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Ecuación de la recta Prof. Mónica Lordi
Ecuación de la recta Las ecuaciones del tipo y = mx+ b representan rectas en el plano 2 Prof. Mónica Lordi
Ejemplos ,[object Object]
y=     x – 7 Ecuación explícita de la recta Llamaremos ecuación explícita de la recta a la expresión  y = mx + b En esta ecuación se pueden distinguir los siguientes elementos: m = pendiente b = ordenada al origen x = variable independiente Recuerda: las expresiones de la forma  y = mx + b representan rectas en el plano y = variable dependiente 3 Prof. Mónica Lordi
Pendiente En las  ecuaciones   ,[object Object],y = 4x y = 3x y = 3x , la pendiente es  m = 3 y = 2x y = x Observa las siguientes gráficas y = 2x  , la pendiente es  m = 2 Se puede observar que la pendiente m determina la “inclinación” de la recta respecto del eje X y = x  . la pendiente es   m = 1 4 Prof. Mónica Lordi
Ordenada al origen   2 1  0 -1 y = x + 2 y = x + 1 y = x - 1 Observa, en la gráfica La recta de ecuación  y= x + 2 , la ordenada al origen es b = 2 y = x + 1, la ordenada al origen es b = 1 y = x – 1, la ordenada al origen es b = -1 La ordenada al origen  b determina la intersección de la recta con el eje Y 5 Prof. Mónica Lordi
[object Object],Veamos un ejemplo: Determinar la pendiente y la ordenada al origen de las ecuaciones de siguientes rectas: m = 3 y = 3x - 11 b = -11 m = -5 ,[object Object],b = 20 m = b = 0 6 Prof. Mónica Lordi
Otros ejemplos de rectas ,[object Object]
 La recta crece dos unidades de y por cada unidad de x.
 Cuando x=0, la ordenada al origen es igual a 1.
Recta decreciente, ya que la pendiente es negativa.
 La recta decrece una unidad de y por cada unidad de x.
 Cuando x=0, la ordenada al origen es igual 4.7 Prof. Mónica Lordi
Otras formas de ecuaciones lineales Forma implícita:Ax + By + C = 0 Forma segmentaria:Si una recta corta a los ejes en los puntos P = (p,0) y Q = (0,q) su ecuación en forma segmentaria es: 8 Prof. Mónica Lordi
FORMA SEGMENTARIA p q 9 Prof. Mónica Lordi
Si la recta está escrita de otra forma, podemos escribirla en forma explícita y luego identificar my b Ejemplo 1: Determinar la pendiente y la ordenada al origen en la ecuación       2x + y – 8 = 0 Se despeja y  (de la misma forma que se despeja cualquier ecuación)   2x +  y    =  0   + 8 y   = -2x + 8 Luego,  m = -2    y   b = 8 10 Prof. Mónica Lordi
Ejemplo 2:  Encontrar la pendiente y la ordenada al origen de la recta de ecuación   4x – 8y + 16 = 0 Despejamos y 4x – 8y + 16 = 0 4x  +  16  =  8y m = b = 2 11 Prof. Mónica Lordi
Ejemplo 3:  Encontrar la pendiente y la ordenada al origen de la recta de ecuación    Despejamos y 12 Prof. Mónica Lordi
Ejercicio 1:Encontrar la pendiente y la ordenada al origen de las siguientes rectas: g) 13 Prof. Mónica Lordi
Cálculo de la pendiente de una recta
Cuando se tienen dos puntos cualesquiera  de una recta  (x1, y1) y (x2 ,y2 ) la pendiente m queda determinada por el cociente entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas  de los mismos puntos,  es decir: 15 Prof. Mónica Lordi
Cuando se tienen dos puntos de una recta (x1, y1) y (x2 ,y2 ) la pendiente m queda determinada por el cociente entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas  de los mismos puntos, es decir: (x2 , y2) y2 – y1 m = y2 – y1 x2 – x1 (x1 , y1) x2 – x1  16 Prof. Mónica Lordi
(x2 , y2)       y2 y2 – y1 (x1 , y1) Cálculo de la pendiente de una recta       y1 x2 – x1        x1       x2 17 Prof. Mónica Lordi
Ejemplo 1  Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 7 , 2 )  y  ( 9 , 14) x2 y2 Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2 x1 y1 12 y2 – y1 14 – 2  m = = = = 6 2 x2 – x1 9 – 7  Reemplazamos estos valores en la fórmula 18 Prof. Mónica Lordi
Ejemplo 2 Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( -5 , 1 )  y  ( 9 , -3) x1 y1 x2 y2 Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2 -4 y2 – y1 -3 – 1  -2 m = = = = 14 x2 – x1 7 9 – (-5)  Reemplazamos estos valores en la fórmula 19 Prof. Mónica Lordi
Ejemplo 3  Encontrar la pendiente de la recta del gráfico:  En este caso debemos identificar las coordenadas de dos puntos de la recta: ( 0 , 4 )     y      ( 5 , 0) (0,4) x1 y1 x2 y2 (5,0) Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2 y2 – y1 0 – 4  -4 m = = = x2 – x1  5 5 – 0  Reemplazamos estos valores en la fórmula 20 Prof. Mónica Lordi
Ejercicio 2 I) Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos: A) (3 , -6)  y  (-2 , -2) B) (7 , -9) y (0 , -1) C) (-3 , -4) y el origen D) (3 , -4) y ( 2 , -6) 21 Prof. Mónica Lordi
A)                                  B) II) Encontrar las pendientes de las rectas  graficadas: 22 Prof. Mónica Lordi
Puntos que pertenecen a una recta
  2 1  0 -1  -1                         1            2           3 ¿Cómo determinar cuando un punto pertenece  o no  pertenece a una recta? 24 Prof. Mónica Lordi
¡Muy sencillo! ¡Se reemplaza las coordenadas del punto dado (x , y) en la ecuación  y = mx + b! Ejemplo 1:      Determinar si el punto (1,3)                      pertenece a la recta  y = -3x + 6 (1 , 3 )            Reemplazamos  x = 1 , y = 3 en la ecuación = -3 • 1 + 6   y resolvemos las operaciones para                          verificar si hay  equilibrio entre                              ambos miembros  3 = -3 + 6 3 =  3 Por lo tanto, el punto (1,3) pertenece a la recta y = -3x + 6 25 Prof. Mónica Lordi
3 = -2 + 1 3 =  -1 Ejemplo 2:  Determinar si el  punto (-1,3) pertenece a la recta  y = 2x + 1    (-1 , 3   )           Reemplazamos  x = -1 , y = 3 en la ecuación = 2• (-1) + 1   y resolvemos las operaciones para                          verificar si hay  equilibrio entre                              ambos miembros  Por lo tanto, el punto (-1,3) no pertenece a la recta y = 2x + 1 26 Prof. Mónica Lordi
Ejercicio 3: Determinar si los puntos pertenecen a la recta dada A) (    , 0) ; (-2 , 7) ; (0,1 ) a la recta y = -3x + 1 B) (-3 , 1) ; (9,9) ; (-6,1) a la recta y =   x + 3 C) (4,2) ; (-6,-7) ; (-4,-4) a la recta  3x – 4y – 4  = 0 27 Prof. Mónica Lordi

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Ecuación de la recta Prof. Mónica Lordi

  • 1. Ecuación de la recta Prof. Mónica Lordi
  • 2. Ecuación de la recta Las ecuaciones del tipo y = mx+ b representan rectas en el plano 2 Prof. Mónica Lordi
  • 3.
  • 4. y= x – 7 Ecuación explícita de la recta Llamaremos ecuación explícita de la recta a la expresión y = mx + b En esta ecuación se pueden distinguir los siguientes elementos: m = pendiente b = ordenada al origen x = variable independiente Recuerda: las expresiones de la forma y = mx + b representan rectas en el plano y = variable dependiente 3 Prof. Mónica Lordi
  • 5.
  • 6. Ordenada al origen 2 1 0 -1 y = x + 2 y = x + 1 y = x - 1 Observa, en la gráfica La recta de ecuación y= x + 2 , la ordenada al origen es b = 2 y = x + 1, la ordenada al origen es b = 1 y = x – 1, la ordenada al origen es b = -1 La ordenada al origen b determina la intersección de la recta con el eje Y 5 Prof. Mónica Lordi
  • 7.
  • 8.
  • 9. La recta crece dos unidades de y por cada unidad de x.
  • 10. Cuando x=0, la ordenada al origen es igual a 1.
  • 11. Recta decreciente, ya que la pendiente es negativa.
  • 12. La recta decrece una unidad de y por cada unidad de x.
  • 13. Cuando x=0, la ordenada al origen es igual 4.7 Prof. Mónica Lordi
  • 14. Otras formas de ecuaciones lineales Forma implícita:Ax + By + C = 0 Forma segmentaria:Si una recta corta a los ejes en los puntos P = (p,0) y Q = (0,q) su ecuación en forma segmentaria es: 8 Prof. Mónica Lordi
  • 15. FORMA SEGMENTARIA p q 9 Prof. Mónica Lordi
  • 16. Si la recta está escrita de otra forma, podemos escribirla en forma explícita y luego identificar my b Ejemplo 1: Determinar la pendiente y la ordenada al origen en la ecuación 2x + y – 8 = 0 Se despeja y (de la misma forma que se despeja cualquier ecuación) 2x + y = 0 + 8 y = -2x + 8 Luego, m = -2 y b = 8 10 Prof. Mónica Lordi
  • 17. Ejemplo 2: Encontrar la pendiente y la ordenada al origen de la recta de ecuación 4x – 8y + 16 = 0 Despejamos y 4x – 8y + 16 = 0 4x + 16 = 8y m = b = 2 11 Prof. Mónica Lordi
  • 18. Ejemplo 3: Encontrar la pendiente y la ordenada al origen de la recta de ecuación Despejamos y 12 Prof. Mónica Lordi
  • 19. Ejercicio 1:Encontrar la pendiente y la ordenada al origen de las siguientes rectas: g) 13 Prof. Mónica Lordi
  • 20. Cálculo de la pendiente de una recta
  • 21. Cuando se tienen dos puntos cualesquiera de una recta (x1, y1) y (x2 ,y2 ) la pendiente m queda determinada por el cociente entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, es decir: 15 Prof. Mónica Lordi
  • 22. Cuando se tienen dos puntos de una recta (x1, y1) y (x2 ,y2 ) la pendiente m queda determinada por el cociente entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, es decir: (x2 , y2) y2 – y1 m = y2 – y1 x2 – x1 (x1 , y1) x2 – x1 16 Prof. Mónica Lordi
  • 23. (x2 , y2) y2 y2 – y1 (x1 , y1) Cálculo de la pendiente de una recta y1 x2 – x1 x1 x2 17 Prof. Mónica Lordi
  • 24. Ejemplo 1 Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 7 , 2 ) y ( 9 , 14) x2 y2 Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2 x1 y1 12 y2 – y1 14 – 2 m = = = = 6 2 x2 – x1 9 – 7 Reemplazamos estos valores en la fórmula 18 Prof. Mónica Lordi
  • 25. Ejemplo 2 Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( -5 , 1 ) y ( 9 , -3) x1 y1 x2 y2 Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2 -4 y2 – y1 -3 – 1 -2 m = = = = 14 x2 – x1 7 9 – (-5) Reemplazamos estos valores en la fórmula 19 Prof. Mónica Lordi
  • 26. Ejemplo 3 Encontrar la pendiente de la recta del gráfico: En este caso debemos identificar las coordenadas de dos puntos de la recta: ( 0 , 4 ) y ( 5 , 0) (0,4) x1 y1 x2 y2 (5,0) Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2 y2 – y1 0 – 4 -4 m = = = x2 – x1 5 5 – 0 Reemplazamos estos valores en la fórmula 20 Prof. Mónica Lordi
  • 27. Ejercicio 2 I) Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos: A) (3 , -6) y (-2 , -2) B) (7 , -9) y (0 , -1) C) (-3 , -4) y el origen D) (3 , -4) y ( 2 , -6) 21 Prof. Mónica Lordi
  • 28. A) B) II) Encontrar las pendientes de las rectas graficadas: 22 Prof. Mónica Lordi
  • 29. Puntos que pertenecen a una recta
  • 30. 2 1 0 -1 -1 1 2 3 ¿Cómo determinar cuando un punto pertenece o no pertenece a una recta? 24 Prof. Mónica Lordi
  • 31. ¡Muy sencillo! ¡Se reemplaza las coordenadas del punto dado (x , y) en la ecuación y = mx + b! Ejemplo 1: Determinar si el punto (1,3) pertenece a la recta y = -3x + 6 (1 , 3 ) Reemplazamos x = 1 , y = 3 en la ecuación = -3 • 1 + 6 y resolvemos las operaciones para verificar si hay equilibrio entre ambos miembros 3 = -3 + 6 3 = 3 Por lo tanto, el punto (1,3) pertenece a la recta y = -3x + 6 25 Prof. Mónica Lordi
  • 32. 3 = -2 + 1 3 = -1 Ejemplo 2: Determinar si el punto (-1,3) pertenece a la recta y = 2x + 1 (-1 , 3 ) Reemplazamos x = -1 , y = 3 en la ecuación = 2• (-1) + 1 y resolvemos las operaciones para verificar si hay equilibrio entre ambos miembros Por lo tanto, el punto (-1,3) no pertenece a la recta y = 2x + 1 26 Prof. Mónica Lordi
  • 33. Ejercicio 3: Determinar si los puntos pertenecen a la recta dada A) ( , 0) ; (-2 , 7) ; (0,1 ) a la recta y = -3x + 1 B) (-3 , 1) ; (9,9) ; (-6,1) a la recta y = x + 3 C) (4,2) ; (-6,-7) ; (-4,-4) a la recta 3x – 4y – 4 = 0 27 Prof. Mónica Lordi
  • 34. Ecuación de la recta a partir de dos puntos del plano (x2, y2) y = mx + b (x1, y1)
  • 35.
  • 36.    Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente, es decir  y Entonces: Q(x2 , y2) que también se puede expresar como: R(x , y) 29 Prof. Mónica Lordi
  • 37. ¿Y cómo usamos esta fórmula? Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2 , 4) y (5, 10) x1 y1 x2 y2 Identificamos x1 , y1 , x2 , y2 y – y1 y2 – y1 = Reemplazamos estos valores en la fórmula x– x1 x2 – x1 y – 4 10– 4 Efectuamos los “productos cruzados” = x– 2 5– 2 y – 4 2 = y – 4 6 x– 2 1 = x– 2 3 y – 4 = 2x - 4 ordenamos y = 2x – 4 +4 30 Prof. Mónica Lordi Y tenemos nuestra ecuación y = 2x
  • 38.
  • 39. Ejercicio 4 : I) Encontrar la ecuación de recta que pasa por los puntos A) (3,5) y (2, 8) B) (-2 , -3) y (5 , 3) C) (3 , 5 ) y ( -4, 5) D) (-1, 1) y el origen 32 Prof. Mónica Lordi
  • 40. II) Encontrar la ecuación de recta de los siguientes gráficos 33 Prof. Mónica Lordi