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¿Qué es una ecuación diferencial?
Toda ecuación que establece la dependencia de una variable respecto
a otra u otras mediante derivadas es una ecuación diferencial
Introducción
Ejemplos de ecuaciones
diferenciales
La rapidez con que un cuerpo se calienta es proporcional a la
diferencia entre la temperatura del cuerpo T(t) y la temperatura del
ambiente Ta
Donde K es el coeficiente de transmisión de calor que depende del
material
)( TTK
dt
dT
a 
Clasificación General
EDO de primer orden.- La forma general es
F(x, y, y’)=0
A la forma
y’=f(x, y)
Se le denomina resuelta respecto a la derivada.
También aparecen en la forma:
dy
dx
 fx,y
Solución de una ED
La Solución General, también llamada integral general de la ED de la forma
F(x, y, y’, y’’,..., y(n))=0, es la función y=f(x, c) que satisface dicha ecuación.
Ejemplo.- Es fácil ver que las funciones
La solución general es en realidad una familia de funciones parametrizadas
por la constante desconocida c. Para cada valor particular de la constante c se
obtiene una Solución Particular de la ED
2
2 ccxy 
Solución de una ED
 Tarea:
a) Para el ejemplo (2). Verificar que la solución general de la ED es:
b) Si K=0.1°C/seg. ¿Cuánto tiempo tardará en enfriarse una taza de café
hirviendo si la temperatura ambiente es de Ta=15°C ?
Kt
aa eTTTtT 
 )()( 0
Métodos de Solución
Analítica
 NO existe un método general para resolver ED’s, es decir, dada una
ecuación diferencial no tenemos un procedimiento para hallar su solución
analítica.
 Sin embargo, en algunos casos particulares bien identificados sí se tienen
procedimientos para calcular dicha solución.
Métodos de Solución
Analítica
 El único método entonces consiste en saber Identificar el tipo
de ED que se quiere resolver.
 Si es un caso conocido. Aplicar el procedimiento
correspondiente
 Si no es un caso conocido, intentar algún cambio de variable
que la transforme en un caso conocido
Separación de variables
La idea más simple de los procedimientos de solución es reescribir la
ecuación como una ecuación de variables separadas:
Donde f(y) es una función exclusivamente de y y g(x) es una función
exclusivamente de x.
Esta ecuación se resuelve integrando a ambos lados:
dxxgdyyf )()( 
 
x
x
y
y
dxxgdyyf
00
)()(
Separación de variables
La ED de la forma
Se denomina ED de variables separables, ya que es inmediata su
reescritura como una ED con variables separadas:
dyxgyfdxxgyf )()()()( 2211 
dx
xg
xg
dy
yf
yf
)(
)(
)(
)(
2
1
1
2

Separación de variables
Ejemplo: Resolver la ecuación
Solución: Separando variables
ydy = -xdx
integrando
Reescribiendo x2+y2 = c2
dy
dx  x
y .
1
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22
c
xy

ED Lineales de 1er orden
Las ED de la forma
Se denominan ED Lineales.
Se resuelven usando variación de la constante c de la solución para el caso
Homogéneo (q(x)=0), es decir,
donde
 xqy)x(p
dx
dy



 dx)x(p
e)x(c)x(y
1
dx)x(p
cdxe)x(q)x(c 

 
ED Lineales de 1er orden
Ejemplo: La ecuación del circuito RC serie
Es una ED lineal de primer orden, por lo tanto, su solución es
Donde
Si Vs(t)=1, se obtiene:
Por lo tanto
)(
1
)(
1)(
tV
RC
tv
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tdv
s
RC
t
dt
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1




1
RC
t
sRC
1
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1( )
t
RC
c t e c 
RC
t
1ec1)t(v


ED exactas
La ecuación de la forma
tiene de la forma de una diferencial exacta du(x,y) = 0
y por consiguiente la solución: u(x,y) = c
si cumple la condición de Euler:
En tal caso
y la función u(x,y) se puede obtener integrando M respecto a x:
y se puede determinar c(y) derivando
x
)y,x(N
y
)y,x(M





0dy)y,x(Ndx)y,x(M 
y
)y,x(u
)y,x(N,
x
)y,x(u
)y,x(M






  )y(cdx)y,x(M)y,x(u
ED exactas
Ejemplo: La siguiente ED
Es exacta puesto que
Integrando respecto a x
Es decir,
Derivando respecto a y
De donde
Finalmente la solución general es
0dy)3yx(dx)1yx( 2

x
yx
y
yx
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


 )3()1( 2
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)(),( 2
2
ycxxyyxu x

3)(' 2



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y
u
  1
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)3()( cdyyyc
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cyxxyyxu yx

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Ecuaciones diferenciales

  • 1. ¿Qué es una ecuación diferencial? Toda ecuación que establece la dependencia de una variable respecto a otra u otras mediante derivadas es una ecuación diferencial Introducción
  • 2. Ejemplos de ecuaciones diferenciales La rapidez con que un cuerpo se calienta es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo T(t) y la temperatura del ambiente Ta Donde K es el coeficiente de transmisión de calor que depende del material )( TTK dt dT a 
  • 3. Clasificación General EDO de primer orden.- La forma general es F(x, y, y’)=0 A la forma y’=f(x, y) Se le denomina resuelta respecto a la derivada. También aparecen en la forma: dy dx  fx,y
  • 4. Solución de una ED La Solución General, también llamada integral general de la ED de la forma F(x, y, y’, y’’,..., y(n))=0, es la función y=f(x, c) que satisface dicha ecuación. Ejemplo.- Es fácil ver que las funciones La solución general es en realidad una familia de funciones parametrizadas por la constante desconocida c. Para cada valor particular de la constante c se obtiene una Solución Particular de la ED 2 2 ccxy 
  • 5. Solución de una ED  Tarea: a) Para el ejemplo (2). Verificar que la solución general de la ED es: b) Si K=0.1°C/seg. ¿Cuánto tiempo tardará en enfriarse una taza de café hirviendo si la temperatura ambiente es de Ta=15°C ? Kt aa eTTTtT   )()( 0
  • 6. Métodos de Solución Analítica  NO existe un método general para resolver ED’s, es decir, dada una ecuación diferencial no tenemos un procedimiento para hallar su solución analítica.  Sin embargo, en algunos casos particulares bien identificados sí se tienen procedimientos para calcular dicha solución.
  • 7. Métodos de Solución Analítica  El único método entonces consiste en saber Identificar el tipo de ED que se quiere resolver.  Si es un caso conocido. Aplicar el procedimiento correspondiente  Si no es un caso conocido, intentar algún cambio de variable que la transforme en un caso conocido
  • 8. Separación de variables La idea más simple de los procedimientos de solución es reescribir la ecuación como una ecuación de variables separadas: Donde f(y) es una función exclusivamente de y y g(x) es una función exclusivamente de x. Esta ecuación se resuelve integrando a ambos lados: dxxgdyyf )()(    x x y y dxxgdyyf 00 )()(
  • 9. Separación de variables La ED de la forma Se denomina ED de variables separables, ya que es inmediata su reescritura como una ED con variables separadas: dyxgyfdxxgyf )()()()( 2211  dx xg xg dy yf yf )( )( )( )( 2 1 1 2 
  • 10. Separación de variables Ejemplo: Resolver la ecuación Solución: Separando variables ydy = -xdx integrando Reescribiendo x2+y2 = c2 dy dx  x y . 1 22 22 c xy 
  • 11. ED Lineales de 1er orden Las ED de la forma Se denominan ED Lineales. Se resuelven usando variación de la constante c de la solución para el caso Homogéneo (q(x)=0), es decir, donde  xqy)x(p dx dy     dx)x(p e)x(c)x(y 1 dx)x(p cdxe)x(q)x(c    
  • 12. ED Lineales de 1er orden Ejemplo: La ecuación del circuito RC serie Es una ED lineal de primer orden, por lo tanto, su solución es Donde Si Vs(t)=1, se obtiene: Por lo tanto )( 1 )( 1)( tV RC tv RCdt tdv s RC t dt e)t(ce)t(c)t(v RC 1     1 RC t sRC 1 cdte)t(V)t(c   1( ) t RC c t e c  RC t 1ec1)t(v  
  • 13. ED exactas La ecuación de la forma tiene de la forma de una diferencial exacta du(x,y) = 0 y por consiguiente la solución: u(x,y) = c si cumple la condición de Euler: En tal caso y la función u(x,y) se puede obtener integrando M respecto a x: y se puede determinar c(y) derivando x )y,x(N y )y,x(M      0dy)y,x(Ndx)y,x(M  y )y,x(u )y,x(N, x )y,x(u )y,x(M         )y(cdx)y,x(M)y,x(u
  • 14. ED exactas Ejemplo: La siguiente ED Es exacta puesto que Integrando respecto a x Es decir, Derivando respecto a y De donde Finalmente la solución general es 0dy)3yx(dx)1yx( 2  x yx y yx      )3()1( 2   )()1(),( ycdxyxyxu )(),( 2 2 ycxxyyxu x  3)(' 2    yxycx y u   1 2 )3()( cdyyyc 232 3),( 32 cyxxyyxu yx 
  • 15. Teorema de existencia y unicidad Ejemplo: ¿Son ED exactas? xxyy 22' 2  0)()()()( 2211  dyygxfdxygxf 0)()( 323  dyyyxdxxyx