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JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN
ÁLGEBRA JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ
JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN
JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁNHUAMÁNHUAMÁNHUAMÁN
DIVISIÓN ALGEBRAICA
1111
TEOREMA DEL RESTO O DE
DESCARTES
Este teorema tiene por objetivo determinar el resto
en una división, sin efectuar la división.
ENUNCIADO.- El resto de dividir un polinomio ra-
cional y entero en “x” entre un binomio de la forma
“ax ± b” es igual al valor numérico que adquiere di-
cho polinomio cuando se reemplaza en él, x por b/a.
DEMOSTRACIÓN
En forma general, definamos:
Dividendo : P(x), racional y entero
Divisor : ax ± b
Cociente : q(x)
a
Resto : R = P (ϯ ––)b
Toda división es de la forma:
D = dq + R
D = dividendo
d = divisor
q = cociente
R = resto
Reemplazando por sus equivalentes:
P(x) ≡ (ax ± b) q(x) + R (1)
b
Si definimos x como: x = ϯ ––
a
y reemplazamos en (1):
b b bP(ϯ ––)=[a(ϯ––) ϯ b]q(ϯ ––)+ R
a a a
b bP(ϯ ––)=(ϯ b ± b). q(ϯ ––)+ R
a a
El primer factor del segundo es cero, luego:
b
P(ϯ ––)= R
a
o finalmente:
b
R = P(ϯ ––)a
REGLA PRÁCTICA PARA HALLAR EL
RESTO
1º Se iguala el divisor a cero:
ax ± b = 0
2º Se despeja “x”:
b
x = ϯ ––
a
3º Se reemplaza en el polinomio dividendo “x” por.
b
x = ϯ ––
a
b
∴ R = P(ϯ ––)a
Ejemplo:
Hallar el resto de las siguientes divisiones:
(x - 3)64
+ (x - 3)40
+ (x - 1)16
- 164
i) ––––––––––––––––––––––––––––––
x - 3
Solución:
• x - 3 = 0
• x = 3
Sustituyendo
• R = P(3) = (3-3)64
+ (3-3)40
+ (3-1)16
- 164
R = 0 + 0 + 216
- 164
R = 216
- (24
)4
= 216
- 216
= 0
∴ R = 0
6x4
+ x3
- 19x2
+ 14x - 15
ii) –––––––––––––––––––––––
2x - 3
1º 2x - 3 = 0
32º x = ––
2
Sustituyendo
3 3 4
3 3
3 2
3º R = P(––)= 6(––)+ (––)- 19(––)2 2 2 2
3+ 14(––)- 15
2
JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN
ÁLGEBRA JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ
JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN
JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁNHUAMÁNHUAMÁNHUAMÁN
DIVISIÓN ALGEBRAICA
2222
243 27 171R = –––– + ––– - –––– + 21 - 15
8 8 4
simplificando: R = -3
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Hallar el resto de la división:
nxn
+ (n-1)xn-1
+ (n-2)xn-2
- 3n + 16
–––––––––––––––––––––––––––––––––
x - 1
Solución:
De acuerdo con la regla práctica:
• x - 1 = 0
• x = 1
Sustituyendo:
• R = n(1)n
+ (n - 1)(1)n-1
+ (n - 2)(1)n-2
- 3n + 16
R = n + n-1 + n-2 - 3n + 16
simplificando: R = 13
2.- Hallar el resto de la división:
(x + a)7
- (x7
+ a7
)
––––––––––––––––
x + 2a
Solución:
Utilizando la regla práctica:
• x + 2a = 0
• x = -2a
Sustituyendo
• R = (-2a + a)7
- [(-2a)7
+ a7
]
R = (-a)7
- (-128a7
+ a7
) = (-a)7
- (-127a7
)
R = -a7
+ 127a7
R = 126a7
3.- Hallar el resto en:
(x + y)2
+ (x + y)(2z - 1) + z(z - 1)
––––––––––––––––––––––––––––––
x + y + z - 3
Solución:
Utilizando la regla práctica:
• x + y + z-3 = 0
• x = 3 - y - z
• R = (3 - y - z + y)2
+ (3 - y - z + y) (2z - 1)
+ z(z - 1)
Efectuando operaciones y simplificando:
R = (3 - z)2
+ (3 - z) (2z - 1) + z(z - 1)
R = 6
4.- Hallar el resto en:
(5x4
+ 7x2
+ 5)2
+ (5x4
+ 7x2
+ 7)3
+ 8
–––––––––––––––––––––––––––––––––
5x4
+ 7x2
+ 8
Solución:
Efectuemos el siguiente cambio de variable:
5x4
+ 7x2
= y
Reemplazando, se obtiene la división equivalente:
(y + 5)2
+ (y + 7)3
+ 8
––––––––––––––––––––
y + 8
Utilizando la regla práctica:
• y + 8 = 0
• y = -8
• R = (-8 + 5)2
+ (-8 + 7)3
+ 8 = 9 - 1 + 8 = 0
R = 16
5.- Hallar el resto en:
(x - 1)4n
(x3
+ 8)3
(x - 4)3
––––––––––––––––––––––
x2
- 2x + 2
Solución:
Efectuando operaciones en el dividendo:
(x - 1)4n
(x3
+ 8)3
(x - 4)3
= [(x - 1)2
]2n
[(x + 2)(x2
- 2x + 4)]3
(x - 4)3
= (x2
- 2x + 1)2n
(x + 2)3
(x2
- 2x + 4)3
(x - 4)3
α
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DIVISIÓN ALGEBRAICA
3333
Ordenando:
= (x2
- 2x + 1)2n
(x2
- 2x + 4)3
[(x + 2)(x - 4)]3
= (x2
- 2x + 1)2n
(x2
- 2x + 4)3
[x2
- 2x - 8]3
Sustituyendo este equivalente en el numerador:
(x2
- 2x + 1)2n
(x2
- 2x + 4)3
(x2
- 2x - 8)3
––––––––––––––––––––––––––––––––––
x2
- 2x + 2
y, haciendo: x2
- 2x = y:
resulta en:
(y + 1)2n
(y + 4)3
(y - 8)3
–––––––––––––––––––––
y + 2
Para hallar el resto se aplica la regla práctica:
• y + 2 = 0
• y = -2
• R = (-2 + 1)2n
(-2 + 4)3
(-2 - 8)3
= (1)(2)3
(-10)3
R = -8 000
6.- Hallar el resto en la división:
[3 + (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)]4
–––––––––––––––––––––––––––––––––
x(x + 5) + 5
Solución:
Efectuando operaciones en el dividendo:
[3 + (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)]4
–––––––––––––––––––––––––––––––––
x(x + 5) + 5
{3 + (x2
+ 5x + 4) (x2
+ 5x + 6)}4
–––––––––––––––––––––––––––––––––
x2
+ 5x + 5
haciendo: x2
+ 5x = y
[3 + (y + 4)(y + 6)]4
–––––––––––––––––––
y + 5
Para hallar el resto se aplica la regla práctica:
• y + 5 = 0
• y = -5
• R = [3 + (-5 + 4)(-5 + 6)]4
R = 16
7.- Hallar el resto en:
a3
b3
+ a3
c3
+ b3
c3
- 3a2
b2
c2
–––––––––––––––––––––––
ab + ac + bc
Solución:
Agrupando convenientemente en el numerador:
(ab)3
+ (ac)3
+ (bc)3
- 3(ab)(ac)(bc)
––––––––––––––––––––––––––––––
ab + ac + bc
Considerando que la variable es el producto ab,
se calcula el resto por la regla práctica:
• ab + ac + bc = 0
• ab = -ac - bc = -(ac + bc)
• R =[-(ac + bc)]3
+ (ac)3
+ (bc)3
- 3[-(ac + bc)](ac)(bc)
R = -(ac + bc)3
+(ac)3
+(bc)3
+ 3(ac + bc)(ac)(bc)
R = - (ac)3
- 3(ac)2
(bc) - 3(ac)(bc)2
- (bc)3
+(ac)3
+(bc)3
+3(ac)2
(bc) + 3(ac)(bc)2
reduciendo términos semejantes:
R = 0
8.- Hallar el resto en:
a - b a b (a + b)(a2
- b2
)
(––––)x2
- –– x - –– x + ––––––––––––
2ab b a 2ab
––––––––––––––––––––––––––––––––––––
(a + b)2
x - ––––––
a - b
Solución:
Aplicando la regla práctica del resto:
(a + b)2
x - –––––––– = 0
a - b
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ÁLGEBRA JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ
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DIVISIÓN ALGEBRAICA
4444
(a + b)2
x = ––––––––
a - b
a - b (a + b)2 2
a (a + b)2
R =
(–––––
)[––––––
] - –– ––––––
2ab a - b b (a - b)
b (a + b)2
(a + b)(a2
- b2
)
- –– –––––– + –––––––––––––
a (a - b) 2ab
Simplificando y agrupando:
(a + b)4
(a + b)2
a b
R = ––––––––– - –––––––
[–– + ––
]2ab(a - b) a - b b a
(a + b)(a2
- b2
)
+ –––––––––––––
2ab
Efectuando el corchete y multiplicando numerador
y denominador por 2:
(a + b)4
2(a + b)2
(a2
+ b2
)
R = ––––––––– - –––––––––––––––
2ab(a - b) 2ab(a - b)
(a + b)(a + b)(a - b)(a - b)
+ –––––––––––––––––––––––
2ab(a - b)
(a + b)4
- 2(a + b)2
(a2
+ b2
) + (a + b)2
(a - b)2
R = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2ab(a - b)
Sacando el factor común (a + b)2
:
(a + b)2
[(a + b)2
- 2(a2
+ b2
) + (a - b)2
]
R = –––––––––––––––––––––––––––––––––
2ab(a - b)
Aplicando Legendre a los términos señalados:
(a + b)2
[2(a2
+ b2
) - 2(a2
+ b2
)]
R = ––––––––––––––––––––––––––––
2ab(a - b)
(a + b)2
[0]
R = –––––––––––
2(ab)(a - b)
R = 0
9.- Hallar el resto en:
(x - 1)n + 2
+ x2n + 1
–––––––––––––––––––––
x2
- x + 1
Solución:
Aplicando la regla práctica del resto:
• x2
- x + 1 = 0
• x2
= x - 1
Reemplazando en el denominador esta equivalencia:
D = (x - 1)n+2
+ (x-1)n
. x
sacando factor común (x - 1)n
:
D = (x - 1)n
[(x - 1)2
+ x]
D = (x - 1)n
[x2
- 2x + 1 + x] = (x - 1)n
[x2
- x + 1]
Sustituyendo:
x2
= x - 1
se tiene:
• R = (x - 1)n
(x - 1 - x + 1) = (x - 1)n
(0) = 0
R = 0
10.- Hallar el resto de la división:
(x + y)4m
- (x - y)4m
–––––––––––––––––––
(8xy) (x2
+ y2
)
Solución:
Transformando el divisor mediante la aplicación
de productos notables e identidades:
8xy(x2
+ y2
) = [4xy][2(x2
+ y2
)]
= [(x + y)2
- (x - y)2
] [(x + y)2
+ (x - y)2
]
= (x + y)4
- (x - y)4
Haciendo: (x + y)4
= a, (x - y)4
= b, se obtiene:
am
- bm
–––––––––
a - b
Para hallar el resto se sigue la regla práctica:
• a - b = 0
• a = b
• R = am
- am
R = 0
α
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JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN
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DIVISIÓN ALGEBRAICA
5555
11.- Calcular “m” y “n” si la división:
xm
(x - a)3m
- 256(3a - x)2n
––––––––––––––––––––––––––
x - 2a
es exacta.
Solución:
Cálculo del resto, siguiendo la regla práctica:
• x - 2a = 0
• x = 2a
• R = (2a)m
(2a -a)3m
- 256(3a - 2a)2n
Según enunciado:
(2a)m
(2a -a)3m
- 256(3a - 2a)2n
= 0
efectuando:
2m
. am
. a3m
= 256a2n
2m
a4m
= 28
a2n
Identificando factores con bases iguales:
2m
= 28
⇒ m = 8
a4m
= a2n
⇒ 4m = 2n
n = 2m
n = 2(8) = 16
Rpta.: m = 8
n = 16
12.- Hallar “m” si la división no deja resto:
x8
+ (y2
- z2
)2
- mx4
(y2
+ z2
)
––––––––––––––––––––––––––
x2
- y - z
Solución:
Calcularemos del resto, siguiendo la regla práctica:
• x2
- y - z = 0
• x2
= y + z
• R = (y + z)4
+ (y2
- z2
)2
- m(y + z)2
(y2
+ z2
)
Por enunciado:
(y + z)4
+ (y2
- z2
)2
- m(y + z)2
(y2
+ z2
) = 0
Por enunciado:
(y + z)4
+ (y + z)2
(y - z)2
= m(y + z)2
(y2
+ z2
)
(y + z)4
[(y + z)2
+ (y - z)2
] = m(y + z)2
(y2
+ z2
)
simplificando y aplicando Legendre:
2(y2
+ z2
) = m(y2
+ z2
)
de donde: m = 2
13.- Hallar “m” si la división deja por resto 49a7
.
(x + 3a)7
- (x7
+ ma7
)
–––––––––––––––––––––
x + 2a
Solución:
Cálculo del resto, siguiendo la regla práctica:
• x + 2a = 0
• x = -2a
• R = (-2a + 3a)7
- [(-2a)7
+ ma7
]
Por condición del problema:
(-2a + 3a)7
- [(-2a)7
+ ma7
] = 49a7
de donde:
a7
- (-128a7
+ ma7
) = 49a7
a7
+128a7
- ma7
= 49a7
operando: m = 80
14.- Calcular “m” si la división es exacta:
m(x + y + z)3
- (x + y)3
- (x + z)3
- (x + z)3
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
x + y + 2z
Solución:
Cálculo del resto:
• x + y + 2z = 0
• x = -y - 2z
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DIVISIÓN ALGEBRAICA
6666
• R = m(-y -2z + y + z)3
- (-y - 2z + y)3
- (y + z)3
- (-y - 2z + z)3
Por condición del problema: R = 0 igualando a
cero y operando:
m(-z)3
- (-2z)3
- (y + z)3
-[-(y + z)]3
= 0
-mz3
+ 8z3
- (y + z)3
+ (y + z)3
= 0
8z3
= mz3
m = 8
15.- Hallar “m” para que el polinomio:
x3
+ x2
- 3mx + 5
al dividirlo entre (x - 1) de como resto el doble
del resto de dividir dicho polinomio entre (x - 2).
Solución:
Cálculo de R1
(resto de la primera división):
• x - 1 = 0
• x = 1
• R1
= (1)3
+ (1)2
- 3m(1) + 5
R1
= 7 - 3m
Cálculo de R2
(resto de dividir entre x - 2):
• x - 2 = 0
• x = 2
• R2
= (2)3
+ (2)2
- 3m(2) + 5 = 8 + 4 - 6m + 5
R2
= 17 - 6m
Condición del problema:
R1
= 2R2
reemplazando:
7 - 3m = 2(17 - 6m)
efectuando: m = 3
16.- Hallar el valor de:
E = 2m + 5n
si el resto de la división:
mx8
+ nx6
- 3x5
- 1
––––––––––––––––––
x3
+ 1
es igual a 8x2
- 5
Solución:
Cálculo del resto:
• x3
+ 1 = 0
• x3
= -1
El polinomio dividendo se puede escribir así:
m(x3
)2
x2
+ m(x3
)2
- 3(x3
)x2
- 1
luego el resto es:
• R = m(-1)2
x2
+ n(-1)2
- 3(-1)x2
- 1
operando:
R = (m + 3)x2
+ (n - 1)
este resto es idéntico al resto que el problema
indica; o sea:
(m + 3)x2
+ (n - 1) ≡ 8x2
- 5
identificando coeficientes:
m + 3 = 8 ⇒ m = 5
n - 1 = -5 ⇒ n = -4
∴ E = 2(5) + 5(-4) = 10 - 20 = -10
Rpta.: E = -10
17.- Hallar el valor de “m” si la división es exacta.
(2m+3) (x+y+z)2
- (y+z-x)3
+ m(z+x-y)3
- (x+y-z)3
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
xyz
Solución:
Cálculo del resto:
• haciendo xyz = 0
• x = 0
α
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ÁLGEBRA JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ
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DIVISIÓN ALGEBRAICA
7777
• R = (2m + 3)(y + z)3
- (y + z)3
+ m(y + z)3
- (y - z)3
= 0
agrupando e igualando a cero, por condición:
[(2m + 3)(y + z)3
- (y + z)3
]
+ {m [-(y - z)]3
- (y - z)3
} = 0
extrayendo factor común: (y + z)3
en el corchete
y, -(y - z)3
en la llave:
(y + z)3
(2m + 3 - 1) - (y - z)3
(m + 1) = 0
factorizando:
(m + 1) [2(y + z)3
- (y - z)3
] = 0
Igualando los factores a cero, basta con igualar a
cero el primer factor:
m + 1 = 0
m = -1
a
18.- Hallar el valor de E = –– si en la división:
b
(a - b)xn
+ (a - b)2
xn-1
+ (a - b)3
xn-2
–––––––––––––––––––––––––––––––––––
x - a + b
se obtiene como residuo : 3bn+1
Solución:
Cálculo del resto:
• x - a + b = 0
• x = a - b
• R = (a - b)(a - b)n
+ (a - b)2
(a - b)n-1
+ (a - b)3
(a - b)n-2
Pero, según el problema: R = 3bn+1
igualando y operando:
(a - b)n+1
+ (a - b)n+1
+ (a - b)n+1
= 3bn+1
3(a - b)n+1
= 3bn+1
entonces: a - b = b
a
–– = 2
b
∴ E = 2
19.- Calcular el valor de:
b2
E = ––––––––
a2
+ c2
si la división:
(a + b)x3
+ (b - c)x2
+ (b + c)x + (a - b)
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––
x2
+ h2
es exacta.
Solución:
Para hallar el resto:
• x2
+ h2
= 0
• x2
= -h2
El dividendo se puede escribir así:
(a + b)2
(x2
)(x) + (b - c)x2
+ (b + c)x + (a - b)
Luego, el resto será:
• R = (a + b)(-h2
)(x) + (b - c)(-h2
)
+ (b + c)x + (a - b)
Igualando a cero y operando:
-(a + b)h2
x + (b + c)x - (b - c)h2
+ (a - b) ≡ 0
[-(a + b)h2
+ (b + c)]x + [-(b - c)h2
+ (a - b)] ≡ 0
identificando coeficientes a cero:
• -(a + b)h2
+ (b + c) = 0
b + c
h2
= ––––– (α)
a + b
• -(b - c)h2
+ (a - b) = 0
a - b
h2
= ––––– (β)
b - c
igualando (α) = (β) :
b + c a - b
–––––– = ––––––
a + b b - c
Producto de medios igual a producto de extremos:
b2
- c2
= a2
- b2
2b2
= a2
+ c2
JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN
ÁLGEBRA JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ
JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN
JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁNHUAMÁNHUAMÁNHUAMÁN
DIVISIÓN ALGEBRAICA
8888
También:
a2
+ c2
2 = ––––––
b2
1
∴ E = ––
2
20.- Determinar “m” para que el polinomio:
x4
+ y4
+ z4
- m(x2
. y2
+ y2
. z2
+ x2
. z2
)
sea divisible entre x + y + z
Solución:
Cálculo del resto:
• x + y + z = 0 ∴
• x = -y - z
• R = {-(y + z)}4
+ y4
+ z4
-m[{-(y + z)}2
(y2
+ z2
)
+y2
. z2
]
Como es divisible, el resto es cero; igualando a
cero y operando:
(y + z)4
+ y4
+ z4
= m[(y + z)2
(y2
+ z2
) +y2
z2
]
[(y + z)2
]2
+ y4
+ z4
= m[(y2
+ 2yz + z2
)(y2
+ z2
)
+ y2
z2
]
(y2
+ 2yz + z2
)2
+ y4
+ z4
= m[y4
+ 2y3
z + 2y2
z2
+ 2yz3
+ z4
+ y2
z2
]
y4
+ 4y2
z2
+ z4
+ 4y3
z + 2y2
z2
+ 4yz3
+ y4
+ z4
= m[y4
+ z4
+ 2y3
z + 3y2
z2
+ 2yz3
]
2(y4
+ z4
+ 2y3
z + 3y2
z2
+ 2yz3
)
=m(y4
+ z4
+ 2y3
z + 3y2
z2
+ 2yz3
)
m = 2
Rpta.: m= 2
α
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Calcular el resto que se obtiene al dividir:
(x2
+ x + 1)2n
+ (x2
- x - 1)n
––––––––––––––––––––––––
(x2
-x)
siendo “n” un número impar positivo.
a) 1 - (2x + 1)n b) -2x + 1
c) 2x + 1 d) 0
e) -2x
2. Hallar el resto de:
xn+1
- (n + 1)x + n
–––––––––––––––––
(x + 1) (x - 1)
para n = número par positivo.
a) nx b) x c) 0
d) nx - n e) -nx + m
3. Sabiendo que el polinomio x4
+ ax2
+ b es divisi-
ble entre x2
+ bx + a, calcular el resto de la
división del polinomio entre ax + b.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4. Calcular el valor de “a” de tal manera que la
expresión:
xn
-axn-1
+ ax - 1
sea divisible por (x - 1)2
n n n - 2
a) ––––– b) ––––– c) ––––––
n + 2 n - 2 n
n + 2
d) ––––– e) n
n
5. Calcular el valor de “m” de manera que el poli-
nomio:
x3a+2
+ x3b+1
+ mx3c
sea divisible entre x2
+ x + 1
JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN
ÁLGEBRA JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ
JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN
JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁNHUAMÁNHUAMÁNHUAMÁN
DIVISIÓN ALGEBRAICA
9999
a) 2 b) 3 c) 4
d) 1 e) 7
6. Calcular m de manera que la división:
x4
(y + z)2
+ y4
(x + z)2
+ z4
(x + y)2
––––––––––––––––––––––––––––––––
x2
(y + z)x + yz
+ 2(xy + xz + yz)3
- mx2
y2
z2
––––––––––––––––––––––––
Se exacta:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
7. Hallar la diferencia m - n, si la división es exacta:
3x2
+ mxy + 4y2
+ 5y + ny
–––––––––––––––––––––––
x + y
a) 2 b) -2 c) 12
d) -12 e) 7
8. Si un polinomio P(x) se divide entre (x2
+ x + 1)
el resto es 3x + 2, si el cociente se divide entre
(x3
+ 7), el resto es 2x2
- x + 3. Hallar el resto de
la división de P(x) entre:
(x2
+ x + 1)(x3
+ 7)
Dar la suma de sus coeficientes.
a) 10 b) 14 c) 15
d) 17 e) 19
9. Si el siguiente polinomio:
(mx + 1)2
+ (m + x)2
+ mx
es divisible ente (x + 1). Calcular “m”.
a) 2 b) -2 c) 4
d) 5 e) 0
10. Calcular “m” si el resto de la división de:
x3
- mx2
+ 7x - 1 entre x - 2
es el triple del resto de dividir:
x2
- (m + 2)x - 11 entre x + 2
a) -3 b) 4 c) 5
d) 3 e) -4
11. Si el polinomio:
P(x) = 2x3
+ 3x2
- 32x + 15
se anula para x = -5 y x = 3. Calcular el otro valor
de x para el cual también se anula.
a) 162 b) -1/2 c) 1
d) -1 e) Ninguna
12. Hallar m + n si la siguiente división es exacta:
(m+1)x28
- (n+2)x22
+ mx15
- nx8
+ (2m - 2)x7
+ 1
entre (x7
+ 1)
a) 3 b) 4 c) 7
d) 1 e) -1
13. Hallar el resto al dividir:
P(x) = (x - 1)6
x3
(2 - x)3
entre (x2
- 2x -2)
a) +128 b) -128 c) -216
d) 216 e) 0
14 Al dividir un polinomio P(x) entre (x + a)4
se
obtuvo como residuo:
(x3
- 3a2
x + 2a3
)
Calcular el resto de dividir P(x) entre (x + a)2
a) x + a b) 4 c) xa2
+ 4a3
d) 4a3
e) x + 4a
15. Al dividir un polinomio P(x) entre (x - 3)2
deja
un residuo (x - 3). ¿Cuál es el resto de dividir el
cuadrado de P(x) entre (x - 3)?
JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN
ÁLGEBRA JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ
JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN
JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁNHUAMÁNHUAMÁNHUAMÁN
DIVISIÓN ALGEBRAICA
10101010
a) 3 b) 9 c) 0
d) -3 e ) 8
16. Al dividir un polinomio P(y) entre (y - 3) se
obtuvo un cociente Q(y) y un resto igual a - 2;
al dividir Q(y) entre (y + 2) se obtiene un resto
igual a 2. Calcular el término independiente del
residuo al dividir P(y) entre (y - 3)(y + 2).
a) -8 b) 8 c) 12
d) -12 e) 15
17. Hallar el término cuadrático de un polinomio P(x)
de cuarto grado, si se sabe que sus respectivos coe-
ficientes son números enteros consecutivos, se
sabe además que si se divide dicho polinomio
entre (x - 1) el resto es 35.
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
18. Si al dividir un polinomio P(x) entre x4
-1 se
obtuvo como residuo:
3x3
+ bx2
+ cx - 2
si se sabe además que el resto de dividir P(x)
entre (x2
- 1) es dos veces más que el resto de la
división de P(x) entre (x2
+ 1). Decir cuánto
vale: b + c.
a) -5 b) -3 c) 2
d) 3 e) 5
19. Hallar el residuo de:
[x
3
n+2
+ 3
3 n
]÷ [x 9
+ 3]
a) 3n
b) 3
3 n
+ 1 c) 3
3 n
- 1
d) 0 e) 1 - 3
n 3
20. Hallar el resto de dividir el polinomio:
(x - n) (x - p) (x - m)(x - p)
P (x) = –––––––––––– a + –––––––––––– b
(m - n)(m - p) (n - m)(n - p)
(x - m)(x - n)
+ ––––––––––––– c
(p - m)(p - n)
entre el divisor (x - m)(x - n)(x - p)
a) x2
+ x + 1 b) x c) x2
+ 1
d) x - 1 e) x2
- 1
α
1) E 2) C 3) C 4) B 5) D
CLAVE DE RESPUESTAS
6) B 7) C 8) E 9) A 10) D
11) A 12) D 13) C 14) D 15) C
16) A 17) C 18) E 19) D 20) B

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Division algebraica # 02

  • 1. JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN ÁLGEBRA JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁNHUAMÁNHUAMÁNHUAMÁN DIVISIÓN ALGEBRAICA 1111 TEOREMA DEL RESTO O DE DESCARTES Este teorema tiene por objetivo determinar el resto en una división, sin efectuar la división. ENUNCIADO.- El resto de dividir un polinomio ra- cional y entero en “x” entre un binomio de la forma “ax ± b” es igual al valor numérico que adquiere di- cho polinomio cuando se reemplaza en él, x por b/a. DEMOSTRACIÓN En forma general, definamos: Dividendo : P(x), racional y entero Divisor : ax ± b Cociente : q(x) a Resto : R = P (ϯ ––)b Toda división es de la forma: D = dq + R D = dividendo d = divisor q = cociente R = resto Reemplazando por sus equivalentes: P(x) ≡ (ax ± b) q(x) + R (1) b Si definimos x como: x = ϯ –– a y reemplazamos en (1): b b bP(ϯ ––)=[a(ϯ––) ϯ b]q(ϯ ––)+ R a a a b bP(ϯ ––)=(ϯ b ± b). q(ϯ ––)+ R a a El primer factor del segundo es cero, luego: b P(ϯ ––)= R a o finalmente: b R = P(ϯ ––)a REGLA PRÁCTICA PARA HALLAR EL RESTO 1º Se iguala el divisor a cero: ax ± b = 0 2º Se despeja “x”: b x = ϯ –– a 3º Se reemplaza en el polinomio dividendo “x” por. b x = ϯ –– a b ∴ R = P(ϯ ––)a Ejemplo: Hallar el resto de las siguientes divisiones: (x - 3)64 + (x - 3)40 + (x - 1)16 - 164 i) –––––––––––––––––––––––––––––– x - 3 Solución: • x - 3 = 0 • x = 3 Sustituyendo • R = P(3) = (3-3)64 + (3-3)40 + (3-1)16 - 164 R = 0 + 0 + 216 - 164 R = 216 - (24 )4 = 216 - 216 = 0 ∴ R = 0 6x4 + x3 - 19x2 + 14x - 15 ii) ––––––––––––––––––––––– 2x - 3 1º 2x - 3 = 0 32º x = –– 2 Sustituyendo 3 3 4 3 3 3 2 3º R = P(––)= 6(––)+ (––)- 19(––)2 2 2 2 3+ 14(––)- 15 2
  • 2. JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN ÁLGEBRA JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁNHUAMÁNHUAMÁNHUAMÁN DIVISIÓN ALGEBRAICA 2222 243 27 171R = –––– + ––– - –––– + 21 - 15 8 8 4 simplificando: R = -3 EJERCICIOS RESUELTOS 1.- Hallar el resto de la división: nxn + (n-1)xn-1 + (n-2)xn-2 - 3n + 16 ––––––––––––––––––––––––––––––––– x - 1 Solución: De acuerdo con la regla práctica: • x - 1 = 0 • x = 1 Sustituyendo: • R = n(1)n + (n - 1)(1)n-1 + (n - 2)(1)n-2 - 3n + 16 R = n + n-1 + n-2 - 3n + 16 simplificando: R = 13 2.- Hallar el resto de la división: (x + a)7 - (x7 + a7 ) –––––––––––––––– x + 2a Solución: Utilizando la regla práctica: • x + 2a = 0 • x = -2a Sustituyendo • R = (-2a + a)7 - [(-2a)7 + a7 ] R = (-a)7 - (-128a7 + a7 ) = (-a)7 - (-127a7 ) R = -a7 + 127a7 R = 126a7 3.- Hallar el resto en: (x + y)2 + (x + y)(2z - 1) + z(z - 1) –––––––––––––––––––––––––––––– x + y + z - 3 Solución: Utilizando la regla práctica: • x + y + z-3 = 0 • x = 3 - y - z • R = (3 - y - z + y)2 + (3 - y - z + y) (2z - 1) + z(z - 1) Efectuando operaciones y simplificando: R = (3 - z)2 + (3 - z) (2z - 1) + z(z - 1) R = 6 4.- Hallar el resto en: (5x4 + 7x2 + 5)2 + (5x4 + 7x2 + 7)3 + 8 ––––––––––––––––––––––––––––––––– 5x4 + 7x2 + 8 Solución: Efectuemos el siguiente cambio de variable: 5x4 + 7x2 = y Reemplazando, se obtiene la división equivalente: (y + 5)2 + (y + 7)3 + 8 –––––––––––––––––––– y + 8 Utilizando la regla práctica: • y + 8 = 0 • y = -8 • R = (-8 + 5)2 + (-8 + 7)3 + 8 = 9 - 1 + 8 = 0 R = 16 5.- Hallar el resto en: (x - 1)4n (x3 + 8)3 (x - 4)3 –––––––––––––––––––––– x2 - 2x + 2 Solución: Efectuando operaciones en el dividendo: (x - 1)4n (x3 + 8)3 (x - 4)3 = [(x - 1)2 ]2n [(x + 2)(x2 - 2x + 4)]3 (x - 4)3 = (x2 - 2x + 1)2n (x + 2)3 (x2 - 2x + 4)3 (x - 4)3 α
  • 3. JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN ÁLGEBRA JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁNHUAMÁNHUAMÁNHUAMÁN DIVISIÓN ALGEBRAICA 3333 Ordenando: = (x2 - 2x + 1)2n (x2 - 2x + 4)3 [(x + 2)(x - 4)]3 = (x2 - 2x + 1)2n (x2 - 2x + 4)3 [x2 - 2x - 8]3 Sustituyendo este equivalente en el numerador: (x2 - 2x + 1)2n (x2 - 2x + 4)3 (x2 - 2x - 8)3 –––––––––––––––––––––––––––––––––– x2 - 2x + 2 y, haciendo: x2 - 2x = y: resulta en: (y + 1)2n (y + 4)3 (y - 8)3 ––––––––––––––––––––– y + 2 Para hallar el resto se aplica la regla práctica: • y + 2 = 0 • y = -2 • R = (-2 + 1)2n (-2 + 4)3 (-2 - 8)3 = (1)(2)3 (-10)3 R = -8 000 6.- Hallar el resto en la división: [3 + (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)]4 ––––––––––––––––––––––––––––––––– x(x + 5) + 5 Solución: Efectuando operaciones en el dividendo: [3 + (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)]4 ––––––––––––––––––––––––––––––––– x(x + 5) + 5 {3 + (x2 + 5x + 4) (x2 + 5x + 6)}4 ––––––––––––––––––––––––––––––––– x2 + 5x + 5 haciendo: x2 + 5x = y [3 + (y + 4)(y + 6)]4 ––––––––––––––––––– y + 5 Para hallar el resto se aplica la regla práctica: • y + 5 = 0 • y = -5 • R = [3 + (-5 + 4)(-5 + 6)]4 R = 16 7.- Hallar el resto en: a3 b3 + a3 c3 + b3 c3 - 3a2 b2 c2 ––––––––––––––––––––––– ab + ac + bc Solución: Agrupando convenientemente en el numerador: (ab)3 + (ac)3 + (bc)3 - 3(ab)(ac)(bc) –––––––––––––––––––––––––––––– ab + ac + bc Considerando que la variable es el producto ab, se calcula el resto por la regla práctica: • ab + ac + bc = 0 • ab = -ac - bc = -(ac + bc) • R =[-(ac + bc)]3 + (ac)3 + (bc)3 - 3[-(ac + bc)](ac)(bc) R = -(ac + bc)3 +(ac)3 +(bc)3 + 3(ac + bc)(ac)(bc) R = - (ac)3 - 3(ac)2 (bc) - 3(ac)(bc)2 - (bc)3 +(ac)3 +(bc)3 +3(ac)2 (bc) + 3(ac)(bc)2 reduciendo términos semejantes: R = 0 8.- Hallar el resto en: a - b a b (a + b)(a2 - b2 ) (––––)x2 - –– x - –– x + –––––––––––– 2ab b a 2ab –––––––––––––––––––––––––––––––––––– (a + b)2 x - –––––– a - b Solución: Aplicando la regla práctica del resto: (a + b)2 x - –––––––– = 0 a - b
  • 4. JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN ÁLGEBRA JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁNHUAMÁNHUAMÁNHUAMÁN DIVISIÓN ALGEBRAICA 4444 (a + b)2 x = –––––––– a - b a - b (a + b)2 2 a (a + b)2 R = (––––– )[–––––– ] - –– –––––– 2ab a - b b (a - b) b (a + b)2 (a + b)(a2 - b2 ) - –– –––––– + ––––––––––––– a (a - b) 2ab Simplificando y agrupando: (a + b)4 (a + b)2 a b R = ––––––––– - ––––––– [–– + –– ]2ab(a - b) a - b b a (a + b)(a2 - b2 ) + ––––––––––––– 2ab Efectuando el corchete y multiplicando numerador y denominador por 2: (a + b)4 2(a + b)2 (a2 + b2 ) R = ––––––––– - ––––––––––––––– 2ab(a - b) 2ab(a - b) (a + b)(a + b)(a - b)(a - b) + ––––––––––––––––––––––– 2ab(a - b) (a + b)4 - 2(a + b)2 (a2 + b2 ) + (a + b)2 (a - b)2 R = –––––––––––––––––––––––––––––––––––– 2ab(a - b) Sacando el factor común (a + b)2 : (a + b)2 [(a + b)2 - 2(a2 + b2 ) + (a - b)2 ] R = ––––––––––––––––––––––––––––––––– 2ab(a - b) Aplicando Legendre a los términos señalados: (a + b)2 [2(a2 + b2 ) - 2(a2 + b2 )] R = –––––––––––––––––––––––––––– 2ab(a - b) (a + b)2 [0] R = ––––––––––– 2(ab)(a - b) R = 0 9.- Hallar el resto en: (x - 1)n + 2 + x2n + 1 ––––––––––––––––––––– x2 - x + 1 Solución: Aplicando la regla práctica del resto: • x2 - x + 1 = 0 • x2 = x - 1 Reemplazando en el denominador esta equivalencia: D = (x - 1)n+2 + (x-1)n . x sacando factor común (x - 1)n : D = (x - 1)n [(x - 1)2 + x] D = (x - 1)n [x2 - 2x + 1 + x] = (x - 1)n [x2 - x + 1] Sustituyendo: x2 = x - 1 se tiene: • R = (x - 1)n (x - 1 - x + 1) = (x - 1)n (0) = 0 R = 0 10.- Hallar el resto de la división: (x + y)4m - (x - y)4m ––––––––––––––––––– (8xy) (x2 + y2 ) Solución: Transformando el divisor mediante la aplicación de productos notables e identidades: 8xy(x2 + y2 ) = [4xy][2(x2 + y2 )] = [(x + y)2 - (x - y)2 ] [(x + y)2 + (x - y)2 ] = (x + y)4 - (x - y)4 Haciendo: (x + y)4 = a, (x - y)4 = b, se obtiene: am - bm ––––––––– a - b Para hallar el resto se sigue la regla práctica: • a - b = 0 • a = b • R = am - am R = 0 α
  • 5. JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN ÁLGEBRA JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁNHUAMÁNHUAMÁNHUAMÁN DIVISIÓN ALGEBRAICA 5555 11.- Calcular “m” y “n” si la división: xm (x - a)3m - 256(3a - x)2n –––––––––––––––––––––––––– x - 2a es exacta. Solución: Cálculo del resto, siguiendo la regla práctica: • x - 2a = 0 • x = 2a • R = (2a)m (2a -a)3m - 256(3a - 2a)2n Según enunciado: (2a)m (2a -a)3m - 256(3a - 2a)2n = 0 efectuando: 2m . am . a3m = 256a2n 2m a4m = 28 a2n Identificando factores con bases iguales: 2m = 28 ⇒ m = 8 a4m = a2n ⇒ 4m = 2n n = 2m n = 2(8) = 16 Rpta.: m = 8 n = 16 12.- Hallar “m” si la división no deja resto: x8 + (y2 - z2 )2 - mx4 (y2 + z2 ) –––––––––––––––––––––––––– x2 - y - z Solución: Calcularemos del resto, siguiendo la regla práctica: • x2 - y - z = 0 • x2 = y + z • R = (y + z)4 + (y2 - z2 )2 - m(y + z)2 (y2 + z2 ) Por enunciado: (y + z)4 + (y2 - z2 )2 - m(y + z)2 (y2 + z2 ) = 0 Por enunciado: (y + z)4 + (y + z)2 (y - z)2 = m(y + z)2 (y2 + z2 ) (y + z)4 [(y + z)2 + (y - z)2 ] = m(y + z)2 (y2 + z2 ) simplificando y aplicando Legendre: 2(y2 + z2 ) = m(y2 + z2 ) de donde: m = 2 13.- Hallar “m” si la división deja por resto 49a7 . (x + 3a)7 - (x7 + ma7 ) ––––––––––––––––––––– x + 2a Solución: Cálculo del resto, siguiendo la regla práctica: • x + 2a = 0 • x = -2a • R = (-2a + 3a)7 - [(-2a)7 + ma7 ] Por condición del problema: (-2a + 3a)7 - [(-2a)7 + ma7 ] = 49a7 de donde: a7 - (-128a7 + ma7 ) = 49a7 a7 +128a7 - ma7 = 49a7 operando: m = 80 14.- Calcular “m” si la división es exacta: m(x + y + z)3 - (x + y)3 - (x + z)3 - (x + z)3 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– x + y + 2z Solución: Cálculo del resto: • x + y + 2z = 0 • x = -y - 2z
  • 6. JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN ÁLGEBRA JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁNHUAMÁNHUAMÁNHUAMÁN DIVISIÓN ALGEBRAICA 6666 • R = m(-y -2z + y + z)3 - (-y - 2z + y)3 - (y + z)3 - (-y - 2z + z)3 Por condición del problema: R = 0 igualando a cero y operando: m(-z)3 - (-2z)3 - (y + z)3 -[-(y + z)]3 = 0 -mz3 + 8z3 - (y + z)3 + (y + z)3 = 0 8z3 = mz3 m = 8 15.- Hallar “m” para que el polinomio: x3 + x2 - 3mx + 5 al dividirlo entre (x - 1) de como resto el doble del resto de dividir dicho polinomio entre (x - 2). Solución: Cálculo de R1 (resto de la primera división): • x - 1 = 0 • x = 1 • R1 = (1)3 + (1)2 - 3m(1) + 5 R1 = 7 - 3m Cálculo de R2 (resto de dividir entre x - 2): • x - 2 = 0 • x = 2 • R2 = (2)3 + (2)2 - 3m(2) + 5 = 8 + 4 - 6m + 5 R2 = 17 - 6m Condición del problema: R1 = 2R2 reemplazando: 7 - 3m = 2(17 - 6m) efectuando: m = 3 16.- Hallar el valor de: E = 2m + 5n si el resto de la división: mx8 + nx6 - 3x5 - 1 –––––––––––––––––– x3 + 1 es igual a 8x2 - 5 Solución: Cálculo del resto: • x3 + 1 = 0 • x3 = -1 El polinomio dividendo se puede escribir así: m(x3 )2 x2 + m(x3 )2 - 3(x3 )x2 - 1 luego el resto es: • R = m(-1)2 x2 + n(-1)2 - 3(-1)x2 - 1 operando: R = (m + 3)x2 + (n - 1) este resto es idéntico al resto que el problema indica; o sea: (m + 3)x2 + (n - 1) ≡ 8x2 - 5 identificando coeficientes: m + 3 = 8 ⇒ m = 5 n - 1 = -5 ⇒ n = -4 ∴ E = 2(5) + 5(-4) = 10 - 20 = -10 Rpta.: E = -10 17.- Hallar el valor de “m” si la división es exacta. (2m+3) (x+y+z)2 - (y+z-x)3 + m(z+x-y)3 - (x+y-z)3 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– xyz Solución: Cálculo del resto: • haciendo xyz = 0 • x = 0 α
  • 7. JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN ÁLGEBRA JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁNHUAMÁNHUAMÁNHUAMÁN DIVISIÓN ALGEBRAICA 7777 • R = (2m + 3)(y + z)3 - (y + z)3 + m(y + z)3 - (y - z)3 = 0 agrupando e igualando a cero, por condición: [(2m + 3)(y + z)3 - (y + z)3 ] + {m [-(y - z)]3 - (y - z)3 } = 0 extrayendo factor común: (y + z)3 en el corchete y, -(y - z)3 en la llave: (y + z)3 (2m + 3 - 1) - (y - z)3 (m + 1) = 0 factorizando: (m + 1) [2(y + z)3 - (y - z)3 ] = 0 Igualando los factores a cero, basta con igualar a cero el primer factor: m + 1 = 0 m = -1 a 18.- Hallar el valor de E = –– si en la división: b (a - b)xn + (a - b)2 xn-1 + (a - b)3 xn-2 ––––––––––––––––––––––––––––––––––– x - a + b se obtiene como residuo : 3bn+1 Solución: Cálculo del resto: • x - a + b = 0 • x = a - b • R = (a - b)(a - b)n + (a - b)2 (a - b)n-1 + (a - b)3 (a - b)n-2 Pero, según el problema: R = 3bn+1 igualando y operando: (a - b)n+1 + (a - b)n+1 + (a - b)n+1 = 3bn+1 3(a - b)n+1 = 3bn+1 entonces: a - b = b a –– = 2 b ∴ E = 2 19.- Calcular el valor de: b2 E = –––––––– a2 + c2 si la división: (a + b)x3 + (b - c)x2 + (b + c)x + (a - b) ––––––––––––––––––––––––––––––––––––– x2 + h2 es exacta. Solución: Para hallar el resto: • x2 + h2 = 0 • x2 = -h2 El dividendo se puede escribir así: (a + b)2 (x2 )(x) + (b - c)x2 + (b + c)x + (a - b) Luego, el resto será: • R = (a + b)(-h2 )(x) + (b - c)(-h2 ) + (b + c)x + (a - b) Igualando a cero y operando: -(a + b)h2 x + (b + c)x - (b - c)h2 + (a - b) ≡ 0 [-(a + b)h2 + (b + c)]x + [-(b - c)h2 + (a - b)] ≡ 0 identificando coeficientes a cero: • -(a + b)h2 + (b + c) = 0 b + c h2 = ––––– (α) a + b • -(b - c)h2 + (a - b) = 0 a - b h2 = ––––– (β) b - c igualando (α) = (β) : b + c a - b –––––– = –––––– a + b b - c Producto de medios igual a producto de extremos: b2 - c2 = a2 - b2 2b2 = a2 + c2
  • 8. JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN ÁLGEBRA JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁNHUAMÁNHUAMÁNHUAMÁN DIVISIÓN ALGEBRAICA 8888 También: a2 + c2 2 = –––––– b2 1 ∴ E = –– 2 20.- Determinar “m” para que el polinomio: x4 + y4 + z4 - m(x2 . y2 + y2 . z2 + x2 . z2 ) sea divisible entre x + y + z Solución: Cálculo del resto: • x + y + z = 0 ∴ • x = -y - z • R = {-(y + z)}4 + y4 + z4 -m[{-(y + z)}2 (y2 + z2 ) +y2 . z2 ] Como es divisible, el resto es cero; igualando a cero y operando: (y + z)4 + y4 + z4 = m[(y + z)2 (y2 + z2 ) +y2 z2 ] [(y + z)2 ]2 + y4 + z4 = m[(y2 + 2yz + z2 )(y2 + z2 ) + y2 z2 ] (y2 + 2yz + z2 )2 + y4 + z4 = m[y4 + 2y3 z + 2y2 z2 + 2yz3 + z4 + y2 z2 ] y4 + 4y2 z2 + z4 + 4y3 z + 2y2 z2 + 4yz3 + y4 + z4 = m[y4 + z4 + 2y3 z + 3y2 z2 + 2yz3 ] 2(y4 + z4 + 2y3 z + 3y2 z2 + 2yz3 ) =m(y4 + z4 + 2y3 z + 3y2 z2 + 2yz3 ) m = 2 Rpta.: m= 2 α EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Calcular el resto que se obtiene al dividir: (x2 + x + 1)2n + (x2 - x - 1)n –––––––––––––––––––––––– (x2 -x) siendo “n” un número impar positivo. a) 1 - (2x + 1)n b) -2x + 1 c) 2x + 1 d) 0 e) -2x 2. Hallar el resto de: xn+1 - (n + 1)x + n ––––––––––––––––– (x + 1) (x - 1) para n = número par positivo. a) nx b) x c) 0 d) nx - n e) -nx + m 3. Sabiendo que el polinomio x4 + ax2 + b es divisi- ble entre x2 + bx + a, calcular el resto de la división del polinomio entre ax + b. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 4. Calcular el valor de “a” de tal manera que la expresión: xn -axn-1 + ax - 1 sea divisible por (x - 1)2 n n n - 2 a) ––––– b) ––––– c) –––––– n + 2 n - 2 n n + 2 d) ––––– e) n n 5. Calcular el valor de “m” de manera que el poli- nomio: x3a+2 + x3b+1 + mx3c sea divisible entre x2 + x + 1
  • 9. JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN ÁLGEBRA JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁNHUAMÁNHUAMÁNHUAMÁN DIVISIÓN ALGEBRAICA 9999 a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) 7 6. Calcular m de manera que la división: x4 (y + z)2 + y4 (x + z)2 + z4 (x + y)2 –––––––––––––––––––––––––––––––– x2 (y + z)x + yz + 2(xy + xz + yz)3 - mx2 y2 z2 –––––––––––––––––––––––– Se exacta: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 7. Hallar la diferencia m - n, si la división es exacta: 3x2 + mxy + 4y2 + 5y + ny ––––––––––––––––––––––– x + y a) 2 b) -2 c) 12 d) -12 e) 7 8. Si un polinomio P(x) se divide entre (x2 + x + 1) el resto es 3x + 2, si el cociente se divide entre (x3 + 7), el resto es 2x2 - x + 3. Hallar el resto de la división de P(x) entre: (x2 + x + 1)(x3 + 7) Dar la suma de sus coeficientes. a) 10 b) 14 c) 15 d) 17 e) 19 9. Si el siguiente polinomio: (mx + 1)2 + (m + x)2 + mx es divisible ente (x + 1). Calcular “m”. a) 2 b) -2 c) 4 d) 5 e) 0 10. Calcular “m” si el resto de la división de: x3 - mx2 + 7x - 1 entre x - 2 es el triple del resto de dividir: x2 - (m + 2)x - 11 entre x + 2 a) -3 b) 4 c) 5 d) 3 e) -4 11. Si el polinomio: P(x) = 2x3 + 3x2 - 32x + 15 se anula para x = -5 y x = 3. Calcular el otro valor de x para el cual también se anula. a) 162 b) -1/2 c) 1 d) -1 e) Ninguna 12. Hallar m + n si la siguiente división es exacta: (m+1)x28 - (n+2)x22 + mx15 - nx8 + (2m - 2)x7 + 1 entre (x7 + 1) a) 3 b) 4 c) 7 d) 1 e) -1 13. Hallar el resto al dividir: P(x) = (x - 1)6 x3 (2 - x)3 entre (x2 - 2x -2) a) +128 b) -128 c) -216 d) 216 e) 0 14 Al dividir un polinomio P(x) entre (x + a)4 se obtuvo como residuo: (x3 - 3a2 x + 2a3 ) Calcular el resto de dividir P(x) entre (x + a)2 a) x + a b) 4 c) xa2 + 4a3 d) 4a3 e) x + 4a 15. Al dividir un polinomio P(x) entre (x - 3)2 deja un residuo (x - 3). ¿Cuál es el resto de dividir el cuadrado de P(x) entre (x - 3)?
  • 10. JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN ÁLGEBRA JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁNHUAMÁNHUAMÁNHUAMÁN DIVISIÓN ALGEBRAICA 10101010 a) 3 b) 9 c) 0 d) -3 e ) 8 16. Al dividir un polinomio P(y) entre (y - 3) se obtuvo un cociente Q(y) y un resto igual a - 2; al dividir Q(y) entre (y + 2) se obtiene un resto igual a 2. Calcular el término independiente del residuo al dividir P(y) entre (y - 3)(y + 2). a) -8 b) 8 c) 12 d) -12 e) 15 17. Hallar el término cuadrático de un polinomio P(x) de cuarto grado, si se sabe que sus respectivos coe- ficientes son números enteros consecutivos, se sabe además que si se divide dicho polinomio entre (x - 1) el resto es 35. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 18. Si al dividir un polinomio P(x) entre x4 -1 se obtuvo como residuo: 3x3 + bx2 + cx - 2 si se sabe además que el resto de dividir P(x) entre (x2 - 1) es dos veces más que el resto de la división de P(x) entre (x2 + 1). Decir cuánto vale: b + c. a) -5 b) -3 c) 2 d) 3 e) 5 19. Hallar el residuo de: [x 3 n+2 + 3 3 n ]÷ [x 9 + 3] a) 3n b) 3 3 n + 1 c) 3 3 n - 1 d) 0 e) 1 - 3 n 3 20. Hallar el resto de dividir el polinomio: (x - n) (x - p) (x - m)(x - p) P (x) = –––––––––––– a + –––––––––––– b (m - n)(m - p) (n - m)(n - p) (x - m)(x - n) + ––––––––––––– c (p - m)(p - n) entre el divisor (x - m)(x - n)(x - p) a) x2 + x + 1 b) x c) x2 + 1 d) x - 1 e) x2 - 1 α 1) E 2) C 3) C 4) B 5) D CLAVE DE RESPUESTAS 6) B 7) C 8) E 9) A 10) D 11) A 12) D 13) C 14) D 15) C 16) A 17) C 18) E 19) D 20) B