub poblaciones separadas, o estratos, de acuerdo con algunas característica común.- Se realiza unde acuerdo con algunas característica común.- Se realiza un muestreo aleatorio simple en cada estrato y después se combinanmuestreo aleatorio simple en cada estrato y después se combinan los resultados de las muestras aleatorias simple.-los resultados de las muestras aleatorias simple.- Estos métodos de muestreo son más eficientesEstos métodos de muestreo son más eficientes que el muestreo aleatorio simple o el sistemático,que el muestreo aleatorio simple o el sistemático, porque garantizan la representación deporque garantizan la representación de individuos o elementos de toda la población, loindividuos o elementos de toda la población, lo que asegura una mayor precisión en lasque asegura una mayor precisión en las estimaciones de los parámetros poblacionalesestimaciones de los parámetros poblacionales fundamentales.- Lo que proporciona la presición,fundamentales.- Lo que proporciona la presición, una vez combinados los estratos, es launa vez combinados los estratos, es la homogeneidad de individuos o elementos dentrohomogeneidad de individuos o elementos dentro de cada estrato.-de cada estrato.- MUESTRA ESTRATIFICADA.-MUESTRA ESTRATIFICADA.-
  • 105. MUESTRA CONGLOMERADA.-MUESTRA CONGLOMERADA.- En una muestra conglomerada, se divide los N individuos oEn una muestra conglomerada, se divide los N individuos o elementos de la población en varios conglomerados, de manera queelementos de la población en varios conglomerados, de manera que cada conglomerado sea representativo de la población completa.-cada conglomerado sea representativo de la población completa.- Después, se obtiene una muestra aleatoria de los conglomerados yDespués, se obtiene una muestra aleatoria de los conglomerados y se estudian todos los individuos o elementos dentro de cadase estudian todos los individuos o elementos dentro de cada conglomerado seleccionado.- Los conglomerados pueden serconglomerado seleccionado.- Los conglomerados pueden ser asignaciones naturales, como departamentos, ciudades, manzanas,asignaciones naturales, como departamentos, ciudades, manzanas, familias o edificio de departamento, etc.-familias o edificio de departamento, etc.- Los métodos de muestreo conglomerados pueden ser más eficientes (con relación a su costo) que los métodos de muestreo aleatorio simple, sobre todo si la población en cuestión se encuentra esparcida en una vasta región geográfica.- Sin embargo, los métodos de muestreo conglomerado tienden a ser menos eficientes que los métodos de muestreo aleatorio simple o de muestreo estratificado, y necesitan una muestra total más grande para obtener resultados tan precisos como los que se obtienen con los procedimientos más eficientes.-
  • 106. EVALUACION DEL VALOR DE UNAEVALUACION DEL VALOR DE UNA ENCUESTA.-ENCUESTA.- Casi todos los días leemos o escuchamos hablar de resultados deCasi todos los días leemos o escuchamos hablar de resultados de una encuesta.- Es evidente que los avances tecnológicos de lasuna encuesta.- Es evidente que los avances tecnológicos de las comunicaciones han provocado una gran proliferación decomunicaciones han provocado una gran proliferación de investigaciones mediante encuestas, sin embargo, no todas soninvestigaciones mediante encuestas, sin embargo, no todas son aceptables significativas e importantes.-aceptables significativas e importantes.- Para evitar encuestas carentes de objetividad oPara evitar encuestas carentes de objetividad o credibilidad, debe evaluarse con sentido críticocredibilidad, debe evaluarse con sentido crítico todo lo que se lee y escucha, además debetodo lo que se lee y escucha, además debe examinarse el valor de la encuesta.- En primerexaminarse el valor de la encuesta.- En primer lugar se evalúa el propósito de la encuesta, porlugar se evalúa el propósito de la encuesta, por que y para quién se realiza.-que y para quién se realiza.- En segundo lugar, se debe evaluar si esta basadaEn segundo lugar, se debe evaluar si esta basada en una muestra probabilística o no.- Recuerde queen una muestra probabilística o no.- Recuerde que el único medio disponible para hacer inferenciael único medio disponible para hacer inferencia estadística correcta a partir de una muestra es queestadística correcta a partir de una muestra es que esta sea probabilística.-esta sea probabilística.-
  • 107. Las encuestas que emplean métodos no probabilísticos estánLas encuestas que emplean métodos no probabilísticos están sujetas a errores importante, quizás no intencionales, que puedensujetas a errores importante, quizás no intencionales, que pueden generar resultados sin sentido.-generar resultados sin sentido.- ERRORES EN LASERRORES EN LAS ENCUESTASENCUESTAS Aún cuando en las encuestas se utilicenAún cuando en las encuestas se utilicen métodos de muestreo probabilístico estánmétodos de muestreo probabilístico están sujetos a errores potenciales.-sujetos a errores potenciales.- Hay cuatro tipos de errores de encuestas.-Hay cuatro tipos de errores de encuestas.- Con las encuestas correcta se diseñanCon las encuestas correcta se diseñan modelos para reducir o disminuir losmodelos para reducir o disminuir los diferentes errores de las encuestas, losdiferentes errores de las encuestas, los cuales suelen tener un costo considerablecuales suelen tener un costo considerable ERRORES EN LASERRORES EN LAS ENCUESTASENCUESTAS Aún cuando en las encuestas se utilicenAún cuando en las encuestas se utilicen métodos de muestreo probabilístico estánmétodos de muestreo probabilístico están sujetos a errores potenciales.-sujetos a errores potenciales.- Hay cuatro tipos de errores de encuestas.-Hay cuatro tipos de errores de encuestas.- Con las encuestas correcta se diseñanCon las encuestas correcta se diseñan modelos para reducir o disminuir losmodelos para reducir o disminuir los diferentes errores de las encuestas, losdiferentes errores de las encuestas, los cuales suelen tener un costo considerablecuales suelen tener un costo considerable