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ECUACIONES CUADRÁTICAS
Una ecuación de
segundo grado o
ecuación cuadrática,
es una ecuación
polinómica donde el
mayor exponente es
igual a dos.
Normalmente, la
expresión se refiere al
caso en que sólo
aparece una incógnita
y que se expresa en la forma canónica: ax2 + bx + c = 0, donde a es el coeficiente cuadrático
o de segundo general y es siempre distinto del número 0, b el coeficiente lineal o de primer
grado y c es el término independiente.
Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en xn, es de la forma: ax2n+bxn+c=
0, con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n
= 2 se conoce como ecuación bicuadrática.
La ecuación cuadrática es de gran importancia en diversos campos, ya que junto con las
ecuaciones lineales, permiten modelar un gran número de relaciones y leyes.
ECUACIONES COMPLETAS
Las ecuaciones de segundo grado incompletas son aquellas que tienen la siguiente
estructura: ax2 + bx + c = 0.
ECUACIONES INCOMPLETAS
Las ecuaciones de segundo grado incompletas son de tres tipos:
o ax2 = 0; si b = 0 y c = 0. (Incompleta Pura)
o ax2 + bx = 0; si c = 0. (Incompleta Binomia)
o ax2 + c = 0; si b = 0. (Incompleta Pura)
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
1. Factorización
Si los coeficientes a, b y c de la ecuación cuadrática son tales que la expresión puede
escribirse como el producto de dos factores de primer grado con coeficientes enteros,
dicha ecuación cuadrática podrá resolverse rápida y fácilmente. El método de
resolución por factorización se basa en la siguiente propiedad de los números reales:
Si a y b son números reales, entonces:
a×b = 0 si y solo si a = 0 o b = 0 (o ambos valen cero)
Esta propiedad se demuestra con facilidad: si a = 0, hemos concluido. Si a ≠ 0,
multiplicamos ambos miembros de ab = 0 por 1/a, para obtener: b = 0.
2. Completando cuadrados
El método de completar el cuadrado, también llamado completación de cuadrado, o
compleción de cuadrados, es la técnica que se utiliza cuando tenemos una ecuación
de segundo grado o cuadrática, del tipo ax2 + bx + c = 0, con a distinto de 0, y la
transformamos, primero en un trinomio cuadrado perfecto, con el fin de “completar” la
ecuación para crear un cuadrado de binomio y así poder despejar la incógnita X y llegar
a las raíces o soluciones.
Para que puedas entender mejor este método, consideraremos primero la ecuación
del tipo x2 + bx + c = 0, la cual, si transponemos el término c para un mejor análisis nos
queda; x2 + bx = - c.
Si observamos la primera parte de la igualdad vemos que tenemos el binomio x2 + bx,
al cual le falta un término para formar un trinomio cuadrado perfecto (¿?)2. Este término
es el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo término, (b/2)2, si resolvemos
el cuadrado quedaría b2/4.
3. Fórmula General
Para una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos
soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o
complejas (si los coeficientes son reales y existen dos soluciones no reales, entonces
deben ser complejas conjugadas). Fórmula general para la obtención de raíces:
Se usa ± para indicar las dos soluciones: y

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  • 1. ECUACIONES CUADRÁTICAS Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática, es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica: ax2 + bx + c = 0, donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo general y es siempre distinto del número 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente. Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en xn, es de la forma: ax2n+bxn+c= 0, con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación bicuadrática. La ecuación cuadrática es de gran importancia en diversos campos, ya que junto con las ecuaciones lineales, permiten modelar un gran número de relaciones y leyes. ECUACIONES COMPLETAS Las ecuaciones de segundo grado incompletas son aquellas que tienen la siguiente estructura: ax2 + bx + c = 0. ECUACIONES INCOMPLETAS Las ecuaciones de segundo grado incompletas son de tres tipos: o ax2 = 0; si b = 0 y c = 0. (Incompleta Pura) o ax2 + bx = 0; si c = 0. (Incompleta Binomia) o ax2 + c = 0; si b = 0. (Incompleta Pura)
  • 2. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN 1. Factorización Si los coeficientes a, b y c de la ecuación cuadrática son tales que la expresión puede escribirse como el producto de dos factores de primer grado con coeficientes enteros, dicha ecuación cuadrática podrá resolverse rápida y fácilmente. El método de resolución por factorización se basa en la siguiente propiedad de los números reales: Si a y b son números reales, entonces: a×b = 0 si y solo si a = 0 o b = 0 (o ambos valen cero) Esta propiedad se demuestra con facilidad: si a = 0, hemos concluido. Si a ≠ 0, multiplicamos ambos miembros de ab = 0 por 1/a, para obtener: b = 0. 2. Completando cuadrados El método de completar el cuadrado, también llamado completación de cuadrado, o compleción de cuadrados, es la técnica que se utiliza cuando tenemos una ecuación de segundo grado o cuadrática, del tipo ax2 + bx + c = 0, con a distinto de 0, y la transformamos, primero en un trinomio cuadrado perfecto, con el fin de “completar” la ecuación para crear un cuadrado de binomio y así poder despejar la incógnita X y llegar a las raíces o soluciones. Para que puedas entender mejor este método, consideraremos primero la ecuación del tipo x2 + bx + c = 0, la cual, si transponemos el término c para un mejor análisis nos queda; x2 + bx = - c. Si observamos la primera parte de la igualdad vemos que tenemos el binomio x2 + bx, al cual le falta un término para formar un trinomio cuadrado perfecto (¿?)2. Este término es el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo término, (b/2)2, si resolvemos el cuadrado quedaría b2/4. 3. Fórmula General Para una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas (si los coeficientes son reales y existen dos soluciones no reales, entonces deben ser complejas conjugadas). Fórmula general para la obtención de raíces: Se usa ± para indicar las dos soluciones: y