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“No se nace joven, hay que adquirir la juventud. Y sin un ideal,
no se adquiere” José Ingenieros
Matemática financiera
Perpetuidades y gradentes
Facultad de:
Administración JOSÉ HUAMANÍ ARONE
Decisiones financieras fundamentales
El valor de los activos
¿Cuánto vale un activo?
Valor:
Depende de la capacidad del
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El valor de un activo es el valor
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Perpetuidad
Pagos iguales en intervalos de tiempos iguales y
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Utilidad:
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El Valor de los Activos
Perpetuidades sin crecimiento
Donde:
VP: Valor presente
P : valor de la perpetuidad
i: tasa de interés periodica vencida
Ejemplo 4
• El gobierno desea comprar su vivienda y le ofrece pagar s/.
12.000.00 al año para siempre
• ¿Cuál es el valor de hoy de dicha propiedad asumiendo tasa
descuento 8%?
Dato:
C ó P = 12.000.00
Interés : 8%
VP:
pv:= 12,000.0 / 0.08
Pv = 150.000.00
Interpretación: equivalente a un valor actual, que esta valorizado en s/.
150.000 soles el valor actual de la vivienda que quiere comprar gobierno.
Ejemplo 1.
He estado ahorrando durante varios años en un fondo de inversión que
paga un interés del 0.4% mensual. La idea es retirarme de trabajar en 2
años y vivir de mis ahorros para siempre, recibiendo un ingreso mensual
de S/. 1000 soles. ¿Cuánto dinero necesitaré tener ahorrado para cumplir
este objetivo?
SOLUCION
Dato:
C ó P =1000
Interés : 4%
VP: ?
VP: = 1000/0.004
Vp = 250.000.00
Interpretación: con 250,000.00 soles ahorrando estoy garantizado
mis pensiones de manera mensual de s/ 1000 soles
Ejemplo 2.
Roció tiene una inversión por s/. 40.000.00 soles que le rente
un interés trimestral del 1.4%. ¿Qué suma de dinero podría
retirar cada trimestre a perpetuidad?
SOLUCION
Dato:
C ó P = Interés *VP:
P = 40.000.00* 0.014
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Dato:
C ó P =
Interés : 1.4%
VP: 40.000.00
Interpretación: cada trimestre voy retirar la suma de 560 soles de
la inversión de 40,000.00
Ejemplo 1
• El valor de sus casa es de s/ 200.000.00. el gobierno desea
comprarla y pago anual para siempre.
• ¿Cuánto debe ser ese pago anual si consideramos una tasa de
descuento del 8%?
Dato:
C ó P = ?
Interés : 8%
VP: 200.000.00
C ó P = Interés * VP
P = 200.000.00 * 8%
P = 16,000.00
Interpretación: el gobierno de a qui de un año pagaría 16 mil soles por
la compra de la cas
El Valor de los Activos
Perpetuidades con crecimiento
VALOR PRESENTE DE UNA PERPETUIDAD
Tasa de rendimiento requerido (i): 10%
Tasa de crecimiento constante (g): 2%
Ejemplo 5
• El gobierno desea tu vivienda y le ofrece pagar s/ 12mil soles al
año para siempre. Con un incrementos del 1% anual.
• ¿Cuál es el valor de hoy de dicha propiedad asumiendo tasa
descuentos 8%?
Datos:
Tasa de rendimiento requerido (i)= 8%
Tasa de crecimiento constante (g) = 1%
C = 12.000.00
Vp= 12000( 8% -1%)
Vp = 171, 428.57
Interpretación: la compra se realizaría considerando una tasa
de descuento de 8% con un incremento de 1 % anual
Ejemplo 6
. El valor de su casa es de S/. 200.000.00 soles. El gobierno de
castillo desea comprarla y pago anual el primer año y luego un
incremento del 1% anual.
. ¿Cuanto debe ser ese pago anual si consideramos una tasa de
descuento del 8%?
Datos:
Tasa de rendimiento requerido (i)= 8%
Tasa de crecimiento constante (g) = 1%
C = 200,000.00
Vp= 200,000.00( 8% -1%)
Vp = 14,000.00
Interpretación: por la compra de la cas
el gobierno debe pagar 14,000.00 soles
considerando incremento de 1% anual
Gradientes
Pagos iguales en intervalos de tiempos iguales,
los pagos se incrementan en cada periodo en un
valor constante
Un gradiente básicamente consiste en una
serie de pagos periódicos que varían
(crecen o disminuyen) de uno a otro en la
misma forma y que cumplen con las
siguientes condiciones
GRADIENTES ARITMETICOS
Tal como lo mencionamos son series
periódicas de pagos que varían de uno a
otro en una misma cantidad que para
nuestro caso llamaremos L;
si L es positiva el gradiente será creciente,
por el contrario
si L es negativo el gradiente será
decreciente.
Un típico gradiente puede
apreciarse en
la siguiente figura:
VALOR PRESENTE DE UN
GRADIENTE ARITMETICO
Para hallar el valor presente, bastara con
trasladar todos los pagos a cero (tomando 0
como fecha focal) utilizando la siguiente
expresión:
P = F(1+i)-n
Ejemplo 7
Juana ha empezado a ahorrar en el banco de la nación sede Abancay, la idea que
tiene es ahorrar durante 5 años en abonos mensuales. El primer abono será de
s/. 200 soles y el valor abono se irá incrementando cada mes en s/. 5 soles. Si la
tasa de interés que paga el banco es el 6% nominal anual con capitalización
mensual. ¿Cuánto tendrá ahorrado al final de los 5 años?¿cual es el valor de la
cuata 56?
Vf: valor futuro
g: valor gradiente
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i: tasa de interés periodos vencidas
c= valor de primera
Datos:
Vf: ?
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Vf = 23, 724.07
Juana ha empezado a ahorrar en el banco de la nación sede Abancay, la idea que
tiene es ahorrar durante 5 años en abonos mensuales. El primer abono será de
s/. 200 soles y el valor abono se irá incrementando cada mes en s/. 5 soles. Si la
tasa de interés que paga el banco es el 6% nominal anual con capitalización
mensual. ¿Cuánto tendrá ahorrado al final de los 5 años?¿cual es el valor de la
cuata 56?
Gradiente geométrico
Como de costumbre, para hallar el valor
presente de cualquier serie, bastará con
trasladar todos los flujos al punto cero así:
Cuando G sea diferente de
i tenemos:
Y en el caso de que G sea igual a i
tendremos:
Ejemplo 8
• PEE, obtuvo un préstamo del Banco, el valor de la primera cuota de un total
de 60 cuotas mensuales es de s / 96 soles y el valor de las cuotas se va
incrementando un 4 % mensual. Si la tasa de interés es del s/. 20.4% normal
anual con capitalización mes de vencido, ¿De cuanto fue el prestamos?
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  • 1. “No se nace joven, hay que adquirir la juventud. Y sin un ideal, no se adquiere” José Ingenieros Matemática financiera Perpetuidades y gradentes Facultad de: Administración JOSÉ HUAMANÍ ARONE
  • 3. El valor de los activos
  • 4. ¿Cuánto vale un activo? Valor: Depende de la capacidad del activo de generar flujos futuros de efectivo, entonces: El valor de un activo es el valor presente del flujo de efectivo futuro esperado. Precio: Lo que pago por un activo. El costo de un activo.
  • 5. Perpetuidad Pagos iguales en intervalos de tiempos iguales y los pagos o cuotas son siempre. Una perpetuidad es una anualidad en la que el número de rentas no tiene un fin determinado, como sucede por ejemplo, con los dividendos que otorgan.
  • 6. Perpetuidad • Es una cada de flujos de efectivo y estos son los mismos y son siempre
  • 7. Perpetuidad, ¿qué es? Sin Crecimiento vs. Con Crecimiento Es una anualidad que tiene duración indefinida Utilidad: - Valuación de acciones para emisión. - Valuación de inversiones en acciones para determinar si agregan valor. - Valuación de otros activos a perpetuidad o a muy largo plazo
  • 8. El Valor de los Activos Perpetuidades sin crecimiento Donde: VP: Valor presente P : valor de la perpetuidad i: tasa de interés periodica vencida
  • 9. Ejemplo 4 • El gobierno desea comprar su vivienda y le ofrece pagar s/. 12.000.00 al año para siempre • ¿Cuál es el valor de hoy de dicha propiedad asumiendo tasa descuento 8%? Dato: C ó P = 12.000.00 Interés : 8% VP: pv:= 12,000.0 / 0.08 Pv = 150.000.00 Interpretación: equivalente a un valor actual, que esta valorizado en s/. 150.000 soles el valor actual de la vivienda que quiere comprar gobierno.
  • 10. Ejemplo 1. He estado ahorrando durante varios años en un fondo de inversión que paga un interés del 0.4% mensual. La idea es retirarme de trabajar en 2 años y vivir de mis ahorros para siempre, recibiendo un ingreso mensual de S/. 1000 soles. ¿Cuánto dinero necesitaré tener ahorrado para cumplir este objetivo? SOLUCION Dato: C ó P =1000 Interés : 4% VP: ? VP: = 1000/0.004 Vp = 250.000.00 Interpretación: con 250,000.00 soles ahorrando estoy garantizado mis pensiones de manera mensual de s/ 1000 soles
  • 11. Ejemplo 2. Roció tiene una inversión por s/. 40.000.00 soles que le rente un interés trimestral del 1.4%. ¿Qué suma de dinero podría retirar cada trimestre a perpetuidad? SOLUCION Dato: C ó P = Interés *VP: P = 40.000.00* 0.014 P = 560 soles Dato: C ó P = Interés : 1.4% VP: 40.000.00 Interpretación: cada trimestre voy retirar la suma de 560 soles de la inversión de 40,000.00
  • 12. Ejemplo 1 • El valor de sus casa es de s/ 200.000.00. el gobierno desea comprarla y pago anual para siempre. • ¿Cuánto debe ser ese pago anual si consideramos una tasa de descuento del 8%? Dato: C ó P = ? Interés : 8% VP: 200.000.00 C ó P = Interés * VP P = 200.000.00 * 8% P = 16,000.00 Interpretación: el gobierno de a qui de un año pagaría 16 mil soles por la compra de la cas
  • 13. El Valor de los Activos Perpetuidades con crecimiento VALOR PRESENTE DE UNA PERPETUIDAD Tasa de rendimiento requerido (i): 10% Tasa de crecimiento constante (g): 2%
  • 14. Ejemplo 5 • El gobierno desea tu vivienda y le ofrece pagar s/ 12mil soles al año para siempre. Con un incrementos del 1% anual. • ¿Cuál es el valor de hoy de dicha propiedad asumiendo tasa descuentos 8%? Datos: Tasa de rendimiento requerido (i)= 8% Tasa de crecimiento constante (g) = 1% C = 12.000.00 Vp= 12000( 8% -1%) Vp = 171, 428.57 Interpretación: la compra se realizaría considerando una tasa de descuento de 8% con un incremento de 1 % anual
  • 15. Ejemplo 6 . El valor de su casa es de S/. 200.000.00 soles. El gobierno de castillo desea comprarla y pago anual el primer año y luego un incremento del 1% anual. . ¿Cuanto debe ser ese pago anual si consideramos una tasa de descuento del 8%? Datos: Tasa de rendimiento requerido (i)= 8% Tasa de crecimiento constante (g) = 1% C = 200,000.00 Vp= 200,000.00( 8% -1%) Vp = 14,000.00 Interpretación: por la compra de la cas el gobierno debe pagar 14,000.00 soles considerando incremento de 1% anual
  • 16. Gradientes Pagos iguales en intervalos de tiempos iguales, los pagos se incrementan en cada periodo en un valor constante Un gradiente básicamente consiste en una serie de pagos periódicos que varían (crecen o disminuyen) de uno a otro en la misma forma y que cumplen con las siguientes condiciones
  • 17. GRADIENTES ARITMETICOS Tal como lo mencionamos son series periódicas de pagos que varían de uno a otro en una misma cantidad que para nuestro caso llamaremos L; si L es positiva el gradiente será creciente, por el contrario si L es negativo el gradiente será decreciente. Un típico gradiente puede apreciarse en la siguiente figura:
  • 18. VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO Para hallar el valor presente, bastara con trasladar todos los pagos a cero (tomando 0 como fecha focal) utilizando la siguiente expresión: P = F(1+i)-n
  • 19. Ejemplo 7 Juana ha empezado a ahorrar en el banco de la nación sede Abancay, la idea que tiene es ahorrar durante 5 años en abonos mensuales. El primer abono será de s/. 200 soles y el valor abono se irá incrementando cada mes en s/. 5 soles. Si la tasa de interés que paga el banco es el 6% nominal anual con capitalización mensual. ¿Cuánto tendrá ahorrado al final de los 5 años?¿cual es el valor de la cuata 56? Vf: valor futuro g: valor gradiente n: numero de periodos i: tasa de interés periodos vencidas c= valor de primera Datos: Vf: ? g: 5 años mensual n: 5 = 60 meses i: 6 tea = 0,06/12 = 0.005 mensual c= 200 Vf = 23, 724.07
  • 20. Juana ha empezado a ahorrar en el banco de la nación sede Abancay, la idea que tiene es ahorrar durante 5 años en abonos mensuales. El primer abono será de s/. 200 soles y el valor abono se irá incrementando cada mes en s/. 5 soles. Si la tasa de interés que paga el banco es el 6% nominal anual con capitalización mensual. ¿Cuánto tendrá ahorrado al final de los 5 años?¿cual es el valor de la cuata 56?
  • 21. Gradiente geométrico Como de costumbre, para hallar el valor presente de cualquier serie, bastará con trasladar todos los flujos al punto cero así: Cuando G sea diferente de i tenemos:
  • 22. Y en el caso de que G sea igual a i tendremos:
  • 23. Ejemplo 8 • PEE, obtuvo un préstamo del Banco, el valor de la primera cuota de un total de 60 cuotas mensuales es de s / 96 soles y el valor de las cuotas se va incrementando un 4 % mensual. Si la tasa de interés es del s/. 20.4% normal anual con capitalización mes de vencido, ¿De cuanto fue el prestamos? ¿Cuál e el valor de la cuota 55?