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Crecimiento Logístico.




Presentado por:
Jose Dagoberto Rojas Castellanos.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
                ORDEN.

EJEMPLO 1.
Crecimiento logístico.
Suponga que un estudiante es portador del virus de la gripe
      y regresa a su aislado campus de 1000 estudiantes.
  Si se supone que la razón con que se propaga el virus es
      proporcional no solo a la cantidad X de estudiantes
   infectados si no también a la cantidad de estudiantes no
 infectados, determine la cantidad de estudiantes infectados
   después de 6 días si además se observa que después de
                     cuatro días x (4)=50.
SOLUCIÓN.

      Suponiendo que nadie deja el campus mientras dura la
 enfermedad, debemos resolver el problema con valores iniciales.

                             dy = k y x
                             dt
y = # de estudiantes contagiados
x = # de estudiantes no contagiados
k = constante de proporcionalidad

pero tenemos que

x + y = 1000---------------> x = 1000 - y
SOLUCIÓN.

Variables separables.
      dy      = k dt
 y (1000 – y)
Lo hacemos por fracciones parciales.
        A     +        B     =1
        y           1000 – y
Solución Parcial.
1000A – Ay + By = 1              B=A= 1
-A + B = 0                           1000
1000A = 1                 B= 1
A= 1                         1000
    1000
Identificando A= 1B= 1
            1000    1000
 1 ∫1 + 1 ∫      dy   = ∫ k dt
1000 dy 1000 1000 - y

 1   ln/y/ - 1 ln/100-y/ = k t + ln/c/
1000        1000

 1   ln / y / = k t + ln/c/
1000    100-y
ln / y       / = 1000 k t
   c(1000-y)

   y      =     e1000kt
C(1000-y)

y = c (1000-y) e1000kt    ECUACIÓN 1
Aplicando condiciones iniciales y reemplazando
t=0        y=1
1=e1000kt c(1000-1)
1=999c
c= 1
  999
Reemplazamos c en la ECUACIÓN 1
y=e1000kt (1000-y)
        999
Utilizando las siguientes condiciones iniciales
tenemos:
t=4        y=50
50=e4000k (1000-50)
          999
50=950e4000k
       999
49950=950e4000k
49950=e4000k
 950
ln/52,57/=4000k
Ln/52,57/=k=9,9x10-4
   4000
Reemplazando k en la ECUACIÓN 1.
y=e0,99t (1000-y)
        999
999y=1000e0,99t - ye0,99t
999y+ye0,99t =1000e0,99t
y(999+e0,99t)=1000e0,99t
y=1000e0,99t ECUACIÓN 2.
   999+e0,99t
Luego para saber cuantos estudiantes
infectados hay en 6 días, reemplazamos el
tiempo en la ECUACIÓN 2.
y=1000e0,99(6)
   999+e0,99(6)
y=1000e5,94
   999+e5,94
y=275,52 estudiantes.
El numero de estudiantes infectados x(t)
tiende a 1000 conforme pasa el tiempo t.


     T (DIAS)         X (NUMERO DE INFECTADOS)
        0                        1
        4                 50 (OBSERVADOS)
        5                       124
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Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden.

  • 1. Crecimiento Logístico. Presentado por: Jose Dagoberto Rojas Castellanos.
  • 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN. EJEMPLO 1. Crecimiento logístico. Suponga que un estudiante es portador del virus de la gripe y regresa a su aislado campus de 1000 estudiantes. Si se supone que la razón con que se propaga el virus es proporcional no solo a la cantidad X de estudiantes infectados si no también a la cantidad de estudiantes no infectados, determine la cantidad de estudiantes infectados después de 6 días si además se observa que después de cuatro días x (4)=50.
  • 3. SOLUCIÓN. Suponiendo que nadie deja el campus mientras dura la enfermedad, debemos resolver el problema con valores iniciales. dy = k y x dt y = # de estudiantes contagiados x = # de estudiantes no contagiados k = constante de proporcionalidad pero tenemos que x + y = 1000---------------> x = 1000 - y
  • 4. SOLUCIÓN. Variables separables. dy = k dt y (1000 – y) Lo hacemos por fracciones parciales. A + B =1 y 1000 – y Solución Parcial. 1000A – Ay + By = 1 B=A= 1 -A + B = 0 1000 1000A = 1 B= 1 A= 1 1000 1000
  • 5. Identificando A= 1B= 1 1000 1000 1 ∫1 + 1 ∫ dy = ∫ k dt 1000 dy 1000 1000 - y 1 ln/y/ - 1 ln/100-y/ = k t + ln/c/ 1000 1000 1 ln / y / = k t + ln/c/ 1000 100-y
  • 6. ln / y / = 1000 k t c(1000-y) y = e1000kt C(1000-y) y = c (1000-y) e1000kt ECUACIÓN 1
  • 7. Aplicando condiciones iniciales y reemplazando t=0 y=1 1=e1000kt c(1000-1) 1=999c c= 1 999 Reemplazamos c en la ECUACIÓN 1 y=e1000kt (1000-y) 999
  • 8. Utilizando las siguientes condiciones iniciales tenemos: t=4 y=50 50=e4000k (1000-50) 999 50=950e4000k 999 49950=950e4000k 49950=e4000k 950
  • 9. ln/52,57/=4000k Ln/52,57/=k=9,9x10-4 4000 Reemplazando k en la ECUACIÓN 1. y=e0,99t (1000-y) 999 999y=1000e0,99t - ye0,99t 999y+ye0,99t =1000e0,99t y(999+e0,99t)=1000e0,99t y=1000e0,99t ECUACIÓN 2. 999+e0,99t
  • 10. Luego para saber cuantos estudiantes infectados hay en 6 días, reemplazamos el tiempo en la ECUACIÓN 2. y=1000e0,99(6) 999+e0,99(6) y=1000e5,94 999+e5,94 y=275,52 estudiantes.
  • 11. El numero de estudiantes infectados x(t) tiende a 1000 conforme pasa el tiempo t. T (DIAS) X (NUMERO DE INFECTADOS) 0 1 4 50 (OBSERVADOS) 5 124 6 276 7 507 8 735 9 882 10 953