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CAPÍTULO
2
Métodos de solución de ED de primer orden
2.8 Miscelánea
En este apartado queremos responder a la pregunta ¿cómo proceder cuando se nos pide resolver una
ecuación diferencial ordinaria de primer orden
M.x; y/ dx C N.x; y/ dy D 0
y no nos dicen de qué tipo es?
La identificación del tipo de la ecuación diferencial ordinaria es importante para poder resolverla, ¿cómo
identificarla?, ¿existe algún camino que nos ayude a eliminar posibilidades sin invertir demasiado tiempo?
Análisis. Se dan a continuación algunas sugerencias que nos ayudan a encontrar la forma de resolver la
ecuación diferencial:
1. Una ED no es homogénea cuando en ella se tiene alguna función trigonométrica o inversa trigono-
métrica cuyo argumento no es
x
y
ni
y
x
; también cuando se tiene alguna función exponencial cuyo
exponente no es
y
x
ni
x
y
.
2. Si en ED no hay funciones trascendentes, y todos los términos son del mismo grado, entonces la
ecuación diferencial es homogénea; y si en la ecuación diferencial aparece explícitamente el término
y
x
o bien el término
x
y
, entonces la ecuación diferencial puede ser homogénea de la forma
dy
dx
D F
y
x
Á
o bien
dx
dy
D F
Â
x
y
Ã
.
3. Si el coeficiente de la diferencial dy es una función que depende sólo de x, entonces podemos pensar
que se trata de una ecuación diferencial lineal o de Bernoulli para y D .x/. Esto es, una del tipo
y 0
C p.x/y D q.x/ o bien del tipo y 0
C p.x/y D q.x/yn
.
1.canek.azc.uam.mx: 22/ 9/ 2010
1
2 Ecuaciones diferenciales ordinarias
4. Si el coeficiente de la diferencial dx es una función que depende sólo de y, entonces podemos pensar
en una ecuación diferencial lineal o de Bernoulli para x D .y/.
Esto es, una del tipo x 0
C p.y/x D q.y/ o bien del tipo x 0
C p.y/x D q.y/xn
.
5. Si para la ecuación diferencial M.x; y/ dx C N.x; y/ dy D 0 se tiene
@M
@y
¤
@N
@x
, entonces la ED no es
exacta. Además de esto:
a. Si
My Nx
N
¤ g.x/, entonces no existe factor integrante D .x/.
En este caso la ecuación diferencial tampoco es lineal para y en función de x.
b. Si
Nx My
M
¤ g.y/, entonces no existe factor integrante D .y/.
En este caso la ecuación diferencial tampoco es lineal para x en función de y.
c. Si
My Nx
N
¤ g.x/ &
Nx My
M
¤ g.y/.
Entonces no existe factor integrante de una sola variable, por lo cual la ecuación diferencial
tampoco es lineal.
6. Si la ecuación diferencial M.x; y/ dx C N.x; y/ dy D 0 no es homogénea, no es exacta y no tiene
factor integrante de una sola variable (por lo que no es lineal), entonces intentamos expresar M.x; y/
& N.x; y/ como productos o cocientes de funciones dependientes de una sola variable. Esto es, vemos
si podemos separar las variables.
7. Si la ecuación diferencial no es homogénea ni exacta, no tiene factor integrante de una sola variable
(por lo que no es lineal) y no es de variables separables, entonces probemos analizarla como una de
Bernoulli. Esto es, intentemos expresar la ED M.x; y/ dx C N.x; y/ dy como y 0
C p.x/y D q.x/yn
o
bien como x 0
C p.y/x D q.y/xn
.
Comentario final. Estas sugerencias están dadas en un orden que no es necesariamente único. El análisis
de la ED es importante. Si ninguna de estas recomendaciones aplica a una ED, se podría pensar en algún
otro método no tratado en este capítulo.
Ejemplo 2.8.1 Resolver la ED .xey
C e2y
/ dy D .x ey
/ dx.
H Análisis. Al ver las exponenciales ey
& e2y
, podemos decir que la ecuación diferencial no es ho-
mogénea. Viendo que los coeficientes de las diferenciales dx & dy son funciones que dependen de am-
bas variables, podemos ahora decir que la ecuación diferencial no parece ser lineal para y D .x/ ni para
x D .y/. Tomamos el camino de las exactas.
.xey
C e2y
/ dy D .x ey
/ dx ) .x ey
/ dx C .xey
C e2y
/ dy D 0 )
) .ey
x/ dx C .xey
C e2y
/ dy D 0:
Tenemos entonces:
M D ey
x ) My D ey
N D xey
C e2y
) Nx D ey
«
) My D Nx ) la ecuación diferencial es exacta.
Entonces existe una función f .x; y/ tal que fx D M & fy D N .
Resolvemos la ecuación diferencial exacta
fx D M ) f .x; y/ D
x
M dx D
x
.ey
x/ dx D ey
x
x2
2
C h.y/ )
) f .x; y/ D xey x2
2
C h.y/: (2.1)
2.8 Miscelánea 3
Se deriva f .x; y/ con respecto a y:
@f
@y
D xey
C h0
.y/:
Por otra parte:
fy D N ) xey
C h0
.y/ D xey
C e2y
) h0
.y/ D e2y
) h.y/ D
1
2
e2y
C C1:
Sustituyendo h.y/ en f .x; y/, es decir en (2.1):
f .x; y/ D xey 1
2
x2
C
1
2
e2y
C C1:
Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial es
f .x; y/ D C2 ) xey 1
2
x2
C
1
2
e2y
C C1 D C2 ) 2xey
x2
C e2y
D C:
Ejemplo 2.8.2 Resolver la ED .x2
C xy C 3y2
/ dx .x2
C 2xy/ dy D 0.
H Análisis. Notamos que en la ecuación diferencial no hay funciones trascendentes y además que todos
los términos o sumandos que se tienen son del mismo grado, en este caso 2. Podemos decir entonces que la
ecuación diferencial es homogénea.
Resolvemos la homogénea escribiéndola como
dy
dx
D F
y
x
Á
o bien como
dx
dy
D F
Â
x
y
Ã
. Decidimos la
primera forma (con x como variable independiente).
.x2
C xy C 3y2
/ dx .x2
C 2xy/ dy D 0 ) .x2
C xy C 3y2
/ dx D .x2
C 2xy/ dy )
)
dy
dx
D
x2
C xy C 3y2
x2 C 2xy
D
x2
Â
1 C
y
x
C 3
y2
x2
Ã
x2 1 C 2
y
x
Á D
1 C
y
x
C 3
y
x
Á2
1 C 2
y
x
Á )
)
dy
dx
D
1 C
y
x
C 3
y
x
Á2
1 C 2
y
x
Á :
Si w D
y
x
, entonces y D xw &
dy
dx
D x
dw
dx
C w. Al sustituir se obtiene:
x
dw
dx
C w D
1 C w C 3w2
1 C 2w
)
) x
dw
dx
D
1 C w C 3w2
1 C 2w
w D
1 C w C 3w2
w 2w2
1 C 2w
D
1 C w2
1 C 2w
)
) x dw D
1 C w2
1 C 2w
dx )
1 C 2w
1 C w2
dw D
dx
x
:
Después de separar las variables, integramos
1 C 2w
1 C w2
dw D
dx
x
)
Â
1
1 C w2
C
2w
1 C w2
Ã
dw D
dx
x
)
) arctan w C ln.1 C w2
/ ln x D C:
4 Ecuaciones diferenciales ordinarias
Pero w D
y
x
, por lo tanto:
arctan
y
x
C ln
Â
1 C
y2
x2
Ã
ln x D C ) arctan
y
x
C ln
Â
x2
C y2
x2
Ã
ln x D C )
) arctan
y
x
C ln.x2
C y2
/ ln x2
ln x D C ) arctan
y
x
C ln.x2
C y2
/ 2 ln x ln x D C )
) arctan
y
x
C ln.x2
C y2
/ 3 ln x D C;
que es la solución general de la ED.
Ejemplo 2.8.3 Resolver el PVI ye
x
y dx D .y C xe
x
y / dyI con x.1/ D 0.
H Análisis. En la ecuación diferencial la función exponencial aparece con el exponente
x
y
. Sin dudarlo
pensamos en una ecuación diferencial homogénea con el cambio de variable w D
x
y
. Expresamos esta
ecuación diferencial en la forma
dx
dy
D F
Â
x
y
Ã
:
ye
x
y dx D y C xe
x
y dy )
dx
dy
D
y C xe
x
y
ye
x
y
D
y
ye
x
y
C
xe
x
y
ye
x
y
D e
x
y C
x
y
:
Si w D
x
y
, entonces x D yw &
dx
dy
D y
dw
dy
C w. Al sustituir en la ED, se obtiene:
y
dw
dy
C w D e w
C w ) y
dw
dy
D e w
) ew
dw D
dy
y
:
Integrando:
ew
dw D
dy
y
) ew
C C1 D ln y C C2 ) ew
D ln y C C:
Pero w D
x
y
, entonces:
e
x
y D ln y C C; que es la solución general de la ED.
Ahora x.1/ D 0 ) x D 0 & y D 1. Luego:
e
0
1 D ln 1 C C ) 1 D 0 C C ) C D 1:
Por lo tanto, la solución del PVI es
e
x
y D ln y C C; con C D 1 ) e
x
y D ln y C 1;
que se puede expresar como:
e
x
y D ln y C ln e ) e
x
y D ln.ye/ )
x
y
D lnŒln.ey/ ) x D y lnŒln.ey/:
2.8 Miscelánea 5
Ejemplo 2.8.4 Resolver la ED .2y senx tanx/ dx C .1 cos x/ dy D 0.
H Análisis. En esta ecuación diferencial hay funciones trigonométricas cuyos argumentos no son
y
x
ni
x
y
,
por lo cual concluimos que la ecuación diferencial no es homogénea.
El coeficiente .2y senx tanx/ de la diferencial dx no depende sólo de y, entonces descartamos que la
ecuación diferencial sea lineal para x D .y/. Pero el coeficiente .1 cos x/ de la diferencial dy depende
solamente de x, entonces la ecuación diferencial puede ser lineal o bien de Bernoulli para y D .x/.
Reescribiendo la ED:
.2y senx tan x/ dx C .1 cos x/ dy D 0 ) .2y sen x tanx/ C .1 cos x/
dy
dx
D 0 )
) .1 cos x/
dy
dx
C .2y senx/ D tan x ) y 0
C
2 sen x
1 cos x
y D
tanx
1 cos x
:
La anterior es una ecuación diferencial lineal normalizada de la forma y 0
Cp.x/y D q.x/; la resolvemos así:
p.x/ D
2 senx
1 cos x
) p.x/ dx D
2 senx
1 cos x
dx D 2 ln.1 cos x/:
Un factor integrante es
e
R
p.x/ dx
D e2 ln.1 cos x/
D eln.1 cos x/2
D .1 cos x/2
:
Multiplicamos la ED por este factor integrante:
.1 cos x/2
y 0
C
2 senx
1 cos x
y D .1 cos x/2 tanx
1 cos x
:
Usamos la igualdad conocida:
d
dx
.1 cos x/2
y D .1 cos x/ tanx D tanx sen x )
) .1 cos x/2
y D .tan x sen x/ dx D ln.sec x/ C cos x C C )
) y D
ln.sec x/ C cos x C C
.1 cos x/2
;
que es la solución general de la ED.
Ejemplo 2.8.5 Resolver la ED .ex
C 1/2
ey
dy .ey
C 1/3
ex
dx D 0.
H Análisis. Notamos que los coeficientes de las diferenciales dx & dy son productos de funciones de una
sola variable; es decir, las variables están separadas. No hay duda de que es una ecuación diferencial de
variables separables.
.ex
C 1/2
ey
dy .ey
C 1/3
ex
dx D 0 ) .ex
C 1/2
ey
dy D .ey
C 1/3
ex
dx )
ey
.ey C 1/3
dy D
ex
.ex C 1/2
dx:
Integrando:
ey
.ey C 1/3
dy D
ex
.ex C 1/2
dx ) .ey
C 1/ 3
ey
dy D .ex
C 1/ 2
ex
dx )
)
.ey
C 1/ 2
2
C C1 D
.ex
C 1/ 1
1
C C2 )
1
2.ey C 1/2
C
1
ex C 1
D C )
)
1
ex C 1
1
2.ey C 1/2
D C;
que es la solución general de la ED.
6 Ecuaciones diferenciales ordinarias
Ejemplo 2.8.6 Resolver la ED xy 0
.x C 1/y D x2
y2
.
H Análisis. Basta recordar la definición de una ecuación diferencial de Bernoulli para darnos cuenta de
que esta ecuación diferencial es de ese tipo. En efecto:
xy 0
.x C 1/y D x2
y2
) y 0 x C 1
x
y D xy2
;
que es de la forma y 0
C p.x/y D q.x/yn
. Entonces, la resolvemos:
y 2
y 0 x C 1
x
y D xy2
y 2
) y 2
y 0 x C 1
x
y 1
D x:
Efectuamos el cambio de variable y derivamos:
w D y 1
)
dw
dx
D y 2 dy
dx
) y 2
y 0
D w 0
:
Al sustituir:
w 0 x C 1
x
w D x ) w 0
C
x C 1
x
w D x: (2.2)
Hemos obtenido una ecuación diferencial lineal. Calculamos ahora su factor integrante:
e
R xC1
x
dx
D e
R “
1C
1
x
”
dx
D exCln x
D ex
elnx
D ex
x D xex
:
Luego, multiplicando (2.2) por el factor integrante xex
:
xex
Â
w 0
C
x C 1
x
w
Ã
D x2
ex
)
(y usando la igualdad conocida):
)
d
dx
.xex
w/ D x2
ex
)
) xex
w D x2
ex
dx )
) xex
w D x2
ex
2xex
dx )
) xex
w D x2
ex
C 2 xex
dx )
) xex
w D x2
ex
C 2 xex
ex
dx )
) xex
w D x2
ex
C 2xex
2ex
C C )
) w D
C ex
.x2
2x C 2/
xex
:
Integrando por partes:
u D x2
) du D 2x dxI
dv D ex
dx ) v D ex
:
Integrando por partes:
u D x ) du D dxI
dv D ex
dx ) v D ex
:
Finalmente, considerando que w D y 1
D
1
y
, hallamos:
1
y
D
C ex
.x2
2x C 2/
xex
) y D
xex
C ex.x2 2x C 2/
;
que es la solución general de la ED.
2.8 Miscelánea 7
Ejemplo 2.8.7 Resolver la ED .xy 2y C x 2/ dy D .xy C 3y x 3/ dx.
H Análisis. Esta ecuación diferencial no es homogénea, ya que sus términos no son del mismo grado.
Las funciones que acompañan a las diferenciales dx & dy dependen de ambas variables, lo que nos hace
pensar que la ecuación diferencial no es lineal ni de Bernoulli. Parece no ser de variables separables ya que
no es evidente que los coeficientes de las diferenciales dx & dy sean productos o cocientes de funciones
que dependan de una sola variable.
Veamos si la ED es exacta:
.xy 2y C x 2/ dy D .xy C 3y x 3/ dx ) .xy C 3y x 3/ dx .xy 2y C x 2/ dy D 0 )
) .xy C 3y x 3/ dx C . xy C 2y x C 2/ dy D 0:
Tenemos entonces:
M D xy C 3y x 3 ) My D x C 3
N D xy C 2y x C 2 ) Nx D y 1
«
) My ¤ Nx ) la ecuación diferencial no es exacta.
Veamos si tiene un factor integrante que dependa sólo de una variable:
My Nx
N
D
x C 3 C y C 1
xy C 2y x C 2
D
x C y C 4
xy C 2y x C 2
¤ g.x/ ) no existe factor integrante .x/:
Nx My
M
D
y 1 x 3
xy C 3y x 3
D
x y 4
xy C 3y x 3
¤ g.y/ ) no existe factor integrante .y/:
¿De qué tipo es esta ecuación diferencial? Revisamos de nuevo para ver si es de variables separables.
Ya que
xy 2y C x 2 D .xy 2y/ C .x 2/ D y.x 2/ C 1.x 2/ D .x 2/.y C 1/I
y además
xy C 3y x 3 D .xy C 3y/ C . x 3/ D y.x C 3/ 1.x C 3/ D .x C 3/.y 1/:
Entonces:
.xy 2y C x 2/ dy D .xy C 3y x 3/ dx ) .x 2/.y C 1/ dy D .x C 3/.y 1/ dx )
)
y C 1
y 1
dy D
x C 3
x 2
dx
es una ED de variables separables, por lo que, integrando:
y C 1
y 1
dy D
x C 3
x 2
dx:
Efectuando ambas divisiones e integrando:
Â
1 C
2
y 1
Ã
dy D
Â
1 C
5
x 2
Ã
dx ) y C 2 ln.y 1/ C C1 D x C 5 ln.x 2/ C C2 )
) y C ln.y 1/2
D x C ln.x 2/5
C C2 C1 ) y C ln.y 1/2
x ln.x 2/5
D C;
que es la solución general de la ED.
8 Ecuaciones diferenciales ordinarias
Ejemplo 2.8.8 Resolver la ED
dx
dy
D
2 tanx sen 2y
cos 2y sen x
.
H Análisis. Al ver los argumentos de las funciones trigonométricas podemos afirmar que la ecuación no
es homogénea. Si reescribimos la ecuación como
dx
dy
D
2 tanx sen 2y
cos 2y sen x
) .cos 2y senx/ dx D .2 tanx sen 2y/ dy )
) .cos 2y senx/ dx .2 tanx sen 2y/ dy D 0; (2.3)
y si tenemos en cuenta que los coeficientes de las diferenciales dx & dy dependen ambos de las 2 variables
x & y, podemos decir que esta ecuación diferencial no es lineal, ni tampoco de Bernoulli, ya sea para
y D .x/ o bien para x D .y/.
Podemos decir que la ecuación diferencial no parece ser de variables separables, ya que el coeficiente de dx
no es producto de funciones dependientes de una sola variable. Veamos si de trata de una ED exacta.
Tenemos ahora, de (2.3):
M D cos 2y sen x ) My D 2 sen2y
N D 2 tanx sen2y ) Nx D 2 sec2
x sen 2y
«
) My ¤ Nx ) la ED no es exacta.
¿Tendrá un factor integrante dependiente de una sola variable?
My Nx
N
D
2 sen 2y C 2 sec 2
x sen 2y
2 tanx sen 2y
D
2.sen 2y/.sec 2
x 1/
2 tanx sen 2y
D
D
sec 2
x 1
tanx
D
tan2
x
tanx
D tanx D g.x/:
En vista de lo anterior existe un factor integrante D .x/ dado por
0
.x/
.x/
D g.x/ D tan x )
0
.x/
.x/
dx D tanx dx D
sen x
cos x
dx )
) ln .x/ D ln.cos x/ ) .x/ D cos x:
Multiplicando la ecuación diferencial no exacta (2.3) por .x/ D cos x:
cos x.cos 2y sen x/ dx 2 cos x tan x sen2y dy D 0 )
) .cos x cos 2y senx cos x/ dx 2 senx sen2y dy D 0:
Vemos ahora que
M D cos x cos 2y sen x cos x ) My D 2 cos x sen 2y
N D 2 sen x sen 2y ) Nx D 2 cos x sen 2y
«
) My D Nx:
La nueva ecuación diferencial es exacta. Entonces existe una función f .x; y/ tal que fx D M & fy D N .
Ahora bien, integrando con respecto a y:
fy D N ) f .x; y/ D
y
N dy D
y
2 sen x sen 2y dy D sen x 2 sen2y dy )
) f .x; y/ D senx cos 2y C h.x/: (2.4)
Derivando con respecto a x:
fx D cos x cos 2y C h0
.x/:
fx D M ) cos x cos 2y C h0
.x/ D cos x cos 2y sen x cos x )
) h0
.x/ D sen x cos x ) h.x/ D .cos x/. sen x/ dx )
) h.x/ D
1
2
cos 2
x C C1:
2.8 Miscelánea 9
Sustituyendo h.x/ en (2.4):
f .x; y/ D senx cos 2y C
1
2
cos 2
x C C1:
Por lo tanto la solución general de la ecuación diferencial es:
f .x; y/ D C2 ) senx cos 2y C
1
2
cos 2
x C C1 D C2 )
) 2 senx cos 2y C cos 2
x D C:
Ejemplo 2.8.9 Resolver la ED y dx C .2xy e 2y
/ dy D 0.
H Análisis. Al observar el exponente de e 2y
podemos afirmar que la ecuación diferencial no es ho-
mogénea. Por otro lado, notamos que el coeficiente correspondiente a la diferencial dx es una función que
depende sólo de la variable y, así podemos pensar que es una ecuación diferencial lineal o bien de Bernoulli
para x D .y/. Veamos:
y dx C .2xy e 2y
/ dy D 0 ) y dx D .2xy e 2y
/ dy )
) y
dx
dy
D 2xy C e 2y
) y
dx
dy
C 2xy D e 2y
)
) yx 0
C 2yx D e 2y
) x 0
C 2x D
e 2y
y
;
que es, en efecto, una ecuación diferencial lineal para x D .y/.
Un factor integrante para esta ecuación diferencial es .y/ D e2y
. Multiplicando la ecuación diferencial por
este factor integrante, se obtiene:
e2y
Œx 0
C 2x D &&e2y ¨
¨¨e 2y
y
)
d
dy
.e2y
x/ D
1
y
) e2y
x D
1
y
dy ) e2y
x D ln y C C )
) x D .ln y C C/e 2y
;
que es la solución general de la ED.
Ejemplo 2.8.10 Resolver la ED ex
dx C .ex
cot y C 2y csc y/ dy D 0.
H Análisis. Al ver el exponente de la exponencial ex
, podemos afirmar que la ecuación diferencial no es
homogénea. Observando los coeficientes de las diferenciales dx & dy, podemos decir que esta ecuación
diferencial no es lineal, ni de Bernoulli, ya sea para y D .x/ o bien para x D .y/. Así, debido a que
el coeficiente de la diferencial dy no es un producto de funciones que dependan de una sola variable,
podemos decir que la ecuación diferencial no es de variables separables. Veamos entonces si se trata de una
ED exacta.
De la ecuación diferencial
ex
dx C .ex
cot y C 2y csc y/ dy D 0; (2.5)
obtenemos:
M D ex
) My D 0
N D ex
cot y C 2y csc y ) Nx D ex
cot y
«
) My ¤ Nx ) la ecuación diferencial no es exacta.
¿Tendrá un factor integrante dependiente de una sola variable?
My Nx
N
D
ex
cot y
ex cot y C 2y csc y
¤ g.x/ ) no existe factor integrante D .x/:
10 Ecuaciones diferenciales ordinarias
Pero
Nx My
M
D
ex
cot y
ex
D cot y D g.y/:
Entonces existe factor integrante D .y/ dado por
0
.y/
.y/
D g.y/ D cot y )
0
.y/
.y/
dy D cot y dy D
cos y
sen y
dy )
) ln .y/ D ln.sen y/ ) .y/ D sen y:
Multiplicando la ecuación diferencial no exacta (2.5) por .y/ D sen y:
ex
sen y dx C .ex
cot y C 2y csc y/ sen y dy D 0 ) ex
sen y dx C
Â
ex cos y
sen y
C 2y
1
seny
Ã
sen y dy D 0 )
) ex
sen y dx C .ex
cos y C 2y/ dy D 0: (2.6)
Y ahora:
M D ex
seny ) My D ex
cos y
N D ex
cos y C 2y ) N x D ex
cos y
«
) My D N x ) la nueva ED (2.6) es exacta.
Entonces existe una función f .x; y/ tal que fx D M & fy D N .
Integrando con respecto a x:
fx D M ) f .x; y/ D
x
M dx D
x
ex
sen y dx D .sen y/ex
C h.y/ )
) f .x; y/ D ex
seny C h.y/: (2.7)
Derivando con respecto a y:
fy D ex
cos y C h0
.y/:
Luego:
fy D N ) ex
cos y C h0
.y/ D ex
cos y C 2y )
) h0
.y/ D 2y ) h.y/ D y2
C C1:
Al sustituir h.y/ en (2.7):
f .x; y/ D ex
sen y C y2
C C1:
Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial exacta, así como de la no exacta es
f .x; y/ D C2 ) ex
seny C y2
C C1 D C2 ) ex
seny C y2
D C:
Ejercicios 2.8.1 Miscelánea. Soluciones en la página 12
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales, algunas de las cuales pueden resolverse de varias formas.
1. y2
C xy2 y 0
C x2
yx2
D 0.
2. 1 2x2
2y y 0
D 4x3
C 4xy.
3. x C ye
y
x
Á
dx xe
y
x dy D 0; con y.1/ D 0.
4. y
dx
dy
D e 3y
.3y C 1/x.
5. .x C sen x C seny/ dx C .cos y/ dy D 0.
2.8 Miscelánea 11
6. 3x2
y C ey dx C x3
C xey
3y2 dy D 0.
7. .1 C y2
/.e2x
dx ey
dy/ .1 C y/ dy D 0.
8. .1 cos x/y 0
D tan x 2y sen x.
9. 2xy ln y dx C x2
C y2
y2 C 1 dy D 0.
10. .x C y/ dy C .x y/ dx D 0.
11. x2
y 0
D 3y4
C 2xy; con y.1/ D
1
2
.
12. x4
ln x 2xy3 dx C 3x2
y2 dy D 0.
13. .cos x C tany cos x/ dx C .senx 1/ sec 2
y dy D 0.
14. .ex
sen y 2y sen x ln x/ dx C .ex
cos y C 2 cos x ln y/ dy D 0.
15. .x C 1/y 0
C .x C 2/y D 2xe x
.
16. y3
C x2
y dy C xy2
C x3 dx D 0.
17. xy dx x2
dy D y x2 C y2 dy; con y.1/ D 1.
18. .yexy
cos 2x 2exy
sen 2x C 2x/ dx C .xexy
cos 2x 3/ dy D 0.
19. x2
C y2 dy C 3x2
y C 2xy C y3 dx D 0.
20. .xy 2x C 4y 8/ dy D .xy C 3x y 3/ dx.
21. y tanx cos 2
x dx C dy D 0; con y.0/ D 1.
22. dy D y y2 dx.
23. xy 1 C xy2 y 0
D 1; con y.1/ D 0.
12 Ecuaciones diferenciales ordinarias
Ejercicios 2.8.1 Miscelánea. Página 10
1. 2 ln
Â
1 C x
1 y
Ã
C x2 y2 2x 2y D C.
2. x4 C 2x2y C y2 y D C.
3. ln.ex/ D e
y
x .
4. x D e 3y C Cy 1e 3y .
5. 2 seny C 2.x 1/ C sen x cos x D Ce x .
6. x3y C xey y3 D C.
7. e2x D 2ey C 2 arctany C ln.1 C y2/ C C.
8. y D Œln.secx/ C cos x C C.1 cos x/ 2.
9. x2 ln y C
1
3
.y2 C 1/
3
2 D C.
10. 2 arctan
y
x
Á
C ln.x2 C y2/ D C.
11. 5x6y 3 D 9x5 C 49.
12.
y3
x2
C x ln.x/ x D C.
13. senx C tan y sen x tan y D C.
14. ex seny C 2y cos x x ln.x/ C x y ln.y/ C y D C.
15. y D
x2
x C 1
e x C
C
x C 1
e x.
16. x2 C y2 D C.
17. lny D
p
x2 C y2
y
p
2.
18. exy cos 2x 3y C x2 D C.
19. x2ye3x C
1
3
y3e3x D C.
20. 5ln
„
x C 4
y C 3
«
D x y C C.
21. y D cos x sen x cos x.
22. y D
Cex
1 C Cex
.
23. x 1 D y2 C 2 e
y2
2 .

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Ecuaciones diferenciales

  • 1. CAPÍTULO 2 Métodos de solución de ED de primer orden 2.8 Miscelánea En este apartado queremos responder a la pregunta ¿cómo proceder cuando se nos pide resolver una ecuación diferencial ordinaria de primer orden M.x; y/ dx C N.x; y/ dy D 0 y no nos dicen de qué tipo es? La identificación del tipo de la ecuación diferencial ordinaria es importante para poder resolverla, ¿cómo identificarla?, ¿existe algún camino que nos ayude a eliminar posibilidades sin invertir demasiado tiempo? Análisis. Se dan a continuación algunas sugerencias que nos ayudan a encontrar la forma de resolver la ecuación diferencial: 1. Una ED no es homogénea cuando en ella se tiene alguna función trigonométrica o inversa trigono- métrica cuyo argumento no es x y ni y x ; también cuando se tiene alguna función exponencial cuyo exponente no es y x ni x y . 2. Si en ED no hay funciones trascendentes, y todos los términos son del mismo grado, entonces la ecuación diferencial es homogénea; y si en la ecuación diferencial aparece explícitamente el término y x o bien el término x y , entonces la ecuación diferencial puede ser homogénea de la forma dy dx D F y x Á o bien dx dy D F  x y à . 3. Si el coeficiente de la diferencial dy es una función que depende sólo de x, entonces podemos pensar que se trata de una ecuación diferencial lineal o de Bernoulli para y D .x/. Esto es, una del tipo y 0 C p.x/y D q.x/ o bien del tipo y 0 C p.x/y D q.x/yn . 1.canek.azc.uam.mx: 22/ 9/ 2010 1
  • 2. 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias 4. Si el coeficiente de la diferencial dx es una función que depende sólo de y, entonces podemos pensar en una ecuación diferencial lineal o de Bernoulli para x D .y/. Esto es, una del tipo x 0 C p.y/x D q.y/ o bien del tipo x 0 C p.y/x D q.y/xn . 5. Si para la ecuación diferencial M.x; y/ dx C N.x; y/ dy D 0 se tiene @M @y ¤ @N @x , entonces la ED no es exacta. Además de esto: a. Si My Nx N ¤ g.x/, entonces no existe factor integrante D .x/. En este caso la ecuación diferencial tampoco es lineal para y en función de x. b. Si Nx My M ¤ g.y/, entonces no existe factor integrante D .y/. En este caso la ecuación diferencial tampoco es lineal para x en función de y. c. Si My Nx N ¤ g.x/ & Nx My M ¤ g.y/. Entonces no existe factor integrante de una sola variable, por lo cual la ecuación diferencial tampoco es lineal. 6. Si la ecuación diferencial M.x; y/ dx C N.x; y/ dy D 0 no es homogénea, no es exacta y no tiene factor integrante de una sola variable (por lo que no es lineal), entonces intentamos expresar M.x; y/ & N.x; y/ como productos o cocientes de funciones dependientes de una sola variable. Esto es, vemos si podemos separar las variables. 7. Si la ecuación diferencial no es homogénea ni exacta, no tiene factor integrante de una sola variable (por lo que no es lineal) y no es de variables separables, entonces probemos analizarla como una de Bernoulli. Esto es, intentemos expresar la ED M.x; y/ dx C N.x; y/ dy como y 0 C p.x/y D q.x/yn o bien como x 0 C p.y/x D q.y/xn . Comentario final. Estas sugerencias están dadas en un orden que no es necesariamente único. El análisis de la ED es importante. Si ninguna de estas recomendaciones aplica a una ED, se podría pensar en algún otro método no tratado en este capítulo. Ejemplo 2.8.1 Resolver la ED .xey C e2y / dy D .x ey / dx. H Análisis. Al ver las exponenciales ey & e2y , podemos decir que la ecuación diferencial no es ho- mogénea. Viendo que los coeficientes de las diferenciales dx & dy son funciones que dependen de am- bas variables, podemos ahora decir que la ecuación diferencial no parece ser lineal para y D .x/ ni para x D .y/. Tomamos el camino de las exactas. .xey C e2y / dy D .x ey / dx ) .x ey / dx C .xey C e2y / dy D 0 ) ) .ey x/ dx C .xey C e2y / dy D 0: Tenemos entonces: M D ey x ) My D ey N D xey C e2y ) Nx D ey « ) My D Nx ) la ecuación diferencial es exacta. Entonces existe una función f .x; y/ tal que fx D M & fy D N . Resolvemos la ecuación diferencial exacta fx D M ) f .x; y/ D x M dx D x .ey x/ dx D ey x x2 2 C h.y/ ) ) f .x; y/ D xey x2 2 C h.y/: (2.1)
  • 3. 2.8 Miscelánea 3 Se deriva f .x; y/ con respecto a y: @f @y D xey C h0 .y/: Por otra parte: fy D N ) xey C h0 .y/ D xey C e2y ) h0 .y/ D e2y ) h.y/ D 1 2 e2y C C1: Sustituyendo h.y/ en f .x; y/, es decir en (2.1): f .x; y/ D xey 1 2 x2 C 1 2 e2y C C1: Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial es f .x; y/ D C2 ) xey 1 2 x2 C 1 2 e2y C C1 D C2 ) 2xey x2 C e2y D C: Ejemplo 2.8.2 Resolver la ED .x2 C xy C 3y2 / dx .x2 C 2xy/ dy D 0. H Análisis. Notamos que en la ecuación diferencial no hay funciones trascendentes y además que todos los términos o sumandos que se tienen son del mismo grado, en este caso 2. Podemos decir entonces que la ecuación diferencial es homogénea. Resolvemos la homogénea escribiéndola como dy dx D F y x Á o bien como dx dy D F  x y à . Decidimos la primera forma (con x como variable independiente). .x2 C xy C 3y2 / dx .x2 C 2xy/ dy D 0 ) .x2 C xy C 3y2 / dx D .x2 C 2xy/ dy ) ) dy dx D x2 C xy C 3y2 x2 C 2xy D x2  1 C y x C 3 y2 x2 à x2 1 C 2 y x Á D 1 C y x C 3 y x Á2 1 C 2 y x Á ) ) dy dx D 1 C y x C 3 y x Á2 1 C 2 y x Á : Si w D y x , entonces y D xw & dy dx D x dw dx C w. Al sustituir se obtiene: x dw dx C w D 1 C w C 3w2 1 C 2w ) ) x dw dx D 1 C w C 3w2 1 C 2w w D 1 C w C 3w2 w 2w2 1 C 2w D 1 C w2 1 C 2w ) ) x dw D 1 C w2 1 C 2w dx ) 1 C 2w 1 C w2 dw D dx x : Después de separar las variables, integramos 1 C 2w 1 C w2 dw D dx x )  1 1 C w2 C 2w 1 C w2 à dw D dx x ) ) arctan w C ln.1 C w2 / ln x D C:
  • 4. 4 Ecuaciones diferenciales ordinarias Pero w D y x , por lo tanto: arctan y x C ln  1 C y2 x2 à ln x D C ) arctan y x C ln  x2 C y2 x2 à ln x D C ) ) arctan y x C ln.x2 C y2 / ln x2 ln x D C ) arctan y x C ln.x2 C y2 / 2 ln x ln x D C ) ) arctan y x C ln.x2 C y2 / 3 ln x D C; que es la solución general de la ED. Ejemplo 2.8.3 Resolver el PVI ye x y dx D .y C xe x y / dyI con x.1/ D 0. H Análisis. En la ecuación diferencial la función exponencial aparece con el exponente x y . Sin dudarlo pensamos en una ecuación diferencial homogénea con el cambio de variable w D x y . Expresamos esta ecuación diferencial en la forma dx dy D F  x y à : ye x y dx D y C xe x y dy ) dx dy D y C xe x y ye x y D y ye x y C xe x y ye x y D e x y C x y : Si w D x y , entonces x D yw & dx dy D y dw dy C w. Al sustituir en la ED, se obtiene: y dw dy C w D e w C w ) y dw dy D e w ) ew dw D dy y : Integrando: ew dw D dy y ) ew C C1 D ln y C C2 ) ew D ln y C C: Pero w D x y , entonces: e x y D ln y C C; que es la solución general de la ED. Ahora x.1/ D 0 ) x D 0 & y D 1. Luego: e 0 1 D ln 1 C C ) 1 D 0 C C ) C D 1: Por lo tanto, la solución del PVI es e x y D ln y C C; con C D 1 ) e x y D ln y C 1; que se puede expresar como: e x y D ln y C ln e ) e x y D ln.ye/ ) x y D lnŒln.ey/ ) x D y lnŒln.ey/:
  • 5. 2.8 Miscelánea 5 Ejemplo 2.8.4 Resolver la ED .2y senx tanx/ dx C .1 cos x/ dy D 0. H Análisis. En esta ecuación diferencial hay funciones trigonométricas cuyos argumentos no son y x ni x y , por lo cual concluimos que la ecuación diferencial no es homogénea. El coeficiente .2y senx tanx/ de la diferencial dx no depende sólo de y, entonces descartamos que la ecuación diferencial sea lineal para x D .y/. Pero el coeficiente .1 cos x/ de la diferencial dy depende solamente de x, entonces la ecuación diferencial puede ser lineal o bien de Bernoulli para y D .x/. Reescribiendo la ED: .2y senx tan x/ dx C .1 cos x/ dy D 0 ) .2y sen x tanx/ C .1 cos x/ dy dx D 0 ) ) .1 cos x/ dy dx C .2y senx/ D tan x ) y 0 C 2 sen x 1 cos x y D tanx 1 cos x : La anterior es una ecuación diferencial lineal normalizada de la forma y 0 Cp.x/y D q.x/; la resolvemos así: p.x/ D 2 senx 1 cos x ) p.x/ dx D 2 senx 1 cos x dx D 2 ln.1 cos x/: Un factor integrante es e R p.x/ dx D e2 ln.1 cos x/ D eln.1 cos x/2 D .1 cos x/2 : Multiplicamos la ED por este factor integrante: .1 cos x/2 y 0 C 2 senx 1 cos x y D .1 cos x/2 tanx 1 cos x : Usamos la igualdad conocida: d dx .1 cos x/2 y D .1 cos x/ tanx D tanx sen x ) ) .1 cos x/2 y D .tan x sen x/ dx D ln.sec x/ C cos x C C ) ) y D ln.sec x/ C cos x C C .1 cos x/2 ; que es la solución general de la ED. Ejemplo 2.8.5 Resolver la ED .ex C 1/2 ey dy .ey C 1/3 ex dx D 0. H Análisis. Notamos que los coeficientes de las diferenciales dx & dy son productos de funciones de una sola variable; es decir, las variables están separadas. No hay duda de que es una ecuación diferencial de variables separables. .ex C 1/2 ey dy .ey C 1/3 ex dx D 0 ) .ex C 1/2 ey dy D .ey C 1/3 ex dx ) ey .ey C 1/3 dy D ex .ex C 1/2 dx: Integrando: ey .ey C 1/3 dy D ex .ex C 1/2 dx ) .ey C 1/ 3 ey dy D .ex C 1/ 2 ex dx ) ) .ey C 1/ 2 2 C C1 D .ex C 1/ 1 1 C C2 ) 1 2.ey C 1/2 C 1 ex C 1 D C ) ) 1 ex C 1 1 2.ey C 1/2 D C; que es la solución general de la ED.
  • 6. 6 Ecuaciones diferenciales ordinarias Ejemplo 2.8.6 Resolver la ED xy 0 .x C 1/y D x2 y2 . H Análisis. Basta recordar la definición de una ecuación diferencial de Bernoulli para darnos cuenta de que esta ecuación diferencial es de ese tipo. En efecto: xy 0 .x C 1/y D x2 y2 ) y 0 x C 1 x y D xy2 ; que es de la forma y 0 C p.x/y D q.x/yn . Entonces, la resolvemos: y 2 y 0 x C 1 x y D xy2 y 2 ) y 2 y 0 x C 1 x y 1 D x: Efectuamos el cambio de variable y derivamos: w D y 1 ) dw dx D y 2 dy dx ) y 2 y 0 D w 0 : Al sustituir: w 0 x C 1 x w D x ) w 0 C x C 1 x w D x: (2.2) Hemos obtenido una ecuación diferencial lineal. Calculamos ahora su factor integrante: e R xC1 x dx D e R “ 1C 1 x ” dx D exCln x D ex elnx D ex x D xex : Luego, multiplicando (2.2) por el factor integrante xex : xex  w 0 C x C 1 x w à D x2 ex ) (y usando la igualdad conocida): ) d dx .xex w/ D x2 ex ) ) xex w D x2 ex dx ) ) xex w D x2 ex 2xex dx ) ) xex w D x2 ex C 2 xex dx ) ) xex w D x2 ex C 2 xex ex dx ) ) xex w D x2 ex C 2xex 2ex C C ) ) w D C ex .x2 2x C 2/ xex : Integrando por partes: u D x2 ) du D 2x dxI dv D ex dx ) v D ex : Integrando por partes: u D x ) du D dxI dv D ex dx ) v D ex : Finalmente, considerando que w D y 1 D 1 y , hallamos: 1 y D C ex .x2 2x C 2/ xex ) y D xex C ex.x2 2x C 2/ ; que es la solución general de la ED.
  • 7. 2.8 Miscelánea 7 Ejemplo 2.8.7 Resolver la ED .xy 2y C x 2/ dy D .xy C 3y x 3/ dx. H Análisis. Esta ecuación diferencial no es homogénea, ya que sus términos no son del mismo grado. Las funciones que acompañan a las diferenciales dx & dy dependen de ambas variables, lo que nos hace pensar que la ecuación diferencial no es lineal ni de Bernoulli. Parece no ser de variables separables ya que no es evidente que los coeficientes de las diferenciales dx & dy sean productos o cocientes de funciones que dependan de una sola variable. Veamos si la ED es exacta: .xy 2y C x 2/ dy D .xy C 3y x 3/ dx ) .xy C 3y x 3/ dx .xy 2y C x 2/ dy D 0 ) ) .xy C 3y x 3/ dx C . xy C 2y x C 2/ dy D 0: Tenemos entonces: M D xy C 3y x 3 ) My D x C 3 N D xy C 2y x C 2 ) Nx D y 1 « ) My ¤ Nx ) la ecuación diferencial no es exacta. Veamos si tiene un factor integrante que dependa sólo de una variable: My Nx N D x C 3 C y C 1 xy C 2y x C 2 D x C y C 4 xy C 2y x C 2 ¤ g.x/ ) no existe factor integrante .x/: Nx My M D y 1 x 3 xy C 3y x 3 D x y 4 xy C 3y x 3 ¤ g.y/ ) no existe factor integrante .y/: ¿De qué tipo es esta ecuación diferencial? Revisamos de nuevo para ver si es de variables separables. Ya que xy 2y C x 2 D .xy 2y/ C .x 2/ D y.x 2/ C 1.x 2/ D .x 2/.y C 1/I y además xy C 3y x 3 D .xy C 3y/ C . x 3/ D y.x C 3/ 1.x C 3/ D .x C 3/.y 1/: Entonces: .xy 2y C x 2/ dy D .xy C 3y x 3/ dx ) .x 2/.y C 1/ dy D .x C 3/.y 1/ dx ) ) y C 1 y 1 dy D x C 3 x 2 dx es una ED de variables separables, por lo que, integrando: y C 1 y 1 dy D x C 3 x 2 dx: Efectuando ambas divisiones e integrando: Â 1 C 2 y 1 Ã dy D Â 1 C 5 x 2 Ã dx ) y C 2 ln.y 1/ C C1 D x C 5 ln.x 2/ C C2 ) ) y C ln.y 1/2 D x C ln.x 2/5 C C2 C1 ) y C ln.y 1/2 x ln.x 2/5 D C; que es la solución general de la ED.
  • 8. 8 Ecuaciones diferenciales ordinarias Ejemplo 2.8.8 Resolver la ED dx dy D 2 tanx sen 2y cos 2y sen x . H Análisis. Al ver los argumentos de las funciones trigonométricas podemos afirmar que la ecuación no es homogénea. Si reescribimos la ecuación como dx dy D 2 tanx sen 2y cos 2y sen x ) .cos 2y senx/ dx D .2 tanx sen 2y/ dy ) ) .cos 2y senx/ dx .2 tanx sen 2y/ dy D 0; (2.3) y si tenemos en cuenta que los coeficientes de las diferenciales dx & dy dependen ambos de las 2 variables x & y, podemos decir que esta ecuación diferencial no es lineal, ni tampoco de Bernoulli, ya sea para y D .x/ o bien para x D .y/. Podemos decir que la ecuación diferencial no parece ser de variables separables, ya que el coeficiente de dx no es producto de funciones dependientes de una sola variable. Veamos si de trata de una ED exacta. Tenemos ahora, de (2.3): M D cos 2y sen x ) My D 2 sen2y N D 2 tanx sen2y ) Nx D 2 sec2 x sen 2y « ) My ¤ Nx ) la ED no es exacta. ¿Tendrá un factor integrante dependiente de una sola variable? My Nx N D 2 sen 2y C 2 sec 2 x sen 2y 2 tanx sen 2y D 2.sen 2y/.sec 2 x 1/ 2 tanx sen 2y D D sec 2 x 1 tanx D tan2 x tanx D tanx D g.x/: En vista de lo anterior existe un factor integrante D .x/ dado por 0 .x/ .x/ D g.x/ D tan x ) 0 .x/ .x/ dx D tanx dx D sen x cos x dx ) ) ln .x/ D ln.cos x/ ) .x/ D cos x: Multiplicando la ecuación diferencial no exacta (2.3) por .x/ D cos x: cos x.cos 2y sen x/ dx 2 cos x tan x sen2y dy D 0 ) ) .cos x cos 2y senx cos x/ dx 2 senx sen2y dy D 0: Vemos ahora que M D cos x cos 2y sen x cos x ) My D 2 cos x sen 2y N D 2 sen x sen 2y ) Nx D 2 cos x sen 2y « ) My D Nx: La nueva ecuación diferencial es exacta. Entonces existe una función f .x; y/ tal que fx D M & fy D N . Ahora bien, integrando con respecto a y: fy D N ) f .x; y/ D y N dy D y 2 sen x sen 2y dy D sen x 2 sen2y dy ) ) f .x; y/ D senx cos 2y C h.x/: (2.4) Derivando con respecto a x: fx D cos x cos 2y C h0 .x/: fx D M ) cos x cos 2y C h0 .x/ D cos x cos 2y sen x cos x ) ) h0 .x/ D sen x cos x ) h.x/ D .cos x/. sen x/ dx ) ) h.x/ D 1 2 cos 2 x C C1:
  • 9. 2.8 Miscelánea 9 Sustituyendo h.x/ en (2.4): f .x; y/ D senx cos 2y C 1 2 cos 2 x C C1: Por lo tanto la solución general de la ecuación diferencial es: f .x; y/ D C2 ) senx cos 2y C 1 2 cos 2 x C C1 D C2 ) ) 2 senx cos 2y C cos 2 x D C: Ejemplo 2.8.9 Resolver la ED y dx C .2xy e 2y / dy D 0. H Análisis. Al observar el exponente de e 2y podemos afirmar que la ecuación diferencial no es ho- mogénea. Por otro lado, notamos que el coeficiente correspondiente a la diferencial dx es una función que depende sólo de la variable y, así podemos pensar que es una ecuación diferencial lineal o bien de Bernoulli para x D .y/. Veamos: y dx C .2xy e 2y / dy D 0 ) y dx D .2xy e 2y / dy ) ) y dx dy D 2xy C e 2y ) y dx dy C 2xy D e 2y ) ) yx 0 C 2yx D e 2y ) x 0 C 2x D e 2y y ; que es, en efecto, una ecuación diferencial lineal para x D .y/. Un factor integrante para esta ecuación diferencial es .y/ D e2y . Multiplicando la ecuación diferencial por este factor integrante, se obtiene: e2y Œx 0 C 2x D &&e2y ¨ ¨¨e 2y y ) d dy .e2y x/ D 1 y ) e2y x D 1 y dy ) e2y x D ln y C C ) ) x D .ln y C C/e 2y ; que es la solución general de la ED. Ejemplo 2.8.10 Resolver la ED ex dx C .ex cot y C 2y csc y/ dy D 0. H Análisis. Al ver el exponente de la exponencial ex , podemos afirmar que la ecuación diferencial no es homogénea. Observando los coeficientes de las diferenciales dx & dy, podemos decir que esta ecuación diferencial no es lineal, ni de Bernoulli, ya sea para y D .x/ o bien para x D .y/. Así, debido a que el coeficiente de la diferencial dy no es un producto de funciones que dependan de una sola variable, podemos decir que la ecuación diferencial no es de variables separables. Veamos entonces si se trata de una ED exacta. De la ecuación diferencial ex dx C .ex cot y C 2y csc y/ dy D 0; (2.5) obtenemos: M D ex ) My D 0 N D ex cot y C 2y csc y ) Nx D ex cot y « ) My ¤ Nx ) la ecuación diferencial no es exacta. ¿Tendrá un factor integrante dependiente de una sola variable? My Nx N D ex cot y ex cot y C 2y csc y ¤ g.x/ ) no existe factor integrante D .x/:
  • 10. 10 Ecuaciones diferenciales ordinarias Pero Nx My M D ex cot y ex D cot y D g.y/: Entonces existe factor integrante D .y/ dado por 0 .y/ .y/ D g.y/ D cot y ) 0 .y/ .y/ dy D cot y dy D cos y sen y dy ) ) ln .y/ D ln.sen y/ ) .y/ D sen y: Multiplicando la ecuación diferencial no exacta (2.5) por .y/ D sen y: ex sen y dx C .ex cot y C 2y csc y/ sen y dy D 0 ) ex sen y dx C  ex cos y sen y C 2y 1 seny à sen y dy D 0 ) ) ex sen y dx C .ex cos y C 2y/ dy D 0: (2.6) Y ahora: M D ex seny ) My D ex cos y N D ex cos y C 2y ) N x D ex cos y « ) My D N x ) la nueva ED (2.6) es exacta. Entonces existe una función f .x; y/ tal que fx D M & fy D N . Integrando con respecto a x: fx D M ) f .x; y/ D x M dx D x ex sen y dx D .sen y/ex C h.y/ ) ) f .x; y/ D ex seny C h.y/: (2.7) Derivando con respecto a y: fy D ex cos y C h0 .y/: Luego: fy D N ) ex cos y C h0 .y/ D ex cos y C 2y ) ) h0 .y/ D 2y ) h.y/ D y2 C C1: Al sustituir h.y/ en (2.7): f .x; y/ D ex sen y C y2 C C1: Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial exacta, así como de la no exacta es f .x; y/ D C2 ) ex seny C y2 C C1 D C2 ) ex seny C y2 D C: Ejercicios 2.8.1 Miscelánea. Soluciones en la página 12 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales, algunas de las cuales pueden resolverse de varias formas. 1. y2 C xy2 y 0 C x2 yx2 D 0. 2. 1 2x2 2y y 0 D 4x3 C 4xy. 3. x C ye y x Á dx xe y x dy D 0; con y.1/ D 0. 4. y dx dy D e 3y .3y C 1/x. 5. .x C sen x C seny/ dx C .cos y/ dy D 0.
  • 11. 2.8 Miscelánea 11 6. 3x2 y C ey dx C x3 C xey 3y2 dy D 0. 7. .1 C y2 /.e2x dx ey dy/ .1 C y/ dy D 0. 8. .1 cos x/y 0 D tan x 2y sen x. 9. 2xy ln y dx C x2 C y2 y2 C 1 dy D 0. 10. .x C y/ dy C .x y/ dx D 0. 11. x2 y 0 D 3y4 C 2xy; con y.1/ D 1 2 . 12. x4 ln x 2xy3 dx C 3x2 y2 dy D 0. 13. .cos x C tany cos x/ dx C .senx 1/ sec 2 y dy D 0. 14. .ex sen y 2y sen x ln x/ dx C .ex cos y C 2 cos x ln y/ dy D 0. 15. .x C 1/y 0 C .x C 2/y D 2xe x . 16. y3 C x2 y dy C xy2 C x3 dx D 0. 17. xy dx x2 dy D y x2 C y2 dy; con y.1/ D 1. 18. .yexy cos 2x 2exy sen 2x C 2x/ dx C .xexy cos 2x 3/ dy D 0. 19. x2 C y2 dy C 3x2 y C 2xy C y3 dx D 0. 20. .xy 2x C 4y 8/ dy D .xy C 3x y 3/ dx. 21. y tanx cos 2 x dx C dy D 0; con y.0/ D 1. 22. dy D y y2 dx. 23. xy 1 C xy2 y 0 D 1; con y.1/ D 0.
  • 12. 12 Ecuaciones diferenciales ordinarias Ejercicios 2.8.1 Miscelánea. Página 10 1. 2 ln  1 C x 1 y à C x2 y2 2x 2y D C. 2. x4 C 2x2y C y2 y D C. 3. ln.ex/ D e y x . 4. x D e 3y C Cy 1e 3y . 5. 2 seny C 2.x 1/ C sen x cos x D Ce x . 6. x3y C xey y3 D C. 7. e2x D 2ey C 2 arctany C ln.1 C y2/ C C. 8. y D Œln.secx/ C cos x C C.1 cos x/ 2. 9. x2 ln y C 1 3 .y2 C 1/ 3 2 D C. 10. 2 arctan y x Á C ln.x2 C y2/ D C. 11. 5x6y 3 D 9x5 C 49. 12. y3 x2 C x ln.x/ x D C. 13. senx C tan y sen x tan y D C. 14. ex seny C 2y cos x x ln.x/ C x y ln.y/ C y D C. 15. y D x2 x C 1 e x C C x C 1 e x. 16. x2 C y2 D C. 17. lny D p x2 C y2 y p 2. 18. exy cos 2x 3y C x2 D C. 19. x2ye3x C 1 3 y3e3x D C. 20. 5ln „ x C 4 y C 3 « D x y C C. 21. y D cos x sen x cos x. 22. y D Cex 1 C Cex . 23. x 1 D y2 C 2 e y2 2 .