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RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.
APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN
RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO
ORDEN: HOMOGENEAS Y NO HOMOGENEAS. METODO DE LOS
COEFICIENTES INDETERMINADOS Y VARIACION DE PARAMETROS.
RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN
SUPERIOR: HOMOGENEAS Y NO HOMOGENEAS. METODO LOS
COEFICIENTES INDETERMINADOS Y VARIACION DE PARAMETROS.
RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO
ORDEN ALREDEDOR DE PUNTOS ORDINARIOS. (SERIE DE TAYLOR)
Escuela Superior Politécnica del Litoral
Solucionario de Problemas
de Ecuaciones
Diferenciales
Primer parcial (3ra versión)
Roberto Cabrera
09
Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 2
Ecuaciones Diferenciales separables
Se tiene una ecuación diferencial ordinaria de primer orden:
XY
XY
ͨ{Y Y{
Se dice que ecuación diferencial de primer orden es separable si se puede expresar la esa
ecuación diferencial de la siguiente manera:
XY
XY
ͨ{Y{ͩ{Y{
Donde ˘{˲ ˳{ se lo expresa como una multiplicación de dos funciones, una que depende de la
variable “x” y otra de la variable “y”. En este caso se obtiene la siguiente solución de esta
ecuación diferencial:
XY
XY
ͨ{Y{ͩ{Y{
XY
ͩ{Y{
ͨ{Y{XY
XY
ͩ{Y{
ͨ{Y{XY
Donde la solución de esta ecuación diferencial separable tiene la siguiente forma:
{Y{ {Y{ - V
1.- Encontrar la solución implícita de la siguiente ecuación diferencial:
00003)3)3)3)----yyyy----3x3x3x3xdx(xydx(xydx(xydx(xy----8)8)8)8)----4y4y4y4y2x2x2x2x----dy(xydy(xydy(xydy(xy =++
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
c4xln5x3yln5y
4x
dx5
dx
3y
dy5
dy
4x
dx5
4x
dx4x
3y
dy5
)3y(
dy)3y(
4x
dx1x
3y
dy2y
ecuaciónladeladosambosaIntegramos
4x
dx1x
3y
dy2y
);x(g)y(f
4)2)(x-(y
1)-3)(x(y
dx
dy
2)-4(y2)-x(y
3)(y-3)x(y
dx
dy
8-4y2x-xy
3-y-3xxy
dx
dy
++−=+−
+
−=
+
−
+
−
+
+
=
+
−
+
+
+
−
=
+
−
⇒
+
−
=
+
−
=
+
+
=
+
++
=
+
+
=
∫∫∫ ∫
∫∫∫ ∫
∫∫
Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 3
[ ]
( )[ ]
[ ];)e(2arctany
:esparticularsoluciónLa
1;KK;
4
tan
arctan(K);/4
;Ke2arctan/4
/4;y(0)si
;K)e(2arctany
:esgeneralsoluciónLa
K;)e(2tan(y)
;ee
c;e23lntan(y)ln
:vyudoReemplazan
3x
0
3x
3x
ce23lntan(y)ln
x
x
−=
=⇒=





=
−=
⇒
=
−=
−=
=
+−=
+−
;ce1ln2eln2
e
2
eye
:esgeneralimplicitasoluciónLa
;
)e(1e
dx
eye
;ce1ln2eln2
e
2
)e(1e
dx
;cu1ln2uln2
u
2
)u(1u
du2
;
u1
du
2
u
du
2
u
du
2
)u(1u
du2
;du
u1
1
u
1
u
1
2
)u(1u
du2
1;C1;-B1;A
:sonCB,A,devaloreslosDonde
;
u1
C
u
B
u
A
)1u(u
1
:obtenemosparcialesfraccionesporIntegrando
x/2x/2
x/2
yy
x/2x/2
yy
x/2x/2
x/2x/2x/2
2
22
22
22
+++−−=−⇒
+
=−
+++−−=
+
⇒
+++−−=
+
⇒
+
+−=
+
⇒












+
+−=
+
⇒
===
+
++=
+
∫
∫
∫
∫ ∫∫∫
∫∫
2.- Encontrar la solución particular de la siguiente ecuación diferencial:
SiSiSiSi ;)(y
4
0
π
=
3.- Exprese de forma implícita la solución de la siguiente ecuación diferencial:
0000
))))eeee(1(1(1(1eeee
dxdxdxdx
ydyydyydyydyeeee x/2x/2x/2x/2yyyy
x/2x/2x/2x/2
=
+
−
∫∫∫
∫
∫∫
+
=
+
=
+
⇒
=⇒=
=⇒=
=
+
+
=
=
+
=
=
+
=
+
=
)u(1u
du2
)uu(1
u
du2
)e(1e
dx
;
u
du2
dxudx
2
1
du
;dxe
2
1
dueu
?
)e(1e
dx
;
)e(1e
dx
dyye
;
ye
1
)y(g
;
)e(1e
1
)x(f
);y(g).x(f
)yee(1e
1
dx
dy
;
)e(1e
dx
ydye
2x/2x/2
2/x2/x
x/2x/2
x/2x/2
y
y
x/2x/2
yx/2x/2
x/2y
x/2
c;v3lnuln
;
v
3dv
u
du
:doReemplazan
dx;edve2v
(y);secdutan(y)u
;
)e(2
dx3e
tan(y)
(y)dysec
;
)e(2
dx3e
tan(y)
(y)dysec
f(x).g(y);
(y))sece(2
tan(y)3e
dx
dy
tan(y)dx;3e(y)dy)sece(2
0(y)dy)sece(2tan(y)dx3e
xx
2
x
x2
x
x2
2x
x
x2x
2xx
+=
=
⇒
−=⇒−=
=⇒=
−
−=
−
−=
=
−
−
=
−=−
=−+
∫∫
∫∫
Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 4
4.- Encuentre la solución general de la siguiente ecuación diferencial:
0dy)xln(1x)ee(dx)xln(y2 yy
====++++−−−−−−−− −−−−
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )( )
;
!1n21n2
y
dy
!1n2
y
dy
!1n2
y
;dx
)xln(1x
)xln(
dy
!1n2
y
:emplazandoRe
;
!1n2
y
y
)y(senh
!1n2
y
)y(senhSi
dy
y
)y(senh
;dx
)xln(1x
)xln(
dy
y
)y(senh
)y(senh
2
)ee(
;dx
)xln(1x
)xln(
dy
y2
)ee(
;dx
)xln(1x
)xln(
dy
y2
)ee(
)xln(1x)ee(
)xln(y2
dx
dy
;
)xln(1x
)xln(
)ee(
y2
)y(f
);x(g).y(f
)xln(1x)ee(
)xln(y2
dx
dy
;dx)xln(y2dy)xln(1x)ee(
0n
1n2
0n
n2
0n
n2
0n
n2
0n
n2
0n
1n2
yy
yy
yy
yy
yy
yy
yy
∑∫∑
∑
∫∫∑
∑∑
∫∫
∫∫
∞+
=
+∞+
=
∞+
=
∞+
=
∞+
=
∞+
=
+
−
−
−
−
−
−
−
++
=
+
+
+
=
+
+
=⇒
+
=
+
=
=
−
+
=
−
+
=
−
+−
=
+
=∧
−
=
=
+−
=
=+−
:queobtenemosIntegrando
:potenciasdeseriesusardebemosintegrarPara
:siguientelotenemosentoncesqueobservamosSi
:obtieneseecuaciónladeladosambosaIntegrando
g(x)
Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 5
( )
( )
( )( )
( ) C
3
2
!1n21n2
y
;C
3
2dx
C
3
2
;Cz
3
z
2
z
;
z
;duzdz2u1
;dx
Si
?dx
dx
3
1n2
3
3
3
+








+−
+
=
++
+








+−
+
=
+
⇒
+








+−
+
=
+
⇒
+





−==⇒
=
+
⇒
=⇒+=
+
=
+
⇒
=⇒=
=
+
+
∑
∫
∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫
∞+
=
+
ln(x)1
ln(x)1
:esimplícitaformadegeneralsolucionLa
ln(x)1
ln(x)1
ln(x)1x
ln(x)
u1
u1
u1
udu
21)dz-(z
1)2zdz-(z
1)2zdz-(z
u1
udu
zAhora
u1
udu
ln(x)1x
ln(x)
x
dx
duln(x)u
ln(x)1x
ln(x)
:
ln(x)1x
ln(x)
integrandoAhora
0n
2
2
2
2
Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 6
Ecuaciones Diferenciales Lineales
Las ecuaciones diferenciales lineales tienen la siguiente forma:
g(x);p(x)yy' =+
Existen dos métodos para resolver este tipos de ecuaciones:
El método del factor integrante.
Método de variación de parámetros
El método del factor integrante:
[ ]
[ ]
[ ]
;u(x)g(x)dx
u(x)
1
y
;u(x)g(x)dxu(x)y
;u(x)g(x)dxu(x)yd
u(x)g(x);u(x)y
dx
d
u(x)g(x);p(x)yy'u(x)
;eu(x)
p(x)dx
∫
∫
∫∫
=
=
=
=
=+
∫=
=+ g(x);p(x)yy'
Método de variación de parámetros
v(x);y'v'(x)yy'
v(x);yy
Asumir:
ey
p(x)dx;y
p(x)dx;
y
dy
;p(x)y
dx
dy
;p(x)y'y
;p(x)y'y
hh
h
p(x)dx;
h
h
h
h
h
h
hh
hh
++++====
====
====
−−−−====
−−−−====
−−−−====
−−−−====
====++++
====++++
∫∫∫∫ −−−−
∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫
ln
0
g(x);p(x)yy'
[[[[ ]]]]
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]
[[[[ ]]]]
[[[[ ]]]]
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫====
====
====
====
====
====
====++++
====++++
====++++++++
====++++++++
====++++
−−−−
dx;
y
g(x)
ey
v(x);yy
dx;
y
g(x)
v(x)
dx;
y
g(x)
dv
g(x);y
dx
dv
g(x);yv'(x)
g(x);v(x)yv'(x)
s:, entoncep(x)yPero y'
g(x);p(x)yy'v(x)yv'(x)
g(x);v(x)p(x)yv(x)y'v'(x)y
g(x);p(x)yy'
:emplazando
h
p(x)dx
h
h
h
h
h
h
hh
hhh
hhh
0
0
Re
Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 7
1) ;
ctg(x)(x)sen
x
yxy'
42
3
=−2
[ ]
;C
3
)X(ctg4
xy
;C
3
)X(ctg4
y
x
1
;C
3
)X(ctg4
C
3
)X(ctg4
dx
ctg(x)
)x(csc
3
u4
4/3
u
duu
u
du
dx
ctg(x)
)x(csc
;dx)x(cscdu)x(ctguSi
;dx
ctg(x)
)x(csc
dx
ctg(x)(x)sen
1
;dx
ctg(x)(x)sen
1
y
x
1
;dx
ctg(x)(x)sen
1
y
x
1
d
;
ctg(x)(x)sen
1
y
x
1
dx
d
;
ctg(x)(x)sen
x
x
1
y
x
2
y'
x
1
;
x
1
xeee)x(u
;
ctg(x)(x)sen
x
y
x
2
y'
4 3
2
4 3
2
4 34/3
4
2
4/34/3
4/1
44
2
2
4
2
42
422
422
422
42
2
22
2
2)xln()xln(2
dx
x
2
42
2
2








+−=
+−=⇒
+−=+−=⇒
−=





−=−=
−
=⇒
−=⇒=
=








⇒








=⇒








=





⇒








=













=





−
====∫=
∫=
=+
=−
∫
∫∫∫
∫∫
∫
∫∫
−
−−
− −
:esldiferenciaecuacionladegeneralsoluciónLa
:ecuaciónladeladosambosau(x)integrantefactorelemosMultipliqu
eu(x)
:u(x)integrantefactorelsEncontremo
:integrantefactordelmétodoelaplicarpodemostantoloPor
g(x);p(x)yy'formalaTiene
p(x)dx
Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 8
2) 


≥
<≤
===+
2x;2x-
2x0;
p(x)1;y(0)1;p(x)yy'
1
Para el intervalo 2x0 <≤ resolvemos la ecuación diferencial, donde 1p(x)= :
( )
( )
( )
( )
2;xpara
:potenciasdeseriesusar
snecesitamointegrarparaPero
lineal)dif.(Ec.1;y'-2xy
-2x;p(x)2,xparaAhora
>+
+
−
=⇒
+
+
−
=⇒
−
=⇒
=⇒=
=
=
=∫=
=
=≥
∑
∑
∫∑
∫∫∫
∞+
=
+
∞+
=
+
−
∞+
=
−
−
−−−−
−
−
−−
−−
;ke
!n)1n2(
x1
ey
;k
!n)1n2(
x1
ye
;dx
!n
x1
ye
dxe
;dxeye;dxe)ye(d
;e
dx
)ye(d
);1(exy2y'-e
;ee)x(u
2
0n
x
1n2n
x
2
0n
2
1n2n
x
0n
n2n
x
x
xxxx
x
x
xx
xxdx2
22
2
2
2
2222
2
2
22
2
2x0para
);separabledif.(Ec.
<≤=⇒
=⇒−=
=
−=
=−
=
+−=−
+=−−
=
−
⇒=
−
−=⇒=+
=+
−
−
+−−
∫∫
1y
;0k;ek11
;1)0(yPero
;ek1y
;eky1
;ee
Kxy1ln
;Cxy1ln
;dx
y1
dy
dx
y1
dy
;y1
dx
dy
;1y
dx
dy
;1y'y
1
1
0
1
x
11
x
1
Kxy1ln
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
;
!n1n2
21
2
e
1
k
;
!n1n2
221
e
1
k;ke
!n1n2
221
e1
;ke
!n1n2
221
e1;ke
!n1n2
21
e1
;ke
!n1n2
x1
e1
;yy
);x(f)x(f
0n
n2n
42
0n
n2n
422
4
0n
n2n
4
2
4
0n
n2n
4
2
2
0n
1n2n
2
2
x
0n
1n2n
x
2x2x
2
2x
1
2x
axax
22
22
limlim
limlim
limlim
∑
∑∑
∑∑
∑
∞+
=
∞+
=
∞+
=
∞+
=
∞+
=
+
∞+
=
+
→→
→→
→→
+
−
−=⇒
+
−
−=⇒=
+
−
−⇒
+
+
−
=⇒+
+
−
=⇒






+
+
−
=⇒
=⇒
=
+−
+−
+−
:dicecondiciónEsta
:funcionesdosdedcontinuidadecondición
lausaremoskencontrarparaAhora 2
( ) ( )
( )




≥





+
−
−+
+
−
<≤
=
∑∑
∞+
=
∞+
=
+
2x
2x0;
:enciacorresponddereglasiguientela
conexpresadaquedasoluciónLa
;
!n1n2
21
2
e
1
e
!n)1n2(
x1
e
1
y
0n
n2n
4
0n
x
1n2n
x 22
Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 9
3.- Resolver la siguiente ecuación diferencial:
xe
y
dx
dy
y
2+
=
Si observamos que esta es una ecuación diferencial no separable, no lineal con respecto
a y, que tal si hacemos que nuestra variable independiente sea “y”, y que “x” nuestra
variable dependiente, es decir obtener nuestra solución en función de “y” ( ))y(fx = .
( )
( )
[ ]
[ ] [ ] [ ]
∫∫
∫∫
=⇒=
=⇒=⇒=
=







−⇒=−
=
=⇒==
∫
=−=
∫=
=+
=+
=−⇒=−−⇒
=−−≡=−−
=+
=+
−
−−−
−
−
−
dy
y
e
ydy
y
e
xy
dy
y
e
xydy
y
e
xy
y
e
xy
.
y
e
y
x2
'x
y
e
y
x2
'x
e;
y
2
)y(p
;
;g(y)p(y)xx'
;
y
e
y
x2
'x;0
y
x2
y
e
'x
;0x2e'yx;0x2e
dy
dx
y
;
dy
dx
yx2e
;ydxdyx2e
3
y
2
3
y
2
3
y
2
3
y
2
3
y
2
y
xy
y
yln2
yy
yy
y
y
2
x
dd
dy
d
yy
:ldiferenciaecuaciónladeladosambosayu(y)integrantefactorelndoMultiplica
yu(y)yeu(y)sentonce
eu(y)
:ydedependeahoraintegrantefactorEl*
:integrantefactordelmétodoelApliquemos
:nteindependievariablelay esAhora
g(y);p(y)xx'formalaTiene
2-
dy
d
2-
2-
2-2-
dy
y
2
p(y)dy
4434421








+
−
++−−==








+++=
=⇒=
∑∫
∫ ∫ ∑∑
∑∑
∞+
=
−
∞+
=
−
∞+
=
−
∞+
=
−
∞+
=
;C
!n)2n(
y
)yln(
2
1
y
1
y2
1
dy
e
y)y(x
!n
y
y!2
1
y!1
1
y!0
1
dy
!n
y
!n
y
y
e
!n
y
e
dy
e
3n
2n
2
y
2
3n
3n
23
0n
3n
0n
3n
0n
3
yn
y
y
2
3
3
y
y
:potenciasdeseriesusamos
y
integrarPara
La solución es:








+
−
++−−=
∑
+∞
=
2
3n
n
2
yC
2)n!(n
y
ln(y)y
2
1
y
2
1
x
Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 10
4.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial:
;0==− y(1);sen(ln(x))xyxy' 2
Utilizando el método del factor integrante:
;x)x(u
;eee)x(u
;
x
1
e)x(u
e)x(u
;(x))lnxsen(
x
y
y'
;(x))lnsen(xyxy'
1
)xln(dx
x
1
dx)x(p
dx)x(p
;dx)x(p
2
−
−∫−
∫
∫
∫
=⇒
===⇒
−==⇒
=
=+
=−
=−
p(x)donde;
:entoncesg(x),p(x)yy'formasiguientelaTiene
[ ]
[ ] [ ] [ ]
∫
∫
∫∫
=
=
=⇒=⇒=
=−
−
−−−
−−−
−
(x))dxlnsen(xy
(x))dxlnsen(yx
(x))dxlnsen(yxd(x))dxlnsen(yxd(x))lnsen(yx
dx
d
;(x))lnxsen(x
x
y
xy'x
1
111
1
yx
dx
d
11
1
:obtieneseldiferenciaecuaciónladeladosambosaintegrantefactorelndoMultiplica
4434421
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] ;Cx
2
))xcos(ln())x(ln(senx
y
C
2
))xcos(ln())x(ln(senx
xy
;C
2
))xcos(ln())x(ln(senx
dx))x(ln(sen
;C
2
)zcos()z(sene
dze)z(sen
dze)z(sen
;dze)z(sendx))x(ln(sen
;dzedx
;;xdzdx
;
x
dx
dz);xln(z
?dx))x(ln(sen
2
z
z
z
z
z
+
−
=




+
−
=⇒
+
−
=⇒
+
−
=
=
=
==
=⇒=
=
∫
∫
∫
∫∫
∫
:queobtenemospartesporintegrando,
exPero z
[ ]
[ ]
[ ]
;
2
1
C;C
2
1
0
;C
2
)0cos()0(sen
0
);1(C
2
))1cos(ln())1(ln(sen1
0
;0)1(y
;Cx
2
))xcos(ln())x(ln(senx
y
2
2
=⇒+−=⇒
+
−
=⇒
+
−
=⇒
=
+
−
=
= 0;y(1)siparticularsoluciónlaahorasEncontremo
[ ]
2
x
2
cos(ln(x))sen(ln(x))x
y
:essoluciónLa
2
+
−
=
Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 11
Ecuaciones diferenciales Exactas
Las ecuaciones diferenciales exactas tienen la siguiente forma:
0;y)F(x,
:essoluciónlaDonde
h(x);y)H(x,y)F(x,
:obtieneseforma,mismaladeprocedemosyeligeseSi
:essolucíonLa
:Entonces
y).F(x,deconstanteLa
y);N(x,
y
y)F(x,
conigualandoLuego
:yarespectocony)F(x,derivandoLuego
:obtienesey),M(x,escogemosSi
:quetaly)F(x,
:existeEntonces
x
y)(x,
y
y)M(x,
:siexactaEs
0;y)y'N(x,y)M(x,
=
+=
=
∂
∂
=+
=
+=
=
−=
=+
=
∂
∂
+=
∂
∂
+=
∂=∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=+
∫∫
,N(x,y)
y
F(x,y)
;0h(y)G(x,y)
;0F(x,y)
h(y);G(x,y)F(x,y)
)y(h
G'(x,y);N(x,y)h'(y)
N(x,y);h'(y)G'(x,y)
);y('h)y,x('G
y
)y,x(F
h(y);G(x,y)F(x,y)
;xM(x,y)F(x,y)
M(x,y)
x
F(x,y)
x
)y,x(F
N(x,y);
y
F(x,y)
M(x,y);
x
F(x,y)
;NM
;
N
xy
Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 12
1.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial:
( ) 0dyxxln(x)
y
e
xdx4xxyln(x)
x
e
y4x
xy
43
xy
3
=





−+−+





−++−
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
);x(hxy)xln(yx
!nn
yx
)yln(yx)y,x(F
;
!nn
yx
)yln(y
!n
yx
y
1
y
y
e
;
!n
yx
y
1
!n
yx
!n
xy
y
1
y
e
y
y
e
);x(hxy)xln(yxy
y
e
yx)y,x(F
;yx(x)lnx
y
e
x(F(x,y))
y;x(x)lnx
y
e
x(F(x,y))
x;(x)lnx
y
e
x
y
(F(x,y))
x;(x)lnx
y
e
xFy
Si
Existe
NxMy
;(x)lnex4Nx
)y,x(N
;(x)lnex4M
;4xx(x)lny
x
e
yx4M(x,y)
1n
nn
4
1n
nn
1n
1nnxy
1n
1nn
0n
1nn
0n
nxy
xy
xy
4
xy
4
xy
4
xy
4
xy
4
xy3
xy3
y
3
xy
3
+−+−−=
+=∂







+=∂







+===
∂







+−+∂







−=
∂







−+−=∂
∂







−+−=∂
−+−=
∂
∂
−+−=
=



=
=
⇒
=
+−=
−+−=
+−=
−++−=
=





−+−+





−++−
∑
∑∫ ∑∫
∑∑∑
∫
∫∫
∞+
=
∞+
=
∞+
=
−
∞+
=
−∞+
=
−∞+
=
:potenciasdeseriesusaseintegrarPara
:ecuaciónladeladosambosaintegrandoEntonces
:siguienteloobtieneseentoncesy),N(x,Fy
y)N(x,Fy
y)M(x,Fx
dondey),F(x,funciónuna
exacta;esldiferenciaecuacionlaentonces;
x;xln(x)
y
e
x
0y'xxln(x)
y
e
x4xxyln(x)
x
e
y4x
xy
4
xy
43
xy
3
Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 13
( )
( ) ( )
( )( )
[ ]
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ;0C4x
7
4x
3xy)xln(yx
!nn
yx
)yln(yx
;C4x
7
4x
3xy)xln(yx
!nn
yx
)yln(yx)y,x(F
;C4x
7
4x
3)x(h
;Cz
7
z
3)z(h
;dzz4z3)z(h
;dzz3z4z)z(h
;4zx
4xz
;dxdzz3;4xz
;dx4xx)x(h
;4xx)x('h
;4xx(x)lny
x
e
yx4)x('h)xln(y
x
e
yx4
:
);x('h)xln(y
x
e
yx4Fx
);x('hy)xln(yy
!n
yx
yx4Fx
);x('hy)xln(1y
!nn
yxn
yx4Fx
;4xx(x)lny
x
e
yx4Fx
43
73
1n
nn
4
4
3
7
3
1n
nn
4
4
3
7
3
4
7
36
23 33
3
3
23
3
3
3
xy
3
xy
3
xy
3
1n
n1n
3
1n
n1n
3
3
xy
3
=








+−+
−
+−+−−
=








+−+
−
+−+−−=








+−+
−
=






++=
+=
+=
+=
−=
=⇒−=
−=
−=
−++−=++−
++−=
+−++−=
+−++−=
−++−=
=
=
∑
∑
∫
∫
∫
∑
∑
∞+
=
∞+
=
∞+
=
−
∞+
=
−
:decires0,y)F(x,simplicitaesoluciónLa
:Entonces
:h(x)Obteniendo
:términosEliminando
FxdoreemplazanEntonces
y);M(x,Fx
:siguienteloobtieneseentoncesM,FxsiAhora
Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 14
2.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial:
0y'
2y
y
yx1)ln(xx2xyxy
1x
xy
y 8
3
222
=





−
++++−+





+
+
− ;
2y
y
yx1xlnxxy2N(x,y)
xy
1x
xy
yM(x,y)
8
3
2
22
−
++++−=
+
+
−=
);y('hyx1xlnxxy2Fy
);y(h
2
yx
1xlnyxyxy)y,x(F
);y(h
2
yx
x
1x
1
yxyxy)y,x(F
);y(h
2
yx
x
1x
11x
yxy)y,x(F
);y(h
2
yx
x
1x
x
yxy)y,x(F
x;xy
1x
xy
y(F(x,y))
xy
1x
xy
y
x
(F(x,y))
;xy
1x
xy
yM(x,y)Fx
Si
Existe
;NxMy
;xy2
1x
x
y2Nx
;xy2
1x
1x1
y2Nx
;xy2
1x
1
1y2Nx
xy2
1x
x
y2My
2
22
2
22
2
22
2
22
2
22
22
22
++++−=
=
=
++++−=
++∂
+
+∂−=
++∂
+
−+
−=
++∂
+
−=
∂





+
+
−=∂
+
+
−=
∂
∂
+
+
−==
=



=
=
⇒
=
+
+
−=
+
+
−−
+=
+
+
+−=
+
+
−=
∫ ∫
∫
∫
y);N(x,Fy
:siguienteloobtieneseentoncesy),N(x,FysiAhora
:siguienteloobtieneseentoncesy),M(x,Fx
y)N(x,Fy
y)M(x,Fx
dondey),F(x,funciónuna
exacta.esldiferenciaecuaciónla
Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 15
( )
;0C
2y
2y
ln
28
1
2
yx
1xlnyxyxy
;C
2y
2y
ln
28
1
2
yx
1xlnyxyxy)y,x(F
;C
2y
2y
ln
28
1
)y(h
;C
2z
2z
ln
28
1
)z(h
;K
2z
2z
ln
22
1
4
1
2z
dz
4
1
)z(h
;dyy4dz;yz
;dy
2y
y
)y(h
;dy
2y
y
)y(h
;
2y
y
)y('h
2y
y
yx1xlnxxy2);y('hyx1xlnxxy2
:
4
422
2
4
422
2
4
4
2
34
24
3
8
3
8
3
8
3
22
=+
+
−
++++−
=
+
+
−
++++−=
+
+
−
=
+
+
−
=








+
+
−
=
−
=
=⇒=
−
=
−
=
−
=
−
++++−=++++−
∫
∫
∫
:decires0,y)F(x,simplicitaesoluciónLa
:Entonces
:h(y)Obteniendo
:términosEliminando
FydoreemplazanEntonces
3.- Determine el valor de N(x,y) para que la siguiente ecuación diferencial sea
exacta, luego encuentre la solución de forma implícita:
0y)dyN(x,dx
yx
x
xy 2
1/21/2
=+





+
+−
Para que la ecuación diferencial sea exacta debe cumplirse que My = Nx
( )
( )
( )
;x
yx
x
xy
2
1
)y,x(N
;
yx
x
xy
2
1
x
)y,x(N
;
yx
x
xy
2
1
Nx
;MyNx
22
2/12/1
22
2/12/1
22
2/12/1
∂








+
−=∂
+
−=
∂
∂
+
−=
=
−−
−−
−−
Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 16
( )
( )
( )
;C
yx2
1
xy)y,x(N
;C
u2
1
xy)y,x(N
;
u
u
2
1
xy)y,x(N
;xx2u
;yxu
;x
yx
x
xy)y,x(N
;x
yx
x
xy
2
1
)y,x(N
2
2/12/1
2/12/1
2
2/12/1
2
22
2/12/1
22
2/12/1
+
+
+=
++=
∂
−=
∂=∂
+=
∂








+
−=
∂








+
−=∂
−
−
−
−
−−
∫
∫
∫∫
( )
0dyC
yx2
1
xydx
yx
x
xy 2
2/12/1
2
2/12/1
=







+
+
++







+
+ −−
Ahora como My = Nx;
);y('h
)yx(2
1
yxFy
h(y);yxln
2
1
xy2F(x,y)
;
u
u
2
1
xy2F(x,y)
x;x2u
y;xu
x;
yx
x
xy2F(x,y)
x;
yx
x
xyF(x,y)
x;
yx
x
xy(F(x,y))
yx
x
xy
x
(F(x,y))
;
yx
x
xyM(x,y)Fx
Si
Existe
2
2/12/1
22/12/1
2/12/1
2
2
2/12/1
2
2/12/1
2
2/12/1
2
2/12/1
2
2/12/1
+
+
+=
=
=
+++=
∂
+=
∂=∂
+=
∂
+
+=
∂







+
+=
∂







+
+=∂
+
+=
∂
∂
+
+==
=



=
=
⇒
−
−
−
−
−
∫
∫
∫
y);N(x,Fy
:siguienteloobtieneseentoncesy),N(x,FysiAhora
:siguienteloobtieneseentoncesy),M(x,Fx
y)N(x,Fy
y)M(x,Fx
dondey),F(x,funciónuna
Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 17
( )
;0;KCxyxln
2
1
xy2
K;Cxyxln
2
1
xy2F(x,y)
h(y);yxln
2
1
xy2F(x,y)
;KCx)y(h
;C)y('h
;C
yx2
1
xy);y('h
)yx(2
1
yx
:
22/12/1
22/12/1
22/12/1
2
2/12/1
2
2/12/1
=++++
=
++++=
+++=
+=
=
+
+
+=+
+
+ −−
:decires0,y)F(x,simplicitaesoluciónLa
:Entonces
:h(y)Obteniendo
:términosEliminando
FydoreemplazanEntonces
Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 18
Ecuaciones diferenciales exactas con factor integrante
exacta.esldiferenciaecuaciónlaAhora
:ydedependequeintegrantefactorUn
exacta.esldiferenciaecuaciónla
:esxdedependesoloqueintegrantefactorUn
:integrantefactorunnecesitasetantoloporexacta,noldiferenciaecuaciónunaesEntonces
Nx;MySi
;0y'u(y)N(x,y)u(y)M(x,y)
;eu(y)
Ahora
;0y'u(x)N(x,y)u(x)M(x,y)
;eu(x)
;0'y)y,x(N)y,x(M
dx
N(x,y)
Nx-My
dx
N(x,y)
My-Nx
=+
∫
=
=+
∫
=
≠
=+
1) ( ) 1;y(1)Si0;dy203y2xxydx 22
==−++
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
;4
;2032),(
;4
;),(
;02032
02032
;)(
;)(
4
2032
3
3532
3
4
35324
2233
3
3
22
xyNx
yyyxyxN
xyMy
xyyxM
dyyyyxdxxy
;dyyxyxydxy
yyu
yyu
x;Nx
;yxN(x,y)
x;My
xy;M(x,y)
dy
y
dy
xy
dy
====
−−−−++++====
====
====
====−−−−++++++++
====−−−−++++++++
====
====
∫∫∫∫
====
∫∫∫∫
====
∫∫∫∫
====
≠≠≠≠
====
−−−−++++====
====
====


















:ecuaciónladeladosambosau(y)andomulitiplicLuego
ee
eu(y)
:integrantefactorsuencontrardebemostantoloPor
exacta;esnoldiferenciaecuaciónlaentoncesNx;My
3x-4x
y)M(x,
My-Nx
Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 19
(((( ))))
;Cy
yyx
C;y
yyx
F(x,y)
Cy
y
yh
dyyyyh
;yyh'(y)
;yyyxh'(y)yx
yh
yx
yxF
xxyyxF
xy
x
yxF
05
22
5
22
;5
2
)(
;203)(
203
20322
);(
2
),(
;),(
;
)),((
4
642
4
642
4
6
35
35
353232
42
4
4
====++++−−−−++++
++++−−−−++++====
++++−−−−====
−−−−====
−−−−====
−−−−++++====++++
====
++++====
∂∂∂∂====
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
====



====
====
∃∃∃∃
====
∫∫∫∫
∫∫∫∫
:Entonces
y);N(x,Fy
y);M(x,Fx
y);N(x,Fy
y);M(x,Fx
:talquey))(F(x,
:exactaesldiferenciaecuaciónlatantoloporNx,My
2) ( )[ ] 0;dxln(x)1xyy-2xdy 3
=++
( )( ) ( ) ( )
;08y10yyx
;04y5
2
y
2
yx
;4C
;15C
;0C5
2
1
2
1
;0C15
2
1
2
11
;0Cy5
2
y
2
yx
4642
4
642
4
642
4
642
=+−+
=+−+
=
−=
=+−+
=+−+
=+−+
=
:soluciónLa
1;y(1)Si
Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 20
( )[ ]
( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )[ ] ( )
( )
( )
( )
( )
C)y(h
;0h'(y)
;
y
x2
h'(y)
y
x2
);y(h
4
x
)xln(
2
x
2
x
y
x
)y,x(F
;x(x)ln1x
y
1
)y,x(F
;(x)ln1x
y
1
x
))y,x(F(
;
y
2
Nx
;
y
x2
)y,x(N
;
y
2
My
;(x)ln1x
y
1
)y,x(M
;0dy
y
x2
dx(x)ln1x
y
1
;0xdy2
y
1
dx-(x)ln1xyy
y
1
;
y
1
ee)y(u
ee)y(u
;e
)y,x(N
(x);lnxy3xy31My
;(x)ln1xyyM(x,y)
33
222
2
2
2
3
3
3
2
32
3
3
3
3
dy
y
3dy
)xln(1xy1y
)xln(1xy13
dy
)xln(1xy1y
(x);lnxy3xy33
dy
(x)ln1xyy
(x);lnxy3xy312
dy
)y,x(M
MyNx
22
3
2
2
2
22
3
22
=
=
−=+−
=
+−++=
∂





++=
++=
∂
∂
=



=
=
∃
=
−=
−=
−=
++=
=







−





++
=++
=
∫∫
=
∫
=
∫
=
∫
=
=
=
++=
++=
=++
∫
−








++
++−








++
−−−








++
−−−−





 −
y);N(x,Fy
y);M(x,Fx
y);N(x,Fy
y);M(x,Fx
:talquey))(F(x,
:exactaese.d.latantoloporNx,My
:ecuaciónladeladosambosau(y)andomulitiplicLuego
u(y)
-2;Nx
-2x;
0;2xdy-dxln(x)1xyy 3
;0C
4
x
)xln(
2
x
2
x
y
x
;C
4
x
)xln(
2
x
2
x
y
x
)y,x(F
222
2
222
2
=+−++
+−++=
:Entonces
Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 21
3) ( ) 2xyln(y);y'1yyx 222
−=++
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
( ) [ ]
[ ]
( )
;Cuu
3
1
Cu
3
2
2
1
duu
2
1
)y(h
;ydy2du
;1yu
;dy1yy)y(h
;1yyh'(y)
;1yy
y
x
h'(y)
y
x
);y(h)yln(x)y,x(F
;x(y)lnx2)y,x(F
;;(y)lnx2
x
))y,x(F(
;
y
x2
Nx
;1yy
y
x
)y,x(N
;
y
x2
My
;(y)lnx2)y,x(M
;0y'1yy
y
x
(y)lnx2
;0y'1yyx
y
1
(y)lnxy2
y
1
;
y
1
)y(u
;eee)y(u
;e)y(u
;x2Nx
;1yyx)y,x(N
;)yln(1x2My
;(y)lnxy2)y,x(M
;0y'1yyx(y)lnxy2
2/3
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
222
dy
y
1
dy
)yln(xy2
)yln(x2
dy
(y)lnxy2
)yln(1x2x2
dy
)y,x(M
MyNx
222
222
+=



+==
=
+=
+=
+=
++=+
=
+=
∂=
=
∂
∂
=



=
=
∃
=
=
++=
=
=
=





+++
=+++
=
∫
=
∫
=
∫
=
∫
=
=
++=
+=
=
=+++
∫
∫
∫
−






 −







 +−







 −
y);N(x,Fy
y);M(x,Fx
y);N(x,Fy
y);M(x,Fx
:talquey))(F(x,
:exactaese.d.latantoloporNx,My
:ecuaciónladeladosambosau(y)multiplicaseLuego
( )
( )
( ) ;0C1y1y)yln(x
;C1y1y)yln(x)y,x(F
C;1y1y
3
1
h(y)
222
222
22
=++++
++++=
+++=
3
1
3
1
:Entonces
Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 22
Ecuaciones diferenciales de Bernoulli
(((( ))))
(((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) { (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
.integrantefactordelmétodoelporresolverpuedeseque
Lineal,ldiferenciaecuaciónunaesEsto
:siguienteloobtieneSe
:BernoullideecuaciónladeladosambosafactorelrámultiplicaSe
:evariabldecambiosiguienteelhaciendo
linealenconviertelasequelineal,noldiferenciaecuaciónunaesEsta
0,1.ndondeBernoulli,deldiferenciaecuaciónuna
:esEsto



−−−−====−−−−++++
−−−−====−−−−++++−−−−
−−−−====−−−−++++−−−−
−−−−
−−−−========
====
≠≠≠≠====++++
−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
)(1)(1
)(1)(11
)(1)(11
1
1.
:
)()(
1
1
xgnvxpn
dx
dv
xgnyxpn
dx
dy
yn
yxgynyxpyn
dx
dy
yn
yn
dx
dy
yn
dx
dy
dy
dv
dx
dv
Donde
yv
yxgyxp
dx
dy
Sea
v
n
dx
dv
n
nnnn
n
n
n
n
4434421
Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 23
La solución general es:
;
x
K
9
2x
3
2xln(x)
x
3
2
1
y
2
++−−
=
( )[ ]
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[ ] ( )
( )
( )
( )∫
∫
∫
−−=
+−=
+−=
+−=
+−=+
=∫=
+−=+
+−=+−
+−=+−
−
−==
=
=
=+=−
=



++−
=++
−
−
−−−
−
−
−
−
;dx)xln(x2x
3
2
vx
;dx)xln(xx2vx
;dx(x)ln1x2vx
;(x)ln1x2
dx
vxd
;(x)ln1x2
x
v2
x'vx
;xe)x(u
;(x)ln12
x
v2
'v
;(x)ln12
x
y
2y'y2
;(x)ln1yy2
x
y
y2y'y2
y2
;
dx
dy
y2
dx
dv
'v
;yv
;(x)ln1y
x
y
y'
;0(x)ln1y
x
y
y'
;0dx(x)ln1xyyxdy-
232
222
22
2
2
222
2
dx
x
2
2
3
3333
3
3
2
3
3
3
:integrantefactorporoResolviend
:v'yvdoReemplazan
:ecuaciónladeambosamultiplicaseLuego
;yvsustituyeSe
3;n
n1
1) ( )[ ] 0;dxln(x)1xyy-xdy 3
=++
.
(((( ))))
(((( ))))
;
9
2
3
)ln(2
3
2
:
;
9
2
3
)ln(2
3
2
;
9
2
3
)ln(2
3
2
;
93
)ln(
)ln(
;
3
;);ln(
?)ln(
2
2
2
33
32
33
2
3
2
2
x
Kxxx
xy
x
Kxxx
xv
K
xxx
xvx
C
xxx
dxxx
x
vdx;xdv
x
dx
duxu
dxxx
++++++++−−−−−−−−====
====
++++++++−−−−−−−−====
++++++++−−−−−−−−====
++++−−−−====
====⇒⇒⇒⇒====
====⇒⇒⇒⇒====
====
−−−−
∫∫∫∫
∫∫∫∫
yvdoReemplazan
:soluciónlaDespejando
2-
Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 24
2) 1;y(1)siln(x);yyxy' 2
==+
∫=
=




=−
=∫=
=−
−=−−
−
−=
==
==+
−
−−−
−
−
−−
;dx
x
)xln(
v
x
1
;
x
)xln(
dx
v
x
1
d
;
x
)xln(
x
v
'v
x
1
;
x
1
e)x(u
;
x
)xln(
x
v
'v
;
x
)xln(
yy
x
y
y'yy
y
;
dx
dy
y
dx
dv
;yyv
;
x
)xln(
y
x
y
'y
2
2
22
x
dx
2222
2
2
1n1
2
:integrantefactordelmétodoelporoResolviend
:ecuaciónlaenv'yvdoReemplazan
:ecuaciónladeladosambosamultiplicaseLuego
2;n
;
Cx1)xln(
1
y
;Cx1)xln(y
;Cx1)xln(v
C;
x
1
x
)xln(
-v
x
1
;
x
dx
x
)xln(
-v
x
1
;
x
1
-v;
x
dx
dv
;
x
dx
du(x);lnu
?dx
x
)xln(
1
2
2
2
+−−
=
+−−=
+−−=
+−=
+=
=⇒=
=⇒=
=
−
∫
∫Integrando
;2C
;11C
1C-
1
1
=
=−
=
= :entonces1,y(1)Si
;
2x1ln(x)
1
y
:essoluciónLa
+−−
=
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 25
3) [ ] 0;dxx)(14xy1yx)dy4(1 2
=++++
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ;x1Cx14
3
x14
y
;Cx14
3
x14
v
;Cx14
3
x14
v
x1
1
;Cx14
3
x14
dx
x1
x2
;Cz4
3
z4
dz1z4
;dz1z4
z
zdz21z
2dx
x1
x2
;1zx
;dxzdz2;x1z
?;dx
x1
x2
;dx
x1
x2
v
x1
1
;
x1
x2
dx
v
x1
1
d
;
x1
x2
x)1(4
v2
x1
1
'v
x1
1
;
x1
1
ee)x(u
;x2
x)1(4
v2
'v
;xyy2
x)1(4
yy2
'yy2
;
dx
dy
y2
dx
dv
;yyv
;xy
x)1(4
y
'y
0xy
x)1(4
1
y'y
2
2
2
3
3
3
2
2
2
2
2
x1ln
2
1dx
)x1(2
1
33
3
3
3
2n1
3
2
+++−
+
=
++−
+
=
++−
+
=
+
++−
+
=
+
+−=−
−=
−
=
+
−=
=⇒+=
=
+
+
=
+
+
=




+
+
=
++
−
+
+
==
∫
=
=
+
−
=
+
−
+−
−=
==
=−=
+
+
=





+
+
+
−
+−
+
−
−
−
−
−
−−
∫
∫
∫∫∫
∫
∫
:ecuaciónladeladosambosa2y-multiplicaseLuego
3;n
3-
( )
( )
;
x1Cx14
3
x14
1
y
2
+++−
+
=
La solución
general es:
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 26
4) ctg(x);2y4csc(2x)y3y' 1/2−
=+
[ ]
( )
;
4
1C
;C
4
1
;C
4
;)x(Cctg)x(xctgy
);x(Cctg)x(xctgy
);x(Cctg)x(xctgv
;Cxv)xtan(
;dxv)xtan(
;dxv)xtan(
;1
dx
v)xtan(d
);x(ctg)xtan(v)x2csc()xtan(2'v)xtan(
);xtan(
)xcos()x(sen
)x(sen
2
)x2(sen
2
)x2cos(1
)x2(sen
)x2cos(1
)x(u
;
)x2(sen
)x2cos(
)x2(sen
1
)x(u
);x2(ctg)x2csc()x(u
ee)x(u
);x(ctgv)x2csc(2'v
);x(ctgy
3
2
y
2
3
y)x2csc(
3
4
y
2
3
'yy
2
3
y
2
3
;'yy
2
3
'v
;yyv
;
2
1
);x(ctgy
3
2
y)x2csc(
3
4
'y
3
2
3 2
2/3
2
)x2(ctg)x2csc(lndx)x2csc(2
2/12/12/12/1
2/1
2/1
2/3n1
2/1
π
−=
+
π
=






+
π
=
=π
+=
+=
+=
+=
=
=
=
=+
==
−
=
−
=
−=
−=
=∫=
=+
=+
=
==
−==+
∫
∫
−
−
−
−
1
1;/4)y(Si
:ecuaciónladeladosambosamultiplicaSe
n
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 27
;)x(ctg
4
1)x(xctgy 3
2











 π
−+=
:esparticularsoluciónLa
Ecuaciones diferenciales homogéneas de la forma 





=
x
y
f'y
);x(xy
);x(
x
y
);x(v
;
x
dx
v)v(f
dv
;v)v(f
dx
dv
x
);v(f
dx
dv
xv
;
x
y
f
dx
dy
;
dx
dv
xv
;
;
x
y
f
dx
dy
φ=
φ=
φ=
=
−
−=
=+






=
+=
==






=
=
:ecuaciónlaeny'yv,doReemplazan
dx
dy
vx;yentonces
x
y
v
:ónsustitucisiguientelahaceSe
:comoecuaciónestaexpresar
puedesesihomogéneaesy)f(x,
dx
dy
ecuaciónlaquediceSe
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 28
1)Resolver la siguiente ecuación diferencial:
;
y
x
y
sec
x
y
dx
dy
2
2






+=
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
sen(2v)
8
1
-cos(2v)
4
v
4
sen(2v)v
6
v
vsec
dvv
sen(2v)
8
1
-cos(2v)
4
v
4
sen(2v)v
6
v
dvcos(2v)
4
1
cos(2v)
4
v
4
sen(2v)v
6
v
vsec
dvv
dvcos(2v)
4
1
cos(2v)
4
v
2
sen(2v)v
6
v
vsen(2v)dv
4
sen(2v)v
6
v
vsec
dvv
cos(2v)
2
1
nsen(2v)dvdn
dv.dmvm
vsen(2v)dv
4
sen(2v)v
6
v
vsec
dvv
dv
2
2vsen(2v)
2
sen(2v)v
6
v
dvcos(2v)v
2
1
dv
2
v
vsec
dvv
;
2
sen(2v)
ncos(2v)dvdn
2vdv;dmvm
dv
2
cos(2v)v
dv
2
v
dv
2
cos(2v)v
2
v
vsec
dvv
dv
2
cos(2v)v
2
v
dv
2
cos(2v)1
v(v)dvcosv
vsec
dvv
?
vsec
dvv
;
x
dx
vsec
dvv
:randoInteg
x
dx
vsec
dvv
separable.ldiferenciaEcuación
v
vsec
dx
dv
x
vx
vsec
dx
dv
x
;
vx
vsec
vv
dx
dv
x
y
x
y
sec
x
y
dx
dy
:obtienesev,
dx
dv
x
dx
dy
,
x
y
vxv,y,ldiferenciaecuaciónlaendoReemplazan
v;
dx
dv
x
dx
dy
xv;y
x
y
v
:queAsumiendo
23
2
2
2323
2
2
2323
2
2
23
2
2
23
2
2
2
2
2
2222
2
2
22
222
2
2
2
2
32
2
32
2
2
2
3
22
2
22
2
2
2
++=
++=





+−−+=






+−−+=−+=
−=⇒=
=⇒=
−+=






−+=+





=
=⇒=
=⇒=






+





=





+=






+=




 +
==
=
==⇒



=⇒=⇒
+=+⇒






+=
+===
+=⇒
=⇒=
∫
∫∫
∫∫∫
∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫
∫∫
2
1
2
1
2
1
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 29
( )
;
C
C
x
y
vdoReemplazan
x
1
sen(2v)
8
1
-cos(2v)
4
v
4
sen(2v)v
6
v
x
1
sen(2v)
8
1
-cos(2v)
4
v
4
sen(2v)v
6
v
x
dx
vsec
dvv
2
23
2
23
32
2
=
+−=++
+−=++⇔=
∫∫
2) ( ) ( ) /2;y(1)si0;dyxdx2xyxy 222
24 ==−++
C
La
+−=























+


















+






2
23
x
1
x
y
2sen
8
1
-
x
y
2cos
4
v
4
x
y
2sen
x
y
6
x
y
:porexpresadaquedaimplícitaformadesolución
( )
;
4
K
;Ktan
2
1
2
;K
2
xln4
tan
2
x
y
;K
2
xln4
tan
2
1
x
y
;K
2
xln4
tan
2
1
v
;K
2
xln4
tanv2
π
=
=
=






+=






+=






+=






+=
2
;
2
2
y(1)Si
:obtieneseladosambosatanAplicando
;
42
xln4
tan
2
x
y 




 π
+=
:esparticularsoluciónLa
( )
( )
( )
( )
( ) ;K
2
xln4
v2arctan
;Cxln4v2arctan2
;
x
dx4
2/1v
dv
;
x
dx
2/1v4
dv
;
x
dx
2v4
dv
;2v4
dx
dv
x
;2v4v
dx
dv
xv
;
dx
dv
xv
dx
dy
;xvy
;
x
y
v
;2
x
y4
x
y
dx
dy
;
x
x2y4xy
dx
dy
2
2
2
2
2
2
2
2
22
+=
+=
=
+
=
+
=
+
+=
++=+
+=
=
=
++=
++
=
∫∫
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 30
3) 0;xdonde0;)y(x;yxy
dx
dy
x 00
22
>=−+=
/4;y(1)====
;'xvv'y
;xvy
;
x
y
v
;
x
y
1
x
y
dx
dy
;
x
yx
x
y
dx
dy
;
x
yx
x
y
dx
dy
2
2
2
22
22
+=
=
=
−+=
−
+=
−
+=
:asumeSe
4) ( ) 0;ydxdyln(y)ln(x)x =−−
( )
( )
( )
;
x
y
lnx
y
dx
dy
;
(x)ln(y)lnx
y
dx
dy
;0ydxdy(x)ln(y)lnx
;0ydxdy(y)ln(x)lnx












−=
−
−=
=+−
=−−
;'xvv'y
;xvy
;
x
y
v
+=
=
=
:asumeSe
La solución general de forma implícita es:
C;xln
x
y
ln1ln
x
y
ln +−=





+−
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
;
2
ln
;
2
);(1
;ln
;ln
;ln
;ln)(
;
;1
;1
;1'
;1'
2
2
2
2






++++====
====
====
====
++++====
++++====
++++====
++++====
====
−−−−
−−−−====
−−−−====
−−−−++++====++++
ππππ
ππππ
xxseny
C
Csen
Cxxseny
Cxsen
x
y
Cxsenv
Cxvarcsen
x
dx
v
dv
v
dx
dv
x
vxv
vvxvv
:espaticularsoluciónLa
1;y(1)Si
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
;ln)ln(1lnln
;ln1ln
;ln
1
1
;ln
1
;
);ln(
;
)ln(1
)ln(
;
ln
)ln(1
;
ln
'
;
ln
'
Cxvv
Cxuu
Cxdu
u
du
Cxdu
u
u
v
dv
du
vu
x
dx
dv
vv
v
v
vv
dx
dv
x
v
v
v
xv
v
v
xvv
++++−−−−====++++−−−−
++++−−−−====++++−−−−
++++−−−−====





++++
−−−−
++++−−−−====





++++
====
====






−−−−====





++++
++++−−−−
====
−−−−−−−−====
−−−−====++++
∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 31
Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Lineales
1)
( )
( )
;
4y2x
5x2y
dx
dy
−−
+−
=
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
;z
z2
1z2
du
dz
u
;
z2
1z2
du
dz
uz
;
du
dz
uz
du
dv
;zuv
;
u
v
z
;
u
v
2
1
u
v2
du
dv
;
vu2
uv2
du
dv
;3h
;1-k
;04kh2
;05hk2
4kh2vu2
5hk2uv2
du
dv
;
4kvhu2
5hukv2
du
dv
;
du
dv
dx
dy
;kvy
;hux
;41
);2(2)1)(1(
;baba
;0dy4yx2dx)5y2x(
1221
−
−
−
=
−
−
=+
+=
=
=
−
−
=
−
−
=
=
=



=−−
=+−
−−+−
+−+−
=
−+−+
++−+
=
=
+=
+=
≠
−−≠
≠
=−−−−−
:homogénealdiferenciaecuaciónunacomooResolviend
:homogéneaecuaciónunaobtenerpoderparau,paraoDivivdiend
:Entonces
:el sistemaoResolviend
;
obtieneseecuación,laeny'y,x,doReemplazan
:asumeSe
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 32
( )
( )
;
u
du
1z
dz2z
;
z2
zz21z2
du
dz
u
2
2
−=
−
−
−
+−−
=
( )
( )
( )
( )
;Culn
1z
1z
ln1zln
2
1
;
u
du
1z
dz2
1z
dzz
2
22
+−=
+
−
−−
−=
−
−
− ∫∫∫
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
;C3xln1
3x
1y
ln
2
1
1
3x
1y
ln
2
3
;3xu;hxu
;1yv;kyv
;Culn1
u
v
ln
2
1
1
u
v
ln
2
3
;Culn1zln
2
1
1zln
2
3
;Culn1zln1zln1zln
2
1
1zln
2
1
;Culn
1z
1z
ln1z1zln
2
1
;Culn
1z
1z
ln1zln
2
1 2
+−−=





−
−
+
−





+
−
+
−=⇒−=
+=⇒−=
+−=





−−





+
+−=−−+
+−=++−−++−
+−=
+
−
−+−
+−=
+
−
−−
:esimplícitaformadesoluciónLa
2) ( ) ( ) 0;dy37y3xdx77x3y =−−−+−
( )
( )
( )
;
3y7x3
7y3x7
dx
dy
;
du
dv
dx
dy
;kvy
;hux
;949
);3(3)7)(7(
;baba 1221
++−
++−
=
=
+=
+=
−≠−
−≠−
≠
:Usando
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 33
( ) ( )
( ) ( )



=++−
=++−
++−+−
++−+−
=
++++−
++++−
=
;03k7h3
;07k3h7
3k7h3v7u3
7k3h7v3u7
du
dv
3kv7hu3
7kv3hu7
du
dv
;
:y'yyx,doReemplazan
;
u
v
z
;
u
v7
3
u
v3
7
du
dv
;
v7u3
v3u7
du
dv
;1h
;0k
=
+−
+−
=
+−
+−
=
=
=
:el sistemaoResolviend
;z
z73
z37
du
dz
u
;
z73
z37
du
dz
uz
;
du
dz
uz
du
dv
;zuv
−
+−
+−
=
+−
+−
=+
+=
=
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
;
1
7
1
6
1
7
;1ln7
1
6
1
7ln
;ln767ln
;ln767ln
;ln
2
767ln
;ln
767
614
14
7
;
767
614
14
7
;33614
14
7
37
;614;767
;
767
37
;
37
767
;
73
7337
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
−−−−
====++++
−−−−
−−−−





−−−−
++++−−−−−−−−====++++
−−−−
−−−−





−−−−
++++−−−−====++++−−−−





++++−−−−====++++−−−−
++++−−−−====
++++−−−−
++++−−−−====
++++−−−−
−−−−
====
++++−−−−
++++−−−−====−−−−
====⇒⇒⇒⇒++++−−−−====
−−−−
====
++++−−−−
−−−−
−−−−
++++−−−−
−−−−====
++++−−−−
−−−−++++++++−−−−
====
∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫
x
C
x
y
x
y
Kx
x
y
x
y
Ku
u
v
u
v
Kuzz
Cu
zz
Cu
zz
dzz-
u
du
zz
dzz-
z-z
z-duzzu
u
du
zz
dzz
z
zz
du
dz
u
z
zzz
du
dz
u
:esimplícitaformadesoluciónLa
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 34
3) ( ) ( ) 0;yx1y'5xy =−−−−−
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )
( )
;
5xy
yx1
dx
dy
;kvy
;hux
;11
;1111
;baba
;0y'5xy-x-y1
1221
−−
−−
=
+=
+=
−≠
−≠−−
≠
=−−−
Reemplazando x,y, y y’ en la ecuación:
( ) ( )
( ) ( )
;
5khvu
1khvu
du
dv
;
5hukv
kv-hu-1
du
dv
−+−+−
+−−−−
=
−+−+
++
=
;
du
dz
uz
du
dv
;zuv
;
u
v
z
;
u
v
1
u
v
1
du
dv
vu
vu
du
dv
;3k
;2-h
;05kh
;01kh
+=
=






=
+−
−−
=
+−
−−
=
=
=



=−+−
=+−−
:ecuacionesdeel sistemaoResolviend
;
z1
zzz1
du
dz
u
;z
z1
z1
du
dz
u
;
z1
z1
du
dz
uz
2
+−
−+−−
=
−
+−
−−
=
+−
−−
=+
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 35
( )
( )
;C2xln
2x
3y
arctan1
2x
3y
ln
2
1
;Culn
u
v
arctan1
u
v
ln
2
1
;Culn)zarctan(1zln
2
1
;
u
du
1z
dz1z
;
1z
1z
du
dz
u
2
2
2
2
2
++−=





+
−
−+





+
−
+−=





−+





+−=−+
−=
+
−
−
+
−=
∫∫
:esldiferenciaecuaciónladeimplicitasoluciónLa
Ecuaciones diferenciales de la forma G(ax+by)
XY
XY
ͩ{ͷY - ͸Y{
Se asume el siguiente cambio de variable
ͷY - ͸Y
Despejando y:
Y
͸
.
ͷ
͸
Y
XY
XY ͸
X
XY
.
ͷ
͸
Reemplazando y, y’ en:
XY
XY
ͩ{ͷY - ͸Y{
Se obtiene una ecuación diferencial de la forma:
͸
X
XY
.
ͷ
͸
ͩ{Ͷ{
͸
X
XY
ͷ
͸
- ͩ{Ͷ{
Se obtiene una ecuación diferencial separable dela forma:
X
ͷ
͸
- ͩ{Ͷ{
͸XY
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 36
1. ( ) ( ) 7/4;y(0)si;1yx1yxy' 22
=−+−++=
( ) ( )
( ) ( )
( )
;x
4
1
e2y
;2k
;
4
1
k
4
7
;
;x
4
1
key
;
4
1
keyx
;
4
1
kez
;ke1z4
;Cx41z4ln
;Cx1z4ln
4
1
;dx
1z4
dz
;1z4
dx
dz
;11z2z1z2z
dx
dz
;1z1z1
dx
dz
;1yx1yxy'
;1
dx
dz
dx
dy
;xzy
;yxz
x4
x4
x4
x4
x4
2
1
22
22
22
−−=
=
−=
=
−−=
−=+
−=
=+
+=+
+=+
=
+
+=
++−−++=
−−+=−
−+−++=
−=
−=
+=
∫∫
:esparticularsoluciónLa
4
7
y(0)Si
:sustituyeSe
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 37
2. ;y(0)siy);(xtany' 2
π=+=
;2x4)y2x2(seny2x2
;2k
;K)2(sen2
;Kx4)y2x2(seny2x2
;Cx
4
)y2x2(sen
2
yx
;Cx
4
)z2(sen
2
z
;Cxdz
2
)z2cos(1
;Cxdz)z(cos
;dx
)z(sec
dz
);z(sec
dx
dz
);z(tan1
dx
dz
);z(tan1
dx
dz
);yx(tan'y
;1
dx
dz
dx
dy
;xzy
;yxz
2
2
2
2
2
2
π+=+++
π=
=π+π
π=
+=+++
+=
+
+
+
+=+
+=




 +
+=
=
=
+=
=−
+=
−=
−=
+=
∫
∫
∫∫
:esparticularsoluciónLa
;y(0)Si
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 38
3. 5;52y-10xy' −+=
;Cx105y2x10ln105y2x10
;y2x10z
;Cx105zln105z
;105zln105z
5220
dz
;10uln10u
u10
udu
;
10u
du
10du
10u
udu
;
10u
10
1
;
10u
udu
u10
udu
;
u10
udu
u220
udu2
5220
dz
;dzudu2
;5zu
;dx
5220
dz
;5220
dx
dz
;1052
dx
dz
10
5
dx
dz
2
1
5
;
dx
dz
2
1
5
dx
dy
;
2
z
2
x10
y
;y2x10z
2
+=−+−−+−−
−=
+=−+−+−
−+−+−=
+−
−−−=
−
−
−−=
−
−
−
+=
−
−=
−
−
=
−
=
+−
=
+=
=
+−
+−=
−+=−
−+=−
−=
−=
−=
−+=
∫
∫
∫∫∫
∫∫
∫∫∫
∫∫
:esexplicitaformadesolucionLa
:integraleslasoeemplazandR
z
10-u
u
10;-uparauDividiendo
z
z
z
z
5;z
5;52y-10xy'
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 39
4. ( ) ( ) 0;dy12y4xdxy2x =−+−+
( )( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ;Cx2yx25ln
25
1
yx2
5
2
;Cx2z5ln
25
1
z
5
2
;dx
2z55
dz
5
dz2
;
2z55
1
5
2
;dx
2z5
dz1z2
;
1z2
1z22z
dx
dz
;2
1z2
z
dx
dz
;
1z2
z
2
dx
dz
;2
dx
dz
dx
dy
;x2zy
;yx2z
;
1yx22
yx2
dx
dy
;44
1422
baba 1221
+=−+−+
+=−−
=
−
−
−
−=
=
−
−
−
−+
=
+
−
=
−
=−
−=
−=
+=
−+
+
=
−=−
−=−
=
∫∫∫
:esimplícitaformadesoluciónLa
2-5z
1-2z
Dividiendo
:doReemplazan
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 40
Ecuaciones de Primer Orden
Aplicaciones
1. Una taza de café caliente que inicialmente se encuentra a 95ºC, se enfría y llega a
80ºC en 5 minutos mientras permanece servida en un cuarto cuya temperatura
está a 21ºC. Determine en que momento el café estará a la temperatura ideal de
50ºC.
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) min67.20
0453.0
74
29
ln
502174
º50min
2174
min
º
0453.0
5
74
59
ln
8021745
º80min5
2174
74219595210
º950
21
º21
ln
1
0453.0
1
1
0453.0
5
0
1
=
−






=→=+=
∴=
+=
−=






=→=+=
∴=
+=
=−=→=+=
∴=
+=
∴
+=
+=−
=
−
−=
−
−
∫∫
tetT
Caestácaféeltten
etT
C
keT
Caestácaféelten
etT
CCeT
Caestácaféelten
CetT
Cescuartodelatemperaturlaquesabemos
TCetT
CktTT
kdt
TT
dT
TTk
dt
dT
t
t
k
kt
k
kt
a
kt
a
a
a
2. El Sábado 24 de Febrero del 2007 a las 07h00 A.M. un conserje del básico
encuentra el cuerpo de un estudiante de ecuaciones diferenciales en el aula
donde rindió su examen el día anterior, que se conserva a temperatura constante
de 26° C. En ese momento la temperatura del cuerpo es de 28° C y pasada hora y
media la temperatura es de 27.5° C. Considere la temperatura del cuerpo en el
momento de la muerte de 37° C y que se ha enfriado según la Ley de
Enfriamiento de Newton, cuál fue la hora de la muerte?
( )
( )
( )
( )auladelaTemperatur
cuerpodelaTemperatur
tiempoalrespectoconatemperaturladeVariación:
dt
dT
dt
dT
:NewtondetoenfriamiendeLey
:T
:T
TTK
a
c
ac −−=
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 41
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ;
5.1t
9924.1
k9924.15.1tk
11
5.1
ln5.1tk
;
11
5.1
e5.1e115.2726e11)5.1
;
t
7047.1
k7047.1kt
11
2
lnkt
;
11
2
e2e112826e11)
C28)Si
26e11)t(T
26C
s:C entonce37ir era detes de moreratura anSi la temp
26Ce)t(T
26Ce)t(TCe26Te
CKt26TlKdt
26T
dT
Kdt
26T
dT
;26TK
dt
dT
C5.27)5.1T(t
1
11
5.1tK5.1tK5.1tK
1
11
KtKtKt
Kt
c
Kt
c
Kt
c
Kt
c
CKt26Tl
c
cc
c
1
111
111
c
2)(ecuación
T(t
C27.51.5)T(tSi
1)(ecuación
T(t
T(t
11C37
C;37T(0)
;
;e
n
1.5.t:entoncesseráC27.5deesatemperaturlaqueentiempoEl
C.27.5adesciendecuerpodelatemperaturlamediayhoraunadeDespués
C28)T(t
.tesC28deesatemperaturlaqueentiempoEl
C.28eshalladoescuandocuerpodelatemperaturLa
C26T
horas.entiempo:t
1
1
1
1
n
1
1
1
a
+
=⇒=+⇒





=+−⇒
=⇒=⇒=+=+⇒
°=+
=⇒=⇒





=−⇒
=⇒=⇒=+=⇒
°=
+=⇒
=⇒+=
°=
°
+=⇒
+=⇒=−⇔=
+−=−⇔−=
−
⇔−=
−
−−=
°=+⇒
+°
°
°=⇒
°
°
°=
+−+−+−
−−−
−
−
−−+−−
∫∫
( )
22h06.lasA
decir.esencontradoserdeanteshoras8.89murioestudianteeltantoloPor
horas
.55705
t
:2y1ecuaciónigualaseSi
1 89.8
7047.19924.1
2
55705.2t7047.1t9924.1
t9924.155705.2t7047.1t9924.17047.15.1t
5.1t
9924.1
t
7047.1
11
1111
11
=
−
=⇒=−⇒
=+⇒=+⇒
+
=
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 42
3. Supóngase que un alumno de la ESPOL es portador del virus de la gripe y a
pesar de ella va a la escuela donde hay 5000 estudiantes. Si se supone que la
razón con la que se propaga el virus es proporcional no solo a la cantidad de
infectados sino también a al cantidad de no infectados. Determine la cantidad de
alumnos infectados a los 6 días después, si se observa que a los 4 días la
cantidad de infectados era de 50.
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) infectados
infectados
35350506x
50txetx
20000
50ln
k50e4x
50x4ten
etx
1
e
tx
4999
1
C1
Ce1
Ce5000
0x
1x0ten
Ce1
Ce5000
tx
Ckt5000
5000x
x
ln
Ckt
5000x
x
ln
5000
1
kdt
x5000x
dx
x5000kx
dt
dx
sanosde:#x5000
de:#x
5.16*25.0
t25.050lnt25.0
k20000
kt5000
kt5000
0
0
kt5000
kt5000
===∴
=→=
=→==∴
==
=→=
−=→=
−
−
=∴
==
−
−
=
+=





−
+=





−
⇔=
−
⇔−=
−
∫∫
4. En un cultivo de levadura la rapidez de cambio es proporcional a la cantidad
existente. Si la cantidad de cultivo se duplica en 4 horas, ¿Qué cantidad puede
esperarse al cabo de 16 horas, con la misma rapidez de crecimiento?
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) 00
44
16
0
4
0
4
2ln
0
0
4
0
0
00
0
0
322216
2
4
2ln
24
x2x4en t
0
xx0en t
ln
existentecantidad:x
xxxx
xtxextx
kxexx
xCxCex
Cetx
Cktx
kd
x
dx
kx
dt
dx
tt
k
kt
===
=→=
=→==
==
=→==
==
=
+=
=
=
∫ ∫
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 43
5. Un objeto que pesa 30Kg se deja caer desde una altura de 40 mt, con una
velocidad de 3m/s. supóngase que la resistencia del aire es proporcional
a la velocidad del cuerpo. Se sabe que la velocidad límite debe ser 40m/s.
Encontrar la expresión de la velocidad en un tiempo t. La expresión para
la posición del cuerpo en un tiempo t cualquiera.
( ) ( )
( ) ( ) 





+=→





+=
+−=−→+−=−→−=
−
=−
=−
−−
∫∫
300Ce
k
1
tvmgCe
k
1
tv
Ct
m
k
mgkvlnCtmgkvln
k
m
dt
mgkv
dv
m
dt
dv
mkvmg
dt
dv
mfmg
t
30
k
t
m
k
r
( ) [ ]
( ) [ ]
( )
( ) ( ) ( )
( ) [ ]
( )
( ) ( )
( ) 148t40e148tx
148C0C040e1480x
Ct40e148tx
Ct40e148Cdt40e37tx
Cdttvtx
dt
dx
tv
40e37tv
5.277C5.7k40
k
300
40300Ce
k
1
v
0
300k3C3300Ce
k
1
0v
t25.0
0
t25.0
t25.0t25.0
t25.0
0
−+=
−=→=++=
==
++=
++=++−=
+=→=
+−=
−=∴=→=→=+=∞
=∞=
−=−→=+=
==
−
−
−−
−
∞−
∫
∫
0mx,0ten
m/s4v,ten
3m/sv,0ten
6. La fuerza resistente del agua que opera sobre un bote es proporcional a
su velocidad instantánea y es tal que cuando la velocidad es de 20
la resistencia es de 40
constante de 50Newtons
una masa de 420 Kg. y el pasajero de 80 Kg
a) Determine la distancia recorrida y la velocidad en l cualquier
instante suponiendo que el bote parte del reposo.
b) Determine la máxima velocidad a la que puede viajar el bote.
Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene:
.
a)
(((( ))))
(((( ))))
kev
kev-ee
C
dt
v
dv
dt
v
dv
dv
v
dt
dv
dif. sepaEcuación,v
dt
dv
, k
dt
dv
kv
kg.kgkgm
istemaotal del sm: masa t
dt
dv
mkv
ma;FrFmmaF
m/seg
Newtons
Entonces k
Newtons.tencia dea de resisy la fuerz
m/segdelocidad esComo la ve
kvFr
NewtonsFm
aguaencia delde resistFr: Fuerza
del motorFm: fuerza
t
-
-C
t
-v-
x
250
25025ln
25
25
ln
25025
500252
50
250500
502500
250050
50080420
50
2
20
40
40
20
50
++++====⇒⇒⇒⇒
====⇔⇔⇔⇔====
⇔⇔⇔⇔++++−−−−====
−−−−
−−−−====
−−−−
⇔⇔⇔⇔
−−−−
⇔⇔⇔⇔−−−−====



====++++
========−−−−⇒⇒⇒⇒
====++++====
====−−−−
====−−−−⇒⇒⇒⇒====
========
====
====
++++
∫∫∫∫∫∫∫∫
∑∑∑∑
maFx =∑
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009
La fuerza resistente del agua que opera sobre un bote es proporcional a
su velocidad instantánea y es tal que cuando la velocidad es de 20
la resistencia es de 40 Newtons. Se conoce que el motor ejerce una fuerza
Newtons. En la dirección del movimiento. El bote tiene
una masa de 420 Kg. y el pasajero de 80 Kg.
Determine la distancia recorrida y la velocidad en l cualquier
instante suponiendo que el bote parte del reposo.
la máxima velocidad a la que puede viajar el bote.
Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene:
C
t
-v-
dt
v
dv
rabledif. sepa
ma;
k
Newtons.
m/seg
agua
t
-
250
250
25ln
5002
2
++++====
====
−−−−
====⇒⇒⇒⇒
ev
b)
)e(tx(t)
miento es:n del moviLa ecuació
CC)(
;)x(el reposoSi parte d
)e(tx(t)
dtex(t)
e
dt
dx
Entonces:
dx/dtComo v
ev
locidad:n de la veLa ecuació
-kk
por partiial escidad inicSi la velo
t
-
t
t
t
t
-
t
-
t
-
252525lim
2502525
25250250
00
2502525
252525
2525
2525
25250
0
250
max
250
250
250
250
250
====







−−−−====
++++====⇒⇒⇒⇒
−−−−====⇒⇒⇒⇒++++====
====
++++++++====
====







−−−−====
−−−−====
====
−−−−====
====⇒⇒⇒⇒++++====
∞∞∞∞→→→→
−−−−
−−−−
∫∫∫∫
máximaolimitevelocidadLa
44
La fuerza resistente del agua que opera sobre un bote es proporcional a
su velocidad instantánea y es tal que cuando la velocidad es de 20m/seg
ejerce una fuerza
. En la dirección del movimiento. El bote tiene
Determine la distancia recorrida y la velocidad en l cualquier
la máxima velocidad a la que puede viajar el bote.
pies/seg
)(
miento es:
)(
;
C
C)e(t
locidad:
;)s v(so entoncer del repopor parti
t
25
25025
25025
2502525
00
250
250
−−−−
++++++++
====
−−−−
:esmáxima
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 45
7. Un circuito RL tiene una fem de 9 voltios, una resistencia de 30
ohmios, una inductancia de 1 henrio y no tiene corriente inical.
Hallar la corriente para t=1/5 segundos.
( )
( ) [ ]
( ) [ ]
( ) [ ] ( )
( ) ampieti
etieti
CCei
Ceti
Cti
Cti
dt
i
di
dt
di
i
dt
di
LiRv
tt
t
301.0)5/1(3.07.0
5/1en t
3.07.0921
30
1
219
30
1
0
0i0en t
9
30
1
30930
930ln
30
1
930
309
6
3030
0
30
=→+=
=
+=→+=
=→+=
==
+=
+−=−
+−=−
−=
−
+=
+=
−
−−
−
∫∫
8. Una Fem. de t5
e200 −
voltios se conecta en serie con una resistencia de 20
Ohmios y una capacitancia de 0.01 Faradios. Asumiendo que la carga
inicial del capacitor es cero. Encuentre la carga y la corriente en cualquier
instante de tiempo.
5t-
200efem
F0.01Ciacapacitanc:C
carga:q
ohmios20Raresistenci
RC.circuitoelparaldiferenciaEcuación
=
=⇒
=⇒



=+
:R
fem
C
q
dt
dq
R
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 46
( )
( ) cetecteq(t)
ctedtedteeeq(t)
dteu(t)
u(t)
1
q(t)
eeu(t)
lineal.ldiferenciaEcuación
5t5t5t
5t5t5t5t5t
5t
5t5dt
−−−
−−−−
−
−
−
−
+=+=
+===⇒
=⇒
=∫=



=+⇒
=+⇒
=+
∫∫
∫
;eq5
dt
dq
;e20q100
dt
dq
20
;e20
01.0
q
dt
dq
20
t5
t5
t5
5t5t
5t5t
5t5t5t
5t5t-
5t
5t
e
25
1
e
5
t
i(t)
0;i(o)
:ceroesinicialcorrientelaentoncescero,esinicialcargalaSi
e
25
1
e
5
t
i(t)
dte
5
1
e
5
t
tdtei(t)
e
5
1
vdtedv
dt;dut;u
tdteq(t)dti(t)
t;eq(t)
c0
0;q(0)
:entoncescapacitor,elencargahaynoteinicialmenSi
−−
−−
−−−
−
−
−
−−=⇒
=
+−−=
+−==
−==
=⇒=
==⇒
=⇒
=
=
∫∫
∫∫
C
;
;
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 47
Casos especiales de ecuaciones diferenciales de segundo orden
Ecuaciones diferenciales en la que falta la variable “y”
1) ( ) ;y'x'y'y'3x 23
1 =+



 −+ x
;''
;'
2
y
dx
yd
dx
dv
y
dx
dy
v
========
========
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))
;2
;1
;1
;
1
3
1
1
;
1
31
1
;
11
13
1
1
1
13
1
1
1
'
1
1
;
1
1
1
1
)(
;)(
;
1
13
1
'
;131'
;01'13
013
13
13
2
2
3
2
3
2
2/1
1
1
ln
2
1
11
2
3
2
32
23
23
23
23
22
ududx
ux
xu
x
xdx
v
x
x
x
x
dx
v
x
x
d
xx
xx
x
x
x
xx
x
x
x
v
v
x
x
x
x
x
x
xu
eeexu
x
xx
x
v
v
xxvxv
xvvxx
;v'v'-xvxx
v';xvvxx
y'';xy''y'xx
x
x
x
dx
x
dx
'
====
++++====
−−−−====
−−−−
====
++++
−−−−
−−−−
====






++++
−−−−








++++−−−−
++++−−−−
++++
−−−−
====
−−−−
++++−−−−
++++
−−−−
====





−−−−
−−−−
++++
−−−−
++++
−−−−
====
++++
−−−−
====
====
∫∫∫∫
====
∫∫∫∫
====
−−−−
++++−−−−
====
−−−−
−−−−
++++−−−−====−−−−−−−−
====−−−−++++−−−−++++
====++++−−−−++++
====++++



 −−−−++++
====++++



 −−−−++++
∫∫∫∫
++++
−−−−
−−−−−−−−
−−−−
:ecuaciónlaendoReemplazan
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 48
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ;ln
;ln
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
/
/
/
/
KxCxxCxxxy
KxCxxCzzxy
x
dxx
C
x
dx
Cdzzzxy
x
dxx
Czdzzzxy
zx
zx
dxzdz
xz
xz
dx
x
x
Cdxxxdxxy
x
x
Cxxx
dx
dy
dx
dy
v
x
x
Cxxxv
x
x
Cxxxv
Cxxv
x
x
Cxx
x
xdx
Cuuduu
u
uduu
x
xdx
+−−−+++−+++=
+−−−+++−+=
−
+
−
+−−+=
−
+
+−−+=
−=−
−=
=
+=
+=
−
+
+−+++=
−
+
+−+++=
=
−
+
+−+++=
−
+
+−+++=
+−+−=
+
−
+−+−=
−
++=+
+
=
−
∫ ∫∫
∫∫
∫∫∫
∫
∫
∫∫
111
5
4
1
3
8
14
11
3
8
5
4
14
11
2414
1
1
22214
21
1
2
1
1
1
1
11216
1
1
11216
1
1
11216
1
1
11216
1216
1
1
1216
1
3
2616
213
1
3
22
5323
223523
22
2423
2
223
2
2
2
3
3
32
2
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 49
2)
( )
2
-1 y'
x y'+ =y'';
x
( )
( )
( )
[ ]
;
xC
x
v
;
x
xC
x
C
1v
;
x
C
1z
;Cxdxxz
;1
dx
z.xd
;
x
1
xzxx'xz
;xe)x(u
;
x
1
zx'z
;
x
v
vvxv'vv
;
dx
dv
v
dx
dz
;
;
;
x
v
vx'v
v';
x
v
vx
;''y
dx
yd
dx
dv
'v
;'y
dx
dy
v
1
1
dxx
1
2
2122
2
2
1
2
1
2
2
1
−
=
−
=+−=
+−=
+−=−=
−=
−=+
=∫=
−=+
−=−−−
−=
=
==
=−
=+
=+
===
==
−
−
−
−−−−
−
−
−
∫
−
1-
n1-
2
1-
vz
2;nvz
:BernoullideldiferenciaE.unaEs
;'y'
x
y'
y'x
:ecuaciónlaendoReemplazan
;KCxlnxy
;
Cx
Cdx
dx
Cx
Cx
y
;
Cx
xdx
y
;
Cx
x
xC
x
dx
dy
+−−−=
−
−
−
−
−=
−
−=
−
−=
−
=
∫∫
∫
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 50
Ecuaciones diferenciales en las que falta la variable “ x”
Cuando hace falta la variable “x” se hace el siguiente cambio de variable:
;
dy
dv
v
dx
dy
dy
dv
dx
dv
v;
dx
dy
========
====
3) ( ) 1;y'2y'y'2y 22
=+ (HACE FALTA X)
(((( ))))
(((( ))))
[[[[ ]]]]
;
;2
;
;;
;
1
;
1
;
;
;1
;
2
;)(
;
12
;
2
.2.2
2
;2
;
;
;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
1
2
)1(1
2
1
Cuy
dyzdz
Cyu
dxdy
Cy
y
y
Cy
dx
dy
y
Cy
v
y
Cy
v
y
C
y
v
y
C
y
z
Cyzy
Cydyzy
dy
zyd
y
y
y
z
y
dy
dz
y
yeyu
yy
z
dy
dz
y
vv
y
vv
v
dy
dv
v
dy
dv
dv
dz
dy
dz
vz
vz
y
v
y
v
dy
dv
v
dy
y
−−−−====
====
++++====
====
++++
++++
====
++++
====⇒⇒⇒⇒
++++
====
++++====⇒⇒⇒⇒++++====
++++====
++++========
====
====++++
====
∫∫∫∫
====
====++++
====++++
========
====
====
========++++
====++++
====++++
∫∫∫∫
−−−−
−−−−−−−−
−−−−
esvariablseparandoentonces
dy
dv
:ecuaciónladeladosambosa2vndoMultiplica
-1.nBernoulli,deldiferenciaEcuacion
dy
dv
1;v2y2y
:ecuaciónlaen'y',y'doReemplazan
1;y'2y'y'2y
22
22
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 51
(((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( ))))
(((( ))))
(((( )))) (((( )))) 2
12
3
2
1
3
2
2
2
3
2
2
3
2
2
2
CyC
Cy
Kx
:esf(y)xformaladesoluciónlatantoloPor
CyuPero
Cu
u
Kx:Entonces
,duCuKxentonces,
u
uduCu
dx
dxdy
Cy
y
:enemplazandoRe
++++−−−−
++++
====++++
====
++++====
−−−−====++++
−−−−====++++
−−−−
====
====
++++
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫
4) ( ) 0;y''yy'yy' 22
=−+
( )
( )
;Cyyv
;Cyv
y
1
;dyv
y
1
;1
dy
v
y
1
d
;
y
1
y
y
v
y
1
dy
dv
y
1
;
y
1
e)y(u
;y
y
v
dy
dv
;0
y
v
dy
dv
y
;0v
dy
dv
yvvy
;
dy
dv
v
dx
dy
dy
dv
dx
dv
;
dx
dy
v
2
y
dy
22
+−=
+−=
−=
−=






−=−
=
∫
=
−=−
=−+
=−+
=−+
==
=
∫
−
0;y''yy'yy'
:ecuaciónlaendoReemplazan
22
dy
y Cy;
dx
dy dy dy
x ;
Cy y Cy C(C y)
= − +
= = +
− −∫ ∫ ∫
2
2
x ln y ln C y K;
C C
La solución es:
= − − +
1 1
Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes
1) Resuelva: 2y3y''y' ++
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009
Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes
);sen(e2y x
=
52
Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 53
2) Resuelva:
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009
si y(0)=3/16 , y’(0)=5/16;
54
si y(0)=3/16 , y’(0)=5/16;
( )(
;
4
1
CC
8
1
0
2
1
CC
16
5
16
5
)0('y
;CC
16
3
;
16
3
)0(y
xtan
2
1
eCeC'y
21
21
21
2x
2
x
1
=−






++−=
=
+=
=
+−= −
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009
( ) ))x(secxsec 3
+
e
32
1
e
32
7
y
;
32
1
C
;
32
7
C
:solviendoRe
xx
2
1
+−=
−
=
=
−
55
2
)xsec()xtan(
+
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 56
3) Resuelva ;xe6y5y''y' x
=+−
[ ]
( )( )
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ][ ] [ ]
( )
;xe
2
1
e
4
3
eCeCy
;yyy
;xe
2
1
e
4
3
y
;xeaeay
;
2
1
a;
4
3
a
;1a2
;0a3a2
;xexea2ea3a2
;xexeaea6exeaea5e2xeaea
;xey6'y5''y
;e2xeaea''y
;exeaea'y
;xeaeay
;exaay
;0s
;exaaxy
;xey6'y5''y
;eCeCy
;ey
;ey
;2; r3r
;02r3r
;06r5r
;06r5re
;er''y;re'y;ey
;0y6'y5''y
xxx2
2
x3
1
ph
xx
p
x
1
x
0p
10
1
10
xx
1
x
10
xx
1
x
0
xx
1
x
0
xx
1
x
0
x
xx
1
x
0p
xx
1
x
0p
x
1
x
0p
x
10p
x
10
S
p
x
ogéneahomSolución
x2
2
x3
1h
x2
2
x3
1
21
ticaCaracterís
Ecuación
2
2rx
rx2rxrx
+++=
+=
+=
+=
==



=
=−
=+−
=++++−++
=+−
++=
++=
+=
+=
=α=
+=
=+−
+=
=
=
==
=−−
=+−
=+−
===
=+−
α
:el sistemaoResolviend
:homogéneanoldiferenciaecuaciónlaendoReemplazan
1;
:particularsoluciónlasEncontremo
:'y',y'y,doReemplazan
44 344 21
43421
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 57
4) Resuelva: cosx;e2y2y'y' -x
=++
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
( )[ ] ( )[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
;
2
1
b
;0a
;1b2
;0a2
);xcos(excose2bsenxe2a
);xcos(ey2'y2''y
''y,'y,y
;xcose2senxe2xcosxe2bxcose2senxe2senxxe2a''y
;senxesenxxexcosxebxcosexcosxesenxxea'y
;senxesenxexcosexbxcosexcosesenxexa'y
;senxxebxcosxeay
;senxebxcoseaxy
1s
;senxebxcoseay
;esenxbxcosay
1;0s
;esenxbxcosaxy
);xcos(ey2'y2''y
;senxeCxcoseCy
;senxey
;xcosey
;1
;i1
2
)2(442
r
;02r2r
;02r2re
;er''y;re'y;ey
;0y2'y2'y
0
0
0
0
xx
0
x
0
x
ppp
xxx
0
xxx
0p
xxx
0
xxx
0p
xxx
0
xxx
0p
x
0
x
0p
x
0
x
0p
x
0
x
0p
x
00p
x
00
S
p
x
ogéneahomSolución
x
2
x
1h
x
2
x
1
2,1
ticaCaracterís
Ecuación
2
2rx
rx2rxrx
=
=
=
=−
=+−
=++
+−−+−−=
+−++−−=
+−++−−=
+=
+=
=
+=
+=
=α=
+=
=++
+=
=
=
=β−=λ
±−=
−±−
=
=++
=++
===
=++
−−−
−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−
−−
−−
−
α
−
−−
−
−
:homogéneanoldiferenciaecuaciónlaenandosimplificydoReemplazan
homogénea.soluciónmiarespectoconedependientelinealment
términoscontienequeyaparticularsoluciónestaasumirpuedeseNo
;-
:particularsoluciónlasEncontremo
1;
:'y',y'y,doReemplazan
4444 34444 21
43421
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 58
);x(senxe
2
1
senxeCxcoseCy
;yyy
);x(senxe
2
1
xx
2
x
1
ph
x
−−−
−
++=
+=
=py
1;x3ecosxy2y''y' 2x
−++=+−
[ ]
( )
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
;senx
2
1
;
2
1
b;0
xcos2bsenx2
;senxbxcosabsenxxcosa''y
;xcosbsenxaxcosbasenx'y
;bsenxxcosay
;0s
;bsenxxcosaxy
;xeCeCy
;xey
;ey
;1r
;01r
;01r2
01r2r
;er''y
;re'y
;ey
0
1p
1p
1p
s
1p
x
2
x
1h
x
2
x
1
2,1
2
2rx
rx2
rx
rx
−=
−==



=
=
=−+
−+−=−−=
+−=+−=
+=
=
+=
=+−
−++=+−
+=
=
=
=
=−
=+−
=+−
=
=
=
=+−
p1
p1p1p1
2x
2
y
aoResolviend
1;2b-
0;2a
cosx;a
1;ecuacionlaeny,y','y'doReemplazan
1.nEcuaciócosx;y2y''y'
:particularsoluciónprimeralaoEncontrand
1;x3ecosxy2y''y'
:particularsoluciónlaoEncontrand
r
;e
:homogéneaecuaciónlaen'y',y'y,doReemplazan
;y2y''y'
:homogéneasoluciónlaoEncontrand
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 59
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
;ex
2
3
;
2
3
a
;e3ae2
;e2xe4exa''y
;xe2exa'y
;eaxy
;eaxy
;eaxy
;eay
;0s
;eaxy
x2
xx
xxx2
2p
xx2
2p
x2
2p
x2
2p
x
2p
x
2p
xs
2p
=
=
=
=+−
++=
+=
=
=
=
=
=
=
=
=
=+−
p2
x
p2p2p2
x
y
:esparticularsoluciónsegundaLa
3ey2y''y'
2.ecuaciónlaeny,y','y'doReemplazan
homogéneasoluciónlaa
respectonte,independieelinealmentessoluciónestacaso,esteEn
2;s
anterior.razónmismalapor
solución,estaasumirpuedeseTampoco
1;s
homogénea.soluciónlaarespectoconedependientelienalment
esqueya,particularsoluciónestaasumirpuedeseNo
2.nEcuació;3ey2y''y'
:particularsoluciónsegundalaoEncontrand
[ ]
c;2''y
cx;2b'y
;cxbxay
;0s
;cxbxaxy
3p
3p
2
3p
2s
3p
2
=
+=
++=
=
++=
=+− 3.nEcuació1;-xy2y''y'
:particularsoluciónterceralaoEncontrand
[ ] [ ] ;1xcxbxacx2b2c2
1
22
2
−=++++−
−=+− xy2y''y'
2.ecuaciónlaeny,y','y'doReemplazan p3p3p3
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 60
[ ] [ ] [ ]
p
p p p p
x
p
h p
c b a c b x c x x ;
c b a
c b
c
c ;
b ;
a ;
y x x ;
y y y y ;
y sen(x) x e x x ;
y y y ;
y C
Resolviendo el sistema:
La tercera solución particular:
La solución general:
− + + + + = −
− + = −

− + =
 =
=
=
=
= + +
= + +
= − + + + +
= +
=
2 2
2
3
1 2 3
2 2
2 2 2 1
2 2 1
4 0
1
1
4
5
5 4
1 3
5 4
2 2
x x x
e C xe sen(x) x e x x ;+ − + + + +2 2
1 2
1 3
5 4
2 2
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 61
Ecuacion diferencial de Euler – Cauchy
1) Demuestre que la ecuación diferencial Rβdonde0,βyxy''y'x2
∈α=+α+ , , se
la puede transformar en una ecuación de coeficientes constantes haciendo el
cambio de variable z
ex = , y luego resuelva:
;e4sen(lnx)4y2xy''y'x 2ln(X)2
+=++
(((( )))) ;βy
dz
dy
α
dz
yd
;βy
dz
dy
α
dz
dy
dz
yd
;βy
dz
dy
x
αx
dz
dy
xdz
yd
x
x
;
dz
dy
xdz
yd
xdx
yd
y''
;
xdz
dy
x
xdz
yd
xdx
yd
;
dx
dz
dz
dy
dz
dx
xdz
yd
xdx
yd
;
dx
dz
dx
dy
dz
d
dx
yd
;
dx
dy
dx
d
dx
yd
;
dz
dy
xdx
dy
y'
;
xdz
dy
dx
dz
dz
dy
dx
dy
xdx
dz
xz
Si z
01
0
0
111
11
111
11
1
1
;
1
);ln(
;
2
2
2
2
22
2
2
2
22
2
22
2
22
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
====++++−−−−++++
====++++++++−−−−
====++++





++++





−−−−
====++++++++






−−−−========






−−−−====






−−−−====






====






====
========
========
====
====
====
0;βyxy''y'x
ldiferenciaecuaciónlaendoReemplazan
:'y'luegonecesitaSe
:Ahora
ex
2
αααα
(((( )))) ;y
dz
dy
dz
yd
0412
0
2
2
====++++−−−−++++
====++++++++
++++====++++++++
;4y2xy''y'x
:homogéneasoluciónlaprimerooEncontrand
;e4sen(lnx)4y2xy''y'xecuaciónlaoResolviend
2
2ln(X)2
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 62
( )
( )
[ ] [ ]
[ ] [ ]
( )
[ ] [ ]
2.nEcuació
:particularsoluciónlasegundalaoEncontrand
:obtieneseel sistemaoResolviend
1.Ecuación
:1ecuaciónlaeny,y','y'doReemplazan
:formasiguientelatienesoluciónprimeraLa
1.Ecuación
:esparticularssolucione2tieneseDonde
:obtienese,e4sen(lnx)4y2xy''y'xecuaciónlaen
reemplazaralln(x),zyexqueasumeseComo
:particularsoluciónlasencontremoAhora
ppp
2ln(X)2
z
ticacaracterísEcuación
;e5y4y'y''
));x(ln(sen
5
6
))xcos(ln(
5
2
y
);z(sen
5
6
)zcos(
5
2
y
;
5
6
b;
5
2
a
4b3a
0ba3
);z(sen4)zcos()z(sen3b)z(sen)zcos(3a
;zsen4y4y'y''
;)z(senb)zcos(a)z(bsen)zcos(a''y
;)zcos(b)z(sena)zcos(b)z(asen'y
);z(bsen)zcos(ay
;zsen4y4y'y''
;e5zsen4y4y'y''
5
;
2
)xln(15
senxC
2
)xln(15
cosxCy
;
2
z15
seneC
2
z15
coseCy
;
2
z15
seney
;
2
z15
cosey
;i
2
15
2
1
2
1611
r
;04rr
;04rre
;0y4'y''y
z2
1p
1p
p
p
p
z2
21h
2/z
2
2/z
1h
2/z
2
2/z
1
2,1
2
2rz
=++
+−=
+−=
=−=



=+−
=+
=++−
=++
−+−=−−=
+−=+−=
+=
=++
+=++
+=++
==








+







=








+







=






=








=
±−=
−±−
=
=++
=





++
=++
−−
−
−
43421
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 63
;
2
x
))x(ln(sen
5
6
))xcos(ln(
5
2
2
)xln(15
senxC
2
)xln(15
cosxCy
;yyy
;
2
x
))x(ln(sen
5
6
))xcos(ln(
5
2
y
;yyy
;
2
x
e
2
1
y
;e
2
1
y
;
2
1
a
;e5ae10
;e5ae4ae2ae4
;e5y4y'y''
;ae4
;ae2
;ae
2
21
ph
2
p
2p1pp
2
)xln(2
2p
z2
2p
z2z2
z2z2z2z2
z2
z2
z2
z2
++−







+







=
+=
++−=
+=
==
=
=
=
=++
=++
=
=
=
2.nEcuació
:2ecuaciónlaeny,y','y'doReemplazan
'y'
y'
y
:soluciónsiguientelaasumeSe
p2p2p2
p2
p2
p2
2) Resuelva: ( ) ( ) ( ) ( ) 6;2x5ln2xlnyy'2x3'y'2x 22
+−−−=+−+−
( )
;
dx
dz
dz
dy
dz
dx
2x
1
dz
yd
2x
1
dx
yd
;
dx
dz
dx
dy
dz
d
dx
yd
;
dx
dy
dx
d
dx
yd
;
dz
dy
2x
1
dx
dy
y'
;
2x
1
dz
dy
dx
dz
dz
dy
dx
dy
;
2x
1
dx
dz
);1xln(z;Si
22
2
2
2
2
2
2
2
z






−
−
−
=






=






=
−
==
−
==
−
=
−==
:'y'luegonecesitaSe
:Ahora
entoncese2-x
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 64
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
;6z5zyy'2y''
;
2x
2xlnC
2x
C
y
;e2xlnCeCy
;zeCeCy
;2xlnz
;zeCeCy
;zey
;ey
;1r
;01r
;01r2r
;01r2r
;er''y
;re'y
;ey
;0y
dz
dy
2
dz
yd
0
;0y
dz
dy
13
dz
yd
;0y
dz
dy
3
dz
dy
dz
yd
;0y
dz
dy
2x
1
2x3
dz
dy
2x
1
dz
yd
2x
1
2x
3
;
dz
dy
2x
1
dz
yd
2x
1
dx
yd
y''
;
2x
1
dz
dy
2x
2x
1
dz
yd
2x
1
dx
yd
2
21
h
2xln
2
2xln
1h
z
2
z
1h
z
2
z
1h
z
2
z
1
2,1
2
2
2
rz2
rz
rz
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
22
2
22
2
22
2
2
2
+−=++
+−−−=++
==
−
−
+
−
=
−+=
+=
−=
+=
=
=
−=
=+
=++
=





++
=
=
=
=++
=++
=+−+
=++−
=+





−
−+





−
−
−
−
=++






−
−
−
==
−





−
−
−
−
=
−−−−
−−
−−
−
−
:obtienese,6;2x5ln2xlnyy'2-x3'y'2-xecuaciónlaen
reemplazaral2),-ln(xzye2-xqueasumeseComo
:particularsoluciónlasencontremoAhora
e
:homogéneaecuaciónlaen'y',y'y,doReemplazan
;y2y''y'ecuaciónlaoResolviend
0;yy'2-x'y'2-x
:homog{enealdiferenciaecuaciónlaendoReemplazan
22
z
ticaCaracterísEcuación
rz
2
43421
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 65
[ ]
[ ]
( ) ( )
( )
);2x(ln)2xln(922
2x
2xlnC
2x
C
y
;yyy
);2x(ln)2xln(922y
;zz922y
;22a
;9-b
;1c
1c
5-bc4
6ab2c2
;6z5zczbzacz2b2c2
;c2''y
;cz2b
;czbza
;0s
;czbzax
221
ph
2
p
2
p
22
p
2
2S
−+−−+
−
−
+
−
=
+=
−+−−=
+−=
=
=
=





=
=+
=++
+−=+++++
+−=++
=
+=
++=
=
++=
:el sistemaoResolviend
6;5zzy2y''y'ecuaciónlaeny,y','y'doReemplazan
y'
y
y
:formasiguientelatieneparticularsoluciónlaDonde
2
ppp
p
p
p
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 66
3)
( )
ln(x);zentoncesexSi
;3ln(x)3tan9yxy''y'x
z
2
==
=++
,
( )
( )
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
;
)z3cos(
)z3(sen)z3(senz3senz3tan3
3
;z3sen3z3cos3
z3cos3z3sen3
z3senz3cos
'y'y
yy
;
z3cos3)z(g
z3sen0
;yuyuy
;z3tan3g(z)
;z3tan3y9y''
,
;)xln(3senC)xln(3cosCy
;z3senCz3cosCy
;senzy
;zcosy
;i3r
;09r
;09re
;er''y
;ey
;0y9''y
;0y9
dz
yd
;0y9
dz
dy
11
dz
yd
;0βy
dz
dy
1α
dz
yd
22
21
21
2211p
21h
21h
2
1
2
2rz
rz2
rz
2
2
2
2
2
2
−
=−=
=
+=
−
==
=
+=
=
=+
==
=++
+=
+=
=
=
±=
=+
=+
=
=
=+
=+
=+−+
=+−+
=++
3
u'
y,yW
y,yW
y,yW
u'
:obtieneseexyxlnzdoReemplazan
;3ln(x)3tan9yxy''y'x
:particularsoluciónlasEncontremo
:obtieneSe
:Usando
0;9yxy''y'x
:homogéneasoluciónlaoEncontrand
1
21
21
21
1
z
2
2
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 67
( )
( )
( )
( ) ( ) ;)z3(sen)z3cos(
3
1
)z3cos(
3
)z3(tg)z3sec(ln
3
)z3(sen
z3senCz3cosCy
;yyy
;)z3(sen)z3cos(
3
1
)z3cos(
3
)z3(tg)z3sec(ln
3
)z3(sen
y
;yuyuy
)z3cos(
3
1
dz)z3(senu
);z3(sen'u
;
)z3cos(
)z3(sen)z3cos(
'u
3
)z3tan(z3cos3)z3tan(3z3sen3
0z3cos
;
3
)z3(tg)z3sec(ln
3
)z3(sen
u
dz)z3sec()z3cos(u
);z3sec()z3cos('u
;
)z3cos(
1
)z3cos(
;
)z3cos(
)z3(cos1
)z3cos(
)z3(sen
21
ph
p
2211p
2
2
2
1
1
1
22
−







 +
−++=
+=
−







 +
−=
+=
−==
=
=
=
−
=
+
−=
−=
−=
−=
−
−=−=
∫
∫
21
2
1
1
y,yW
u'
u'
u'
( ) ( ) );xln3(sen)xln3cos(
3
1
)xln3cos(
3
)xln3(tg)xln3sec(ln
3
)xln3(sen
xln3senCxln3cosCy 21 −




 +
−++=
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 68
4) Si senxxycosx,xy 1/2
2
1/2
1
−−
== forman un conjunto linealmente independiente y
son soluciones de 0;y
4
1
xxy''y'x 22
=





−++
Hallar la solución particular para ;xy
4
1
xxy''y'x 3/222
=





−++ si
( ) 0;y'0;
2
y ==





;
)y,y(W
'y)x(g
y0
'u
;xg(x)
;yuyuy
;xy
x4
1
1
x
y'
y''
;
x
x
y
x4
1
x
x
y'
x
x
y''
x
x
;
;senxxCxcosxCy
21
2
2
1
2/1
2211p
2/1
2
2
2/3
22
2
22
2
2/3
2/1
2
2/1
1h
=
=
+=
=





−++
=





−++
=





−++
+=
=





−++
==
−
−
−−
−−
:parámetrosdevariaciónaplicaSe
xy
4
1
xxy''y'xdesoluciónlaencontrarPara
:obtieneseentonces0,y
4
1
xxy''y'x
dessolucionesenx sonxyycosx,xyComo
22
22
1/2
2
1/2
1
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 69
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ;
2
1
0
2
1
1
1
C1
2
1
0
1
C0
;
2
x
senxx
2
1
xcosxCxcosx
2
1
senxxC'y
;1C
;0
2
)1(
2
C
;
2
)1(
2
C0
2
C0
;xsenxxCxcosxCy
;0
2
;xsenxxCxcosxCy
;yyy
;xy
;x1xxsenxcosxy
senxxsenxxcosxxcosy
;senxu
;xcos
x
xcosx
'u
;
x
xxcosx
2
1
senxx
0xcosx
)y,y(W
)x(g'y
0y
'u
;xcosdx)x(senu
);x(sen
x
senxx
x
senxx
2
1
xcosxx
senxx0
'u
;x)y,y(W
;x1xxsenxcosx)y,y(W
;xcossenxx
2
1
xsenxxcossenxx
2
1
xcosx)y,y(W
;xcosx
2
1
senxxsenxxsenxx
2
1
xcosxxcosx)y,y(W
senxx
2
1
xcosxxcosx
2
1
senxx
senxxxcosx
'y'y
yy
)y,y(W
21
2/3
2/32/1
2
2/32/1
1
2
2
21
2/12/1
2
2/1
1
2/12/1
2
2/1
1
ph
2/1
p
2/12/1222/1
p
2/12/1
p
2
1
1
2
1
2/12/32/1
2/1
21
1
1
2
1
1
1
1
2/32/12/1
2/1
1
1
21
11221
21
221221
21
2/32/12/12/32/12/1
21
2/32/12/32/1
2/12/1
21
21
21
ππ
−





ππ
−−
π
+





−
ππ
−
π
−=
−



−+



−−=
−=
=
π
+
π
π
+
π
+
π
=
++=
=π=




 π
++=
+=
=
==+=
+=
=
==
−−
==
=−=
−=−=
−
=
=
==+=
++−=




−−−



−=
−−−
==
−
−−−−
−−−
−−−
−
−−−
−−
−
−
−
−−−
−
−
−
−
−−−
−
−
−−−
−−−−
−−−−−−
−−−−
−−
∫
0;)(y'yySi
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 70
( ) ;xsenxxxcosx21y
;21C
;2C1
;
1
2
C
2
1
;
C
2
C
2
1
;
2
11
C
2
1
C0
2/12/12/1
1
1
1
21
21
−−−
+−π−=
π−=
π+=
π
+
ππ
=
ππ
π
−
ππ
=
ππ
ππ
−





π
−





ππ
=
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 71
Identidad de Abel
1. Resuelva la siguiente ecuación diferencial usando la identidad de Abel:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
;
1x
dxxx212
y
1x
1
;
1x
dxxx21
y
1x
1
;
1x
xx21
y
1x
1
dx
d
;
1x
xx21
1x
y
'y
1x
1
;
1x
1
e)x(u
;
1x
xx21
1x
y
'y
;xx21y'y1x
;ey'y1x
;dxx22du
;xx21)x(u
;ey'y1x
;ey'y1x
;y'y1x
'y
y
;
'y'y
yy
;0y
xx21
2
y'-
xx21
x12
y''
xx21
xx21
)x(p
;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1x
dx
2
2
2
2
22
xx21ln
22
2
xx21
dxx22
22
xx21
dxx12
22
22
2
2
21
21
222
2
2
2
2
∫
∫
+
−−−
=
+
+
−−
=
+
+
−−
=



+
+
−−
=
+
−
+
+
=∫=
+
−−
=
+
−
−−=−+
=−+
−−=
−−=
∫
=−+
∫
=−+
−+=
+
=
=
=
−−−−
+
+
−−
−−
=++
∫=
+=
===−++−−
+
−
−−
−−
−−
−−
+
−
−
:Entonces
1
1x
y,yW
y,yW
0;q(x)yy''y'
:formasiguientelatenerdebeldiferenciaecuaciónlaDonde
ey,yW
:abeldeidentidadlausaráSe
1;xyessoluciónunaSi
1.(0)y'y(0)Si0;2yy'x12'y'x2x1
21
21
p(x)dx
21
1
2
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 72
( )
( ) ( )
;
1x
dx2
1x
dx1x
y
1x
1
22
2
2 ∫ ∫ +
+
+
+
−=
+
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
;1xy
;1C
;C21C
;0C
1C2C
1CC
;1CC1
;2C1C1
;2xxC1xCy
;2xxy
;21xxy
;
1x
2
xy
1x
1
;
1x
2
xy
1x
1
;
1x
dx2
dxy
1x
1
1
21
2
21
21
21
21
2
21
2
2
2
2
2
22
+=
=
+=
=






→








=−
=−
−+=
−−+=
=
−+=
=
−−−++=
−−−=
−+−=
+
−−=
+
+
−−=
+
+
+−=
+ ∫ ∫
:essoluciónLa
12-1
010
12-1
11-1
:el sistemaoResolviend
;12xCCy'
1;(0)y'Si
1;y(0)Si
21
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 73
Método de Reducción de Orden
2) Resuelva:
( )
;eySi
0;yy'1x'xy'
x
1
−
=
=+++
[ ] [ ]
( )
[ ] ( )[ ]
[ ] ( )[ ] ( )[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
;
x
e
)x('u
;
x
e
)x(v
;xlnx)x(vln
;dx
x
1
1
v(x)
dv
;
x
1
1v(x)
dx
dv
;exev(x)xe
dx
dv
;0exev(x)xev'(x)
;0exeu'(x)xeu''(x)
;0exe)x('uxe)x(''u
;00)x(uexe)x('uxe)x(''u
;0eexexe)x(uexe)x('uxe)x(''u
;0ee1xxe)x(ue1xxe2)x('uxe)x(''u
;0u(x)eu'(x)eu(x)e1xu''(x)eu'(x)e2u(x)ex
;e)x(''ue)x('u2e)x(u''y
;e)x(''ue)x('ue)x('ue)x(u''y
;e)x('ue)x(u'y
;e)x(uy
;y)x(u
x
x
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxx
2
xxxx
2
xx
2
x
2
1
=
=
−=




−=




−=
−=
=+−+
=+−+
=
=
=+−+
=++−+
=+−−++−+
=++−+++−+
=++−+++−
=+++
+−=
+−++−−=
+−=
=
=
∫∫
−−−
−−−
−−−
−−−
−−−
−−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−
−−−−
−−
−
:ldiferenciaecuaciónlaen(x)v'yv(x)doReemplazan
(x);'u'(x)v'
(x);u'v(x)
:yFalta
:obtienese0,yy'1x'xy'
ldiferenciaecuaciónlaendoReemplazan
yqueasumeSe
:ordendereduccióndemétodoelUsando
2
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 74
( )
( )
( )
;
!
ln
:essoluciónLa
;
!
ln
;)(
;
!
ln)(
;
!
)(
;
!
)(
;)(






++=






+=
=
+=






+=
=
=
∑
∑
∑
∫ ∑
∫∑
∫
∞+
=
−
−
∞+
=
∞+
=
∞+
=
−
∞+
=
−
1
21
1
2
12
1
1
1
0
1
1
n
n
x
x
n
n
n
n
n
n
n
n
x
nn
x
xCeCy
e
nn
x
xy
yxuy
nn
x
xxu
dx
n
x
x
xu
dx
n
x
xu
x
dxe
xu
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 75
Ecuación homogénea de orden superior
1. Las raíces de la ecuación auxiliar, que corresponden a una
cierta ecuación diferencial homogénea de orden 10, con
coeficientes constantes, son:
4, 4, 4, 4, 2+3i, 2-3i, 2+3i, 2-3i, 2+3i, 2-3i,
Escriba la solución general.
( ) ( ) ( )( ) ( )( )2
1098
22
765
23
4
2
321
4
33cos
:34
xCxCCxsenexCxCCxexCxCxCCexy
entoncesvecesconjugadocomplejoparunyigualesrealesraícestienenSe
xxx
+++++++++=
2. 08y12y''6y'''y' =−+−
3. 032y
dx
yd
5
5
=+
( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) xxx
i
i
i
kii
k
eCexsenCxCexsenCxCxy
seniem
iseniem
iseniem
kemmm
2
5
618.0
43
618.1
21
3
5
3
5,1
5
4,0
5
2
5
902.1902.1cos175.1175.1cos
2cos22
902.1618.0
5
3
5
3
cos22
175.1618.1
55
cos22
4,3,2,1,0;2032
−−
+
++++=
−=+==
±−=











+





==
±=











+





==
==→=+=
ππ
ππ
ππ
φ
π
π
π
ππ
4. ( ) 0y52DD
22
=+−
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( )xCCxsenexCCxexy
im
im
mmmmm
mmm
xx
4321
4,3
2,1
22
22
22cos
21
21
2
162
2
5.1.442
05252
052
+++=
±=
±=
−±
=
−±
=
=+−+−=
=+−=
φ
φ
( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )2
321
2
321
3
2
23
202
0442
0441
882
281261
08126
xCxCCexy
mmmmm
mmmm
mmmm
x
++=
===→=−=
=+−−=
−
−
−−
=−+−=
φ
φ
φ
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 76
Ecuaciones de Orden Superior
Ecuación no homogénea de orden superior
1. 84xx2y''3y'''y' 2
++=++
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) Axy
BAxxy
CBxAxxy
CxBxAxxy
xyconilessiCxBxAxCBxAxxxys
xyconnteindependieelinealmentesnoperoCBxAxxys
CBxAxxxyxxxg
particularsoluciónlaEncuentro
eCeCCxymmm
mmmm
mmmm
mmmmyyy
ariacomplementsoluciónlaEncuentro
xyxyxy
p
p
p
p
cp
cp
s
p
xx
c
pc
6'''
26''
23'
..1
0
84
:
2,1,0
021
023
0230'2''3'''
:
2
23
232
2
22
2
321321
2
23
=
+=
++=
++=
++=++=→=
++=→=
++=→++=
++=→−=−==
=++=
=++=
=++=→=++
+=
−−
φ
φ
φ
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) xxxeCeCCxy
generalSolución
xxxxy
decimosqueloPor
C
BA
CCBA
B
A
BBA
AA
xxCBAxBAxA
xxCBxAxBAxA
xxyyy
xx
p
ppp
4
11
4
1
6
1
:
4
11
4
1
6
1
:
4
11
2
668
8266
4
1
4
184
4418
6
1
16
842664186
842322636
84'2''3'''
232
321
23
22
22
2
+++++=
++=









=→
+−
=→=++
=→
−
=→=+
=→=
++=+++++
++=+++++
++=++
−−
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 77
2.
2x2x2x22
e5xee2x14x2x4y4y''y'''y' +++−−=+−−
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )CBAxCBAxBAAxexy
CBxCBAxBAAxexy
CxCBxBAAxexy
CxBxAxexy
xyconilessiCxBxAxeCBxAxxexys
xyconnteindependieelinealmentesnoperoCBxAxexys
CBxAxexxyexeexxg
xxy
decimosqueloPor
C
BA
CCBA
B
A
BBA
AA
xxCBAxBAxA
xxCBxAxBAxA
xxyyyy
xy
Axy
BAxxy
CBxAxxy
xyconilessiCBxAxxys
CBxAxxxyxxxg
xgxgxg
particularsoluciónlaEncuentro
eCeCeCxymmm
mmmmmm
mmmm
mmmmyyyy
ariacomplementsoluciónlaEncuentro
xyxyxy
x
p
x
p
x
p
x
p
c
xx
p
c
x
p
xs
p
xxx
p
pppp
p
p
p
p
cp
s
p
xxx
c
pc
12126824368368'''
424864124''
22232'
..1
0
52
2
1
:
0
4
421
1442
0
4
84
448
2
1
24
142442484
14242420
1424'4'''''
0'''
2''
2'
..0
142
:
2,2,1
22141
0141
04404'4'''''
:
232
232
232
232
23222
22
222222
2
2
1
22
22
2
2
2
22
1
21
2
3
2
21321
2
2
23
++++++++=
+++++++=
+++++=
++=
++=++=→=
++=→=
++=→++=
=









=→
++−
=→−=+−−
=→
+−
=→−=+−
=→=
−−=+−−++−+
−−=++++−−
−−=+−−
=
=
+=
++=
++=→=
++=→−−=
+=
++=→−===
+−−=−−=
=−−−=
=+−−=→=+−−
+=
−
φ
φ
φ
( ) ( ) ( )( ) xxxx
xxx
pppp
exeexCBAxBAxAe
exeexyyyy
222222
2222
52410683012
524'4'''''
++=+++++
++=+−−
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 78
( )
( ) xxxx
x
p
exxeCeCeCxy
exxy
C
BA
CCBA
B
A
BBA
AA
2322
3
2
21
23
6
1
2
1
6
1
0
4
1061
14106
0
8
305
5830
6
1
212
2
++++=
=









=→
−−
=→=++
=→
−
=→=+
=→=
−
3. ( )xcscy'''y' =+
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xsenxxx
x
xsenCxCCxy
xsenxxx
x
xy
xsenxxx
x
y
xdxuxsenx
xx
xsen
x
u
xdxxxuxx
xsenx
x
xsen
u
x
dxxux
xsenxx
xxsen
xsenx
u
xsenx
xsenx
xxsen
xsenx
xsenxW
yuyuyuxy
particularsoluciónlaEncuentro
xsenCxCCxyimimm
mmm
mmmyy
ariacomplementsoluciónlaEncuentro
xyxyxy
p
p
p
c
pc
−+











+++=
−+











=
−++











=
−=−=→−=
−
−
=
=−=→−=
−
=












==→=
−−
−
=
=+=
−−
−=
++=
++=→−===
=+=
=+=→=+
+=
∫
∫
∫
csclncos
2
tanlncos
csclncos
2
tanln
coscscln1
2
tanln
1csc
1
csccos0
00
0cos1
'
csclncoscsccoscsc
1
csc0
cos00
01
'
2
tanlncsc1csc
1
coscsc
cos0
cos0
'
1cos1
cos0
cos0
cos1
,cos,1
:
cos,,0
01
00''''
:
321
33
22
11
22
332211
321321
2
3
φ
φ
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 79
4. ( )xxln''y' =
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )xx
x
xCxCCxy
generalSolución
xx
x
yilesnoxx
x
y
x
x
xxxx
x
y
x
dx
x
x
u
x
xx
x
xx
x
u
xxdxxu
x
xxx
x
xx
x
x
u
x
x
dxxxu
x
xxx
x
xx
x
xx
u
xxxx
xx
xsenxW
yuyuyuxy
particularsoluciónlaEncuentro
xCxCCxymmm
mm
mmy
ariacomplementsoluciónlaEncuentro
xyxyxy
pp
p
p
c
pc
ln6ln2
4
:
ln6ln2
4
..7ln6ln2
4
2
ln
1ln21
2
1
ln
2
2
lnlnlnln00
010
01
'
1ln2ln2
2.ln2ln0
200
01
'
2
1
ln
2
ln
ln20ln
210
0
'
21
200
210
1
,cos,1
:
0,0,0
0
00'''
:
2
2
2
321
2
2
2
2
2
22
2
3223
222
2
2
2
12
2
2
2
1
222
2
332211
2
321321
3
3
−+++=
−=∴+−=






+−−+





−=
==→==
−−=−=→−==






−==→==
=−==
++=
++=→===
==
==→=
+=
∫
∫
∫
φ
φ
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 80
Ecuación de Euler de orden n
1. 018y
dx
dy
6x
dx
yd
x
dx
yd
x 2
2
2
3
3
3
=+−−
( )( ) ( )
( )( ) ( )[ ]
( )( ) ( )[ ]
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) 2
3
3
21
2
3
3
2
3
1
321
2
2
23
2
3
3
21
321
2
2
12233
ln
233023
018'3''4'''
023
01834
0186121
:ln
:
ln
23
023
063
03631
0186121
0186121
0186121
:
−
−
−
−−−
++=
++=
−===→=+−=
=+−−
=+−
=+−−
=+−−−−−
=→=
°
++=
−===
=+−
=−−−
=−−−−
=+−−−−−
=+−−−−−
=+−−−−−
=
°
xCxxCCxy
eCteCeCty
mmmmmm
tenecuaciónyyyy
DD
DDD
DDDDDD
obtienesextexcambioelaplicando
Método2
xCxxCCxy
rrr
rr
rrr
rrrr
rrrrrr
xrrrrrr
xxrxxrrxxrrrx
:areduceseescuciónlaentoncessolucióncomoxyasumo
Método1
:métodosdosporosresolveremLa
ttt
t
r
rrrr
r
φ
2. 08y
dx
dy
10x
dx
yd
2x
dx
yd
x 2
2
2
3
3
3
=−−+
( )( ) ( )
( )( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( )( )( )
( ) 2
3
1
2
4
1
321
23
2
12233
214
0214
0810
04521
08101221
08101221
−−
−−−
++=
−=−==
=++−
=−−−
=+−−
=−−−+−−
=−−−+−−
=
xCxCxCxy
rrr
rrr
rrr
rrr
xrrrrrr
xxrxxrrxxrrrx
:areduceseescuciónlaentoncessolucióncomoxyasumo
r
rrrr
r
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 81
3. 4lnx8y
dx
dy
8x
dx
yd
4x
dx
yd
x 2
2
2
3
3
3
=−+−
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )( )
( ) ( )( )( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
8
7
ln
2
1
8
7
ln
2
1
8
7
2
1
8
7
0814
2
1
48
48148
4814070
:Re
0'''''
'
0
48'14''7'''
:
4210421
08'14''7'''0421
0861
08421
0181421
0881421
:
:ln
4
3
2
21
4
3
2
21
4
3
2
21
321
2
+−++=
+−=→+−=





→
==−
−==−
=−+−
=+−+−
==
=
+=
+=→=
+=
=−+−
++=→++=
===→=−−−=
=−+−→=−−−
=+−−
=+−−−
=−+−−−−
=−+−−−−
=→=
xxCxCxCxy
xxytty
BBA
AA
tBAtA
tBAtA
emplazando
yy
Ay
BAty
yconnteindependieelinealmentessiBAtys
BAtty
tyyyy
particularsoluciónlaEncuentro
xCxCxCxyeCeCeCty
mmmmmmm
tenecuaciónyyyyDDD
DDD
DDDD
DDDDDD
DDDDDD
ariacomplementsoluciónlaEncuentro
obtienesextexcambioelaplicando
pp
pp
p
p
cp
s
p
c
ttt
c
t
φ
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 82
4. 3
2
2
2
3
3
3
x2y
dx
dy
2x
dx
yd
x
dx
yd
x =−+−
( )( ) ( )
( )( ) ( )[ ]
( )( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
4
ln
:
4
ln
22
3
ln
2
1
ln1ln10
01ln1
0ln
'
2
2210
201
0
'
2
3
ln
2
1ln
1lnln221
21ln0
ln0
'
2
ln
1
2
21ln
20
21ln1
ln
,ln,
:
ln
21
021
0221
0221
012121
022121
022121
3
2
321
3
2
22
3
1
3
2
2
2
2
2
2
1
21
2
1
1
2
1
1
2
2
332211
2
321
321
2
12233
x
xCxxCCxy
generalSolución
x
y
xxxx
x
xx
x
y
xdxu
x
xxxx
x
x
x
xxx
u
x
xdxu
x
xxx
x
x
xx
u
x
x
dxxxu
x
xxxxx
x
x
xx
xxx
u
x
x
xxx
x
xx
x
x
xx
xxxx
xxxxW
yuyuyuxy
particularsoluciónlaencuentro
xCxxCCy
rrr
rr
rrrr
rrrr
rrrrrr
xrrrrrr
xxrxxrrxxrrrx
:areduceseescuciónlaentoncessolucióncomoxyasumo
p
p
p
c
r
rrrr
r
+++=
=
+−





−=
==→
−+
=
+
=
−=−=→
−
−==






−=−=→
+−
=
+
=
=−
+
=+=
++=
++=
===
=−−
=−−−−
=+−−−
=−+−−−−
=−+−−−−
=−+−−−−
=
∫
∫
∫
−
−
−−
−
−−−
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 83
Ecuaciones de segundo orden de coeficientes variables
Solución en serie alrededor de un punto ordinario
1. ( ) ( ) ( ) 60y'4;0y0,xy
dx
dy
3x
dx
yd
1x 2
2
2
===++−
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )[ ]
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ...
4
11
33
11
64
60'...
8
15
32
3
1...
8
5
2
'
40...
8
3
122
...
86
1
....
88
3
20
15
1323
233
3
1212
8
1222
222
2
2;
12
2
0122
62
036
002
0122362
03121
0311
0311
54
3
1
432
1
42
0
0
543
1
53
0
3
3
2
210
0
012323
5
11212
4
1
212
01
3013
22
2
120132
1
1
10
2
2
0
1
12
2
2
01
1
2
22
+++++=
==→





+++++





+++=
==→





+++++





+++=
++++==
+=
+
=
++
++
=→=
=
+
=
++
++
=→=
≥
++
++
=→=+++−+
+=→=++−
=→=−
=+++−++++−−
=++++−−
=++−−−
=++−−
∑
∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑
∞+
=
−
+−+
∞+
=
−+
∞+
=
−
∞+
=
∞+
=
+
∞+
=
∞+
=
+
∞+
=
∞+
=
−
∞+
=
+∞
=
+∞
=
−
+∞
=
−
xx
xxxy
Cy
xxx
C
xx
xCxy
Cy
xxx
xC
xx
Cxy
xCxCxCCxCxy
CCCCCC
Cn
CCCCC
Cn
n
nn
CnnC
CCnnCnnC
CC
CCCC
CC
xCnnCnnCxCxCxCC
xCnxCxnnCxnnC
xCnxCxnnCxnnC
xCxnxCxxnnCx
n
n
n
nn
nnnn
n
n
nnn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 84
2. 0xdealrededorexy''y' 0
x
==− −
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )
( ) 





+−+−+





++++=
+





−++





−+++=
++++==
−=→−=
++
−
+
++
=→=
=→+=
++
−
+
++
=→=
−=→
++
−
+
++
=→=
≥
++
−
+
++
=→
−
=−++
=→=
−+=−+++
−=−++
−=−−
−=−−
∑
∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∞+
=
++
∞+
=
∞+
=
+
∞+
=
∞+
=
∞+
=
+
∞+
=
∞+
=
∞+
=
−
+∞
=
+∞
=
−
+∞
=
−
....
30862
....
406
......
30
1
408
1
6
1
62
1
.....
30
1
40120
1
20
3
1323!3
1
1323
3
3
8
1
24
1
61222!2
1
1222
2
2
6
1
61121!1
1
1121
1
1
1
12!
1
12!
1
12
2
1
12
!
11122
!
112
!
11
!
11
543253
10
514312
10
3
3
2
210
0
1
4
3
3
35
4
2
2
24
1
3
1
13
22
22
11
22
010
2
012
2
01
1
2
2
xxxxxx
xCCxy
x
C
xx
C
xxCCxy
xCxCxCCxCxy
C
C
C
CCn
C
C
CCn
C
CCCn
n
nnnnn
n
CC
n
nCnnC
CC
n
x
xnCnnCC
n
x
nxCxnnC
n
x
nxCxnnC
n
x
nxCxxnnC
n
n
n
n
nn
n
nn
n
n
nn
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 85
3) Resolver la siguiente ecuación diferencial alrededor del punto ˲" Ŵ.
Determine las soluciones homogéneas de esta ecuación diferencial en términos
de series indicando a que función converge cada una de ellas. (Sugerencia: para
encontrar la solución particular use el método de variación de parámetros).
{˲$
. ŵ{˳
- Ÿ˲˳
- Ŷ˳
ŵ
˲
Desarrollo.
{˲$
. ŵ{˳
- Ÿ˲˳
- Ŷ˳
ŵ
˲
˜{˲{ {˲$
. ŵ{ ˲ Ŵ ˥JˮJJI˥J ˜{Ŵ{ .ŵ Ŵ
˜JJ ˬJ ˮIJˮJ ˲ Ŵ ˥J ˯J J˯JˮJ JJˤ˩JIJ˩J
Se asume:
˳ I {˲ . ˲{
(
J˥JJ ˲ Ŵ
˳ I {˲{
(
˳Ȋ I {J{{˲{ #
(#
˳ȊȊ
I {J{{J . ŵ{{˲{ $
($
Primero se obtendrá las soluciones homogéneas. Se reemplaza y, y’, y’’ en la ecuación:
{˲$
. ŵ{˳
- Ÿ˲˳
- Ŷ˳ Ŵ
{˲$
. ŵ{ I {J{{J . ŵ{{˲{ $
($
- Ÿ˲ I {J{{˲{ #
(#
- Ŷ I {˲{
(
Ŵ
Luego se introduce los coeficientes dentro de las sumatorias
I {J{{J . ŵ{{˲{
($
. I {J{{J . ŵ{{˲{ $
($
- ŸI {J{{˲{
(#
- ŶI {˲{
(
Ŵ
Se igualan las patencias de x de todas la sumatorias, en este caso a la que más se repite
que en este caso es n:
I {J{{J . ŵ{{˲{
($
. I {J{{J . ŵ{{˲{ $
($
- ŸI {J{{˲{
(#
- ŶI {˲{
(
Ŵ
Para la
m = n – 2
Si n = 2, entonces m =
0
Pero n = m + 2
Luego m = n
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 86
I {J{{J . ŵ{{˲{
($
. I ${J - Ŷ{{J - ŵ{{˲{
(
- ŸI {J{{˲{
(#
- ŶI {˲{
(
Ŵ
Se igualan los subíndices de todas las sumatorias al mayor, en este caso n=2.
I {J{{J . ŵ{{˲{
($
. ŶI$ . źI%˲ . I ${J - Ŷ{{J - ŵ{{˲{
($
- ŸI#˲
- ŸI {J{{˲{
($
- ŶI - ŶI#˲ - ŶI {˲{
($
Ŵ
.ŶI$ . źI%˲ - ŸI#˲ - ŶI - ŶI#˲
- {I {J{{J . ŵ{ . I ${J - Ŷ{{J - ŵ{ - ŸI {J{ - ŶI {{˲{
($
Ŵ
Se igualan los coeficientes:
.ŶI$ - ŶI Ŵ ˥JˮJJI˥J J˥ ˮ˩˥J˥ J˯˥ I$ I
.źI%˲ - źI#˲ Ŵ ˥JˮJJI˥J J˥ ˮ˩˥J˥ J˯˥ I% I#
I {J{{J . ŵ{ . I ${J - Ŷ{{J - ŵ{ - ŸI {J{ - ŶI Ŵ
La fórmula de recurrencia es:
I $
I {J{{J . ŵ{ - ŸI {J{ - ŶI
{J - Ŷ{{J - ŵ{
J 4 Ŷ
I $
{J$
. J - ŸJ - Ŷ{
{J - Ŷ{{J - ŵ{
I
{J$
- ŷJ - Ŷ{
{J - Ŷ{{J - ŵ{
I
{J$
- ŷJ - Ŷ{
{J - Ŷ{{J - ŵ{
I
{J - Ŷ{{J - ŵ{
{J - Ŷ{{J - ŵ{
I I
Por lo tanto:
I $ I J 4 Ŷ
Encontrando los coeficientes:
˟˩ J Ŷ ˥JˮJJI˥J I I$ I
˟˩ J ŷ ˥JˮJJI˥J I' I% I#
˟˩ J Ÿ ˥JˮJJI˥J I I I
˟˩ J Ź ˥JˮJJI˥J I I' I#
˟˩ J ź ˥JˮJJI˥J I I I
˟˩ J Ż ˥JˮJJI˥J I I I
Volviendo a la solución:
˳{˲{ I ˲
(
I - I#˲ - I$˲$
- I%˲%
- I˲
- I'˲'
- I ˲ -
˳{˲{ I - I#˲ - I˲$
- I#˲%
- I˲
- I#˲'
- I˲ -
La solución homogénea:
˳{˲{ I ŵ - ˲$
-˲
- ˲ - - ˲$
-
{ {
G
- I# ˲ - ˲%
- ˲'
- - ˲$ #
-
{ {
G
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 87
I
ŵ
ŵ . ˲$
F - I#˲{ŵ - ˲$
- ˲
- - ˲$
- {
˳ {I{ I
ŵ
ŵ . ˲$
F - I# Ә
˲
ŵ . ˲$
ә ˳I J˯˥
ŵ
ŵ . ˲
ŵ - ˲ - ˲$
- ˲%
-
Ahora se encuentra la solución particular ˳
Normalizando la ecuación diferencial {˲$
. ŵ{˳
- Ÿ˲˳
- Ŷ˳
#
, se obtiene:
˳
-
Ÿ˲˳
{˲$ . ŵ{
-
Ŷ˳
{˲$ . ŵ{
ŵ
˲{˲$ . ŵ{
Usando el método de variación de parámetros:
˳ ˯#˳# - ˯$˳$
Encontrando el wronskiano: ˣ{˳# ˳${ }
˳# ˳$
˳#Ȋ ˳$Ȋ}
ˣ{˳# ˳${ ӶӶ
ŵ
ŵ . ˲$
˲
ŵ . ˲$
Ŷ˲
{ŵ . ˲${$
ŵ - ˲$
{ŵ . ˲${$
ӶӶ
ŵ
{ŵ . ˲${$
˖JJˤ˥ ˯#

Ŵ ˳$
ŵ
˲{˲$ . ŵ{
˳$Ȋ
ˣ{˳# ˳${
Ӷ
Ŵ
˲
ŵ . ˲$
ŵ
˲{˲$ . ŵ{
ŵ - ˲$
{ŵ . ˲${$
Ӷ
ŵ
{ŵ . ˲${$
˯#

ŵ
{ŵ . ˲${$
ŵ
{ŵ . ˲${$
ŵ ˥JˮJJI˥J ˯# ˲
˖JJˤ˥ ˯$

˳# Ŵ
˳#Ȋ
ŵ
˲{˲$ . ŵ{
ˣ{˳# ˳${
Ӷ
ŵ
ŵ . ˲$ Ŵ
Ŷ˲
{ŵ . ˲${$
ŵ
˲{˲$ . ŵ{
Ӷ
ŵ
{ŵ . ˲${$
.
ŵ
˲{ŵ . ˲${$
ŵ
{ŵ . ˲${$
˯$

.
ŵ
˲
˥JˮJJI˥J ˯$ .Ž {˲{
Por lo tanto a solución particular es:
˳ ˯#˳# - ˯$˳$
˳ ˲
ŵ
ŵ . ˲$
F . Ž {˲{
˲
ŵ . ˲$
La solución general es:
˳{˲{ I
ŵ
ŵ . ˲$
F - I# Ә
˲
ŵ . ˲$
ә - ˲
ŵ
ŵ . ˲$
F . Ž {˲{
˲
ŵ . ˲$
Este es un solucionario de problemas de Ecuaciones Diferenciales correspondiente a la Primera
Evaluación, donde constan ejercicios tipo examen. Esta obra ha sido elaborada por Roberto
Cabrera y Christian de La Rosa, ex – estudiante de la ESPOL, con el auspicio de la directiva
A.E.F.I.E.C. de los años 2006, 2007, 2008. Modificado y corregido dos veces por Roberto
Cabrera.

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Ecuacion diferencial

  • 1. RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN. APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN: HOMOGENEAS Y NO HOMOGENEAS. METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS Y VARIACION DE PARAMETROS. RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR: HOMOGENEAS Y NO HOMOGENEAS. METODO LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS Y VARIACION DE PARAMETROS. RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN ALREDEDOR DE PUNTOS ORDINARIOS. (SERIE DE TAYLOR) Escuela Superior Politécnica del Litoral Solucionario de Problemas de Ecuaciones Diferenciales Primer parcial (3ra versión) Roberto Cabrera 09
  • 2. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 2 Ecuaciones Diferenciales separables Se tiene una ecuación diferencial ordinaria de primer orden: XY XY ͨ{Y Y{ Se dice que ecuación diferencial de primer orden es separable si se puede expresar la esa ecuación diferencial de la siguiente manera: XY XY ͨ{Y{ͩ{Y{ Donde ˘{˲ ˳{ se lo expresa como una multiplicación de dos funciones, una que depende de la variable “x” y otra de la variable “y”. En este caso se obtiene la siguiente solución de esta ecuación diferencial: XY XY ͨ{Y{ͩ{Y{ XY ͩ{Y{ ͨ{Y{XY XY ͩ{Y{ ͨ{Y{XY Donde la solución de esta ecuación diferencial separable tiene la siguiente forma: {Y{ {Y{ - V 1.- Encontrar la solución implícita de la siguiente ecuación diferencial: 00003)3)3)3)----yyyy----3x3x3x3xdx(xydx(xydx(xydx(xy----8)8)8)8)----4y4y4y4y2x2x2x2x----dy(xydy(xydy(xydy(xy =++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c4xln5x3yln5y 4x dx5 dx 3y dy5 dy 4x dx5 4x dx4x 3y dy5 )3y( dy)3y( 4x dx1x 3y dy2y ecuaciónladeladosambosaIntegramos 4x dx1x 3y dy2y );x(g)y(f 4)2)(x-(y 1)-3)(x(y dx dy 2)-4(y2)-x(y 3)(y-3)x(y dx dy 8-4y2x-xy 3-y-3xxy dx dy ++−=+− + −= + − + − + + = + − + + + − = + − ⇒ + − = + − = + + = + ++ = + + = ∫∫∫ ∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫
  • 3. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 3 [ ] ( )[ ] [ ];)e(2arctany :esparticularsoluciónLa 1;KK; 4 tan arctan(K);/4 ;Ke2arctan/4 /4;y(0)si ;K)e(2arctany :esgeneralsoluciónLa K;)e(2tan(y) ;ee c;e23lntan(y)ln :vyudoReemplazan 3x 0 3x 3x ce23lntan(y)ln x x −= =⇒=      = −= ⇒ = −= −= = +−= +− ;ce1ln2eln2 e 2 eye :esgeneralimplicitasoluciónLa ; )e(1e dx eye ;ce1ln2eln2 e 2 )e(1e dx ;cu1ln2uln2 u 2 )u(1u du2 ; u1 du 2 u du 2 u du 2 )u(1u du2 ;du u1 1 u 1 u 1 2 )u(1u du2 1;C1;-B1;A :sonCB,A,devaloreslosDonde ; u1 C u B u A )1u(u 1 :obtenemosparcialesfraccionesporIntegrando x/2x/2 x/2 yy x/2x/2 yy x/2x/2 x/2x/2x/2 2 22 22 22 +++−−=−⇒ + =− +++−−= + ⇒ +++−−= + ⇒ + +−= + ⇒             + +−= + ⇒ === + ++= + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫ 2.- Encontrar la solución particular de la siguiente ecuación diferencial: SiSiSiSi ;)(y 4 0 π = 3.- Exprese de forma implícita la solución de la siguiente ecuación diferencial: 0000 ))))eeee(1(1(1(1eeee dxdxdxdx ydyydyydyydyeeee x/2x/2x/2x/2yyyy x/2x/2x/2x/2 = + − ∫∫∫ ∫ ∫∫ + = + = + ⇒ =⇒= =⇒= = + + = = + = = + = + = )u(1u du2 )uu(1 u du2 )e(1e dx ; u du2 dxudx 2 1 du ;dxe 2 1 dueu ? )e(1e dx ; )e(1e dx dyye ; ye 1 )y(g ; )e(1e 1 )x(f );y(g).x(f )yee(1e 1 dx dy ; )e(1e dx ydye 2x/2x/2 2/x2/x x/2x/2 x/2x/2 y y x/2x/2 yx/2x/2 x/2y x/2 c;v3lnuln ; v 3dv u du :doReemplazan dx;edve2v (y);secdutan(y)u ; )e(2 dx3e tan(y) (y)dysec ; )e(2 dx3e tan(y) (y)dysec f(x).g(y); (y))sece(2 tan(y)3e dx dy tan(y)dx;3e(y)dy)sece(2 0(y)dy)sece(2tan(y)dx3e xx 2 x x2 x x2 2x x x2x 2xx += = ⇒ −=⇒−= =⇒= − −= − −= = − − = −=− =−+ ∫∫ ∫∫
  • 4. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 4 4.- Encuentre la solución general de la siguiente ecuación diferencial: 0dy)xln(1x)ee(dx)xln(y2 yy ====++++−−−−−−−− −−−− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ; !1n21n2 y dy !1n2 y dy !1n2 y ;dx )xln(1x )xln( dy !1n2 y :emplazandoRe ; !1n2 y y )y(senh !1n2 y )y(senhSi dy y )y(senh ;dx )xln(1x )xln( dy y )y(senh )y(senh 2 )ee( ;dx )xln(1x )xln( dy y2 )ee( ;dx )xln(1x )xln( dy y2 )ee( )xln(1x)ee( )xln(y2 dx dy ; )xln(1x )xln( )ee( y2 )y(f );x(g).y(f )xln(1x)ee( )xln(y2 dx dy ;dx)xln(y2dy)xln(1x)ee( 0n 1n2 0n n2 0n n2 0n n2 0n n2 0n 1n2 yy yy yy yy yy yy yy ∑∫∑ ∑ ∫∫∑ ∑∑ ∫∫ ∫∫ ∞+ = +∞+ = ∞+ = ∞+ = ∞+ = ∞+ = + − − − − − − − ++ = + + + = + + =⇒ + = + = = − + = − + = − +− = + =∧ − = = +− = =+− :queobtenemosIntegrando :potenciasdeseriesusardebemosintegrarPara :siguientelotenemosentoncesqueobservamosSi :obtieneseecuaciónladeladosambosaIntegrando g(x)
  • 5. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 5 ( ) ( ) ( )( ) ( ) C 3 2 !1n21n2 y ;C 3 2dx C 3 2 ;Cz 3 z 2 z ; z ;duzdz2u1 ;dx Si ?dx dx 3 1n2 3 3 3 +         +− + = ++ +         +− + = + ⇒ +         +− + = + ⇒ +      −==⇒ = + ⇒ =⇒+= + = + ⇒ =⇒= = + + ∑ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∞+ = + ln(x)1 ln(x)1 :esimplícitaformadegeneralsolucionLa ln(x)1 ln(x)1 ln(x)1x ln(x) u1 u1 u1 udu 21)dz-(z 1)2zdz-(z 1)2zdz-(z u1 udu zAhora u1 udu ln(x)1x ln(x) x dx duln(x)u ln(x)1x ln(x) : ln(x)1x ln(x) integrandoAhora 0n 2 2 2 2
  • 6. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 6 Ecuaciones Diferenciales Lineales Las ecuaciones diferenciales lineales tienen la siguiente forma: g(x);p(x)yy' =+ Existen dos métodos para resolver este tipos de ecuaciones: El método del factor integrante. Método de variación de parámetros El método del factor integrante: [ ] [ ] [ ] ;u(x)g(x)dx u(x) 1 y ;u(x)g(x)dxu(x)y ;u(x)g(x)dxu(x)yd u(x)g(x);u(x)y dx d u(x)g(x);p(x)yy'u(x) ;eu(x) p(x)dx ∫ ∫ ∫∫ = = = = =+ ∫= =+ g(x);p(x)yy' Método de variación de parámetros v(x);y'v'(x)yy' v(x);yy Asumir: ey p(x)dx;y p(x)dx; y dy ;p(x)y dx dy ;p(x)y'y ;p(x)y'y hh h p(x)dx; h h h h h h hh hh ++++==== ==== ==== −−−−==== −−−−==== −−−−==== −−−−==== ====++++ ====++++ ∫∫∫∫ −−−− ∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ln 0 g(x);p(x)yy' [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫==== ==== ==== ==== ==== ==== ====++++ ====++++ ====++++++++ ====++++++++ ====++++ −−−− dx; y g(x) ey v(x);yy dx; y g(x) v(x) dx; y g(x) dv g(x);y dx dv g(x);yv'(x) g(x);v(x)yv'(x) s:, entoncep(x)yPero y' g(x);p(x)yy'v(x)yv'(x) g(x);v(x)p(x)yv(x)y'v'(x)y g(x);p(x)yy' :emplazando h p(x)dx h h h h h h hh hhh hhh 0 0 Re
  • 7. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 7 1) ; ctg(x)(x)sen x yxy' 42 3 =−2 [ ] ;C 3 )X(ctg4 xy ;C 3 )X(ctg4 y x 1 ;C 3 )X(ctg4 C 3 )X(ctg4 dx ctg(x) )x(csc 3 u4 4/3 u duu u du dx ctg(x) )x(csc ;dx)x(cscdu)x(ctguSi ;dx ctg(x) )x(csc dx ctg(x)(x)sen 1 ;dx ctg(x)(x)sen 1 y x 1 ;dx ctg(x)(x)sen 1 y x 1 d ; ctg(x)(x)sen 1 y x 1 dx d ; ctg(x)(x)sen x x 1 y x 2 y' x 1 ; x 1 xeee)x(u ; ctg(x)(x)sen x y x 2 y' 4 3 2 4 3 2 4 34/3 4 2 4/34/3 4/1 44 2 2 4 2 42 422 422 422 42 2 22 2 2)xln()xln(2 dx x 2 42 2 2         +−= +−=⇒ +−=+−=⇒ −=      −=−= − =⇒ −=⇒= =         ⇒         =⇒         =      ⇒         =              =      − ====∫= ∫= =+ =− ∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ − −− − − :esldiferenciaecuacionladegeneralsoluciónLa :ecuaciónladeladosambosau(x)integrantefactorelemosMultipliqu eu(x) :u(x)integrantefactorelsEncontremo :integrantefactordelmétodoelaplicarpodemostantoloPor g(x);p(x)yy'formalaTiene p(x)dx
  • 8. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 8 2)    ≥ <≤ ===+ 2x;2x- 2x0; p(x)1;y(0)1;p(x)yy' 1 Para el intervalo 2x0 <≤ resolvemos la ecuación diferencial, donde 1p(x)= : ( ) ( ) ( ) ( ) 2;xpara :potenciasdeseriesusar snecesitamointegrarparaPero lineal)dif.(Ec.1;y'-2xy -2x;p(x)2,xparaAhora >+ + − =⇒ + + − =⇒ − =⇒ =⇒= = = =∫= = =≥ ∑ ∑ ∫∑ ∫∫∫ ∞+ = + ∞+ = + − ∞+ = − − −−−− − − −− −− ;ke !n)1n2( x1 ey ;k !n)1n2( x1 ye ;dx !n x1 ye dxe ;dxeye;dxe)ye(d ;e dx )ye(d );1(exy2y'-e ;ee)x(u 2 0n x 1n2n x 2 0n 2 1n2n x 0n n2n x x xxxx x x xx xxdx2 22 2 2 2 2222 2 2 22 2 2x0para );separabledif.(Ec. <≤=⇒ =⇒−= = −= =− = +−=− +=−− = − ⇒= − −=⇒=+ =+ − − +−− ∫∫ 1y ;0k;ek11 ;1)0(yPero ;ek1y ;eky1 ;ee Kxy1ln ;Cxy1ln ;dx y1 dy dx y1 dy ;y1 dx dy ;1y dx dy ;1y'y 1 1 0 1 x 11 x 1 Kxy1ln ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; !n1n2 21 2 e 1 k ; !n1n2 221 e 1 k;ke !n1n2 221 e1 ;ke !n1n2 221 e1;ke !n1n2 21 e1 ;ke !n1n2 x1 e1 ;yy );x(f)x(f 0n n2n 42 0n n2n 422 4 0n n2n 4 2 4 0n n2n 4 2 2 0n 1n2n 2 2 x 0n 1n2n x 2x2x 2 2x 1 2x axax 22 22 limlim limlim limlim ∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∞+ = ∞+ = ∞+ = ∞+ = ∞+ = + ∞+ = + →→ →→ →→ + − −=⇒ + − −=⇒= + − −⇒ + + − =⇒+ + − =⇒       + + − =⇒ =⇒ = +− +− +− :dicecondiciónEsta :funcionesdosdedcontinuidadecondición lausaremoskencontrarparaAhora 2 ( ) ( ) ( )     ≥      + − −+ + − <≤ = ∑∑ ∞+ = ∞+ = + 2x 2x0; :enciacorresponddereglasiguientela conexpresadaquedasoluciónLa ; !n1n2 21 2 e 1 e !n)1n2( x1 e 1 y 0n n2n 4 0n x 1n2n x 22
  • 9. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 9 3.- Resolver la siguiente ecuación diferencial: xe y dx dy y 2+ = Si observamos que esta es una ecuación diferencial no separable, no lineal con respecto a y, que tal si hacemos que nuestra variable independiente sea “y”, y que “x” nuestra variable dependiente, es decir obtener nuestra solución en función de “y” ( ))y(fx = . ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] ∫∫ ∫∫ =⇒= =⇒=⇒= =        −⇒=− = =⇒== ∫ =−= ∫= =+ =+ =−⇒=−−⇒ =−−≡=−− =+ =+ − −−− − − − dy y e ydy y e xy dy y e xydy y e xy y e xy . y e y x2 'x y e y x2 'x e; y 2 )y(p ; ;g(y)p(y)xx' ; y e y x2 'x;0 y x2 y e 'x ;0x2e'yx;0x2e dy dx y ; dy dx yx2e ;ydxdyx2e 3 y 2 3 y 2 3 y 2 3 y 2 3 y 2 y xy y yln2 yy yy y y 2 x dd dy d yy :ldiferenciaecuaciónladeladosambosayu(y)integrantefactorelndoMultiplica yu(y)yeu(y)sentonce eu(y) :ydedependeahoraintegrantefactorEl* :integrantefactordelmétodoelApliquemos :nteindependievariablelay esAhora g(y);p(y)xx'formalaTiene 2- dy d 2- 2- 2-2- dy y 2 p(y)dy 4434421         + − ++−−==         +++= =⇒= ∑∫ ∫ ∫ ∑∑ ∑∑ ∞+ = − ∞+ = − ∞+ = − ∞+ = − ∞+ = ;C !n)2n( y )yln( 2 1 y 1 y2 1 dy e y)y(x !n y y!2 1 y!1 1 y!0 1 dy !n y !n y y e !n y e dy e 3n 2n 2 y 2 3n 3n 23 0n 3n 0n 3n 0n 3 yn y y 2 3 3 y y :potenciasdeseriesusamos y integrarPara La solución es:         + − ++−−= ∑ +∞ = 2 3n n 2 yC 2)n!(n y ln(y)y 2 1 y 2 1 x
  • 10. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 10 4.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial: ;0==− y(1);sen(ln(x))xyxy' 2 Utilizando el método del factor integrante: ;x)x(u ;eee)x(u ; x 1 e)x(u e)x(u ;(x))lnxsen( x y y' ;(x))lnsen(xyxy' 1 )xln(dx x 1 dx)x(p dx)x(p ;dx)x(p 2 − −∫− ∫ ∫ ∫ =⇒ ===⇒ −==⇒ = =+ =− =− p(x)donde; :entoncesg(x),p(x)yy'formasiguientelaTiene [ ] [ ] [ ] [ ] ∫ ∫ ∫∫ = = =⇒=⇒= =− − −−− −−− − (x))dxlnsen(xy (x))dxlnsen(yx (x))dxlnsen(yxd(x))dxlnsen(yxd(x))lnsen(yx dx d ;(x))lnxsen(x x y xy'x 1 111 1 yx dx d 11 1 :obtieneseldiferenciaecuaciónladeladosambosaintegrantefactorelndoMultiplica 4434421 [ ] [ ] [ ] [ ] ;Cx 2 ))xcos(ln())x(ln(senx y C 2 ))xcos(ln())x(ln(senx xy ;C 2 ))xcos(ln())x(ln(senx dx))x(ln(sen ;C 2 )zcos()z(sene dze)z(sen dze)z(sen ;dze)z(sendx))x(ln(sen ;dzedx ;;xdzdx ; x dx dz);xln(z ?dx))x(ln(sen 2 z z z z z + − =     + − =⇒ + − =⇒ + − = = = == =⇒= = ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ :queobtenemospartesporintegrando, exPero z [ ] [ ] [ ] ; 2 1 C;C 2 1 0 ;C 2 )0cos()0(sen 0 );1(C 2 ))1cos(ln())1(ln(sen1 0 ;0)1(y ;Cx 2 ))xcos(ln())x(ln(senx y 2 2 =⇒+−=⇒ + − =⇒ + − =⇒ = + − = = 0;y(1)siparticularsoluciónlaahorasEncontremo [ ] 2 x 2 cos(ln(x))sen(ln(x))x y :essoluciónLa 2 + − =
  • 11. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 11 Ecuaciones diferenciales Exactas Las ecuaciones diferenciales exactas tienen la siguiente forma: 0;y)F(x, :essoluciónlaDonde h(x);y)H(x,y)F(x, :obtieneseforma,mismaladeprocedemosyeligeseSi :essolucíonLa :Entonces y).F(x,deconstanteLa y);N(x, y y)F(x, conigualandoLuego :yarespectocony)F(x,derivandoLuego :obtienesey),M(x,escogemosSi :quetaly)F(x, :existeEntonces x y)(x, y y)M(x, :siexactaEs 0;y)y'N(x,y)M(x, = += = ∂ ∂ =+ = += = −= =+ = ∂ ∂ += ∂ ∂ += ∂=∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ =+ ∫∫ ,N(x,y) y F(x,y) ;0h(y)G(x,y) ;0F(x,y) h(y);G(x,y)F(x,y) )y(h G'(x,y);N(x,y)h'(y) N(x,y);h'(y)G'(x,y) );y('h)y,x('G y )y,x(F h(y);G(x,y)F(x,y) ;xM(x,y)F(x,y) M(x,y) x F(x,y) x )y,x(F N(x,y); y F(x,y) M(x,y); x F(x,y) ;NM ; N xy
  • 12. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 12 1.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial: ( ) 0dyxxln(x) y e xdx4xxyln(x) x e y4x xy 43 xy 3 =      −+−+      −++− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) );x(hxy)xln(yx !nn yx )yln(yx)y,x(F ; !nn yx )yln(y !n yx y 1 y y e ; !n yx y 1 !n yx !n xy y 1 y e y y e );x(hxy)xln(yxy y e yx)y,x(F ;yx(x)lnx y e x(F(x,y)) y;x(x)lnx y e x(F(x,y)) x;(x)lnx y e x y (F(x,y)) x;(x)lnx y e xFy Si Existe NxMy ;(x)lnex4Nx )y,x(N ;(x)lnex4M ;4xx(x)lny x e yx4M(x,y) 1n nn 4 1n nn 1n 1nnxy 1n 1nn 0n 1nn 0n nxy xy xy 4 xy 4 xy 4 xy 4 xy 4 xy3 xy3 y 3 xy 3 +−+−−= +=∂        +=∂        +=== ∂        +−+∂        −= ∂        −+−=∂ ∂        −+−=∂ −+−= ∂ ∂ −+−= =    = = ⇒ = +−= −+−= +−= −++−= =      −+−+      −++− ∑ ∑∫ ∑∫ ∑∑∑ ∫ ∫∫ ∞+ = ∞+ = ∞+ = − ∞+ = −∞+ = −∞+ = :potenciasdeseriesusaseintegrarPara :ecuaciónladeladosambosaintegrandoEntonces :siguienteloobtieneseentoncesy),N(x,Fy y)N(x,Fy y)M(x,Fx dondey),F(x,funciónuna exacta;esldiferenciaecuacionlaentonces; x;xln(x) y e x 0y'xxln(x) y e x4xxyln(x) x e y4x xy 4 xy 43 xy 3
  • 13. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 13 ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ;0C4x 7 4x 3xy)xln(yx !nn yx )yln(yx ;C4x 7 4x 3xy)xln(yx !nn yx )yln(yx)y,x(F ;C4x 7 4x 3)x(h ;Cz 7 z 3)z(h ;dzz4z3)z(h ;dzz3z4z)z(h ;4zx 4xz ;dxdzz3;4xz ;dx4xx)x(h ;4xx)x('h ;4xx(x)lny x e yx4)x('h)xln(y x e yx4 : );x('h)xln(y x e yx4Fx );x('hy)xln(yy !n yx yx4Fx );x('hy)xln(1y !nn yxn yx4Fx ;4xx(x)lny x e yx4Fx 43 73 1n nn 4 4 3 7 3 1n nn 4 4 3 7 3 4 7 36 23 33 3 3 23 3 3 3 xy 3 xy 3 xy 3 1n n1n 3 1n n1n 3 3 xy 3 =         +−+ − +−+−− =         +−+ − +−+−−=         +−+ − =       ++= += += += −= =⇒−= −= −= −++−=++− ++−= +−++−= +−++−= −++−= = = ∑ ∑ ∫ ∫ ∫ ∑ ∑ ∞+ = ∞+ = ∞+ = − ∞+ = − :decires0,y)F(x,simplicitaesoluciónLa :Entonces :h(x)Obteniendo :términosEliminando FxdoreemplazanEntonces y);M(x,Fx :siguienteloobtieneseentoncesM,FxsiAhora
  • 14. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 14 2.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial: 0y' 2y y yx1)ln(xx2xyxy 1x xy y 8 3 222 =      − ++++−+      + + − ; 2y y yx1xlnxxy2N(x,y) xy 1x xy yM(x,y) 8 3 2 22 − ++++−= + + −= );y('hyx1xlnxxy2Fy );y(h 2 yx 1xlnyxyxy)y,x(F );y(h 2 yx x 1x 1 yxyxy)y,x(F );y(h 2 yx x 1x 11x yxy)y,x(F );y(h 2 yx x 1x x yxy)y,x(F x;xy 1x xy y(F(x,y)) xy 1x xy y x (F(x,y)) ;xy 1x xy yM(x,y)Fx Si Existe ;NxMy ;xy2 1x x y2Nx ;xy2 1x 1x1 y2Nx ;xy2 1x 1 1y2Nx xy2 1x x y2My 2 22 2 22 2 22 2 22 2 22 22 22 ++++−= = = ++++−= ++∂ + +∂−= ++∂ + −+ −= ++∂ + −= ∂      + + −=∂ + + −= ∂ ∂ + + −== =    = = ⇒ = + + −= + + −− += + + +−= + + −= ∫ ∫ ∫ ∫ y);N(x,Fy :siguienteloobtieneseentoncesy),N(x,FysiAhora :siguienteloobtieneseentoncesy),M(x,Fx y)N(x,Fy y)M(x,Fx dondey),F(x,funciónuna exacta.esldiferenciaecuaciónla
  • 15. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 15 ( ) ;0C 2y 2y ln 28 1 2 yx 1xlnyxyxy ;C 2y 2y ln 28 1 2 yx 1xlnyxyxy)y,x(F ;C 2y 2y ln 28 1 )y(h ;C 2z 2z ln 28 1 )z(h ;K 2z 2z ln 22 1 4 1 2z dz 4 1 )z(h ;dyy4dz;yz ;dy 2y y )y(h ;dy 2y y )y(h ; 2y y )y('h 2y y yx1xlnxxy2);y('hyx1xlnxxy2 : 4 422 2 4 422 2 4 4 2 34 24 3 8 3 8 3 8 3 22 =+ + − ++++− = + + − ++++−= + + − = + + − =         + + − = − = =⇒= − = − = − = − ++++−=++++− ∫ ∫ ∫ :decires0,y)F(x,simplicitaesoluciónLa :Entonces :h(y)Obteniendo :términosEliminando FydoreemplazanEntonces 3.- Determine el valor de N(x,y) para que la siguiente ecuación diferencial sea exacta, luego encuentre la solución de forma implícita: 0y)dyN(x,dx yx x xy 2 1/21/2 =+      + +− Para que la ecuación diferencial sea exacta debe cumplirse que My = Nx ( ) ( ) ( ) ;x yx x xy 2 1 )y,x(N ; yx x xy 2 1 x )y,x(N ; yx x xy 2 1 Nx ;MyNx 22 2/12/1 22 2/12/1 22 2/12/1 ∂         + −=∂ + −= ∂ ∂ + −= = −− −− −−
  • 16. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 16 ( ) ( ) ( ) ;C yx2 1 xy)y,x(N ;C u2 1 xy)y,x(N ; u u 2 1 xy)y,x(N ;xx2u ;yxu ;x yx x xy)y,x(N ;x yx x xy 2 1 )y,x(N 2 2/12/1 2/12/1 2 2/12/1 2 22 2/12/1 22 2/12/1 + + += ++= ∂ −= ∂=∂ += ∂         + −= ∂         + −=∂ − − − − −− ∫ ∫ ∫∫ ( ) 0dyC yx2 1 xydx yx x xy 2 2/12/1 2 2/12/1 =        + + ++        + + −− Ahora como My = Nx; );y('h )yx(2 1 yxFy h(y);yxln 2 1 xy2F(x,y) ; u u 2 1 xy2F(x,y) x;x2u y;xu x; yx x xy2F(x,y) x; yx x xyF(x,y) x; yx x xy(F(x,y)) yx x xy x (F(x,y)) ; yx x xyM(x,y)Fx Si Existe 2 2/12/1 22/12/1 2/12/1 2 2 2/12/1 2 2/12/1 2 2/12/1 2 2/12/1 2 2/12/1 + + += = = +++= ∂ += ∂=∂ += ∂ + += ∂        + += ∂        + +=∂ + += ∂ ∂ + +== =    = = ⇒ − − − − − ∫ ∫ ∫ y);N(x,Fy :siguienteloobtieneseentoncesy),N(x,FysiAhora :siguienteloobtieneseentoncesy),M(x,Fx y)N(x,Fy y)M(x,Fx dondey),F(x,funciónuna
  • 17. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 17 ( ) ;0;KCxyxln 2 1 xy2 K;Cxyxln 2 1 xy2F(x,y) h(y);yxln 2 1 xy2F(x,y) ;KCx)y(h ;C)y('h ;C yx2 1 xy);y('h )yx(2 1 yx : 22/12/1 22/12/1 22/12/1 2 2/12/1 2 2/12/1 =++++ = ++++= +++= += = + + +=+ + + −− :decires0,y)F(x,simplicitaesoluciónLa :Entonces :h(y)Obteniendo :términosEliminando FydoreemplazanEntonces
  • 18. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 18 Ecuaciones diferenciales exactas con factor integrante exacta.esldiferenciaecuaciónlaAhora :ydedependequeintegrantefactorUn exacta.esldiferenciaecuaciónla :esxdedependesoloqueintegrantefactorUn :integrantefactorunnecesitasetantoloporexacta,noldiferenciaecuaciónunaesEntonces Nx;MySi ;0y'u(y)N(x,y)u(y)M(x,y) ;eu(y) Ahora ;0y'u(x)N(x,y)u(x)M(x,y) ;eu(x) ;0'y)y,x(N)y,x(M dx N(x,y) Nx-My dx N(x,y) My-Nx =+ ∫ = =+ ∫ = ≠ =+ 1) ( ) 1;y(1)Si0;dy203y2xxydx 22 ==−++ (((( )))) (((( )))) (((( )))) ;4 ;2032),( ;4 ;),( ;02032 02032 ;)( ;)( 4 2032 3 3532 3 4 35324 2233 3 3 22 xyNx yyyxyxN xyMy xyyxM dyyyyxdxxy ;dyyxyxydxy yyu yyu x;Nx ;yxN(x,y) x;My xy;M(x,y) dy y dy xy dy ==== −−−−++++==== ==== ==== ====−−−−++++++++ ====−−−−++++++++ ==== ==== ∫∫∫∫ ==== ∫∫∫∫ ==== ∫∫∫∫ ==== ≠≠≠≠ ==== −−−−++++==== ==== ====                   :ecuaciónladeladosambosau(y)andomulitiplicLuego ee eu(y) :integrantefactorsuencontrardebemostantoloPor exacta;esnoldiferenciaecuaciónlaentoncesNx;My 3x-4x y)M(x, My-Nx
  • 19. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 19 (((( )))) ;Cy yyx C;y yyx F(x,y) Cy y yh dyyyyh ;yyh'(y) ;yyyxh'(y)yx yh yx yxF xxyyxF xy x yxF 05 22 5 22 ;5 2 )( ;203)( 203 20322 );( 2 ),( ;),( ; )),(( 4 642 4 642 4 6 35 35 353232 42 4 4 ====++++−−−−++++ ++++−−−−++++==== ++++−−−−==== −−−−==== −−−−==== −−−−++++====++++ ==== ++++==== ∂∂∂∂==== ==== ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ====    ==== ==== ∃∃∃∃ ==== ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ :Entonces y);N(x,Fy y);M(x,Fx y);N(x,Fy y);M(x,Fx :talquey))(F(x, :exactaesldiferenciaecuaciónlatantoloporNx,My 2) ( )[ ] 0;dxln(x)1xyy-2xdy 3 =++ ( )( ) ( ) ( ) ;08y10yyx ;04y5 2 y 2 yx ;4C ;15C ;0C5 2 1 2 1 ;0C15 2 1 2 11 ;0Cy5 2 y 2 yx 4642 4 642 4 642 4 642 =+−+ =+−+ = −= =+−+ =+−+ =+−+ = :soluciónLa 1;y(1)Si
  • 20. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 20 ( )[ ] ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C)y(h ;0h'(y) ; y x2 h'(y) y x2 );y(h 4 x )xln( 2 x 2 x y x )y,x(F ;x(x)ln1x y 1 )y,x(F ;(x)ln1x y 1 x ))y,x(F( ; y 2 Nx ; y x2 )y,x(N ; y 2 My ;(x)ln1x y 1 )y,x(M ;0dy y x2 dx(x)ln1x y 1 ;0xdy2 y 1 dx-(x)ln1xyy y 1 ; y 1 ee)y(u ee)y(u ;e )y,x(N (x);lnxy3xy31My ;(x)ln1xyyM(x,y) 33 222 2 2 2 3 3 3 2 32 3 3 3 3 dy y 3dy )xln(1xy1y )xln(1xy13 dy )xln(1xy1y (x);lnxy3xy33 dy (x)ln1xyy (x);lnxy3xy312 dy )y,x(M MyNx 22 3 2 2 2 22 3 22 = = −=+− = +−++= ∂      ++= ++= ∂ ∂ =    = = ∃ = −= −= −= ++= =        −      ++ =++ = ∫∫ = ∫ = ∫ = ∫ = = = ++= ++= =++ ∫ −         ++ ++−         ++ −−−         ++ −−−−       − y);N(x,Fy y);M(x,Fx y);N(x,Fy y);M(x,Fx :talquey))(F(x, :exactaese.d.latantoloporNx,My :ecuaciónladeladosambosau(y)andomulitiplicLuego u(y) -2;Nx -2x; 0;2xdy-dxln(x)1xyy 3 ;0C 4 x )xln( 2 x 2 x y x ;C 4 x )xln( 2 x 2 x y x )y,x(F 222 2 222 2 =+−++ +−++= :Entonces
  • 21. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 21 3) ( ) 2xyln(y);y'1yyx 222 −=++ [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) ;Cuu 3 1 Cu 3 2 2 1 duu 2 1 )y(h ;ydy2du ;1yu ;dy1yy)y(h ;1yyh'(y) ;1yy y x h'(y) y x );y(h)yln(x)y,x(F ;x(y)lnx2)y,x(F ;;(y)lnx2 x ))y,x(F( ; y x2 Nx ;1yy y x )y,x(N ; y x2 My ;(y)lnx2)y,x(M ;0y'1yy y x (y)lnx2 ;0y'1yyx y 1 (y)lnxy2 y 1 ; y 1 )y(u ;eee)y(u ;e)y(u ;x2Nx ;1yyx)y,x(N ;)yln(1x2My ;(y)lnxy2)y,x(M ;0y'1yyx(y)lnxy2 2/3 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 222 dy y 1 dy )yln(xy2 )yln(x2 dy (y)lnxy2 )yln(1x2x2 dy )y,x(M MyNx 222 222 +=    +== = += += += ++=+ = += ∂= = ∂ ∂ =    = = ∃ = = ++= = = =      +++ =+++ = ∫ = ∫ = ∫ = ∫ = = ++= += = =+++ ∫ ∫ ∫ −        −         +−         − y);N(x,Fy y);M(x,Fx y);N(x,Fy y);M(x,Fx :talquey))(F(x, :exactaese.d.latantoloporNx,My :ecuaciónladeladosambosau(y)multiplicaseLuego ( ) ( ) ( ) ;0C1y1y)yln(x ;C1y1y)yln(x)y,x(F C;1y1y 3 1 h(y) 222 222 22 =++++ ++++= +++= 3 1 3 1 :Entonces
  • 22. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 22 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) { (((( )))) (((( )))) (((( )))) .integrantefactordelmétodoelporresolverpuedeseque Lineal,ldiferenciaecuaciónunaesEsto :siguienteloobtieneSe :BernoullideecuaciónladeladosambosafactorelrámultiplicaSe :evariabldecambiosiguienteelhaciendo linealenconviertelasequelineal,noldiferenciaecuaciónunaesEsta 0,1.ndondeBernoulli,deldiferenciaecuaciónuna :esEsto    −−−−====−−−−++++ −−−−====−−−−++++−−−− −−−−====−−−−++++−−−− −−−− −−−−======== ==== ≠≠≠≠====++++ −−−−−−−− −−−−−−−−−−−− −−−− −−−− −−−− )(1)(1 )(1)(11 )(1)(11 1 1. : )()( 1 1 xgnvxpn dx dv xgnyxpn dx dy yn yxgynyxpyn dx dy yn yn dx dy yn dx dy dy dv dx dv Donde yv yxgyxp dx dy Sea v n dx dv n nnnn n n n n 4434421
  • 23. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 23 La solución general es: ; x K 9 2x 3 2xln(x) x 3 2 1 y 2 ++−− = ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ −−= +−= +−= +−= +−=+ =∫= +−=+ +−=+− +−=+− − −== = = =+=− =    ++− =++ − − −−− − − − − ;dx)xln(x2x 3 2 vx ;dx)xln(xx2vx ;dx(x)ln1x2vx ;(x)ln1x2 dx vxd ;(x)ln1x2 x v2 x'vx ;xe)x(u ;(x)ln12 x v2 'v ;(x)ln12 x y 2y'y2 ;(x)ln1yy2 x y y2y'y2 y2 ; dx dy y2 dx dv 'v ;yv ;(x)ln1y x y y' ;0(x)ln1y x y y' ;0dx(x)ln1xyyxdy- 232 222 22 2 2 222 2 dx x 2 2 3 3333 3 3 2 3 3 3 :integrantefactorporoResolviend :v'yvdoReemplazan :ecuaciónladeambosamultiplicaseLuego ;yvsustituyeSe 3;n n1 1) ( )[ ] 0;dxln(x)1xyy-xdy 3 =++ . (((( )))) (((( )))) ; 9 2 3 )ln(2 3 2 : ; 9 2 3 )ln(2 3 2 ; 9 2 3 )ln(2 3 2 ; 93 )ln( )ln( ; 3 ;);ln( ?)ln( 2 2 2 33 32 33 2 3 2 2 x Kxxx xy x Kxxx xv K xxx xvx C xxx dxxx x vdx;xdv x dx duxu dxxx ++++++++−−−−−−−−==== ==== ++++++++−−−−−−−−==== ++++++++−−−−−−−−==== ++++−−−−==== ====⇒⇒⇒⇒==== ====⇒⇒⇒⇒==== ==== −−−− ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ yvdoReemplazan :soluciónlaDespejando 2-
  • 24. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 24 2) 1;y(1)siln(x);yyxy' 2 ==+ ∫= =     =− =∫= =− −=−− − −= == ==+ − −−− − − −− ;dx x )xln( v x 1 ; x )xln( dx v x 1 d ; x )xln( x v 'v x 1 ; x 1 e)x(u ; x )xln( x v 'v ; x )xln( yy x y y'yy y ; dx dy y dx dv ;yyv ; x )xln( y x y 'y 2 2 22 x dx 2222 2 2 1n1 2 :integrantefactordelmétodoelporoResolviend :ecuaciónlaenv'yvdoReemplazan :ecuaciónladeladosambosamultiplicaseLuego 2;n ; Cx1)xln( 1 y ;Cx1)xln(y ;Cx1)xln(v C; x 1 x )xln( -v x 1 ; x dx x )xln( -v x 1 ; x 1 -v; x dx dv ; x dx du(x);lnu ?dx x )xln( 1 2 2 2 +−− = +−−= +−−= +−= += =⇒= =⇒= = − ∫ ∫Integrando ;2C ;11C 1C- 1 1 = =− = = :entonces1,y(1)Si ; 2x1ln(x) 1 y :essoluciónLa +−− =
  • 25. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 25 3) [ ] 0;dxx)(14xy1yx)dy4(1 2 =++++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;x1Cx14 3 x14 y ;Cx14 3 x14 v ;Cx14 3 x14 v x1 1 ;Cx14 3 x14 dx x1 x2 ;Cz4 3 z4 dz1z4 ;dz1z4 z zdz21z 2dx x1 x2 ;1zx ;dxzdz2;x1z ?;dx x1 x2 ;dx x1 x2 v x1 1 ; x1 x2 dx v x1 1 d ; x1 x2 x)1(4 v2 x1 1 'v x1 1 ; x1 1 ee)x(u ;x2 x)1(4 v2 'v ;xyy2 x)1(4 yy2 'yy2 ; dx dy y2 dx dv ;yyv ;xy x)1(4 y 'y 0xy x)1(4 1 y'y 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 x1ln 2 1dx )x1(2 1 33 3 3 3 2n1 3 2 +++− + = ++− + = ++− + = + ++− + = + +−=− −= − = + −= =⇒+= = + + = + + =     + + = ++ − + + == ∫ = = + − = + − +− −= == =−= + + =      + + + − +− + − − − − − −− ∫ ∫ ∫∫∫ ∫ ∫ :ecuaciónladeladosambosa2y-multiplicaseLuego 3;n 3- ( ) ( ) ; x1Cx14 3 x14 1 y 2 +++− + = La solución general es:
  • 26. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 26 4) ctg(x);2y4csc(2x)y3y' 1/2− =+ [ ] ( ) ; 4 1C ;C 4 1 ;C 4 ;)x(Cctg)x(xctgy );x(Cctg)x(xctgy );x(Cctg)x(xctgv ;Cxv)xtan( ;dxv)xtan( ;dxv)xtan( ;1 dx v)xtan(d );x(ctg)xtan(v)x2csc()xtan(2'v)xtan( );xtan( )xcos()x(sen )x(sen 2 )x2(sen 2 )x2cos(1 )x2(sen )x2cos(1 )x(u ; )x2(sen )x2cos( )x2(sen 1 )x(u );x2(ctg)x2csc()x(u ee)x(u );x(ctgv)x2csc(2'v );x(ctgy 3 2 y 2 3 y)x2csc( 3 4 y 2 3 'yy 2 3 y 2 3 ;'yy 2 3 'v ;yyv ; 2 1 );x(ctgy 3 2 y)x2csc( 3 4 'y 3 2 3 2 2/3 2 )x2(ctg)x2csc(lndx)x2csc(2 2/12/12/12/1 2/1 2/1 2/3n1 2/1 π −= + π =       + π = =π += += += += = = = =+ == − = − = −= −= =∫= =+ =+ = == −==+ ∫ ∫ − − − − 1 1;/4)y(Si :ecuaciónladeladosambosamultiplicaSe n
  • 27. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 27 ;)x(ctg 4 1)x(xctgy 3 2             π −+= :esparticularsoluciónLa Ecuaciones diferenciales homogéneas de la forma       = x y f'y );x(xy );x( x y );x(v ; x dx v)v(f dv ;v)v(f dx dv x );v(f dx dv xv ; x y f dx dy ; dx dv xv ; ; x y f dx dy φ= φ= φ= = − −= =+       = += ==       = = :ecuaciónlaeny'yv,doReemplazan dx dy vx;yentonces x y v :ónsustitucisiguientelahaceSe :comoecuaciónestaexpresar puedesesihomogéneaesy)f(x, dx dy ecuaciónlaquediceSe
  • 28. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 28 1)Resolver la siguiente ecuación diferencial: ; y x y sec x y dx dy 2 2       += ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sen(2v) 8 1 -cos(2v) 4 v 4 sen(2v)v 6 v vsec dvv sen(2v) 8 1 -cos(2v) 4 v 4 sen(2v)v 6 v dvcos(2v) 4 1 cos(2v) 4 v 4 sen(2v)v 6 v vsec dvv dvcos(2v) 4 1 cos(2v) 4 v 2 sen(2v)v 6 v vsen(2v)dv 4 sen(2v)v 6 v vsec dvv cos(2v) 2 1 nsen(2v)dvdn dv.dmvm vsen(2v)dv 4 sen(2v)v 6 v vsec dvv dv 2 2vsen(2v) 2 sen(2v)v 6 v dvcos(2v)v 2 1 dv 2 v vsec dvv ; 2 sen(2v) ncos(2v)dvdn 2vdv;dmvm dv 2 cos(2v)v dv 2 v dv 2 cos(2v)v 2 v vsec dvv dv 2 cos(2v)v 2 v dv 2 cos(2v)1 v(v)dvcosv vsec dvv ? vsec dvv ; x dx vsec dvv :randoInteg x dx vsec dvv separable.ldiferenciaEcuación v vsec dx dv x vx vsec dx dv x ; vx vsec vv dx dv x y x y sec x y dx dy :obtienesev, dx dv x dx dy , x y vxv,y,ldiferenciaecuaciónlaendoReemplazan v; dx dv x dx dy xv;y x y v :queAsumiendo 23 2 2 2323 2 2 2323 2 2 23 2 2 23 2 2 2 2 2 2222 2 2 22 222 2 2 2 2 32 2 32 2 2 2 3 22 2 22 2 2 2 ++= ++=      +−−+=       +−−+=−+= −=⇒= =⇒= −+=       −+=+      = =⇒= =⇒=       +      =      +=       +=      + == = ==⇒    =⇒=⇒ +=+⇒       += +=== +=⇒ =⇒= ∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫ ∫∫ 2 1 2 1 2 1
  • 29. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 29 ( ) ; C C x y vdoReemplazan x 1 sen(2v) 8 1 -cos(2v) 4 v 4 sen(2v)v 6 v x 1 sen(2v) 8 1 -cos(2v) 4 v 4 sen(2v)v 6 v x dx vsec dvv 2 23 2 23 32 2 = +−=++ +−=++⇔= ∫∫ 2) ( ) ( ) /2;y(1)si0;dyxdx2xyxy 222 24 ==−++ C La +−=                        +                   +       2 23 x 1 x y 2sen 8 1 - x y 2cos 4 v 4 x y 2sen x y 6 x y :porexpresadaquedaimplícitaformadesolución ( ) ; 4 K ;Ktan 2 1 2 ;K 2 xln4 tan 2 x y ;K 2 xln4 tan 2 1 x y ;K 2 xln4 tan 2 1 v ;K 2 xln4 tanv2 π = = =       +=       +=       +=       += 2 ; 2 2 y(1)Si :obtieneseladosambosatanAplicando ; 42 xln4 tan 2 x y       π += :esparticularsoluciónLa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;K 2 xln4 v2arctan ;Cxln4v2arctan2 ; x dx4 2/1v dv ; x dx 2/1v4 dv ; x dx 2v4 dv ;2v4 dx dv x ;2v4v dx dv xv ; dx dv xv dx dy ;xvy ; x y v ;2 x y4 x y dx dy ; x x2y4xy dx dy 2 2 2 2 2 2 2 2 22 += += = + = + = + += ++=+ += = = ++= ++ = ∫∫
  • 30. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 30 3) 0;xdonde0;)y(x;yxy dx dy x 00 22 >=−+= /4;y(1)==== ;'xvv'y ;xvy ; x y v ; x y 1 x y dx dy ; x yx x y dx dy ; x yx x y dx dy 2 2 2 22 22 += = = −+= − += − += :asumeSe 4) ( ) 0;ydxdyln(y)ln(x)x =−− ( ) ( ) ( ) ; x y lnx y dx dy ; (x)ln(y)lnx y dx dy ;0ydxdy(x)ln(y)lnx ;0ydxdy(y)ln(x)lnx             −= − −= =+− =−− ;'xvv'y ;xvy ; x y v += = = :asumeSe La solución general de forma implícita es: C;xln x y ln1ln x y ln +−=      +− (((( )))) (((( )))) (((( )))) ; 2 ln ; 2 );(1 ;ln ;ln ;ln ;ln)( ; ;1 ;1 ;1' ;1' 2 2 2 2       ++++==== ==== ==== ==== ++++==== ++++==== ++++==== ++++==== ==== −−−− −−−−==== −−−−==== −−−−++++====++++ ππππ ππππ xxseny C Csen Cxxseny Cxsen x y Cxsenv Cxvarcsen x dx v dv v dx dv x vxv vvxvv :espaticularsoluciónLa 1;y(1)Si (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) ;ln)ln(1lnln ;ln1ln ;ln 1 1 ;ln 1 ; );ln( ; )ln(1 )ln( ; ln )ln(1 ; ln ' ; ln ' Cxvv Cxuu Cxdu u du Cxdu u u v dv du vu x dx dv vv v v vv dx dv x v v v xv v v xvv ++++−−−−====++++−−−− ++++−−−−====++++−−−− ++++−−−−====      ++++ −−−− ++++−−−−====      ++++ ==== ====       −−−−====      ++++ ++++−−−− ==== −−−−−−−−==== −−−−====++++ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫
  • 31. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 31 Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Lineales 1) ( ) ( ) ; 4y2x 5x2y dx dy −− +− = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;z z2 1z2 du dz u ; z2 1z2 du dz uz ; du dz uz du dv ;zuv ; u v z ; u v 2 1 u v2 du dv ; vu2 uv2 du dv ;3h ;1-k ;04kh2 ;05hk2 4kh2vu2 5hk2uv2 du dv ; 4kvhu2 5hukv2 du dv ; du dv dx dy ;kvy ;hux ;41 );2(2)1)(1( ;baba ;0dy4yx2dx)5y2x( 1221 − − − = − − =+ += = = − − = − − = = =    =−− =+− −−+− +−+− = −+−+ ++−+ = = += += ≠ −−≠ ≠ =−−−−− :homogénealdiferenciaecuaciónunacomooResolviend :homogéneaecuaciónunaobtenerpoderparau,paraoDivivdiend :Entonces :el sistemaoResolviend ; obtieneseecuación,laeny'y,x,doReemplazan :asumeSe
  • 32. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 32 ( ) ( ) ; u du 1z dz2z ; z2 zz21z2 du dz u 2 2 −= − − − +−− = ( ) ( ) ( ) ( ) ;Culn 1z 1z ln1zln 2 1 ; u du 1z dz2 1z dzz 2 22 +−= + − −− −= − − − ∫∫∫ ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;C3xln1 3x 1y ln 2 1 1 3x 1y ln 2 3 ;3xu;hxu ;1yv;kyv ;Culn1 u v ln 2 1 1 u v ln 2 3 ;Culn1zln 2 1 1zln 2 3 ;Culn1zln1zln1zln 2 1 1zln 2 1 ;Culn 1z 1z ln1z1zln 2 1 ;Culn 1z 1z ln1zln 2 1 2 +−−=      − − + −      + − + −=⇒−= +=⇒−= +−=      −−      + +−=−−+ +−=++−−++− +−= + − −+− +−= + − −− :esimplícitaformadesoluciónLa 2) ( ) ( ) 0;dy37y3xdx77x3y =−−−+− ( ) ( ) ( ) ; 3y7x3 7y3x7 dx dy ; du dv dx dy ;kvy ;hux ;949 );3(3)7)(7( ;baba 1221 ++− ++− = = += += −≠− −≠− ≠ :Usando
  • 33. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 33 ( ) ( ) ( ) ( )    =++− =++− ++−+− ++−+− = ++++− ++++− = ;03k7h3 ;07k3h7 3k7h3v7u3 7k3h7v3u7 du dv 3kv7hu3 7kv3hu7 du dv ; :y'yyx,doReemplazan ; u v z ; u v7 3 u v3 7 du dv ; v7u3 v3u7 du dv ;1h ;0k = +− +− = +− +− = = = :el sistemaoResolviend ;z z73 z37 du dz u ; z73 z37 du dz uz ; du dz uz du dv ;zuv − +− +− = +− +− =+ += = (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) ; 1 7 1 6 1 7 ;1ln7 1 6 1 7ln ;ln767ln ;ln767ln ;ln 2 767ln ;ln 767 614 14 7 ; 767 614 14 7 ;33614 14 7 37 ;614;767 ; 767 37 ; 37 767 ; 73 7337 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 −−−− ====++++ −−−− −−−−      −−−− ++++−−−−−−−−====++++ −−−− −−−−      −−−− ++++−−−−====++++−−−−      ++++−−−−====++++−−−− ++++−−−−==== ++++−−−− ++++−−−−==== ++++−−−− −−−− ==== ++++−−−− ++++−−−−====−−−− ====⇒⇒⇒⇒++++−−−−==== −−−− ==== ++++−−−− −−−− −−−− ++++−−−− −−−−==== ++++−−−− −−−−++++++++−−−− ==== ∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ x C x y x y Kx x y x y Ku u v u v Kuzz Cu zz Cu zz dzz- u du zz dzz- z-z z-duzzu u du zz dzz z zz du dz u z zzz du dz u :esimplícitaformadesoluciónLa
  • 34. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 34 3) ( ) ( ) 0;yx1y'5xy =−−−−− ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ; 5xy yx1 dx dy ;kvy ;hux ;11 ;1111 ;baba ;0y'5xy-x-y1 1221 −− −− = += += −≠ −≠−− ≠ =−−− Reemplazando x,y, y y’ en la ecuación: ( ) ( ) ( ) ( ) ; 5khvu 1khvu du dv ; 5hukv kv-hu-1 du dv −+−+− +−−−− = −+−+ ++ = ; du dz uz du dv ;zuv ; u v z ; u v 1 u v 1 du dv vu vu du dv ;3k ;2-h ;05kh ;01kh += =       = +− −− = +− −− = = =    =−+− =+−− :ecuacionesdeel sistemaoResolviend ; z1 zzz1 du dz u ;z z1 z1 du dz u ; z1 z1 du dz uz 2 +− −+−− = − +− −− = +− −− =+
  • 35. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 35 ( ) ( ) ;C2xln 2x 3y arctan1 2x 3y ln 2 1 ;Culn u v arctan1 u v ln 2 1 ;Culn)zarctan(1zln 2 1 ; u du 1z dz1z ; 1z 1z du dz u 2 2 2 2 2 ++−=      + − −+      + − +−=      −+      +−=−+ −= + − − + −= ∫∫ :esldiferenciaecuaciónladeimplicitasoluciónLa Ecuaciones diferenciales de la forma G(ax+by) XY XY ͩ{ͷY - ͸Y{ Se asume el siguiente cambio de variable ͷY - ͸Y Despejando y: Y ͸ . ͷ ͸ Y XY XY ͸ X XY . ͷ ͸ Reemplazando y, y’ en: XY XY ͩ{ͷY - ͸Y{ Se obtiene una ecuación diferencial de la forma: ͸ X XY . ͷ ͸ ͩ{Ͷ{ ͸ X XY ͷ ͸ - ͩ{Ͷ{ Se obtiene una ecuación diferencial separable dela forma: X ͷ ͸ - ͩ{Ͷ{ ͸XY
  • 36. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 36 1. ( ) ( ) 7/4;y(0)si;1yx1yxy' 22 =−+−++= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;x 4 1 e2y ;2k ; 4 1 k 4 7 ; ;x 4 1 key ; 4 1 keyx ; 4 1 kez ;ke1z4 ;Cx41z4ln ;Cx1z4ln 4 1 ;dx 1z4 dz ;1z4 dx dz ;11z2z1z2z dx dz ;1z1z1 dx dz ;1yx1yxy' ;1 dx dz dx dy ;xzy ;yxz x4 x4 x4 x4 x4 2 1 22 22 22 −−= = −= = −−= −=+ −= =+ +=+ +=+ = + += ++−−++= −−+=− −+−++= −= −= += ∫∫ :esparticularsoluciónLa 4 7 y(0)Si :sustituyeSe
  • 37. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 37 2. ;y(0)siy);(xtany' 2 π=+= ;2x4)y2x2(seny2x2 ;2k ;K)2(sen2 ;Kx4)y2x2(seny2x2 ;Cx 4 )y2x2(sen 2 yx ;Cx 4 )z2(sen 2 z ;Cxdz 2 )z2cos(1 ;Cxdz)z(cos ;dx )z(sec dz );z(sec dx dz );z(tan1 dx dz );z(tan1 dx dz );yx(tan'y ;1 dx dz dx dy ;xzy ;yxz 2 2 2 2 2 2 π+=+++ π= =π+π π= +=+++ += + + + +=+ +=      + += = = += =− += −= −= += ∫ ∫ ∫∫ :esparticularsoluciónLa ;y(0)Si
  • 38. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 38 3. 5;52y-10xy' −+= ;Cx105y2x10ln105y2x10 ;y2x10z ;Cx105zln105z ;105zln105z 5220 dz ;10uln10u u10 udu ; 10u du 10du 10u udu ; 10u 10 1 ; 10u udu u10 udu ; u10 udu u220 udu2 5220 dz ;dzudu2 ;5zu ;dx 5220 dz ;5220 dx dz ;1052 dx dz 10 5 dx dz 2 1 5 ; dx dz 2 1 5 dx dy ; 2 z 2 x10 y ;y2x10z 2 +=−+−−+−− −= +=−+−+− −+−+−= +− −−−= − − −−= − − − += − −= − − = − = +− = += = +− +−= −+=− −+=− −= −= −= −+= ∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ :esexplicitaformadesolucionLa :integraleslasoeemplazandR z 10-u u 10;-uparauDividiendo z z z z 5;z 5;52y-10xy'
  • 39. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 39 4. ( ) ( ) 0;dy12y4xdxy2x =−+−+ ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;Cx2yx25ln 25 1 yx2 5 2 ;Cx2z5ln 25 1 z 5 2 ;dx 2z55 dz 5 dz2 ; 2z55 1 5 2 ;dx 2z5 dz1z2 ; 1z2 1z22z dx dz ;2 1z2 z dx dz ; 1z2 z 2 dx dz ;2 dx dz dx dy ;x2zy ;yx2z ; 1yx22 yx2 dx dy ;44 1422 baba 1221 +=−+−+ +=−− = − − − −= = − − − −+ = + − = − =− −= −= += −+ + = −=− −=− = ∫∫∫ :esimplícitaformadesoluciónLa 2-5z 1-2z Dividiendo :doReemplazan
  • 40. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 40 Ecuaciones de Primer Orden Aplicaciones 1. Una taza de café caliente que inicialmente se encuentra a 95ºC, se enfría y llega a 80ºC en 5 minutos mientras permanece servida en un cuarto cuya temperatura está a 21ºC. Determine en que momento el café estará a la temperatura ideal de 50ºC. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) min67.20 0453.0 74 29 ln 502174 º50min 2174 min º 0453.0 5 74 59 ln 8021745 º80min5 2174 74219595210 º950 21 º21 ln 1 0453.0 1 1 0453.0 5 0 1 = −       =→=+= ∴= += −=       =→=+= ∴= += =−=→=+= ∴= += ∴ += +=− = − −= − − ∫∫ tetT Caestácaféeltten etT C keT Caestácaféelten etT CCeT Caestácaféelten CetT Cescuartodelatemperaturlaquesabemos TCetT CktTT kdt TT dT TTk dt dT t t k kt k kt a kt a a a 2. El Sábado 24 de Febrero del 2007 a las 07h00 A.M. un conserje del básico encuentra el cuerpo de un estudiante de ecuaciones diferenciales en el aula donde rindió su examen el día anterior, que se conserva a temperatura constante de 26° C. En ese momento la temperatura del cuerpo es de 28° C y pasada hora y media la temperatura es de 27.5° C. Considere la temperatura del cuerpo en el momento de la muerte de 37° C y que se ha enfriado según la Ley de Enfriamiento de Newton, cuál fue la hora de la muerte? ( ) ( ) ( ) ( )auladelaTemperatur cuerpodelaTemperatur tiempoalrespectoconatemperaturladeVariación: dt dT dt dT :NewtondetoenfriamiendeLey :T :T TTK a c ac −−=
  • 41. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 41 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 5.1t 9924.1 k9924.15.1tk 11 5.1 ln5.1tk ; 11 5.1 e5.1e115.2726e11)5.1 ; t 7047.1 k7047.1kt 11 2 lnkt ; 11 2 e2e112826e11) C28)Si 26e11)t(T 26C s:C entonce37ir era detes de moreratura anSi la temp 26Ce)t(T 26Ce)t(TCe26Te CKt26TlKdt 26T dT Kdt 26T dT ;26TK dt dT C5.27)5.1T(t 1 11 5.1tK5.1tK5.1tK 1 11 KtKtKt Kt c Kt c Kt c Kt c CKt26Tl c cc c 1 111 111 c 2)(ecuación T(t C27.51.5)T(tSi 1)(ecuación T(t T(t 11C37 C;37T(0) ; ;e n 1.5.t:entoncesseráC27.5deesatemperaturlaqueentiempoEl C.27.5adesciendecuerpodelatemperaturlamediayhoraunadeDespués C28)T(t .tesC28deesatemperaturlaqueentiempoEl C.28eshalladoescuandocuerpodelatemperaturLa C26T horas.entiempo:t 1 1 1 1 n 1 1 1 a + =⇒=+⇒      =+−⇒ =⇒=⇒=+=+⇒ °=+ =⇒=⇒      =−⇒ =⇒=⇒=+=⇒ °= +=⇒ =⇒+= °= ° +=⇒ +=⇒=−⇔= +−=−⇔−= − ⇔−= − −−= °=+⇒ +° ° °=⇒ ° ° °= +−+−+− −−− − − −−+−− ∫∫ ( ) 22h06.lasA decir.esencontradoserdeanteshoras8.89murioestudianteeltantoloPor horas .55705 t :2y1ecuaciónigualaseSi 1 89.8 7047.19924.1 2 55705.2t7047.1t9924.1 t9924.155705.2t7047.1t9924.17047.15.1t 5.1t 9924.1 t 7047.1 11 1111 11 = − =⇒=−⇒ =+⇒=+⇒ + =
  • 42. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 42 3. Supóngase que un alumno de la ESPOL es portador del virus de la gripe y a pesar de ella va a la escuela donde hay 5000 estudiantes. Si se supone que la razón con la que se propaga el virus es proporcional no solo a la cantidad de infectados sino también a al cantidad de no infectados. Determine la cantidad de alumnos infectados a los 6 días después, si se observa que a los 4 días la cantidad de infectados era de 50. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) infectados infectados 35350506x 50txetx 20000 50ln k50e4x 50x4ten etx 1 e tx 4999 1 C1 Ce1 Ce5000 0x 1x0ten Ce1 Ce5000 tx Ckt5000 5000x x ln Ckt 5000x x ln 5000 1 kdt x5000x dx x5000kx dt dx sanosde:#x5000 de:#x 5.16*25.0 t25.050lnt25.0 k20000 kt5000 kt5000 0 0 kt5000 kt5000 ===∴ =→= =→==∴ == =→= −=→= − − =∴ == − − = +=      − +=      − ⇔= − ⇔−= − ∫∫ 4. En un cultivo de levadura la rapidez de cambio es proporcional a la cantidad existente. Si la cantidad de cultivo se duplica en 4 horas, ¿Qué cantidad puede esperarse al cabo de 16 horas, con la misma rapidez de crecimiento? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00 44 16 0 4 0 4 2ln 0 0 4 0 0 00 0 0 322216 2 4 2ln 24 x2x4en t 0 xx0en t ln existentecantidad:x xxxx xtxextx kxexx xCxCex Cetx Cktx kd x dx kx dt dx tt k kt === =→= =→== == =→== == = += = = ∫ ∫
  • 43. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 43 5. Un objeto que pesa 30Kg se deja caer desde una altura de 40 mt, con una velocidad de 3m/s. supóngase que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo. Se sabe que la velocidad límite debe ser 40m/s. Encontrar la expresión de la velocidad en un tiempo t. La expresión para la posición del cuerpo en un tiempo t cualquiera. ( ) ( ) ( ) ( )       +=→      += +−=−→+−=−→−= − =− =− −− ∫∫ 300Ce k 1 tvmgCe k 1 tv Ct m k mgkvlnCtmgkvln k m dt mgkv dv m dt dv mkvmg dt dv mfmg t 30 k t m k r ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 148t40e148tx 148C0C040e1480x Ct40e148tx Ct40e148Cdt40e37tx Cdttvtx dt dx tv 40e37tv 5.277C5.7k40 k 300 40300Ce k 1 v 0 300k3C3300Ce k 1 0v t25.0 0 t25.0 t25.0t25.0 t25.0 0 −+= −=→=++= == ++= ++=++−= +=→= +−= −=∴=→=→=+=∞ =∞= −=−→=+= == − − −− − ∞− ∫ ∫ 0mx,0ten m/s4v,ten 3m/sv,0ten
  • 44. 6. La fuerza resistente del agua que opera sobre un bote es proporcional a su velocidad instantánea y es tal que cuando la velocidad es de 20 la resistencia es de 40 constante de 50Newtons una masa de 420 Kg. y el pasajero de 80 Kg a) Determine la distancia recorrida y la velocidad en l cualquier instante suponiendo que el bote parte del reposo. b) Determine la máxima velocidad a la que puede viajar el bote. Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene: . a) (((( )))) (((( )))) kev kev-ee C dt v dv dt v dv dv v dt dv dif. sepaEcuación,v dt dv , k dt dv kv kg.kgkgm istemaotal del sm: masa t dt dv mkv ma;FrFmmaF m/seg Newtons Entonces k Newtons.tencia dea de resisy la fuerz m/segdelocidad esComo la ve kvFr NewtonsFm aguaencia delde resistFr: Fuerza del motorFm: fuerza t - -C t -v- x 250 25025ln 25 25 ln 25025 500252 50 250500 502500 250050 50080420 50 2 20 40 40 20 50 ++++====⇒⇒⇒⇒ ====⇔⇔⇔⇔==== ⇔⇔⇔⇔++++−−−−==== −−−− −−−−==== −−−− ⇔⇔⇔⇔ −−−− ⇔⇔⇔⇔−−−−====    ====++++ ========−−−−⇒⇒⇒⇒ ====++++==== ====−−−− ====−−−−⇒⇒⇒⇒==== ======== ==== ==== ++++ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∑∑∑∑ maFx =∑ Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 La fuerza resistente del agua que opera sobre un bote es proporcional a su velocidad instantánea y es tal que cuando la velocidad es de 20 la resistencia es de 40 Newtons. Se conoce que el motor ejerce una fuerza Newtons. En la dirección del movimiento. El bote tiene una masa de 420 Kg. y el pasajero de 80 Kg. Determine la distancia recorrida y la velocidad en l cualquier instante suponiendo que el bote parte del reposo. la máxima velocidad a la que puede viajar el bote. Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene: C t -v- dt v dv rabledif. sepa ma; k Newtons. m/seg agua t - 250 250 25ln 5002 2 ++++==== ==== −−−− ====⇒⇒⇒⇒ ev b) )e(tx(t) miento es:n del moviLa ecuació CC)( ;)x(el reposoSi parte d )e(tx(t) dtex(t) e dt dx Entonces: dx/dtComo v ev locidad:n de la veLa ecuació -kk por partiial escidad inicSi la velo t - t t t t - t - t - 252525lim 2502525 25250250 00 2502525 252525 2525 2525 25250 0 250 max 250 250 250 250 250 ====        −−−−==== ++++====⇒⇒⇒⇒ −−−−====⇒⇒⇒⇒++++==== ==== ++++++++==== ====        −−−−==== −−−−==== ==== −−−−==== ====⇒⇒⇒⇒++++==== ∞∞∞∞→→→→ −−−− −−−− ∫∫∫∫ máximaolimitevelocidadLa 44 La fuerza resistente del agua que opera sobre un bote es proporcional a su velocidad instantánea y es tal que cuando la velocidad es de 20m/seg ejerce una fuerza . En la dirección del movimiento. El bote tiene Determine la distancia recorrida y la velocidad en l cualquier la máxima velocidad a la que puede viajar el bote. pies/seg )( miento es: )( ; C C)e(t locidad: ;)s v(so entoncer del repopor parti t 25 25025 25025 2502525 00 250 250 −−−− ++++++++ ==== −−−− :esmáxima
  • 45. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 45 7. Un circuito RL tiene una fem de 9 voltios, una resistencia de 30 ohmios, una inductancia de 1 henrio y no tiene corriente inical. Hallar la corriente para t=1/5 segundos. ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ampieti etieti CCei Ceti Cti Cti dt i di dt di i dt di LiRv tt t 301.0)5/1(3.07.0 5/1en t 3.07.0921 30 1 219 30 1 0 0i0en t 9 30 1 30930 930ln 30 1 930 309 6 3030 0 30 =→+= = +=→+= =→+= == += +−=− +−=− −= − += += − −− − ∫∫ 8. Una Fem. de t5 e200 − voltios se conecta en serie con una resistencia de 20 Ohmios y una capacitancia de 0.01 Faradios. Asumiendo que la carga inicial del capacitor es cero. Encuentre la carga y la corriente en cualquier instante de tiempo. 5t- 200efem F0.01Ciacapacitanc:C carga:q ohmios20Raresistenci RC.circuitoelparaldiferenciaEcuación = =⇒ =⇒    =+ :R fem C q dt dq R
  • 46. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 46 ( ) ( ) cetecteq(t) ctedtedteeeq(t) dteu(t) u(t) 1 q(t) eeu(t) lineal.ldiferenciaEcuación 5t5t5t 5t5t5t5t5t 5t 5t5dt −−− −−−− − − − − +=+= +===⇒ =⇒ =∫=    =+⇒ =+⇒ =+ ∫∫ ∫ ;eq5 dt dq ;e20q100 dt dq 20 ;e20 01.0 q dt dq 20 t5 t5 t5 5t5t 5t5t 5t5t5t 5t5t- 5t 5t e 25 1 e 5 t i(t) 0;i(o) :ceroesinicialcorrientelaentoncescero,esinicialcargalaSi e 25 1 e 5 t i(t) dte 5 1 e 5 t tdtei(t) e 5 1 vdtedv dt;dut;u tdteq(t)dti(t) t;eq(t) c0 0;q(0) :entoncescapacitor,elencargahaynoteinicialmenSi −− −− −−− − − − −−=⇒ = +−−= +−== −== =⇒= ==⇒ =⇒ = = ∫∫ ∫∫ C ; ;
  • 47. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 47 Casos especiales de ecuaciones diferenciales de segundo orden Ecuaciones diferenciales en la que falta la variable “y” 1) ( ) ;y'x'y'y'3x 23 1 =+     −+ x ;'' ;' 2 y dx yd dx dv y dx dy v ======== ======== (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) ;2 ;1 ;1 ; 1 3 1 1 ; 1 31 1 ; 11 13 1 1 1 13 1 1 1 ' 1 1 ; 1 1 1 1 )( ;)( ; 1 13 1 ' ;131' ;01'13 013 13 13 2 2 3 2 3 2 2/1 1 1 ln 2 1 11 2 3 2 32 23 23 23 23 22 ududx ux xu x xdx v x x x x dx v x x d xx xx x x x xx x x x v v x x x x x x xu eeexu x xx x v v xxvxv xvvxx ;v'v'-xvxx v';xvvxx y'';xy''y'xx x x x dx x dx ' ==== ++++==== −−−−==== −−−− ==== ++++ −−−− −−−− ====       ++++ −−−−         ++++−−−− ++++−−−− ++++ −−−− ==== −−−− ++++−−−− ++++ −−−− ====      −−−− −−−− ++++ −−−− ++++ −−−− ==== ++++ −−−− ==== ==== ∫∫∫∫ ==== ∫∫∫∫ ==== −−−− ++++−−−− ==== −−−− −−−− ++++−−−−====−−−−−−−− ====−−−−++++−−−−++++ ====++++−−−−++++ ====++++     −−−−++++ ====++++     −−−−++++ ∫∫∫∫ ++++ −−−− −−−−−−−− −−−− :ecuaciónlaendoReemplazan
  • 48. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 48 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;ln ;ln ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; / / / / KxCxxCxxxy KxCxxCzzxy x dxx C x dx Cdzzzxy x dxx Czdzzzxy zx zx dxzdz xz xz dx x x Cdxxxdxxy x x Cxxx dx dy dx dy v x x Cxxxv x x Cxxxv Cxxv x x Cxx x xdx Cuuduu u uduu x xdx +−−−+++−+++= +−−−+++−+= − + − +−−+= − + +−−+= −=− −= = += += − + +−+++= − + +−+++= = − + +−+++= − + +−+++= +−+−= + − +−+−= − ++=+ + = − ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫∫ 111 5 4 1 3 8 14 11 3 8 5 4 14 11 2414 1 1 22214 21 1 2 1 1 1 1 11216 1 1 11216 1 1 11216 1 1 11216 1216 1 1 1216 1 3 2616 213 1 3 22 5323 223523 22 2423 2 223 2 2 2 3 3 32 2
  • 49. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 49 2) ( ) 2 -1 y' x y'+ =y''; x ( ) ( ) ( ) [ ] ; xC x v ; x xC x C 1v ; x C 1z ;Cxdxxz ;1 dx z.xd ; x 1 xzxx'xz ;xe)x(u ; x 1 zx'z ; x v vvxv'vv ; dx dv v dx dz ; ; ; x v vx'v v'; x v vx ;''y dx yd dx dv 'v ;'y dx dy v 1 1 dxx 1 2 2122 2 2 1 2 1 2 2 1 − = − =+−= +−= +−=−= −= −=+ =∫= −=+ −=−−− −= = == =− =+ =+ === == − − − −−−− − − − ∫ − 1- n1- 2 1- vz 2;nvz :BernoullideldiferenciaE.unaEs ;'y' x y' y'x :ecuaciónlaendoReemplazan ;KCxlnxy ; Cx Cdx dx Cx Cx y ; Cx xdx y ; Cx x xC x dx dy +−−−= − − − − −= − −= − −= − = ∫∫ ∫
  • 50. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 50 Ecuaciones diferenciales en las que falta la variable “ x” Cuando hace falta la variable “x” se hace el siguiente cambio de variable: ; dy dv v dx dy dy dv dx dv v; dx dy ======== ==== 3) ( ) 1;y'2y'y'2y 22 =+ (HACE FALTA X) (((( )))) (((( )))) [[[[ ]]]] ; ;2 ; ;; ; 1 ; 1 ; ; ;1 ; 2 ;)( ; 12 ; 2 .2.2 2 ;2 ; ; ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 1 2 )1(1 2 1 Cuy dyzdz Cyu dxdy Cy y y Cy dx dy y Cy v y Cy v y C y v y C y z Cyzy Cydyzy dy zyd y y y z y dy dz y yeyu yy z dy dz y vv y vv v dy dv v dy dv dv dz dy dz vz vz y v y v dy dv v dy y −−−−==== ==== ++++==== ==== ++++ ++++ ==== ++++ ====⇒⇒⇒⇒ ++++ ==== ++++====⇒⇒⇒⇒++++==== ++++==== ++++======== ==== ====++++ ==== ∫∫∫∫ ==== ====++++ ====++++ ======== ==== ==== ========++++ ====++++ ====++++ ∫∫∫∫ −−−− −−−−−−−− −−−− esvariablseparandoentonces dy dv :ecuaciónladeladosambosa2vndoMultiplica -1.nBernoulli,deldiferenciaEcuacion dy dv 1;v2y2y :ecuaciónlaen'y',y'doReemplazan 1;y'2y'y'2y 22 22
  • 51. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 51 (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 2 12 3 2 1 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 CyC Cy Kx :esf(y)xformaladesoluciónlatantoloPor CyuPero Cu u Kx:Entonces ,duCuKxentonces, u uduCu dx dxdy Cy y :enemplazandoRe ++++−−−− ++++ ====++++ ==== ++++==== −−−−====++++ −−−−====++++ −−−− ==== ==== ++++ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ 4) ( ) 0;y''yy'yy' 22 =−+ ( ) ( ) ;Cyyv ;Cyv y 1 ;dyv y 1 ;1 dy v y 1 d ; y 1 y y v y 1 dy dv y 1 ; y 1 e)y(u ;y y v dy dv ;0 y v dy dv y ;0v dy dv yvvy ; dy dv v dx dy dy dv dx dv ; dx dy v 2 y dy 22 +−= +−= −= −=       −=− = ∫ = −=− =−+ =−+ =−+ == = ∫ − 0;y''yy'yy' :ecuaciónlaendoReemplazan 22 dy y Cy; dx dy dy dy x ; Cy y Cy C(C y) = − + = = + − −∫ ∫ ∫ 2 2 x ln y ln C y K; C C La solución es: = − − + 1 1
  • 52. Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes 1) Resuelva: 2y3y''y' ++ Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes );sen(e2y x = 52 Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes
  • 54. 2) Resuelva: Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 si y(0)=3/16 , y’(0)=5/16; 54 si y(0)=3/16 , y’(0)=5/16;
  • 55. ( )( ; 4 1 CC 8 1 0 2 1 CC 16 5 16 5 )0('y ;CC 16 3 ; 16 3 )0(y xtan 2 1 eCeC'y 21 21 21 2x 2 x 1 =−       ++−= = += = +−= − Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 ( ) ))x(secxsec 3 + e 32 1 e 32 7 y ; 32 1 C ; 32 7 C :solviendoRe xx 2 1 +−= − = = − 55 2 )xsec()xtan( +
  • 56. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 56 3) Resuelva ;xe6y5y''y' x =+− [ ] ( )( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] ( ) ;xe 2 1 e 4 3 eCeCy ;yyy ;xe 2 1 e 4 3 y ;xeaeay ; 2 1 a; 4 3 a ;1a2 ;0a3a2 ;xexea2ea3a2 ;xexeaea6exeaea5e2xeaea ;xey6'y5''y ;e2xeaea''y ;exeaea'y ;xeaeay ;exaay ;0s ;exaaxy ;xey6'y5''y ;eCeCy ;ey ;ey ;2; r3r ;02r3r ;06r5r ;06r5re ;er''y;re'y;ey ;0y6'y5''y xxx2 2 x3 1 ph xx p x 1 x 0p 10 1 10 xx 1 x 10 xx 1 x 0 xx 1 x 0 xx 1 x 0 x xx 1 x 0p xx 1 x 0p x 1 x 0p x 10p x 10 S p x ogéneahomSolución x2 2 x3 1h x2 2 x3 1 21 ticaCaracterís Ecuación 2 2rx rx2rxrx +++= += += += ==    = =− =+− =++++−++ =+− ++= ++= += += =α= += =+− += = = == =−− =+− =+− === =+− α :el sistemaoResolviend :homogéneanoldiferenciaecuaciónlaendoReemplazan 1; :particularsoluciónlasEncontremo :'y',y'y,doReemplazan 44 344 21 43421
  • 57. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 57 4) Resuelva: cosx;e2y2y'y' -x =++ [ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ; 2 1 b ;0a ;1b2 ;0a2 );xcos(excose2bsenxe2a );xcos(ey2'y2''y ''y,'y,y ;xcose2senxe2xcosxe2bxcose2senxe2senxxe2a''y ;senxesenxxexcosxebxcosexcosxesenxxea'y ;senxesenxexcosexbxcosexcosesenxexa'y ;senxxebxcosxeay ;senxebxcoseaxy 1s ;senxebxcoseay ;esenxbxcosay 1;0s ;esenxbxcosaxy );xcos(ey2'y2''y ;senxeCxcoseCy ;senxey ;xcosey ;1 ;i1 2 )2(442 r ;02r2r ;02r2re ;er''y;re'y;ey ;0y2'y2'y 0 0 0 0 xx 0 x 0 x ppp xxx 0 xxx 0p xxx 0 xxx 0p xxx 0 xxx 0p x 0 x 0p x 0 x 0p x 0 x 0p x 00p x 00 S p x ogéneahomSolución x 2 x 1h x 2 x 1 2,1 ticaCaracterís Ecuación 2 2rx rx2rxrx = = = =− =+− =++ +−−+−−= +−++−−= +−++−−= += += = += += =α= += =++ += = = =β−=λ ±−= −±− = =++ =++ === =++ −−− − −−−−−− −−−−−− −−−−−− −− −− −− − α − −− − − :homogéneanoldiferenciaecuaciónlaenandosimplificydoReemplazan homogénea.soluciónmiarespectoconedependientelinealment términoscontienequeyaparticularsoluciónestaasumirpuedeseNo ;- :particularsoluciónlasEncontremo 1; :'y',y'y,doReemplazan 4444 34444 21 43421
  • 58. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 58 );x(senxe 2 1 senxeCxcoseCy ;yyy );x(senxe 2 1 xx 2 x 1 ph x −−− − ++= += =py 1;x3ecosxy2y''y' 2x −++=+− [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ;senx 2 1 ; 2 1 b;0 xcos2bsenx2 ;senxbxcosabsenxxcosa''y ;xcosbsenxaxcosbasenx'y ;bsenxxcosay ;0s ;bsenxxcosaxy ;xeCeCy ;xey ;ey ;1r ;01r ;01r2 01r2r ;er''y ;re'y ;ey 0 1p 1p 1p s 1p x 2 x 1h x 2 x 1 2,1 2 2rx rx2 rx rx −= −==    = = =−+ −+−=−−= +−=+−= += = += =+− −++=+− += = = = =− =+− =+− = = = =+− p1 p1p1p1 2x 2 y aoResolviend 1;2b- 0;2a cosx;a 1;ecuacionlaeny,y','y'doReemplazan 1.nEcuaciócosx;y2y''y' :particularsoluciónprimeralaoEncontrand 1;x3ecosxy2y''y' :particularsoluciónlaoEncontrand r ;e :homogéneaecuaciónlaen'y',y'y,doReemplazan ;y2y''y' :homogéneasoluciónlaoEncontrand
  • 59. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 59 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ;ex 2 3 ; 2 3 a ;e3ae2 ;e2xe4exa''y ;xe2exa'y ;eaxy ;eaxy ;eaxy ;eay ;0s ;eaxy x2 xx xxx2 2p xx2 2p x2 2p x2 2p x 2p x 2p xs 2p = = = =+− ++= += = = = = = = = = =+− p2 x p2p2p2 x y :esparticularsoluciónsegundaLa 3ey2y''y' 2.ecuaciónlaeny,y','y'doReemplazan homogéneasoluciónlaa respectonte,independieelinealmentessoluciónestacaso,esteEn 2;s anterior.razónmismalapor solución,estaasumirpuedeseTampoco 1;s homogénea.soluciónlaarespectoconedependientelienalment esqueya,particularsoluciónestaasumirpuedeseNo 2.nEcuació;3ey2y''y' :particularsoluciónsegundalaoEncontrand [ ] c;2''y cx;2b'y ;cxbxay ;0s ;cxbxaxy 3p 3p 2 3p 2s 3p 2 = += ++= = ++= =+− 3.nEcuació1;-xy2y''y' :particularsoluciónterceralaoEncontrand [ ] [ ] ;1xcxbxacx2b2c2 1 22 2 −=++++− −=+− xy2y''y' 2.ecuaciónlaeny,y','y'doReemplazan p3p3p3
  • 60. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 60 [ ] [ ] [ ] p p p p p x p h p c b a c b x c x x ; c b a c b c c ; b ; a ; y x x ; y y y y ; y sen(x) x e x x ; y y y ; y C Resolviendo el sistema: La tercera solución particular: La solución general: − + + + + = − − + = −  − + =  = = = = = + + = + + = − + + + + = + = 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 1 4 0 1 1 4 5 5 4 1 3 5 4 2 2 x x x e C xe sen(x) x e x x ;+ − + + + +2 2 1 2 1 3 5 4 2 2
  • 61. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 61 Ecuacion diferencial de Euler – Cauchy 1) Demuestre que la ecuación diferencial Rβdonde0,βyxy''y'x2 ∈α=+α+ , , se la puede transformar en una ecuación de coeficientes constantes haciendo el cambio de variable z ex = , y luego resuelva: ;e4sen(lnx)4y2xy''y'x 2ln(X)2 +=++ (((( )))) ;βy dz dy α dz yd ;βy dz dy α dz dy dz yd ;βy dz dy x αx dz dy xdz yd x x ; dz dy xdz yd xdx yd y'' ; xdz dy x xdz yd xdx yd ; dx dz dz dy dz dx xdz yd xdx yd ; dx dz dx dy dz d dx yd ; dx dy dx d dx yd ; dz dy xdx dy y' ; xdz dy dx dz dz dy dx dy xdx dz xz Si z 01 0 0 111 11 111 11 1 1 ; 1 );ln( ; 2 2 2 2 22 2 2 2 22 2 22 2 22 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 ====++++−−−−++++ ====++++++++−−−− ====++++      ++++      −−−− ====++++++++       −−−−========       −−−−====       −−−−====       ====       ==== ======== ======== ==== ==== ==== 0;βyxy''y'x ldiferenciaecuaciónlaendoReemplazan :'y'luegonecesitaSe :Ahora ex 2 αααα (((( )))) ;y dz dy dz yd 0412 0 2 2 ====++++−−−−++++ ====++++++++ ++++====++++++++ ;4y2xy''y'x :homogéneasoluciónlaprimerooEncontrand ;e4sen(lnx)4y2xy''y'xecuaciónlaoResolviend 2 2ln(X)2
  • 62. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 62 ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] 2.nEcuació :particularsoluciónlasegundalaoEncontrand :obtieneseel sistemaoResolviend 1.Ecuación :1ecuaciónlaeny,y','y'doReemplazan :formasiguientelatienesoluciónprimeraLa 1.Ecuación :esparticularssolucione2tieneseDonde :obtienese,e4sen(lnx)4y2xy''y'xecuaciónlaen reemplazaralln(x),zyexqueasumeseComo :particularsoluciónlasencontremoAhora ppp 2ln(X)2 z ticacaracterísEcuación ;e5y4y'y'' ));x(ln(sen 5 6 ))xcos(ln( 5 2 y );z(sen 5 6 )zcos( 5 2 y ; 5 6 b; 5 2 a 4b3a 0ba3 );z(sen4)zcos()z(sen3b)z(sen)zcos(3a ;zsen4y4y'y'' ;)z(senb)zcos(a)z(bsen)zcos(a''y ;)zcos(b)z(sena)zcos(b)z(asen'y );z(bsen)zcos(ay ;zsen4y4y'y'' ;e5zsen4y4y'y'' 5 ; 2 )xln(15 senxC 2 )xln(15 cosxCy ; 2 z15 seneC 2 z15 coseCy ; 2 z15 seney ; 2 z15 cosey ;i 2 15 2 1 2 1611 r ;04rr ;04rre ;0y4'y''y z2 1p 1p p p p z2 21h 2/z 2 2/z 1h 2/z 2 2/z 1 2,1 2 2rz =++ +−= +−= =−=    =+− =+ =++− =++ −+−=−−= +−=+−= += =++ +=++ +=++ ==         +        =         +        =       =         = ±−= −±− = =++ =      ++ =++ −− − − 43421
  • 63. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 63 ; 2 x ))x(ln(sen 5 6 ))xcos(ln( 5 2 2 )xln(15 senxC 2 )xln(15 cosxCy ;yyy ; 2 x ))x(ln(sen 5 6 ))xcos(ln( 5 2 y ;yyy ; 2 x e 2 1 y ;e 2 1 y ; 2 1 a ;e5ae10 ;e5ae4ae2ae4 ;e5y4y'y'' ;ae4 ;ae2 ;ae 2 21 ph 2 p 2p1pp 2 )xln(2 2p z2 2p z2z2 z2z2z2z2 z2 z2 z2 z2 ++−        +        = += ++−= += == = = = =++ =++ = = = 2.nEcuació :2ecuaciónlaeny,y','y'doReemplazan 'y' y' y :soluciónsiguientelaasumeSe p2p2p2 p2 p2 p2 2) Resuelva: ( ) ( ) ( ) ( ) 6;2x5ln2xlnyy'2x3'y'2x 22 +−−−=+−+− ( ) ; dx dz dz dy dz dx 2x 1 dz yd 2x 1 dx yd ; dx dz dx dy dz d dx yd ; dx dy dx d dx yd ; dz dy 2x 1 dx dy y' ; 2x 1 dz dy dx dz dz dy dx dy ; 2x 1 dx dz );1xln(z;Si 22 2 2 2 2 2 2 2 z       − − − =       =       = − == − == − = −== :'y'luegonecesitaSe :Ahora entoncese2-x
  • 64. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 64 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;6z5zyy'2y'' ; 2x 2xlnC 2x C y ;e2xlnCeCy ;zeCeCy ;2xlnz ;zeCeCy ;zey ;ey ;1r ;01r ;01r2r ;01r2r ;er''y ;re'y ;ey ;0y dz dy 2 dz yd 0 ;0y dz dy 13 dz yd ;0y dz dy 3 dz dy dz yd ;0y dz dy 2x 1 2x3 dz dy 2x 1 dz yd 2x 1 2x 3 ; dz dy 2x 1 dz yd 2x 1 dx yd y'' ; 2x 1 dz dy 2x 2x 1 dz yd 2x 1 dx yd 2 21 h 2xln 2 2xln 1h z 2 z 1h z 2 z 1h z 2 z 1 2,1 2 2 2 rz2 rz rz 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 22 2 22 2 22 2 2 2 +−=++ +−−−=++ == − − + − = −+= += −= += = = −= =+ =++ =      ++ = = = =++ =++ =+−+ =++− =+      − −+      − − − − =++       − − − == −      − − − − = −−−− −− −− − − :obtienese,6;2x5ln2xlnyy'2-x3'y'2-xecuaciónlaen reemplazaral2),-ln(xzye2-xqueasumeseComo :particularsoluciónlasencontremoAhora e :homogéneaecuaciónlaen'y',y'y,doReemplazan ;y2y''y'ecuaciónlaoResolviend 0;yy'2-x'y'2-x :homog{enealdiferenciaecuaciónlaendoReemplazan 22 z ticaCaracterísEcuación rz 2 43421
  • 65. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 65 [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) );2x(ln)2xln(922 2x 2xlnC 2x C y ;yyy );2x(ln)2xln(922y ;zz922y ;22a ;9-b ;1c 1c 5-bc4 6ab2c2 ;6z5zczbzacz2b2c2 ;c2''y ;cz2b ;czbza ;0s ;czbzax 221 ph 2 p 2 p 22 p 2 2S −+−−+ − − + − = += −+−−= +−= = = =      = =+ =++ +−=+++++ +−=++ = += ++= = ++= :el sistemaoResolviend 6;5zzy2y''y'ecuaciónlaeny,y','y'doReemplazan y' y y :formasiguientelatieneparticularsoluciónlaDonde 2 ppp p p p
  • 66. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 66 3) ( ) ln(x);zentoncesexSi ;3ln(x)3tan9yxy''y'x z 2 == =++ , ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; )z3cos( )z3(sen)z3(senz3senz3tan3 3 ;z3sen3z3cos3 z3cos3z3sen3 z3senz3cos 'y'y yy ; z3cos3)z(g z3sen0 ;yuyuy ;z3tan3g(z) ;z3tan3y9y'' , ;)xln(3senC)xln(3cosCy ;z3senCz3cosCy ;senzy ;zcosy ;i3r ;09r ;09re ;er''y ;ey ;0y9''y ;0y9 dz yd ;0y9 dz dy 11 dz yd ;0βy dz dy 1α dz yd 22 21 21 2211p 21h 21h 2 1 2 2rz rz2 rz 2 2 2 2 2 2 − =−= = += − == = += = =+ == =++ += += = = ±= =+ =+ = = =+ =+ =+−+ =+−+ =++ 3 u' y,yW y,yW y,yW u' :obtieneseexyxlnzdoReemplazan ;3ln(x)3tan9yxy''y'x :particularsoluciónlasEncontremo :obtieneSe :Usando 0;9yxy''y'x :homogéneasoluciónlaoEncontrand 1 21 21 21 1 z 2 2
  • 67. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 67 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;)z3(sen)z3cos( 3 1 )z3cos( 3 )z3(tg)z3sec(ln 3 )z3(sen z3senCz3cosCy ;yyy ;)z3(sen)z3cos( 3 1 )z3cos( 3 )z3(tg)z3sec(ln 3 )z3(sen y ;yuyuy )z3cos( 3 1 dz)z3(senu );z3(sen'u ; )z3cos( )z3(sen)z3cos( 'u 3 )z3tan(z3cos3)z3tan(3z3sen3 0z3cos ; 3 )z3(tg)z3sec(ln 3 )z3(sen u dz)z3sec()z3cos(u );z3sec()z3cos('u ; )z3cos( 1 )z3cos( ; )z3cos( )z3(cos1 )z3cos( )z3(sen 21 ph p 2211p 2 2 2 1 1 1 22 −         + −++= += −         + −= += −== = = = − = + −= −= −= −= − −=−= ∫ ∫ 21 2 1 1 y,yW u' u' u' ( ) ( ) );xln3(sen)xln3cos( 3 1 )xln3cos( 3 )xln3(tg)xln3sec(ln 3 )xln3(sen xln3senCxln3cosCy 21 −      + −++=
  • 68. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 68 4) Si senxxycosx,xy 1/2 2 1/2 1 −− == forman un conjunto linealmente independiente y son soluciones de 0;y 4 1 xxy''y'x 22 =      −++ Hallar la solución particular para ;xy 4 1 xxy''y'x 3/222 =      −++ si ( ) 0;y'0; 2 y ==      ; )y,y(W 'y)x(g y0 'u ;xg(x) ;yuyuy ;xy x4 1 1 x y' y'' ; x x y x4 1 x x y' x x y'' x x ; ;senxxCxcosxCy 21 2 2 1 2/1 2211p 2/1 2 2 2/3 22 2 22 2 2/3 2/1 2 2/1 1h = = += =      −++ =      −++ =      −++ += =      −++ == − − −− −− :parámetrosdevariaciónaplicaSe xy 4 1 xxy''y'xdesoluciónlaencontrarPara :obtieneseentonces0,y 4 1 xxy''y'x dessolucionesenx sonxyycosx,xyComo 22 22 1/2 2 1/2 1
  • 69. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 69 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 2 1 0 2 1 1 1 C1 2 1 0 1 C0 ; 2 x senxx 2 1 xcosxCxcosx 2 1 senxxC'y ;1C ;0 2 )1( 2 C ; 2 )1( 2 C0 2 C0 ;xsenxxCxcosxCy ;0 2 ;xsenxxCxcosxCy ;yyy ;xy ;x1xxsenxcosxy senxxsenxxcosxxcosy ;senxu ;xcos x xcosx 'u ; x xxcosx 2 1 senxx 0xcosx )y,y(W )x(g'y 0y 'u ;xcosdx)x(senu );x(sen x senxx x senxx 2 1 xcosxx senxx0 'u ;x)y,y(W ;x1xxsenxcosx)y,y(W ;xcossenxx 2 1 xsenxxcossenxx 2 1 xcosx)y,y(W ;xcosx 2 1 senxxsenxxsenxx 2 1 xcosxxcosx)y,y(W senxx 2 1 xcosxxcosx 2 1 senxx senxxxcosx 'y'y yy )y,y(W 21 2/3 2/32/1 2 2/32/1 1 2 2 21 2/12/1 2 2/1 1 2/12/1 2 2/1 1 ph 2/1 p 2/12/1222/1 p 2/12/1 p 2 1 1 2 1 2/12/32/1 2/1 21 1 1 2 1 1 1 1 2/32/12/1 2/1 1 1 21 11221 21 221221 21 2/32/12/12/32/12/1 21 2/32/12/32/1 2/12/1 21 21 21 ππ −      ππ −− π +      − ππ − π −= −    −+    −−= −= = π + π π + π + π = ++= =π=      π ++= += = ==+= += = == −− == =−= −=−= − = = ==+= ++−=     −−−    −= −−− == − −−−− −−− −−− − −−− −− − − − −−− − − − − −−− − − −−− −−−− −−−−−− −−−− −− ∫ 0;)(y'yySi
  • 70. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 70 ( ) ;xsenxxxcosx21y ;21C ;2C1 ; 1 2 C 2 1 ; C 2 C 2 1 ; 2 11 C 2 1 C0 2/12/12/1 1 1 1 21 21 −−− +−π−= π−= π+= π + ππ = ππ π − ππ = ππ ππ −      π −      ππ =
  • 71. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 71 Identidad de Abel 1. Resuelva la siguiente ecuación diferencial usando la identidad de Abel: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 1x dxxx212 y 1x 1 ; 1x dxxx21 y 1x 1 ; 1x xx21 y 1x 1 dx d ; 1x xx21 1x y 'y 1x 1 ; 1x 1 e)x(u ; 1x xx21 1x y 'y ;xx21y'y1x ;ey'y1x ;dxx22du ;xx21)x(u ;ey'y1x ;ey'y1x ;y'y1x 'y y ; 'y'y yy ;0y xx21 2 y'- xx21 x12 y'' xx21 xx21 )x(p ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1x dx 2 2 2 2 22 xx21ln 22 2 xx21 dxx22 22 xx21 dxx12 22 22 2 2 21 21 222 2 2 2 2 ∫ ∫ + −−− = + + −− = + + −− =    + + −− = + − + + =∫= + −− = + − −−=−+ =−+ −−= −−= ∫ =−+ ∫ =−+ −+= + = = = −−−− + + −− −− =++ ∫= += ===−++−− + − −− −− −− −− + − − :Entonces 1 1x y,yW y,yW 0;q(x)yy''y' :formasiguientelatenerdebeldiferenciaecuaciónlaDonde ey,yW :abeldeidentidadlausaráSe 1;xyessoluciónunaSi 1.(0)y'y(0)Si0;2yy'x12'y'x2x1 21 21 p(x)dx 21 1 2
  • 72. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 72 ( ) ( ) ( ) ; 1x dx2 1x dx1x y 1x 1 22 2 2 ∫ ∫ + + + + −= + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;1xy ;1C ;C21C ;0C 1C2C 1CC ;1CC1 ;2C1C1 ;2xxC1xCy ;2xxy ;21xxy ; 1x 2 xy 1x 1 ; 1x 2 xy 1x 1 ; 1x dx2 dxy 1x 1 1 21 2 21 21 21 21 2 21 2 2 2 2 2 22 += = += =       →         =− =− −+= −−+= = −+= = −−−++= −−−= −+−= + −−= + + −−= + + +−= + ∫ ∫ :essoluciónLa 12-1 010 12-1 11-1 :el sistemaoResolviend ;12xCCy' 1;(0)y'Si 1;y(0)Si 21
  • 73. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 73 Método de Reducción de Orden 2) Resuelva: ( ) ;eySi 0;yy'1x'xy' x 1 − = =+++ [ ] [ ] ( ) [ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ; x e )x('u ; x e )x(v ;xlnx)x(vln ;dx x 1 1 v(x) dv ; x 1 1v(x) dx dv ;exev(x)xe dx dv ;0exev(x)xev'(x) ;0exeu'(x)xeu''(x) ;0exe)x('uxe)x(''u ;00)x(uexe)x('uxe)x(''u ;0eexexe)x(uexe)x('uxe)x(''u ;0ee1xxe)x(ue1xxe2)x('uxe)x(''u ;0u(x)eu'(x)eu(x)e1xu''(x)eu'(x)e2u(x)ex ;e)x(''ue)x('u2e)x(u''y ;e)x(''ue)x('ue)x('ue)x(u''y ;e)x('ue)x(u'y ;e)x(uy ;y)x(u x x xxx xxx xxx xxx xxx xxxxxxx xxxxxx xxxxxx xxx 2 xxxx 2 xx 2 x 2 1 = = −=     −=     −= −= =+−+ =+−+ = = =+−+ =++−+ =+−−++−+ =++−+++−+ =++−+++− =+++ +−= +−++−−= +−= = = ∫∫ −−− −−− −−− −−− −−− −−−−−−− −−−−−− −−−−−− −−− −−−− −− − :ldiferenciaecuaciónlaen(x)v'yv(x)doReemplazan (x);'u'(x)v' (x);u'v(x) :yFalta :obtienese0,yy'1x'xy' ldiferenciaecuaciónlaendoReemplazan yqueasumeSe :ordendereduccióndemétodoelUsando 2
  • 74. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 74 ( ) ( ) ( ) ; ! ln :essoluciónLa ; ! ln ;)( ; ! ln)( ; ! )( ; ! )( ;)(       ++=       += = +=       += = = ∑ ∑ ∑ ∫ ∑ ∫∑ ∫ ∞+ = − − ∞+ = ∞+ = ∞+ = − ∞+ = − 1 21 1 2 12 1 1 1 0 1 1 n n x x n n n n n n n n x nn x xCeCy e nn x xy yxuy nn x xxu dx n x x xu dx n x xu x dxe xu
  • 75. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 75 Ecuación homogénea de orden superior 1. Las raíces de la ecuación auxiliar, que corresponden a una cierta ecuación diferencial homogénea de orden 10, con coeficientes constantes, son: 4, 4, 4, 4, 2+3i, 2-3i, 2+3i, 2-3i, 2+3i, 2-3i, Escriba la solución general. ( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 1098 22 765 23 4 2 321 4 33cos :34 xCxCCxsenexCxCCxexCxCxCCexy entoncesvecesconjugadocomplejoparunyigualesrealesraícestienenSe xxx +++++++++= 2. 08y12y''6y'''y' =−+− 3. 032y dx yd 5 5 =+ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) xxx i i i kii k eCexsenCxCexsenCxCxy seniem iseniem iseniem kemmm 2 5 618.0 43 618.1 21 3 5 3 5,1 5 4,0 5 2 5 902.1902.1cos175.1175.1cos 2cos22 902.1618.0 5 3 5 3 cos22 175.1618.1 55 cos22 4,3,2,1,0;2032 −− + ++++= −=+== ±−=            +      == ±=            +      == ==→=+= ππ ππ ππ φ π π π ππ 4. ( ) 0y52DD 22 =+− ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )xCCxsenexCCxexy im im mmmmm mmm xx 4321 4,3 2,1 22 22 22cos 21 21 2 162 2 5.1.442 05252 052 +++= ±= ±= −± = −± = =+−+−= =+−= φ φ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 321 2 321 3 2 23 202 0442 0441 882 281261 08126 xCxCCexy mmmmm mmmm mmmm x ++= ===→=−= =+−−= − − −− =−+−= φ φ φ
  • 76. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 76 Ecuaciones de Orden Superior Ecuación no homogénea de orden superior 1. 84xx2y''3y'''y' 2 ++=++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Axy BAxxy CBxAxxy CxBxAxxy xyconilessiCxBxAxCBxAxxxys xyconnteindependieelinealmentesnoperoCBxAxxys CBxAxxxyxxxg particularsoluciónlaEncuentro eCeCCxymmm mmmm mmmm mmmmyyy ariacomplementsoluciónlaEncuentro xyxyxy p p p p cp cp s p xx c pc 6''' 26'' 23' ..1 0 84 : 2,1,0 021 023 0230'2''3''' : 2 23 232 2 22 2 321321 2 23 = += ++= ++= ++=++=→= ++=→= ++=→++= ++=→−=−== =++= =++= =++=→=++ += −− φ φ φ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xxxeCeCCxy generalSolución xxxxy decimosqueloPor C BA CCBA B A BBA AA xxCBAxBAxA xxCBxAxBAxA xxyyy xx p ppp 4 11 4 1 6 1 : 4 11 4 1 6 1 : 4 11 2 668 8266 4 1 4 184 4418 6 1 16 842664186 842322636 84'2''3''' 232 321 23 22 22 2 +++++= ++=          =→ +− =→=++ =→ − =→=+ =→= ++=+++++ ++=+++++ ++=++ −−
  • 77. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 77 2. 2x2x2x22 e5xee2x14x2x4y4y''y'''y' +++−−=+−− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )CBAxCBAxBAAxexy CBxCBAxBAAxexy CxCBxBAAxexy CxBxAxexy xyconilessiCxBxAxeCBxAxxexys xyconnteindependieelinealmentesnoperoCBxAxexys CBxAxexxyexeexxg xxy decimosqueloPor C BA CCBA B A BBA AA xxCBAxBAxA xxCBxAxBAxA xxyyyy xy Axy BAxxy CBxAxxy xyconilessiCBxAxxys CBxAxxxyxxxg xgxgxg particularsoluciónlaEncuentro eCeCeCxymmm mmmmmm mmmm mmmmyyyy ariacomplementsoluciónlaEncuentro xyxyxy x p x p x p x p c xx p c x p xs p xxx p pppp p p p p cp s p xxx c pc 12126824368368''' 424864124'' 22232' ..1 0 52 2 1 : 0 4 421 1442 0 4 84 448 2 1 24 142442484 14242420 1424'4''''' 0''' 2'' 2' ..0 142 : 2,2,1 22141 0141 04404'4''''' : 232 232 232 232 23222 22 222222 2 2 1 22 22 2 2 2 22 1 21 2 3 2 21321 2 2 23 ++++++++= +++++++= +++++= ++= ++=++=→= ++=→= ++=→++= =          =→ ++− =→−=+−− =→ +− =→−=+− =→= −−=+−−++−+ −−=++++−− −−=+−− = = += ++= ++=→= ++=→−−= += ++=→−=== +−−=−−= =−−−= =+−−=→=+−− += − φ φ φ ( ) ( ) ( )( ) xxxx xxx pppp exeexCBAxBAxAe exeexyyyy 222222 2222 52410683012 524'4''''' ++=+++++ ++=+−−
  • 78. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 78 ( ) ( ) xxxx x p exxeCeCeCxy exxy C BA CCBA B A BBA AA 2322 3 2 21 23 6 1 2 1 6 1 0 4 1061 14106 0 8 305 5830 6 1 212 2 ++++= =          =→ −− =→=++ =→ − =→=+ =→= − 3. ( )xcscy'''y' =+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xsenxxx x xsenCxCCxy xsenxxx x xy xsenxxx x y xdxuxsenx xx xsen x u xdxxxuxx xsenx x xsen u x dxxux xsenxx xxsen xsenx u xsenx xsenx xxsen xsenx xsenxW yuyuyuxy particularsoluciónlaEncuentro xsenCxCCxyimimm mmm mmmyy ariacomplementsoluciónlaEncuentro xyxyxy p p p c pc −+            +++= −+            = −++            = −=−=→−= − − = =−=→−= − =             ==→= −− − = =+= −− −= ++= ++=→−=== =+= =+=→=+ += ∫ ∫ ∫ csclncos 2 tanlncos csclncos 2 tanln coscscln1 2 tanln 1csc 1 csccos0 00 0cos1 ' csclncoscsccoscsc 1 csc0 cos00 01 ' 2 tanlncsc1csc 1 coscsc cos0 cos0 ' 1cos1 cos0 cos0 cos1 ,cos,1 : cos,,0 01 00'''' : 321 33 22 11 22 332211 321321 2 3 φ φ
  • 79. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 79 4. ( )xxln''y' = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )xx x xCxCCxy generalSolución xx x yilesnoxx x y x x xxxx x y x dx x x u x xx x xx x u xxdxxu x xxx x xx x x u x x dxxxu x xxx x xx x xx u xxxx xx xsenxW yuyuyuxy particularsoluciónlaEncuentro xCxCCxymmm mm mmy ariacomplementsoluciónlaEncuentro xyxyxy pp p p c pc ln6ln2 4 : ln6ln2 4 ..7ln6ln2 4 2 ln 1ln21 2 1 ln 2 2 lnlnlnln00 010 01 ' 1ln2ln2 2.ln2ln0 200 01 ' 2 1 ln 2 ln ln20ln 210 0 ' 21 200 210 1 ,cos,1 : 0,0,0 0 00''' : 2 2 2 321 2 2 2 2 2 22 2 3223 222 2 2 2 12 2 2 2 1 222 2 332211 2 321321 3 3 −+++= −=∴+−=       +−−+      −= ==→== −−=−=→−==       −==→== =−== ++= ++=→=== == ==→= += ∫ ∫ ∫ φ φ
  • 80. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 80 Ecuación de Euler de orden n 1. 018y dx dy 6x dx yd x dx yd x 2 2 2 3 3 3 =+−− ( )( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 21 2 3 3 2 3 1 321 2 2 23 2 3 3 21 321 2 2 12233 ln 233023 018'3''4''' 023 01834 0186121 :ln : ln 23 023 063 03631 0186121 0186121 0186121 : − − − −−− ++= ++= −===→=+−= =+−− =+− =+−− =+−−−−− =→= ° ++= −=== =+− =−−− =−−−− =+−−−−− =+−−−−− =+−−−−− = ° xCxxCCxy eCteCeCty mmmmmm tenecuaciónyyyy DD DDD DDDDDD obtienesextexcambioelaplicando Método2 xCxxCCxy rrr rr rrr rrrr rrrrrr xrrrrrr xxrxxrrxxrrrx :areduceseescuciónlaentoncessolucióncomoxyasumo Método1 :métodosdosporosresolveremLa ttt t r rrrr r φ 2. 08y dx dy 10x dx yd 2x dx yd x 2 2 2 3 3 3 =−−+ ( )( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )( )( ) ( ) 2 3 1 2 4 1 321 23 2 12233 214 0214 0810 04521 08101221 08101221 −− −−− ++= −=−== =++− =−−− =+−− =−−−+−− =−−−+−− = xCxCxCxy rrr rrr rrr rrr xrrrrrr xxrxxrrxxrrrx :areduceseescuciónlaentoncessolucióncomoxyasumo r rrrr r
  • 81. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 81 3. 4lnx8y dx dy 8x dx yd 4x dx yd x 2 2 2 3 3 3 =−+− ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 7 ln 2 1 8 7 ln 2 1 8 7 2 1 8 7 0814 2 1 48 48148 4814070 :Re 0''''' ' 0 48'14''7''' : 4210421 08'14''7'''0421 0861 08421 0181421 0881421 : :ln 4 3 2 21 4 3 2 21 4 3 2 21 321 2 +−++= +−=→+−=      → ==− −==− =−+− =+−+− == = += +=→= += =−+− ++=→++= ===→=−−−= =−+−→=−−− =+−− =+−−− =−+−−−− =−+−−−− =→= xxCxCxCxy xxytty BBA AA tBAtA tBAtA emplazando yy Ay BAty yconnteindependieelinealmentessiBAtys BAtty tyyyy particularsoluciónlaEncuentro xCxCxCxyeCeCeCty mmmmmmm tenecuaciónyyyyDDD DDD DDDD DDDDDD DDDDDD ariacomplementsoluciónlaEncuentro obtienesextexcambioelaplicando pp pp p p cp s p c ttt c t φ
  • 82. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 82 4. 3 2 2 2 3 3 3 x2y dx dy 2x dx yd x dx yd x =−+− ( )( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ln : 4 ln 22 3 ln 2 1 ln1ln10 01ln1 0ln ' 2 2210 201 0 ' 2 3 ln 2 1ln 1lnln221 21ln0 ln0 ' 2 ln 1 2 21ln 20 21ln1 ln ,ln, : ln 21 021 0221 0221 012121 022121 022121 3 2 321 3 2 22 3 1 3 2 2 2 2 2 2 1 21 2 1 1 2 1 1 2 2 332211 2 321 321 2 12233 x xCxxCCxy generalSolución x y xxxx x xx x y xdxu x xxxx x x x xxx u x xdxu x xxx x x xx u x x dxxxu x xxxxx x x xx xxx u x x xxx x xx x x xx xxxx xxxxW yuyuyuxy particularsoluciónlaencuentro xCxxCCy rrr rr rrrr rrrr rrrrrr xrrrrrr xxrxxrrxxrrrx :areduceseescuciónlaentoncessolucióncomoxyasumo p p p c r rrrr r +++= = +−      −= ==→ −+ = + = −=−=→ − −==       −=−=→ +− = + = =− + =+= ++= ++= === =−− =−−−− =+−−− =−+−−−− =−+−−−− =−+−−−− = ∫ ∫ ∫ − − −− − −−−
  • 83. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 83 Ecuaciones de segundo orden de coeficientes variables Solución en serie alrededor de un punto ordinario 1. ( ) ( ) ( ) 60y'4;0y0,xy dx dy 3x dx yd 1x 2 2 2 ===++− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... 4 11 33 11 64 60'... 8 15 32 3 1... 8 5 2 ' 40... 8 3 122 ... 86 1 .... 88 3 20 15 1323 233 3 1212 8 1222 222 2 2; 12 2 0122 62 036 002 0122362 03121 0311 0311 54 3 1 432 1 42 0 0 543 1 53 0 3 3 2 210 0 012323 5 11212 4 1 212 01 3013 22 2 120132 1 1 10 2 2 0 1 12 2 2 01 1 2 22 +++++= ==→      +++++      +++= ==→      +++++      +++= ++++== += + = ++ ++ =→= = + = ++ ++ =→= ≥ ++ ++ =→=+++−+ +=→=++− =→=− =+++−++++−− =++++−− =++−−− =++−− ∑ ∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑ ∞+ = − +−+ ∞+ = −+ ∞+ = − ∞+ = ∞+ = + ∞+ = ∞+ = + ∞+ = ∞+ = − ∞+ = +∞ = +∞ = − +∞ = − xx xxxy Cy xxx C xx xCxy Cy xxx xC xx Cxy xCxCxCCxCxy CCCCCC Cn CCCCC Cn n nn CnnC CCnnCnnC CC CCCC CC xCnnCnnCxCxCxCC xCnxCxnnCxnnC xCnxCxnnCxnnC xCxnxCxxnnCx n n n nn nnnn n n nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n
  • 84. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 84 2. 0xdealrededorexy''y' 0 x ==− − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )       +−+−+      ++++= +      −++      −+++= ++++== −=→−= ++ − + ++ =→= =→+= ++ − + ++ =→= −=→ ++ − + ++ =→= ≥ ++ − + ++ =→ − =−++ =→= −+=−+++ −=−++ −=−− −=−− ∑ ∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∞+ = ++ ∞+ = ∞+ = + ∞+ = ∞+ = ∞+ = + ∞+ = ∞+ = ∞+ = − +∞ = +∞ = − +∞ = − .... 30862 .... 406 ...... 30 1 408 1 6 1 62 1 ..... 30 1 40120 1 20 3 1323!3 1 1323 3 3 8 1 24 1 61222!2 1 1222 2 2 6 1 61121!1 1 1121 1 1 1 12! 1 12! 1 12 2 1 12 ! 11122 ! 112 ! 11 ! 11 543253 10 514312 10 3 3 2 210 0 1 4 3 3 35 4 2 2 24 1 3 1 13 22 22 11 22 010 2 012 2 01 1 2 2 xxxxxx xCCxy x C xx C xxCCxy xCxCxCCxCxy C C C CCn C C CCn C CCCn n nnnnn n CC n nCnnC CC n x xnCnnCC n x nxCxnnC n x nxCxnnC n x nxCxxnnC n n n n nn n nn n n nn n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n
  • 85. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 85 3) Resolver la siguiente ecuación diferencial alrededor del punto ˲" Ŵ. Determine las soluciones homogéneas de esta ecuación diferencial en términos de series indicando a que función converge cada una de ellas. (Sugerencia: para encontrar la solución particular use el método de variación de parámetros). {˲$ . ŵ{˳ - Ÿ˲˳ - Ŷ˳ ŵ ˲ Desarrollo. {˲$ . ŵ{˳ - Ÿ˲˳ - Ŷ˳ ŵ ˲ ˜{˲{ {˲$ . ŵ{ ˲ Ŵ ˥JˮJJI˥J ˜{Ŵ{ .ŵ Ŵ ˜JJ ˬJ ˮIJˮJ ˲ Ŵ ˥J ˯J J˯JˮJ JJˤ˩JIJ˩J Se asume: ˳ I {˲ . ˲{ ( J˥JJ ˲ Ŵ ˳ I {˲{ ( ˳Ȋ I {J{{˲{ # (# ˳ȊȊ I {J{{J . ŵ{{˲{ $ ($ Primero se obtendrá las soluciones homogéneas. Se reemplaza y, y’, y’’ en la ecuación: {˲$ . ŵ{˳ - Ÿ˲˳ - Ŷ˳ Ŵ {˲$ . ŵ{ I {J{{J . ŵ{{˲{ $ ($ - Ÿ˲ I {J{{˲{ # (# - Ŷ I {˲{ ( Ŵ Luego se introduce los coeficientes dentro de las sumatorias I {J{{J . ŵ{{˲{ ($ . I {J{{J . ŵ{{˲{ $ ($ - ŸI {J{{˲{ (# - ŶI {˲{ ( Ŵ Se igualan las patencias de x de todas la sumatorias, en este caso a la que más se repite que en este caso es n: I {J{{J . ŵ{{˲{ ($ . I {J{{J . ŵ{{˲{ $ ($ - ŸI {J{{˲{ (# - ŶI {˲{ ( Ŵ Para la m = n – 2 Si n = 2, entonces m = 0 Pero n = m + 2 Luego m = n
  • 86. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 86 I {J{{J . ŵ{{˲{ ($ . I ${J - Ŷ{{J - ŵ{{˲{ ( - ŸI {J{{˲{ (# - ŶI {˲{ ( Ŵ Se igualan los subíndices de todas las sumatorias al mayor, en este caso n=2. I {J{{J . ŵ{{˲{ ($ . ŶI$ . źI%˲ . I ${J - Ŷ{{J - ŵ{{˲{ ($ - ŸI#˲ - ŸI {J{{˲{ ($ - ŶI - ŶI#˲ - ŶI {˲{ ($ Ŵ .ŶI$ . źI%˲ - ŸI#˲ - ŶI - ŶI#˲ - {I {J{{J . ŵ{ . I ${J - Ŷ{{J - ŵ{ - ŸI {J{ - ŶI {{˲{ ($ Ŵ Se igualan los coeficientes: .ŶI$ - ŶI Ŵ ˥JˮJJI˥J J˥ ˮ˩˥J˥ J˯˥ I$ I .źI%˲ - źI#˲ Ŵ ˥JˮJJI˥J J˥ ˮ˩˥J˥ J˯˥ I% I# I {J{{J . ŵ{ . I ${J - Ŷ{{J - ŵ{ - ŸI {J{ - ŶI Ŵ La fórmula de recurrencia es: I $ I {J{{J . ŵ{ - ŸI {J{ - ŶI {J - Ŷ{{J - ŵ{ J 4 Ŷ I $ {J$ . J - ŸJ - Ŷ{ {J - Ŷ{{J - ŵ{ I {J$ - ŷJ - Ŷ{ {J - Ŷ{{J - ŵ{ I {J$ - ŷJ - Ŷ{ {J - Ŷ{{J - ŵ{ I {J - Ŷ{{J - ŵ{ {J - Ŷ{{J - ŵ{ I I Por lo tanto: I $ I J 4 Ŷ Encontrando los coeficientes: ˟˩ J Ŷ ˥JˮJJI˥J I I$ I ˟˩ J ŷ ˥JˮJJI˥J I' I% I# ˟˩ J Ÿ ˥JˮJJI˥J I I I ˟˩ J Ź ˥JˮJJI˥J I I' I# ˟˩ J ź ˥JˮJJI˥J I I I ˟˩ J Ż ˥JˮJJI˥J I I I Volviendo a la solución: ˳{˲{ I ˲ ( I - I#˲ - I$˲$ - I%˲% - I˲ - I'˲' - I ˲ - ˳{˲{ I - I#˲ - I˲$ - I#˲% - I˲ - I#˲' - I˲ - La solución homogénea: ˳{˲{ I ŵ - ˲$ -˲ - ˲ - - ˲$ - { { G - I# ˲ - ˲% - ˲' - - ˲$ # - { { G
  • 87. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 87 I ŵ ŵ . ˲$ F - I#˲{ŵ - ˲$ - ˲ - - ˲$ - { ˳ {I{ I ŵ ŵ . ˲$ F - I# Ә ˲ ŵ . ˲$ ә ˳I J˯˥ ŵ ŵ . ˲ ŵ - ˲ - ˲$ - ˲% - Ahora se encuentra la solución particular ˳ Normalizando la ecuación diferencial {˲$ . ŵ{˳ - Ÿ˲˳ - Ŷ˳ # , se obtiene: ˳ - Ÿ˲˳ {˲$ . ŵ{ - Ŷ˳ {˲$ . ŵ{ ŵ ˲{˲$ . ŵ{ Usando el método de variación de parámetros: ˳ ˯#˳# - ˯$˳$ Encontrando el wronskiano: ˣ{˳# ˳${ } ˳# ˳$ ˳#Ȋ ˳$Ȋ} ˣ{˳# ˳${ ӶӶ ŵ ŵ . ˲$ ˲ ŵ . ˲$ Ŷ˲ {ŵ . ˲${$ ŵ - ˲$ {ŵ . ˲${$ ӶӶ ŵ {ŵ . ˲${$ ˖JJˤ˥ ˯# Ŵ ˳$ ŵ ˲{˲$ . ŵ{ ˳$Ȋ ˣ{˳# ˳${ Ӷ Ŵ ˲ ŵ . ˲$ ŵ ˲{˲$ . ŵ{ ŵ - ˲$ {ŵ . ˲${$ Ӷ ŵ {ŵ . ˲${$ ˯# ŵ {ŵ . ˲${$ ŵ {ŵ . ˲${$ ŵ ˥JˮJJI˥J ˯# ˲ ˖JJˤ˥ ˯$ ˳# Ŵ ˳#Ȋ ŵ ˲{˲$ . ŵ{ ˣ{˳# ˳${ Ӷ ŵ ŵ . ˲$ Ŵ Ŷ˲ {ŵ . ˲${$ ŵ ˲{˲$ . ŵ{ Ӷ ŵ {ŵ . ˲${$ . ŵ ˲{ŵ . ˲${$ ŵ {ŵ . ˲${$ ˯$ . ŵ ˲ ˥JˮJJI˥J ˯$ .Ž {˲{ Por lo tanto a solución particular es: ˳ ˯#˳# - ˯$˳$ ˳ ˲ ŵ ŵ . ˲$ F . Ž {˲{ ˲ ŵ . ˲$ La solución general es: ˳{˲{ I ŵ ŵ . ˲$ F - I# Ә ˲ ŵ . ˲$ ә - ˲ ŵ ŵ . ˲$ F . Ž {˲{ ˲ ŵ . ˲$ Este es un solucionario de problemas de Ecuaciones Diferenciales correspondiente a la Primera Evaluación, donde constan ejercicios tipo examen. Esta obra ha sido elaborada por Roberto Cabrera y Christian de La Rosa, ex – estudiante de la ESPOL, con el auspicio de la directiva A.E.F.I.E.C. de los años 2006, 2007, 2008. Modificado y corregido dos veces por Roberto Cabrera.